北京市三帆中学2019-2020年第一学期期中考试初三数学试卷

北京三帆中学2019-2020学年度第一学期期中考试
初三 数学试卷
分层班级 班级 姓名 学号 成绩__________ 注意： （1）时间120分钟，满分100分；
（2）请将答案填写在答题纸上，在试卷上作答不得分. 一、选择题(本题共16分，每小题2分) 1. 抛物线2
1
3y
x 的顶点坐标为
A ．1,3
B ．
1,3 C ．1,3 D ．3,1
2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，100BOC ∠=︒，则A ∠的大小为 A ．30︒ B ．50︒ C ． 80︒
D ．100︒
3. 下面列图案中既是轴对称图形．．．．．又是中心对称图形．．．．．．的是
A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD 是⊙O 内接四边形，E 为CD 延长线上一点， 若∠ADE =120°，则∠B 等于
A ． 130°
B ．120°
C ．80°
D ．60°
5. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2
2=y x 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线表达式为
A ． 22(+3)4=-y x
B ． 2
2(+3)4=+y x C ． 22(3)4=--y x D ． 2
2(3)+4=-y x
6. 已知二次函数2
2y x x =-，若点1(1,)A y -，2(2,)B y ，是它图象上的两点，则1y 与2y 的大小
关系为
A. 12y y >
B. 12y y =
C. 12y y <
D. 不能确定
C
O
B
A
C
O
D
B
E
7. 如图，数轴上有A ，B ，C 三点，点A ，C 关于点B 对称，以原点O 为圆心作圆，如果点A ，B ，
C 分别在⊙O 外，⊙O 内，⊙O 上，那么原点O 的位置应该在
A ．点A 与点
B 之间靠近A 点 B ．点A 与点B 之间靠近B 点 C. 点B 与点
C 之间靠近C 点
D ．点B 与点C 之间靠近B 点
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. 点(2,1)P 关于原点对称的点的坐标为_____________.
10.
请你写出一个二次函数，其图象满足条件：
①开口向下； ②图象过原点.
此二次函数的解析式可以是
11. 如图所示，P 是等边△ABC 内一点，△BCM 是由△BAP 旋转所得，
则∠PBM ＝_____________．
12. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD =8，BE =2，
则⊙O 的半径为 ．
13. 若抛物线2
+6y x x m =-与x 轴有且只有．．．．一个公共点， 则m 的值为________.
14. 如图，在一块长12m,宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条
道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为60m 2，设道路的宽为x m ，则根据题意, 可列方程为________.
A
B
第11题图
第12题图
A
c
b
a
15. 如图所示的网格是正方形网格，线段AB 绕点A 顺时针旋
转α（0°＜α＜180°）后，直线AB 与⊙O 相切，则α的值为____________．
16．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴的一个交点
为A （－1，0），对称轴为直线x =1，与y ．轴．的交点B 在（0，2） 和（0，3）之间（包括这两点），下列四个结论中， ① 当x ＞3时，y ＜0； ② 3a +b ＜0；
③ －1 ≤ a ≤2
3
-； ④ 4ac －b 2＞ 8a ；
所有正确结论的序号是_______________ .
三、解答题(本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题7分，第22-24题，每小题5分， 第25，26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.解方程22410x x --=.
18..阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
根据小芸设计的尺规作图过程，
(1) 使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) (2) 完成下面的证明：
证明：连接OA ，OB ，OC ，
由作图可知 OA=OB=OC （ ）（填推理的依据） ∴⊙O 为△ABC 的外接圆； ∵点C ，P 在⊙O 上， AB
AB
x
y
x=1
B
O
A
C
小芸的作法如下：如图， ① 作线段AB 的垂直平分线m ； ② 作线段BC 的垂直平分线n ，与直线m 交于点O ； ③ 以点O 为圆心，OA 为半径作圆； ④ 则⊙O 为△ABC 的外接圆 ⑤ 在弧ACB 上取一点P ，连结AP ，BP . 所以∠APB =∠ACB .
已知：∠ACB 是△ABC 的一个内角. 作：∠APB =∠ACB . A B
C
A B
C
∴∠APB =∠ACB ．（ ）（填推理的依据）
19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．
（1）求A ，B 两点的坐标；
（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．
20. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B 不重合)，连结
CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连接BE . （1）求证：△ACD ≌△BCE ； （2）当AD=BF 时，求∠BEF 的度数．
21. 已知二次函数
y =x 2 + 4x + 3．
（1）将二次函数的表达式化为y = a (x -h )2 + k 的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，用描点法画出这个二次函数的图象；
（3）观察图象，直接写出当30x -≤≤时y 的取值范围； （4）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．
22. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分. 一
名运动员起跳后，他的飞行路线如右图所示，当他的水平距离为15m 时，达到飞行的最高点C 处，此时的竖直高度为45m ，他落地时的水平距离（即OA 的长）为60m ，求
这名运动员起跳时的竖直高度（即OB 的
长）.
x … … y
…
…
A
C
D
F
B
E
x
y
C
B
O
A
23．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，在⊙O 的切线CM 上取
一点P ，
使得∠CPB =∠COA ．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）若CD =6，∠AOC =60°，求PB 的长．
24．如图，点P 是AB 上一动点，连接AP ，作∠APC =45°，交弦AB 于点C ．已知AB =6cm ，设A ，
P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为y 1cm ，A ，C 两点间的距离为y 2cm ．（当点P 与点A 重合时，y 1，y 2的值为0；当点P 与点B 重合时，y 1的值为0，y 2的值为6）．
小智根据学习函数的经验，分别对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小智的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值；
经测量m的值是（保留一位小数）．
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补
全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，
(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为
等腰三角形时，AP的长度约为cm
（保留一位小数）．
25. 关于x 的一元二次方程a x2+ bx + c = 0
（a>0）有两个不相等且非零的实数根，探究a，b，c满足的条件．
小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小华的探究过程：第一步：设一元二次方程ax2+bx+c = 0（a>0）对应的二次函数为y = ax2+bx +c（a>0）；
第二步：借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次方程中a，b，c满足的条件，列表如下：
方程两根的情况对应的二次函数的大致图象a，b，c满足的条件
方程有两个不相等的负实根
2
0,
40,
0,
2
0.
a
b ac
b
a
c
>
⎧
⎪
∆=->⎪⎪
⎨
-<
⎪
⎪
>
⎪⎩
①_______
0,
0. a
c
>⎧
⎨
<⎩
方程有两个
不相等的正实根
②__________③____________
（1）请帮助小华将上述表格补充完整； （2）参考小华的做法，解决问题：
若关于x 的一元二次方程()2520-+-=x m x m 有一个负实根和一个正实根，
且负实根大于－1，求实数m 的取值范围．
26. 已知抛物线2
4y x x n =-++ ，将抛物线在y 轴左侧部分沿x 轴翻折，翻折后的部分．．．．．．
和抛物线与y 轴交点以及y 轴右侧部分组成图形G ，已知19(,1),(,1)22
M N -
（1）求抛物线2
4y x x n =-++的对称轴; （2） 当0n =时，
①若点(1,)A m -在图形G 上，求m 的值;
②直接写出线段MN 与图形G 的公共点个数;
（3） 当n ＜0时，若线段MN 与图形G 恰有．．两个公共点，直接写出n 的取值范围.
27. 已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后，点A 的对应点为点D ，点C 的
对应点为点E ，直线DE 与直线AC 交于点F ，连接FB ． （1）如图1，当∠BAC ＜45°时，
① 求证：DF ⊥AC ； ② 求∠DFB 的度数； （2）如图2，当∠BAC ＞45°时，
① 请依题意补全图2；
② 用等式表示线段FC ，FB ，FE 之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于A ，B
两点（P 不与A ，B 重合），在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线. 特别地，规定：当P 与A ，B 重合时，P 也是⊙C 的相邻点，过点P 与⊙C 相切的直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线. （1）当⊙O 的半径为1时，
①. 分别判断在点D （
，
1
4
），E （0，-3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有_________； ②. 请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并简述你的
作图过程.
③. 点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标P x 的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3
233
y x =-
+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ， 若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出．．．．
圆心C 的横坐标C x 的取值范围．
图1 备用图1 备用图2
北京三帆中学2019-2020学年第一学期期中考试
初三数学参考答案
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. (2,1)--; 10. 2y x =-，不唯一; 11. 60°; 12. 5; 13. －9; 14. (12)(8)60x x --= 15. 60°或120°， 16. ①②③
三、解答题(本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题7分，第22-24题，每小题5分，第25，26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17． （
1）22410
x x --=
解：a =2, b =－4, c =－1 2
2
4(4)42(1)24b ac ∆=-=--⋅⋅-=
44
x =
12x x ==
18. 解：
（1）作出直线m ，n
作出⊙O
作出∠APB
（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
同弧所对的圆周角相等.
19.解：（1）令0=y ，则2230x x -++=．
解得 11-=x ，32=x ．
∵点A 在点B 的左侧， ∴A （1-，0），B （3，0）． （2）∵当1x =时，4=y ，
∴顶点C 的坐标为（1，4）．
∵点C ，D 关于x 轴对称，
∴点D 的坐标为（1，4-）
∵AB =4，
∴=ACB DCB ACBD S S S ∆∆+四边形1
442162
=⨯⨯⨯=．
20.（1）证明：
∵线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ， ∴ CD=CE ，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°
∴∠ACD=∠ACB －∠DCB ，∠BCE=∠DCE －∠DCB ∴∠ACD=∠BCE
在与中 ，
∴≌(SAS ) …
(2)解：∵∠ACB=90°，AC=BC ∴∠A=45°
由(1)可知：∠A=∠BCE=45°… ∵AD=BF ，
∴BE=BF ，
∴∠BEF=∠BFE ，
∴∠BEF=67.5° .
21．解：（1）y = x 2 + 4x + 3= (x +2)2 -1
（2）列表：
ACD ∆BCE ∆⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD BC AC ACD ∆BCE ∆
A
（3）－1≤y ≤3
（4）答案不唯一，如：①当x ＜-2时，y 随x 的增大而减小，
②当x ＞-2时，y 随x 的增大而增大. ③抛物线关于直线x=-2对称
22.解：∵由题意可知抛物线的顶点为C （15, 45），
∴设抛物线的解析式为2
(15)45y a x =-+（a ≠0）， ∵y =0时，x =60，
∴2
0(6015)45a =-+，
∴1
45a =-， ∴21
(15)4545
y x =--+，
∴x =0时，21
(015)455454045
y =--+=-+=，
即OB =40
答：这名运动员起跳时的竖直高度为40m.
23． （1）证明： ∵ PC 与⊙O 相切于点C ， ∴ OC ⊥PC ．
∴ ∠OCP =90°． ∵ ∠AOC =∠CPB ，∠AOC +∠BOC =180°， ∴ ∠BOC +∠CPB =180°．
在四边形PBOC 中，∠PBO =360°-∠CPB -∠BOC -∠PCO =90°．
∴半径OB⊥PB．
∴PB是⊙O的切线
（2）解法1：
连接OP，如图．
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°．
∵∠OCP=∠OBP=90°，
∴∠BPC=360°－120°－2×90°=60°．∵PB，PC都是⊙O的切线，
∴PO平分∠BPC，
∴∠CPO=∠BPO=30°．
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，CD=6
∴
1
3
2
CE DE CD
===，
∵∠AOC=60°，CD⊥AB
∴∠ACO=30°
，OC=OB．
∴PB= OB
·
．
解法2：连接BC，如图．
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°．
∵∠OCP=∠OBP=90°，
∵∠OCP=∠OBP=90°，
∴∠BPC=360°－120°－2×90°=60°．∵PB，PC都是⊙O的切线，
∴PB=PC
∴△PBC为等边三角形．
∴PB=BC．
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，CD=6
∴
1
3
2
CE DE CD
===，
∵∠AOC=60°，CD⊥AB ∴∠ABC=30°，
∴BC=2CE=6，
∴PB= BC= 6．
24．解：（1）2.7(±0.2)；
（2）如图；
（3）2.3或4.2 (±0.2)
25.(1) ①方程有一个负实根，一个正实根
②如图
③
2
0,
40,
0,
2
0.
a
b ac
b
a
c
>
⎧
⎪
∆=->
⎪⎪
⎨
->
⎪
⎪
>
⎪⎩
（2）解：设一元二次方程()
2520
-+-=
x m x m对应的二次函数为：()
252
=-+-
y x m x m，∵一元二次方程()
2520
-+-=
x m x m有一个负实根，一个正实根，
且负实根大于-1，
∴
2
20
(1)(5)(1)20
-<
⎧
⎨
--+⋅-->
⎩
m
m m
解得06
<<
m．
∴m的取值范围是06
<<
m．
26. （1）2
2
b
x
a
=-=
（2）①2
04
n y x x
==-+
当时，
2
(1,)(1,)(1,)4145
A m G A m x m y x x m m -∴---=-+∴-=--∴=在图形上
关于轴的对称点在图象上
② 3个 （3）3-1n -<≤
27．（1）①证明：∵△ABC 绕点B 逆时针旋转90°得△DBE ，
由旋转性质得，△ABC ≌△DBE ，
∴∠1＝∠2， AB=DB ，∠ABC =∠DBE=90°， ∴∠1＋∠C ＝90°， ∴∠2＋∠C ＝90°，
∴∠DFC ＝90°，即DF ⊥AC ． ②解法一：如图，连接AD ， ∵ DF ⊥AC ，∠DBE=90°， ∴ ∠DF A = =90°，
∴A ，D ，B ，F 四点均在以AB 为直径的圆上，
∵AB=DB ，∠DBE=90°， ∴ ∠DAB=45°，
∴∠DFB ＝∠DAB ＝45°．
解法二：如图，在DE 上截取DG=AF ，连接BG ，
在△ABF 和△DBG 中，
,12,AB DB AF DG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABF ≌△DBG ， ∴BF ＝BG ，∠ABF ＝∠DBG, ∵∠DBA ＝90°， ∴∠GBF ＝90°，
∴△GBF 是等腰直角三角形，
A
∴∠DFB ＝45°．
（2）补全图2， 如图；
FC －FE ＝2FB ．
证明：解法二：如图，在CF 上截取CG=EF ，连接BG ，
在△BCG 和△BFE 中，
,,BC BE C E CG EF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCG ≌△BFE ， ∴BF ＝BG ，∠CBG ＝∠EBF , ∵∠ABC ＝90°， ∴∠GBF ＝90°，
∴△GBF 是等腰直角三角形， ∴ 2FG FB = ∴ 2FG FB =
∴ FC －FE ＝FC －CG=2FG FB =
28.解：
（1）①D ，E .
②连接OD ，过D 作OD 的垂线交⊙O 于A ，B 两点. ③∵⊙O 的半径为1，所以点P 到⊙O 的距离 小于等于3时，符合题意.
∵ 点P 在直线3y x =-+上， ∴03p x ≤≤. （2）09C x ≤≤.
G
F
E
A。