浙江省杭州市18届高考数学总复习导数热点题型学案(无答案)
专题1-2 函数与导数-2018届浙江高三数学三轮复习专题
专题1.2 函数与导数1.理解函数定义时，函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多，定义域、值域、对应法则是决定函数的三要素，定义域、对应法则确定，值域也就确定，注意对应法则相同，定义域不同的函数不是同一函数.2.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏,实际问题要考虑变量的实际意义，注意挖掘隐含条件．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．3. 求函数解析式的方法：有直接法、待定系数法、配凑法、配方法、换元法；用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．4.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数，用解析式表示分段函数时，注意要书写正确，即1122(),(),(),n nf x x Af x x Ayf x x A∈⎧⎪∈⎪=⎨⎪⎪∈⎩，分段函数的值域是各段函数值域的并集.5. 求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合已知或易作出图象的函数，特别是二次函数在某个区间上的最值．(3)基本不等式法：特别适合分式结构或两元的函数．(4)导数法：适合可导函数．(5)换元法:适应复合函数，即先由定义域求出内函数的值域，作为外函数的定义域，再利用外函数的图像与性质求出外函数的值域，即为函数的值域，利用换元法求值域时，要特别注意新元的范围．(6)分离常数法：适合于一次分式．(7)有界函数法：适用于含有指、对函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．6. 函数的奇偶性(1)()f x 是奇函数⇔对定义域内任意x ，都有()()f x f x -=-⇔对定义域内任意x ，都有()()0f x f x -+=⇔()f x 图像关于原点对称；（2）()f x 是偶函数⇔对定义域内任意x ，都有()()f x f x -=⇔对定义域内任意x ，都有()()0f x f x --=⇔()f x 图像关于y 轴对称；（3）()y f x a =+是偶函数⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -)(x f y =⇔的图象关于直线a x =对称；（4）()y f x a =+是奇函数⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +)(x f y =⇔的图象关于点)0,(a 对称；判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．7.函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f (x )为偶函数，则f (－x )=f (x )=f (|x |)．(3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.故“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件，已知函数奇偶性求参数常用特值法.8.函数的单调性(1)判定函数单调性方法：①定义法：若[]1212,,x x a b x x ∈<，，那么12()()f x f x <⇔设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅，那么[]1212()()()0x x f x f x --> ⇔1212()()0f x f x x x ->- ⇔()f x 在[],a b 上是增函数； 若[]1212,,x x a b x x ∈<，，那么12()()f x f x <⇔设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅，那么[]1212()()()0x x f x f x --<⇔1212()()0f x f x x x -<-⇔[](),f x a b 在上是减函数. ②求导法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.③性质法:如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（i ）增函数+增函数是增函数； （ii ）减函数+减函数是减函数；（iii ）增函数-减函数是增函数； （iv ）减函数-增函数是减函数；④复合函数单调性:“同增异减”（2）已知含参数的可导函数()f x 在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单调性与导数的关系，转化为在该区间上()0f x '≥（0≤）恒成立（且不恒为0）问题，通过参变分离或分类讨论求出参数的范围，再验证参数取等号时是否符合题意.（3）求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．9. 函数()y f x =的图象的对称性结论①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -；②函数)(x f y =关于点（a ，0）⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2b a x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b +； ⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.10.两个函数对称的结论①两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b a x +=对称. ②函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.③函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0y =(即x 轴)对称。
(浙江专用)2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念与导数的计算练习
第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念与导数的计算练习基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.设曲线y ＝e ax－ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( ) A.0B.1C.2D.3解析 ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax－1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax－ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.故选D. 答案 D2.若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A.2B.0C.－2D.－4解析 ∵f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f ′(1)＝－2， ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. 答案 D3.(2017·杭州质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)和(－1，3)D.(1，－3)解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. 答案 C4.(2017·石家庄调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.eB.－eC.1eD.－1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.答案 C5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案 B 二、填空题6.(2015·天津卷改编)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________；f (x )在x ＝1处的切线方程为________.解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.f (x )＝3x ln x ，f (1)＝0，∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝3(x －1)，即为3x －y －3＝0. 答案 3 3x －y －3＝07.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________.解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1.答案 2x ＋y ＋1＝08.(2015·陕西卷)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1) 处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1). 答案 (1，1) 三、解答题9.(2017·长沙调研)已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围. 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， ∴当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程.解 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 017(x )等于( )A.－sin x －cos xB.sin x －cos xC.－sin x ＋cos xD.sin x ＋cos x解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x ，故选D. 答案 D12.已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A.4B.－14C.2D.－12解析 f ′(x )＝g ′(x )＋2x .∵y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4， ∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为4. 答案 A13.(2016·全国Ⅱ卷)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1).y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2). ∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案 1－ln 214.设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0).令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.15.如图，从点P 1(0，0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0，1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k ，0)(k ＝1，2，…，n ).(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解 (1)设点P k －1的坐标是(x k －1，0)， ∵y ＝e x，∴y ′＝e x，∴Q k －1(x k －1，e xk －1)，在点Q k －1(x k －1，e xk －1)处的切线方程是y －e xk －1＝e xk －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n ).(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e xk ＝e－(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n1－e －1＝e －e 1－ne －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－ne －1.。
(浙江版)2018年高考数学复习： 专题3.1 导数概念及其几何意义(讲)
专题3.1 导数概念及其几何意义 【考纲解读】【知识清单】 1．导数的概念1．函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlim x x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.2．函数f(x)的导函数 称函数0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f(x)的导函数．对点练习：求函数y=的在1x =处的导数. 【答案】12-2．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f(x)上点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．对点练习：【2016四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A 【解析】【考点深度剖析】本节中导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为全国卷高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有：(1)求切线方程问题． (2)确定切点坐标问题． (3)已知切线问题求参数． (4)切线的综合应用． 【重点难点突破】考点1 利用导数的定义求函数的导数 【1-1】一质点运动的方程为283s t =-.（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【答案】（1）63x --∆；（2）6-. 【解析】（1）∵283s t =-∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,63sv t t-∆==--∆∆. （2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度00lim lim(63)6t t sv t t ∆→∆→∆==--∆=-∆ 求导法：质点在t 时刻的瞬时速度。
浙江2018版高考数学复习三角函数解三角形3.1导数的概念及运算教师用书
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形 3.1 导数的概念及运算教师用书1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f xg x ]′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【知识拓展】(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (2)[1fx ]′＝－f x [fx2(f (x )≠0)．(3)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．(4)函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )1．(教材改编)若f (x )＝x ·e x，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．e C ．2e D ．e 2答案 C解析 f ′(x )＝e x＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程是________________． 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝sin(2x ＋π3)；(5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x)′＝1x －1x2.(3)y ′＝(cos xex )′＝cos x ′·e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x ex. (4)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，则y ′＝(sin u )′·u ′＝cos(2x ＋π3)·2∴y ′＝2cos(2x ＋π3)．(5)令u ＝2x －5，则y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′·u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋lnx 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 (1)2x ＋y ＋1＝0 (2)B解析 (1)设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 命题点2 求参数的值例3 (2016·舟山模拟)函数y ＝e x的切线方程为y ＝mx ，则m ＝________.(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 答案 (1)e (2)D解析 (1)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x， 得y ′|x ＝x 0＝0x e ，从而切线方程为y －0x e ＝0x e (x －x 0)， 又切线过定点(0,0)，从而－0x e ＝0x e (－x 0)， 解得x 0＝1，则m ＝e. (2)∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )答案 D解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的； 当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f x 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)(2016·台州模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12(2)(2016·临海模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2答案 (1)A (2)A解析 (1)设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3. (2)∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴2'x y π=＝－1.由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.3．求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值． 错解展示现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0'x x y =＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2， 所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．(2016·东阳模拟)若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(1，－3) C ．(1,0) D ．(1,5)答案 C解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝4x 3－1， 所以f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，即x 0＝1. 把x 0＝1代入函数f (x )＝x 4－x ，得y 0＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，p ＝134.4．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.5. (2016·杭州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0. 6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝a x ， 由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4-＝a 14， 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 7．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)ex －1－f (0)x ＋12x 2.那么f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝e x －x ＋12x 2 解析 由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x ，所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1.又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x －x ＋12x 2. 8．(2016·金华模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案 12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)． ∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.9．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. *10.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________．答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016， 则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.11．已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为0'x x y ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知， ⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．*13.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝203(1)x +(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝203(1)x +(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。
浙江省杭州市高考数学总复习 导数及其应用学案(无答案)
导数及其应用【命题热点突破一】导数的几何意义例1、(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________；【变式探究】1、【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【变式探究】2、 函数f(x)＝e xsin x 的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6例 2、(1)(2013·浙江)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ .【命题热点突破二】函数的单调性 与极值例3、（1）(2007·浙江)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )（2）.(2011·浙江)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )（3）.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) A.f (b )>f (c )>f (d ) B.f (b )>f (a )>f (e ) C.f (c )>f (b )>f (a ) D.f (c )>f (e )>f (d )例4、(1)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－2x 有两个极值点，则a 的取值范围是( )A.(－∞，1)B.(0,2)C.(0,1)D.(0,3)(2)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103跟踪训练 (1)(2013·浙江)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( ) A.当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B.当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C.当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D.当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值(2)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ B.(1，＋∞) C.(1,2) D.(2，＋∞)例5、设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由.【命题热点突破三】函数的单调性 与最值例6、已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围.引申探究1.本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围.2.本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围.例7、已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值.【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ln(x＋a)＋ax，求函数f(x)的单调区间和极值．(2)已知函数f(x)＝(ax－2)e x在x＝1处取得极值，求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值．【命题热点突破四】导数与函数的零点例8、(1)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是__________.（2）.定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且不等式f(x)>－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点个数为________.例9、已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)探讨函数F(x)＝ln x－1e x ＋2e x是否存在零点？若存在，求出函数F(x)的零点；若不存在，请说明理由.【命题热点突破五】函数的单调性与不等式例10、（1）已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式x e x <1k ＋2x －x2恒成立，则实数k 的取值范围为________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式e x f (x )>e x＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A.(0，＋∞)B.(－∞，0)∪(3，＋∞)C.(－∞，0)∪(0，＋∞)D.(3，＋∞)例11、已知f(x)＝xe x＋ax 2－x ，a ∈R . (1)当a ＝－12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若当x ≥0时，恒有f ′(x)－f(x)≥(4a ＋1)x 成立，求实数a 的取值范围．例12、(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a －2.【变式探究】【2016高考山东理数】已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.。
(浙江版)2018年高考数学复习： 专题3.5 导数的综合应用(讲)
专题3.5 导数的综合应用【考纲解读】【知识清单】1. 利用导数研究函数的图象与性质函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.对点练习：【2017浙江卷】函数y=f(x)的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D2．与函数零点有关的参数范围问题1．方程()0f x =有实根Û函数()y f x =的图象与x 轴有交点Û函数()y f x =有零点．2．求极值的步骤：①先求'()0f x =的根0x （定义域内的或者定义域端点的根舍去）；②分析0x 两侧导数'()f x 的符号：若左侧导数负右侧导数正，则0x 为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则0x 为极大值点.3．求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.4．函数()y f x =的零点就是()0f x =的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.对点练习：【2016新课标1卷】已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞ 【解析】（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点．（Ⅱ）不妨设12x x <,由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在(,1)-∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)x x g x xe x e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--．。
2018年高考数学二轮复习考前专题二函数与导数第4讲导数的热点问题讲学案理
1 因为 g(1) ＝ 0， g( x) ≥ 0，故 g′ (1) ＝0，而 g′( x) ＝ a－ x， g′ (1) ＝ a－ 1＝ 0，得 a＝ 1.
1 若 a＝ 1，则 g′ ( x) ＝ 1－ x.
当 0<x<1 时， g′ ( x)<0 ， g( x) 单调递减； 当 x>1 时， g′ ( x)>0 ， g( x) 单调递增， 所以 x＝ 1 是 g( x) 的极小值点，故 g( x) ≥ g(1) ＝ 0. 综上， a＝ 1. (2) 证明 由 (1) 知 f ( x) ＝ x2－ x－ xln x， f ′ ( x) ＝ 2x－ 2－ ln x，
1
1
由 x0∈
0， 2
，得
f
(
x0)<
. 4
因为 x＝ x0 是 f ( x) 在 (0,1) 上的最大值点，
3
－1
由 e ∈ (0,1)
，f
′
(e
－1
)
≠
0，得
f
(
x 0)>
f
(e
－1
)
－2
＝e .
所以 e－2<f ( x0)<2 －2.
热点二 利用导数讨论方程根的个数 方程的根、 函数的零点、 函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，
4 ③当 1－ a2<0，即 0<a<2 时， 设 φ ( x) ＝f ( x) － g( x) ＝ ax3－ 3x2＋ 1－ ln x(0< x<1) ，
∵φ
′
(
x)
＝
3ax2－
1 6x－x<6x(
x－1)
2018年高考数学总复习第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值学案(2021年整理)
2018年高考数学总复习第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值学案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高考数学总复习第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值学案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3讲导数与函数的极值、最值最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次)。
知识梳理1。
函数的极值与导数（1)判断f（x0)是极值的方法一般地,当函数f（x)在点x0处连续且f′（x0)＝0，①如果在x0附近的左侧f′（x)＞0,右侧f′(x）＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′（x)≤0，右侧f′（x）≥0,那么f（x0)是极小值。
(2)求可导函数极值的步骤①求f′（x)；②求方程f′（x）＝0的根；③检查f′(x）在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号。
如果左正右负，那么f（x)在这个根处取得极大值；如果左负右正,那么f(x）在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f（x)在［a，b]上有最值的条件如果在区间[a,b］上函数y＝f（x）的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.（2）设函数f（x)在[a,b］上连续且在(a，b）内可导,求f(x)在［a，b］上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b）内的极值；②将f（x）的各极值与f（a），f(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.诊断自测1。
浙江专用2018版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形3.2导数的应用第3课时导数的综合应用课件
故当x＝3时，该商品的年利润最大.
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5.(2016· 宁波质检)直线x＝t分别与函数f(x)＝ex＋1的图象及g(x)＝2x－1
的图象相交于点A和点B，则AB的最小值为 答案
解析
A.2
B.3
D.3－2ln 2
√
C.4－2ln 2
1
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4
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6
7
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6.(2016· 浙江四校联考)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a>0，b∈R)，若对
解答
1－x f′(x)＝ 2 ，故 f(x)在(1，e2)上单调递减， x
所以在(1，e2)上至多只有一个零点.
1 又 f(1)f(e )＝1×(－e2)<0，
2
故函数f(x)在(1，e2)上只有一个零点.
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值集合.
解答
思维升华
(1)利用导数研究函数的单调性，可以和零点存在性定理相结合判断零 点个数. (2)利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略 研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数 的零点个数问题.可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋 势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数.
思维升华
利用导数研究恒成立或有解问题的策略 (1) 首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得 出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围. (2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
跟踪训练3
(2016· 浙江大学附中模拟)已知函数 f(x)＝e
浙江省杭州市高考数学总复习导数热点题型学案(无答案)(2021年整理)
浙江省杭州市2018届高考数学总复习导数热点题型学案（无答案）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省杭州市2018届高考数学总复习导数热点题型学案（无答案））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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函数与导数的热点题型热点一利用导数研究函数的性质【例1】(2017·浙江卷）已知函数f（x)＝（x－错误!）e－x错误!.(1)求f（x）的导函数；(2)求f(x）在区间错误!上的取值范围．【训练】1、已知a∈R,函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R,e为自然对数的底数）．（1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间;(2）若函数f（x)在（－1，1)上单调递增,求实数a的取值范围．2、设函数f(x)＝错误!(a∈R）．（1）若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f（x)在点(1，f(1）)处的切线方程；（2)若f（x)在[3，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围．3、已知函数f（x)＝e x＋tx。
（1）求函数f(x)的极值点；（2)若f(x）≥x2＋1在（0,2）上恒成立，求实数t的取值范围．热点二利用导数研究函数零点或曲线交点问题【例2】(2018·绍兴调测）已知函数f（x）＝错误!x3－ax2＋3x＋b(a，b∈R）．(1）当a＝2,b＝0时，求f(x）在［0，3］上的值域；（2)若对任意的b,函数g（x)＝|f（x）｜－错误!的零点不超过4个，求a的取值范围．【训练】1、(2018·浙江名校三联)设函数f（x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R）．（1）若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2）设函数f（x）在错误!上有两个零点，求实数a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）2、已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f（x）在点(0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为－2.（1）求a；(2）证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．3．设函数f(x）＝(x＋a)ln x,g（x)＝错误!.已知曲线y＝f(x) 在点(1,f(1)）处的切线与直线2x－y＝0平行．（1)求a的值；（2）是否存在自然数k,使得方程f(x)＝g(x)在（k,k＋1）内存在唯一的根？如果存在,求出k；如果不存在,请说明理由．热点三利用导数研究不等式问题【例3】设函数f（x)＝e2x－a ln x。
浙江省杭州市高考数学总复习抛物线学案(无答案)(2021年整理)
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专题复习四抛物线探究点一抛物线的定义考向1 动弦中点到坐标轴距离最短问题例1、若直线l交抛物线C：y2＝2px（p＞0）于A,B两个不同的点，且|AB|＝3p,则线段AB的中点M到y轴距离的最小值为( ）A.错误!B．p C。
错误!D．2p考向2 距离之和最小问题例2、已知直线l1的方程为x－y－3＝0,l2为抛物线x2＝ay(a＞0）的准线,抛物线上一动点P到l1，l2距离之和的最小值为2错误!，则实数a的值为（)A．1 B．2 C．4 D．28考向3 焦点弦中距离之和最小问题例3、已知抛物线y2＝4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C,D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．探究点二抛物线的标准方程例4、如图抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F，过抛物线上一点A(3，y）作准线l的垂线，垂足为B。
若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是（）A ．y 2＝错误!xB ．y 2＝xC ．y 2＝2xD ．y 2＝4x变式题已知双曲线C 1：错误!－错误!＝1（a 〉0,b >0)的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C 2:x 2＝2py （p ＞0）的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为（ )A ．x 2＝错误!y B ．x 2＝错误!y C ．x 2＝8y D ．x 2＝16y探究点三 抛物线的几何性质例5、 (1）过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点，交直线x ＝－1于点P ，若=PA AF λBF PB μ= （λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________。
[推荐学习]2018年高考数学总复习第三章导数及其应用专题研究课一高考中函数与导数问题的热点题型学案
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专题研究课一 高考中函数与导数问题的热点题型高考导航 函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其他知识结合起来，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题：研究函数的性质(如求单调区间、求极值、最值)，研究函数的零点(或方程的根、曲线的交点)，研究不等式.热点一 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例1】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0.因此，实数a 的取值范围是(0，1).探究提高 (1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.【训练1】 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数).(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立，因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1，1)都成立， 即a ≥x 2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立. 令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1（x ＋1）2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增， 所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32. 因此实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 热点二 利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.【例2】 (2017·杭州调研)已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ＞0)，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明.解 (1)由已知，得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，且a ＞0.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x ＋x cos x ＞0， 从而f ′(x )＞0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数， 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的， 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， 即π2a －32＝π－32，解得a ＝1. 综上所述得f (x )＝x sin x －32. (2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点.证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32， 从而f (0)＝－32＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0. 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内至少存在一个零点. 又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增， 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有且只有一个零点. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x . 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＞0，g (π)＝－π＜0，且g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，有g ′(x )＜0， 从而g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内单调递减. ①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 时，g (x )＞g (m )＝0， 即f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 内单调递增， 故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0， 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 上无零点； ②当x ∈(m ，π)时，有g (x )＜g (m )＝0，即f ′(x )＜0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减.又f (m )＞0，f (π)＜0，且f (x )的图象在[m ，π]上连续不间断，从而f (x )在区间(m ，π)内有且仅有一个零点.综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点.探究提高 利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.【训练2】 设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数. 解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x， 定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝x －e x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e. ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0). 设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)， 则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点.∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点； ②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点. 热点三 利用导数研究不等式问题(规范解答)导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题.【例3】 (满分12分)设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；(2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.满分解答 (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a x (x ＞0).当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点.2分当a ＞0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－a x ，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.4分 又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)， 故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.6分(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)9分由于2e2x 0－ax 0＝0， 所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a. 故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.12分❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求f (x )的最小值和基本不等式的应用.❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f (x )的定义域，f ′(x )在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f (x )在x ＝x 0处最值的判定. ❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f ′(x )准确，否则全盘皆输，求解使f ′(b )＜0的b 满足的约束条件0＜b ＜a 4，且b ＜14.如第(2)问中x 0满足条件的计算，若计算错误不得分，另外还应注意规范的文字、符号语言的表述.1.讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.【训练3】 已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0，1]使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围.解 (1)由已知得f ′(x )＝2＋1x(x >0)，所以f ′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k ＝3.又切点为(1，2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)， ①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a. 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. (3)由已知得所求可转化为f (x )max <g (x )max ，g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈[0，1]，所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意.当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.即a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 3.。
2018年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题11 导数的应用 文
专题11 导数的应用1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单调性与不等式的成立情况求参数范围是高考命题的热点。
2．常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等式、方程等交汇命题，主要考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用。
3．题型主要以解答题为主，属中高档题。
热点题型一 判断或证明函数的单调性例1、【2017课标II ，】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1 【答案】A调递减，所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．【变式探究】设a ∈[－2,0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－a ＋x ，x ≤0x 3－a ＋32x 2＋ax ，x ＞0。
证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增。
【解析】设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)。
①f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)，由于a ∈[－2,0]， 从而当－1＜x ≤0时，f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)＜3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减。
【提分秘籍】导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤 (1)求f ′(x )；(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数。
【举一反三】已知函数f (x )＝x 2－e x，试判断f (x )的单调性并给予证明。
【解析】f (x )＝x 2－e x，f (x )在R 上单调递减，f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成立即可。
设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x， 当x ＝ln2时，g ′(x )＝0， 当x ∈(－∞，ln2)时，g ′(x )>0， 当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )<0。
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函数与导数的热点题型
热点一 利用导数研究函数的性质
【例1】 (2017·浙江卷)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12.
(1)求f (x )的导函数；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围．
【训练】1、 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．
(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；
(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求实数a 的取值范围．
2、设函数f (x )＝3x 2
＋ax
e x (a ∈R )．
(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．
3、已知函数f (x )＝e x ＋tx .
(1)求函数f (x )的极值点；
(2)若f (x )≥x 2＋1在(0，2)上恒成立，求实数t 的取值范围．
热点二 利用导数研究函数零点或曲线交点问题
【例2】 (2018·绍兴调测)已知函数f (x )＝13x 3－ax 2
＋3x ＋b (a ，b ∈R )．
(1)当a ＝2，b ＝0时，求f (x )在[0，3]上的值域；
(2)若对任意的b ，函数g (x )＝|f (x )|－23的零点不超过4个，求a 的取值范围．
【训练】1、 (2018·浙江名校三联)设函数f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x (a ∈R )．
(1)若a ＝1，求函数f (x )的单调区间；
(2)设函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数a 的取值范围．(其中e 是自然对数的底数)
2、已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.
(1)求a ；
(2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．
3．设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2
e x .已知曲线y ＝
f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行． (1)求a 的值；
(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由．
热点三 利用导数研究不等式问题
【例3】设函数f (x )＝e 2x －a ln x .
(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；
(2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .
【训练】1、 (2018·稽阳联谊学校联考)设f (x )＝x －a －1x －a ln x (a ∈R )．
(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线方程；
(2)当a <1时，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内是否存在一实数x 0，使f (x 0)>e －1成立？
2、(2018·杭州高级中学模拟)设x ∈R ，且x ＞1.求证：
(1)e 1－x ＞2－x ；
(2)12x 2
－1x －ln x ＋e 1－x ＞12.
3．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .
(1)求f (x )的单调区间与极值；
(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.
4．(2018·嘉兴测试)已知函数f(x)＝x－a ln x＋b，a，b为实数．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋3，求a，b的值；
(2)若|f′(x)|＜3
x2
对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)当a＝2时，对于任意的m∈[－1，1]，n∈[－1，1]，求f(m)＋f′(n)的最小值；
(2)若存在x0∈(0，＋∞)，使f(x0)＞0，求a的取值范围．
6．(2018·台州调考)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx (a ，b ∈R )．
(1)(一题多解)若函数f (x )在(0，2)上存在两个极值点，求3a ＋b 的取值范围；
(2)当a ＝0，b ≥－1时，求证：对任意的实数x ∈[0，2]，|f (x )|≤2b ＋83恒成立．
7．已知函数f (x )＝x ln x 和g (x )＝m (x 2－1)(m ∈R )．
(1)当m ＝1时，求方程f (x )＝g (x )的实根；
(2)若对任意的x ∈(1，＋∞)，函数y ＝g (x )的图象总在函数y ＝f (x )图象的上方，求m 的取值范围；
(3)求证：4
4×12－1＋4×2
4×22－1＋…＋4×n
4×n 2－1>ln(2n ＋1)(n ∈N *)．。