2021年高三上学期模块检测(数学理)

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2021年高三上学期模块考试数学(理)试题含答案

2021年高三上学期模块考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确选项。

1．设集合M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则M∩N= （）A．{0} B．{0,1} C．{-1,1} D．{-1,0,0}2.下列关于命题的说法正确的是A．命题“若则”的否命题为：“若，则”；B．“”是“”的必要不充分条件；C．命题“,”的否定是“”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．3. 若，则由大到小的关系是A. B. C. D.4.设是第二象限角,为其终边上的一点,且=A. B. C. D.5．若非零向量，满足=，且则与的夹角为（）A、 B、 C、 D、6. 已知,则等于A. B． C. 或 D．7．函数（其中）的图象如图所示,为了得到的图象,只需将的图象A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位8. 函数的大致图像为( )9. 设则不等式的解集为A. B. C. D.10．若偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数为A.7B.8C.9D.10第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_ __．12．设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．13．由直线,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是.14.已知函数上的奇函数,且,当时则 __.15、关于函数，给出下列四个命题：①在区间上是减函数；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到；④若，则的值域是；⑤函数关于对称；其中正确命题的序号是__ __三、解答题(本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16. (本小题满分12分）已知向量与互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，求的值．17.（本小题满分12分）已知,且,设：函数在上单调递减;：函数在上为增函数,若“”为假,“”为真,求的取值范围．18：选做题：二选一18.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为．(1)求函数在区间上的最大值和最小值;(2)在中,分别为角所对的边,且,,,求的值．18（本小题满分12分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且为等比数列．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和．19.（本小题满分12分）已知在在中，角所对的边分别为,（1）求角的大小；（2）若，求使面积最大时，的值。

2021年高三上学期教学质量调研考试数学(理)试题含答案

2021年高三上学期教学质量调研考试数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案编号，答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么；如果事件A,B独立，那么.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若（i是虚数单位），则（A） (B) (C) (D)(2)设集合，则（A） (B) (C) (D)(3)在中，是的（A）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)要得到函数的图像，只要将函数的图象（A）向左平移个单位 (B) 向右平移个单位(C) 向左平移个单位 (D) 向右平移个单位(5)一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（A） (B) (C) (D)(6)已知满足约束条件，则的最大值为（A） 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12(7)过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（A ） (B) (C) 2 (D)(8)已知向量的夹角为，且，当取得最小值时，实数的值为（A ）2 (B) - 2 (C) 1 (D) -1(9)设等差数列的前项和为，且满足对任意正整数，都有，则的值为（A ）1006 (B) 1007 (C) 1008 (D)1009(10)已知R 上的奇函数满足，则不等式的解集是（A ） (B) (C) (D)第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.(11)某高校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师年龄分组，分组区间为[)[)[)[)[]35,4040,4545,5050,5555,60，，，，，由此得到频率分布直方图，则这80名教师中年龄小于45岁的教师有 .（12）执行右图的程序框图，则输出的 .（13）二项式的展开式中，的系数为，则 . (14)已知M,N 是圆与圆的公共点，则的面积为 .(15)对于函数，有下列5个结论：①任取，都有②函数在区间上单调递增；③,对一切恒成立；④函数有3个零点；⑤若关于的方程有且只有两个不同实根，则则其中所有正确结论的序号是 .(请写出全部正确结论的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分.(16)（本小题满分12分）已知向量(3sinx,cosx),(cosx,cosx),x R,m n ==∈，设（Ⅰ）求函数的解析式及单调区间；（Ⅱ）在中，分别为内角的对边，且，求的面积.(17)(本小题满分12分)如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB//CD，，点M在线段EC上;（Ⅰ）证明：平面平面ADEF;（Ⅱ）若，求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的大小.(18)(本小题满分12分)某卫视的大型娱乐节目现场，所有参演的节目都有甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两种“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”.（Ⅰ）求某节目的投票结果获“通过”的概率；（Ⅱ）记某节目投票结果中所含“通过”和“待定”票票数之和为X，求X的分布列和数学期望.(19)(本小题满分12分)设等差数列的前项和为，且（Ⅰ）求数列的的通项公式；（Ⅱ）记，求.(20)(本小题满分13分)已知椭圆的离心率为，且过点，若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A,B两点，且A,B两点的“椭点”分别为P,Q,以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值;若不为定值，说明理由.(21)(本小题满分14分)已知函数（Ⅰ）当时，求函数的零点个数；（Ⅱ）当时，若函数在区间上的最小值为-2，求的值；（Ⅲ）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：39785 9B69 魩vB 23180 5A8C 媌26836 68D4 棔40147 9CD3 鳓R -31217 79F1 秱21116 527C 剼20670 50BE 傾]。

2021年高三上学期第三次阶段检测数学(理)试题含答案

2021年高三上学期第三次阶段检测数学（理）试题含答案一、选择题：第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，，，那么集合（）A．B．C．D．2．求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是（）A．B．C． D．3. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A． B．C．D．4．函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）5．已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支的一点，⊥，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45o,∠CAB=105o后，就可以计算出A 、B两点的距离为（）A. B.B. D.7．已知P是边长为2的正边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．最小值为2 C．是定值6 D．与P的位置有关8．函数，若对任意都有成立，则的最小值为（）A．4 B．2 C．1 D．9．已知，若的充分条件，则实数取值范围是（）A．B．C．D．10．已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值为（）A．25 B．50 C．100 D．不存在11．已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P－ABC的体积为（）A．5 B．10 C．20 D．3012．函数y=f(x)定义域为,f(1) =f(3) =1 ,f(x)的导数.，其中a为常数且a>0，则不等式组所表示的平面区域的面积等于（）A．B． C．D．1二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如右图，若图中圆的半径为l，等腰三角形的腰长为，则该几何体的表面积是．14．有下列说法：①是数列的前n项和，若，则数列是等差数列；②若实数x,y满足,则的最小值是；③在中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若，则为等腰直角三角形；④中，“”是“”的充要条件.其中正确的有.（填上所有正确命题的序号）15．根据下面一组等式S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65S6=16+17+18+19+20+21=111S 7=22+23+24+25+26+27+28=175, 可得S 1+S 2+…+S 99=16．设定义域为的函数若关于的方程有7个不同的实数根，则实数 .三、解答题：17．(满分12分)已知函数，若数列（n ∈N *）满足：， (Ⅰ) 证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列满足：，求数列的前n 项的和.18． (满分12分)如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为. (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求二面角的余弦值；19.(满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设、分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知与均为B 等级的概率为0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知,, 随机变量，求的分布列和数学期望.20．(满分12分) 设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线． (I) 求双曲线的标准方程；(II) 若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求的最大值.21．(满分12分)已知函数A B CDF E(I) 若直线l1交函数f(x)的图象于P，Q两点，与l1平行的直线与函数的图象切于点R，求证P,R,Q三点的横坐标成等差数列；(II) 若不等式恒成立,求实数a的取值范围；(III) 求证:〔其中, e为自然对数的底数）.请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2021年高三上学期第一次质量检测数学(理)试题含答案

2021年高三上学期第一次质量检测数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．已知集合，，则集合（）A．B． C． D．2．已知复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.3. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.2B. 3C. 4D. 54．已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）A. B. C. D.6．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.7.已知向量与的夹角为120°,且,若,且，则实数的值为( ）A．B．C．D．8.已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④. 其中正确结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。

本大题分为必做题和选做题两部A B C D P ME O 1O 2分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9．若,则的值是 .10. 设随机变量服从正态分布，若，则的值为 .11.若把英语单词“error ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 12.若等比数列的各项均为正数，且，则 .13.已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.15．（几何证明选讲选做题）已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直线CD 于点E ，M 是⊙O 2上的一点，若PE=2，EA=1，，那么⊙O 2的半径为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数．(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值． 17．（本小题满分13分）为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”． (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数；(Ⅱ)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．18. （本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ)若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小.19. （本小题满分14分）已知数列中，，前项和．(Ⅰ)设数列满足，求与之间的递推关系式；(Ⅱ)求数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．(Ⅰ)求点的轨迹的方程；(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数（为常数，）（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；（Ⅲ）若对任意的，总存在，使不等式成立，求正实数的取值范围.xx~xx学年广州六中高三理数第一次测验卷答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A C C B D二、填空题：（一）必做题（9～13题）9．10．11．19 12. 12 13.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．15．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题满分12分）解：17．（本小题满分13分）解：(1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75. ------------2分(2)这是一个古典概型，设至少有2人是“好视力”记为事件A，---------3分则事件A包含的基本事件个数为：----------5分总的基本事件个数为：-----------6分--------------------7分（3）X的可能取值为0,1,2,3. -------------------8分由于该校人数很多，故X近似服从二项分布B(3，)．P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝××()2＝，P(X＝2)＝×()2×＝，P(X＝3)＝()3＝，------------------12分X 0 1 2 3P故X的数学期望E(X)＝3×＝.------------------13分18.解（1）证明：如图，取的中点，连接，--------1分因，则---------2分由平面侧面，且平面侧面，---------3分得，又平面，所以. -------- 4分因为三棱柱是直三棱柱，则，所以. ------ 5分又，从而侧面，又侧面，故. -------6分（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴即为直线与所成的角，则 ------7分在等腰直角中，，且点是中点，∴，且，∴ --------8分过点A作于点，连，由（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角 --------9分且直角中：，又，∴，-------11分且二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为 ----13分解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，----------------8分设平面的一个法向量，由，得：令，得，则 ------9分设直线与所成的角为，则得，解得，即 -------10分又设平面的一个法向量为，同理可得，-----11分设锐二面角的大小为，则，且，得∴锐二面角的大小为. ------------13分19.解：（1） ∵ ∴ ∴ ----------4分整理得，等式两边同时除以得， ----7分即 -------8分 6．由（1）知即所以112211112211n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---=-+-++-+--- 111111113112232n n n n n n =-+-+-++-+-----得 ---------14分20. 解：（1）椭圆右焦点的坐标为，………………1分．，由，得． …3分设点的坐标为，由，有，代入，得． …………………………5分（2）(法一)设直线的方程为，、，则，． ………………………………6分由，得，同理得．…………………………8分②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得． …………………………………10分由，得，．……………………11分则．…………………………13分因此，的值是定值，且定值为．…………………………………14分21.解：axaaxaxaxaxaxf+--=-++=1)22(22212121)('2…………1分（Ⅰ）由已知，得且，………2分----3分（Ⅱ）当时，02)1)(2(22212222≤+-=--=--aaaaaaaa………4分当时，又………5分29468 731C 猜up39376 99D0 駐+34380 864C 虌38036 9494 钔30446 76EE 目&H22493 57DD 埝21516 540C 同32316 7E3C 縼31870 7C7E 籾2。

2021年高三数学上学期10月模块考试试题理(含解析)

2021年高三数学上学期10月模块考试试题理（含解析）【试卷综析】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。

试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。

整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。

第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

1.若a、b为实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．L4【答案解析】B 解析：若a、b为实数，，令a=﹣1，b=1，ab=﹣1＜1，推不出，若，可得b＞0，∴0＜，⇒，∴”是“必要不充分条件，故选B．【思路点拨】令a=﹣1，b=1特殊值法代入再根据必要条件和充分条件的定义进行判断.【题文】2.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（）A． B.C. D.【知识点】指数函数的图像与性质．L4【答案解析】A 解析：∵实数满足，∴x＞y，A．当x＞y时，，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但不成立．C．若，则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【题文】3．下列四个图中,函数的图象可能是（）【知识点】函数的图象．L4【答案解析】C 解析：当x＞0时，y＜0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D 项．故选：C．【思路点拨】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．【题文】4.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足, 则的最小值是（）A． B．1 C． D．2【知识点】奇偶性与单调性的综合．L4【答案解析】C 解析：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴，等价为f（log2a）+f（﹣log2a）=2f（log2a）≤2f（1），即f（log2a）≤f（1）．∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，∴f（log2a）≤f（1）等价为f（|log2a|）≤f（1）．即|log2a|≤1，∴﹣1≤log2a≤1，解得，故a的最小值是，故选：C【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行化简，即可得到结论．【题文】5.已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是（）A． B． C． D．【知识点】数量积表示两个向量的夹角．L4【答案解析】A 解析：设两个向量的夹角为θ∵，∴，∴，即∴，∵θ∈[0，π]，∴，故选A【思路点拨】利用向量垂直的数量积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．【题文】6.把函数的图象适当变化就可以得的图象，这个变化可以是（）A．沿轴方向向右平移 B．沿轴方向向左平移C．沿轴方向向右平移 D．沿轴方向向左平移【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．L4【答案解析】C 解析：∵函数=sin（3x﹣）=sin3（x﹣），∴把函数的图象沿x轴方向向右平移个单位，可得的图象，故选：C．【思路点拨】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【题文】7.已知等差数列的前n项和为，又知，且，，则为（）A．33 B．46 C．48 D．50【知识点】等差数列的性质；定积分的简单应用．L4【答案解析】C 解析：=（xlnx﹣x）=e﹣e﹣（﹣1）=1∵等差数列中，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20为等差数列，即1，17﹣1，S 30﹣17为等差数列，∴32=1+S 30﹣17，∴S 30=48，故选 C 。

山西大学附中2021_2022学年第一学期高三模块诊断数学试题及答案(理科)

山西大学附中2021~2022学年第一学期高三9月模块诊断数学试题（理科）一.选择题（每小题5分,满分60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的）1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且i 1i x y -=-+，则()1i x y+-的值为（） A ．2B ．2i -C ．4-D ．2i 2．集合1,Z 36n M xx n ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,Z 63n N x x n ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭则下列关系正确的是（）A ．M N ⊆B ．=M NC ．N M ⊆D ．M N3．下列说法正确的是（）A ．命题“若||5x =，则5x =”的否命题为“若||5x =，则5x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“0R x ∃∈，2003210x x +->”的否定是“R x ∀∈，23210x x +-<”D ．已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是[)2,+∞4．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin56π，cos 56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56π B ．53πC ．116π D ．23π5．设0,0,lg 2a b >>是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A ．22B ．3C ．9D ．326．小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（）A ．小王一家2019年用于饮食的支出费用跟2016年相同B ．小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍C ．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍D ．小王一家2019年用于房贷的支出费用比2016年减少了7．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个2，则BM 与FQ 所成角的余弦值为（）A ．255B ．32C ．56D ．18．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（） A ．80种 B ．120种 C ．130种 D ．140种9．已知数列{}n a 满足条件123231111252222n n a a a a n ++++=+，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．12n n a +=B ．114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩C ．14(1)2(2)n n n a n =⎧=⎨≥⎩ D ．22n n a +=10．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（）A ．(][),12,-∞+∞B ．[]1,2C ．()1,2D ．(],1-∞11．已知函数()()3()ln ||,(ln3),(ln3),3,x e f x e x a f b f c f d f e ==-===，则a ，b ，c ，d的大小顺序为（） A ．a b c d >>> B ．d c b a >>>C ．c d b a >>>D ．c d a b >>>12．设函数()cos()f x x =+ωϕ（ω，ϕ是常数，0>ω，02πϕ<<），若()f x 在区间5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且511242424f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列说法不正确的是（）A ．()f x 的周期为πB ．()f x 的单调递减区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的对称轴为()122k x k Z ππ=+∈ D ．()f x 的图象可由()sin g x x ω=的图象向左平移512π个单位得到二. 填空题（每题5分,满分20分,把答案填在题中横线上）13．已知向量(,3)a k =与(2,1)b =-，若()b a b ⊥+，则实数k 的值为_ _．14．若实数x ，y 满足约束条件1240x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，z x y =-+的最小值为___ __．15．已知双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的左､右焦点分别为F 1，F 2.过点F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为M .若2121()0F F F M FM +⋅=，则此双曲线的离心率为__16．当(1,)x ∈+∞时，不等式ln(1)230(x ax b a --+，b R ∈，0)a ≠恒成立，则ba的最大值为__ __．三.解答题 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知137cos ,143C a c ==．（1）求∠A 的大小；（2）请从条件①：1b a -=；条件②：5cos 2b A =-这两个条件中任选一个作为条件，求cos B 和a 的值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）某校举行高中生象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响. （1）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==. （1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60，求二面角B MDC --余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率e = 4.（1）求椭圆的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（非长轴端点），MO 的延长线与椭圆交于P 点，求PMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数()()ln ,sin xf x x x aeg x x x =-=-，其中(),a R g x ∈'为()g x 的导数．（1）若()f x 为定义域内的单调递减函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，记()()h x g x '=，求证：当0x >时，()()f x h x <恒成立．选做题（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O 、A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +的最大值．23．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()f x x <的解集；（2）函数()f x 的最大值为M ，若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求111a b c ++的最小值.24()f x n n≤+．数学试题答案1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且i 1i x y -=-+，则()1i x y+-的值为（）A ．2B ．2i -C ．4-D ．2i【来源】陕西省宝鸡市八校2021届高三下学期联合检测理科数学试题【答案】B 【分析】根据复数相等可得答案. 【详解】因为,x y R ∈，i 为虚数单位，且i 1i x y -=-+，所以11y x ==，，则()()21i 1i 2i x y+-=--=，故选：B.2．集合1,Z 36n M x x n ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,Z 63n N x x n ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭则下列关系正确的是（）A ．M N ⊆B ．=M NC ．N M ⊆D ．M N【来源】专题02 集合间的基本关系-2021-2022学年高一《新题速递�数学》（人教A 版2019）【答案】C 【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系. 【详解】因为2,Z 6n M x x n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21,Z 6n N x x n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭2n +表示整数，21n 表示奇数，故N M ⊆，故选项A 、B 、D 错误，选项C 正确，3．下列说法正确的是（）A ．命题“若||5x =，则5x =”的否命题为“若||5x =，则5x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“0R x ∃∈，2003210x x +->”的否定是“R x ∀∈，23210x x +-<” D ．已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是[)2,+∞【来源】第二章常用逻辑用语A 卷（基础过关）-【双基双测】2021-2022学年高一数学同步单元AB 卷（苏教版2019必修第一册）【答案】D 【分析】由否命题可判断A ；通过解方程可判断B ；由特称命题的否定可判断C ；将命题转化为恒成立，进而可判断D. 【详解】对于选项A ：命题“若||5x =，则5x =”的否命题为“若||5x ≠，则5x ≠”，故A 错误；对于选项B ：由2560x x --=，解得1x =-或6x =，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误；对于选项C ：，“0R x ∃∈，2003210x x +->”的否定是“R x ∀∈，23210x x +-≤”，故C 错误；对于选项D ：因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立，所以()242a x x x ≥>-恒成立.因为2x >，所以22x x ->，则242x x<-，故2a ≥，故D 正确. 故选：D.4．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos 56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56πB ．53πC ．116πD ．23π量检测数学试题【答案】B 【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值．【详解】因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知5sin cos6x π==，故角x 的最小正值为5233x πππ=-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．5．设0,a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A ．B ．3C ．9D ．【来源】广东省深圳市第二高级中学2020-2021学年高二上学期第二学段考试数学试题【答案】C 【分析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到21a b +=，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值. 【详解】解：0,a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则21212222(2)5529a b a ba b a b a b b a b a⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C . 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知a b k αβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0m nm n a b+>，为常数)的最小值时常用()1m n m n a b a b k a b αβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知k abαβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0ma nb m n +>，为常数)的最小值时也可以用同样的方法.6．小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（）A ．小王一家2019年用于饮食的支出费用跟2016年相同B ．小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍C ．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍D ．小王一家2019年用于房贷的支出费用比2016年减少了因为小王每月还款数额相同，2016年占比60%，2019年占比40%，说明2019年收入大于2016年收入，设2016年收入为x ，2019年收入为y ，0.60.4x y =，即23x y = A.2016年和2019年，虽然饮食占比都是25%，但收入不同，所以支出费用不同，所以A 不正确；B.2016年的其他方面的支出费用是0.06x ，2019年其他方面的支出费用是0.12y ，0.1230.06yx=，所以B 正确； C.因为31.52y x == ，所以小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1.5倍，所以C 不正确；D.房贷占收入的比例减少了，但支出费用是不变的，所以D 不正确. 故选：B 【点睛】本题考查数据分析的实际问题，重点考查读题，根据图象分析信息，解决问题，属于基础题型，本题的关键是根据每月还款相同，计算两年收入的关系.7．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个BM 与FQ 所成角的余弦值为（）A 255B 3C ．56D ．1【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题【答案】C 【分析】将二十四等边体补成边长为2的正方体，推得CQF ∠即为异面直线BM ，FQ 所成角．由余弦定理计算可得所求值．【详解】解：可知二十四等边体即为正方体截去8个角得到，如图所示： 22，由//BM CQ ，可得CQF ∠即为异面直线BM ，FQ 所成角．由22426BM CQ BN NM ==++22426FQ PG GQ ++2CF =则5cos 6266CQF ∠⨯．故选：C ．8．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（） A ．80种B ．120种C ．130种D ．140种【来源】千校联盟2021届高三新高考终极押题数学试题【答案】D 【分析】分夫妻只选一人，两人全选两种情况计算，夫妻全选时，先用用捆绑法求解. 【详解】若夫妻中只选一人，则有123253C C 120A =种不同的方案；若夫妻二人全选，则有122522C 20A A =中不同方案，故总计有140种不同方案，故选：D.9.已知数列{}n a 满足条件123231111252222n na a a a n ++++=+，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．12n n a +=B ．114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩C ．14(1)2(2)n n n a n =⎧=⎨≥⎩D ．22n n a +=【答案】B 【分析】根据公式1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出．【详解】由题意可设123231111222225n n nS a a a a n ==+++++①，当1n =时，172a =，∴114a =；当2n ≥时，1123123111112(1)52222n n n S a a a a n ---=++++=-+② ①－②相减可得，252(1)522n na n n =+---=，∴12n na +=．当1n =时，114a =不满足上式．综上可知，数列{}n a 的通项公式为114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩．故选：B ．10．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（） A ．(][),12,-∞+∞B ．[]1,2C ．()1,2D ．(],1-∞【来源】黑龙江省实验中学2020-2021学年高一12月月考数学试题【答案】B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x -⋅≥，可得出()()232f x x f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >.所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x -⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤.因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B.11．已知函数()()3()ln ||,(ln3),(ln3),3,x e f x e x a f b f c f d f e ==-===，则a ，b ，c ，d的大小顺序为（） A ．a b c d >>> B ．d c b a >>> C ．c d b a >>> D ．c d a b >>>【答案】B因为ln3ln3ln(ln3)(ln3)ln(ln3),(ln3)ln(ln3)3ln(ln3)3a f eb f e -=-=====，所以a b <．因为函数()ln ||x f x e x =在区间(0,)+∞上单调递增，且1ln32<<，332,2e e >>，所以b ，c ，d 中b 最小．构造函数()ln g x x e x =-，则()x eg x x-'=，当x e 时，()0g x '，所以()g x 在区间[),e +∞上单调递增，所以(3)3ln3()0g e g e =->=，所以3ln3e >．所以33e e >，所以d c >，所以d c b a >>>．故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数值大小的比较，解题的关键是构造函数()ln g x x e x =-，利用导数判断其在区间[),e +∞上单调递增，从而可比较出c ，d 的大小，考查计算能力，属于较难题12．设函数()cos()f x x =+ωϕ（ω，ϕ是常数，0>ω，02πϕ<<），若()f x 在区间5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且511242424f ff πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列说法不正确的是（） A ．()f x 的周期为πB ．()f x 的单调递减区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的对称轴为()122k x k Z ππ=+∈ D ．()f x 的图象可由()sin g x x ω=的图象向左平移512π个单位得到由()f x 在区间5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性知，()f x 的周期T 满足522424T ππ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，所以2T π≥，又因为115242442ππππ-=<，所以524f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，1124f π⎛⎫ ⎪⎝⎭在同一个周期内且5112424f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的一条对称轴为3x π=，又由52424f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 的一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以4312T ππ=-，得T π=，即2ω=，A 正确．又因为()f x 的一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭，所以cos 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2()3πϕπ=+∈k k Z ，由02πϕ<<知，3πϕ=，故()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.2223k x k ππππ≤+≤+，解得63k x k ππππ，k Z ∈，B 正确；23x k ππ+=，26k x ππ=-，k Z ∈，C 错误； ()sin 2g x x =的图象向左平移512π个单位得55()sin 2()sin(2)sin(2)cos(2)126323h x x x x x πππππ=+=+=++=+，D 正确．故选：C13．已知向量(,3)a k =与(2,1)b =-，若()b a b ⊥+，则实数k 的值为__．【来源】卷12选择性必修第一册高二上期中考试总复习检测3（中）-2021-2022学年高二数学单元卷模拟（易中难）（2019人教A 版选择性必修第一册第二册）【答案】-1向量(,3)a k =与(2,1)b =-，若()b a b ⊥+，则2()2350b a b a b b k ⋅+=⋅+=-+=，求得实数1k =-，故答案为：1-．14．若实数x ，y 满足约束条件1240x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，z x y =-+的最小值为_____．解：由约束条件作出可行域如图，当0y =时，422yx -==，所以()2,0A ，化z x y =-+为y =x+z ，由图可知，当直线y =x+z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为202-+=-．故答案为：2-．15.已知双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的左､右焦点分别为F 1，F 2.过点F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为M .若2121()0F F F M FM +⋅=，则此双曲线的离心率为___________.【来源】安徽省十校联盟2021-2022学年高三上学期开学摸底考试文科数学试题【答案】53【分析】根据2121()0F F F M FM +⋅=可得221||||2MF F F c ==，再结合过F 2的直线斜率为247，得出217cos 25MF F ∠=-，在等腰三角形12MF F 中利用余弦定理求解即可【详解】∵2121()0F F F M FM +⋅=， ∴212221()()0F F F M F M F F +⋅-=，则22221F M F F =，即221||||2MF F F c ==.由双曲线的定义可知12||||2,MF MF a -=可得12||||222MF MF a a c =+=+. 由过F 2的直线斜率为247，得在等腰三角形12MF F 中，2124tan 7MF F ∠=-，则217cos 25MF F ∠=-由余弦定理得22221744(22)cos 25222c c a c MF F c c+-+∠=-=⋅⋅，化简得223950250c ac a --=，即23950250e e --=，解得53e =或513e =-（舍去）.故答案为：5316．当(1,)x ∈+∞时，不等式ln(1)230(x ax b a --+，b R ∈，0)a ≠恒成立，则ba的最大值为（） A ．1eB ．2C ．43D ．2e解：设()ln(1)23f x x ax b =--+，则1()21f x a x '=--，当0a <时，因为1x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞递增；x →+∞时，()f x →+∞，与ln(1)230x ax b --+矛盾，所以不符题意；当0a >时，令()0f x '=，可得112x a=+，当1(1,1)2x a∈+，()0f x '>，()f x 递增；当1(12x a∈+，)+∞时，()0f x '<，()f x 递减．所以()f x 的最大值为1(1)ln22132f a a b a+=---+，所以由题意可得ln22130a a b ---+，即3ln221b a a ++，因为0a >，所以ln2213b a a aa++，设ϕ（a ）ln221(0)3a a a a++=>，则ϕ'（a ）221(2)(ln221)1ln233a a a a a a a +-++=⋅=-，当1(0,)2a ∈时，ϕ'（a ）0>，ϕ（a ）递增，当1(2a ∈，)+∞时，ϕ'（a ）0<，ϕ（a ）递减，所以ϕ（a ）的最大值为14()23ϕ=，所以b a 的最大值为43．故选：C ．17．在△ABC 中，已知137cos ,143C a c ==．（I ）求∠A 的大小；（II ）请从条件①：1b a -=；条件②：5cos 2b A =-这两个条件中任选一个作为条件，求cos B 和a 的值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．（1）△ABC 中，因为13cos 14C =，所以sin C =由正弦定理得：sin sin a c A C =，所以7sin sin 3a A C c ===. 所以3A π=或23A π=. （2）选条件①：1b a -=，则b a >，所以3A π=（23A π=舍去）. 此时13cos 14C =，sin C =，1cos 2A =,sin A =, 所以()1311cos cos cos cos sin sin 1427B AC A C A C =-+=-+=-⨯=-. 即1cos 7B =-.由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-,即()22233112777a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：a =7（715a =-舍去）. 选条件②：5cos 2b A =-.因为0b >，所以cos 0A <所以23A π=（3A π=舍去）. 此时13cos 14C =，33sin 14C =，1cos 2A =-,3sin 2A =, 所以()13133311cos cos cos cos sin sin 14214214B A C A C A C ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即11cos 14B =，所以221153sin 1cos 11414B B ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭由正弦定理得：sin sin a bA B=,即5152322cos sin sin 7sin sin 25314bA a A A BB-⎛⎫⨯--⎪⎝⎭=⨯=⨯=⨯=，即a =7.18.某校举行高中生象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响. （1）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解析】（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为21133-=.…………1分比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则12212114333381P C =⋅⋅⋅=.（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. ………5分则22215(2)()()339P ξ==+= …………6分12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+= …………7分1221216(6)()3381P C ξ=== …………9分所以随机变量ξ的分布列为ξ 2 46P59 20811681………10分则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯= (12)19.如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==. （1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60，求二面角B MD C --余弦值．（1）证明：取BC 中点E ，连接DE ，设AB AD a ==，2BC a =，依题意得，四边形ABED 为正方形，且有BE DE CE a ===，2BD CD a ==，所以222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD 底面ABCD CD =，BD ⊂底面ABCD ，所以BD ⊥平面SCD . 又BD ⊂平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面SCD （2）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ，因为平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD 底面ABCD CD =，SH CD ⊥SH ⊂平面SCD ，所以SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影，SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒由（1）得，2SD a =，所以在Rt SHD ∆中，2SD a =，2DH =，6SH =，在ADH ∆中，45ADH ∠=︒，AD a =，22DH a =，由余弦定理得22AH a =，所以222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作DF SH ∥，所以DF ⊥底面ABCD ，所以,,DB DC DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，DF 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0B a ，()2,0C a ，260,2S a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，226,42M a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MBD 的法向量(),,n x y z =00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得202260x x y z =+= 取1z =得30,,12n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MCD 的法向量(),,m x y z '''=00m DC m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得202260y x y z ⎧'=⎪⎨'''-+=⎪，取1z '=得，()3,0,1m =-，所以17cos ,7724n mn m n m ⋅===⋅⋅ ，故所求的二面角B MD C --的余弦值为7.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率3e = 4. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（非长轴端点），MO 的延长线与椭圆交于P 点，求PMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）2，230x y 或230x =.【分析】（Ⅰ）由长轴长求得a 的值，利用离心率求得c 的值，根据基本平方关系求得b ,进而写出方程；（Ⅱ）法一：设MN的方程为x my =-公式，求得PMN 的面积关于m 的表达式，利用换元方法转化，利用基本不等式求最值即可；法二：当k 不存在时，直接求得PMN 的面积的值；当k 存在且0k ≠时，设直线方程为(y k x =，与椭圆方程2214x y +=联立，求得PMN 的面积关于k 的表达式，利用换元方法转化，利用基本不等式求最值即可.【详解】（Ⅰ）因为椭圆长轴长为4，所以24,2a a ==，c a = 又222a b c =+，解得1c b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（Ⅱ）法一：设MN的方程为x my =联立方程组2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ()22410m y +--= ，1212214y y y y m -+=⋅=+12||MN y =-=()22414m m +=+，原点到直线x my =d =点P 到直线MN的距离为2d =，122MNP S MN d =⋅=△，,1t t ≥ ，2MNP S t t==≤+△ ，当t =2，此时，直线l的方程为0x =或0x .法二：当k 不存在时，1,PMN MN d S ==△；②当k 存在且0k ≠时，设直线方程为(y k x =+，与椭圆方程2214x y +=联立，可得()2222411240k x x k +++-=，显然0∆>，21212212441k x x x x k -+==+， ∴MN =()224114k k +=+，∴d =PMN S =24k =+，令1)t t => ， ∴上式=， ∴上式2t t=≤+，当且仅当t =k =时，取到最值.综上，当k =时，PMN S △取得最大值2. 此时，直线l的方程为0x =或0x .21．已知函数()()ln ,sin x f x x x ae g x x x =-=-，其中(),a R g x ∈'为()g x 的导数．（1）若()f x 为定义域内的单调递减函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，记()()h x g x '=，求证：当0x >时，()()f x h x <恒成立．（1）因为()()ln 0x f x x x ae x =->，所以()ln 1x f x x ae '=+-，要使()f x 为定义域内的单调减函数，需满足()0f x '≤，即ln 1xx a e +≥，令()ln 1x x F x e +=，()1ln 1x x x F x e-='-，由()10F '=且函数1ln 1y x x =--在()0,∞+上单调递减，又0x e >，所以()ln 1x x F x e+=在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，知()F x 的最大值为()11F e=，所以当1a e≥时，()f x 在定义域内单调减函数．综上，a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（2）当1a =时，()ln x f x x x e =-，()()cos 1h x g x x ==-'，要()()f x h x <，即证ln cos 1x x x e x <+-，当01x <≤时，ln 0x x ≤，而cos 11cos110x e x +->+->，所以ln cos 1x x x e x <+-成立，当1x >时，令()()cos ln 11x G x e x x x x =+-->，则()sin ln 1x G x e x x =-'--，记()()sin ln 1x H x G x e x x ==---'，则()1cos 110x H x e x e x=-->-->'，所以当1x >时，()sin ln 1x G x e x x =-'--单调递增，()sin110G x e >'-->，即()0G x '>，所以()G x 在()1,+∞上单调递增，所以()cos110G x e >+->，即有()()f x h x <成立．综上，对任意()0,x ∈+∞，恒有()cos f x x <成立．22.在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O 、A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +的最大值．【答案】（1）1:C ρθ=，()222:11C x y +-=；（2）4．【分析】（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与普通方程的转换关系可得出曲线1C 的极坐标方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程为02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，分别代入曲线1C 、2C的方程可得出OA α=，2sin OB α=，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可得出OA OB +的最大值.【详解】（1）曲线1C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为(223x y +=，即220x y +-=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩转换为极坐标方程为ρθ=.曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩转换为直角坐标方程为222x y y +=，整理得()2211x y +-=；（2）直线():0l y kx k =>转换为极坐标方程为02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，直线l 与曲线1C 交于O 、A两点，故θαρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得OA α=，直线l 与曲线2C 交于O 、B 两点，故2sin θαρθ=⎧⎨=⎩，整理得2sin OB α=，所以2sin 4sin 3OA OB πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭+， 02πα<<，则5336πππα，所以，当32ππα+=时，即当6πα=时，OA OB +的最大值为4．23．已知函数()12f x x x =--+.（1）求不等式()f x x <的解集；（2）函数()f x 的最大值为M ，若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求111a b c ++的最小值. 【来源】广西柳州市2021届高三第一次模拟考试数学（理）试题【答案】（1）1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（2）36. 【分析】（1）根据绝对值的性质利用分区间讨论求解不等式；（2）利用绝对值不等式的性质求得M ,利用柯西不等式求得111a b c++的最小值. 【详解】解：（1）不等式()f x x <即12x x x --+<.①当1≥x 时，化简得3x -<.解得1≥x ；②当21x -<<时，化简得21x x --<.解得113-<<x ； ③当2x -≤时，化简得3x <,此时无解.综上，所求不等式的解集为1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭; （2）∵()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时等号成立. ∴3M =，即491a b c ++=.又∵,,0a b c >，∴111111(49)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 2≥ ()212336=++=. 当且仅当11149a b c a b c==，即16a =，112b =，118c =时取等号， ∴111a b c++的最小值为36.。

2021年高三上学期第一次质检数学(理)试卷含解析

2021年高三上学期第一次质检数学（理）试卷含解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B=．2．函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是．6．已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）= ．7．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是．9．在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）11．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为．12．若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m的值为．13．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是．14．一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有．（填上所有正确答案的序号）（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；①f1②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．17．（14分）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．18．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．21．（16分）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．22．（16分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x ﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．23．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．xx学年江苏省徐州市沛县中学高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B={1，2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（xx秋•普宁市校级期中）函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先求出函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的导数，然后令f′（x）＞0，求出函数的递增区间即可．【解答】解：f′（x）=2（x﹣1），令f′（x）＞0，解得x＞1，所以f（x）在[1，+∞）递增，即函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及导数的应用，属于基础题．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，则复数z的虚部是：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是{} ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意可得，解之可得函数的定义域，注意写成集合的形式即可．【解答】解：由题意可得，解之可得故函数的定义域是{}．故答案为：{}【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是（﹣4，0] ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的取值范围．【解答】解：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣2，0）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．当直线y=2x﹣z经过点O（0，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．所以z的最大值为z=﹣2×2=4，最小值z=0﹣0=0．即﹣4＜z≤0．故答案为：（﹣4，0]【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．6．（xx•长春三模）已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=5．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件求解f（x）+f（﹣x）=2，然后即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=+sinx，∴f（x）+f（x）=+sinx++sin（﹣x）=，则f（0）=1，f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=2+2+1=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件得到f（x）+f（﹣x）=2是解决本题的关键．7．（xx•通州区一模）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：由y=x2在（﹣∞，0）递减，故a≤0，由x+1＞0，解得：x＞﹣1，故a≥﹣1，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是（0，3）．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，可得f′（x）=0有两不等实根，其判别式△＞0，即可求得a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，∴f′（x）=0有两不等实根，其判别式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．9．（xx•通州区一模）在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．【考点】正弦定理．【专题】对应思想；综合法；解三角形．【分析】利用正弦定理解出sinA，cosA，根据两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式求得面积．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sinA=，∴cosA=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．===．∴S△ABC故答案为．【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积计算，属于中档题．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的充分不必要条件条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由条件利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断，可得结论．【解答】解：由“a＞1”，可得f′（x）=1﹣sinx＞0，故“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，故充分性成立．由“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，可得f′（x）=1﹣sinx≥0，a≥1，不能得到“a ＞1”，故必要性不成立，故答案为：充分不必要条件．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．11．（xx•万州区模拟）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为8．【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】解：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．12．（2011秋•雁塔区校级期末）若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m 的值为．【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】化简函数y=sinx+mcosx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出m即可．【解答】解：函数y=sinx+mcosx=sin（x+θ），其中tanθ=m，，其图象关于直线对称，所以θ+=±，θ=，或θ=（舍去）所以tanθ=m=，故答案为：．【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．13．（xx•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是1．【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：∵=||||cosA，∠A=120°，∴||||=4∵=（+），∴||2=（||2+||2+2 •）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1∴min=1故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（xx•安庆二模）一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有②③⑤．（填上所有正确答案的序号）①f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．【考点】进行简单的合情推理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出题目中所给5个函数的值域，根据已知中“保域函数”的定义逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于①，f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]的值域为[﹣1，0]，不符合，故①舍去；对于②，f2（x）=sinx，x∈[，π]的值域为，故②正确；对于③，，于是f3（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，其值域为[﹣2，2]，故③正确；对于④，，单调递增，其值域为[1，e2﹣2]，不符合题意，故④舍去；对于⑤，f5（0）=0，当x＞0时，（当且仅当x=1时，等号成立），其值域为[0，2]，故⑤正确．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查的知识点是函数的值域，其中熟练掌握求函数值域的方法，并正确理解保域函数”的定义是解答的关键．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）（xx秋•苏州期中）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）利用a=4，求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，即可求解集合A∩B．（2）通过“x∈A”是“x∈B”的充分条件，推出关于a的表达式，求出a的范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，a=4，所以（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0⇒（x﹣3）（x﹣17）＜0，解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，由函数y=lg（﹣x2+5x+14）可知﹣x2+5x+14＞0，解得：﹣2＜x＜7，所以函数的定义域为集合B={x|﹣2＜x＜7}，集合A∩B={x|3＜x＜7}；（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即x∈A，则x∈B，集合B={x|﹣2＜x＜7}，当3a+5＞3即a＞﹣时，3a+5≤7，解得﹣＜a≤．当3a+5≤3即a≤﹣时，3a+5≥﹣2，解得﹣≥a≥﹣．综上实数a的取值范围：．【点评】本题考查二次不等式的解法，对数函数的定义域的求法，集合的交集与充要条件的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z），∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．17．（14分）（xx春•洛阳期末）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【专题】方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常方法．18．（14分）（xx•玉溪三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC ﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得cosBsinC=﹣sinCsinB，又sinC≠0，从而可求tanB=﹣，结合B为三角形内角，即可得解B的值．（Ⅱ）由D为边AC的中点，可得2=+，两边平方，设||=c，||=a，可得4=a2+c2﹣ac，结合基本不等式的应用可得ac的最大值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵a=bcosC﹣csinB，∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sin（B+C）=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC﹣sinCsinB，∴cosBsinC=﹣sinCsinB，又∵C为三角形内角，可得sinC≠0，∴tanB=﹣，又∵B为三角形内角，可得B=…（6分）（Ⅱ）如图，∵点D为边AC的中点，∴2=+，∴两边平方可得：4||2=||2+2||•||•cos∠ABC+||2，…（9分）又∵由（Ⅰ）知B=，设||=c，||=a，即：4=a2+c2﹣ac≥ac，（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsin∠ABC=ac≤．∴S△ABC∴当且仅当a=c=2时，△ABC面积的最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（14分）（xx•江西二模）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|=|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．20．（16分）（xx•宝山区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．【考点】三点共线；三角函数的最值．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；（II）由（Ⅰ）变形即可得到两向量模的比值；（Ⅲ）求出的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为，由参数即可，【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，∴∥．又∵、有公共点A，∴A，B，C三点共线．（3分）（Ⅱ）∵，∴=∴，∴．（6分）（Ⅲ）∵C为的定比分点，λ=2，∴，∴∵，∴cosx∈[0，1]（8分）当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；（9分）当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1﹣m2，得（舍）（10分）当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，得（11分）综上所述，为所求．（12分）【点评】本题考查三点共线的证明方法及三角函数的最值的运用向量与三角相结合，综合性较强，尤其本题中在判定最值时需要分类讨论的，对思考问题的严密性一个挑战．21．（16分）（xx春•成都校级期中）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】应用题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．【解答】解：按方案一：如图，连OC，设，在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx在Rt△OAD中，，得，则，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC==sin（2x+）﹣，由得．所以当，即时．按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα在Rt△ONH中，，得，则，设矩形EFGH的面积为S，则S=2ME•MN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）=由，则，所以当，即时∵，即y max＞S max答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．【点评】本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力，属于中档题．22．（16分）（xx•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．23．（16分）（xx•桂林模拟）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．【点评】本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．39179 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2021届高三数学上学期第六次模块诊断试题理

2021届高三数学上学期第六次模块诊断试题理考查时间：120分钟满分：150分考查内容：高考综合选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数A．1 B．C．2 D．3．若，，则A．2 B．1 C．1 D．04．已知是等比数列，是它的前项和，若，且，则A.33B.93C.-33D.-935．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若，则B．若，则C．若,则D．若，则6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为（参考数据：，，，）A. B.C．D．7．若数列的通项公式是，则A．45 B．65 C．69 D．8．直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为A．B．C．D．9．若函数的值域为，则的取值范围是A．B．C．D．10．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线C的离心率是A．B．C．D．511．已知，，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当时，函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围是A．B．C．D．12．若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数的上的奇函数，当时，，且曲线在点处的切线斜率为，则______．14.已知向量，，且，则____.15.如图，直三棱柱中,，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：①直线与直线是异面直线；②一定不垂直；③三棱锥的体积为定值；④的最小值为.其中正确的序号序号是______.16.的三个内角所对的边分别为，，，，且，则________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题12分）在中，，，点在上，.（1）求的长；（2）若的面积为，求的长.18．（本小题12分）已知等差数列是递增数列，其前项和为，若是方程的两个实根．（1）求及；（2）设，求数列的前项和．19. （本小题12分）如图，在梯形中，//，，，四边形为正方形，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上运动，是否存在点使平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，若存在，求线段的长，若不存在，说明理由.20. （本小题12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.21．（本小题12分）已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围.22．（本小题10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程，并求曲线的直角坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．2020—2021学年第一学期高三年级第六次模块诊断XX试题评分细则1-6 BDABDB 7-12BCDBDB13.-2 14.1 15.①③④ 16.17．在△ABC中，，，点D在BC上，.（1）求AD的长；（2）若△ABD的面积为，求AB的长；解：（1）∵,且∴，……………2分正弦定理有，得；……………5分（2）∵，，∴，得，……………8分又∵，由余弦定理得，∴．……………12分18．已知等差数列是递增数列，其前项和为，若是方程的两个实根．（1）求及；（2）设，求数列的前项和．解：（1）因为等差数列为递增数列，且，是方程的两根，所以，，……………2分解得或又，则，则……………4分故，．……………6分（2）， (8)分可得前n项和．……………12分19. 如图，在梯形中，//，，，四边形为正方形，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上运动，是否存在点使平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，若存在，求线段的长，若不存在，说明理由.（1）证明：在梯形中，因为//，，，所以，又因为，取中点P，连接，则，，易知，所以，所以.……………3分因为平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面.所以平面平面；……………5分（2）由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，，，所以，……………6分设为平面的一个法向量，由得取，则，……………8分因为是平面的一个法向量……………9分所以……………11分可得，即.……………12分20．已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.（1）∵，，∴，∴，…………3分将代入椭圆，∴，∴.……………5分（2）显然斜率存在，设方程为：，，，∴.设，，，∴，，……………7分∵，∴时……………9分，……………11分∴直线过定点.……………12分21．已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围.解：（1）因为，……………1分所以，……………2分①当时，，在上单调递减. ……………3分②当时，令，则；令，则，所以在单调递增，在上单调递减. ……………5分综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，可知，，令，得.……………6分设，则.当时，，在上单调递增，所以在上的值域是，即.……………8分当时，没有实根，且，在上单调递减，，符合题意. (9)分当时，，所以有唯一实根，当时，，在上单调递增，，不符合题意. ……………11分综上，，即的取值范围为.……………12分22．已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程，并求曲线的直角坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．解：（1）将消去参数，化为普通方程，即，……………2分将代入，得，所以的极坐标方程为；……………4分，，，所以的普通方程为.……………6分（2）由，解得或，……………8分所以与的交点的极坐标分别为，． (10)分2021届高三数学上学期第六次模块诊断试题理考查时间：120分钟满分：150分考查内容：高考综合选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数A．1 B．C．2 D．3．若，，则A．2 B．1 C．1 D．04．已知是等比数列，是它的前项和，若，且，则A.33B.93C.-33D.-935．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若，则B．若，则C．若,则D．若，则6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为（参考数据：，，，）A. B.C．D．7．若数列的通项公式是，则A．45 B．65 C．69 D．8．直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为A．B．C．D．9．若函数的值域为，则的取值范围是A．B．C．D．10．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线C的离心率是A．B．C．D．511．已知，，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当时，函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围是A．B．C．D．12．若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数的上的奇函数，当时，，且曲线在点处的切线斜率为，则______．14.已知向量，，且，则____.15.如图，直三棱柱中,，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：①直线与直线是异面直线；②一定不垂直；③三棱锥的体积为定值；④的最小值为.其中正确的序号序号是______.16.的三个内角所对的边分别为，，，，且，则________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题12分）在中，，，点在上，.（1）求的长；（2）若的面积为，求的长.18．（本小题12分）已知等差数列是递增数列，其前项和为，若是方程的两个实根．（1）求及；（2）设，求数列的前项和．19. （本小题12分）如图，在梯形中，//，，，四边形为正方形，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上运动，是否存在点使平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，若存在，求线段的长，若不存在，说明理由.20. （本小题12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.21．（本小题12分）已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围.22．（本小题10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程，并求曲线的直角坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．2020—2021学年第一学期高三年级第六次模块诊断XX试题评分细则1-6 BDABDB 7-12BCDBDB13.-2 14.1 15.①③④ 16.17．在△ABC中，，，点D在BC上，.（1）求AD的长；（2）若△ABD的面积为，求AB的长；解：（1）∵,且∴，……………2分正弦定理有，得；……………5分（2）∵，，∴，得，……………8分又∵，由余弦定理得，∴．……………12分18．已知等差数列是递增数列，其前项和为，若是方程的两个实根．（1）求及；（2）设，求数列的前项和．解：（1）因为等差数列为递增数列，且，是方程的两根，所以，，……………2分解得或又，则，则……………4分故，．……………6分（2），……………8分可得前n项和．……………12分19. 如图，在梯形中，//，，，四边形为正方形，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上运动，是否存在点使平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，若存在，求线段的长，若不存在，说明理由.（1）证明：在梯形中，因为//，，，所以，又因为，取中点P，连接，则，，易知，所以，所以.……………3分因为平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面.所以平面平面；……………5分（2）由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，，，所以，……………6分设为平面的一个法向量，由得取，则，……………8分因为是平面的一个法向量……………9分所以……………11分可得，即.……………12分20．已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.（1）∵，，∴，∴，…………3分将代入椭圆，∴，∴.……………5分（2）显然斜率存在，设方程为：，，，∴.设，，，∴，，……………7分∵，∴时 (9)分，……………11分∴直线过定点.……………12分21．已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围.解：（1）因为，……………1分所以，……………2分①当时，，在上单调递减. ……………3分②当时，令，则；令，则，所以在单调递增，在上单调递减. ……………5分综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，可知，，令，得.……………6分设，则.当时，，在上单调递增，所以在上的值域是，即.……………8分当时，没有实根，且，在上单调递减，，符合题意. ……………9分当时，，所以有唯一实根，当时，，在上单调递增，，不符合题意. ……………11分综上，，即的取值范围为.……………12分22．已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程，并求曲线的直角坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．解：（1）将消去参数，化为普通方程，即，……………2分将代入，得，所以的极坐标方程为；……………4分，，，所以的普通方程为.……………6分（2）由，解得或，……………8分所以与的交点的极坐标分别为，．……………10分。

2021年高三数学上学期期中模块检测试题理

2021年高三数学上学期期中模块检测试题理1.已知集合，则 ( )A． B． C． D．2.已知（），其中为虚数单位，则（）A． B． C． D．3.数列为等差数列，为等比数列，，则（）A． B． C． D．4.函数（)的图象如图所示，则的值为（）A． B． C． D．5.已知向量,,,则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6.定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是实用文档A．B．C．D．7.已知数列满足：，，（），则数列的通项公式为（）A． B． C． D．8.已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是( )（A）图象关于点中心对称（B）图象关于轴对称（C）在区间单调递增（D）在单调递减9.设函数若，则关于的方程的解的个数为A.4B.3C.2D.110.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，．关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中所有正确说法的个数为（）A．B．C．D．实用文档第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本题包括5小题，共25分）11.已知，以为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角为 .12.若数列的前项和为，则数列的通项公式是=______.13.设的内角所对的边分别为，若，则角。

14.曲线与直线围成的封闭图形的面积为 .15.已知函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. （本小题满分12分）已知函数1 ()cos()cos()sin cos334 f x x x x xππ=+--+(l)求函数的最小正周期和最大值;(2)求函数在上的单调递减区间．17. （本小题满分12分）已知为等差数列，且.实用文档（Ⅰ）求数列的通项公式及其前项和；（Ⅱ）若数列满足求数列的通项公式.18. （本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且..（I）求的值；（II）若面积的最大值.19. （本小题满分12分）已知函数．（I）求函数的单调递减区间；（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；20. （本小题满分13分）已知公比为的等比数列{}是递减数列，且满足++=，=（I）求数列{}的通项公式；（II）求数列{}的前项和为；（Ⅲ）若，证明：.21. （本小题满分14分）实用文档已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若在区间上的最小值为，求的值；(3)若对任意，且恒成立，求的取值范围．23652 5C64 層vf20527 502F 倯21866 556A 啪实用文档,20080 4E70 买'34007 84D7 蓗24630 6036 怶'>24545 5FE1 忡实用文档。

2021年高三上学期模块考试数学(理)试卷含解析

2021年高三上学期模块考试数学（理）试卷含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≤0），N={x|﹣1≤x≤4}，则M∩N等于（）A．{x|1≤x≤4} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3≤x≤4）D．{x|﹣1≤x≤1} 2．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定3．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣D．﹣74．已知等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°5．已知函数，则f[f（﹣4）]（）A．﹣4 B．4 C．﹣D．6．如图在程序框图中，若输入n=6，则输出k的值是（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B． C． D．8．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．5 B．10 C．20 D．3010．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A．[，+∞） B．[2，+∞）C． D．（1，2]11．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣3）的图象关于（3，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（）A．[﹣2，10] B．[4，16] C．[4，10] D．[﹣2，16]12．已知函数①；②f（x）=sin；③f（x）=lnx+1，则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（）①命题p：f（x+1）是偶函数；②命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数；③命题r：f（x）很恒过定点（1，1）；④命题．A．命题p，q B．命题q，r C．命题r，s D．命题s，p二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．= ．14．已知直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心，则的最小值为．15．设x、y满足的约束条件，则的最大值是．16．设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（1）求sin2α﹣tanα的值；（2）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数在区间上的取值范围．18．用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y（1）建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m3）19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=．（1）证明数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．20．如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．22．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q 两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．xx学年山东省日照市莒县高三（上）模块数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≤0），N={x|﹣1≤x≤4}，则M∩N等于（）A．{x|1≤x≤4} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3≤x≤4）D．{x|﹣1≤x≤1}考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：利用一元二次不等式解法化简集合M，再利用交集运算即可得出M∩N．解答：解：M：由x2+2x﹣3≤0解得﹣3≤x≤1，∴M={x|﹣3≤x≤1}；∴M∩N={x|﹣1≤x≤1}．故选D．点评：熟练掌握一元二次不等式解法、交集运算扥公式解题的关键．2．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5） C．（1.5，2）D．不能确定考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题．分析：由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．解答：解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．点评：二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．3．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B． C．﹣D．﹣7考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由α的范围及cosα的值，确定出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan（﹣α）===．故选B点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．4．已知等于（）A．135°B．90° C．45° D．30°考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：由，，，知=0，由此能求出的夹角θ的大小．解答：解：∵，，，∴=0，∵的夹角为θ，∴1﹣1××cosθ=0，∴cosθ=，∴θ=45°．故选C．点评：本题考要数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．已知函数，则f[f（﹣4）]（）A．﹣4 B．4 C．﹣D．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数，知f（﹣4）=（）﹣4=16，由此能求出f[f（﹣4）]．解答：解：∵函数，∴f（﹣4）=（）﹣4=16，∴f[f（﹣4）]==16=4．故选B．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分段函数的性质的应用．6．如图在程序框图中，若输入n=6，则输出k的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=111时，满足条件n＞100，输出k的值为3．解答：解：执行程序框图，有n=6，k=0n=13，不满足条件n＞100，k=1；n=27，不满足条件n＞100，k=2；n=55，不满足条件n＞100，k=3；n=111，满足条件n＞100，输出k的值为3．故选：B．点评：本题主要考查了程序框图中的直到型型循环结构，直到型循环结构是先执行在判断直到条件结束，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等，属于基本知识的考查．7．已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B． C． D．考点：等差数列的性质；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m 和n，则答案可得．解答：解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q的性质．8．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：简易逻辑．分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解答：解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．9．已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．5 B．10 C．20 D．30考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可知△ABC为直角三角形，则其外接圆的圆心在AB的中点上，再由P到三个顶点的距离相等可得P在面ABC上的射影为球的球心，然后直接利用棱锥的体积公式求解．解答：解：如图，在△ABC中，不妨设AB=5，AC=3，BC=4．则∠ACB=90°，∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，即球的球心为AB的中点，又P到△ABC的三个顶点的距离相等，∴P在平面ABC上的射影到A、B、C的距离相等，∴O为P在平面ABC上的射影，则OP⊥面ABC，又P在球面上，∴OP为球的半径，∴OP=．∴=．故选：A．点评：本题考查了棱锥的体积，考查了空间想象能力和思维能力，正确作出图形对解答有很好的帮助作用，是基础题．10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A．[，+∞） B．[2，+∞）C． D．（1，2]考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．解答：解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）根据双曲线的第二定义，可得3e（x﹣）=e（x+）∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2故选D．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．11．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣3）的图象关于（3，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（）A．[﹣2，10] B．[4，16] C．[4，10] D．[﹣2，16]考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由已知中定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣3）的图象关于（3，0）成中心对称，易得函数y=f（x）是奇函数，根据函数单调性和奇偶性的性质可得s2﹣2s ≥t2﹣2t，进而得到3t+s的取值范围．解答：解：y=f（x﹣3）的图象相当于y=f（x）函数图象向右移了3个单位．又由于y=f（x﹣3）图象关于（3，0）点对称，向左移回3个单位即表示y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称．所以f（2t﹣t2）=﹣f（t2﹣2t）即f（s2﹣2s）≥f（t2﹣2t）因为y=f（x）函数是增函数，所以s2﹣2s≥t2﹣2t移项得：s2﹣2s﹣t2+2t≥0即：（s﹣t）（s+t﹣2）≥0得：s≥t且s+t≥2或s≤t且s+t≤2则，当s=4，t=﹣2时，有最小值是4﹣6=﹣2当s=4，t=4时，有最大值是4+12=16故3t+s范围是[﹣2，16]故选D点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中根据已知条件得到函数为奇函数，进而将不等式f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2），转化为s2﹣2s≥t2﹣2t，是解答本题的关键．12．已知函数①；②f（x）=sin；③f（x）=lnx+1，则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（）①命题p：f（x+1）是偶函数；②命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数；③命题r：f（x）很恒过定点（1，1）；④命题．A．命题p，q B．命题q，r C．命题r，s D．命题s，p考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件分别进行验证即可．解答：解：命题p：若f（x+1）是偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即函数的关于x=1对称，则命题p，对①不成立；排除A，D，命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数，即f（x）在（1，2）上是增函数，当1＜x＜2时，＜π，此时函数f（x）=sin为减函数，不满足条件．排除B，故选：C点评：本题主要考查函数性质的考查，要求熟练掌握函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．= ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：原式===，故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．14．已知直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心，则的最小值为 4 ．考点：基本不等式；圆的标准方程．专题：计算题．分析：直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．解答：解：圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2=0上，所以﹣2a﹣2b+2=0，即 1=a+b代入，得（）（a+b）=2++≥4（a＞0，b＞0当且仅当a=b时取等号）故答案为：4点评：本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，基本不等式，是中档题．15．设x、y满足的约束条件，则的最大值是 5 ．考点：简单线性规划的应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的最大值．解答：解：约束条件，对应的平面区域如下图示：表示平面上一定点（﹣1，）与可行域内任一点连线斜率的2倍由图易得当该点为（0，4）时，的最大值是5故答案为：5点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．16．设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．考点：余弦函数的奇偶性；导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值解答：解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．点评：本题主要考查了两角差的正弦公式，函数的求导公式，奇函数的性质：若函数f（x）为R上奇函数，则f（0）=0，属于对基础知识的综合考查，试题较易．三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（1）求sin2α﹣tanα的值；（2）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数在区间上的取值范围．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（1）根据三角函数的定义，求出角α的正弦、余弦、正切，再结合二倍角公式，即可得到结论；（2）先将函数化简，确定角的范围，利用三角函数的性质，即可求得函数的值域．解答：解：（1）因为角α终边经过点，所以，，∴…（6分）（2）∵f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα=cosx，x∈R∴∵，∴，∴∴，∴故函数在区间上的值域是[﹣2，1]…（12分）点评：本题考查三角函数的定义，考查辅助角公式的而运用，考查三角函数的性质，属于中档题．18．用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y（1）建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m3）考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题．分析：（1）由题意可知，制作该容器需要铁皮面积，就是圆锥的全面积，得到方程πx2+πxy=2π，分离出y即可，利用x＜y求出定义域．（2）利用母线与底面所成的角大小为求出母线长，进一步求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出所制作的圆锥形容器容积．解答：解：（1）∵πx2+πxy=2π∴∵，∴0＜x＜1（6分）（2）依题意，作圆锥的高SO，∠SAO是母线与底面所成的线面角，（7分）设圆锥高h，∵，y=2x∴∴，（9分）≈0.99m3（11分）答：所制作的圆锥形容器容积0.99立方米（12分）点评：本题考查旋转体的侧面积、全面积、体积，是一道中档题．19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=．（1）证明数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=，两边取倒数可得：即，即可证明出；（2）利用等差数列的通项公式即可得出；（3）由（2）可知，，利于“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（1）证明：由已知可得，∴，即，∴数列是公差为1的等差数列．（2）由（1）可得，∴．（3）由（2）可知，，∴，，相减得=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；探究型．分析：（1）要证明线面平行，在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明．（2）要求二面角的余弦，找出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．（3）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．解答：解：（1）AB∥平面DEF，理由如下如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF．∴AB∥平面DEF．（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD取CD的中点M，这时EM∥AD∴EM⊥平面BCD过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中，EM=1，MN=，EN=，所以cos∠MNE=．∴tan∠MNE=，，∴cos∠MNE=．二面角E﹣DF﹣C的余弦值：．（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使BP=BC，过P作PQ⊥CD于Q，∵AD⊥平面BCD∴PQ⊥平面ACD∴DQ=DC=，∴tan∠DAQ=═=，∴∠DAQ=30°在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∵PQ⊥平面ACD∴AP⊥DE．AQ∩AP=A∴DE⊥平面APQ，∴AP⊥DE．此时BP=BC，∴=．点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面所成的角，其中熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的相互转化及线面夹角的定义，是解答本题的关键．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x ∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．点评：本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．22．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q 两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a2﹣b2=1，由此可求椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．解答：解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…（1分）由|PQ|=3，可得=3，…（2分）又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，…（3分）故椭圆方程为=1…（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此最大，R就最大，…（6分）由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，…（8分）得，，则=，…（9分）令t=，则t≥1，则，…（10分）令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤3，即当t=1，m=0时，S△F1MN≤3，S△F1MN=4R，∴R max=，这时所求内切圆面积的最大值为π．故直线l：x=1，△F1MN内切圆面积的最大值为π…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R就最大是关键．31203 79E3 秣26738 6872 桲40048 9C70 鱰37647 930F 錏31118 798E 禎26569 67C9 柉26122 660A 昊022188 56AC 嚬24867 6123 愣27462 6B46 歆。

2021-2022年高三上学期教学质量监测数学(理)试题含答案

2021年高三上学期教学质量监测数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.如图，已知是实数集，集合，则阴影部分表示的集合是（）A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(0,1]2.函数的图象按向量平移得到的图象，则可以是（）A． B． C． D．3.已知命题：；命题：，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.4.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为（）A.232B.252C.472D.4845.向量满足,则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6.如图程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的是（）A．B．C．D．7.在二项式的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（）A.-960B.960C.1120D.16808.已知等差数列{}的前项和为，且，则过点和的直线的斜率是（）A．4 B．3 C．2 D．19.函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.10.已知点的坐标过点的直线与圆相交于、两点，则的最小值是（）A．B．4 C．D．211.某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是（）A. B． C. D．12.若,则最小值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数满足（其中为虚数单位），则的模为_____.14.在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在其表面上运动，则总能使与垂直的点所构成的轨迹的周长等于．15.古希腊的数学家研究过各种多边形数.记第个边形数为（，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数四边形数五边形数六边形数……可以推测的表达式，由此计算的值为________．16.设椭圆的右顶点为、右焦点为为椭圆上在第二象限内的点，直线交于点，若直线平分线段，则的离心率是．三、解答题：17.（本小题满分12分）已知锐角中内角、、的对边分别为、、，，且．（1）求角的值；（2）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，底面，其中与交于点是边上的点，且，已知（1）求平面与平面所成锐二面角的正切值；（2）若是上一点，且平面，求的值．19.（本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女睡眠时间(小时) [4,5）[5,6）[6,7）[7,8）[8,9]女生人数男生人数（1随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率;（2？睡眠时间少于7小时睡眠时间不少于7小时合计男生女生合计（，其中）20.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为且,设短轴的一个端点为,原点到直线的距离为，过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点，且. (1)求椭圆的方程；(2) 是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点且使得成立？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数．（1）若在定义域内恒成立，求的取值范围；（2）当取（1）中的最大值时，求函数的最小值；（3）证明不等式．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图⊙过平行四边形的顶点,且与相切,交的延长线于点.(1)求证：；(2)是的三等分点，且，求.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为，（为参数，）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为．写出圆心的极坐标，并求当为何值时，圆上的点到直线的最大距离为3．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若正实数满足，求证：.河北省“五个一名校联盟”xx高三教学质量监测理科数学答案四、选择题：DDCCC BCACB DD五、填空题:13.；14.；15.2490；16.三、解答题：18.（本小题满分12分）解析：（1）因为,由余弦定理知又因为,则由正弦定理得:，所以,所以,又因为所以 ...... 6分（2），由已知,则...... 8分因为,,由于,所以，...... 10分所以，所以的取值范围是..... 12分19.（本小题满分12分）解析:（1）连接并延长交的延长线于，则是平面与平面所成二面角的棱，过作垂直于，连接．∵平面，∴，又，∴平面，平面，∵，，面，面∴，∴是平面与平面所成锐二面角的平面角…（3分）∵，∴，又，∴∴，所以平面与平面所成锐二面角的正切值为…（6分）（2）连接并延长交于，连接∵平面，面，面面∴在中∵，又…（9分）在梯形中，，∵∴，∴…（12分）另解：向量法.19.（本小题满分12分）解析：（1）设事件A=“从睡眠不足6小时的女生中抽出3人，其中恰有一个为“严重睡眠不足”.........1分. 所以......6分(2)睡眠少于7小时睡眠不少于7小时合计男生12 8 20女生14 6 20合计26 14 40......8分......10分所以没有的把握认为“睡眠时间与性别有关” .......12分20.（本小题满分12分）解析：（1）由椭圆的对称性知：,又原点O到直线DF的距离为，又故椭圆方程为…………4分（2）当直线与轴垂直时不满足条件……5分，故可设直线的方程为，代入椭圆方程得：……7分因为，即所以即，解得……10分,故.所以存在满足条件的直线，且其方程为……12分21.（本小题满分12分）解析：（1）的定义域是，当时，，递减，当时，，递增∴依题意得，，故的取值范围…3分（2）当时，，的定义域是，令由（1）知，的最小值是递增，又时，，递减，当时，，递增，∴7分（3）由（2）得，时，，令，则…12分22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解析：(Ⅰ)证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.又AT 2＝AB*AD，所以AT 2＝BT*AD．......5分(Ⅱ)取BC中点M，连接DM，TM．由(Ⅰ)知TC＝TB，所以TM⊥BC．因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．所以M，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．所以∠ABT ＝∠DBT＝90°. 所以∠A＝∠ATB＝45°°. ...... 10分23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：由已知圆心O的直角坐标为，所以圆心O的极坐标为...2分直线的直角坐标方程为，圆心O到的距离，圆O上的点到直线的距离的最大值为解得......10分24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解析：（1）∵，．......5分，∴. ......10分。

答案2021学年第一学期高三数学(理)

第一学期高三数学教学质量检测试卷参考答案（理）一、填空题1、2π2、]2,0[3、i 24、⎩⎨⎧∈≥==*-N n n n a n n ,2,21,32 5、28 6、103 7、4 8、060 9、63 10、)14,12( 11、61 12、53 13、2 14、]41,0(19、[解]（1）因为⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π 所以 3π=∠PBA ………2分因为2=AB ，所以32=PB …………4分 2324433131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA S V ABC ABC P ………………6分（2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN //所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角 ………………7分计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM ………………9分 101515213151cos =-+=∠PMN ………………11分异面直线PM 与AC 所成的角为1015arccos………………12分 20、【解】（1）由条件得到03tan 8tan 32=-+αα，………………2分解得31tan =α或者3tan -=α ………………4分 παπ<<2 ，.3tan -=∴α ………………6分（2）54tan 1tan 12cos )22sin(22=+--=-=-αααπα ………………2分+2分+2分=6分 21、（理）【解】：（1）设0)(=x f ，02)2(2=--+n x n x 得 n x x =-=21,2。

所以n a n =…………………………………………………………………………4分（2）n n n n b 2)1(31⋅⋅-+=-λ，若存在0≠λ，满足n n b b >+1恒成立即：n n n n n n 2)1(32)1(3111⋅⋅-+>⋅⋅-+-++λλ，………………………………6分λ⋅->--11)1()23(n n 恒成立 ……………………………………………………8分当n 为奇数时，λ>-1)23(n ⇒ 1<λ ………………………………………10分当n 为偶数时，λ->-1)23(n ⇒ 23->λ …………………………………12分所以 123<<-λ ………………13分，故：1-=λ………………………14分22、【解】（1）由0)1(=f ，得21=+c a ，………………1分因为0)(≥x f 在R x ∈时恒成立，所以0>a 且△0441≤-=ac ，161≥ac ， ………………2分即16121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ，0161212≤+-a a ，0412≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ，所以41==c a ．……………4分（2）由（1）得412141)(2+-=x x x f ，由0)()(<+x h x f ，得 02212<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b x b x ，即021)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛--x b x ，………………7分所以，当21<b 时，原不等式解集为)21,(b ；当21>b 时，原不等式解集为),21(b ；当21=b 时，原不等式解集为空集． ………………10分（3）412141)(2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m x x g ， ………………11分 )(x g 的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线12+=m x ．假设存在实数m ，使函数)(x g 在区间]2,[+m m 上有最小值5-．① 当m m <+12，即1-<m 时，函数)(x g 在区间]2,[+m m 上是增函数，所以5)(-=m g ，即54121412-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m m ，解得3-=m 或37=m ，因为1-<m ，所以3-=m ； ………………13分②当212+≤+≤m m m ，即11≤≤-m 时，函数)(x g 的最小值为5)12(-=+m g ，即541)12(21)12(412-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+m m m ，解得22121--=m 或22121+-=m ，均舍去； ………………15分③当212+>+m m ，即1>m 时，)(x g 在区间]2,[+m m 上是减函数，所以5)2(-=+m g ，即541)2(21)2(412-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+m m m ，解得221--=m 或221+-=m ，因1>m ，所以221+-=m ． ………………17分综上，存在实数m ，3-=m 或221+-=m 时，函数)(x g 在区间]2,[+m m 上有最小值5-． ………………18分23、【解】(1)113,2n n n n a a b b n ++-=∴-=+, ………………2分1231,4,8b b b =∴== ………………4分(2)由3112727n n n n n a a n b b n ++-=-⇒-=-, ………………5分由104n n b b n +->⇒≥,即456b b b <<<; ………………7分由104n n b b n +-<⇒<,即1234b b b b >>> ………………9分4k ∴=. ………………10分(3)由1111(1)(1)(2)n n n n n n n a a b b n ++++-=-⇒-=-+, ………………11分故1*1(1)(21)(2,)n n n n b b n n n N ---=-+-≥∈,12121213212121,(1)(22),,(1)(22),(1)(21)n n n n n n n n b b b b b b n b b n ------∴-=+-=-+-=-+--=-+- ………………13分当*2()n k k N =∈时,以上各式相加得 1221122(2)(2222)[12(2)(1)]1(2)2n n n n n b b n n ------=-+-++-+--+-=+--2232n n +=+ 2225132323n n n n n b +∴=++==++ ………………15分当*21()n k k N =-∈时,111221213(1)(2)1(2)32326n n n nn n n n n b b n n +++++=--+=++-+=--+ ………………17分213,32625,323n n n n b n ⎧--+⎪⎪∴=⎨⎪++⎪⎩(21)(2)n k n k =-=,*()k N ∈ ………………18分。

2021-2022年高三上学期教学质量监测(段考) 数学(理) 含答案

2021年高三上学期教学质量监测（段考）数学（理）含答案欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 设集合，，则为（）A. B. C. D.2. 已知，是虚数单位，且，则的值是（）A. B. C. D.3. “和都不是偶数”的否定形式是（）A. 和至少有一个是偶数B. 和至多有一个是偶数C. 是偶数，不是偶数D. 和都是偶数4. 若，且，则为（）5. 执行右边的流程框图，若输入的是6，则输出的的值是（）A. B. C. D.6. 若，，则的大小关系是（）A. B.C. D.7. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位8. 已知函数的图象的一条对称轴是直线，则函数的单调递增区间是（） A. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈B. 5[2,2]()1212k k k Z ππππ-+∈ C. 7[,]()1212k k k Z ππππ++∈D. 7[2,2]()1212k k k Z ππππ++∈ 9. 锐角三角形中，若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 10. 已知，若对任意不相等的两个正数都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.11. 设，，且，，，则的值（）A. 一定大于零B. 一定小于零C. 小于或等于零D. 正负均有可能 12. 已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数，则可求出12340244025()()()()()20132013201320132013f f f f f +++++的值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4个小题，每道题5分，共20分）13. 若锐角满足(1)(1)4αβ++=，则 . 14. 已知函数的最大值为，最小值为，则函数的最大值是 . 15. 函数321()1(,)3f x x ax bx a b R =+-+∈在区间上是减函数，则的最小值是 .16. 设函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪⎪+=⎨⎪-+∈⎪⎩，()sin 22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在使得成立，则实数的取值范围是 .三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知1sin cos1sin cos ()1sin cos1sin cos fθθθθθθθθθ-+--=+---+（1）化简；（2）求使的最小正角.18.（本小题满分12分）在锐角三角形中，角的对边分别是，已知.（1）求的值；（2）若，，求的值.19.（本小题满分12分）已知函数，（其中且），记.（1）求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；（2）若，求使成立的的集合.20.（本小题满分12分）如图所示，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段.该曲线段是函数2sin()(0,0)3y A x Aπωω=+>>在时的图象，且图象最高点是.赛道的中间部分是长千米的直线跑道，且∥.赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧. （1）求的值和的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且.求当矩形面积取最大值时的取值.21. （本小题满分12分）已知函数在处取极值.（1）求函数的解析式；（2）当满足什么条件时，在区间为增函数；（3）若是函数图象上一个动点，直线与函数图象切于点，求直线的斜率的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，为的直径，是的切线，为切点．（1）求证：∥；（2）若半径是，求的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两坐标系取相等单位长度.已知直线经过点，倾斜角．（2）设直线与圆相交于两点，求点到、两点的距离之积.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）解不等式.xx 第一学期高中教学质量监测（段考）一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1-6. B A A D B B 7-12. C C A A B D二、填空题（本大题共4个小题，每道题5分，共20分） 13. 14. 15. 2 16.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）解:(1) (1cos )sin (1cos )sin ()(1cos )sin (1cos )sin f θθθθθθθθθ+---=+--+-22222cos 2sin cos 2sin 2sin cos 2222222sin 2sin cos 2cos 2sin cos222222θθθθθθθθθθθθ--=+--………………………………3’ 2cos (cos sin )2sin (sin cos )2222222sin (sin cos )2cos (cos sin )222222θθθθθθθθθθθθ--=+--…………………………………5’ 高三年级数学科试题（理科）答案22cos sin cos sin 122222sin sincossin cossin cos 222222θθθθθθθθθθθ+=--=-=-=-…………………8’ (2)由得……………………………………………………………………………10’ 故所求的最小正角……………………………………………………………12’ 18.（本小题满分12分）解：（1）222211cos 2tan sin sin (1)(1)22221cos cos 2A A A A A A-+=+=++………3’原式11253(1)12613-=+=+………………………………………………………….6’ （2）11sin 22ABC S bc A ===△…………………………………………………………………………………8’又，，22223618=54b c b c ∴=+-+，即：………………………………………………10’解，得…………………………………………………12’ 19. （本小题满分12分）解:(1)由题意故的定义域为：…………………………………………………………3’ 显然的定义域关于原点对称()()()log (1)log (1)()()()a a h x f x g x x x g x f x h x -=---=--+=-=-故是定义域上的奇函数…………………………………………………………6’ （2）由得……………………………………………………………8’ 由得于是，解得：…………………………………………11’故所求的的集合是………………………………………………12’ 20. （本小题满分12分）解：（1）由已知条件得：…………………………………………………………………2’ 故曲线段的解析式为…………………………………3’ 当时，，又从而……………………………………………………5’ （2）由（1）知，易知，矩形草坪的面积6sin (6cos 6sin )S θθθ=-………………………………8’2116(sin cos sin )6(sin 2(1cos 2))22θθθθθ=-=--………9’……………………………………………10’ ，，即时，取最大值………………………12’ 21. （本小题满分12分）解：（1）…………………………………………………………1’由已知，即2(1)0(1)21a b b a b-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩函数的解析式为……………………………………………3’（2）由（1）得，令，解得……………4’故在上是增函数………………………………………………………5’ 又在上为增函数121121m m m m ≥-⎧⎪∴+≤⎨⎪+>⎩解得……………………………………………………7’ 即当时，函数在为增函数…………………………8’ （3）直线与图象切于点故斜率200222220004448()(1)1(1)x k f x x x x --'===++++………………………………9’ 令，则，2211848()42k t t t =-=--………………………10’ 当时，，当时，…………………………………11’故直线斜率的取值范围是………………………………………………12’ 22. （本小题满分10分）解：连接（1）是两切线，又是的直径，∥………………………………………………………………………5’ （2），212AD OC AB OD∴==⨯=…………………………………………………10’23. （本小题满分10分）解：（1）直线的参数方程为1112xy t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数）………………………4’（2）因为都在直线上，所以可设它们所对应参数分别是由直线参数几何意义知：圆的直角坐标方程是：直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，整理得：因为是圆与直线的两交点，故是的解从而故……………………………………………………………10’24. （本小题满分10分）解：（1）3(1) ()21(12)3(2)xf x x xx≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩又当时，，若要使恒成立，只需的取值范围是…………………………………………………………5’（2）当时，，解得：当时，，解得：当时，，此时无解综上所述，不等式的解集是……………………………10’。

2021年高三上学期阶段性检测数学理试题含答案

2021年高三上学期阶段性检测数学理试题含答案A ．B ．C ．D ．2、己知集合，则满足条件的集合P 的个数是（）A ．3B ．4C ． 7D ．83、命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（）A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数 4、设实数满足约束条件目标函数的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．5、由直线所围成的封闭图形的面积为( ) A ． B ．1 C ． D ．6、函数y=3sin （2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么||的最小值为（）A ．B ．C ．D ． 7、利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是( )A.0B.1C.2D.3 8、已知函数是定义域为R 的偶函数，且,若在[-1,0]上是增函数，那么上是( ) A .增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数9、函数的图象大致是10、已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A.x 2＝833y B.x 2＝1633y C.x 2＝8y D.x 2＝16y11、在△中，已知，其中、、分别为角、、的对边.则值为（） A ． B. C. D. 12、已知是的一个零点，，则A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13、已知向量，夹角为，且||=1，|2－|=，则||=________14、若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则它的侧视图的面积为 15、已知双曲线左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线与双曲线一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为 16、将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为三、解答题：（本大题共6小题，共74分，写出文字说明、演算步骤）17、（本小题满分12分）函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最小值 18、（本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率 19、（本小题满分12分）在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点.（1）求三棱锥A －MCC 1的体积；（2）当A 1M ＋MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC . 20、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列前n 项和为，首项为，且成等差数列。

2021年高三上学期摸底考试数学理试题含答案

2021年高三上学期摸底考试数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号、座号”处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卷上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将试卷和答题卷一并交回．参考公式：圆锥的侧面积公式，其中是圆锥的底面半径，是圆锥的母线长.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）.A. B. C. D.2.已知，则（）.A. B. C. D.3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为（）. A. B. C. D.5.在△ABC 中，，，则△ABC 的面积为（）.A.3B.4C.6D.6.函数的零点所在的一个区间是（）. A. B. C. D.7.若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）. A. B. C.2 D. 8.若过点的直线与曲线和都相切，则的值为（）. A.2或 B.3或 C.2 D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．若复数满足，则复数的实部是 .10.的展开式中的常数项是 .（用数字作答）11.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 . 12.已知实数满足，则的最大值是 .13.在区间上随机取一个数，在区间上随机取一个数，则关于的方程有实根的概率是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于点P ，若，，则的值为 . 15．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程是（为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，的最大值是1，最小正周期是，其图像经过点．（1）求的解析式；（2）设、、为△ABC的三个内角，且，，求的值．17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物一次购物量（件）1≤n≤3 4≤n≤6 7≤n≤9 10≤n≤12 n≥13 顾客数（人）20 10 5结算时间（分钟/人）0.5 1 1.5 2 2.5（1）确定与的值；（2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望；（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2分钟的概率.18.（本小题满分14分）如图，菱形的边长为4，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与的大小，并予以证明.20．（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上任意一点，且的最小值为.（1）求椭圆的方程；（2）动圆与椭圆相交于A 、B 、C 、D 四点，当为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积.21.(本小题满分14分)已知函数.（1）是否存在点，使得函数的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（2）定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中，求；（3）在（2）的条件下，令，若不等式对且恒成立，求实数的取值范围.xx 届越秀区高三摸底考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9.1 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16.（1）依题意得.由，解得.所以.因为函数的图像经过点，所以，即. 因为，所以.所以. （2）由（1）得，所以，.因为，所以，.因为为△ABC 的三个内角，所以()cos cos[()]cos()f C C A B A B π==-+=-+ .17.（1）依题意得，，，解得，. （2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得，，，，，.所以的分布列为的数学期望为.（3）记“该顾客结算前的等候时间不超过2分钟”为事件A ，该顾客前面第位顾客的结算时间为，由于各顾客的结算相互独立，且的分布列都与的分布列相同，所以121212()(0.5(0.5)(0.5(1)(0.5( 1.5)P A P X P X P X P X P X P X ==⋅=+=⋅=+=⋅=)))121212(1(0.5)(1(1)( 1.5(0.5)P X P X P X P X P X P X +=⋅=+=⋅=+=⋅=)))0.20.20.20.40.20.20.40.20.40.40.20.20.44=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 为所求.18.（1）因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以.因为平面ABD ，平面ABD ，所以平面.（2）因为在菱形ABCD 中，，所以在三棱锥中，.在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，，所以BD ＝4.因为O 为BD 的中点，所以.因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以.因为，所以，即.因为平面ABC ，平面ABC ，，所以平面ABC . 因为平面DOM ，所以平面平面.（3）作于，连结DE .由（2）知，平面ABC ，所以AB .因为，所以平面ODE .因为平面ODE ，所以. 所以是二面角的平面角. 在Rt △DOE 中，，，，所以.所以二面角的余弦值为.19.（1）当时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+- .又也适合上式，所以. （2）由（1）得，所以.因为①，所以②. 由①－②得，，所以121111112212122222212n n n n n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=--. 因为33222(2)(221)221212212(21)2n n n n nn n n n n n n T n n n n ++++--⎛⎫-=--=-= ⎪++++⎝⎭，所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.当时，；当时，；当时，；当时，；……，可猜想当时，.证明如下：当时，.综上所述，当或时，；当时，. 20.（1）因为P 是椭圆上一点，所以.在△中，，由余弦定理得()22121212122444122PF PF PF PF a PF PF PF PF +-⋅--==-⋅⋅. 因为，当且仅当时等号成立. 因为，所以.因为的最小值为，所以，解得. 又，所以.所以椭圆C 的方程为. （2）设，则矩形ABCD 的面积.因为，所以.所以2222222000003231632124332x S x y x x ⎛⎫⎛⎫==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为且，所以当时，取得最大值24.此时，.所以当时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为.21.（1）假设存在点，使得函数的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数的图像上，则函数图像的对称中心为. 由，得，即对恒成立，所以解得所以存在点，使得函数的图像上任意一点关于点M 对称的点也在函数的图像上. （2）由（1）得.令，则.因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n nn=++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得，所以.所以.（3）由（2）得，所以.因为当且时，2()121ln ln 2n amnmn n ma n n ⋅>⇔⋅>⇔>-. 所以当且时，不等式恒成立.设，则. 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增. 因为，所以，所以当且时，. 由，得，解得.所以实数的取值范围是.]28210 6E32 渲30080 7580 疀|22043 561B 嘛33037 810D 脍u39819 9B8B 鮋20257 4F21 伡32313 7E39 縹26508 678C 枌.O &。

2021年高三上学期摸底考试数学(理)试题含答案

2021年高三上学期摸底考试数学（理）试题含答案本卷共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题：1．已知集合 M= ，集合为自然对数的底数），则=（） A ． B ． C ． D ．2．命题“x ∈R ，x 2－x+l<0”的否定是 A ． x ∈R,x 2一x+1≥0B ．x ∈R,x 2 －x+1>0C ． x ∈R,x 2－x+l ≥0 D ． x ∈R,x 2－x+l>0 3．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C)20 (D)24 4．若的值为 A ． -1 B ． C ．l D ．2 5.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为（）.A. 4B. 4C. 3D. 2 6．定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为（） A ． B ． C ． D ．7、若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为（）A ．B ．C ．D ．8．如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（） A ． B ． C ． D ．9、在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集DABC主视图左视图{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（）A ．B ．C ．D ． 10、已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．11、在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝，SA ＝SC ＝2，AC 的中点为M ，∠SMB 的余弦值是，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. B. C. D.12、设定义在上的函数，若关于的方程有3个不同实数解、、，且，则下列说法中错误的是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题。

2021年高三上学期开学初模拟检测数学(理)试题含答案

2021年高三上学期开学初模拟检测数学（理）试题含答案本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分100分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷（选择题部分共24分）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设xR，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（）A．若，则B．若，则C．若，则 D．若，则3．等比数列｛a n｝满足a1=3， =21，则A．21 B．42 C．63 D．844. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是A．y＝cos（2x＋）B．y＝sin（2x＋）C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sinx＋cosx5. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（）A．B．C．D．6.已知两定点，若动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积为（）（A）（B）（C）（D）7．已知双曲线M：和双曲线N：，其中，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为（）（A）（B）（C）（D）8．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得，且，则∠BAC 的值为（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题部分共28分)二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．9．设集合M={x|}，N={x | x2 ≤x}，则M∩N =10. 已知，则=_________.11．已知,实数满足约束条件,若的最小值为,则的值为12．若实数x，y满足x+y=6，则f(x，y)=(x2+4)(y2+4)的最小值为13．已知圆O的直径AB=2，C是该圆上异于A、B的一点，P是圆O所在平面上任一点，则的最小值为 .14．已知正方体的棱长为1，点P是线段上的动点，则四棱锥的外接球的半径R的取值范围为是．15．已知关于x的不等式的解集为A，若A中恰有两个整数，则实数a的取值范围为三、解答题：本大题共5小题， 8+10+10+10+10=48分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数在区间上的最大值为.(Ⅰ)求常数的值;(Ⅱ)在中,角所对的边长分别为,若,,面积为,求边长的值.17．如图，正方形与等边三角形所在的平面互相垂直，分别是的中点．（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）求二面角的正切值．18. 已知函数，其中，．（Ⅰ）当时，且为奇函数，求的表达式；（Ⅱ）当时，且在上单调递减，求的值．19. 已知椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B 两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列.（Ⅰ）求椭圆C的方程.（Ⅱ）试探究是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围.20. 设是等差数列的前n项和，其中，且，（Ⅰ）求常数的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，设数列的前n项和为，求最小的正整数，使得对任意的，都有成立.山东省枣庄市第九中学xx 届高三开学初模拟检测数学（理）参考答案AABA CBAA9． 10. 4 11．12．144 13． 14． 15．16．解:(1) ----1分因为,所以所以当即时,函数在区间上取到最大值此时,,得 -----------2分(2)因为,所以,即 ,解得(舍去)或 ---------1分由得.因为面积为, 所以,即.-----②由①和②解得 ------------2分所以222222cos 31231cos 3a b c bc A π=+-⋅=+-⨯⨯⨯=7,从而 -----------2分 17．解：(Ⅰ)设CE 中点为P ，连接MP ，PB ，易知所以是平行四边形，所以MN ∥PB ，因此MN ∥平面-----------4分(Ⅱ)建立空间直接坐标系：AB 为y 轴，AD 为z 轴，平面ABE 内过A 点且与AB 垂直的线为x 轴。

2021年高三上学期第三次模块考试数学(理)试题含答案

2021年高三上学期第三次模块考试数学（理）试题含答案张红青杨雪梅命制时间：xx.12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．山东省答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1. 已知集合11{2,1,0,1,2}{|28R}2x M N x x +=--=<<∈，，，则（） A ．B ．C ．D ．2.设复数的共轭复数为，若则复数（）A ．B ．C ．D ．3. 若，是夹角为的单位向量，且，，则（）A ．B ．C ．D ．4. 已知各项不为的等差数列，满足，数列是等比数列，且，则（） A. 2 B. C. D.5.已知命题p ：，命题q ：，则是成立的（）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知函数为奇函数，，则等于（） A ． B ． C ． D ． 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．π＋ B ．2π＋ C ．π＋ D ．2π＋8.已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若,,且,则B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C．若，则D．若，则9．函数的图象大致为（）10.直线与圆相交于A、B两点，若弦AB的中点为（-2，3），则直线的方程为（）A. B.C. D.11.已知实数满足约束条件若函数的最大值为1，则的最小值为（）A. B. C. D.12.已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={}；③M={}；④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A.①②B.②③C.①④D.②④第II卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知两条直线互相平行，则等于_______.14.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为 .15.椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为.16.已知，则函数的零点的个数为_______个.三、解答题：（本大题共有6个小题，共74分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 17.（本小题满分12分）已知向量，若.（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数在区间上的值域.18． (本题满分12分) 数列的前项和为，，，等差数列满足. （1）分别求数列，的通项公式；（2）设，求证．19.（本小题满分12分）设命题关于的二次方程的一个根大于零，另一根小于零；命题不等式对上恒成立,如果命题“”为真命题, 命题“”为假命题,求实数的取值范围.20.三棱锥,底面为边长为的正三角形，平面平面，,为上一点，，为底面三角形中心. （Ⅰ）求证∥面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设为中点，求二面角的余弦值.21．（本小题满分12分）已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为,且椭圆经过点，(I)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线与椭圆C 交于不同的两点A,B 满足·,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.CB22.（本小题满分14分）已知函数在点处的切线方程为，且对任意的，恒成立.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求实数的最小值；（Ⅲ）求证：（）东营市一中xx学年第一学期第三次模块考试理科数学试题答案一、选择题 ADCDB CADCA AD二、填空题 -3或1；；； 5.三、解答题17.解：（1）==. ，图象的对称轴方程为Z）.（2）由于区间的长度为，为半个周期.又在处分别取到函数的最小值，最大值，所以函数在区间上的值域为18. 解：（1）由----①得----②，①②得，…………………………………………2分；………………………………………………………………………………3分…………………………………………………………………4分…………………………………………………………………………6分（2）因为………………………-………………………8分所以………………………………………………………9分所以………………………………………………………10分………………………………………………………11分所以………………………………………………………12分19.（本小题满分12分）解：令，因为关于的二次方程的一个根大于零，另一根小于零，所以，即：，解得：命题为真时………3分因为，所以由不等式可得：，令，由在上单调递增，故.又不等式对上恒成立,所以命题为真时. ………7分因为命题“”为真命题, 命题“”为假命题,所以（1）若真假，得………9分（2）若假真，得. ………11分综上可得：或.20.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结交于点，连结.为正三角形的中心，∴,且为中点.又，∴∥, --------------2分平面，平面∴∥面． --------------4分（Ⅱ）,且为中点, ∴,又平面平面，∴平面, ------------5分由（Ⅰ）知，∥，∴平面,∴ ----------6分连结,则,又,∴平面,∴． -----------8分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，两两互相垂直，且为中点，所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则231(3,0,0),(0,3,0),(0,0,1)(1,0,),(0,3,0),(0,,)322A B P D C M --，------------9分∴设平面的法向量为，则，令，则． --------------10分由（Ⅱ）知平面,∴为平面的法向量， ∴33331cos ,31312793||||n AC n AC n AC ⋅-<>===++⋅+，由图可知，二面角的余弦值为． --------------12分21.（本小题满分12分）解:(1)设椭圆C 的标准方程为,由题意得 ,由得故椭圆C 的标准方程为.(2)若存在过点P(2,1)的直线满足条件,则的斜率存在 .22. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）将代入直线方程得，∴① --------------1分，∴② --------------2分①②联立，解得∴ --------------3分（Ⅱ），∴在上恒成立；即在恒成立； --------------4分设，，∴只需证对于任意的有 --------------5分[)221()21,0,11k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++设，1）当，即时，，∴在单调递增，∴ --------------6分 2）当，即时，设是方程的两根且由，可知，分析题意可知当时对任意有；∴，∴ --------------7分综上分析，实数的最小值为. --------------8分（Ⅲ）令，有即在恒成立--------------9分令，得 --------------11分 ∴22211111111(ln 2ln1)(ln 3ln 2)(ln(1)ln )2323n n n n ++++≤+++++-+-+++-222111111=1ln(1)1ln(1)231223(1)n n n n n++++++<++++++⨯⨯-，∴原不等式得证. --------------13分 YaW]q37328 91D0 釐24910 614E 慎23209 5AA9 媩 21254 5306 匆,20361 4F89 侉22762 58EA 壪5。

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