清华大学微积分A习题课2_多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

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多元函数微分学

函数可导
函数可微偏导数连续
(五)复合函数求导法则
定理1 如果函数 uu(t) 及 v v(t) 都在 t 点可导,
函数 zf(u,v)在对应点( u , v ) 具有连续偏导数,则
复合函数 zf[u (t),v(t)]在点t 可导,且
dzzduzdv. dt udt vdt
求全导数 d z .
u
dt
zv
t
解 dzzduzdvzdw dt udt vdt wdt
w
vetu ( sin t) co sw
e tc o s t e ts i n t c o s t
测试点复合函数求导的链式法则.
例5 设 zz(x,y) 是由方程 xyzx2y2z22
(二)方向导数和梯度的公式
设函数 f(x, y,z)在点 P(x, y,z)可微, 方向 l 的
方向余弦为 c o s,c o s,c o s,则函数 f(x, y,z)
在点 P(x, y,z) 沿方向 l 的方向导数为
ffcosfcosfcos.
l x y
z
dz z dxzdy x y
所确定的隐函数.求 zz(x,y)在点 (1,0,1)的全微分.
解令F (x ,y ,z ) x y z x 2 y 2 z 22
Fx yz
x ,
x2 y2 z2
Fy xz
y x2 y2 z2
z Fz xy x2y2z2
二、偏导数的应用
(一)微分法在几何上的应用 1 空间曲线的切线与法平面
空间曲线 :x ( t ) ,y ( t ) , z ( t ) .
其上一点 P0(x0,y0,z0)

习题课二(zh) 多元函数微分学及其应用

已知平面的法向量为n1={1，3，1}，依题意应有 n∥n1，即 y x
0
1

0
3
1
故所求点为(－3，－1，3)，所求法线方程为
x 3 y1 z 3 . 1 3 1
x2 y2 例3 求函数z 1 ( 2 2 )( a 0, b 0)在 a b a b x2 y2 点( , ) 处沿椭圆 2 2 1的内法线 a b 2 2 方向的方向导数。 2 2 x y 解曲线 1 在M点的内法线方向为
(4)．条件极值及拉格朗日乘数法。 (i) 函数z= f (x，y)在条件 ( x, y ) 0下的极值。
辅助函数 L( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )
(ii) 函数u= f (x,y,z)在条件
( x, y, z ) 0下的极值。
( x , y, z , t ) 0,
2 2 2x 2 y , 又因 gardz M 2 , 2 l b b M a a z l l 2 2 所以 l gradz | M n | l | | l | a 2 b 2 M
a b 2 2 2x 2 y n 2 , 2 , , b b M a a
0 0 0
1 2x0 a x a2 0 x0 0 3 1 2y0 0 b ， y 可得 y 0 b2 0 3 即 c 1 2z0 0 z0 2 z0 3 c 2 2 2 x0 y0 z0 当切点坐标为 2 1 0 a 2 b2 c a b c ( ，， )时, 3 3 3
2
2
例4 设x轴正向到方向l 的转角为，求函数 f（x，y）= x2 - xy+y2在点（1，1）沿方向l 的方向导数，并分别确定转角，使这导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0。解法一 gradf（1，1）={1，1}，当l 的方向与gradf（1，1）一致时，即导数可取得最大值；

多元函数微分学习题课 (2)

a
D，使
f
(最值定理)
(a) ;
(介值定理)
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思考与练习
1. 讨论二重极限 lim
xy
时, 下列算法是否正确?
(x,y)(0,0) x y
解法1
原式
lim
x0
y0
1 y
1
1 x
0
解法2 令 y kx,
解法3 令 x r cos , y r sin ,
f3
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例. 设 u f (x,t) , 而 t 是由 Fx, y, z 0确定，
其中f、F具有一阶连续偏导，
证明：
du dx
f F f F x t t x
f F F
t y t
三、多元函数微分法的应用
1. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法)
f2 (x1, x2 , x3, y1, y2 ) y2 cos y1 6 y1 2x1 x3
x求0 由 (3,f2(,7x),Ty,)y0
0
(0,1)T
确定的隐函数
y
g(
x)在x0处的导数
机动目录上页下页返回结束
多元函数微分法
显式结构 1. 分析复合结构隐式结构
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
x y ( x, y)(0,0) 2
2
而其中 lim (x2 y2 ) ln( x2 y2 ) 0 ( x, y)(0,0)
lim

清华大学多元函数微积分题库

=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ）设函数 z = z(x，y) 由方程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ）函数 z = x 2 - xy + y 2 在点 (-1，1) 处沿方向 l =
（B）函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C）函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；

《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案

第2章多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。

(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。

(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。

(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。

2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

1 / 28习题8-11. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；解：0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2) 221)ln(yx xx y z --+-=；解：220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3) )0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ；解：222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4) 22arccosyx z u +=。

221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y ≤+≠2. 求下列多元函数的极限:： (1) 22y 01)e ln(limyx x y x ++→→；解：y 1ln 2x y →→== (2) xy xy y x 42lim0+-→→；解：令t=xy，1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2 / 28(3) x xyy x sin lim50→→；解：0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1limy y x y x y x ++-→→；解：22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xyy x y x )(lim 220+→→。

解：0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在： (1) y x yx y x -+→→00lim；证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。

清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)

(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求，． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（）设函数由方程确定，求． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r

多元函数微分法及其应用习题

多元函数微分法及其应用习
• 多元函数微分法概述 • 多元函数极值问题 • 多元函数微分法的几何意义 • 多元函数微分法的应用实例 • 习题解析与解答
01
多元函数微分法概述
定义与性质
定义
多元函数微分法是研究多元函数在某点附近的变化的一种方法，包括偏导数、全微分、方向导数和梯度等概念。
性质
习题二解析与解答
总结词
抽象思维能力
详细描述
这道题目考察了学生的抽象思维能力，需要学生通过分析问题，将实际问题转化为数学模型，并运用多元函数微分法进行求解。通过解答这道题目，学生可以培养自己的抽象
思维能力，提高数学建模的能力。
习题二解析与解答
要点一
总结词
综合应用能力
要点二
详细描述
这道题目考察了学生对多元函数微分法的综合应用能力，需要学生将理论知识与实际问题相结合，通过解决实际问题来提高自己的应用能力。通过解答这道题目，学生可以加深对多元函数微分法的理解，提高自己的综合应用能力。
多元函数极值问题
无约束极值问题
无约束极值问题是指在定义域内，函数值不受任何限制的极值问题。求解无约束极值问题通常采用梯度法、牛顿法等。
梯度法的基本思想是通过不断迭代，沿着函数值下降最快的方向逼近极值点。在每一步迭代中，都需要计算函数的梯度，并根据梯度信息更新迭代点。
牛顿法的基本思想是通过不断迭代，逼近函数的零点，从而找到极值点。在每一步迭代中，需要计算函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）和梯度向量，并根据这些信息更新迭代点。
多元函数的微分法具有一系列性质，如可加性、可乘性和可线性化等，这些性质在解决实际问题中具有重要应用。
偏导数与全微分

清华大学微积分A习题课3_多元函数微分学及应用(泰勒公式、极值)

AC −B
i i
2 i
16
−32
−32
−32
64
64
−32
由极值的充分条件可知，函数 f 在 ( x1 , y1 ) 点取局部极大值，
( x5 , y5),( x 6 , y 6 )( x8 , y8 )( x 9 , y 9 )
取局部极小值，其它点均为鞍点（非极值点）. 例6 函数 z ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 内部偏导数存在, z ( x, y ) 在 D 的边界上的值为零，在 D 内部满足
dz = −
4 x + 8z 4y dx − dy 2 z + 8x − 1 2 z + 8x − 1 ∂z 4 x + 8z =− =0 ∂x 2 z + 8x − 1 ∂z 4y =− =0 ∂y 2 z + 8x − 1
2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 8 xz − z + 8 = 0
。
cosθx − 1 1 + θy 【答案】 f ( x, y ) = 1 − y + ( x, y ) sin θx 2 (1 + θy )2
sin θx x (1 + θy )2 , θ ∈ (0,1) 2 cosθx y (1 + θy )3
2 2
t
(
2
2
)
Hale Waihona Puke − x2 + y2
(
)在
曲线 x 2 + y 2 = 1 上取到极大值 e ．例8 （隐函数的极值）设 z = z ( x, y ) 由 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 8 xz − z + 8 = 0 确定，求该函数的极值．解：

清华大学微积分A习题课_4导数的计算----隐函数、反函数、参数函数

第八周习题课一．导数的计算----隐函数、反函数、参数函数1.求由方程22ln(1)0x y x y ++++=确定的隐函数()y y x =在0x =点的二阶导数。

解：有上式对x 求导得：1+y ′+2x +2yy ′1+x +2yy =0整理得：y ′(x )= −(x +1)2+y 2x 2+(y +1)2继续求导得到y′′(x),然后在上面三个式子中带入x =0,解得y ′′(0)= −4 2.求函数ln(1)y x x =++反函数的二阶导数。

解：由式子对y 求导得：dx dy = (1+x)(2+x)二阶导数为：d dy (dx dy )= dx/dy (x +2)= x +1(x +2)3.求参数函数ln(1)tx t e y t t ⎧=+⎨=++⎩的二阶导数。

解：先求解x ′(t )=1+e t ;y’(t) = (t +2)/(t +1); 则可以求出：dy dx = y′(t)x′(t)由d 2y dx 2= d dx (dydx )= (y ′(t )x ′(t ))′x′(t),带入后解得：d dx (dydx )= −(t 2+3t +3)e t +1(t +1)2(e t +1)3二．高阶导数例.1 )1ln()1()(2x x x f -+=，求)1()(-n f解：2ln 2)1(,0)1(,0)1()0(=-''=-'=-f f f记 )1ln()(,)1()(2x x v x x u -=+=，当2>n 时，()()()()02(2)(2)1(1)()2(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)12(1)nn k n k k n k n n n n nn n n n n n n fC u v C u v C u v C u v C v -=-------=--'=--+--+--=-∑ 而mm m x x v x x v x x v )1()1()(,,)1(1)(,11)(1)(2--=--=''-='- 232)()2()1(2)1(-----=-n n n nn Cf注意这里的结果2>n 时候的结果，我们还需要在说明其余情况，经过计算：f ′(−1)=0 f ′′(−1)=2ln2例.2 求221ax y -=的n 阶导数。

清华大学本科生高等数学微积分A期末模拟试题解答

微积分A (A) 答案一．填空题（每空3分，共15题）（请将答案直接填写在横线上！）1. ∑=∞→++ni n i n i n n1)2)((lim= 。

答案：2ln 3ln − 2.∫dx e x x 2= 。

答案：C e xe e x xxx++−2223. =∫→320)sin(limxdt t xx 。

答案：314.∫+xx t d t dx d 22)sin 1ln(= 。

答案：)sin 1ln(2)2sin 1ln(22x x x +−+5. 求曲线x e y =、x y πcos −=、21−=x 、21=x 围成的区域面积。

答案：π22121+−−ee6.=−∫π3sin sin dx x x 。

答案：34 7.∫=+)1(2x x dx。

答案：C x x ++−)1ln(21ln 2 8.=+∫21xx dx。

答案：2ln 2)12ln(2−+ 9. 悬链线 )(21x xe e y −+=，1||≤x 的弧长 =L 。

答案：1−−e e10. 二阶方程 03'''2=−−y xy y x 的通解为。

答案：x c x c y /231+= 11. 常微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=z y dxdzzy dx dy22的通解为。

答案：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−x x x x e e C e e C z y 3321 12. 设2,xx 是二阶齐次线线性常微分方程解，则该微分方程为。

答案：0222=+′−′′y xy x y 13. 0106=+′+′′y y y 的通解为。

答案：x e C x e C y x xsin cos 3231−−+=14.xyx y dx dy tan +=的通解为。

答案：Cx xy=sin15. 常微分方程26xy y xy −=−′的通解为。

答案：8126x x C y +=二．计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）1．计算∫+4/022cos 3sin πxx dx. 解：原式 = ∫+4/022)tan 3(cos πx x dx∫=+=102tan 3tdt x t = 363arctan 311π=t。

多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2 ，则在D 上， xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数(1)xy arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。

多元函数微分学及应用(隐函数反函数)_23405397

习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法(1) 多元复合函数设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数)),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且()()()()x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=00000000),(,,,,00∂∂()()()()yy x v v v u f y y x u u v u f yz y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=00000000),(,,,,00∂∂多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，则将z 看成y x ,的函数，有dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=计算yvv f y u u f y z xvv f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,，代人， dv vf du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂=我们将dv vf du u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=叫做微分形式不变性。

例1 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xy f x z ,3，求yz x z ∂∂∂∂,。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛'+'+=+⋅=x y d f xy d f x fdx x df x dx x f dz 213232)(33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'++'+=22132(3x ydx xdy f ydx xdy f x fdx x dy f x f x dx xyf yf x f x ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=221421323由微分形式不变性， dy f x f x dx xyf yf x f x dy yz dx x z dz ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=∂∂+∂∂=221421323故 ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=∂∂22142132,3f x f x y z xyf yf x f x x z 。

清华大学微积分多元连续函数

lim f ( x) f ( x0 ), 则称 f ( x) 在 x0 点连续. x x

开区域内连续函数：设D是开区域. 若函数 f 在D的每个点上都连续，则称 f 在D内连续. 闭区域上连续函数：设D是闭区域. 若函数 f 在D的每个内点上都连续, 且对于D的每个边界点 x0 满足
max f ( x) f ( P ),
xD
设 f ( x) 在有界闭区域D上
min f ( x) f (Q).
xD
连续，则存在 P, Q D 使得
一致连续定理
设 f ( x) 在有界闭区域D上连续,
则 0 0x, t D 有
d ( x, t ) | f ( x) f (t ) | .
lim f ( x) A
或者
lim f ( x, y ) A.
2 xy 例 1 ： f ( x, y ) 2 2 , x y
则
( x , y )(1,2)
lim
f ( x, y) 4 / 5.
证明：先设 x ( 1 2 , 3 2), y ( 3 2 , 5 2).
2 xy 4 | 4 x 2 4 y 2 10 xy | 0, 要| 2 | , 即 , 2 2 2 5( x y ) x y 5
( x ty, x ty) ( x, x) 2t ( x, y) t 2 ( y, y) 0
三点不等式：
|| x y |||| x || || y ||
|| x y ||2 ( x y, x) ( x y, y) || x y || || x || || x y || || y ||
x0 可以属于A，也

多元函数微分学及应用(隐函数反函数)_23405397.doc

习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法(1) 多元复合函数设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数)),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且()()()()x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=00000000),(,,,,00∂∂()()()()yy x v v v u f y y x u u v u f yz y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=00000000),(,,,,00∂∂多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，则将z 看成y x ,的函数，有dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=计算yvv f y u u f y z xvv f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,，代人， dv vf du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂=我们将dv vf du u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=叫做微分形式不变性。

例1 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xy f x z ,3，求yzx z ∂∂∂∂,。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛'+'+=+⋅=x y d f xy d f x fdx x df x dx x f dz 213232)(33 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'++'+=22132(3x ydx xdy f ydx xdy f x fdx xdy f x f x dx xyf yf x f x ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=221421323由微分形式不变性， dy f x f x dx xyf yf x f x dy yz dx x z dz ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=∂∂+∂∂=221421323 故 ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=∂∂22142132,3f x f x yz xyf yf x f x xz 。