最新必修五基本不等式题型分类(绝对经典)学习资料

合集下载

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( )A.a＋d2>bc B.a＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2b a ＋a2b ≥2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 3c a ＋a3c ≥2(当且仅当a ＝3c 时等号成立)， 3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎨⎧y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

高中基本不等式的十一类经典题型

高中基本不等式的十一类经典题型种类一：基本不等式的直接运用种类二：分式函数利用基本不等式求最值种类三：分式与整式乘积结构的基本不等式种类四： 1 的妙用种类五：利用整式中和与积的关系来求最值种类六：两次运用基本不等式的题型种类七：负数的基本不等式种类八：化成单变量形式☆ 种类九：与函数相联合种类十：鉴别式法种类十一：结构高考真题10.已知 a5 1 ，函数 f ( x) a x ，若实数 m 、 n 知足 f (m) f ( n) ，则 m 、 n 的大小2关系为▲ .[分析 ] 考察指数函数的单一性 .a5 1 (0,1)，函数 f ( x) a x在 R 上递减 .由 f (m) f (n) 得： m<n.2种类一、基本不等式的直接运用 1 （ 1）求 yx(4 x)(0 x 4) 的最大值，并求取时的 x 的值（改 y 2x(4x) ）（ 2）求 yx 4 x 2 (0 x 2) 的最大值，并求取最大值时x 的值（ 3）求 y x 4 x 2 ( 0 x 2) 的最大值，并求取最大值时 x 的值2 x 0, y0,1 41,则 xy 的最小值是x y3 x 0, y0,14 1, 则 x y 的最小值是x y4 已知 x ， y 为正实数，且x 2＋y2＝ 1，求 x 1＋ y 2的最大值25.f x = （ m 2 ） x 2+（ n ﹣ 8）x+1（ m ≥ 0，n ≥ 0）在区间 [ ] 上单一递减，假如函数（） ﹣则 mn 的最大值为 18 ．【解答】解：∵函数 f （x ） = （ m ﹣ 2） x 2+（n ﹣ 8） x+1（ m ≥ 0， n ≥0）在区间 [，2] 上单一递减，∴f ′（ x ）≤ 0，即（ m ﹣2） x+n ﹣8≤ 0 在 [ ， 2] 上恒建立．而 y= （ m ﹣ 2）x+n ﹣ 8 是一次函数，在 [， 2] 上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤ 0， f ′（ 2）≤ 0 即可．即，由② 得 m ≤（12﹣ n ），∴mn ≤ n （ 12﹣ n ）≤=18 ，当且仅当 m=3，n=6 时获得最大值，经查验 m=3， n=6 知足 ① 和 ② ．∴mn 的最大值为 18．故答案为： 18．种类二、分式函数利用基本不等式求最值1 设 x1，求函数 y ( x 5)( x 2)x的最值12 已知 x1，求 y x 2 3x1的最值及相应的 x 的值x 13 不等式 2x21的解集为x 3种类三、分式与整式乘积结构的基本不等式1 若 abc ，求使11 kb b c恒建立的 k 的最大值 .aa c2 若 a0, b1 1 1，求 a 2b 的最小值0 且b b12a3 函数 y ＝ log a (x ＋ 3)－ 1 (a>0，a ≠ 1)的图象恒过点 A ，若点 A 在直线 mx ＋ny ＋ 1＝ 0 上，其中 mn>0，则 m 1＋ 2n 的最小值为 ________ ．4. 设 x, yR, a 1,b 1,若 a xb x 2, a 2b 4, 则21的最大值为x y5. 求11 (0 x9) 的最小值x 9 4x 46. 已知 x 0, y 0 1 9x y m 恒建立的实数 m 的取值范围。

高中基本不等式经典题型

高中基本不等式经典题型
高中基本不等式的经典题型有很多，主要包括以下几种：
1. 直接应用基本不等式：这类题目比较简单，主要考察对基本不等式的理解和应用。

例如，利用均值不等式求最值等。

2. 分式函数利用基本不等式求最值：这类题目通常涉及分式函数，需要通过基本不等式找到函数的最值。

3. 分式与整式乘积构造基本不等式：这类题目需要构造合适的不等式，再利用基本不等式求解。

4. 利用1的妙用：在某些情况下，将1巧妙地代入不等式可以简化问题。

5. 利用整式中和与积的关系来求最值：这类题目需要利用整式的和与积的关系，结合基本不等式求最值。

6. 两次运用基本不等式的题型：这类题目需要连续运用两次基本不等式来解决问题。

7. 负数的基本不等式：当题目中出现负数时，需要特别注意不等式的方向和性质。

8. 化成单变量形式：有些题目需要将多变量问题转化为单变量问题，再利用基本不等式求解。

9. 与函数相结合：这类题目通常将基本不等式与函数结合，需要同时考虑函数的性质和不等式的约束。

10. 判别式法：通过判别式法来求解一些与基本不等式相关的问题。

11. 构造法：通过构造适当的代数式或函数，将问题转化为可以利用基本不
等式解决的问题。

以上只是高中基本不等式的经典题型的一部分，具体题型和解法可能因教材和地区而异。

在解题时，关键是要理解和掌握基本不等式的性质和运用场景，以及灵活运用各种解题技巧。

完整版)基本不等式知识点和基本题型

完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。

基本不等式经典题型

基本不等式是数学中的一个重要的工具，它可以帮助我们求解一些问题的最值。

以下是一些基本不等式的经典题型：
1. 平方和不等式：对于任何实数a和b，都有a^2 + b^2 ≥2ab。

这个不等式经常用于解决最大面积、最小距离等问题。

2. 算术-几何平均不等式：对于任何正实数a和b，都有(a+b)/2 ≥√(ab)。

这个不等式常用于解决最大/最小化问题。

3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个向量x和y，有|x|^2 * |y|^2 ≥(x·y)^2。

这个不等式在向量分析中非常常见，用于证明或计算相关的问题。

4. Holder不等式：对于任意p, q > 1且1/p + 1/q = 1，对任意非负实数序列{a_n}和{b_n}，都有(sum a_n^p)^(1/p) * (sum b_n^q)^(1/q) ≥sum a_n*b_n。

这个不等式在概率论和统计学中有重要应用。

以上只是基本不等式的一部分，它们在不同的领域和问题中有广泛的应用。

理解这些不等式及其背后的原理，并能够灵活运用它们，是提高数学能力的重要一步。

必修五基本不等式讲义

3.4 基本不等式ab ba ≥+2一、基本不等式：2ba ab +≤1、重要不等式：a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R) 当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立。

注意：（1）不等式成立的条件是“a ＝b ”，如果a 、b 不相等，则“＝”不成立；（2）不等式的变形：①a b ≤222b a + ②a b ≤2)2(b a + ③222b a + ≥2)2(b a +≥ab④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22、基本不等式：2b a +≥ab (a 、b ∈R ＋) 当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立。

注意：（1）内容：a ＞0， b ＞0，当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立；（2）其中2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数，ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

例1：求证对于任意实数a ，b ，c ，有a 2＋b 2＋c 2≥a b ＋bc ＋c a ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。

【证明】：∵ a 2＋b 2≥2ab c 2＋b 2≥2bc a 2＋c 2≥2ac∴ 2(a 2＋b 2＋c 2) ≥2ab ＋2bc ＋2ac ，∴ a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。

变式练习1：若0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2a b ，a 2＋b 2中最大的一个是（）A ：a 2＋b 2B ：2abC ：2a bD ：a ＋b变式练习2：下列不等式：（1）x ＋x 1≥2；（2）｜x ＋x1｜≥2；（3）若0＜a ＜1＜b ，则log a b ＋log b a ≤－2；（4）若0＜a ＜1＜b ，log a b ＋log b a ≥2。

其中正确的是_______________。

均值不等式推广：ba 112+ ≤ab ≤ 2ba + ≤222b a + 调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数当仅且当“a ＝b ”时“＝”成立。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型_讲义含解答

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解2a b+ 1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形：有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）2211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题

均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项1、求y = 2x+1x - 3（x > 3）的最小值2、已知x > 32，求y =22x - 3的最小值3、已知x < 54，求函数y = 4x – 2 +14x - 5的最大值。

技巧二：凑系数4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。

5、设0 < x < 32时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。

6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。

7、设0 < x < 23时，求y = x(2 - 3x) 的最大值技巧三：分离8、求y = x2 + 7x + 10x + 1（x > -1）的值域；9、求y =x2 + 3x + 1x（x > 0）的值域10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6x - 2的最小值11、已知a > b > c，求y = a - ca - b+a - cb - c的最小值12、已知x > -1，求y =x + 1x2 + 5x + 8的最大值技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性13、求函数y = x2 + 5x2 + 4的值域。

14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。

15、若+ = 2，求1x+1y的最小值，并求x、y的值。

技巧六：整体代换16、已知x > 0，y > 0，且1x+9y= 1，求x + y的最小值。

17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1x+1y的最小值18、已知a，b，x，y∈R+ 且ax+by= 1，求x + y的最小值。

19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1x+2y的最小值20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1x+4y+9z的最小值技巧七：取平方21、已知x，y为正实数，且x2 + y22= 1，求x 1 + y2的最大值。

必修五基本不等式题型分类(绝对经典)

一对一个性化辅导教案时取“当且仅当时取“基本不等式复习知识要点梳理知识点：基本不等式1．如果,a b R+∈a b+≥（当且仅当时取“=”号）.2．如果,a b R+∈22a bab+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（当且仅当时取“=”号）.在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

类型一：利用（配凑法）求最值1．求下列函数的最大（或最小）值.（1）求11xx+≥+（x0）的最小值；（2）若x0,0,24,xyy x y>>+=求的最大值（3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知51,y=42445x xx<-+-求函数的最大值类型二：含“1”的式子求最值2．已知且，求的最小值.变式1：若230,0,=1x y x y x y >>++，求的最小值变式2：230,0,=2x y x y x y >>++，求的最小值变式3：求函数2214y=(0)sin cos 2x x x π+<<的最小值类型三：求分式的最值问题3. 已知0x >，求21x x x ++的最小值变式1：求函数231()12x y x x +=≥+的值域变式2：求函数2y =类型四：求负数范围的最值问题4. 10,x x x <+求的最大值变式1：求4()(0)f x x x x =+≠的值域2212()x x f x x -+=变式：求的值域类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5.若正数a,b 满足3,ab a b =++则（1）ab 的取值范围是（2）a+b 的取值范围是变式1：若x ，y>0满足2x+y+6,xy xy =则的最小值是变式2：已知x ，y>0满足x+2y+2xy 8,x+2y =则的最小值是课堂练习： 1：已知a,b R ∈,下列不等式中不正确的是（）（A ）2ab b a 22≥+ （B ）ab 2b a ≥+ （C ）4a 4a 2≥+ （D ）4b b 422≥+2：在下列函数中最小值为2的函数是（）3：若0x >，求123y x x =+的最小值。

必修五数学基本不等式知识点总结

必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式的知识点总结如下：
1. 基本不等式的定义：对于任意的实数a和b，有a≤b，即两个数的大小关系。

2. 数轴上的不等式：通过将不等式转化为数轴上的线段表示，可以直观地表示出不等式的解集。

3. 加法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b，则a+c≤b+c。

4. 减法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b，则a-c≤b-c。

5. 乘法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且c≥0，则ac≤bc。

如果a≤b且c ≤0，则ac≥bc。

6. 除法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且c>0，则a/c≤b/c。

如果a≤b且c<0，则a/c≥b/c。

7. 对称性：对于任意的实数a和b，如果a≤b，则b≥a，反之亦然。

8. 传递性：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且b≤c，则a≤c。

9. 绝对值不等式：对于任意的实数a，有|a|≥a或|a|≥-a。

10. 三角形不等式：对于任意的三角形的边a、b和c，有a+b>c、a+c>b和b+c>a。

以上就是必修五数学基本不等式的知识点总结。

新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)范文

应用一：求最值例：求下列函数的值域•••值域为(—a, — 2] U [2 , + a)解题技巧技巧一：凑项例已知x，求函数y =4x-2的最大值。

4 4x —5解：因4x -5 ：：： 0 ,所以首先要“调整”符号，又 (4x -2) 要进行拆、凑项,*51r 1 ) /x5-4x 0, y=4x-2- 5-4x -44x —5I5—4x 丿当且仅当5-4x -，即X =1时，上式等号成立，故当X =1时，y max=1。

5-4x技巧二：凑系数例：当 -■' - 1时，求y =x(8 -2x)的最大值。

解析：由匚二U 》知，。

‘一工、-,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x • (8 - 2x)二8为定值，故只需将 y=x(8-2x)凑上一个系数即可。

y == l[2x * (8 — 2打]—店卩=8当，即x = 2时取等号当x = 2时，y = x(8-2x)的最大值为8。

解: (1)y = 3x 2 值域为[6 , + a)⑵当x > 0时, 当x V 0时, 1y = x +_ =x3—23 = 11+2x1°)戸3x 2 +示1 x • =2 ;1y = x + _ >2x 1x • = — 21(—x — _ ) < — 2x不是常数，所以对4X-23变式：设0 ：：： x ，求函数y =4x(3 -2x)的最大值。

2解:c 3 _ _ -•/ 0 ::: X .飞-2X 0 ••• y2 y= 4x(3-2x) =2 2x(3-2x)<22x 3「2x当且仅当2x=3—2x,即x=3^f0,- i时等号成立。

4 < 2丿技巧三：分离技巧四：换元2，「亠x+7x十10 “心亠例：求y (x • -1)的值域。

x +1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(X + 1 )的项，再将其分离。

必修五基本不等式题型分类(绝对经典)

一对一个性化辅导教案一、教学衔接:1检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、内容讲解： 1 .如果a,b R a b 2 ..ab 那么当且仅当八时取“二”号）. 2 2. 如果a,b R ab … 那么（当且仅当时取“二”号） 23、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值三、课堂总结与反思:带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结教学步骤及教学内容基本不等式复习知识要点梳理知识点：基本不等式1如果a,b R a b 2.ab （当且仅当时取“二”号）.22.如果a,b R ab 口（当且仅当-：时取“二”号）.2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

类型一：利用（配凑法）求最值i求下列函数的最大（或最小）值（1）求x丄-（X 0）的最小值；X 1(2)若x 0,y 0,2x y 4,求xy的最大值(3)已知，且：七—求-r' 的最大值及相应的卞的值变式1：已知x 5,求函数y=4x 2右的最大值类型二：含“ 1”的式子求最值02.已知—且亠，求，的最小值.变式1: 2 3 右x 0, y 0, x y = 1,求的最小值变式2: 2 3 x 0, y 0,x y=2，求的最小值类型三：求分式的最值问题变式3: 求函数y= 2sin x —(0 x )的最小值 cos x2 2 . 0，求-一「的最小值求负数范围的最值问题 1 x 0,求x 一的最大值 x变式1: 求函数y X 3（x 丄）的值域x 1 2 变式2:求函数y 变式1:类型四:仇.求f (x) x - (x 0)的值域x变式2:求f （x）X一红」的值域x类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5.若正数a,b满足ab a b 3,则（1）__________________________ ab的取值范围是（2）__________________________ a+b的取值范围是变式1：若X，y>0满足2x+y+6 xy,则xy的最小值是变式2：已知x，y>0满足x+2y+2xy 8,则x+2y的最小值是课堂练习：1：已知a,b R,下列不等式中不正确的是（）（A）a2圧2ab（B）宁ab（C）a2 4 4a（D）吕b2 4 2:在下列函数中最小值为2的函数是（）(A) y 1x —x (B) y x x3 3(C) y1lg x (1 x 10)(D) y1sin x (0 x —lg x sin x 23：若x 0，求y 3x 12的最小值x4：若x 3，求yx —的最小值x 35:若° x 2，求y xd 2x）的最大值。

专题复习：高中数学必修5基本不等式经典例题(学生用)

基本不等式应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数例：当时，求(82)y x x =-的最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三：分离换元例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x =+的单调性。

例：求函数224y x =+的值域。

技巧六：整体代换（“1”的应用）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

例：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。

技巧七例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2的最大值.技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.技巧九、取平方例: 求函数15()22y x =<<的最大值。

应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .。

必修五基本不等式题型分类(绝对经典)学习资料

最新必修五基本不等式题型分类（绝对经典）基本不等式复习知识要点梳理知识点：基本不等式1 •如果a,bRab2・ab （当且仅当_A_厂时取="号）・22•如果a,bRab ab（当且仅当匸一时取」’号）2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值;③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

类型一：利用（配凑法）求最值a「求下列函数的最大（或最小）1（1）求火一一（X 0）的最小值；X 1(2)若x 0,y 0,2x y 4,求xy的最大值（3）已知“〕/ ，且■••求•二|的最大值及相应的’匸的值5变式1：已知x ■，求函数y=4x2 1的最大值4 4x5X类型二：含“ 1 ”的式子求最值02 •已知「」”求：「的最小值.2 3变式1:若x 0, y 0, x y=1，求——的最小值xy变式2 :2 3x 0, y 0, x y=2，求的最小值变式求函数y= 2 2 (0 X ）的最小值类型三：求分式的最值问题X?X 13•已知x0，的最小值变式1求函数y x1 2 X3(X $的值域变式2：求函数y X2 44J的最小值类型四：求负数范围的最值问题、1 曰4. xO,求x ■的最大值X4X变式1：求f (x) x (x 0)的值域Xx12 2x 1变式2：求f (x) 亠的值域x类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5•若正数a,b满足abab 3,则(1) ab的取值范围是(2) a+b的取值范围是变式1:若x，y>0满足2x+y+6 xy,则xy的最小值是变式2:已知x ‘ y>0满足x+2y+2xy 8,则x+2y的最小值是课堂练习:1 :已知a,b R，下列不等式中不正确的是()(A) a1 2 3 b 2ab ( B) ■■- ab (C) a24n 4 b2 b222：在下列函数中最小值为2的函数是()1(A)y x-X(B) y 3X3X1 1(C)y lg x (1 x 10) (D)y sin x (Oxla x sin x 214：若x3,求yx —的最小值x33：若x0，求y3x*的最小值X1 1 6： x 0, y 0, x+3y=1求 --- 的最小值xy作业（共80分，限时40分钟）1、（5 分）1 4设x,y 为正数, 3.4.5.A. 6B.9C.12则（xy ）（丄4）的最小值为（）xyD.15A. (5分) 若a,b 为实数，且a（A ） 18（B ） 6（5分）设正数x 、y 满足2x y(A) 50 (B) 20 2，则歹3b 的最小值是（（C ） 23 （D ）24320 ，贝U lg x lg y 的最大值是（(C) 11g5(D)1（5分）已知a,b 为正实数，且a1［的最小值为（2b 1,则 ---- 、ab ）4,2B. 6C.3 ・ 2 2D. 3+2 2 (5分)设a 、b 2,2(A) 1 ab abR,且 a b, a b(B)ab 12,则必有（） a 2b 2 6.( 5分)F 列结论正确的是22,2 1A.翁XabClik 文 1 时，Igx(D)丄 ? l g xa 2b 22B.ab 0时,C.当x 2时，x —的最小值为xD.7. ( 5 分)若ab 1、P Igalgb、Q 12(lga|gb）,R ©笃，则下列不等式成立的是（）(A) R PQ (B) P Q R (C)Q P R (D)P RQ8. （5分）函数vx1—（x1）的最小值是X 19. （5分）已知两个正实数x・y满足尖系式x 4y 40,则Igx lg y的最大值是110・（5分）已知0 x-JIJx （1 2x）的最大值是211. （5分）已知x，v R，且x 4y 1，则x y的最大值为____________12. （5分）若正数a,b满足abab3,,则ab的取值范围是13. （10分）已知abc是3个不全等的正数。

高中数学必修5基本不等式题型归纳(新)

基本不等式类型：结合基本不等式“1”的妙用1、（2019∙攀技花期末）已知正数x,y 满足x+y=1，则yx ++141的最小值为（） A 、5 B 、314 C 、29 D 、2 【解析】29)51142(21)5114(21)141)](1([21141=++⋅+≥++++=++++=++x y y x x y y x y x y x y x 2、（2019∙兴庆区校级期末）若直线)0,0(1>>=+b a b y a x 过点（1，2），则a+b 的最小值是（） A 、3 B 、4 C 、223+ D 、224+ 【解析】32232232)21)((+=+⋅≥++=++=+ba ab b a a b b a b a b a 3、（2019∙遂宁期末）已知x>0，y>0，且xy y x =+2，则y x 24+的最小值为（）A 、8B 、12C 、16D 、20 【解析】,112,2=+∴=+x y xy y x 146282628)12)(24(24=+⋅≥++=++=+∴x y y x x y y x x y y x y x4、（2019∙南关区校级期末）若x>0,y>0，且,112=+y x m m y x 722+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A 、)1,(-∞B 、),1()8,(+∞⋃--∞C 、),8()1,(+∞⋃--∞D 、)8,1(- 【解析】842444)12)(2(2=⋅+≥++=++=+yx x y y x x y y x y x y x ，当且仅当x=2y=4时取等号， ,78,7222m m m m y x +>∴+>+ 解得18<<-m 。

5、（2019∙沙坪坝区校级期末）已知x,y>0，12323=+++y x ，则x+2y 的最小值为（） A 、9 B 、12 C 、15 D 、326+【解析】6)2323)](2(2)2[(6)2(2)2(2-++++++=-+++=+y x y x y x y x 3266]2)2(62)2(329[6]2)2(62)2(39[+=-++⋅+++≥-++++++=x y y x x y y x 当且仅当2)2(62)2(3++=++x y y x 时，即2233,231+=+=y x 时取等号。