2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套练习：第四章检测 Word版含答案
北师大数学选修22配套作业：第四章 定积分 §2 含解析
第4章 §2 微积分基本定理A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·景德镇市高二质检)若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则正实数a 为( A )A.49B.59 C.43D.53[解析] 由题意知，⎠⎛0a x d x ＝a 2，∵(23x 32 )′＝x 12 ，∴⎠⎛0a x d x ＝23x 32|a 0＝23a 32 ， ∴23a 32 ＝a 2，∴a ＝49. 2．若⎠⎛12(2ax ＋a ＋1)d x ＝5，则a ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ⎠⎛12(2ax ＋a ＋1)d x ＝(ax 2＋ax ＋x )|21＝4a ＋1＝5，∴a ＝1，故选A.3．(2018·玉溪模拟)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3及x 轴所围成的曲边四边形的面积为( C )A.116B.92C.12＋ln3 D ．4－ln3[解析] 由xy ＝1得y ＝1x，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝1x得x D ＝1，所以曲边四边形的面积为：⎠⎛01x d x ＋⎠⎛031xd x ＝12x 2|10＋ln x |31＝12＋ln3，故选C. 4．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( A )A ．f ′(x )＝cos xB ．f ′(x )＝sin xC ．f ′(x )＝－cos xD ．f ′(x )＝－sin x[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x 0＝sin x －sin0＝sin x .所以f ′(x )＝cos x ，故应选A.5．(2019·昆明高二检测)若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛－a a(x 3＋sin x －5)d x 的值为( D )A ．6＋2sin 2B ．－6－2cos 2C ．20D ．－20[解析] 由l 1⊥l 2得4－2a ＝0即a ＝2，∴原式＝⎠⎛－22 (x 3＋sin x －5)d x ＝⎠⎛－22 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛－22(－5)d x ＝0－20＝－20.6．⎠⎛03π⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ的值为( D )A ．－32 B ．－12C ．12D ．32[解析] ∵1－2sin 2θ2＝cos θ，∴⎠⎛03π⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ＝⎠⎛03πcos θd θ ＝sin θ⎪⎪π30＝32，故应选D. 二、填空题7．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )d x ，产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )，再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f (x )d x 的近似值为N 1N .[解析] 因为0≤f (x )≤1，且由定积分的定义知：⎠⎛01f (x )d x 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f (x )与x 轴围成图形的面积． 又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形的面积为1，且共有N 个数对，即N 个点．而满足y i ≤f (x i )的有N 1个点，即在函数f (x )的图像上及图像下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f (x )在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即⎠⎛01f (x )d x ＝N 1N .8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝－1或13. [解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛－11f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4， ∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题9．计算下列定积分： (1)⎠⎛2(4－2x )(4－x 2)d x;(2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403. (2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x ＋2－3x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2. 10．(2019·泉州模拟)已知f (x )＝(kx ＋b )e x 且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1)．(1)求k 与b 的值； (2)求⎠⎛01x ·e x d x .[解析] (1)∵f (x )＝(kx ＋b )e x ，∴f ′(x )＝(kx ＋k ＋b )e x ，∴f ′(1)＝e ，f (1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2k ＋b )e ＝e (k ＋b )e ＝0解得k ＝1，b ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝(x －1)e x ，f ′(x )＝x e x ， ∴⎠⎛01(x e x )d x ＝(x －1)e x |10＝0＋1＝1.B 级 素养提升一、选择题1．(2019·岳阳高二检测)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( B )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1[解析] S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2. S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B.2．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝⎠⎛abf (x )d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由已知得：f (x 0)＝⎠⎛－22(x 3－3x )d x4＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫14x 4－32x 22－24＝0，即x 30－3x 0＝0，解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个，故选C.二、填空题3． (x ＋cos x )d x ＝2.[解析]＝2.4.由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为14.[解析] 由⎩⎨⎧y ＝x 2y ＝t2x >0得，x ＝t ，故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝(t 2x －13x 3)|t 0＋(13x 3－t 2x )|1t＝43t 3－t 2＋13， 令S ′＝4t 2－2t ＝0，∵0<t <1，∴t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14.三、解答题5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．[解析] ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2.① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛1(x －x 2)d x ＝(x 22－x 33)|10＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝(1－k 2x 2－x 33)|1－k 0＝16(1－k )3， 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342. C 级 能力拔高设f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，又已知f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． 所以判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎜⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t0(x 2＋2x ＋1)d x ，所以⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x |－t －1＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x |0－t即－13＋t2－t＋13＝13t3－t2＋t.3t所以2t3－6t2＋6t－1＝0，所以2(t－1)3＝－1，所以t＝1－1.32。
2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章 定积分 2 含答案 精品
学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?答案 不唯一．根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； ②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常见的原函数与被积函数关系①ʃb a C d x ＝Cx |b a (C 为常数)．②ʃb a x n d x ＝1n ＋1xn ＋1|b a (n ≠－1)； ③ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a ； ④ʃb a cos x d x ＝sin x |b a ；⑤ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)； ⑥ʃb ae x d x ＝e x |b a ； ⑦ʃb a a x d x ＝⎪⎪a x ln a ba (a >0且a ≠1)；⑧3223＝b ax x ⎰(b >a >0)．类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分．(1)ʃ10(2x ＋e x)d x ；(2)ʃ21(1x －3cos x )d x ； (3)π220(sin cos )d 22－；x xx ⎰(4)ʃ30(x －3)(x －4)d x .解 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|1＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)ʃ21(1x －3cos x )d x ＝(ln x －3sin x )|21 ＝(ln2－3sin2)－(ln1－3sin1) ＝ln2－3sin2＋3sin1. (3)∵(sin x 2－cos x 2)2＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，∴π220(sin cos )d 22－x x x ⎰＝π20(1sin )d －x x ⎰π20(cos )|＝＋x x＝(π2＋cos π2)－(0＋cos0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴ʃ30(x －3)(x －4)d x＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x＝(13x 3－72x 2＋12x )|30 ＝(13×33－72×32＋12×3)－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤 ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练1 计算下列定积分．(1)ʃ21(x －x 2＋1x)d x ； (2)π2220(cos sin )d 22－；x xx ⎰(3)ʃ94x (1＋x )d x .解 (1)ʃ21(x －x 2＋1x)d x ＝(12x 2－13x 3＋ln x )|21 ＝(12×22－13×23＋ln2)－(12－13＋ln1) ＝ln2－56.(2)π2220(cos sin )d 22－x x x ⎰ ＝π20cos d x x ⎰π20sin | 1.＝＝x(3)ʃ94x (1＋x )d x ＝ʃ94(x ＋x )d x ＝(23x 32＋12x 2)|94＝(23×932＋12×92)－(23×432＋12×42)＝2716. 命题角度2 求分段函数的定积分例2 (1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (0≤x <π2)，1(π2≤x ≤2)，x －1(2<x ≤4)在区间[0,4]上的定积分；(2)求定积分ʃ20|x 2－1|d x .解 (1)⎠⎛04f (x )d x ＝π222π042sin d 1d (1)d x x x x ⎰⎰⎰＋＋－＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪ π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋(12x 2－x )⎪⎪⎪42＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.(2)∵|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[0，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，又(x －x 33)′＝1－x 2，(x 33－x )′＝x 2－1，∴ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10|x 2－1|d x ＋ʃ21|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝(x －x 33)|10＋(x 33－x )|21＝1－13＋83－2－13＋1＝2.反思与感悟 分段函数的定积分的求法(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1<x ≤2，求ʃ20f (x )d x .解 ʃ20f (x )d x＝ʃ10(1＋2x )d x ＋ʃ21x 2d x＝(x ＋x 2)|10＋13x 3|21 ＝2＋73＝133.(2)求ʃ2－2|x 2－x |d x 的值．解 ∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x <0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1<x ≤2，∴ʃ2－2|x 2－x |d x＝ʃ0－2(x 2－x )d x ＋ʃ10(x －x 2)d x ＋ʃ21(x 2－x )d x＝(13x 3－12x 2)|0－2＋(12x 2－13x 3)|10＋(13x 3－12x 2)|21 ＝143＋16＋56＝173. 类型二 利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt 0f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________． 答案 (1)3 (2)[23，2]解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6， 解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3. (2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝f (t2)，求t .解 由ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ， 又f (t2)＝t －1，∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值． 解 F (t )＝ʃt 0f (x )d x ＝t 2－t ＝(t －12)2－14(t >0)，当t ＝12时，F (t )min ＝－14.反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0，1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案 (1)[0，2) (2)33解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0，1])． ∴f (x )的值域为[0，2)．(2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . 又f (x 0)＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33.∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.1．若ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln2，则a 的值是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2，解得a ＝2. 2.π230(12sin )d 2θθ-⎰等于( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 D 解析π230(12sin )d 2θθ-⎰＝π30cos d θθ⎰＝sin θ⎪⎪⎪⎪π3＝32.3．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，ʃ10f (x )d x ＝－2.求a ，b ，c 的值． 解 ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2， ① f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝b ＝0，②ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝13a ＋c ＝－2， ③由①②③可得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算：⎠⎛0πf (x )d x .解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝ππ2π02()d ()d f x x f x x +⎰⎰＝ππ2π02(42π)d cos d －x x x x +⎰⎰，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以ππ2π02(42π)d cos d －x x x x +⎰⎰＝(2x 2－2πx )⎪⎪⎪⎪ π20＋sin x ⎪⎪⎪⎪ππ2 ＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．课时作业一、选择题1．ʃ21(e x＋1x )d x 等于( ) A ．e 2－ln2 B ．e 2－e －ln2 C ．e 2＋e ＋ln2 D ．e 2－e ＋ln2答案 D解析 ʃ21(e x ＋1x )＝(e x ＋ln x )|21 ＝(e 2＋ln2)－(e ＋ln1)＝e 2－e ＋ln2. 2．ʃ0－4|x ＋2|d x 等于( )A ．ʃ0－4(x ＋2)d xB ．ʃ0－4(－x －2)d xC ．ʃ－2－4(x ＋2)d x ＋ʃ0－2(－x －2)d xD ．ʃ－2－4(－x －2)d x ＋ʃ0－2(x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴ʃ0－4|x ＋2|d x ＝ʃ－2－4(－x －2)d x ＋ʃ0－2(x ＋2)d x .故选D.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝13×23－13＝73， S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln2， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．又ln2<lne ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.4．若ʃk 0(2x －3x 2)d x ＝0，则正数k 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2答案 B解析 ʃk 0(2x －3x 2)d x ＝x 2－x 3|k 0＝k 2－k 3＝0，解得k ＝1或0(舍去)．5．若函数f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 ∵f ′(x )＝mx m －1＋n ＝2x ＋1，∴m ＝2，n ＝1. 则f (x )＝x 2＋x ，∴ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x＝(13x 3－12x 2)|21＝56. 6．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为( )A.19B.29C ．－19D ．－29 答案 B解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ， 由二次函数的性质，可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29.7．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13C.13 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13. 二、填空题8．ʃa －a (x cos x －5sin x ＋2)d x ＝________. 答案 4a解析 ∵ʃa －a x cos x ＝0， ∴ʃa －a (x cos x －5sin x ＋2)d x ＝ʃa －a (－5sin x ＋2)d x ＝(5cos x ＋2x )|a －a ＝4a .9．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________. 答案 －1或13解析 ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝____________. 答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1， 解得a ＝1.11．已知α∈[0，π2]，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 答案 π4解析 ʃα0(cos x －sin x )d x＝sin α＋cos α－1＝2sin(α＋π4)－1.∵α∈[0，π2]，则α＋π4∈[π4，34π]，当α＋π4＝π2，即α＝π4时，2sin(α＋π4)－1取得最大值．三、解答题12．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式． 解 ∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.13．已知函数f (x )＝ʃx 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值． 解 f (x )＝ʃx 0(at 2＋bt ＋1)d t ＝(a 3t 3＋b 2t 2＋t )| x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数，∴b2＝0，即b ＝0.又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13. ∴a ＝－52. 四、探究与拓展14．已知ʃ20f (x )d x ＝8，则ʃ20[f (x )－2x ]d x ＝________.答案 4解析 ∵ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ∴ʃ20[f (x )－2x ]d x ＝ʃ20f (x )d x －2ʃ20x d x ＝8－2×2＝4.15．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值． 解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：第四章检测
第四章检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.由三条直线x=1,x=3,y=2x+5和一条曲线y=x 2所围成的图形的面积可表示为( ) A.∫ 31(2x+5+x 2)d x B.∫ 31(2x+5-x 2)d x C.∫ 31(x 2-2x-5)d x D.∫ 31(x 2-2x+5)d x 答案:B2.定积分∫ 10(2x+e x )d x 的值为( )A.e +2B.e +1C.eD.e -1解析:因为(x 2+e x )'=2x+e x ,所以∫ 10(2x+e x )d x=(x 2+e x )|01=(1+e 1)-(0+e 0)=e . 答案:C3.已知f (x )={x 2,-1≤x ≤0,1,0<x ≤1,则∫ 1-1f (x )d x 的值为( )A.32 B.43C.23D.-23答案:B4.已知一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v (t )=27-0.9t (速度的单位:m/s),则列车刹车后前进多少米才能停车( ) A .405 mB .540 mC .810 mD .945 m解析:令v (t )=27-0.9t=0,则t=30,所以列车刹车30 s 后可停车,列车由开始刹车到停车所走过的路程为s=∫ 300v (t )d t=∫ 300(27-0.9t )d t=(27t-0.45t 2)|030=405(m). 答案:A5.已知某物体从A 处向B 处运动的速度为1.4t m/s(t 为运动的时间),到B 处时的速度为35 m/s,则A ,B 间的距离为( ) A .120 m B .437.5 m C .360 m D .480 m解析:因为从A 处到B 处所用的时间为25 s,所以|AB|=∫ 2501.4t d t=0.7t 2|025=437.5(m). 答案:B6.∫ 4-2e |x|d x 的值等于( ) A.e 4-e -2 B.e 4+e 2 C.e 4+e 2-2D.e 4+e -2-2解析:∫ 4-2e |x|d x=∫ 0-2e -x d x+∫ 40e x d x=-e -x |-20+e x |04=-(1-e 2)+(e 4-1)=e 4+e 2-2.答案:C7.设a>0,若曲线y=√x 与直线x=a ,y=0所围成封闭图形的面积为a 2,则a=( ) A.49B.29C.23D.解析:由已知得S=∫ a0√x d x=23x 32|0a =23a 32=a 2,所以a 12=23,所以a=49. 答案:A8.已知f (a )=∫ 10(3a 2x 2-2ax )d x ,则f (a )的最小值是( )A.-1B.1C.14D.-14解析:f (a )=∫ 10(3a 2x 2-2ax )d x=(a 2x 3-ax 2)|01 =a 2-a=(a -12)2−14.当a=12时,f (a )取得最小值-14. 答案:D 9.如图所示的阴影部分的面积为 ( )A.2√3B.9-2√3C.323 D.353解析:阴影部分的面积S=∫ 1-3(3-x 2-2x )d x=(3x -13x 3-x 2)|-31=323.答案:C10.由曲线y=x 2-2x 与直线x=1,x=3及x 轴所围成的图形的面积为( ) A.2B.83C.43D.23解析:∫ 31|x 2-2x|d x=∫ 21[-(x 2-2x )]d x+∫ 32(x 2-2x )d x=(-13x 3+x 2)|12+(13x 3-x 2)|23=23+43=2. 答案:A11.已知某物体在变力F (x )=5-x 2(力的单位:N,位移的单位:m)作用下,沿与F (x )成30°方向做直线运动,则由x=1运动到x=2时,F (x )做的功为( ) A .√3 J B .2√33 JC .4√33 JD .2√3 J由于F (x )与位移方向成30°角,如图.F 在位移方向上的分力F'=F ·cos 30°,所以W=∫ 21(5-x 2)·cos 30°d x=√32∫ 21(5-x 2)d x=√32(5x -13x 3)|12=√32×83=4√33(J).答案:C12.将由曲线y=1x-2,x=14,x=2,y=0围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( ) A .(21-6ln 2)π B .(212-12ln2)π C .(212-6ln2)πD .(21-12ln 2)π解析:所围成的平面图形如图中阴影部分所示.所以所求体积为V=π∫ 1214(1x -2)2d x+π∫ 212(1x -2)2d x=π∫ 214(1x -2)2d x=π∫ 214(1x 2-4x +4)d x =π(-1x -4ln |x |+4x)|142=π[-12-4ln2+8-(-4-4ln 14+1)] =(212-12ln2)π. 答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.某动点P 从原点出发,沿x 轴运动,其速度v (t )=2-t (速度的正方向与x 轴的正方向一致),则当t=3时,动点P 移动的路程为 .解析:∵由v (t )=2-t ≥0,得0≤t ≤2,∴当t=3时,点P 移动的路程为s=∫ 20(2-t )d t-∫32(2-t )d t=(2t -12t 2)|02−(2t -12t 2)|23=52. 答案:5214.把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上的坐标原点处,形成一个电场,已知在该电场中,距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F=k ·qr 2(其中k 为常数)确定.在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r 轴的方向从r=a 处移动到r=b (a<b )处,则电场力对它所做的功为 .解析:W=∫ ba k ·q r 2d r=-k ·q r |ab =k (q a -qb ). 答案:k (q a -qb )15.将由曲线xy=a (a>0),x=a ,x=2a 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为 . 解析:曲线方程可改写为y=ax ,因此所求体积为V=∫ 2a a π·a 2x 2d x=-πa 2x -1|a 2a =-πa 2·12a +πa 2·1a=πa2.答案:πa216.将曲线y=sin x (x ∈(0,π))及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .解析:所求体积V=π∫ π0sin 2x d x=π∫ π1-cos2x 2d x=π(12x -14sin2x)|π0 =π[π2-14sin2π-(-14sin0)]=π22. 答案:π22三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)物体A 以速度v=3t 2+1在一条直线上运动,在此直线上与物体A 同时出发的物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v=10t 的速度与A 同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体A 走过的路程是多少?(时间单位:s,速度单位:m/s)解设A 追上B 时,所用的时间为t 0,依题意有s A =s B +5,即∫ t00(3t 2+1)d t=∫ t0010t d t+5,t 03+t 0=5t 02+5,t 0(t 02+1)=5(t 02+1),解得t 0=5 s,所以s A =5t 02+5=130 m . 18.(12分)是否存在常数a (a ≤2),使得由抛物线y=x 2-2x 及直线x=0,x=a ,y=0围成的平面图形的面积为43若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.解存在常数a 满足题意.当a ≤0时,由题意得∫ 0a (x 2-2x )d x=43,即(13x 3-x 2)|a 0=43,a 3-3a 2+4=0,解得a=-1或a=2.∵a ≤0,∴a=-1.当0<a ≤2时,由题意得∫ a0|x 2-2x|d x=∫ a0(2x-x 2)d x=43,即a 3-3a 2+4=0,解得a=-1或a=2.∵0<a ≤2,∴a=2.故存在a=-1或a=2使得由抛物线y=x 2-2x 及直线x=0,x=a ,y=0围成的平面图形的面积为43.19.(12分)设两条抛物线y=-x 2+2x ,y=x 2所围成的图形为M ,求: (1)M 的面积;(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.如图.(1)解方程组{y =-x 2+2x ,y =x 2,得x 1=0,x 2=1,交点坐标为(0,0),(1,1).M 的面积为S=∫ 10[(-x 2+2x )-x 2]d x=∫ 10(-2x 2+2x )d x=(-2×13x 3+x 2)|01=13. (2)旋转体的体积为V=π∫ 10[(-x 2+2x )2-(x 2)2]d x =π∫ 10(-4x 3+4x 2)d x=π(-x 4+43x 3)|01=π3. 20.(12分)如图,直线l 与抛物线y=x 2相交于A ,B 两点,AB 与抛物线所围成的图形的面积恒等于43,求线段AB 的中点P 的轨迹方程.解设抛物线y=x 2上的两点为A (a ,a 2),B (b ,b 2)(a<b ),l 与抛物线所围成的图形的面积为S ,则S=∫ b a [(a+b )x-ab-x 2]d x=(a+b 2x 2-abx -13x 3)|a b =16(b-a )3=43,得b=a+2. 设线段AB 的中点为P (x ,y ), 则x=a+b 2,y=a 2+b22,即{x =a +1,y =a 2+2a +2,消去a ,得y=x 2+1,即为点P 的轨迹方程. 21.(12分)如图,在某一温度下,直径为0.2 m,高为0.8 m 上端为活塞的圆柱体内某气体的压强P (单位:N/m 2)与体积V (单位:m 3)的函数关系式为P=80V ,而正压力F (单位:N)与压强P 的函数关系为F=PS ,其中S (单位:m 2)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半(开始活塞处于圆柱顶端),求活塞克服气体压力所做的功.解设活塞运动的距离为x m,则活塞受到的压强为P=80V =800.01π(0.8-x ), 从而活塞受到的压力为 F=PS=800.01π(0.8-x )×0.01π=800.8-x . 所以活塞克服气体压力所做的功为W=∫ 0.40800.8-x d x=[-80ln(0.8-x )]|00.4=80ln 2(J), 故活塞克服气体压力所做的功为80ln 2 J . 22.(12分)如图,已知抛物线y 2=x.(1)求抛物线上过点(-1,0)的切线方程; (2)求抛物线与(1)中的切线围成的图形的面积; (3)求将(2)中的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0),由y=±√x ,得y'=±2√x.则抛物线y 2=x 在点(x 0,y 0)处的切线方程为y-y 0=±2√x (x-x 0).因为切线过点(-1,0),所以-y 0=±2√x (-1-x 0).又y 02=x 0,由{-y 0=2√x -1-x 0),y 02=x 0,解得{x 0=1,y 0=1或{x 0=1,y 0=-1.所以切线方程为y=±12(x+1).(2)抛物线y 2=x 与直线x=1围成的图形的面积S 1=2∫ 10√x d x=2×23x 32|01=43.两条切线与直线x=1围成的图形的面积为S 2=12×2×2=2.故所求面积为S 2-S 1=2-43=23.(3)抛物线y 2=x 与直线x=1围成的图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为V 1, 所以V 1=π∫ 10x d x=π·12x 2|01=π2. 两条切线与直线x=1围成的图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V 2=13π×12×2=2π3. 所以所求体积为V=V 2-V 1=2π3−π2=π6.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：4
3.2 简单几何体的体积1.将由曲线y=√x ,直线y=0,x=1围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( )A .1B .12C .πD .π2 解析:所求体积为V=π∫ 10(√x )2d x=π∫ 10x d x=12πx 2|01=π2. 答案:D2.将由曲线y=√4-x 2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得球的体积是( )A .64π3B .10πC .32π3D .11π解析:∵4-x 2≥0,∴-2≤x ≤2.V=∫ 2-2π(4-x 2)d x=π(∫42-2d x -∫2-2x 2dx) =π(4x |-22-13x 3|-22)=32π3. 答案:C3.将由曲线y=3x ,x+y=4围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 . 解析:由图知V=π∫ 31[(4-x )2-(3x )2]d x =π[13(x -4)3+9x ]|13=8π3. 答案:8π34.将由曲线y=√x 3及y=x 2所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积V= .解方程组{y =√x 3,y =x 2,得交点为O (0,0),A (1,1). 所求体积为两个旋转体的体积之差.V=π∫ 10(√x 3)2d x-π∫ 10(x 2)2d x=π(35x 53)|01-π(15x 5)|01 =π×35-π×15=2π5.答案:2π55.将由曲线y=2x 2+1,直线x=1,x=2及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为 .解析:V=π∫ 21(2x 2+1)2d x=π∫ 21(4x 4+4x 2+1)d x=π·(45x 5+43x 3+x)|12=527π15. 答案:6.若将由直线y=x+2和x=a (a>0)以及坐标轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得圆台的体积为56π3,则a 的值为 .解析:∵V=π∫ a 0(x+2)2d x=π∫ a0(x 2+4x+4)d x=π·(13x 3+2x 2+4x)|0a=π·(13a 3+2a 2+4a)=56π3, ∴a 3+6a 2+12a=56,即(a+2)3=64,解得a=2.答案:2★7.将由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)与直线y=±b 围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积为 .解析:由x 2a 2−y 2b 2=1,得y 2=b 2(x 2a 2-1).当y=b 时,x=±√2a.所以所求几何体的体积为V=πb 2·2√2a-2π∫ √2a ab 2(x 2a 2-1)d x =2√2πab 2-2πb 2·(x 33a 2-x)|a √2a=2√2πab 2-2πb 2·2-√23a=[2√2-2(2-√2)3]πab 2=8√2-43πab 2. 答案:8√2-43πab 28.计算由直线y=0和曲线y=x 2-6x+5围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(π≈3.14,结果精确到0.01)解由题意知所围成的平面图形如图中阴影部分所示,则将其绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V=∫ 51π(x 2-6x+5)2d x=π∫ 51(x 2-6x+5)2d x=π∫51(x4-12x3+46x2-60x+25)d x=π(15x5-3x4+463x3-30x2+25x)|15≈107.18.★9.将由直线y=x和曲线y=x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周,求所得旋转体的体积.解直线y=x和曲线y=x2所围成的平面图形如图中阴影部分所示.易知两个图像的交点为(0,0),(1,1),所以将该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V=π∫10(x2-x4)d x=π(13x3-15x5)|1=2π15.。
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2.2 分析法1.已知a ,b 是不相等的正数,x=√a+√b √2,y=√a +b ,则x ,y 的关系是( ) A.x>y B.x<y C.x>√2yD.不确定 解析:∵x>0,y>0,∴要比较x ,y 的大小,只需比较x 2,y 2的大小,即比较a+b+2√ab 2与a+b 的大小. ∵a ,b 为不相等的正数,∴2√ab <a+b. ∴a+b+2√ab 2<a+b ,即x 2<y 2.故x<y.答案:B2.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:若a>b>c ,且a+b+c=0,求证:√b 2-ac <√3a 索的因应是( )A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b )(a-c )>0D.(a-b )(a-c )<0解析:要证√b 2-ac <√3a ,只需证b 2-ac<3a 2.∵b=-(a+c ),∴只需证(a+c )2-ac<3a 2.即只需证c 2+ac<2a 2,即只需证(c+2a )(c-a )<0.∵c=-a-b ,∴只需证(a-b )(c-a )<0.即只需(a-b )(a-c )>0,故选C .答案:C3.若x ,y 为正实数,且√x +√y ≤a √x +y 恒成立,则a 的最小值是( )A.2√2B.√2C.2D.1解析:∵x ,y 为正实数,∴要使√x +√y ≤a √x +y 恒成立,只需a ≥√x+√y√x+y 恒成立.∵(√x+√y √x+y )2=x+y+2√xy x+y =1+2√xy x+y ≤2,当且仅当x=y 时,等号成立,∴√x+√y√x+y ≤√2.故a ≥√2.答案:B 4.已知x ,y 为正实数,当x 2+y 2= 时,有x √1-y 2+y √1-x 2=1. 解析:要使x √1-y 2+y √1-x 2=1,只需x 2(1-y 2)=1+y 2(1-x 2)-2y √1-x 2,即2y √1-x 2=1-x 2+y 2.只需(√1-x2-y)2=0,即√1-x2=y,故x2+y2=1.答案:15.设n∈N,a=√n+4−√n+3,b=√n+2−√n+1,则a,b的大小关系是.解析:要比较√n+4−√n+3与√n+2−√n+1的大小,即判断(√n+4−√n+3)-(√n+2−√n+1)=(√n+4+√n+1)-(√n+3+√n+2)的符号.∵(√n+4+√n+1)2-(√n+3+√n+2)2=2[√(n+4)(n+1)−√(n+3)(n+2)]=2(√n2+5n+4−√n2+5n+6)<0,∴√n+4−√n+3<√n+2−√n+1.答案:a<b6.若不等式(-1)n a<2+(-1)n+1n对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是.解析:当n为偶数时,a<2-1n.∵2-1n ≥2-12=32,∴a<32.当n为奇数时,a>-2-1n.∵-2-1n<-2,∴a≥-2.综上可得-2≤a<32.答案:[-2,32)7.已知a,b为正实数,求证:√b√a≥√a+√b.证明要证明a√b +b√a≥√a+√b,只要证明a√a+b√b≥√ab(√a+√b),即证明(a+b-√ab)(√a+√b)≥√ab(√a+√b).因为a,b为正实数,所以只要证明a+b-√ab≥√ab.即证明a+b≥2√ab.当a,b为正实数时,a+b≥2√ab显然成立,当且仅当a=b时,等号成立,故a√b +b√a≥√a+√b.8.已知a>0,b>0,1b −1a>1.求证:√1+a>√1-b.证明由题意知1-b>0,要证明√1+a >√1-b 成立,只需证明1+a>11-b ,只需证明(1+a )(1-b )>1,即证明1-b+a-ab>1,即证明a-b>ab.∵a>0,b>0, ∴只需证明a -b ab >1,即1b −1a >1.由已知知1b −1a >1成立,故√1+a >1√1-b 成立.★9.已知a ,b ,c 均为大于1的正数,且ab=10,求证:log a c+log b c ≥4lg c. 证明由a>1,b>1,知要证明log a c+log b c ≥4lg c ,只需证明lga+lgblgalgb ·lg c ≥4lg c.因为c>1,所以lg c>0,即只需证明lga+lgblgalgb ≥4.又因为ab=10,所以lg a+lg b=1,即只需证明1lgalgb ≥4.(*) 由于a>1,b>1,则lg a>0,lg b>0,所以0<lg a lg b ≤(lga+lgb2)2=(12)2=14,当且仅当lg a=lg b=12时,取等号.即(*)式成立,故原不等式成立.。
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为
.
解析:
在同一平面直角坐标系中作出函数 y=x2 与
y=x 的图像如图,所围成的封闭图形如图中阴
影部分,设其面积为 S.由
������ = ������2, 得 ������ = ������,
������ ������
Hale Waihona Puke = =0, 0或
������ = 1, ������ = 1.
故所求面积 S=
1 0
������(������)d������, 则
1 0
������(������)d������ = (
)
A.-1
1
B.− 1 C. 1 D. 1
33
1
1
1
解析: ∵ ������(������)d������ = ������2d������ + 2 ������ (������)d������ d������
5π 6
,
故选A.
答案:A
1 2 3 4 567 8
知识建构
综合应用
真题放送
3(2014·湖北高考)若函数 f(x),g(x)满足
1 -1
������(������)������(������)d������ = 0,
则称������(������), ������(������)为区间[−1,1]上的一组正交函数. 给出三组函数:
0
0
0
0
=
1 3
������3|01
+
2
1
������ (������)d������
0
������|10
=
1 3
+
2
1 0
高中数学北师大版选修2-2练习章末综合测评4 Word版含答案
章末综合测评(四) 定积分
(时间分钟，满分分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )
【解析】由定积分的几何意义易知选项正确.
【答案】
＝( )
.－
【解析】＝－)＝.【答案】
【答案】
(－)＝( )
.－
.－
【解析】(－)
＝()－()
＝－＝×－×
＝－＝－.
【答案】
.若(－)＝－(>)，则的值为( )
或
或－
【解析】∵>，∴(－)＝)＝－，由题知－＝－，解得＝.【答案】
【答案】
.曲线＝，＝(>)绕轴旋转所得旋转体的体积为( )
π
π
π
π
【解析】＝π＝π＝π)＝π.【答案】
【答案】
.设()＝则()等于( )
【导学号：】
【解析】()＝＋
＝＋))＝.
【答案】
.由＝，＝，＝围成的曲边梯形的面积是( )
－－
【解析】所求面积为＝(－)
＝(－)＝－.
【答案】
.若＝－，且>，则的值为( )
【解析】＝(－)＝－－，故有－－＝－，解得＝.
【答案】
.若＝，＝，＝，则，，的大小关系为( )
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2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：4
§2 微积分基本定理1.∫ π0(cos x+1)d x 等于( )A.1B.0C.π+1D.π解析:∫ π0(cos x+1)d x=∫ π0cos x d x+∫ π01d x=sin x |π0+x |π0=π.答案:D2.∫ 40|x 2-2x|d x=( )A .643B .0C .8D .16解析:∵f (x )=|x 2-2x|={2x -x 2,0≤x ≤2,x 2-2x ,2<x ≤4,∴∫ 40|x 2-2x|d x=∫ 20(2x-x 2)d x+∫ 42(x 2-2x )d x=(x 2-13x 3)|02+(13x 3-x 2)|24=8.答案:C3.若∫ a 1(2x +1x )d x=3+ln 2,则a 的值是( )A.6B.4C.3D.2解析:∫ a 1(2x +1x )d x=∫ a 12x d x+∫ a 11x d x=x 2|1a +ln |x||1a=a 2-1+ln a=3+ln 2.故a=2.答案:D4.若f (x )={f (x -5)(x >0),2x +∫cos π603tdt (x ≤0),则f (2 015)等于 ( ) A.1 B.2 C.43 D.53解析:∫ π60cos 3t d t=sin3t3|0π6=13,f (2 015)=f (0)=20+13=43.答案:C5.已知f (x )是一次函数,且∫ 10f (x )d x=5,∫ 10xf (x )d x=176,则f (x )的解析式为() A.f (x )=4x+3 B.f (x )=3x+4C.f (x )=-4x+2D.f (x )=-3x+4解析:设f(x)=ax+b(a≠0),则∫10f(x)d x=∫1(ax+b)d x=(12ax2+bx)|01=12a+b=5,①∫1 0xf(x)d x=∫1(ax2+bx)d x=(13ax3+12bx2)|01=13a+12b=176.②联立①②,解得a=4,b=3,故f(x)=4x+3.答案:A6.∫π20sin2x2d x等于()A.π4B.π2-1 C.2 D.π-24解析:∫π20sin2x2d x=∫π21-cosx2d x=12(x-sin x)|π2=π-24.答案:D7.∫2(3x2+k)d x=10,则k=.解析:∫2(3x2+k)d x=(x3+kx)|02=10,则k=1.答案:18.∫422x ln 2d x=.解析:∫422x ln 2d x=2x|24=24-22=12.答案:129.若f(x)在R上可导,f(x)=x2+2f'(2)x+3,则∫3f(x)d x=.解析:∵f'(x)=2x+2f'(2),∴f'(2)=4+2f'(2).∴f'(2)=-4.∴f(x)=x2-8x+3.∴∫30f(x)d x=∫3(x2-8x+3)d x=(13x3-4x2+3x)|3=-18.答案:-1810.求下列定积分:(1)∫a-a√x2d x(a>0);(2)∫21(t+2)d x.分析(1)利用定积分的性质和微积分基本定理求值,但要根据积分变量的范围,用好被积函数的解析式.(2)在求被积函数的原函数时,要注意积分变量是x,而不是t.解(1)由√x 2={x , x ≥0,-x ,x <0,得∫ a -a √x 2d x=∫ a 0x d x+∫ 0-a (-x )d x=12x 2|0a −12x 2|-a 0=a 2. (2)∫ 21(t+2)d x=(tx+2x )|12=(2t+4)-(t+2)=t+2. ★11.已知f (a )=∫ 10(2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值.解由题意知f (a )=∫ 10(2ax 2-a 2x )d x =(23ax 3-12a 2x 2)|01=23a-12a 2. ∴f (a )=23a-12a 2=-12(a -23)2+29.∴当a=23时,f (a )max =29.★12.如图,直线y=kx 分抛物线y=4x-x 2与x 轴所围平面图形为面积相等的两部分,求k 的值. 解抛物线y=4x-x 2与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=0,x 2=4,所以抛物线与x 轴所围平面图形的面积S=∫ 40(4x-x 2)d x=(2x 2-x 33)|04=32-643=323. 抛物线y=4x-x 2与直线y=kx 的两个交点的横坐标分别为x 3=0,x 4=4-k ,所以S 2=∫ 4-k 0(4x-x 2)d x-∫ 4-k 0kx d x =∫ 4-k 0(4x-x 2-kx )d x=(4-k 2x 2-x 33)|04-k =16(4-k )3. 又知S=323,所以16(4-k )3=163,于是k=4-√323=4-2√43.。
2018-2019学年高中数学 模块综合检测(含解析)北师大版选修2-2
模块综合检测（时间120分钟 满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第四象限解析：选Dz 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．2．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2·sin 2x 2B.y ′＝3(sin x 2)2C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：选 A y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin 2x 2，故选A.3．复数a ＋i1－i为纯虚数，则它的共轭复数是( )A ．2i B.－2i C ．iD ．－i解析：选D ∵复数a ＋i1－i＝a ＋＋－＋＝a －1＋＋a2为纯虚数，∴a －12＝0，1＋a2≠0，解得a ＝1. ∴a ＋i1－i＝i ，则它的共轭复数是－i.4. ⎠⎛0 2π|sin x |d x ＝( ) A ．0 B.1 C ．2D ．4解析：选 D ⎠⎛02π|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎠⎛π2π(－sin x )d x ＝－cos x ⎪⎪⎪0π＋cos x 0＝1＋1＋1＋1＝4.5．已知x 1>0，x 1≠1，且x n ＋1＝x n x 2n ＋3x 2n ＋1(n ∈N ＋)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n >x n ＋1C ．存在正整数n (n ≥2)，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n (n ≥2)，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：选D 命题的结论是等价于“数列{x n }是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.6．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B.202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.7．设m ＝⎠⎛01e x d x ，n ＝⎠⎛011x d x ，则m 与n 的大小关系为( )A ．m ＜n B.m ≤n C ．m ＞nD ．m ≥n解析：选C m ＝⎠⎛01e x d x ＝e x ⎪⎪⎪1＝e －1＞n ＝⎠⎛1e1xd x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝1.8.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．[－2,3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x－6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.9．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图像可以为( )解析：选C 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C.10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B.f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：选B 因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1).11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋x －x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1 f (x 2)与e x 2 f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1 f (x 2)＞e x 2 f (x 1)B ．e x 1 f (x 2)＜e x 2 (x 1)C ．e x 1 f (x 2)＝e x 2 f (x 1)D ．e x 1 f (x 2)与e x 2 f (x 1)的大小关系不确定 解析：选A 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xex，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1e x 1 ＜f x 2e x 2，所以e x 1 f (x 2)＞e x 2 f (x 1)． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z －＝________. 解析：∵(1＋i)z ＝|3－i|＝2，∴z ＝21＋i ＝－2＝1－i ，∴z －＝1＋i.答案：1＋i14．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：315．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 00016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 018个梯形数为a 2 018，则a 2 018＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝n ＋＋n ＋2＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 018＝2＋3＋4＋…＋2 020＝12×2 019×2 022＝2 019×1 011.答案：2 019×1 011三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z ＝－2＋＋2－i.(1)若复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z 1； (2)若实数a ，b 满足z 2＋az ＋b ＝1－i ，求z 2＝a ＋b i 的共轭复数． 解：由已知得复数z ＝－2＋＋2－i＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝＋＋－＋＝5＋5i 5＝1＋i.(1)复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z 1＝－1＋i.(2)因为z 2＋az ＋b ＝1－i ， 所以(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，因为a ，b ∈R ，所以a ＋b ＝1，且2＋a ＝－1， 解得a ＝－3，b ＝4，所以复数z 2＝－3＋4i ，所以z 2的共轭复数为－3－4i. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ex ＋2(x 2－3)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数y ＝f (x )的极值． 解：(1)函数f (x )＝e x ＋2(x 2－3)，则f ′(x )＝ex ＋2(x 2＋2x －3)＝ex ＋2(x ＋3)(x －1)，故f ′(0)＝－3e 2，又f (0)＝－3e 2，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＋3e 2＝－3e 2(x －0)，即3e 2x ＋y ＋3e 2＝0.(2)令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－3， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－3时，函数取极大值，极大值为f (－3)＝6e ，当x ＝1时，函数取极小值，极小值为f (1)＝－2e 3.19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，只需证明1a b ＋2＋1b a ＋2≤23， 只需证明ba ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证3b 2＋12ab ＋3a 2≤4a 2＋10ab ＋4b 2. 即证(a －b )2≥0，这显然成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23. (2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，∴2a ≤b ＋2,2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4， 这与a ＋b >4矛盾，∴af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )， 得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x ln x，则g ′(x )＝ln x －1x2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．21．(本小题满分12分)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋m (m ∈R)． (1)求f (x )的极值；(2)当m 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有三个不同的交点． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－3时，f (x )取得极大值，为27＋m ，当x ＝1时，f (x )取得极小值，为m －1.(2)画出f (x )和y ＝1的大致图像如图．由图像可以看出，要使曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有三个不同的交点， 则527＋m >1，m －1<1，所以2227<m <2， 所以满足条件的m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2227，2.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋ln(x ＋1)(a ∈R)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值点；(2)若函数f (x )在区间(0,1)上恒有f ′(x )>x ，求实数a 的取值范围；(3)已知a <1，c 1>0，且c n ＋1＝f ′(c n )(n ＝1,2，…)，证明数列{c n }是单调递增数列． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2－2x ＋ln(x ＋1)， f ′(x )＝2x －2＋1x ＋1＝2x 2－1x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝±22. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－22，22时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴函数f (x )的极大值点为x ＝－22， 极小值点为x ＝22. (2)∵f ′(x )＝2x －a ＋1x ＋1， 由f ′(x )>x ， 得2x －a ＋1x ＋1>x ， 所以a <x ＋1x ＋1(0<x <1)恒成立， 又x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1>1， ∴a ≤1.故所求实数a 的取值范围为(－∞，1]． (3)证明：(用数学归纳法证明) ①当n ＝1时，c 2＝f ′(c 1)＝2c 1－a ＋1c 1＋1， ∵c 1>0，∴c 1＋1>1，又a <1， ∴c 2－c 1＝c 1－a ＋1c 1＋1＝c 1＋1＋1c 1＋1－(a ＋1)>2－(a ＋1)＝1－a >0， ∴c 2>c 1，即当n ＝1时结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时结论成立， 即c k ＋1>c k >0， 当n ＝k ＋1时，c k ＋2－c k ＋1＝c k ＋1－a ＋1c k ＋1＋1＝c k ＋1＋1＋1c k ＋1＋1－(a ＋1)>2－(a ＋1)＝1－a >0.∴c k ＋2>c k ＋1，即当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②知数列{c n }是单调递增数列．。
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北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案模块综合测评( ： 120 分分： 150 分)一、 (本 共 12 小 ，每小5 分，共 60 分 )1． 复数 z ＝ 1＋2－)(其中 i 虚数 位 )， z 2＋ 3 z 的虚部 (iA ． 2iB ． 0C ．－ 10D ． 2解析：∵ z ＝ 1＋ 2 ＝1－ 2 2 ＝－ － 2－ i 2i ，∴ z ＝ (1－ 2i) 3－ 4i ， z ＝1＋ 2i.∴ z ＋ 3 z ＝－ 3－ 4i ＋ 3(1＋2i) ＝ 2i.∴虚部 2.答案： D2． 察一列数的特点： 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，⋯， 第 100 是 ()A ． 10B ． 13C ．14D ． 100解析： ∵ 1＋ 13 × 13＝ 91，2∴从第 92 开始 14，共有 14 ．∴第 10014.答案： C1－i2 014＋ 2i 的共 复数－－＝ ()3．已知 i 是虚数 位，且 z ＝ 1＋ i z ， z ·z A ． 5 B ． 1 C ． 5D ． 9解析： z ＝ 1－ i 2 0142i ＝ (－ i) 2 014－＝( －1＋ 2i)( － 1－ 2i) ＝5.1＋ i＋＋ 2i ＝－ 1＋ 2i ，故 z ·z答案： A4．数列 { a n } 中， a 1＝ 1，当 n ≥ 2， a n ＝ a n － 1＋ 2n － 1，依次 算 a 2 ，a 3， a 4 后，猜想a n 的表达式是 ()A ． 3n － 2B ． n 2 n －1D ． 4n －3C ．3解析： 算出 a 2＝ 4， a 3＝ 9， a 4＝16，猜想 a n ＝n 2.答案： B5． 确保信息安全，信息需加密 ， 送方由明文→密文(加密 )，接受方由密文→明文 (解密 )，已知加密 ：明文a ，b ，c ，d 密文a ＋2b ，2b ＋c ，2c ＋ 3d,4d ，例如，明文 1,2,3,4 密文 5,7,18,16.当接受方收到密文14,9,23,28 ，解密得到的明文()A ． 4,6,1,7B ． 7,6,1,4C ．6,4,1,7D ． 1,6,4,7a ＋ 2b ＝ 14，a ＝ 6，2b ＋ c ＝ 9， 得b ＝ 4，解析： 由故选 C ．2c ＋ 3d ＝23， c ＝ 1，4d ＝ 28，d ＝ 7.答案： C6． (2017 北·京卷 )若复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 ()A ． (－∞， 1)B ． (－∞，－ 1)C ．(1，＋∞ )D ． (－ 1，＋∞ )解析： (1－i)( a ＋ i) ＝ a ＋ i － ai － i 2＝ a ＋ 1＋ (1－a)i. 由复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，a ＋ 1＜ 0，得解得 a ＜－ 1.1－ a ＞ 0.答案： Bπ7π7．由直线 x ＝－ 6， x ＝ 6 ，y ＝ 0 与曲线 y ＝ sin x 所围成的封闭图形的面积为()A ． 2－ 3B ． 4－ 3C ．2＋ 3D ． 4＋ 3解析： 如下图，封闭图形的面积为πS ＝－sinxdx ＋ 0 sinxdx －sinxdxπ＝－ 2sinxdx ＋ 0 sinxdx＝－ 2( －cosx)＋ (－ cosx)|0π＝ 2 cos 0－ cos － π－ (cos π－ cos 0)6 3－ (－ 1－1)＝ 4－ 3.答案： B8．已知α，β是三次函数f(x)＝1312＋ 2bx(a，b∈R )的两个极值点，且α∈ (0,1)，β3x＋ ax2∈(1,2) ，则b－3的取值范围是 () a－ 2A ．－∞，2B．2，1 55C．(1，＋∞ )D．－∞，2∪ (1，＋∞ ) 5解析：因为函数有两个极值，所以f′ (x)＝0有两个不同的根，即>0又.f′ (x)＝ x2＋f′ 0 >0，2b>0，b－ 3的几何意义是动ax＋ 2b，α∈ (0,1)，β∈ (1， 2)，所以f′ 1 <0，即1＋ a＋2b<0，f′ 2 >0，4＋ 2a＋ 2b>0.a－ 2点 P(a，b)到定点 A(2,3)两点连线的斜率．作出可行域如图，由图像可知当直线经过AB 时斜率最小，此时斜率为 k＝1－3＝2；当直线经过AD 时斜率最大，此时斜率为k＝0－ 3＝－ 3－ 2 5－1－22 b－ 31.故5<a－2<1.答案： B9．定义在R上的函数y＝ f(x)满足 f(4 －x)＝f(x)，(x－ 2)f′ (x)<0 ，若 x1<x2，且 x1＋ x2>4，则()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝ f(x2)D． f(x1)与 f(x2)的大小不确定解析：由 f(4－ x)＝ f( x)，得函数 f(x)的图像关于直线x＝ 2 对称．由 (x－2)f′ (x)<0，得函数f(x)在 (－∞，2)上是增加的，在 (2，＋∞) 上是减少的．故当 x2>x1>2 时，f(x1)>f( x2)；当 x2>2> x1时，由 x1＋ x2>4，得 x2>4－ x1>2.故 f(4－ x1)＝ f(x1)>f(x2)．综上， f(x1)>f(x2)．答案： B范围是 ()1A ． a ≤ 0B ． a ≥－ 8 1C ．a<－ 8D ． a ≥ 0解析： 由题意，得1f ′ (x)＝2ax ＋(x>0) ，且直线 x ＋ y ＋m ＝ 0(m ∈ R )的斜率为－ 1.x由对任意实数 m 直线 x ＋ y ＋ m ＝ 0 都不是曲线 y ＝f(x)的切线，得曲线 y ＝ f(x)的切线的斜1率不可能为－ 1，即 2ax ＋ ＝－ 1 无正实数根．1 1分离 a ，得 a ＝－ 2x 2 － 2x ①，也就是当 x>0 时，①不能成立． 令 y ＝－ 11 1 1＋ 1 2 12x 2－ 2x ＝－ 2 x 2 ＋ 8 ，设 t ＝1x ，由 x>0，得 t>0.则 y ＝－ 1 t ＋ 1 2＋ 1<0.228 故 a ≥0.答案： D11．如果函数 f(x)＝a x (a x － 3a 2－1)( a>0 且 a ≠ 1)在区间 [0，＋∞ )上是增函数，那么实数a 的取值范围是 ()23， 1A ． 0， 3B ．3 C ．(1， 3]3，＋∞D ． 2 解析： 由已知得 f ′ (x)＝ 2a 2x ln a － (3a 2＋ 1)a x ·ln a ＝ a x ln a(2a x － 3a 2－ 1)≥ 0. ①当 a>1 时， ln a>0 ，a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1≥0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时，a x ≥ 1，故只需 2－ 3a 2－ 1≥0，∴ 3a 2≤ 1.∴ a2≤ 13与 a>1 矛盾．②当 0<a<1 时， ln a<0， a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1<0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时， a x ≤ 1，223故只需 2－ 3a － 1≤0，∴ 3a ≥ 1.∴ ≤ a<1.12．已知 f(x)在点 x 处可导，那么 limf x ＋x －f x － x ＝ ()x →x A ． 0B ． f ′ (x)1C ．2f ′ (x)D ． 2f ′ (x)解析： lim f x ＋ x － f x － xx →0 x＝lim f x ＋ x －f x ＋ lim f x － f x － xx →xx →x＝ f ′ (x)＋ limf x － x － f xx →－ x＝ f ′ (x)＋ f ′( x)＝ 2f ′ (x)．答案： D二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 )13．设 P 是△ ABC 内一点，△ ABC 三边上的高分别为h A ，h B ，h C ， P 到三边的距离依l al bl c次为 l a ，l b ，l c ，则有 h A ＋ h B ＋ h C ＝ ________；类比到空间，设 P 是四面体 ABCD 内一点，四 顶点到对面的距离分别是 h A ， h B ， h C ， h D ， P 到这四个面的距离依次是l a ， l b ， l c ， l d ，则有____________．解析： 用等面积法可得 l a ＋ l b ＋ l c ＝1.h A h B h C 类比到空间有 l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d＝ 1.h A h B h C h D答案： 1l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d ＝ 1h A h B h C h D2在 x ＝ 1 处的切线方程为 14．曲线 y ＝ 2ln x ＋ x － 2x解析： 当 x ＝ 1 时， y ＝－ 1.又 y ′＝ 2＋ 2x －2，于是 x__________ ．k ＝ y ′ |x ＝ 1＝ 2.故切线方程为 y ＋ 1＝2(x － 1)，即 2x － y －3＝ 0.答案： 2x － y － 3＝015．已知二次函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c 的导数为 f ′ (x)， f ′ (0)>0 ，且 f(x)的值域为 [0，＋∞ ) ，则 f 1的最小值为 ________． f ′解析： ∵ f ′(x)＝2ax ＋ b ，∴ f ′ (0) ＝ b>0.又函数 f(x)的值域为 [0，＋ ∞ )，∴ a>0 ，且 ＝ b 2－ 4ac ＝ 0，即 4ac ＝ b 2.∴ c>0.∵ f(1) ＝ a＋ b＋ c，∴f 1＝a＋ b＋ c＝1＋ a＋ c≥1＋ 2ac＝ 1＋4ac＝ 1＋1＝ 2，当且仅f′ 0b b b4ac当 a＝ c 时等号成立．∴ f 1的最小值为 2.f′ 0答案： 216．定义两个实数间的一种新运算“ *：”x* y＝ lg(10 x＋ 10y)， x， y∈R .对任意实数 a， b，c，给出下列结论：① (a*b)* c＝a*( b* c)；② a* b＝ b*a ；③ (a* b) ＋ c＝( a＋ c)*( b＋ c)．其中正确的是 ________(填序号 )．解析：∵ a* b＝lg(10 a＋ 10b)，∴(a* b)* c＝lg(10lg(10 a＋ 10b)＋ 10c)＝lg(10 a＋ 10b＋ 10c)．同理 a*( b* c)＝ lg(10 a＋ 10b＋10c)．∴a*( b*c)＝( a* b)* c.故①正确．同理可验证②正确．∵a* b＝ lg(10 a＋ 10b)，a bb* a＝lg(10 ＋ 10)，∴a* b＝ b* a.又∵ (a＋ c)*( b＋ c)＝ lg(10 a＋c＋ 10b＋c)＝lg[10 c(10a＋ 10b)]＝lg(10 a＋ 10b)＋ c，(a* b)＋ c＝ lg(10 a＋ 10b)＋ c，∴(a* b)＋ c＝(a＋c)*( b＋ c)．故③正确．答案：①②③三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)17． (10 分)求证： ac＋ bd≤a2＋b2· c2＋ d2.证明：若 ac＋ bd≤ 0，则不等式显然成立．若 ac＋bd>0 ，要证原不等式成立，22222只要证 (ac＋bd)≤ (a＋b)(c＋ d )，即要证 a2c2＋ 2abcd＋ b2d2≤ a2c2＋ a2d2＋ b2c2＋ b2d2，只要证 (ad－ bc)2≥ 0.此式显然成立，所以原不等式成立．－18．(12 分 )设复数 z 满足 4z＋2 z ＝ 3 3＋ i ，ω＝sin θ－ icos θ(θ∈R)．求 z 的值和 |z－ω| 的取值范围．－解：设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z ＝ a－ bi.－代入 4z ＋2 z ＝ 33＋ i ，得 4(a ＋ bi) ＋ 2(a － bi) ＝ 3 3＋ i ，即 6a ＋ 2bi ＝ 3 3＋ i.6a ＝3 3，3，a ＝ 23 ＋1i.∴解得∴ z ＝ 2b ＝1.12 2b ＝ 2.∴ |z － ω|＝3 12＋ i － sin θ－ icos θ2＝3－ sin θ2＋ 12＋ cos θ22＝ 2－ 3sin θ＋ cos θ＝2－2sinθ－ π .6π∵－ 1≤ sin θ－ 6 ≤ 1，π∴ 0≤ 2－ 2sin θ－ 6 ≤ 4.∴ 0≤ |z －ω|≤2.故 |z － w|的取 范 是 [0,2] ．19． (12 分)已知复数 z ＝ (2x ＋ a)＋ (2－x ＋ a)i ， x ， a ∈ R ，当 x 在 (－∞，＋∞ )内 化 ，求 |z|的最小g(a)．解： |z|2＝ (2x ＋a) 2＋ (2 － x＋ a) 2＝ 22x ＋2 － 2x－ x＋ 2a(2x ＋2 )＋ 2a 2.令 t ＝ 2x ＋ 2－ x ， t ≥ 2,22x ＋ 2－2x ＝ t 2－ 2.从而 |z|2＝ t 2＋ 2at ＋ 2a 2－ 2＝ (t ＋ a)2＋ a 2－ 2.当－ a ≥ 2，即 a ≤ － 2 ， g(a)＝a 2－ 2；当－ a<2 ，即 a>－ 2 ，g(a)＝ a ＋ 2 2＋ a 2－ 2＝ 2|a ＋ 1|.20． (12 分)用数学 法 明不等式：2＋ 1× 4＋ 1×⋯× 2n ＋ 124 2n > n ＋ 1.明： ①当 n ＝1 ，左式＝ 3，右式＝2，2左式 >右式，所以不等式成立．②假 n ＝ k(k ≥ 1， k ∈ N ＋ ) 不等式成立，2＋ 1 4＋ 1 2k ＋ 1即2×4×⋯×2k >k ＋ 1，当 n ＝ k ＋ 1 ，2＋ 1×4＋ 1×⋯× 2k ＋ 1× 2k ＋32k ＋ 3 ＝ 2k ＋ 3 .2 42k 2 k ＋1 > k ＋1×2 k ＋ 12 k ＋ 1 要 当 n ＝ k ＋ 1 不等式成立，只需2k ＋3≥k ＋ 2，2 k ＋ 1即2k ＋ 3≥ k ＋1 k ＋ 2 .2由基本不等式 2k ＋ 3＝ k ＋ 1 ＋ k ＋ 2 ≥k ＋ 1 k ＋ 2 成立，故2k ＋ 3≥ k ＋ 2成立．222 k ＋ 1所以，当 n ＝ k ＋1 ，不等式成立．由①②可知， n ∈ N2＋1 4＋ 12n ＋ 1，不等式2 ×4×⋯×2n> n ＋ 1成立．＋21． (12 分 )已知函数 f(x) ＝x 3 ＋2bx 2＋ cx － 2 的 像在与x 交点 的切 方程是y ＝ 5x－10.(1)求函数 f(x)的解析式．(2) 函数 g(x)＝ f(x)＋1mx ，若 g( x)的极 存在， 求 数 m 的取 范 以及函数 g(x)取得3极 的自 量 x 的 ．解： (1)由已知得切点(2,0)，故有 f(2) ＝ 0，即 4b ＋ c ＋ 3＝0.①又 f ′ (x)＝ 3x 2＋ 4bx ＋ c ，由已知 f ′(2) ＝ 12＋ 8b ＋ c ＝5，得 8b ＋ c ＋ 7＝ 0.②立①②，解得b ＝－ 1，c ＝ 1.所以函数的解析式f(x) ＝x 3 －2x 2＋ x － 2.(2)g( x)＝ x 3－ 2x 2＋ x －2＋ 1mx ，3 21令 g ′ (x)＝ 3x －4x ＋1＋ m ＝ 0.3当函数有极 ，方程3x 2－ 4x ＋ 1＋ 1m ＝ 0 有 数解，即 Δ≥ 0.3由 ＝ 4(1－ m)≥ 0，得 m ≤ 1.①当 m ＝1 ， g ′ (x)＝ 0 有 数根 x ＝ 2，在 x ＝2左右两 均有g ′ (x)>0 ，故函数 g(x)33无极 ．②当 m<1 ， g ′ (x)＝ 0 有两个 数根x 1 ＝1 (2－ 1－ m)， x 2＝ 1(2＋ 1－ m)．33当 x 化 ， g ′( x)， g(x)的情况如下表：x (－∞， x 1) x 1(x 1，x 2) x 2( x 2，＋∞ )g′ (x)＋0－0＋g(x)极大值极小值所以当 m∈ (－∞， 1)时，函数g(x)有极值，1当x＝3(2 － 1－m)时， g(x)有极大值；当x＝13(2 ＋ 1－m)时， g(x)有极小值．22．(12 分 )(2014 浙·江高考 )已知函数 f(x)＝ x3＋ 3|x－ a|(a>0)，将 f(x)在 [－ 1,1] 上的最小值记为 g(a)．(1)求 g(a)．(2)证明：当x∈ [ － 1,1] 时，恒有f(x)≤ g(a)＋ 4.(1)解：因为 a>0 ，－ 1≤ x≤ 1，所以①当 0<a<1 时，若x∈ [－ 1， a]，则 f(x)＝x3－ 3x＋ 3a，f′ (x)＝3x2－3<0.故 f(x) 在(－ 1， a)上是减函数．若x∈ [a,1]，则 f(x)＝ x3＋ 3x－3a，f′ (x)＝3x2＋3>0.故f(x) 在(a,1)上是增函数．所以 g(a)＝ f(a)＝ a3.②当 a≥ 1 时，有 x≤ a，则f(x) ＝x3－ 3x＋ 3a， f′ (x)＝ 3x2－ 3<0.故f(x) 在(－ 1,1)上是减函数，所以 g(a)＝ f(1)＝－ 2＋ 3a.a3 0<a<1 ，综上， g(a)＝－2＋ 3a a≥ 1 .(2)证明：令 h( x)＝ f(x)－ g(a)．①当 0<a<1 时， g( a) ＝ a3 .若x∈ [a,1]，则 h(x)＝x3＋3x－ 3a－a3，h′ (x)＝ 3x2＋ 3，在 (a,1)上是增函数．所以 h(x)在 [a,1]上的最大值是 h(1) ＝ 4－ 3a－ a3 .因为 0< a<1，所以 h(1)≤4.故f(x) ≤g( a)＋4.若x∈ [－ 1， a]，则 h(x)＝ x3－ 3x＋ 3a－ a3，h′ (x)＝ 3x2－ 3，在 ( －1， a)上是减函数．所以 h(x)在 [ － 1，a] 上的最大值是h(－ 1)＝ 2＋3a－ a3.9北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案知t(a) 在(0,1)上是增函数，所以 t(a)<t(1)＝ 4，即 h(－ 1)<4.故f(x) ≤g( a)＋4.②当 a≥ 1 时， g(a)＝－ 2＋ 3a，故h(x)＝ x3－ 3x＋ 2，得 h′ (x)＝ 3x2－ 3.此时 h(x)在 (－ 1,1)上是减函数．因此 h(x)在 [ － 1,1] 上的最大值是h(－ 1)＝ 4.故f(x) ≤g( a)＋4.综上，当 x∈ [ － 1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.10。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：4
§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积1.在下面所给图形中阴影部分的面积S 及相应的表达式中,正确的有( ) A.①③ B.②③C.①④D.③④解析:①应是S=∫ ba [f (x )-g (x )]dx ,②应是S=∫ 802√2x d x-∫ 84(2x-8)d x ,③和④正确.故选D .答案:D2.由曲线y=x 2与直线x+y=2所围成的图形的面积为 ( )A.72B.4C.92D.5解析:由{y =x 2,x +y =2,得交点坐标为(-2,4)和(1,1).则所求图形的面积为 S=∫ 1-2(2-x )d x-∫ 1-2x 2d x=(2x -12x 2)|-21−13x 3|-21=32+6-3=92.答案:C3.由y=sin x 及y=-sin x 在区间[0,π]上所围成的图形的面积为( ) A.2B.πC.2πD.4解析:所围成图形的面积为S=∫ π0[sin x-(-sin x )]d x=2∫ π0sin x d x =2(-cos x )|π0=2(-cos π+cos 0)=4.答案:D4.由曲线y=x 2+2x ,直线x=-1,x=1及x 轴所围成的图形的面积为( )A.83B.2C.43D.23解析:S=∫ 0-1(-x 2-2x )d x+∫10(x 2+2x )d x=(-13x 3-x 2)|-10+(13x 3+x 2)|01=2. 答案:B5.若两条曲线y=x 2与y=cx 3(c>0)围成的图形的面积是23,则c 等于( ) A .13B .12C .1D .23解析:由{y =x 2,y =cx 3,得x=0或x=1c . ∵0<x<1c 时,x 2>cx 3,∴曲线围成的图形的面积S=∫ 1c 0(x 2-cx 3)d x=(13x 3-14cx 4)|1c =13c 3−14c 3=112c 3=23.∴c 3=18.∴c=12.答案:B6.由抛物线y=x 2-x ,直线x=-1及x 轴围成的图形的面积为( ) A .23B .1C .43D .53解析:所求的面积S=∫ 0-1(x 2-x )d x+∫ 10(x-x 2)d x=(13x 3-12x 2)|-10+(12x 2-13x 3)|01=1. 答案:B 7.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为 .解析:∫ 103x 2d x=x 3|1=1,即阴影部分的面积为1.因为长方形区域的面积为3,所以所求概率为13. 答案:13★8.由两条曲线y=x 2,y=14x 2与直线y=1围成的平面区域的面积是 .解析:如图,y=1与y=x 2交于点A (1,1),C (-1,1);y=1与y=x 24交于点B (2,1),D (-2,1).由对称性可知所求面积S=2(∫10x 2dx+∫121d x -∫2014x 2dx)=43.答案:439.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.如图,所求面积S=A 1+A 2,解方程组{y 2=2x ,y =4-x ,得交点坐标为(2,2),(8,-4).A 1部分:由y=√2x ,y=-√2x ,x=2,x=0围成, 所以A 1=∫ 20[√2x -(-√2x )]d x =2√2∫ 20x 12d x=2√2·23x 32|02=163. A 2部分:由y=4-x ,y=-√2x ,x=2和x=8围成, 所以A 2=∫ 82[4-x-(-√2x )]d x =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383. 故S=163+383=18.★10.设点P 在曲线y=x 2上,且从原点向点A (2,4)移动,如果直线OP ,曲线y=x 2及直线x=2所围成的两部分图形的面积分别记为S 1,S 2. (1)当S 1=S 2时,求点P 的坐标;(2)当S 1+S 2有最小值时,求点P 的坐标和最小值.(1)设点P 的横坐标为t (0<t<2),则点P 的坐标为(t ,t 2),直线OP 的方程为y=tx.S 1=∫ t0(tx-x 2)d x=16t 3, S 2=∫ 2t (x 2-tx )d x=83-2t+16t 3.因为S 1=S 2,所以t=43,点P 的坐标为(43,169). (2)由(1)知S=S 1+S 2=16t 3+83-2t+16t 3=13t 3-2t+83,S'=t 2-2. 令S'=0,得t 2-2=0. 因为0<t<2,所以t=√2.当0<t<√2时,S'<0;当√2<t<2时,S'>0, 所以当t=√2时,S 有最小值83−4√23, 此时点P 的坐标为(√2,2).。
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第四章检测
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.由三条直线x=1,x=3,y=2x+5和一条曲线y=x2所围成的图形的面积可表示为()
A.(2x+5+x2)d x
B.(2x+5-x2)d x
C.(x2-2x-5)d x
D.(x2-2x+5)d x
答案:B
2.定积分(2x+e x)d x的值为()
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e-1
解析:因为(x2+e x)'=2x+e x,所以(2x+e x)d x=(x2+e x)=(1+e1)-(0+e0)=e.
答案:C
3.已知f(x)=f(x)d x的值为()
A. B. C. D.-
答案:B
4.已知一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v(t)=27-0.9t(速度的单位:m/s),则列车刹车后前进多少米才能停车()
A.405 m
B.540 m
C.810 m
D.945 m
解析:令v(t)=27-0.9t=0,则t=30,所以列车刹车30 s后可停车,列车由开始刹车到停车所走过的路程为
s=v(t)d t=(27-0.9t)d t=(27t-0.45t2)=405(m).
答案:A
5.已知某物体从A处向B处运动的速度为1.4t m/s(t为运动的时间),到B处时的速度为35 m/s,则A,B 间的距离为()
A.120 m
B.437.5 m
C.360 m
D.480 m
解析:因为从A处到B处所用的时间为25 s,所以|AB|=1.4t d t=0.7t2=437.5(m).
答案:B
6.e|x|d x的值等于()
A.e4-e-2
B.e4+e2
C.e4+e2-2
D.e4+e-2-2
解析:e|x|d x=e-x d x+e x d x=-e-x+e x=-(1-e2)+(e4-1)=e4+e2-2.
答案:C
7.设a>0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=()
A. B. C. D.
解析:由已知得S=d x==a2,所以,所以a=.
答案:A
8.已知f(a)=(3a2x2-2ax)d x,则f(a)的最小值是()
A.-1
B.1
C.
D.-
解析:f(a)=(3a2x2-2ax)d x=(a2x3-ax2)
=a2-a=.
当a=时,f(a)取得最小值-.
答案:D
9.
如图所示的阴影部分的面积为()
A.2
B.9-2
C.
D.
解析:阴影部分的面积S=(3-x2-2x)d x
=.
答案:C
10.由曲线y=x2-2x与直线x=1,x=3及x轴所围成的图形的面积为()
A.2
B.
C.
D.
解析:|x2-2x|d x=[-(x2-2x)]d x+(x2-2x)d x==2.
答案:A
11.已知某物体在变力F(x)=5-x2(力的单位:N,位移的单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向做直线运动,则由x=1运动到x=2时,F(x)做的功为()
A. J
B. J
C. J
D.2 J
由于F(x)与位移方向成30°角,如图.F在位移方向上的分力F'=F·cos 30°,
所以W=(5-x2)·cos 30°d x=(5-x2)d x=(J).
答案:C
12.将由曲线y=-2,x=,x=2,y=0围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为()
A.(21-6ln 2)π
B.π
C.π
D.(21-12ln 2)π
解析:所围成的平面图形如图中阴影部分所示.
所以所求体积为V=πd x+πd x
=πd x
=πd x
=π
=π
=π.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.某动点P从原点出发,沿x轴运动,其速度v(t)=2-t(速度的正方向与x轴的正方向一致),则当t=3时,动点P移动的路程为.
解析:∵由v(t)=2-t≥0,得0≤t≤2,∴当t=3时,点P移动的路程为s=(2-t)d t-(2-
t)d t=.
答案:
14.把一个带+q电量的点电荷放在r轴上的坐标原点处,形成一个电场,已知在该电场中,距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F=k·(其中k为常数)确定.在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r轴的方向从r=a处移动到r=b(a<b)处,则电场力对它所做的功
为.
解析:W=k·d r=-k·=k.
答案:k
15.将由曲线xy=a(a>0),x=a,x=2a及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积
为.
解析:曲线方程可改写为y=,因此所求体积为V=π·d x=-πa2x-1=-πa2·+πa2·.
答案:
16.将曲线y=sin x(x∈(0,π))及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积
为.
解析:所求体积V=πsin2x d x
=πd x=π
=π.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)物体A以速度v=3t2+1在一条直线上运动,在此直线上与物体A同时出发的物体B在物体A的正前方5 m处以v=10t的速度与A同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体A走过的路程是多少?(时间单位:s,速度单位:m/s)
解设A追上B时,所用的时间为t0,依题意有s A=s B+5,即
(3t2+1)d t=10t d t+5,+t0=5+5,t0(+1)=5(+1),解得t0=5 s,所以s A=5+5=130 m.
18. (12分)是否存在常数a(a≤2),使得由抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
解存在常数a满足题意.当a≤0时,由题意得(x2-2x)d x=,即,a3-3a2+4=0,解得a=-1
或a=2.∵a≤0,∴a=-1.当0<a≤2时,由题意得|x2-2x|d x=(2x-x2)d x=,即a3-3a2+4=0,解得a=-1或
a=2.∵0<a≤2,∴a=2.故存在a=-1或a=2使得由抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为.
19.(12分)设两条抛物线y=-x2+2x,y=x2所围成的图形为M,求:
(1)M的面积;
(2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
如图.
(1)解方程组得x1=0,x2=1,交点坐标为(0,0),(1,1).
M的面积为S=[(-x2+2x)-x2]d x=(-2x2+2x)d x=.
(2)旋转体的体积为V=π[(-x2+2x)2-(x2)2]d x
=π(-4x3+4x2)d x=π.
20.(12分)
如图,直线l与抛物线y=x2相交于A,B两点,AB与抛物线所围成的图形的面积恒等于,求线段AB的中点P的轨迹方程.
解设抛物线y=x2上的两点为A(a,a2),B(b,b2)(a<b),l与抛物线所围成的图形的面积为S,则
S=[(a+b)x-ab-x2]d x=(b-a)3=,得b=a+2.
设线段AB的中点为P(x,y),
则x=,y=,即消去a,
得y=x2+1,即为点P的轨迹方程.
21.(12分)
如图,在某一温度下,直径为0.2 m,高为0.8 m上端为活塞的圆柱体内某气体的压强P(单位:N/m2)与体
积V(单位:m3)的函数关系式为P=,而正压力F(单位:N)与压强P的函数关系为F=PS,其中S(单
位:m2)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半(开始活塞处于圆柱顶端),求活塞克服气体压力所做的功.
解设活塞运动的距离为x m,则活塞受到的压强为
P=,
从而活塞受到的压力为
F=PS=×0.01π=.
所以活塞克服气体压力所做的功为
W=d x=[-80ln(0.8-x)]=80ln 2(J),
故活塞克服气体压力所做的功为80ln 2 J.
22.(12分)
如图,已知抛物线y2=x.
(1)求抛物线上过点(-1,0)的切线方程;
(2)求抛物线与(1)中的切线围成的图形的面积;
(3)求将(2)中的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
解(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0),由y=±,得y'=±.则抛物线y2=x在点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=±(x-x0).因为切线过点(-1,0),所以-y0=±(-1-x0).
又=x0,由解得所以切线方程为
y=±(x+1).
(2)抛物线y2=x与直线x=1围成的图形的面积S1=2d x=2×.两条切线与直线x=1围成的图形的面积为S2=×2×2=2.故所求面积为S2-S1=2-.
(3)抛物线y2=x与直线x=1围成的图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为V1,
所以V1=πx d x=π·x2.
两条切线与直线x=1围成的图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V2=π×12×2=.所以所求体积为V=V2-V1=.。