2018.12.30北大微积分(答案版)

合集下载

微积分各章习题及详细答案(供参考)

微积分各章习题及详细答案(供参考)第一章函数极限与连续一、填空题1、已知 f (sin x) 1cos x ，则 f (cos x)。

2(4 3x)22、 lim2)。

xx(1 x3、 x 0 时， tan x sin x 是 x 的阶无量小。

4、 lim xksin10 建立的 k 为。

xx5、 lim e x arctan xx6、 f ( x)ex1, xb,7、 limln( 3x1)x 06x。

x 0在 x 0处连续，则 b 。

x 0。

8、设 f (x) 的定义域是 [ 0,1] ，则 f (ln x) 的定义域是 __________ 。

9、函数 y 1 ln( x 2) 的反函数为 _________。

10、设 a 是非零常数，则 lim (xa) x ________ 。

xx a111、已知当 x 0时， (1 ax 2 ) 3 1与 cosx 1 是等价无量小，则常数 a ________。

12、函数 f ( x)arcsin3x的定义域是 __________ 。

1 x13、 lim ( x 22x 2 2)____________ 。

x14、设 lim (x2a ) x 8 ，则 a________。

xx a15、 lim ( n n 1)( n 2n) =____________ 。

n二、选择题1、设 f ( x), g(x) 是 [ l , l ] 上的偶函数， h( x) 是 [ l , l ] 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ） f ( x) g( x) ；（Ｂ） f ( x) h( x) ；（ C ） f (x)[ g(x) h( x)] ；（ D ） f ( x) g( x) h(x) 。

2、1 x3x( x)，( x)1x ，则当时有。

1 x1（Ａ）是比高阶的无量小；（Ｂ）是比低阶的无量小；（ C ）与是同阶无量小；（ D ）~。

3、函数 f (x)1 x 1 ,x 0( x1) 在 x0处连续，则 k3 1 x 1 。

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题(二)

18.()(,),,()0.()()0(,)(),()()0,[,](,)),.Rolle ()(()())0,()()0.19.3x f x a b f x f x f x a b f x g a g b g a b a b g x e f x f x f x f x A x -∞+∞='+==='''∈=+=+=设函数在内可导且是方程的两个实根证明方程在内至少有一个实根.设在连续, 在可导根据定理, 存在 c (a,b),使得即决定常数的范围,使方程x 证 g(x)=e 43243232322212318624.()38624,()1224122412(22)12[(2)(2)]12(2)(1)12(2)(1)(1)0,.1,1, 2.()19,(1)13,(2)8.((x x x A P x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x P x P P P --++'=--+=--+=--+=---=--=--+==-===-==-有四个不相等的实根根据这些数据画图，由图易知当在区间解4321),(2))(13,8)38624P x x x x A -=----++时有四个不相等的实根.For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use2300220.()1(1).:()023,.0()0,21lim (),lim (),,,,()0,()0.(,),()0.()1nn x x x x x f x x f x n nn x f x f n k f x f x a b a b f a f b x a b f x f x x x →-∞→+∞=-+-++-=≤>=-=+∞=-∞<><∈='=-+-L 设证明方程当为奇数时有一个实根当为偶数时无实根当时故只有正根当为奇数时,存在根据连续函数的中间值定理,存在使得证 ,2122222110(0),0,,1.1210, 1.101,()0,1,()0,(1)0,(1)0,().21.()()()()[,k k k k x x x x f x x n k x x x x x x f x x f x f x f n f x u x v x u x v x a ---++-=<>>---+'=-+-++===--''<<<>>>>''L L 当时严格单调递减故实根唯一当为偶数时,f (x)=是时的最小值故当为偶数时无实根设函数与以及它们的导函数与在区间],[,].()(),.()().()().b uv u v a b u x v x u x v x u x v x ''-上都连续且在上恒不等于零证明在的相邻根之间必有一根反之也对即有与的根互相交错地出现试句举处满足上述条件的与121212121212212,()[,].0,()0,()0.()[,],[,],()()0,Rolle ,[,],()()0,)()0,[,]x x u x a b x x u v uv v x v x v x ux x w a b w x w x c x x vu v uv w c c u v uv c u v uv v x x ''<-≠≠≠==∈''-'''''==-=-设是的在的两个根,由于如果在上没有根则=在连续由定理存在使得即(此与恒不等于零的假设矛盾.故v(x)在上有证cos(),sin ,--10,sin cos .u x v x u v uv x x ''===≠根.例如的根交错出现22222222222arctan 22.:0(),arctan (tanh ).tanh 2tanh arctan arctan sinh cosh (1)arctan 1cosh ()tanh tanh (1)tanh cosh 1sinh 2(1)arctan ()2(1)tanh cosh xx f x x x xx xx x x x x x x f x x x x x x x x xg x x x xπ'>=<-'-+⎛⎫+'=== ⎪+⎝⎭-+==+证明当时函数单调递增且证22222222222222.(1)tanh cosh (0)0.()cosh 212arctan ,(0)0,2()2sinh 22arctan ,(0)0,12(1)222(1)()4cosh 224cosh 21(1)11444cosh 20(0cosh 11x x x g g x x x x g xg x x x g xx x x g x x x x x x x x x x x x x +=''=--=''''=--=++--'''=--⨯=--++++=-+>>++当时31),Taylor 0()()0,()0,.3!arctan arctan lim ()lim,0.tanh 2tanh 2x x x g x g x x f x f x x f x x x x θππ→+∞→+∞>>'=>>==><由公式,对于有严格单调递增故对于有22222tan 23.:0.2sin ()sin tan ,()cos tan sin sec 2sin sin sec 2,()cos sec 2sin sec tan 2(cos sec 2)2sin sec 201(cos sec cos 2,(0,/2)).cos (0)(0)0x x x x xf x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x xf f ππ<<<=-'=+-=+-''=++-=+-+->+=+≥∈'==证明当时有证2223222,Taylor ()tan ()0,sin tan 0,((0,/2)).2sin 24.:(1)1,0.(2)ln(1),0.2(3)sin ,0.611,0.21(2)ln(1),0.(1)ln(1)x x xf x x x f x x x x x x x xe x x x x x x x x x x x e e x x x x x x x x x x x x x θθπθ''=>-><∈>+≠-<+>-<<>=++>+≠+=-<>++=-根据公式,证明下列不等式证(1)2233321,0.23(1)2(3)()sin ,(0)0,()1cos 0,2()0,0,()(0)0,0.()sin ,6()cos 1,()sin 0,0.02,()(0)0,x x x x x f x x x f f x x x n f x x f f x f x x g x x x x g x x g x x x x g x g x g x θπ+>->+''=-==-≥==>>=>⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎛⎫'''=--=-+>>> ⎪⎝⎭>=仅当时故当时严格单调递增当时严格单调递增2111ln 120.25.(1)(1)(1),[0,1)...ln ln(1),11...26.()tan /4Taylor tan(50)()sec ,()nn n n n nniin n i i qx qn n n x q q q q x q q qx x q q q q x eex x f x x x f x x f x π+==-︒>=+++∈-=+<=<--=<=='''==∑∑L 设其中常数证明序列有极限单调递增有上界故有极限求函数在处的三阶多项式,并由此估计的值.证解22242sec tan ,()4sec tan 2sec .x x f x x x x '''=+()1,()2,()4,()16.4444f f f f ππππ''''''====233238()122.443448tan(50)tan122 1.191536480.4363636336of x x x x xπππππππππ︒⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≈+⨯++≈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭227.0,(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1).11()ln(1),(),()0,1(1)0,(1)(1)ln(1)ln(1)(1)(1)(1)(1)ln1(1)(1)(1)ln1(1a b a a b b a b a bf x x f x f xx xf xa ba ba b a ba ab ba b a ba b aa<<+++++<++++'''=+==-<++>+++++++++⎛⎫++<++⎪++++⎝⎭++<++设证明在上凸证(1)ln(1).)(1)a b ba bb a b⎛⎫+++=++⎪+++⎝⎭3221228.,,,114,2, 1.0,1,1.333()(-)(-)(-)2.1()341(31)(1)0,, 1.311()0,,11()0,3a b ca b c a b c ab bc ca a b cf x x a x b x c x x x abcf x x x x x x xx x f x f x f x ff<<++=++=<<<<<<==-+-'=-+=--===''<>><<<设有三个常数满足证明：考虑多项式1当或时严格单调递增当时严格单调递减.3如果证(0)(1)0,144.()()0,3327144,,.(0)(1)0,()()0.3327,114(0,),(,1),(1,),,,,.333f abc ff f abc ff a b c f f abc f f abcfa b c==-≥==-≤==-<==->将至多有两个实根如果也将至多有两个根(见附图).而实际有根故并且考虑到严格单调性于是在各有一实根正是故结论成立29.()()[,],[,],()().:,[,],()()0,()0,[,].()()()()()0,()[f x f x a b x a b f x f x c d a b f c f d f x x c d f x f x x f x f x g x x ''''∈∈==≡∈''''''''+≥='≡∈设函数的二阶导数在上连续且对于每一点与同号证明若有两点使则由于与同号,单调故2证(f(x)f (x))=f f(x)f (x),g(c)=g(d)=0,f(x)f (x)0,2222,].(())2()()0,[,].(),[,].()0,()0,[,],()0,[,].c d f x f x f x x c d f x C x c d f c f x x c d f x x c d ''=≡∈≡∈=≡∈≡∈故即 32323333333233030.()271391Taylor .()61413,()1214,()12.(1)1,(1)5,(1)2,(1)12.()15(1)(1)2(1).31.().(1):()Tayl n n P x x x x x P x x x P x x P x P P P P P x x x x P x n P x x =-+-=''''''=-+=-=''''''=-==-==-+---+-求多项式在处的公式设是一个次多项式证明在任一点处的解()000()(1)0or 1()()()().!(2),()0,()0(1,2,).().(1)().(1):(),()0,(,).Lagrange Taylor ()n n n n n k n n n n n n n n P x P x P x P x n a P a P a k n P x a P x n P x n P x x x P x +'=+++>≥=≡∈-∞+∞=L L 公式为若存在一个数使证明的所有实根都不超过是一个次多项式证明因为是一个次多项式故在任一点处,根据带余项的公式证()(1)1000000()00000()11()()()()()()()!(1)!1()()()()().!1(2)()()()()()()()0(),!().n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n P x P x x x P x x x P c x x n n P x P x x x P x x x n P x P a P a x a P a x a P a x a n P x a ++'+-++-+-+'=+-++-'=+-++-≥>≥L L L 故的所有实根都小于232.()(0,),0,|()|,|()|,.:|()|(0,).()(0,),0.()()(),21()()(()()).22|()|(*).22(*)2f x x f x A f x B A B f x x f c x h f x h f x f x h h f c f x f h f x h h A Bf x h h A B h h +∞>'''≤≤≤∈+∞'''∈+∞>+=++'''=+--'≤+=设函数在上有二阶导数又知对于一切有其中为常数证明任意取当时右端取最小值证|()|h f x '=≤.在(*)中取即得仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章定积分 2 含答案精品

学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?答案不唯一．根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； ②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常见的原函数与被积函数关系①ʃb a C d x ＝Cx |b a (C 为常数)．②ʃb a x n d x ＝1n ＋1xn ＋1|b a (n ≠－1)； ③ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a ； ④ʃb a cos x d x ＝sin x |b a ；⑤ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)； ⑥ʃb ae x d x ＝e x |b a ； ⑦ʃb a a x d x ＝⎪⎪a x ln a ba (a >0且a ≠1)；⑧3223＝b ax x ⎰(b >a >0)．类型一求定积分命题角度1 求简单函数的定积分例1 求下列定积分．(1)ʃ10(2x ＋e x)d x ；(2)ʃ21(1x －3cos x )d x ； (3)π220(sin cos )d 22－；x xx ⎰(4)ʃ30(x －3)(x －4)d x .解 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|1＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)ʃ21(1x －3cos x )d x ＝(ln x －3sin x )|21 ＝(ln2－3sin2)－(ln1－3sin1) ＝ln2－3sin2＋3sin1. (3)∵(sin x 2－cos x 2)2＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，∴π220(sin cos )d 22－x x x ⎰＝π20(1sin )d －x x ⎰π20(cos )|＝＋x x＝(π2＋cos π2)－(0＋cos0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴ʃ30(x －3)(x －4)d x＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x＝(13x 3－72x 2＋12x )|30 ＝(13×33－72×32＋12×3)－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤 ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算函数的增量F (b )－F (a )．跟踪训练1 计算下列定积分．(1)ʃ21(x －x 2＋1x)d x ； (2)π2220(cos sin )d 22－；x xx ⎰(3)ʃ94x (1＋x )d x .解 (1)ʃ21(x －x 2＋1x)d x ＝(12x 2－13x 3＋ln x )|21 ＝(12×22－13×23＋ln2)－(12－13＋ln1) ＝ln2－56.(2)π2220(cos sin )d 22－x x x ⎰ ＝π20cos d x x ⎰π20sin | 1.＝＝x(3)ʃ94x (1＋x )d x ＝ʃ94(x ＋x )d x ＝(23x 32＋12x 2)|94＝(23×932＋12×92)－(23×432＋12×42)＝2716. 命题角度2 求分段函数的定积分例2 (1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (0≤x <π2)，1(π2≤x ≤2)，x －1(2<x ≤4)在区间[0,4]上的定积分；(2)求定积分ʃ20|x 2－1|d x .解 (1)⎠⎛04f (x )d x ＝π222π042sin d 1d (1)d x x x x ⎰⎰⎰＋＋－＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪ π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋(12x 2－x )⎪⎪⎪42＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.(2)∵|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[0，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，又(x －x 33)′＝1－x 2，(x 33－x )′＝x 2－1，∴ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10|x 2－1|d x ＋ʃ21|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝(x －x 33)|10＋(x 33－x )|21＝1－13＋83－2－13＋1＝2.反思与感悟分段函数的定积分的求法(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1<x ≤2，求ʃ20f (x )d x .解 ʃ20f (x )d x＝ʃ10(1＋2x )d x ＋ʃ21x 2d x＝(x ＋x 2)|10＋13x 3|21 ＝2＋73＝133.(2)求ʃ2－2|x 2－x |d x 的值．解 ∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x <0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1<x ≤2，∴ʃ2－2|x 2－x |d x＝ʃ0－2(x 2－x )d x ＋ʃ10(x －x 2)d x ＋ʃ21(x 2－x )d x＝(13x 3－12x 2)|0－2＋(12x 2－13x 3)|10＋(13x 3－12x 2)|21 ＝143＋16＋56＝173. 类型二利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt 0f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．答案 (1)3 (2)[23，2]解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3. (2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝f (t2)，求t .解由ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ，又f (t2)＝t －1，∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．解 F (t )＝ʃt 0f (x )d x ＝t 2－t ＝(t －12)2－14(t >0)，当t ＝12时，F (t )min ＝－14.反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0，1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案 (1)[0，2) (2)33解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0，1])． ∴f (x )的值域为[0，2)．(2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . 又f (x 0)＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33.∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.1．若ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln2，则a 的值是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2，解得a ＝2. 2.π230(12sin )d 2θθ-⎰等于( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 D 解析π230(12sin )d 2θθ-⎰＝π30cos d θθ⎰＝sin θ⎪⎪⎪⎪π3＝32.3．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，ʃ10f (x )d x ＝－2.求a ，b ，c 的值．解 ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2， ① f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝b ＝0，②ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝13a ＋c ＝－2， ③由①②③可得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算：⎠⎛0πf (x )d x .解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝ππ2π02()d ()d f x x f x x +⎰⎰＝ππ2π02(42π)d cos d －x x x x +⎰⎰，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以ππ2π02(42π)d cos d －x x x x +⎰⎰＝(2x 2－2πx )⎪⎪⎪⎪ π20＋sin x ⎪⎪⎪⎪ππ2 ＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．课时作业一、选择题1．ʃ21(e x＋1x )d x 等于( ) A ．e 2－ln2 B ．e 2－e －ln2 C ．e 2＋e ＋ln2 D ．e 2－e ＋ln2答案 D解析 ʃ21(e x ＋1x )＝(e x ＋ln x )|21 ＝(e 2＋ln2)－(e ＋ln1)＝e 2－e ＋ln2. 2．ʃ0－4|x ＋2|d x 等于( )A ．ʃ0－4(x ＋2)d xB ．ʃ0－4(－x －2)d xC ．ʃ－2－4(x ＋2)d x ＋ʃ0－2(－x －2)d xD ．ʃ－2－4(－x －2)d x ＋ʃ0－2(x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴ʃ0－4|x ＋2|d x ＝ʃ－2－4(－x －2)d x ＋ʃ0－2(x ＋2)d x .故选D.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝13×23－13＝73， S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln2， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．又ln2<lne ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.4．若ʃk 0(2x －3x 2)d x ＝0，则正数k 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2答案 B解析 ʃk 0(2x －3x 2)d x ＝x 2－x 3|k 0＝k 2－k 3＝0，解得k ＝1或0(舍去)．5．若函数f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 ∵f ′(x )＝mx m －1＋n ＝2x ＋1，∴m ＝2，n ＝1. 则f (x )＝x 2＋x ，∴ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x＝(13x 3－12x 2)|21＝56. 6．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为( )A.19B.29C ．－19D ．－29 答案 B解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ，由二次函数的性质，可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29.7．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13C.13 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13. 二、填空题8．ʃa －a (x cos x －5sin x ＋2)d x ＝________. 答案 4a解析 ∵ʃa －a x cos x ＝0， ∴ʃa －a (x cos x －5sin x ＋2)d x ＝ʃa －a (－5sin x ＋2)d x ＝(5cos x ＋2x )|a －a ＝4a .9．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________. 答案－1或13解析 ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝____________. 答案 1解析因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．已知α∈[0，π2]，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 答案 π4解析 ʃα0(cos x －sin x )d x＝sin α＋cos α－1＝2sin(α＋π4)－1.∵α∈[0，π2]，则α＋π4∈[π4，34π]，当α＋π4＝π2，即α＝π4时，2sin(α＋π4)－1取得最大值．三、解答题12．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.13．已知函数f (x )＝ʃx 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．解 f (x )＝ʃx 0(at 2＋bt ＋1)d t ＝(a 3t 3＋b 2t 2＋t )| x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数，∴b2＝0，即b ＝0.又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13. ∴a ＝－52. 四、探究与拓展14．已知ʃ20f (x )d x ＝8，则ʃ20[f (x )－2x ]d x ＝________.答案 4解析 ∵ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ∴ʃ20[f (x )－2x ]d x ＝ʃ20f (x )d x －2ʃ20x d x ＝8－2×2＝4.15．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．解因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.。

2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章定积分含答案精品

1 巧记“原函数”微积分基本定理告诉我们要求积分值，找到被积函数的一个原函数是关键，为方便大家使用，下面探求了一些常见函数的原函数． (1)常数函数c 的一个原函数为cx .(2)x n的一个原函数为x n ＋1n ＋1(n ≠－1，n ∈Q ＋)．(3)cos x 的一个原函数为sin x . (4)sin x 的一个原函数为－cos x .(5)a x的一个原函数为a xln a(a >0，且a ≠1)．(6)e x 的一个原函数为e x . (7)1x的一个原函数为ln x (x >0)．温馨提示一个被积函数的原函数不是唯一的，有无数多个，即在每一个原函数后面加上一个常数，求导后不变，但具体利用ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )求值，只需找一个最简单的原函数即可．2 多法求解定积分用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 时，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的F (x )，但在求解函数F (x )时经常会遇到计算上的复杂，或者找不到函数F (x )等情况，本文介绍几种简化求解定积分的方法． 1．几何法例1 用定积分的几何意义求ʃb a －(x －a )(x －b )d x (b >a )的值．解 ʃb a －(x －a )(x －b )d x 表示f (x )＝－(x －a )(x －b )，x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成图形的面积．由y ＝－(x －a )(x －b )，得y 2＋(x －a ＋b 2)2＝⎝⎛⎭⎫b －a 22(y ≥0)．故f (x )＝－(x －a )(x －b )表示的曲线是半圆．故所求面积为圆心在⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0，半径r ＝b －a 2的上半圆的面积，即π·⎝⎛⎭⎫b －a 22·12＝π(b －a )28. 综上所述，ʃb a－(x －a )(x －b )d x ＝π(b －a )28.点评运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力． 2．函数性质法例2 求⎠⎛－1212－12lg 1＋x 1－x d x 的值．解记f (x )＝lg 1＋x1－x ，易知定义域为(－1,1)，因为f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg(1＋x 1－x )－1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，因此有⎠⎛－1212lg1＋x1－xd x ＝0. 点评从定积分的定义(或几何意义)可知，偶函数f (x )有ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x ；奇函数f (x )有ʃa －a f (x )d x ＝0. 3．转化法例3 计算定积分ʃπ20sin 2x2d x 的值．解 ⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x＝⎠⎜⎛0π212d x －12⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝12x ⎪⎪⎪⎪π20－12sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝π4－12·0－12sin π2＋12sin0＝π4－12. 点评较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分． 4．分段法例4 求定积分ʃ2－1x |x |d x 的值．解因为f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以ʃ2－1x |x |d x ＝ʃ0－1(－x 2)d x ＋ʃ20x 2d x＝－x 33| 0－1＋x 33| 20＝－13＋83＝73.点评这类积分不能直接求解，需要变换被积函数，从而去掉绝对值． 5．换元法例5 求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积．解方法一选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和．解⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8，y 2＝4. 所以交点为A (2，－2)，B (8,4)．选取x 为积分变量，则0≤x ≤8.因此S ＝2ʃ202x d x ＋ʃ82(2x －x ＋4)d x332282202(4)18.332＝＋＝x x x x +-方法二选取纵坐标y 为积分变量，则－2≤y ≤4，所求图中阴影部分的面积为S ＝ʃ4－2⎝⎛⎭⎫y ＋4－y 22d y ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫y 22＋4y －y 364－2＝18. 点评从上述两种方法中可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷．因此，应用定积分求解平面图形的面积时，积分变量的选取至关重要．但同时也要注意对y 积分时，积分函数应是x ＝φ(y )，本题需将条件中的曲线方程、直线方程化为x ＝y 22，x ＝y ＋4的形式，然后求面积.3 利用定积分速求面积1．巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便．例1 求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成的图形的面积．分析解此类题的一般步骤是：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分的上、下限；④计算．解画出图像如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，得A (－1，1)，B (3，9)．故所求图形的面积为ʃ3－1(2x ＋3－x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2＋3x －13x 33－1＝323. 点评本题若选纵坐标y 为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变． 2．妙用对称在求平面图形的面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，这也是简化计算过程的常用手段．例2 求由两条曲线y ＝x 2,4y ＝x 2和直线y ＝1所围成的图形的面积．分析先画图像，分析由哪几块组成，再转化为定积分求解．解如图，因为y ＝x 2，4y ＝x 2是偶函数，根据对称性，只需算出y 轴右边的图形的面积再乘以2即可．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝1，和⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝x 2，y ＝1.得交点坐标(－1，1)，(1，1)，(－2，1)，(2，1)．所以S ＝2⎣⎡⎦⎤ʃ10⎝⎛⎭⎫x 2－x 24d x ＋ʃ21⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫14x 310＋x 21－⎝⎛⎭⎫112x 321＝43. 点评巧用对称性能简化解题． 3．恰到好处的分割例3 求两曲线y ＝sin x 与y ＝sin2x 在[0，π]上围成的图形的面积．分析先画图像，找出积分区间，发现可分割成两部分，再用微积分基本定理分别求面积．解如图，令sin x ＝sin2x ，得交点的横坐标为x ＝0，x ＝π3，x ＝π.由图形分割，得S ＝⎠⎜⎛0π3(sin2x －sin x )d x ＋⎠⎜⎛π3π(sin x －sin2x )d x ＝52.点评类似本题图形的面积的求法，适当的分割是关键，应注意掌握这种分割的处理方法．。

微积分北京大学出版社第5章定积分--答案

第 5 章定积分练习补充与答案一填空选择 1. (03)
1
−1
∫ ( x + x )e
−1
−x
dx =
1 1 1 −x 1 0 1 1
解法 1：原式=
0
∫
1
xe dx + ∫ xe dx = 2∫ xe dx + 0 = −2∫ xde = −2 x e
−x −x −x −x −1 0 0
+ 2∫ e− x dx = −2e−1 − 2 e− x = 2 −
1 1 8（07） ∫ 3 e x dx = x 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x 2 = e2 解原式= − ∫ de = − e + ∫ e d = − e + 1 + e x x x 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
2
9（02）设 F ( x) =
x2 f ( t )dt ，其中 f ( x) 为连续函数，则 lim F ( x) = （ x →a x−a ∫ a
2
π
2
; x = 0, t = 0
π
2
π
2
1 + cos 2t ⎛1 1 ⎞2 π 原式= ∫ cos t cos tdt = ∫ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ = 4 2 ⎝2 4 ⎠0 0 0
(注：该题利用几何意义积分比变量替换积分简单)
+∞
π
7（00）
∫e
1
x
1 dx = + e 2− x
6.（00）
⎛1⎞ f⎜ ⎟ ⎝ x⎠
∫
0
1
2 x − x 2 dx =

北大版高等数学第三章积分的计算及应用答案习题

习题3.22222222222222222222111.ln ln ln ln 222111ln ln ln .222224111122.1212212ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax x x xdx xdx x x d xx x x x x x dx x xdx x C x x e dx x de x e e dx x e xe dxa a a a ax x e xde x e e e dx a a a a a x e a ==-=-=-=-+==-=-=-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列不定积分：2223223222122122.1113.sin 2cos 2cos 2cos 222211cos 2sin 2.244.arcsin arcsin arcsin arcsin 11arcsin 21ax ax ax ax ax x xde x e e e C a a a ax e x C aa a x xdx xd x x x xdxx x x C xdx x x xd x x x x x x x x =-++⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭=-=-+=-++=-=--=+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arcsin 1.x x C - 2222222222225.arctan arctan arctan arctan 11(1)1arctan arctan ln(1).2121116.cos3cos3cos3cos32221313cos3sin 3cos3sin 322241x x x x x x x x xdxxdx x x xd x x x x d x x x x x x C x I e xdx xde e x e d xe x e xdx e x xde =-=-++=-=-+++===-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()22222223cos3sin 33cos324139cos3sin 3,2444131cos3sin 32cos33sin 3.132413sin 37.sin 3sin 33cos3sin 33cos3sin 33x x x x x x x x x x x x x x x e x e x e xdx e x e x I I x x e C x x e C xI dx xde e x e xdxee x xde e x e -------+-=+-⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭==-=-+=--=--⎰⎰⎰⎰⎰()cos33sin 3x x e xdx -+⎰()sin 33(cos33),1sin 33cos3(sin 33cos3).1010x x x x xe x e x I e I e x e x C x x C -----=--+=--+=-++ ()()22222222118.sin sin sin cos 1sin cos 1sin cos sin 1sin cos .11sin cos ,1(sin co ax axax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax axb I e bxdx bxde e bx e bxdx a a abe bx bxde a a be bx e bx b e bxdx a a be bx e bx bI a ab I e bx e bx b a a a e I a bx b a b ===-=-=-+=-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭+=-+⎰⎰⎰⎰⎰s ).bx C +222222222222229.1919191921919191919,1911119ln(319)2231119ln(319).26I x dx x x x x x x dx x x I x I x x x Cx x x C =+=++=++⎛⎫=++- +⎝⎛⎫=+- +⎝=++++=+++⎰⎰2222222222210.cosh sinh sinh sinh sinh cosh .11.ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1.112.(arccos )(arccos )21(arccos )2arcco x xdx xd x x x xdx x x x C x x dx x x x xd x x x x x x x x x C x x dx x x dxxx x ==-=-++=++-++=+-=++++=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰)222s 1(arccos )211x x x x x dx-=--+⎰⎰22(arccos )212.x x x x x C =---+()2222222222arccos 1113.arccos (1)21arccos 12(1)2(1)1arccos .2(1)2114.arctan arctan 2(1)1arctan .,,22122arctan ,11arc x xdx xdx x x x x x x C x xxdx x x x xxdx x x x u x u dx udu xxdx u uduu u C x u =--=+---=++--=+====+==-+++⎰⎰⎰⎰⎰12()2arctan (arctan )(1)arctan .xdx x x x x C x x x x C x x x C =-+=+=+⎰ 22222222arcsin 1arcsin 15.arcsin 1arcsin 0)1/1arcsin arcsin ln |1/1/11/1arcsin ln(11ln arcsin ln(11ln ||(0)(x x dx xd x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x x Cx x x x C x x⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭-=-+>-=--=---+-=-+--+=-+--+≠⎰⎰原函数为偶函数424322442423442442434).1(ln )12ln 16.(ln )(ln )444(ln )1(ln )1ln ln 4248(ln )1(ln )1ln ln .482488x x x xdx x x dx x dx xx x x x x xdx xdx x x x x x x x x dx x x C ==-=-=-=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰223/225/225/2arctan 1arctan (1)1217.arctan (1)(1)2(1)23x xdx xd x xd x x x -+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰223/225/2arctan 1.tan ,(/2,/2).sec ,3(1)3(1)x dx x u u dx udu x x ππ=-+=∈-=++⎰ 3225/23322325/223/222323/223/22cos (1sin )sin (1)11sin sin ,3311arctan arctan 11(1)3(1)3311arctan 1.3(1)39(1)1dx udu u d u x u u C C x x x xdx x C x x x x x x C x x x ==-=+⎛⎫=-+=+++⎛⎫⎛⎫⎪=-++⎪++++⎭=-+++++⎰⎰⎰⎰ 222222222222222222222118.ln(1)ln(1)211ln(1)22111ln(1)221111ln(1)12221111ln(1)1ln(1)ln(1)222221ln(12x x x dx x x dx x x x x x x x x x x x x dx x x x x x x x x x x Cx x ++=++=++-+=++-+=++-+++⎛⎫+++=++-++++ ⎪ ⎪⎝⎭=++⎰⎰22211)1ln(1.44x x x x x C -++++。

微积分课后题答案

微积分课后习题答案习题一（A ）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74<-x ；（2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ；（4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ；（6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ；4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得ax x ax δδ+<<-00，即ax a x δδ+-00 , () 5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2）， (∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由：（1）x y =与x y lg 10=；（2）xy 2cos 1+=与x cos 2；（3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =；（5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ；（6）xxy +-=11lg 与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞- 时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立； 4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+； 6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）：（1）1)4lg(--=x x y ；（2）45lg 2x x y -=；（3）xx y +-=11；（4）)5lg(312x x x y -+-+-=；（5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=；（7）xy x-+=1 lg arccos 21；（8）6712arccos2---=x x x y ．解：1)原函数若想有意义必须满足01>-x 和04>-x 可解得 ⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(.3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-. 4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x ,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃- 8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210,30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(-3)0(==y 8)3(==y .图略2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ；（2）x y sin 2=；（3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。

微积分北京大学出版社课后详解

2、选择适当的坐标系计算下列二重积分. （1）
∫∫ (
D
x + y )dσ ，其中 D 由坐标轴与抛物线 x + y = 1 所围.
4
解：设 x = r cos
θ , y = r sin 4 θ ， dσ = 4 cos3 θ sin 3 θ rdrdθ
y 1 0
x + y =1
2
1
x
D: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤
1 2
x
π π π 1 34 1 34 1 34 4 2 2 θ + θ θ = + θ θ = cos sin d 1 sin 2 d ) ) π ( π ( π (1 + 2sin 2θ + sin 2θ ) dθ ∫ ∫ ∫ − − − 3 4 3 4 3 4
3π
π 1 34 1 + cos 4θ ⎛ = ∫ π 1 + 2sin 2θ + ⎜ 3 −4 ⎝ 2
1⎛ 3 1 ⎞ ⎞ 4 π ⎟ dθ = ⎜ θ + 2sin 2θ + cos 4θ ⎟ π = 3⎝ 2 2 2 ⎠ ⎠−
4
（3）
∫∫
D
1 − x2 − y 2 dxdy ，其中 D 由 x 2 + y 2 = 1, x = 0, y = 0 所围. 1 + x2 + y 2
解：D: 0 ≤ θ ≤
∫π
π
3
4
dθ ∫ cosθ
π π
3 4
π π π 1 1 1 3 3 cosθ dθ = rdr = ∫ π3 r 0 d θ = π π sec θ dθ ∫ ∫ r cos θ 4 4 4

微积分北京大学出版社课后详解

2
又因为
则由莱布尼茨判别法知， ∑ (−1) n
n =1
∞
1 n + 2n
2
收敛，故原级数条件收敛.
（3） ∑ 解
sin nα ； n2 n =1
∞ ∞ ∞ sin nα 1 1 ，而收敛，故 ≤ u n 收敛，即原级数绝对收敛. ∑ ∑ 2 n2 n2 n =1 n n =1
由于 un =
∞
（4） ∑ (−1) n −1 tan
n =1
π
2n
；
解
由于 un = tan
∞
π
2n
∼
π
2n
，而 ∑
n =1
∞
π
2n
收敛，故 ∑ u n 收敛，即原级源自绝对收敛.n =1∞
（5） ∑ (−1) n
n =1
1 ； ln( n + 1)
∞ ∞ 1 1 1 ，而 ∑ 发散，故 ∑ u n 发散， > ln(n + 1) n + 1 n =1 n + 1 n =1
则由莱布尼茨判别法知，级数发散. ∞ ∞ n n +1 法 3 ∑ (−1) n ln = ∑ ( −1) n −1 ln n + 1 n =1 n n =1 由于 un = ln
n +1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 = ln ⎜ 1 + ⎟ ，∵ n → ∞, ln ⎜ 1 + ⎟ ∼ ， n ⎝ n⎠ n ⎝ n⎠
n =1 ∞
n ；（本题有争议，删掉） n +1
1
解法 1 由于 un = ln
n 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎛ ⎛ ， = ln ⎜ 1 − ⎟ ，∵ n → ∞, ln ⎜ 1 − ⎟∼− n +1 n +1 ⎝ n +1⎠ ⎝ n +1⎠

(整理)北大版高等数学课后习题答案_完整版.

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p pp q p q pq qp p k p k p k k p k kp p k k q q k q p qpa aa b p a pbb b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证2.证1.2222222,, .,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p aa pk p k pb pk b p b a bx x xx x x x xx x xx x x xX===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x xa b a b a b a b a ba ab b a b b a b b a b a ba b a b b a b b⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+ =++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a lx x x x Xl X a l a l l x a l Xaa nna b a++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n nnn nnn nn n nb b na b a bn b amA A m A a b ABC B A x x bC A x x a B m m Cb a m m--+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合=若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10nn nna b a bmn b a A m<-=∈Z,此与的选取矛盾.设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题. 8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证3.:20022222000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-10110010010100101lim 0.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n→∞--→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=1.=033233030312(1212)5lim(112)55lim.3(112)(16)0,l x x x xx x x x x xx x x x x x x a →→→→-+=++-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=+00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin(1)lim lim lim cos .tansin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fax xe eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin3322.(4)lim arctan arctan lim arctan1.114xxx xex xπ→∞→∞====++()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3.(2)lim limlimxx xxxxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x + 00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:sin sin111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'===+=>⎛⎫'==+==≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=+++++ '=⎡⎤'=+'=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin 811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ=+'=-+'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

微积分北京大学出版社课后详解

解
∞ 1 ⎞ 1 1 ⎛ 由于 n → ∞, ln ⎜ 1 + 2 ⎟ ∼ 2 ，而 ∑ 2 收敛，∴ 原级数收敛. ⎝ n ⎠ n n =1 n
（6） ∑
ln n ； 2 n =1 n
1 n 1 2 n
∞ 1 2 0 ，其中 ∑ 3 收敛，∴ 级数收敛. n n =1 2 n
∞
ln n 2 ln n 解 ∵ lim n = lim 1 = lim n →∞ 1 n →∞ n →∞ n2 3 n2
∞
（2） ∑
n =1
1 ； n(n + 2)
1 ∞ n( n + 2) 1 = 1 ，其中 ∑ 发散，∴ 级数发散. 1 n =1 n n
解
lim
n →∞
（3） ∑ 2n sin
n =1
∞
π
3n
；
∞ 2n ⎛2⎞ 解由于 n → ∞,sin n ∼ n ，故 2 sin n ∼ n π ，而 ∑ π ⎜ ⎟ 收敛，∴ 级数收敛. 3 3 3 3 ⎝3⎠ n =1 n ∞ 3 ⋅ n! （4） ∑ n ； n n =1
u 1 1 1 1 1 = < 1， ∼ n ，则 lim n +1 = lim ( n + 1) sin n +1 ⋅ n n →∞ u n →∞ 1 3 3 3 n n sin n 3 3
（4） ∑ n tan
n =1
∞
π
2n
；
解
由于 n → ∞, tan
π
2
n
∼
π
2
n
，则 lim
un +1 π 1 1 = lim ( n + 1) tan n +1 ⋅ = <1， n →∞ u n →∞ π 2 n n tan n 2 2

微积分北京大学出版社课后详解

（2）
∫∫ ( x + 2 y)dσ ，其中 D 由直线 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围.
D
解：D: 0 ≤ x ≤ 1 , 原式=
0 ≤ y ≤ 1− x
1 1− x 0
y
1 1 (1 − x)dx 2 ∫0
∫
1 0
dx ∫
1− x 0
( x + 2 y )dy = ∫ ( xy + y 2 ) 0 dx =
y
ln 2 ≤ y ≤ ln 3
ln3 ln2
解：D: 2 ≤ x ≤ 4 , 原式=
1n3
ln3 ln2
∫
dy ∫ ye xy dx = ∫
2 2 y ln 3
4
e xy dy = ∫
2
4
(e
4y
− e 2 y ) dy
1n2
o
=
1 1 1 1 e − e = ( e 4ln 3 − e 4ln 2 ) − ( e 2ln 3 − e 2ln 2 ) ln 2 ln 2 4 2 4 2 1 4 1 55 3 = 13 = ( 3 − 24 ) − ( 32 − 22 ) = 4 4 2 4
1
x+ y=1
0 ≤ x ≤1,
原式=
0
-1
−x − y = 1
− e−1 ) dx + ∫ ( e − e2 x −1 ) dx
1 0
o
∫
0 −1
dx ∫
1+ x
1+ x
−1− x
e x + y dy + ∫ dx ∫
1 1− x x −1 0

微积分北京大学出版社课后详解

)
∞ ⎞ (2n)!⎛ 1 ⎜− 1 ⎟ 当 x = − 时，级数为 ∑ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 2⎠ 2 n=1 ( n !) ⎝
2 n−1
2n 2 n−1 ∞ 4π n ( 2n) e−2n (1 + o (1) ) ⎛ 1 ⎞2n−1 2n) ! ⎛ 1 ⎞ ( −2 un = − = − = ； ∵ ∑ ⎟ ⎟ 2 ⎜ 2 ⎜ π n (1 + o (1) ) n =1 ( n!) ⎝ 2 ⎠ ( 2π nnne−n (1+ o (1))) ⎝ 2 ⎠
故收敛区间和收敛域均为 (− ∞,+∞ ) . （4） ∑ (−1) n
n =0 ∞
3n n x ； n!
解
收敛半径 R = lim
n →∞
an 3n ( n + 1) ! = lim ⋅ n +1 = ∞ ， an +1 n→∞ n ! 3
故收敛区间和收敛域均为 (− ∞,+∞ ) . （5） ∑ 解
∵ ∑ nx
n =1
∞
n −1
= ∑( x
n =1
∞
n '
)
′ ′ ′ 1 ⎞ 1 ⎛ ∞ n⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ = ⎜∑ x ⎟ = ⎜ ， ⎟ = ⎜ −1 + ⎟ = 1 − x ⎠ (1 − x)2 ⎝ n =1 ⎠ ⎝ 1 − x ⎠ ⎝
∴ ∑ nx n =
n=0
∞
x (1 − x ) 2
（4） ∑ (−1) n
n =0
∞
x 2 n +1 ； 2n + 1
5
解
令 S ( x) =43;1 ( −1 ≤ x ≤ 1) ， 2n + 1

北大微积分1(2018.4.21号答案)

x0处
连续. lim x0
f1 x f1 0
x0
lim H x0
x 极限不存在，故
f1 x 在 x
0 不可导.易证，在其他的
无理点或有理点均不连续，故也不可导.
f2
x
xH
x
x2 , x 2
,
xQ , lim
x Q x0
f2
x
lim x0
f2 x
f2 0 0 f1 x 在
x0处
连续. lim x0
f2 x f2 0
x0
lim xH x 0 ,故 x0
f1 x 在 x
0 可导.
易证，在其他的无理点或
有理点均不连续，故也不可导.
5.形如 y kx2 的抛物线与 x2 2 y2 c2 的椭圆在交点处的切线相互垂直.
证：由对称性不妨设 k 0 ,设抛物线和椭圆相较于点 P x0 , y0 ，则 P 在 x 轴上方.抛物线在
2
x2 2017x 2018 ex 20182x 2017 ex 2018 2017 2ex 2
y2018 0 2018 2018 2017 2018 2017 2018
3.证明一辆 10s 内前进了 1000m 的高铁在这 10s 内必有 2s 的时间内恰好前进了 200m.
，求 .
1 x 1 x dx
解：
2
y ln 1 x 1 x ln
1 x 1 x
ln 2 2 1 x2 ln 1 1 x2 ln x
1 x 1 x
1 x 1 x 1 x 1 x
2x
dy d ln 1
1 x2
ln x
1 2x
2
1 1 x2 1

北大版高等数学课后习题答案_完整版

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+033233223220312(1212)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xx xxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

2018.12.30北大微积分(答案版)

微积分各章习题及详细答案(供参考)

北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 第四章总练习题(二)

2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章 定积分 2 含答案 精品

2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章 定积分 含答案 精品

微积分 北京大学出版社 第5章 定积分--答案

北大版高等数学第三章积分的计算及应用答案习题

微积分课后题答案

微积分北京大学出版社课后详解

微积分北京大学出版社课后详解

(整理)北大版高等数学课后习题答案_完整版.

微积分北京大学出版社课后详解

微积分北京大学出版社课后详解

微积分北京大学出版社课后详解

北大微积分1(2018.4.21号答案)

北大版高等数学课后习题答案_完整版

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题(二)

2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章定积分 2 含答案精品

2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章定积分含答案精品

微积分北京大学出版社第5章定积分--答案