第七单元 第24课时 直角三角形和勾股定理 2018届中考数学 第7单元《三角形》配套试卷(含答案)
17单元,八,下,勾股定理知识点及考题
八年级数学下册十七单元勾股定理知识点及经典考题一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证6：勾股①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等cb aHG F EDCBAa b ccbaED CBAb acbac cabcab③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。
八年级数学下册教学课件《勾股定理》(第3课时)
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C
点，则点C即为表示 13 的点.
l B 13 2
3
O 0
1
A•
2 3 C4
也可以使OA=2， AB=3，同样可
以求出C点.
探究新知
17.1 勾股定理
方法点拨
利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴 存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边 的点表示是正无理数.
解：如图所示，有8条.
一个点一个点地 找，不要漏解.
巩固练习
17.1 勾股定理
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边 长均为1，画出一个三角形的长分别为 2 、2、10 .
解：如图所示. A C
B
探究新知
17.1 勾股定理
知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折 叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3， 求AM的长.
能力提升题
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 5、10、13,求这个三
角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格
（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需 求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
探究新知
17.1 勾股定理
问题2 长为 13 的线段是直角边的长都为正整数的直角三角 形的斜边吗？
13 ?
13 ?
13 ?
1
第18讲人教版中考数学总复习《直角三角形与勾股定理》课件
（第2题）
A.2
B. 2 2
C.3
D. 3 2
知识点二 直角三角形的判定
90∘
1.有一个角为____的三角形是直角三角形.
2
2
2
+
=
2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 ， ， 满足_____________，那
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.（人教八下P34习题17.2第1题改编）下列长度的四组线段中，不能构成直角三角
形的是( D )
A.5，12，13
B.8，15，17
C.3，4，5
D.2，3，4
知识点三 勾股定理的证明及应用
1.证明勾股定理，主要根据剪拼和图形的面积关系来寻找思路.
2.勾股定理的应用，主要体现在检验垂直，测量角度、距离等.求解立体图形上
形的两边长，则可求出第三边长；若已知直角三角形的三边关系，则可设未知数，
根据勾股定理列方程求解.判断三角形是否是直角三角形，既可根据能否得到 90∘
角来判断，也可根据勾股定理的逆定理来判断.
针对训练1 如图， △ 与 △ 都是等边三角形，线段
， ， 的长是一组勾股数，且 最长.
∵ 四边形 为正方形，且 为 的中点，
∴ = = = = 4 ， = = 2 .
由勾股定理得
2 = 2 + 2 = 4 2 + 2 2 = 202 ，
2 = 2 + 2 = 2 + 2 2 = 52 ，
∵△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ = 150∘ .
八年级数学《18.1.3勾股定理》课件 人教新课标版
·
2
2、请你在数轴上作出表示 13 和 17 的点
2.如图为９乘９的正方形网格以格点为端点 你能画出一条长为10的线段吗?
6
8
3、邮递员从车站O正东1km的邮局A出发， 先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到 C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该 邮递员与邮局的距离为多少km？
C
B
OA D
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方
c
股
弦
b
a2 + b2 = c2 a2 = c2 - b2
a勾
b2 = c2 - a2
90cm
数学就在我们身边
A
?
B
120cm
C
图1中的x等于多少? 图2中的x、y、z等于多少?
2x
1
1
图1
2z 3y
x2 1 1
图2
沿着图2继续画直角三角形,还能得到那些无理数?
2z 3y
5
x2 1
6
1
图2
利用图2你们能在数轴上画出表示 5 的 点吗?请动手试一试！
怎样在数轴上画出表示 5 的点呢?
2z 3y
5
x2 1
6
1
图2
实数 一一对应 数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数
A
B
C
D
-2
-1
0
1
2
点A表示 2
点C表示 1
点B表示 2 3 7
点D表示 3
• 知道为 什么吗?
8 22+22 =8=( 8 2) 4.52-3.5 2= 8=( 8 ) 2
2018届中考全程演练《第24课时：直角三角形和勾股定理》含答案.doc
第24课时直角三角形和勾股定理屈练出高分(60 分)、选择题（每题5分，共25分）C = 90° AC= 9, BC= 12,则点C到AB的距离是（A）A36A-36【解析】在Rt^ABC中，AC= 9,BC= 12,根据勾股定理得AB= AC2 + BC21 1=15,过C作CD 丄AB,交AB 于点 D , 又&ABC=2AC• BC=• CD,••• CD二ACBC =普51冬36,则点C到AB的距离是36.故选A.3. [2017 •甘孜]如图24-2,点D在厶ABC的边AC上，将△ ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合.若BC = 5, CD = 3,则BD的长为（D）1. [2016 •节]下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，是A. 3, .4, 5C. 6, 7, 82.如图24- 1,在Rt其中能构成直角三角形的(B)B.D.1,2,2, 33, 4ABC中,c 12B-25D.3.34B. 2C. 3D. 44.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一 边与纸带的一边所在的直线成30。
角，如图24- 3,则三角板最长边的长为(D)A . 3 cm C . 3 2 cm【解析】 如答图，过点C 作CD 丄AD 于点D , ••• CD = 3.在直角三角形 ADC 中，v/ CAD = 30°,•i AC = 2CD = 2 X 3= 6.又•••三角板是有45°角的三角板, 二 AB = AC = 6,••• BC 2= AB 2 + AC 2= g + 62 = 72, ••• BC = 6 .2,故选 D.5. 直角三角形纸片的两直角边长分别为 6, 8,现将△ ABC 如图24-4那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ,贝Utan / CBE 的值是 B 近B 37 C.242 1 (8 - x)2=x【解析】：2+ &,解得 x = 7, B . 6 cm D. 6 2 cm(C)24 A.24tan / CBE =CE_4_Z BC= 6_ 24.二、填空题（每题5分，共25分）6. ［2016 内江］在厶ABC中，/ B_30° AB_ 12,AC_6,则BC_ ^3 .7.［2017凉山］已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为5 或［78. 将一副三角尺按图24- 5所示叠放在一起，若AB_14 cm,贝U阴影部分的面积是—^—Cm2【解析】•••/ B_30°,1--AC_gAB_7 cm,易证AC_ CF,1 12 1 2 49 2•••S AACF_2AC • CF_2AC _2X7 _"^(cm ).9. ［2017 •无锡］如图24-6, △ ABC中，CD 丄AB于D , E是AC的中点，若AD_ 6, DE_ 5,则CD 的长等于8 .【解析】TA ABC中，CD丄AB于D , E是AC的中点，DE _ 5,• DE _ 2AC_ 5,• AC_ 10.在直角△ ACD中，/ ADC_90°, AD_6, AC_ 10,则根据勾股定理，得CD _ ,AC2- AD2_ 102-62_ 8.10. ［2016 •图24 - 6遵义］我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图24-7①）.图24-7②由弦图变化得至叽它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1, S2, S B.若正方形EFGH的边长为2,则S+S3__工一.•••在Rt A CBD 中，CD = 5 cm, ［来源:Z。
中考数学冲刺复习课件：第21课时直角三角形和勾股定理
第21课时 直角三角形和勾股定理课时作业
一、选择题
1.(2014•黄石)如图21-1，一个矩形纸片，剪去部分后得到
一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是( C )
A．30°
B．60° C．90°
D．120°
2.如图21-2，△ABC与△ABD是直角三角形，点F是AB的中点
，若CF=8，则DF的长为( C )
第21课时 直角三角形和勾股定理
4.(2014•西宁)如图21-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30° ，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说 法错误的是( D )
A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED
提示：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠CAD=∠BAD=∠B， ∴AD=BD，AD=2CD， ∴BD=2CD， 根据已知不能推出CD=DE， 即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确．
A．49
B．25
C．13
D．1
提示：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，
则四个直角三角形的面积和是25－1=24，即4× ab=24，
即2ab=24，a2+b2=25，
则(a+b)2=25+24=49．
5.(2013•济南)如图21-5，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端
，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆
8.在△ABC中，若BC边上的中线AD= BC， 则该三角形的形状为( B )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
9.在下列选项中，已知三角形三边长，能
第七单元 第24课时 直角三角形和勾股定理 2018届中考数学学练测 ppt课件(含答案)
图24－2
考点管理 一、必知3个角是直角的三角形是直角三角形． 直角三角形的性质：
(1)直角三角形的两个锐角________ 互余 ； 一半 ； (2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的________
一半 (3)在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的______ __． 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是________ 直角 三
是斜边的一半； 在含 45°角的直角三角形中， 斜边是直角边的 2 倍．
勾股定理的应用
[2017· 绍兴]如图24－5，小巷左右两侧是竖直的墙，一架 梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶 端距离地面2.4 m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜 靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( A．0.7 m C.2.2 m B.1.5 m D.2.4 m C )
例1答图 AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴AB＝AC＝2，∵
DE 垂直平分 AB， ∴BE＝AE， ∴AE＋CE＝BC＝2 3， ∴△ACE 的周长为 AC＋AE＋CE＝AC＋BC＝2＋2 3.
如图24－4，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂 直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 ( C )
12 cm， 根据两点之间线段最短，
第3题答图
CD＝ 42＋122＝4 10≈13(cm)． 而走 D－B－C 的距离更短， 24 ∵BD＝4，BC＝ ， π ∴BD＋BC≈12(cm)．故选 B.
4．[2016· 泉州]如图24－2，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中
点，若AB＝10，则CE＝______ 5 ．
c2__． 为c，那么a2＋b2＝____
第7章 第24课时 直角三角形和勾股定理
＝356，即点C到AB的距离是356.故选A.
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3．[2018·长沙]我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道
题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲
知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里、12里、
13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500
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2．如图24-6，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方 形E的面积是 10 .
图24-6
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【解析】 根据勾股定理的几何意义，可得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为 S2，S1＋S2＝S3，于是S3＝2＋5＋1＋2＝10.
处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是( C )
A．3 4＋π
B．3 2
3 4＋π2 C. 2
D．3 4＋π2
图24-9
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【解析】
将圆柱沿AB侧面展开，得到矩形如答图，则AB＝3，BC＝
3π 2
.在Rt△
ABC中，由勾股定理，得AC＝ AB2＋BC2＝
32＋32π2＝3
4＋π2 2 .故选C.
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(3)S1＝14a2，S2＝14b2，S3＝14c2， ∵a2＋b2＝c2，∴14a2＋14b2＝14c2. ∴S1＋S2＝S3. (4)S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， ∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3. 综上，可得面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有4个． 故选D.
勾股定理-2023年新八年级数学暑假精品课(北师大版)(解析版)
勾股定理1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法；会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系；3.能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。
知识点 1 勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =−，222b c a =−， ()222c a b ab =+−.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2 勾股定理证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.考点一：一直直角三角形的两边，求第三边长例1．（2022八下·灌阳期末）在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解答】解：在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为.故答案为：D.【变式1-1】（2022八下·福州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，b＝8，则c的值是（）A．10 B．2 C．2 D．4.8【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，由勾股定理得：c＝＝10. 故答案为：A.【变式1-2】（2022八下·兴仁月考）在一个直角三角形中，斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，则另一条直角边的长为（）A．B．12 C．9 D．8【答案】D【解答】解：在直角三角形中，∵斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，∴另一条直角边的长为：.故答案为：D.【变式1-3】（2022秋•雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（）A．13 B．119 C．169 D．119或169【答案】D【解答】解：当m为直角边时，m2＝122﹣52＝119；当m为斜边时，m2＝52+122＝169．故选：D．考点二：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题例2.（2022秋•南关区校级期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（）A．7 B．5 C．25 D．1【答案】A【解答】解：∵正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，∴正方形C的面积＝3+4＝7．故选：A．【变式2-1】（2022秋•浑南区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3的值为（）A．13 B．17 C．7 D．169【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，则AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝S3，∵S1＝5，S2＝12，∴S3＝5+12＝17．故选：B．【变式2-2】（2022秋•兴庆区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，则正方形ABDE 的面积为（）A．18 B．48 C．65 D．72【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝82﹣42＝48，∴正方形ABDE的面积为48，故选：B．【变式2-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．【答案】256【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝162＝256（cm2）．故答案为：256．考点三：等面积法求直接斜边上的高问题例3.（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）A．6 B．C．D．【答案】C【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，故选：C．【变式3-1】（2022秋•杭州期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．13 D．【答案】D【解答】解：根据勾股定理可得：斜边长2＝52+122，则斜边长＝13，直角三角形面积S＝×5×12＝×13×斜边的高，解得：斜边的高＝；故选：D．【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的长；（2）AD的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝25，∵CD⊥AB，∴S，∴CD＝＝12；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD＝＝＝9，AD＝25﹣9＝16．考点四：作无理数的线段例4.（2022八上·兴平期中）如图，是直角三角形，点C在数轴上对应的数为，目，，若以点C为圆心，为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（）A．0.4 B．C．D．【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB=1，AC=3，OA=1∴，∵AC=1-（-2）=3，∴A，M之间的距离为.故答案为：C【变式4-1】（2022八上·历城期中）如图，点表示的数为，则（）A．B．-1 C．D．【答案】D【解答】解：根据题意得，如图所示，∵是等腰直角三角形，且，∴，又∵弧是以长为半径的圆的一部分，∴，∵是在数轴上原点的坐标，∴点表示的数是，即，故答案为：．【变式4-2】（2022八上·薛城期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C 均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图所示：∵AD=AB=2，∴，∴CD=；故答案为：D．【变式4-3】（2022八上·埇桥期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（）A．B．﹣1C．1D．﹣1【答案】B【解答】解：∵BD，∴BA，∴a＝﹣1，故答案为：B．考点五：勾股定理的证明例 5.勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．【解答】证明：方法一：由（1S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，又∵S正方形ABCD＝，∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，方法二：由（2）图可知：S正方形ABCD＝c2，又∵S正方形ABCD＝＝2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，方法三：由（3）图可知：S梯形ABCD＝＝+ab，又∵s梯形ABCD＝，∴，∴a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022八上·历城期中）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若，，则中间小正方形的面积是．【答案】49【解答】解：根据题意得，在中，，，且，∴，又∵，∴，即小正方形的边长是7，∴小正方形的面积为，故答案是：49．【变式5-2】（2021秋•东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D【解答】证明：∵两个全等的直角三角形如图摆放，∴∠EBA＝∠CED，∵∠EBA+∠BEA＝90°，∴∠BEA+∠CED＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BCE是直角三角形，用两种方法求梯形的面积：S梯形ABCD＝2×ab+c2，S梯形ABCD＝（a+b）2，∴2×ab+c2＝（a+b）2，化简得a2+b2＝c2．1．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．60m C．60m D．120m【答案】B【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝120m，∴AC＝＝m．故选：B2．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【答案】3【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．3．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝．【答案】1【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，∴1＝AC×PF+AB×PE，即1＝×2×PF+×2×PE，∴PE+PF＝1，故答案为：1．4．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【答案】3【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．5．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC ＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC ＝a，则S△CDE＝．【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案为：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S△ABC＝1，∴S△BEC＝；∵CD：BC＝1：3，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；故答案为：，；（3）∵BE：AB＝1：m，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S△ABC＝a，∴S△BEC＝S△ABC＝；∵CD：BC＝1：n，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，故答案为：．1．（2022八上·大田期中）直角三角形的一条直角边长是8cm，另一条直角边比斜边短2cm，则斜边长为（）A．12 cm B．15 cm C．17 cm D．20 cm【答案】C【解答】解：设直角三角形斜边为，则另一条直角边为，根据勾股定理，得：，解得：，斜边长为，故答案为：C2．（2023八上·渠县期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为﹣2，2，于点B，且.连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵点A，B表示的数分别为﹣2，2，∴，∵于点B，且.∴，∵，∴，∴，∴点E表示的实数是，故答案为：B.3．（2022八上·杏花岭期中）如图，作一个正方形，使其边长为单位长度，以表示数1的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意得：正方形对角线的长为，则点A表示的数为，故答案为：D．4．（2021八上·侯马期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是，则图中所有正方形的面积的和是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图所示，根据勾股定理可知，，，，则，则故答案为：D.5．（2022八上·泗县期中）若直角三角形的两条边长为a，b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．【答案】2或【解答】解：∵，，∴当时，且，∴，，当，是两直角边长时，则该直角三角形的斜边长；由于，当是斜边长时，则该直角三角形的斜边长为2；故答案为：2或6．（2022八上·大田期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，下列四个说法：①②③④其中正确的是.【答案】①③【解答】解∶由题意可得小正方形的边长，大正方形的边长=7，故可得，即②错误；等于大正方形斜边的平方=大正方形的面积，即①正确；小正方形的面积四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得，即③正确；根据③可得，故可得，从而可得，即④错误.综上可得①③正确，故答案为∶①③7．（2022八上·源城期中）在等腰三角形中，，，则边上的高是．【答案】8【解答】解：如图所示，过点A作于点D，，，，．故答案为：8．8．（2022八上·代县期末）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号）【答案】解：∵CD是中AB边上的高，∴△ACD和△BCD都是直角三角形.在Rt△ACD中∴，∵，∴，在Rt△BCD中，.9.（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC＝b，∴正方形ACDE的面积为b2，∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，∵∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠BAE＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠EAF+∠BAE＝90°，∴△BAE为等腰直角三角形，∴四边形ABDF的面积为：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2），∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，∴b2＝c2+（b2﹣a2），∴b2＝c2+b2﹣a2，∴a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2．10．（2022八上·太原期中）阅读与应用：下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．．如图半径画弧与数轴分别交于点，对应的数为，点．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点．拓展思考：如图中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，与按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！任务：（1）“拓展思考”中，线段的长为，的长为；点B表示的数为，点表示的数为．（2）请从A，B两题中任选一题作答．我选择题A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M，N；B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M．【答案】（1）；；；（2）解：选A题：因为，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，如图所示：选B题：∵，∴点M在数轴的负半轴；，以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后，以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求，如图所示：【解析】【解答】解：（1）记表示的数为1的点（记作C）为圆心作弧，∵圆的半径为，即，∴；；又点B，分别在原点的右侧、左侧，∴点B表示的数为，点表示的数为。
2018届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第24课时 直角三角形和勾股定理(解析版)
第24课时 直角三角形和勾股定理(60分)一、选择题(每题5分.共25分)1．[2016·毕节]下列各组数据中的三个数作为三角形的边长.其中能构成直角三角形的是(B)A. 3. 4. 5 B ．1. 2. 3 C ．6.7.8D ．2.3.42．如图24－1.在Rt △ABC 中.∠C ＝90°.AC ＝9.BC ＝12.则点C 到AB 的距离是(A)A.365 B.1225 C.94D.334【解析】 在Rt △ABC 中.AC ＝9.BC ＝12.根据勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝15.过C 作CD ⊥AB .交AB 于点D .又S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD .∴CD ＝AC ·BC AB ＝9×1215＝365.则点C 到AB的距离是365.故选A.图24－1 第2题答图3．[2017·甘孜]如图24－2.点D 在△ABC 的边AC 上.将△ABC 沿BD 翻折后.点A 恰好与点C 重合．若BC ＝5.CD ＝3.则BD 的长为(D) A ．1B ．2C ．3D ．44．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm 的矩形纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上.测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角.如图24－3.则三角板最长边的长为(D)图24－2A ．3 cmB ．6 cmC ．3 2 cmD ．62 cm图24－3 第4题答图【解析】 如答图.过点C 作CD ⊥AD 于点D . ∴CD ＝3.在直角三角形ADC 中. ∵∠CAD ＝30°. ∴AC ＝2CD ＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板. ∴AB ＝AC ＝6.∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝62＋62＝72. ∴BC ＝6 2.故选D.5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6.8.现将△ABC 如图24－4那样折叠.使点A 与点B 重合.折痕为DE .则tan ∠CBE 的值是 (C) A.247 B.73C.724D.13图24－4【解析】 在Rt △BCE 中.设CE ＝x .则BE ＝EA ＝8－x .根据勾股定理有(8－x )2＝x 2＋62.解得x ＝74.∴tan ∠CBE ＝CE BC ＝746＝724.二、填空题(每题5分.共25分)6．[2016·内江]在△ABC 中.∠B ＝30°.AB ＝12.AC ＝6.则BC ＝7．[2017·凉山]已知直角三角形两边的长分别是3和4.则第三边的长为8．将一副三角尺按图24－5所示叠放在一起.若AB ＝14 cm.则阴影部分的面积是__492__cm 2.【解析】 ∵∠B ＝30°. ∴AC ＝12AB ＝7 cm.易证AC ＝CF .∴S △ACF ＝12AC ·CF ＝12AC 2＝12×72＝492(cm 2)．9．[2017·无锡]如图24－6.△ABC 中.CD ⊥AB 于D .E 是AC 的中点.若AD ＝6.DE ＝5.则CD 的长等于__8__.【解析】 ∵△ABC 中.CD ⊥AB 于D .E 是AC 的中点.DE ＝5. ∴DE ＝12AC ＝5.∴AC ＝10.在直角△ACD 中.∠ADC ＝90°.AD ＝6.AC ＝10.则根据勾股定理.得CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8.10．[2016·遵义]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理.创制了一幅“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”(如图24－7①)．图24－7②由弦图变化得到.它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD .正方形EFGH .正方形MNKT 的面积分别为S 1.S 2.S 3.若正方形EFGH 的边长为2.则S 1＋S 2＋S 3＝__12__.图24－7【解析】 ∵八个直角三角形全等.四边形ABCD .EFGH .MNKT 是正方形. ∴CG ＝NF .CF ＝DG ＝KF . ∴S 1＝(CG ＋DG )2＝CG 2＋DG 2＋2CG ·DG ＝GF 2＋2CG ·DG .S 2＝GF 2.图24－5图24－6S 3＝(KF －NF )2＝KF 2＋NF 2－2NF ·KF ＝GF 2－2CG ·DG .∴S 1＋S 2＋S 3＝GF 2＋2CG ·DG ＋GF 2＋GF 2－ 2CG ·DG ＝3GF 2＝12. 三、解答题(共20分)11．(10分)如图24－8.在Rt △ABC 中.∠C ＝90°.∠A ＝30°.BD 是∠ABC 的平分线.CD ＝5 cm.求AB 的长．【解析】 要求的AB 在Rt △ABC 中.∠A ＝30°.故只需求BC 的长.在Rt △BCD 中.DC ＝5 cm.∠DBC ＝12∠ABC ＝30°.故可求出BD .BC 的长.从而根据AB ＝2BC 计算出结果． 解：∵在Rt △ABC 中.∠C ＝90°.∠A ＝30°. ∴AB ＝2BC .∠ABC ＝60°. ∵BD 是∠ABC 的平分线. ∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°. ∵在Rt △CBD 中.CD ＝5 cm. ∴BD ＝10 cm. ∴BC ＝5 3 cm. ∴AB ＝2BC ＝10 3 cm.12．(10分)如图24－9.Rt △ABC 中.∠C ＝90°.AD 平分∠CAB .DE ⊥AB 于E .若AC ＝6.BC ＝8.CD ＝3. (1)求DE 的长； (2)求△ADB 的面积．解：(1)在Rt △ABC 中.∠C ＝90°. ∴AC ⊥CD .又∵AD 平分∠CAB .DE ⊥AB . ∴DE ＝CD .又∵CD ＝3. ∴DE ＝3；(2)在Rt △ABC 中.∠C ＝90°.AC ＝6.BC ＝8. ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10. ∴S △ADB ＝12AB ·DE ＝12×10×3＝15.(20分)13．(6分)[2017·荆门]如图24－10.已知圆柱底面的周长为4 dm.圆柱高为2 dm.在圆柱的图24－8图24－9侧面上.过点A 和点C 嵌有一圈金属丝.则这圈金属丝的周长最小为(A)A ．4 2 dmB ．2 2 dmC ．2 5 dmD ．4 5 dm图24－10 第13题答图【解析】 如答图.把圆柱的侧面展开.得到矩形.则这圈金属丝的周长最小为2AC 的长度．∵圆柱底面的周长为4 dm.圆柱高为2 dm. ∴AB ＝2 dm.BC ＝BC ′＝2 dm. ∴AC 2＝22＋22＝4＋4＝8. ∴AC ＝2 2.∴这圈金属丝的周长最小为2AC ＝4 2 dm.14．(6分)[2016·台州]如果将长为6 cm.宽为5 cm 的长方形纸片折叠一次.那么这条折痕的长不可能是(A) A ．8 cm B ．5 2 cm C ．5.5 cm D ．1 cm【解析】 易知最长折痕为矩形对角线的长.根据勾股定理对角线长为62＋52＝61≈7.8.故折痕长不可能为8 cm.15．(8分)[2016·铜仁]如图24－11.在矩形ABCD 中.BC ＝6.CD ＝3.将△BCD 沿对角线BD 翻折.点C 落在点C ′处.BC ′交AD 于点E .则线段DE 的长为(B) A ．3 B.154 C ．5D.152【解析】 设ED ＝x . 则AE ＝6－x ； ∵四边形ABCD 为矩形. ∴AD ∥BC .∴∠EDB ＝∠DBC . 由题意得∠EBD ＝∠DBC . ∴∠EDB ＝∠EBD . ∴EB ＝ED ＝x . 由勾股定理得BE 2＝AB 2＋AE 2.即x 2＝32＋(6－x )2.解得x ＝154. ∴ED ＝154.(10分)16．(10分)[2016·潍坊]如图24－12.正△ABC 的边长为2.以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1.△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S 1；再以正△AB 1C 1边B 1C 1上的高AB 2为边作正△AB 2C 2.△AB 1C 1与△AB 2C 2公共部分的面积记为S 2.….以此类推.则__S n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n__.(用含n 的式子表示) 【解析】 ∵等边三角形ABC 的边长为2.AB 1⊥BC . ∴BB 1＝1.AB ＝2.根据勾股定理得AB 1＝ 3. ∴S 1＝12×34×(3)2＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫341； ∵等边三角形AB 1C 1的边长为 3.AB 2⊥B 1C 1. ∴B 1B 2＝32.AB 1＝ 3. 根据勾股定理得AB 2＝32.∴S 2＝12×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫342；…以此类推.S n ＝32·⎝⎛⎭⎪⎫34n .图24－12。
2018届中考数学考点直角三角形与勾股定理
2018届中考数学考点直角三角形与勾股定理课标呈现指引方向1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
2．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
考点梳理夯实基础1．直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角；【答案】互余（2）勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么；【答案】a2＋b2＝c2（3）直角三角形斜边上的中线等于；【答案】斜边的一半（4）直角三角形中，30°角所对的直角边等于．【答案】斜边的一半2．直角三角形的判定：（1）勾股定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；（2）如果三角形一边上的中线等于这边的，那么这个三角形是直角三角形．【答案】一半3．勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）…以及（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（7n，24n，25n）、（8n，15n，17n）…（n为正整数）考点精析专项突破考点一勾股定理和勾股定理的逆定理【例1】（1）（2016临沂）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为_____________．【答案】6解题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键．①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B＝90°，AF＝FC；②然后利用勾股定理列方程求出BF的长；③再用三角形面积公式求出三角形的面积．（2）（2016武汉）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝，则BD 的长为___________【答案】解题点拨：连接AC ，过点D 作BC 边上的高，交BC 延长线于点H ．在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5，又CD ＝10，DA ＝5，可知△ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°，易证△ABC ∽△CHD ．则CH ＝6，DH ＝8，从而在Rt △BHD 中易求BD ．考点二 性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用【例3】如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ．连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点．∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝3，EC ＝1．求DE 的长．解题点拨：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD ＝DG ＝3．555鼹：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD＝∠ACB∵点G为AF的中点，∴DG＝AG，∴∠GAD＝∠GDA，∴∠CGD＝2∠CAD，∵∠ACD＝2∠ACB，∴∠ACD＝∠CGD，∴CD＝DG＝3，在Rt△CED中，DE＝．考点三性质“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用【例4】(2016西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝．【答案】2解题点拨：作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD．根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．课堂训练当堂检测1．(2016南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A ．3，4，4B ．3，4，5C ．3，4，6D ．3，4，7【答案】B2．(2015滨州)如图，在直角∠O 的内部有一滑动杆AB ，当端点A 沿直线AO 向下滑动时，端点B 会随之自动地沿直线OB 向左滑动，如果滑动杆从图中AB 处滑动到处，那么滑动杆的中点C 所经过的路径是 ( )A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分第2题【答案】B3．(2016黄冈)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝ ．【答案】A B ⅱ第3题4．(2015重庆A )如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，∠BAC ＝60°，点E 是∠BAC 角平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的垂线，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF ．(1)如图1，若点H 是AC 的中点，AC ＝，求AB ，BD 的长：(2)如图1，求证：HF ＝EF ；(3)如图2，连接CF，CE ，猜想：△CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由，图1 图2第4题【答案】解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝ ∴AB ＝＝．cos ACBAC Ð2∵AD ⊥AB ．∴∠DAH ＝30°．∵点H 是AC 的中点，∴AH ＝AC．∴在△ADH 中．AD ＝＝2．∴在△ADB中，根据勾股定理，得BD．(2)如答图1，连接AF ，易证：△DAE ≌△ADH (AAS )，∴DH ＝AE ．∵∠FDH ＝∠FDA －∠HDA ＝∠FDA －60°＝(90°－∠FBA )－60°＝30°－∠FBA ，∴∠EAF ＝∠FDH ．又∵点F 是BD 的中点，即AF 是Rt △ABD 斜边上的中线，∴AF ＝DF ． ∴△DHF ≌△AEF (SAS )．∴HF ＝EF ．(3)△CEF 为等边三角形，证明如下：如答图2，取AB 的中点M ，连接CM 、FM ，在Rt △ADE 中，AD ＝2AE ，∵FM 是△ABD 的中位线．∴AD ＝2FM ．∴FM ＝AE ．易证△ACM 为等边三角形，∴AC ＝CM ，∠ACM ＝60°．∵∠CAE ＝∠CAB ＝30°， ∠CMF ＝∠AMF －∠AMC ＝30°，∴∠CAE ＝∠CMF ．12cos AHCAH Ð12∴△ACE≌△MCF(SAS)．∴CE＝CF，∠ACE＝∠MCF．∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE＝60°．∴△CEF为等边三角形．图1 图2第4题答案图中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．(2016连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1＝16，S2＝45 ，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝ ( ) A．8 B．64 C．54 D．48图1 图2第1题【答案】C2．(2016海南)如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿着直线AD 对折，点C 落在点E 的位置．如果BC ＝6，那么线段BE 的长度为 ( )A ．6B ．C ．．第2题【答案】D3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线，若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( )A ．B ．4C ．D ．5 125245第3题【答案】C4．(2015泰安)如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ．延长BG 交CD 于点F ．若AB ＝6，BC ＝，则FD 的长为( ) A．2 B ．4 C ．BD ．第4题【答案】B二、填空题5．(2016随州)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝BD ，连接DM 、DN 、MN ．若AB ＝6，则DN ＝ ．13第5题 【答案】36．(2016温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是cm ．图1 图2第6题 【答案】＋16)7．(2016连云港)如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ．如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为点M ．EM 交AB 于N ．若AD ＝2．则MN ＝图1 图2 第7题【答案】三、解答题8．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 中点，连接CD ．点E 为边AC 上一点，过点E 作EF ∥AB ，交CD 于点F ，连接EB ，取EB 的中点G ，连接DG 、FG ．． (1)求证：EF ＝CF ； (2)求证：FG ⊥DG ．第8题【答案】证明：(1)∵在R △ACB 中，D 为AB 中点 ∴DA ＝DC ＝DB ∴∠A ＝∠1 ∵EF ∥AB ∴∠2＝∠A ∴∠1＝∠2 ∴CF ＝ EF ．(2)延长FG ，交AB 于点H ∵EF ∥AB ∴∠FEG ＝∠GBH ∵G 为EB 中点13∴EG＝GB又∵∠FGE＝∠HGB∴△EFG≌△BHG∴FG＝GH，EF＝HB＝CF∴DC－CF＝DB－HB即DF＝DH∴DG⊥FG．第8题答案图9．(2016黄石)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝ 90°．(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：DE2＝BD2＋CE2：(2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．图1 图2第9题【答案】解：(1)∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF＝DE，AF＝AD，∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝90°－∠CAD ，∠CAF ＝∠DAE ＋∠EAF －∠CAD ＝45°＋45°－∠CAD ＝90°－∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 在△ABD 和△ACF中，∴△ABD ≌△ACF (SAS )， ∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∴∠ECF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝45°＋45°＝90°， 在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2＝CF 2 ＋CE 2， 所以，DE 2＝BD 2＋CE 2； (2) DE 2＝BD 2＋CE 2还能成立．理由如下：作点D 关于AE 的对称点F ，连接EF 、CF ， 由轴对称的性质得，EF ＝DE ，AF ＝AD ， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝90°－∠CAD ，∠CAF ＝∠DAE ＋∠EAF －∠CAD ＝45°＋45°－∠CAD ＝90°－∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 在△ABD 和△ACF中，AB ACBAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïîAB AC BAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïî∴△ABD ≌△ACF (SAS )， ∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∴∠ECF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝45°＋45°＝90°， 在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2＝ CF 2＋CE 2， 所以，DE 2＝BD 2＋CE 2．第9题答案图B 组 提高练习10．(2016东营)在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝BC边上的高AD＝6，则另一边BC 等于 ( )A ．10 B．8 C ．6或10 D ．8或10【答案】C (提示：在图①中，由勾股定理，得BD ＝8；CD ＝2；∴BC ＝BD ＋CD＝8＋2＝10．在图②中，由勾股定理，得BD 8；CD＝2；∴BC ＝BD －CD ＝8－2＝6．)图① 图②11．(2016资阳)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，CO ⊥AB 于点O ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且AD ＝ CE ，连结DE 交CO 于点P ，给出以下结论：①△DOE 是等腰直角三角形：②∠CDE ＝∠COE ;③若AC ＝1，则四边形CEOD 的面积为，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③(提示：①如图，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CO ⊥AB ，∴AO ＝OB ＝OC ，∠A ＝∠B ＝∠ACO ＝∠BCO ＝45°，∴△ADO ≌△CEO ，∴DO ＝ OE ，∠AOD ＝∠COE ，∴∠AOC ＝ ∠DOE ＝90°，∴△DOE 是等腰直角三角形．故①正确．②∵∠DCE ＋∠DOE ＝180°，∴D 、C 、E 、O 四点共圆，∴∠CDE ＝∠COE ，故②正确．③∵AC ＝BC ＝1，∴S △ABC＝×1×1＝，S 四边形DCEO ＝S △DOC ＋S △CEO ＝ S △CDO ＋S △ADO ＝S △AOC ＝S △ABC ＝，故③正确．)12．△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D1412121214不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF．连接CF．(1)观察猜想如图1．当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝，CD＝BC，请求出GE的长．图 1 图 2 图3第12题【答案】解：(1)垂直，BC＝CD＋CF．(2)不成立，BC＝CD－CF．∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，14∵AD ＝AF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△FAC ，∴∠ABD ＝∠ACF ，CF ＝BD ∴∠ACF －∠ACB ＝90°，即CF ⊥BD ; ∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF ．(3)过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴BCAB ＝4，AH ＝BC ＝2，∴CD ＝BC＝1，CH ＝BC ＝2，∴DH＝3．由(2)证得BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5， ∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ， ∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN ， ∵∠AHD ＝∠ADE ＝∠EMD ＝90°， ∴∠ADH ＋∠EDM ＝∠EDM ＋∠DEM ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEM ，∴△ADH ≌△DEM ，∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3， ∵∠ABC ＝ 45°，∴∠BGC ＝45°， ∴△BCG 是等腰直角三角形， ∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1， ∴EG ．121412第12题答案图。
中考数学勾股定理知识归纳总结及答案
一、选择题1．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ）A ．1B ．54C ．74D ．2542．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )A ．8B ．8.8C ．9.8D ．103．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（ ）.A ．36B ．18C ．12D ．94．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =5,AC =53，CB 的反向延长线上有一动点D ，以AD 为边在右侧作等边三角形，连CE ，CE 最短长为（ ）A ．5B ．53C 53D ．5345．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（ ）A．8 B．9 C．10 D．126．如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）A．0B．1C．3D．27．如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（）①2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等；A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列命题中，是假命题的是( )A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形9．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A ．200mB ．300mC ．400mD ．500m10．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A ．236、、 B ．3、4、5 C ．3、4、7D ．2、3、4二、填空题11．如图，AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ， AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，E 是CD 的中点，则AE 的长是____ ___．12．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．13．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________. 14．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.15．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =45°，D 是BC 边上的一点，BD =2，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 刚好落在AB 边上的点E 处.若P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是________．16．已知x，y为一个直角三角形的两边的长，且（x﹣6）2=9，y=3，则该三角形的第三边长为_____．17．如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，且AB=3，BC=5．①线段OA的取值范围是______________；②若BD-AC=1，则AC•BD= _________．18．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m，4m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m2．19．如图，在△ABC中，AB AC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______．20．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，斜边AB的垂直平分线DE交边BC于点D，连接AD，线段CD的长为_________．三、解答题21．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．22．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）23．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ， （1）求证：ABD ACE ≅； （2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； ②若3BD =，4CF =，求AD 的长，24．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．25．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5； ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③；④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．26．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.27．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ． （1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.28．（1）如图1，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑动（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ，①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ； ②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．29．（已知：如图1，矩形OACB 的顶点A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y 轴上一点且坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．30．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG≌△BDF；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(4)求线段EF长度的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD. 【详解】∵AB=10，AC=8，BC=6，∴2222228610AC BC AB +=+==, ∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°， ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD=BD ，在Rt △BCD 中，222BD BC CD =+ ,∴222(8)6CD CD -=+,解得CD=74， 故选：C.【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC 是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.2．C解析：C 【分析】由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案. 【详解】 ∵AP+CP=AC ，∴AP BP CP ++=BP+AC ，∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值， 设AH ⊥BC ，∵56AB AC BC ===， ∴BH=3，∴4AH ==,∵1122ABCS BC AH AC BP =⋅=⋅， ∴1164522BP ⨯⨯=⨯, ∴BP=4.8，∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8， 故选：C.【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.3．D解析：D 【分析】利用角平分定理得到DE=AD ，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA ，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC ，根据CDE ∆的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出218AB =，即可求得ABC ∆的面积.【详解】 ∵90BAC ︒∠=， ∴AB ⊥AD,∵DE BC ⊥,BD 平分ABC ∠, ∴DE=AD ，∠BED=90BAC ︒∠=， ∴∠BDE=∠BDA ， ∴BE=AB=AC ， ∵CDE ∆的周长为6， ∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6， ∵,90︒=∠=AB AC BAC ∴22236AB AC BC +==, ∴2236AB =,218AB =,∴ABC ∆的面积=211922AB AC AB ⋅⋅==, 故选：D. 【点睛】此题考查角平分线定理的运用，勾股定理求边长，在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用，得到到角两边的距离相等的结论.4．C解析：C 【分析】在CB 的反向延长线上取一点B ’，使得BC =B ’C ，连接AB ’，易证△AB ’D ≌△ABE ，可得∠ABE=∠B’=60°，因此点E的轨迹是一条直线，过点C作CH⊥BE，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴△AB’B是等边三角形，∴∠B’=∠B’AB=60°，AB’=AB，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，∴∠B’AD=∠BAE，∴△AB’D≌△ABE（SAS），∴∠ABE=∠B’=60°，∴点E在直线BE上运动，过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=12BC=52，∴CH=22BC BH=53．即BE的最小值是53．故选C．【点睛】本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E的运动轨迹是直线是解决此题的关键．5．C解析：C【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．6．D解析：D【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．【详解】根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，因为2017÷6=336…1，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.2，故选D．【点睛】此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．7．D解析：D【分析】利用等腰直角三角形的相关性质运用勾股定理以及对应角度的关系来推导对应选项的结论即可.【详解】解：由AB=42可得AC=BC=4，则AE=3=DE，由勾股定理可得CD=22，①正确；BD=4-221，②正确；由∠A=∠EDF=45°，则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-（∠CDF-45°）= 135°-∠CDF=135°-（∠DFB+45°）= 90°-∠DFB，故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF，③正确；△DCE的周长=CD+CE+DE=22+4，△BDF的周长=BD+BF+DF=BD+AB=42+4-22=4+22，④正确；故正确的选项有4个，故选：D.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的相关性质以及勾股定理的运用,本题涉及的等腰直角三角形、翻折、勾股定理以及边角关系，需要熟练地掌握对应性质以及灵活的运用.8．C解析：C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A. △ABC中，若∠B=∠C－∠A，则∠C =∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，本选项正确；B. △ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则a2=b2－c2，b2= a2+c2，则△ABC是直角三角形，本选项正确；C. △ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误；D. △ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形．9．D解析：D【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B 到E 的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC 中，22500AB BC m +=∴CE=AC -AE=200，从B 到E 有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m ．故选D ．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ，并能比较从B 到E 有两种走法． 10．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理依次计算各项后即可解答.【详解】选项A ，2222)3)6)+≠，不能构成直角三角形；选项B ，2223)4)5)+≠，不能构成直角三角形；选项C ，2223)4)7)+=，能构成直角三角形；选项D ，2222)(3)(4)+≠，不能构成直角三角形．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．二、填空题11．5【详解】解：如图，延长AE 交BC 于点F ，∵点E 是CD 的中点,∴DE=CE ，,∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD,∴AD ∥BC,∴∠ADE=∠BCE 且DE=CE ，∠AED=∠CEF,∴△AED ≌△FEC （ASA ）,∴AD=FC=5，AE=EF,∴BF=BC-FC=5,∴在Rt △ABF 中，2213AF AB BF =+=,6.52AF AE == 故答案为：6.5． 12．3【分析】利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .【详解】在Rt △ACD 中，CD=AD=32∴226AD CD +=，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12BC AB =， ∵222AC BC AB +=，∴22216()2AB AB +=,解得AB=43，负值舍去，故答案为：43.【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键.13．23或2【分析】先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，∴AB=2BC=4，∴22224223AC AB BC =-=-=,当AC 为腰时，则该三角形的腰长为23；当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则AE=3,设DE=x ，则AD=2x ，∵222AE DE AD +=,∴222(3)(2)x x +=∴x=1（负值舍去），∴腰长AD=2x=2，故答案为：32【点睛】此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.14．21【分析】在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．【详解】如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠EAC ．在△AEC 和△ADC 中，AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC ≌△AEC （SAS ），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF ⊥AB ，∴EF=BF ，设EF=BF=x ．∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2，∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB 的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．15．222【分析】连接CE ，交AD 于M ，根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和D 重合时，PE+BP 的值最小，此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE ，先求出BC 和BE 长，代入求出即可．【详解】如图，连接CE ，交AD 于M ，∵沿AD 折叠C 和E 重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE ，∠CAD=∠EAD ，∴AD 垂直平分CE ，即C 和E 关于AD 对称，BD=2，∴2，∴当P 和D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE ，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠ABC=45°，∴∠B=45°，∵2，∴2即2，∴△PEB 的周长的最小值是222．故答案为2【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置．16．106232【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y 223332+=；当x=9时，x 、y 2293310+=；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：310，62或32. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．17．①1＜OA ＜4． ②672． 【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1＜OA ＜4.(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +， ()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，2AC ∴+ 2BD=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68，BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1， ∴AC •BD =672.18．8或10或12或253【详解】解：①如图1：当BC=CD=3m 时，AB=AD=5m ，AC ⊥BD ，此时等腰三角形绿地的面积：12×6×4=12（m 2）； ②如图2：当AC=CD=4m时，AC⊥CB，此时等腰三角形绿地的面积：12×4×4=8（m2）；③如图3：当AD=BD时，设AD=BD=xm，在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，解得x=256，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×256×4=253（m2）；④如图4，延长BC到D，使BD=AB=5m，故CD=2m，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×5×4=10（m2）；综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m2或12m2或10m2或253m2．点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．19．6【解析】∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CQ ⊥AB 于Q ，交AD 于P ，则CQ=BP+PQ 的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，∴CQ=BC AD AB ⋅=12810⨯=9.6 故答案为：9.6. 点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.20．78． 【解析】 ∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴AC 2254-．∵AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，∴BD =AD ．设CD =x ，则AD =BD =4-x ，在Rt △ACD 中，2223(4)x x +=- ，解得：78x =．故答案为：78． 三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析；（3）363【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．【详解】（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，∴∠ACB =∠ABC ，∴AB =AC ．∵∠ACD =∠ADC ，∴AC =AD ，∴AB =AC =AD ．∴四边形ABCD 是邻和四边形；（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，∴AC =()22222234AB BC +=+=，显然AB ，BC ，AC 互不相等．分两种情况讨论：①当DA =DC =AC=4时，如图所示：∴△ADC 为等边三角形，过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =160302⨯︒=︒， ∴122AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-=∴S △ADC =1423432⨯⨯=S △ABC =12AB×BC =3， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =3②当CD =CB =BD =3∴△BDC为等边三角形，过D作DE⊥BC于E，则∠BDE=160302⨯︒=︒，∴132BE BD==()()22222333DE BD BE=-=-=，∴S△BDC=123333 2⨯=过D作DF⊥AB交AB延长线于F，∵∠FBD=∠FBC-∠DBC=90︒-60︒=30︒，∴DF=123S△ADB=12332⨯=，∴S四边形ABCD=S△BDC+S△ADB=3；③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时，邻和四边形ABCD不存在．∴邻和四边形ABCD的面积是3或3【点睛】本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．22．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH 3，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；（2）CD ＝2AD +BD ，理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，∴DE ＝2AD ，∵CD ＝DE +CE ， ∴CD ＝2AD +BD ；（3）作AH ⊥CD 于H ．∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ， ∴DH 22AD AH -32AD ， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3+BD ，故答案为：CD 3+BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.23．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=∴在Rt ADG 中，22223635AD DG AG =+=+=故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．24．（1）6-t ，t+23；（2）D(1，3)，y=34-x+154；（3）1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）根据点E ，F 的运动轨迹和速度，即可得到答案；（2）由题意得：DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，根据勾股定理得DG=4，进而得D(1，3)，根据待定系数法，即可得到答案；（3）根据题意得直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，从而得M(443b -，3)，分2种情况：①当点M 在线段DB 上时， ②当点M 在DB 的延长线上时，分别求出S 与b 之间的函数关系式，即可．【详解】∵(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，∴OA=6，OC=3，∵AE=t×1= t ， ∴OE =6-t ，OF =(t+23)×1=t+23， 故答案是：6-t ，t+23； （2）当1t =时，OE =6-t=5，OF =t+23=53， ∵将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，∴DF=OF=53，DE=OE=5， 过点E 作EG ⊥BC 于点G ，则EG=OC=3，CG=OE=5，∴4=，∴CD=CG-DG=5-4=1，∴D(1，3)，设直线DE 的解析式为：y=kx+b ，把D(1，3)，E(5，0)代入y=kx+b ，得350k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线DE 的解析式为：y=34-x+154； （3）∵MN ∥DE ，∴直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+， 令y=3，代入34y x b =-+，解得：x=443b -， ∴M(443b -，3)． ①当点M 在线段DB 上时，BM=6-(443b -)=4103b -+， ∴1143(10)223S BM AB b =⋅=⨯⨯-+=215b -+， ②当点M 在DB 的延长线上时，BM=443b --6=4103b -， ∴1143(10)223S BM AB b =⋅=⨯⨯-=215b -，综上所述：1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握勾股定理与一次函数的待定系数法，是解题的关键．25．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=， ∵2AE AP ==90EAP ∠=︒， ∴22PE ==，∴22227BE +=，解得：3BE =作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 45322HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 的距离为6，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =，∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322=⨯⨯+⨯⨯ 13=+，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：62EH HB ==， ∴62AH AE EH =+=+， 22222256623AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 21153222ABD S AB AD AB ∆=⋅==+，故③正确； ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，∵A C 、关于 BD 的对称， ∴523AB BC ==+，∴225231043AC BC ==+=+，∴ min PC AC AP =-，10432=+-，故④错误；⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =， 在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS ≅，∴ABP ADE ∠=∠，∵AN BN =，∴ABP NAB ∠=∠，∴EAN ADE ∠=∠，∵90EAN DAN ∠+∠=︒，∴90ADE DAN ∠+∠=︒，∴AN DE ⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．26．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =，∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD ，∵90BAC ∠=︒，∴902DAC α∠=︒-，又∵AB=AC ，∴AD=AC ，∴∠ADC=1[180(902)]2α⨯︒-︒-=45α︒+； （3）如图，连接BE ，由（2）知：∠ADC=45α︒+，∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，∴∠AED=45°，∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ，∴∠BED=90°，∴△BED 是等腰直角三角形，∴22222BD BE DE DE =+=，∴2BD DE =.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.28．（1）①BC＝DC+EC，理由见解析；②证明见解析；（2）6.【解析】【分析】(1)证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答;(2)根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可;(3)作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根据勾股定理计算即可.【详解】（1）①解：BC＝DC+EC，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∴BC＝DC+BD＝DC+EC，；故答案为：BC＝DC+EC；②证明：∵Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（2）解：作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，如图2所示：∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE 中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝9，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE ＝＝＝6，∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE ＝DE＝6．【点睛】本題是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识:本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.29．（1）S=24(06)464(616)tt t<⎧⎨-+<<⎩（2）10,103⎛⎫⎪⎝⎭（3）存在，(6,6)或(6,1027)-，(6,272)【解析】【分析】（1）当P在AC段时，△BPD的底BD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边BD为固定值，用t表示出高，即可列出S与t的关系式；（2）当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，设P（m，10），则PB=PB′=m，由勾股定理得m2=22+（6-m）2，即可求出此时P坐标；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．【详解】解：（1）∵A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），∴OA=6，OB=10，当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，∴S=12×8×6=24；当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，∴S=12×8×（16-t）=-4t+64；∴S与t之间的函数关系式为：240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩（）；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，。
中考数学名师复习课件(第24课时直角三角形和勾股定理)
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【错因】 已知等式左边为两个非负数之和，根据两 非负数之和为0，则两非负数同时为0，可得出c2＝a2＋b2 且a＝b，利用勾股定理的逆定理可得出∠C为直角，进而 确定出三角形ABC为等腰直角三角形．
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5．如图24－3，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径 为r，现要围绕笔筒的表面由A至A1(A，A1在圆柱的同 一轴截面上)镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属 线的最短长度是___h_2＋ ___4π __2_r_2．
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图24－3
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第24课时 直角三角形和勾股定理
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1．直角三角形重要结论： (1)SRt△ABC＝21ch＝21ab，其中 a，b 为两直角边，c 为斜 边，h 为斜边上的高； (2)Rt△ABC 内切圆半径 r＝a＋2b－c，外接圆半径 R＝ 2c，即等于斜边的一半．
图24－9 【解析】 先证明△BCN≌△ENH，得 EH＝BN，再根 据勾股定理，得 BC2＋BN2＝CN2，即 c＝ a2＋b2.
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3．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其 中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图24－10是一棵由 正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股 树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的 面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积 之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之 和为Sn.设第一个正方形的边长为1.
2018届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第24课时 直角三角形和勾股定理
第24课时 直角三角形和勾股定理(60分)一、选择题(每题5分，共25分)1．[2016·毕节]下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B)A.3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8D ．2，3，42．如图24－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是(A)A.365 B.1225 C.94D.334【解析】 在Rt △ABC 中，AC ＝9，BC ＝12，根据勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝15，过C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，又S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝9×1215＝365，则点C 到AB的距离是365.故选A.图24－1 第2题答图3．[2017·甘孜]如图24－2，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合．若BC ＝5，CD ＝3，则BD 的长为(D) A ．1B ．2C ．3D ．44．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图24－3，则三角板最长边的长为(D)图24－2A ．3 cmB ．6 cmC ．3 2 cmD ．62 cm图24－3 第4题答图【解析】 如答图，过点C 作CD ⊥AD 于点D ， ∴CD ＝3.在直角三角形ADC 中， ∵∠CAD ＝30°， ∴AC ＝2CD ＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板， ∴AB ＝AC ＝6，∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝62＋62＝72， ∴BC ＝62，故选D.5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图24－4那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是(C)A.247 B.73C.724D.13图24－4【解析】 在Rt △BCE 中，设CE ＝x ，则BE ＝EA ＝8－x ，根据勾股定理有(8－x )2＝x 2＋62，解得x ＝74，∴tan ∠CBE ＝CE BC ＝746＝724.二、填空题(每题5分，共25分)6．[2016·内江]在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝12，AC ＝6，则BC ＝7．[2017·凉山]已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为8．将一副三角尺按图24－5所示叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是__492__cm 2.【解析】 ∵∠B ＝30°， ∴AC ＝12AB ＝7 cm ，易证AC ＝CF ，∴S △ACF ＝12AC ·CF ＝12AC 2＝12×72＝492(cm 2)．9．[2017·无锡]如图24－6，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于__8__.【解析】 ∵△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE ＝5， ∴DE ＝12AC ＝5，∴AC ＝10.在直角△ACD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，AC ＝10，则根据勾股定理，得CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8.10．[2016·遵义]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图24－7①)．图24－7②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3.若正方形EFGH 的边长为2，则S 1＋S 2＋S 3＝__12__.图24－7【解析】 ∵八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形， ∴CG ＝NF ，CF ＝DG ＝KF ， ∴S 1＝(CG ＋DG )2＝CG 2＋DG 2＋2CG ·DG ＝GF 2＋2CG ·DG ，S 2＝GF 2，图24－5图24－6S 3＝(KF －NF )2＝KF 2＋NF 2－2NF ·KF ＝GF 2－2CG ·DG ，∴S 1＋S 2＋S 3＝GF 2＋2CG ·DG ＋GF 2＋GF 2－ 2CG ·DG ＝3GF 2＝12. 三、解答题(共20分)11．(10分)如图24－8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，CD ＝5 cm ，求AB 的长．【解析】 要求的AB 在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，故只需求BC 的长，在Rt △BCD 中，DC ＝5 cm ，∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，故可求出BD ，BC 的长，从而根据AB ＝2BC 计算出结果． 解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ，∠ABC ＝60°. ∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°. ∵在Rt △CBD 中，CD ＝5 cm ， ∴BD ＝10 cm ， ∴BC ＝5 3 cm ， ∴AB ＝2BC ＝10 3 cm.12．(10分)如图24－9，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3.(1)求DE 的长； (2)求△ADB 的面积．解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴AC ⊥CD .又∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝CD ，又∵CD ＝3， ∴DE ＝3；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10， ∴S △ADB ＝12AB ·DE ＝12×10×3＝15.(20分)13．(6分)[2017·荆门]如图24－10，已知圆柱底面的周长为4 dm ，圆柱高为2 dm，在圆图24－8图24－9柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为(A)A ．4 2 dmB ．2 2 dmC ．2 5 dmD ．4 5 dm图24－10 第13题答图【解析】 如答图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC 的长度．∵圆柱底面的周长为4 dm ，圆柱高为2 dm ， ∴AB ＝2 dm ，BC ＝BC ′＝2 dm ， ∴AC 2＝22＋22＝4＋4＝8， ∴AC ＝22，∴这圈金属丝的周长最小为2AC ＝4 2 dm.14．(6分)[2016·台州]如果将长为6 cm ，宽为5 cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A) A ．8 cm B ．5 2 cm C ．5.5 cm D ．1 cm【解析】 易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为62＋52＝61≈7.8，故折痕长不可能为8 cm.15．(8分)[2016·铜仁]如图24－11，在矩形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为(B) A ．3 B.154 C ．5D.152【解析】 设ED ＝x ， 则AE ＝6－x ；∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ， 由题意得∠EBD ＝∠DBC ， ∴∠EDB ＝∠EBD ， ∴EB ＝ED ＝x ， 由勾股定理得BE 2＝AB 2＋AE 2，即x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝154，∴ED ＝154.(10分)16．(10分)[2016·潍坊]如图24－12，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S 1；再以正△AB 1C 1边B 1C 1上的高AB 2为边作正△AB 2C 2，△AB 1C 1与△AB 2C 2公共部分的面积记为S 2，…，以此类推，则__S n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n__.(用含n 的式子表示)【解析】 ∵等边三角形ABC 的边长为2，AB 1⊥BC ， ∴BB 1＝1，AB ＝2， 根据勾股定理得AB 1＝3， ∴S 1＝12×34×(3)2＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫341； ∵等边三角形AB 1C 1的边长为3，AB 2⊥B 1C 1， ∴B 1B 2＝32，AB 1＝3， 根据勾股定理得AB 2＝32，∴S 2＝12×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫342；…以此类推，S n ＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n .图24－12。
第7章 第24课时 直角三角形和勾股定理
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第24课时 直角三角形和勾股定理分)一、选择题(每题3分，共24分)1．[2019·中考预测]下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A.3，4， 5B ．1，2， 3C ．6,7,8D ．2,3,42．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是( )A.365B ．1225C ．94D ．3343．[2018·长沙]我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500 m ，则该沙田的面积为( )A ．7.5 km 2B ．15 km 2C ．75 km 2D ．750 km 24．[2018·黄冈]如图24-1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD ＝2，CE ＝5，则CD 的长为()图24-1A．2 B．3C．4 D．2 35．[2018·淄博]如图24-2，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB，交AB于点M，过点M作MN∥BC，交AC于点N，且MN平分∠AM C.若AN＝1，则BC的长为()图24-2A．4 B．6C．4 3 D．86．[2018·海南]如图24-3，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC ＝30°.将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为()图24-3A．6 B．8C．10 D．127．[2019·陕西]如图24-4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A ＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC 的度数是()图24-4A．25°B．30°C．50°D．65°8．[2019·宁波]勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图24-5(1)，以直角三角形的各边为边长分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图24-5(2)的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出()图24-5A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和二、填空题(每题3分，共18分)9．已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长为．10．[2018·福建]如图24-6所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D为AB的中点，则CD＝.图24-611．如图24-7，有两棵树，一棵树高12 m，另一棵树高6 m，两树相距8 m．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行m.图24-712．如图24-8，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长为．图24-813．[2018·淮安]如图24-9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧的交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是．图24-914．[2018·成都]如图24-10，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE＝2，CE＝3，则矩形的对角线AC的长为．图24-10三、解答题(共10分)15．(10分)[2018·广安]如图24-11，有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在图中的方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形；(2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；(3)画一个面积为5的等腰直角三角形；(4)画一个底边长为22，面积为6的等腰三角形．图24-11(28分)16．(10分)[2019·温州]如图24-12，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．(1)在图24-12(1)中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；(2)在图24-12(2)中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ.图24-1217．(9分)[2018·襄阳改编]已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，求BC的长．18．(9分)[2017·宁波]在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受“赵爽弦图”的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：图24-13如图24-13，将矩形ABCD的边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE.(1)求证：四边形EFGH 为平行四边形；(2)若矩形ABCD 是边长为1的正方形，且∠FEB ＝45°，tan ∠AEH ＝2，求AE 的长．分)19．(20分)[2017·宜昌]能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c 称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12(m 2－n 2)，b ＝mn ，c ＝12(m 2＋n 2)，其中m >n >0，m ，n 是互质的奇数．当n ＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．参考答案课时作业1．B 2.A 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D8．C 9.5或7 10.3 11.10 12.813．1.6 14.3015．如答图16．(1)满足条件的△EFG如答图(画法不唯一)．(1)(2)满足条件的四边形MNPQ如答图(画法不唯一)．(2)17．23或2718．(1)略(2)AE＝219．直角三角形的另外两条边长分别为12,13或3,4.关闭Word文档返回原板块。
2018年人教版中考4.5直角三角形与勾股定理-复习课件+检测试卷含真题分类汇编解析
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第20课时┃直角三角形与勾股定理
解：(1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°， BD＝AD，
在△BDG 和△ADC 中，∠BDG＝∠ADC， DG＝DC，
∴△BDG≌△ADC，∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，
∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F 分别是 BG，AC 的中点，
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第20课时┃直角三角形与勾股定理
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探究1 直角三角形的性质
命题角度： 1．应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长， 或得到相等的线段； 2．运用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”进行证明与计 算．
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第20课时┃直角三角形与勾股定理
3．【2016·随州】如图 20－7，在△ABC 中，∠ACB＝90 °，M，N 分别是 AB，AC 的中点，延长 BC 至点 D，使 CD ＝13BD，连接 DM，DN，MN.若 AB＝6，则 DN＝____3____．
图 20－7
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第20课时┃直角三角形与勾股定理
解析 易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理得对角
线长为 62＋52＝ 61≈7.8，故折痕长不可能为 8 cm.故选 A.
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第20课时┃直角三角形与勾股定理
2．如图 20－9，在矩形 ABCD 中，BC＝6，CD＝3，将△BCD 沿对角线 BD 翻折，点 C 落在点 C′处，BC′交 AD 于点 E， 则线段 DE 的长为( B )
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第24课时 直角三角形和勾股定理(66分)一、选择题(每题5分，共25分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( B ) A.3，4， 5B ．1，2， 3C ．6，7，8D ．2，3，42.[2016·台州]如图24－1，数轴上点A ，B 分别对应1，2，过点B 作PQ ⊥AB ，以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的数是 ( B ) A. 3 B. 5 C. 6 D.7 【解析】 由题意，可得OB ＝2，BC ＝1，∴OM ＝OC ＝22＋12＝5，则点M 对应的数是 5.故选B.3．如图24－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是( A ) A.365 B.1225 C.94 D.334图24－2 第3题答图 【解析】 如答图，在Rt △ABC 中，AC ＝9，BC ＝12，根据勾股定理，得AB＝AC 2＋BC 2＝15，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝9×1215＝365，则点C 到AB 的距离是365.故选A.图24－14．如图24－3，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长为(D)A．3 cm B．6 cm C．3 2 cm D．6 2cm图24－3第4题答图【解析】如答图，过点C作垂线，交纸带对边沿于点D，∴CD＝3.在Rt△ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，∴BC＝6 2.故选D.5．如图24－4，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为(B)A．3 B.15 4C．5 D.15 2【解析】设DE＝x，则AE＝6－x.∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，由题意，得∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝DE＝x，由勾股定理，得BE2＝AB2＋AE2，即x2＝32＋(6－x)2，解得x＝15 4，∴DE＝154.故选B.二、填空题(每题5分，共25分)6．[2017·潮南区模拟]如图24－5，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，若BC＝10，AD＝12，则AC ＝__13__.【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD ⊥BC，BD＝DC，在Rt△ADC中，AC＝AD2＋DC2＝122＋52＝13.图24－4图24－57．已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为8．将一副三角尺按图24－6叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是__492__cm 2.【解析】 ∵∠B ＝30°，∴AC ＝12AB ＝7 (cm)，易证AC ＝CF ，∴S △ACF ＝12AC ·CF＝12AC 2＝12×72＝492(cm 2)．图24－6 图24－7 9．如图24－7，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于__8__.【解析】 ∵△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，DE ＝5，∴DE ＝ 12AC ，∴AC ＝10.在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，AC ＝10，则根据勾股定理，得CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8.10．如图24－8，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A 出发，经过3个面爬到点B ，如果它运动的路径是最短的，则AC 的长为__2103__．图24－8 第10题答图 【解析】 如答图，将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB 最短．∵△BCM ∽△ACN ，∴MB NA ＝MC NC ，即42＝MC NC ＝2，即MC ＝2NC ，∴CN ＝13MN ＝23，在Rt △ACN 中，AC ＝AN 2＋CN 2＝2103.三、解答题(共16分)11．(8分)如图24－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，CD ＝5 cm ，求AB 的长．图24－9【解析】 要求的AB 在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，故只需求BC 的长；在Rt △BCD 中，DC ＝5 cm ，∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，故可求出BD ，BC 的长，从而根据AB ＝2BC 计算出结果．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ，∠ABC ＝60°.∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°.∵在Rt △CBD 中，CD ＝5 cm ，∴BD ＝10 cm ，∴BC ＝5 3 cm ，∴AB ＝2BC ＝103(cm)．12．(8分)如图24－10，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3.图24－10(1)求DE 的长；(2)求△ADB 的面积．解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴AC ⊥CD .∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∴DE ＝CD ，∵CD ＝3，∴DE ＝3；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∴S △ADB ＝12AB ·DE ＝12×10×3＝15.(24分)13．(6分)如果将长为6 cm ，宽为5 cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( A ) A ．8 cmB ．5 2 cmC ．5.5 cmD ．1 cm【解析】 易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理得对角线长为62＋52＝61≈7.8＜8，故折痕长不可能为8 cm.故选A.14．(8分)[2016·益阳]如图24－11，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．解：设BD ＝x ，∴CD ＝14－x ，由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，∴152－x 2＝132－(14－x )2，解得x ＝9，∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×14×12＝84. 15．(10分)[2017·宁波]在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．图24－11图24－12如图24－12，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF，FG，GH，HE.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，∵BF＝DH，∴AH＝CF，在Rt△AEH中，EH＝AE2＋AH2，在Rt△CFG中，FG＝CG2＋CF2，∵AE＝CG，∴EH＝FG，同理，得EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形；(2)在正方形ABCD中，AB＝AD＝1，设AE＝x，则BE＝x＋1，在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，∴BE＝BF，∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1，∴AH＝AD＋DH＝x＋2，在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2，∴AH＝2AE，∴2＋x＝2x，解得x＝2，∴AE＝2.(10分)16．(10分)[2017·宜昌]阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12（m 2－n 2），b ＝mn ，c ＝12（m 2＋n 2），其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n ＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．解：当n ＝1，a ＝12(m 2－1)①，b ＝m ②，c ＝12(m 2＋1)③，∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ.当a ＝5时，12(m 2－1)＝5，解得m ＝±11(舍去)；Ⅱ.当b ＝5时，即m ＝5，代入①③，得a ＝12，c ＝13，Ⅲ.当c ＝5时，12(m 2＋1)＝5，解得m ＝±3.∵m ＞0，∴m ＝3，代入①②，得a ＝4，b ＝3.综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.。