函数的表示法作业(新课标)
《函数的表示法》习题
《函数的表示法》习题1、函数y ＝x ＋|x|x的图象，下列图象中，正确的是( ).2、下列关于分段函数的叙述正确的有( ).（1）定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；（2）尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是一个函数；（3）若D 1、D 2分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则D 1∩D 2＝Ø.A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个3、设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列的对应不表示从P 到Q 的映射的是( ). A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x 4、图中的图象所表示的函数的解析式为( ).A .31(02)2y x x =-≤≤ B .331(02)22y x x =--≤≤ C .31(02)2y x x =--≤≤ D .11(02)y x x =--≤≤ 5、已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则))31((f f =_______.6、设函数22(2)()2(2)x xf xx x⎧+≤=⎨>⎩，则)4(-f＝________，若8)(=xf，则x＝________.7、某市营业区内住宅电话通话费为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的通话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图象；(2)如果一次通话t分钟(t>0)，写出通话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用T表示不小于t的最小整数)．答案：1、C .2、B .【解析】（1）（2）正确，（3）不正确，故选B .3、C .【解析】根据映射的概念，对于集合P 中的每一个元素在对应法则f 的作用下，集合Q 中有唯一的元素和它对应．选项A 、B 、D 均满足这些特点，所以可构成映射．选项C 中f ：x →y ＝23x ，P 中的元素4按照对应法则有23×4＝83>2，所以P 中元素4在Q 中无对应元素. 4、B .【解析】可将原点代入，排除选项A ，C ，再将点（1，32）代入，D 项不符合，所以选B .5、13.【解析】由图象知，1,(10)()1,(01)x x f x x x +-<<⎧=⎨-<<⎩，112()1333f =-=-，1(())3f f =221()1333f -=-+=. 6、6-或4. 【解析】2(4)(4)218f -=-+=.若02x ≤，则200()28f x x =+=,06x =-.若02x >，则00()28f x x ==，04x =.7、【解析】(1)如图(2)由(1)知，话费与时间t 的关系是分段函数，当0<t ≤3时，话费为0.2元；当t >3时，话费应为[0.2+(T -3)×0.1]元，所以0.2,(03)0.2(3)0.1,(3)t y T t <≤⎧=⎨+-⨯>⎩.。
1.2.2函数的表示法课件人教新课标
的三种表示法表示函数 y f (x)
。
例2．（书P20）下表是某校高一（1）班三名 同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级 平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王伟 张城 赵磊
班级 平均分
98 90 68 88.2
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量 的函数关系
优点：不需要计算就可以直接看出与自变 量的值相对应的函数值.
⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之 间的关系.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相 应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通 过图象来研究函数的某些性质.
二．例题讲授：
例1（书P19）.某种笔记本的单价是5元，买 x
四、作业
P24 A组7、8、9 B组3、4 补充：作出分段函数
y 2x 1 x 2 (3 x 3)
的图像并求值域。
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加 1元（不足5公里按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题 意，写出票价与里程之间的函数解析式，并 画出函数的图象．
练习：
x 2(x 1)
1．在函数
f
(x)
x
2
(1
x
2)
中，若 f (x) 3
2x(x 2)
则x的值为 。
3x2 2 (x 0)
1.2.2 函数的表示法(一)
一、讲授新课：
函数的表示方法 ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用 一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表 达式，简称解析式.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关 系；二是可以通过解析式求出任意一个自变 量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数 主要是用解析法表示的函数.
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法课时作业(含解析)新人教A版必修第一册-
3.1.2 函数的表示法一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错． 答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]． 答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})X 价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /X 1 2 3 4 5 y /元20406080100(2)图象法：如下图所示．(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． 解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.[尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)； (2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。
新课标2022版高考数学总复习第二章函数第一节函数及其表示练习含解析理
高考数学总复习：第一节 函数及其表示学习要求:1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数与映射的概念函数映射两集合A 、B设A 、B 是两个① 非空数集 设A 、B 是两个② 非空集合对应关系f :A →B按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A中的③ 任意 一个数x ,在集合B 中都有④ 唯一确定 的数f (x )与之对应按某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的⑤ 任意 一个元素x ,在集合B 中都有⑥ 唯一确定 的元素y 与之对应名称 称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y =f (x ),x ∈A 对应f :A →B▶提醒 判断一个对应关系是不是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的⑦ 定义域 ;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的⑧ 值域 .(2)函数的三要素:⑨ 定义域 、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩ 定义域 相同,且 对应关系 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 解析法 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为{x|x∈R且x≠xπ+π2,x∈Z}.(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4xx-x24x ,+∞);当a<0时,值域为(-∞,4xx-x24x].(3)y=xx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.()(2)f(x)=√x-3+√2-x是一个函数.()(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.()(4)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )答案 B3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x )=√2x的定义域为 ( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞) 答案 A 要使f (x )=2x有意义,需满足2x-1>0,解得x >0,∴函数f (x )=2x的定义域为(0,+∞),故选A.4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12) C.(-1,0) D.(12,1)答案 D ∵f (x )的定义域为(-1,0),∴-1<2x -2<0,解得12<x <1,∴函数f (2x -2)的定义域为(12,1),故选D .5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1答案 A 因为f (x )是一次函数,所以可设f (x )=kx +b (k ≠0).由f [f (x )]=x +2得k (kx +b )+b =x +2,即k 2x +kb +b =x +2,所以k 2=1,kb +b =2,解得k =1,b =1,则f (x )=x +1.故选A.函数、映射概念的理解典例1 (1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y =1x +1,x ∈A ,y ∈B ;②A ={x |12x ∈N *},B ={x |x =1x,x ∈N *},对应关系f :a →b ,b =1x;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆. 其中是从A 到B 的映射的为( )A.①③B.②④C.①④D.③④ (2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y =(√x +1)2B.y =√x 33+1C.y =x 2x+1 D.y =√x 2+1答案 (1)B (2)B解析 (1)对于①,当x =-1时,y 的值不存在,所以①不是从A 到B 的映射;对于②,A ,B 是两个集合,分别用列举法表述为A ={2,4,6,…},B ={1,12,13,14,…},由对应关系f :a →b ,b =1x 知,②是从A 到B 的映射;③不是从A 到B 的映射,如A 中的元素1对应B 中两个元素±1;④是从A 到B 的映射.(2)对于A,函数y =(√x +1)2的定义域为{x |x ≥-1},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y =x 2x +1的定义域为{x |x ≠0},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B .名师点评1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是相等函数.2.判断一个从集合A 到集合B 的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为可以一对一,也可以多对一,但不能一对多.1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根; ②A =R,B =R, f :x →x 的倒数; ③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2. 其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③ 答案 C2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是 ( )A.f (x )=|x |,g (x )=√x 2B.f (x )=√x 2,g (x )=(√x )2C.f (x )=x 2-1x -1,g (x )=x +1D.f (x )=√x +1·√x -1,g (x )=√x 2-1 答案 A函数的定义域角度一 具体函数的定义域典例2 (1)函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2] (2)函数f (x )=√4-|x |+lgx 2-5x +6x -3的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6] 答案 (1)C (2)C解析 (1)要使函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )有意义,则{x +1≥0,6-3x >0,即-1≤x <2.故函数f (x )的定义域为[-1,2).(2)要使函数f (x )有意义,需满足{4-|x |≥0,x 2-5x +6x -3>0,即{|x |≤4,(x -3)(x -2)x -3>0,解得2<x <3或3<x ≤4,故f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4].角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围典例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y =xx -1xx 2+4xx +3的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A.(0,34]B.(0,34)C.[0,34]D.[0,34)(2)若函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为 . 答案 (1)D (2)-92解析 (1)要使函数的定义域为R, 则mx 2+4mx +3≠0恒成立, ①当m =0时,显然满足条件; ②当m ≠0时,由Δ=(4m )2-4m ×3<0, 得0<m <34. 综上可知,0≤m <34.(2)函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域是不等式ax 2+abx +b ≥0的解集.由题意知不等式ax 2+abx +b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}, 所以{x <0,1+2=-x ,1×2=xx,解得{x =-32,x =-3, 所以a +b =-32-3=-92. 角度三 抽象函数的定义域典例4 已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)的定义域是 .答案 [12,32]解析 因为函数f (x )的定义域是[0,2],所以函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)中的自变量x 需要满足{0≤x +12≤2,0≤x -12≤2,解得12≤x ≤32,所以函数g (x )的定义域是[12,32]. ◆变式探究 若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [0,1)解析 由题意得{0≤2x ≤2,x -1≠0,解得0≤x <1,所以g (x )的定义域为[0,1).名师点评简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式,构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)抽象函数:①若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出; ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域.1.(1)函数f (x )=√2x -1-1的定义域是 . (2)函数f (x )=(x -12)0√x +2的定义域是 .答案 (1)(1,3] (2)(-2,12)∪(12,+∞) 2.若函数y =的定义域为R,则实数a 的取值范围是 .答案 [0,12)解析 由题意得ax 2-4ax +2>0恒成立, 则a =0或{x >0,x =(-4x )2-4×x ×2<0,解得0≤a <12.3.已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [-12,1)∪(1,32]解析 因为y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],所以x ∈[0,2],x 2-1∈[-1,3],所以{-1≤2x ≤3,x -1≠0,解得-12≤x ≤32且x ≠1,所以函数g (x )的定义域是[-12,1)∪(1,32].函数的解析式典例5 (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ). (2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x,求f (x ). 解析 (1)解法一(待定系数法):因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c.因为f (2x +1)=4x 2-6x +5,所以{4x =4,4x +2x =-6,x +x +x =5,解得{x =1,x =-5,x =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 解法二(换元法): 令2x +1=t (t ∈R),则x =x -12,所以f (t )=4(x -12)2-6·x -12+5=t 2-5t +9(t ∈R),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).解法三(配凑法):因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)(解方程组法)由f (-x )+2f (x )=2x①, 得f (x )+2f (-x )=2-x②,①×2-②得3f (x )=2x +1-2-x,即f (x )=2x +1-2-x3.故函数的解析式是f (x )=2x +1-2-x3(x ∈R).方法技巧求函数解析式的常用方法(1)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的式子,然后以x 替代g (x )得f (x )的解析式.(2)换元法:已知函数f (g (x ))的解析式,求f (x )的解析式时可用换元法,即令g (x )=t ,从中解出x ,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.(4)解方程组法:已知关于f (x )与f (1x )或f (-x )的等式,可根据已知条件构造出等式,组成方程组,通过解方程组求出f (x )的解析式.(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.解析 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0知c =0,则f (x )=ax 2+bx ,又由f (x +1)=f (x )+x +1得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以{2x +x =x +1,x +x =1,解得a =b =12,所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).分段函数角度一 分段函数的最值问题典例6 已知函数f (x )={x 2-2xx +9,x ≤1,x +4x +x ,x >1,若f (x )的最小值为f (1),则实数a 的取值范围是 .答案 [2,+∞)解析 当x >1时, f (x )=x +4x +a ≥4+a ,当且仅当x =2时,等号成立.当x ≤1时, f (x )=x 2-2ax +9为二次函数,要想在x =1处取最小值,则函数图象的对称轴要满足x =a ≥1,并且f (1)≤4+a ,即1-2a +9≤a +4,解得a ≥2.角度二 已知函数值,求参数的值(或取值范围)典例7 设函数f (x )={x 2+2x ,x <0,x +1,x ≥0,则f (-1)= ;若f (a )>f (a -1),则实数a 的取值范围是 .答案 -1;(-12,+∞)名师点评分段函数问题的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.1.(2020辽宁盘锦一中模拟)已知函数f (x )={2e x -1,x <1,x 3+x ,x ≥1,则f (f (x ))<2的解集为 ( )A.(1-ln 2,+∞)B.(-∞,1-ln 2)C.(1-ln 2,1)D.(1,1+ln 2)答案 B 因为当x ≥1时, f (x )=x 3+x ≥2,当x <1时, f (x )=2e x -1<2,所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1,即2e x -1<1,解得x <1-ln 2, 所以f (f (x ))<2的解集为(-∞,1-ln 2),故选B.2.(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)答案 D 函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0的图象如图所示:由f (x +1)<f (2x )得{2x <0,2x <x +1,得{x <0,x <1.∴x <0,故选D .3.已知函数f (x )={log 2(3-x ),x ≤0,2x -1,x >0,若f (a -1)=12,则实数a = .答案 log 23解析 由题意知当a -1≤0,即a ≤1时,log 2(3-a +1)=12,解得a =4-√2>1,舍去.当a -1>0,即a >1时,2a -1-1=12,解得a =log 23>1,成立.故a =log 23.微专题——新定义函数的有关计算新定义函数问题是近几年高考中函数的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解时准确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中,用原来的知识和方法来解决新情境下的问题,一般有两方面的考查:(1)利用新函数进行计算;(2)讨论新函数的性质.典例 (2020浙江镇海中学高三模拟)定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,若f (x )是定义在R 上的减函数,g (x )=f (x )-f (ax )(a >1),则 ( )A.sgn[g (x )]=sgn xB.sgn[g (x )]=-sgn xC.sgn[g (x )]=sgn[f (x )]D.sgn[g (x )]=-sgn[f (x )] 答案 A解析 由题意知g (x )=f (x )-f (ax ),且f (x )是R 上的减函数, 当x >0时,x <ax ,则有f (x )>f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )>0, 此时sgn[g (x )]=1;当x =0时,x =ax ,则有f (x )=f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )=0, 此时sgn[g (x )]=0;当x <0时,x >ax ,则有f (x )<f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )<0, 此时sgn[g (x )]=-1. 综上所述,sgn[g (x )]=sgn x. 故选A.根据新定义得到f (x )的表达式,判断函数f (x )在定义域的单调性,可得结果.1.(2020辽宁大连高三月考)在实数的原有运算法则中,我们定义新运算 “x” 如下:当a ≥b 时,a x b =a ;当a <b 时,a x b =b 2,则函数f (x )=(1x x )·x -(2x x )(x ∈[-2,2])的最大值等于(“·”和“-”仍为通常的乘法和减法) ( )A.-1B.1C.12D.6 答案 D 因为a x b ={x ,x ≥x ,x 2,x <x ,所以f (x )=(1x x )·x -(2x x )={x -2,-2≤x ≤1,x 3-2,1<x ≤2,易知函数f (x )在[-2,2]上单调递增,所以f (x )max =f (2)=6,故选D.2.定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则当x ∈R 时,不等式x +2>(2x -1)sgn x的解集为 .答案 {x |-3-√334<x <3}解析 当x >0时,不等式可转化为x +2>2x -1,解得0<x <3; 当x =0时,不等式可转化为2>1,不等式成立;当x <0时,不等式可转化为x +2>12x -1①,因为2x -1<0,所以①等价于(x +2)(2x -1)<1,即2x 2+3x -3<0,解得-3-√334<x <0.综上所述,不等式的解集为 {x |-3-√334<x <3}.A 组 基础达标1.下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )A.f (x )=x 2和f (x )=(x +1)2B.f (x )=(√x )2x和f (x )=(x )2C.f (x )=log a x 2和f (x )=2log a xD.f (x )=x -1和f (x )=√(x -1)2答案 B2.函数y =ln(x 2-x )+√4-2x 的定义域为 ( )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0)∪(1,2]C.(-∞,0)D.(-∞,2)答案 B 由已知得{x 2-x >0,4-2x≥0,解得{x <0或x >1,x ≤2,即x ∈(-∞,0)∪(1,2],故选B.3.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12)C.(-1,0)D.(12,1)答案 B4.已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )= ( )A.3x +2B.3x +1C.3x -1D.3x +4 答案 C5.已知f (10x)=x ,则f (5)= ( )A.105B.510C.log 510D.lg 5 答案 D6.(2020湖南湘潭一中模拟)已知函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,则f (f (1))= ( )A.-12 B.2 C.4 D.11 答案 C ∵函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,∴f (1)=12+2=3,∴f (f (1))=f (3)=3+13-2=4.故选C.7.已知函数f (x )={3-x +1(x ≤0),x x +2(x >0),若f (f (-1))=18,则实数a 的值是 ( )A.0B.1C.2D.3 答案 C8.设函数f :R →R 满足f (0)=1,且对任意的x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )·f (y )-f (y )-x +2,则f (2 017)= ( ) A.0 B.1 C.2 017 D.2 018答案 D 令x =y =0,则f (1)=f (0)·f (0)-f (0)-0+2=1×1-1-0+2=2,令y =0,则f (1)=f (x )·f (0)-f (0)-x +2,将f (0)=1, f (1)=2代入得f (x )=1+x ,所以f (2 017)=2 018,故选D .9.(2020湖南郴州二中模拟)设x ∈R,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y =[x ]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f (x )=2x +32x +1,则函数y =[f (x )]的值域为 ( )A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2} 答案 D f (x )=2x +32x+1=2x +1+22x+1=1+22x+1,∵2x>0,∴1+2x>1,∴0<22x+1<2,∴1<1+22x +1<3,即1<f (x )<3.当1<f (x )<2时,[f (x )]=1;当2≤f (x )<3时,[f (x )]=2.综上,函数y =[f (x )]的值域为{1,2},故选D.B 组 能力拔高10.已知函数f (x )={(x -1)x +4-2x ,x <1,1+log 2x ,x ≥1,若f (x )的值域为R,则实数a 的取值范围是( )A.(1,2]B.(-∞,2]C.(0,2]D.[2,+∞)答案 A 当x ≥1时, f (x )=1+log 2x ≥1;当x <1时, f (x )=(a -1)x +4-2a 必须是增函数,且值域区间的右端点的值大于或等于1,才能满足f (x )的值域为R,可得{x -1>0,x -1+4-2x ≥1,解得1<a ≤2.11.(2020江苏苏州一中期中)已知函数f (x )={2x ,x ≤1,log 3(x -1),x >1,且f (x 0)=1,则x 0=( )A.0B.4C.0或4D.1或3 答案 C 当x 0≤1时,由f (x 0)=2x 0=1得x 0=0(满足x 0≤1);当x 0>1时,由f (x 0)=log 3(x 0-1)=1得x 0-1=3,得x 0=4(满足x 0>1),故选C. 12.(2020北京,11,5分)函数f (x )=1x +1+ln x 的定义域是 .答案 (0,+∞)解析 要使函数f (x )有意义,则{x +1≠0,x >0,故x >0,因此函数f (x )的定义域为(0,+∞). 13.(2019湖南衡阳模拟)已知函数f (x )=xxx -1,若f (x )+f (1x )=3,则f (x )+f (2-x )= .答案 6 解析 ∵f (x )=xx x -1, f (x )+f (1x)=3, ∴f (x )+f (1x )=xx x -1+xx 1x-1=xx x -1-x x -1=x (x -1)x -1=3,解得a =3,∴f (x )=3x x -1,∴f (x )+f (2-x )=3x x -1+6-3x 2-x -1=6(x -1)x -1=6.C 组 思维拓展14.(2020广东珠海一中模拟)已知x 为实数,用[x ]表示不超过x 的最大整数,例如[1.2]=1,[-1.2]=-2,[1]=1.对于函数f (x ),若存在m ∈R 且m ∉Z,使得f (m )=f ([m ]),则称函数f (x )是Ω函数. (1)判断函数f (x )=x 2-13x ,g (x )=sin πx 是不是Ω函数(只需写出结论);(2)已知f (x )=x +x x,请写出a 的一个值,使得f (x )为Ω函数,并给出证明. 解析 (1)f (x )=x 2-13x 是Ω函数,g (x )=sin πx 不是Ω函数. (2)a =32.证明:设k ∈N *,取a ∈(k 2,k 2+k ),令[m ]=k ,m =x x ,则一定有m -[m ]=xx -k =x -x 2x∈(0,1),且f (m )=f ([m ]),所以f (x )是Ω函数.。
函数的表示法(附答案)
函数的表示法[ 学习目标 ] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.知识点函数的三种表示方法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系思考(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2) 任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答(1) 三种表示方法的优、缺点比较：优点缺点①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通解析法不够形象、直观过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对一般只能表示部分自变量的列表法应的函数值函数值直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通只能近似地求出自变量所对图象法过图形研究函数的某些性质应的函数值，有时误差较大(2)不一定 .0， x∈ Q，并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D( x)＝列表法1，x∈ ?RQ.虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.题型一作函数的图象例 1 作出下列函数的图象：(1)y＝ x＋1(x∈Z )；(2)y＝ x2－ 2x(x∈ [0,3)).解(1) 这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝ x＋ 1 上，如图 (1)所示 .第1页(2) 因为 0≤ x＜ 3，所以这个函数的图象是抛物线y＝ x2－ 2x 介于 0≤ x＜3 之间的一部分，如图(2)所示 .跟踪训练 1 画出下列函数的图象：(1) y＝ x＋1(x≤0)；(2) y＝x2－ 2x(x＞ 1，或 x＜－ 1).解(1)y＝ x＋ 1(x≤ 0)表示一条射线，图象如图 (1).(2) y＝ x2－ 2x＝(x－ 1)2－ 1(x＞1，或 x＜－ 1)是抛物线y＝ x2－ x 去掉－ 1≤ x≤ 1 之间的部分后剩余曲线.如图 (2).题型二列表法表示函数例 2 已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出x 1 2 3f(x) 1 3 1x 1 2 3g(x) 3 2 1则f(g(1)) 的值为 ________；满足 f(g(x))>g(f( x))的 x 的值是 ________.答案 1 2解析∵ g(1)＝ 3，∴ f( g(1)) ＝ f(3) ＝ 1.f(g(x))与 g( f(x)) 与 x 相对应的值如下表所示 .x 1 2 3f(g(x)) 1 3 1g(f(x)) 3 1 3∴ f(g(x))> g(f(x)) 的解为 x＝ 2.跟踪训练 2 已知函数 f(x)， g(x)分别由下表给出x 1 2 3f(x) 2 1 1x 1 2 3g(x) 3 2 1(1)f[g(1)] ＝ __________ ；(2)若 g[f(x)] ＝ 2，则 x＝ __________.答案(1)1 (2)1第2页解析(1)由表知 g(1) ＝3，∴ f[g(1)] ＝ f(3) ＝ 1；(2)由表知 g(2)＝ 2，又 g[ f(x)] ＝ 2，得 f(x) ＝ 2，再由表知 x＝1.题型三待定系数法求函数解析式例3 (1)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)] ＝ 4x－ 1，求 f(x)；(2) 已知 f(x)是二次函数，且满足f(0) ＝1， f(x＋1) －f(x)＝ 2x，求 f(x).解(1) ∵f(x)是一次函数，∴设 f( x)＝ ax＋b(a≠ 0)，则 f[f(x)] ＝ f(ax＋ b)＝ a(ax＋ b)＋ b＝ a2x＋ ab＋ b.又∵ f[f(x)] ＝ 4x－1，∴a2 x＋ab＋ b＝4x－ 1，a2＝ 4，a＝ 2，a＝－2，即解得 1 或ab＋ b＝－1，b＝－3b＝ 1.∴f(x)＝ 2x－13或 f(x)＝－ 2x＋ 1.(2)∵ f(x) 是二次函数，∴设 f( x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)，由f(0)＝ 1，得 c＝ 1，由f(x＋ 1)－ f(x)＝ 2x，得 a( x＋1) 2＋ b(x＋1) ＋1－ ax2－ bx－1＝ 2x.左边展开整理得2ax＋( a＋ b)＝ 2x，2a＝ 2，a＝ 1，由恒等式原理知解得a＋ b＝ 0，b＝－ 1.∴f(x)＝ x2－ x＋ 1.跟踪训练 3 已知二次函数f(x) 满足 f(0) ＝ 1， f(1) ＝ 2，f(2)＝ 5，求该二次函数的解析式.c＝ 1，设二次函数的解析式为 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)，由题意得 a＋b＋ c＝2，4a＋ 2b＋ c＝5，a＝ 1，2解得b＝ 0，故 f(x)＝ x ＋ 1.题型四换元法 (或配凑法 )求函数解析式例 4 求下列函数的解析式：(1) 已知f 1＋x ＝ 1＋ x21，求f( x)；x x2＋x(2) 已知 f( x＋ 1)＝ x＋ 2 x，求 f(x).解(1) 方法一 ( 换元法 )令 t＝1＋x＝1＋ 1，x x第3页则 t≠1.把 x ＝1代入 f1＋x＝1＋x 2 1，得x x2＋xt－ 11 21＋ t －1＋1＝ (t－ 1) 2＋ 1＋ (t－ 1)＝ t 2－ t＋ 1.f(t)＝1 2 1t－ 1t －1∴ 所求函数的解析式为f(x)＝ x2－ x＋ 1， x∈( －∞， 1)∪ (1，＋∞ ).1＋x 2 1＋ x21＋x－x 1＋ x 21＋x方法二(配凑法 )∵f ＝1＋x ＋2x－ 2x1＝－＝＋1，x x2＋x x x－xx∴f(x)＝ x2－ x＋ 1.又∵1＋x＝1＋ 1≠ 1，x x∴所求函数的解析式为 f( x)＝ x2－ x＋ 1(x≠1).(2)方法一 (换元法 )令 x＋ 1＝ t(t≥ 1)，则 x＝ (t－1) 2，∴ f(t)＝ ( t－ 1)2＋ 2 t － 1 2＝ t2－ 1.∴f(x)＝ x2－ 1(x≥ 1).方法二(配凑法 )∵ x＋ 2 x＝ ( x＋ 1)2－1，∴f( x＋ 1)＝ ( x＋ 1)2－ 1.又∵x＋ 1≥ 1，∴f(x)＝ x2－ 1(x≥ 1).跟踪训练 4 已知函数 f(x＋1) ＝x2－2x，则 f(x) ＝________.答案x2－ 4x＋ 3解析方法一(换元法 )令 x＋ 1＝ t，则 x＝t－1，可得 f(t)＝ (t－ 1)2－ 2(t－1)＝ t2－4t＋ 3，即 f(x) ＝x2－4x＋ 3.方法二(配凑法 )因为 x2－ 2x＝(x2＋ 2x＋1)－ (4x＋ 4)＋ 3＝ (x＋ 1)2－ 4(x＋ 1)＋ 3，所以 f( x＋1) ＝( x＋1)2－4(x＋ 1)＋ 3，即f(x)＝ x2－ 4x＋ 3.忽略函数的定义域致误例5 已知 f( x－ 1)＝ 2x＋ x，求 f(x).错解令 t＝ x－ 1，则 x＝ (t＋ 1)2，22所以 f( t)＝ 2(t ＋1) ＋ (t＋ 1)＝ 2t ＋ 5t＋ 3，2所以 f( x)＝ 2x ＋ 5x＋ 3.正解令 t＝ x－ 1，则 t ≥－ 1， x＝ (t＋ 1)2，22所以 f( t)＝ 2(t ＋1) ＋ (t＋ 1)＝ 2t ＋ 5t＋ 3，2所以 f( x)＝ 2x ＋ 5x＋ 3(x≥ － 1).第4页易错警示错误原因纠错心得忽略 t＝ x－ 1 中 t 的取值范围，导致解析式对于函数问题，不可忽视定义域，否则就容不正确 . 易导致失误 .跟踪训练5 已知 f(1＋1 1x)＝x2－ 1，求f(x).解令 t＝ 1＋1(x≠0) ，则 x＝1(t≠1)，x t－122所以 f( t)＝ (t－1) － 1＝ t －2t(t≠ 1)，2所以 f( x)＝ x － 2x(x≠ 1).1.已知 f( x＋ 2)＝ 6x＋ 5，则 f(x)等于 ( )A.18 x＋ 17B.6 x＋5C.6x－ 7D.6 x－ 52.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 ( )3.已知函数 f(x)由下表给出，则f(f(3)) ＝________.x 1 2 3 4f(x) 3 2 4 14.已知 f( x)是一次函数，且满足3f(x＋ 1)－ 2f(x－ 1)＝ 2x＋ 17，则 f(x) 的解析式为_______.5.已知 f( x)为二次函数，若 f(0)＝ 0，且 f(x＋ 1)＝ f( x)＋ x＋ 1，求 f(x)的表达式 .第5页一、选择题1.已知 f( x)是一次函数， 2f(2) － 3f(1)＝ 5,2f(0)－ f(－ 1)＝1，则 f(x)等于 ( )A.3 x＋ 2B.3x－ 2C.2x＋3D.2x－ 32.已知 f( x－ 1)＝ x2，则 f(x)的解析式为 ( )A. f(x)＝ x2＋ 2x＋ 1B.f(x)＝ x2－ 2x＋ 1C.f(x)＝ x2＋ 2x－1 D. f(x)＝x2－2x－ 11 13.已知 f(1－2x) ＝x2，则 f(2)的值为 ( )1 1A.4 B. 4 C.16 D. 164.函数 f( x)＝ x＋|x|x的图象是 ( )5.如图中图象所表示的函数的解析式为( )3A. y＝2|x－1|(0≤ x≤ 2)3 3B.y＝2－2|x－ 1|(0≤ x≤ 2)3C.y＝2－ |x－ 1|(0≤ x≤ 2)D. y＝ 1－|x－ 1|(0≤x≤ 2)6.设 f(x)＝ 2x＋a，g(x)＝1(x2＋ 3)，且 g(f( x))＝ x2－ x＋ 1，则 a 的值为 ()4A.1B.－1C.1 或－ 1D.1 或－ 2二、填空题7.已知 f( x)是一次函数，若f(f(x))＝ 4x＋ 8，则 f(x)的解析式为________________.第6页28.函数 y＝x － 4x＋ 6， x∈ [1,5) 的值域是 ________.9.若 2f(x)＋ f 1 ＝ 2x＋1(x≠ 0)，则 f(2)＝ ________.x 210.如图，函数y＝ f(x)的图象是折线段 ABC ，其中 A，B， C 的坐标分别为(0,4)， (2,0) ， (6,4)，则f(f(0)) ＝____.三、解答题11.作出下列函数的图象，并求出其值域 .(1)y＝ x2＋ 2x，x∈ [ － 2,2] ；(2)y＝ |x＋1|.12.(1) 已知 f(x)是一次函数，且满足2f(x＋ 3)－ f(x－ 2)＝ 2x＋ 21，求 f(x)的解析式；(2) 已知 f(x)为二次函数，且满足f(0) ＝1， f(x－1) －f(x)＝ 4x，求 f(x)的解析式 .13.求下列函数的解析式：1 2 1(1) 已知 f x－x＝x＋x2＋ 1，求 f(x)的解析式；(2) 已知 f(x)＋ 2f(－x)＝x2＋ 2x，求 f(x)的解析式 .第7页当堂检测答案1.答案 C解析 设 x ＋2＝ t ，得 x ＝ t － 2， ∴ f (t)＝ 6(t － 2)＋ 5＝ 6t － 7， ∴ f (x)＝ 6x － 7，故选 C.2.答案 C解析 由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项 A ；又由于开始时匀速，后来因交通堵塞停留一段时间，最后是加快速度行驶，故选 C.3.答案 1解析 由题设给出的表知 f(3) ＝4，则 f(f(3)) ＝ f(4) ＝ 1.故填 1.4.答案 f(x)＝2x ＋ 7解析 设 f(x)＝ ax ＋ b(a ≠ 0)，则 3f(x ＋ 1)－2f(x － 1)＝ 3ax ＋ 3a ＋ 3b － 2ax ＋ 2a － 2b ＝ ax ＋ b ＋ 5a ＝2x ＋ 17，所以 a ＝ 2， b ＝ 7，所以 f(x)＝ 2x ＋7.5.解 设 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠ 0)，∵ f(0)＝ c ＝0，∴ f (x ＋ 1)＝ a(x ＋ 1)2＋ b(x ＋1)＝ a x 2＋(2a ＋ b)x ＋ a ＋b ，f(x)＋ x ＋ 1＝ ax 2＋ bx ＋ x ＋ 1＝ax 2＋( b ＋ 1)x ＋ 1.又 f(x ＋ 1)＝ f(x)＋ x ＋ 1，2a ＋ b ＝ b ＋ 1， a ＝ 1，2∴ ∴1 a ＋ b ＝1，b ＝ 2.1 21 ∴ f(x)＝ x＋ x. 22课时精练答案一、选择题 1.答案B 解析 设 f(x)＝ kx ＋ b(k ≠0)，k －b ＝ 5， k ＝ 3， ∴ f(x)＝ 3x －2. ∵ 2f(2) － 3f(1)＝ 5,2f(0) － f(－ 1)＝ 1，∴ ∴k ＋ b ＝ 1， b ＝－ 2， 2.答案A 解析 令 x －1＝ t ，则 x ＝ t ＋1，∴ f(t)＝ (t ＋ 1)2＝ t 2 ＋ 2t ＋ 1， ∴ f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ 1.第8页3.答案 C 解析根据题意知1－ 2x＝1，解得 x＝1，故12＝16.2 4x4.答案 C解析x＋1，x>0，f( x)＝x－ 1， x<0.5.答案 B解析由图象知，当0≤ x≤ 1 时， y＝3x；当 1<x≤ 2 时， y＝3－3x.2 26.答案 B解析因为 g(x)＝1(x2＋ 3)，所以g(f( x))＝1[(2x＋ a)2＋ 3]＝1(4x2＋ 4ax＋a2＋ 3)＝ x2－ x＋ 1，求得 a＝－ 1.故选 B.4 4 4二、填空题87.答案f(x)＝2x＋或 f(x)＝－ 2x－ 8 解析设 f(x)＝ ax＋ b(a≠ 0)，a2＝ 4，a＝ 2，a＝－2，则 f(f(x))＝ f(ax＋ b)＝ a2x＋ ab＋ b＝ 4x＋8.所以解得8或ab＋ b＝8，b＝3b＝－ 8.8所以 f( x)＝ 2x＋3或f(x) ＝－ 2x－ 8.8.答案 [2,11)解析画出函数的图象，如图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f(2) ， f(5)) ，即函数的值域是[2,11).59.答案2解析令 x＝2，得 2f(2)＋ f1＝9，令 x＝1，得2f 1＋ f(2)＝3，消去f 1，得 f(2)＝5.2 2 2 2 2 2 210.答案 2三、解答题11.解(1) y＝x2＋2x＝ (x＋ 1)2－ 1， x∈ [ － 2,2].列表如下：x － 2－1 0 1 2y 0－1 0 3 8作出函数图象如图 (1)所示，图象是抛物线y＝ x2＋2x 在－ 2≤x≤2的部分，可得函数的值域是 [ －1,8].第9页(2) 当 x＋ 1≥ 0，即 x≥ － 1 时， y＝ x＋ 1；x＋ 1， x≥－ 1，当 x＋ 1<0 ，即 x<－ 1 时， y＝－ x－1.∴ y＝－x－ 1，x<－ 1.作该分段函数的图象如图 (2)所示，可得函数的值域是[0，＋∞ ).12.解(1)设 f( x)＝ ax＋ b(a≠ 0)，则2f(x＋ 3)－f(x－ 2)＝ 2[a(x＋ 3)＋ b]－[ a(x－2) ＋b]＝ 2ax＋ 6a＋ 2b－ ax＋2a－ b＝ ax＋8a＋ b＝2x＋ 21，所以 a＝ 2， b＝ 5，所以 f(x)＝ 2x＋5.(2) 因为 f(x)为二次函数，设f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0).由 f(0) ＝ 1，得 c＝ 1.又因为 f(x－ 1)－ f(x)＝ 4x，所以 a(x－ 1)2＋ b(x－ 1)＋ c－ (ax2＋bx＋ c)＝ 4x，整理，得－ 2ax＋ a－b＝ 4x，求得 a＝－ 2， b＝－ 2，所以 f( x)＝－ 2x2－2x＋ 1.13.解(1)∵ f x－1x＝ x－1x2＋ 2＋ 1＝ x－1x2＋ 3. ∴ f(x) ＝ x2＋3.2(2) 以－ x 代替 x 得： f(－ x)＋ 2f(x)＝ x － 2x.与f(x)＋ 2f(－ x)＝ x2＋ 2x 联立得：1 2f(x)＝3x －2x.第10页第。
新教材人教版高中数学必修1 第三章 3.1.2 函数的表示法(一)
集合B { x, y | x R, y R}
对应关系f : 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合A={x|x是三角形}，集合B={x|x是圆} 对应关系f : 每一个三角形都对应它的内切圆; (4)集合A {x | x是新华中学的班级}, 集合B {x | x是新华中学的学生}, 对应关系f : 每一个班级都对应班里的学生.
f’：平面直角坐标系内的点跟它的坐标对应
f’ : E F
➢映射概念
非空集合、唯一确定的对应关系、任意x、唯一确定的y
1、下列对应中，能构成映射的有（
）
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(1)
A
B
a1
b1 b2
a2
b3 b4
(4)
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(2)
A
B
a1
b1
a2
b2
(5)
(3) f ( x) 2x2 3x 5
[0, )
(, 2) U(2, ) [ 31 , )
8
一、复习回顾
实例1：炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)
变化的规律是 ： h=130t-5t2
解析法
实例2：南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变
化情况：
图象法
实例3：
列表法
二、基础知识讲解
A
B
a1
b1
a2
函数的表示法训练题(附答案)
函数的表示法训练题（附答案）1．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是()解析：选C.结合函数的定义知，对A、B、D，定义域中每一个x都有唯一函数值与之对应；而对C，对大于0的x而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f(1x)＝11＋x，则f(x)等于()A.11＋x(x≠－1)B.1＋xx(x≠0)C.x1＋x(x≠0且x≠－1)D．1＋x(x≠－1)解析：选C.f(1x)＝11＋x＝1x1＋1x(x≠0)，∴f(t)＝t1＋t(t≠0且t≠－1)，∴f(x)＝x1＋x(x≠0且x≠－1)．3．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝() A．3x＋2B．3x－2C．2x＋3D．2x－3解析：选B.设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，∴k－b＝5k＋b＝1，∴k＝3b＝－2，∴f(x)＝3x－2.4．已知f(2x)＝x2－x－1，则f(x)＝________.解析：令2x＝t，则x＝t2，∴f(t)＝t22－t2－1，即f(x)＝x24－x2－1.答案：x24－x2－11．下列表格中的x与y能构成函数的是()A.x非负数非正数y1－1B.x奇数0偶数y10－1C.x有理数无理数y1－1D.x自然数整数有理数y10－1解析：选C.A中，当x＝0时，y＝±1；B中0是偶数，当x＝0时，y＝0或y＝－1；D中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x＝1∈N(Z，Q)，故y的值不唯一，故A、B、D均不正确．2．若f(1－2x)＝1－x2x2(x≠0)，那么f(12)等于()A．1B．3C．15D．30解析：选C.法一：令1－2x＝t，则x＝1－t2(t≠1)，∴f(t)＝－－1，∴f(12)＝16－1＝15.法二：令1－2x＝12，得x＝14，∴f(12)＝16－1＝15.3．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是()A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7解析：选B.∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴g(x)＝2x－1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是()解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A、C，又一开始跑步，速度快，所以D符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为()A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝－(x－1)2＋1C．f(x)＝(x－1)2＋1D．f(x)＝(x－1)2－1解析：选D.设f(x)＝(x－1)2＋c，由于点(0,0)在函数图象上，∴f(0)＝(0－1)2＋c＝0，∴c＝－1，∴f(x)＝(x－1)2－1.6．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的函数解析式为()A．y＝12x(x>0)B．y＝24x(x>0)C．y＝28x(x>0)D．y＝216x(x>0)解析：选C.设正方形的边长为a，则4a＝x，a＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a＝2y，所以y＝22a＝22×x4＝28x. 7．已知f(x)＝2x＋3，且f(m)＝6，则m等于________．解析：2m＋3＝6，m＝32.答案：328.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则的值等于________．解析：由题意，f(3)＝1，∴＝f(1)＝2.答案：29．将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y＝x2的图象，则函数f(x)的解析式为__________________．解析：将函数y＝x2的图象向下平移2个单位，得函数y＝x2－2的图象，再将函数y＝x2－2的图象向右平移1个单位，得函数y＝(x－1)2－2的图象，即函数y＝f(x)的图象，故f(x)＝x2－2x－1.答案：f(x)＝x2－2x－110．已知f(0)＝1，f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，求f(x)．解：令a＝0，则f(－b)＝f(0)－b(－b＋1)＝1＋b(b－1)＝b2－b＋1.再令－b＝x，即得f(x)＝x2＋x＋1.11．已知f(x＋1x)＝x2＋1x2＋1x，求f(x)．解：∵x＋1x＝1＋1x，x2＋1x2＝1＋1x2，且x＋1x≠1，∴f(x＋1x)＝f(1＋1x)＝1＋1x2＋1x＝(1＋1x)2－(1＋1x)＋1.∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．12．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．解：∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称．于是，设f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，则由f(0)＝3，可得k＝3－4a，∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3.∵ax2－4ax＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－6a，∴a＝1.∴f(x)＝x2－4x＋3.。
高中数学的概念与性质3-1函数的概念及其表示3-1-2函数的表示法课时作业新人教A版必修第一册
3．1.2 函数的表示法必备知识基础练1．函数y ＝x －1(x ≥0)的图象是( ) A ．一条射线 B ．一条线段 C ．两条射线 D ．一条直线2．已知函数f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))＝( )A ．3B ．2C ．1D ．03．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝－3x B. f (x )＝3xC ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，1x，x >1，则f (f (－1))＝( )A ．2B ．12C ．1D ．－15．已知函数f (x )和g (x )的定义域为{2，3，4，5}，其对应关系如下表，则g (f (x ))的值域为( )A.{2，3} B ．{2，C ．{3，4} D ．{2，3，4}6．(多选)下列给出的式子是分段函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤52x ，x <1B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R x 2，x ≥2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0x －1，x ≥57．已知二次函数f (x )的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f (x )的解析式为________．8．[2022·广东梅州高一期末]已知f (2x －1)＝x 2－2x ，则f (0)＝________．关键能力综合练1．某学生离家去上学，一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，走完余下的路程．下列图形中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0－2x ，x >0，若f (x )＝5，则x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－523．函数y ＝x ＋|x |x的图象是( )4．已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋3，则函数y ＝f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－6x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋6 C ．f (x )＝x 2－4x －4 D ．f (x )＝x 2－6x ＋115．已知函数f (x )是一次函数，且f [f (x )－4x ]＝5恒成立，则f (2)＝( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．96．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－43C ．－1D ．17．[2022·广东深圳高一期末]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <3f （x －2），x ≥3，则f (f (5))＝________．8．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝2x ＋3，则f (x )＝________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －1，x ≥01x，x <0且f (2)＝0.(1)求f (f (1))；(2)若f (m )＝－m ，求实数m 的值．10．求下列函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )； (2)若函数f (x ＋1)＝x －1，求f (x ).核心素养升级练1．(多选)具有性质f (1x)＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x ，x >1D ．f (x )＝x 2－1x2．对于任意的实数x 1、x 2，min{x 1，x 2}表示x 1、x 2中较小的那个数．若函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝x ，记h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则h (x )的解析式为________________．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x >02，x ＝01－2x ，x <0(1)画出函数f (x )的图象；(2)求f (f (3))，f (a 2＋1)(a ∈R )的值；(3)当f (x )≥2时，求x 的取值范围．3．1.2 函数的表示法必备知识基础练1．答案：A解析：函数y ＝x －1为一次函数，图象为直线，但是当x ≥0时，所得到的图象为一条射线．2．答案：B解析：观察函数y ＝g (x )的图象得：g (2)＝1，由表格知：f (1)＝2，所以f (g (2))＝2. 3．答案：B解析：设f (x )＝k x(k ≠0)， ∵f (－3)＝k－3＝－1，∴k ＝3， ∴f (x )＝3x.4．答案：B解析：根据题意，因为f (－1)＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝12.5．答案：B解析：g (f (2))＝g (4)＝2，g (f (3))＝g (2)＝4，g (f (4))＝g (5)＝4，g (f (5))＝g (2)＝4，所以所求值域是{2，4}．6．答案：AD解析：对于A ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤52x ，x <1，定义域为[1，5]∪(－∞，1)＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A 正确；对于B ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈Rx 2，x ≥2，定义域为R ∪[2，＋∞)＝R ，但R ∩[2，＋∞)＝[2，＋∞)≠∅不满足函数的定义，如当x ＝2时，f (2)＝3和4，故不是函数，故B 错误；对于C ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5x 2，x ≤1，定义域为[1，5]∪(－∞，1]＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝{1}，且f (1)＝5和1，故不是函数，故C 错误；对于D ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0x －1，x ≥5，定义域为(－∞，0)∪[5，＋∞)，且(－∞，0)∩[5，＋∞)＝∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D 正确．7．答案：f (x )＝－x 2－4x －1解析：根据顶点为(－2，3)，设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)， 由f (x )过点(－3，2)，得2＝a ×1＋3， 解得a ＝－1，所以f (x )＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1. 8．答案：－34解析：令x ＝12，则2x －1＝0，所以f (0)＝f (2×12－1)＝(12)2－2×12＝－34.关键能力综合练1．答案：C解析：由题意知：一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，所以开始曲线比较平缓，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，所以曲线变得越来越陡峭，又因为纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，所以开始距离最大，最后距离为0，故选C.2．答案：A解析：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋1＝5，解得：x ＝－2或x ＝2(舍)，∴x ＝－2； 当x >0时，f (x )＝－2x ＝5，解得：x ＝－52(舍)；综上所述：x 的值是－2. 3．答案：C解析：对于y ＝x ＋|x |x，当x >0时，y ＝x ＋1；当x <0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0x －1，x <0，故其图象应为C.4．答案：B解析：因为f (x ＋1)＝x 2－2x ＋3， 令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，则f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＋3＝t 2－4t ＋6，所以f (x )＝x 2－4x ＋6. 5．答案：D解析：因为函数f (x )是一次函数，且f [f (x )－4x ]＝5恒成立， 令f (x )－4x ＝t ，则f (x )＝4x ＋t ， 所以f (t )＝4t ＋t ＝5，解得t ＝1， 所以f (x )＝4x ＋1，f (2)＝2×4＋1＝9. 6．答案：AB解析：令f (a )＝t ，故f (t )＝2，进而得t ＝－1或t ＝1， 所以f (a )＝－1或f (a )＝1， 由于x >0时，f (x )≥2，所以3a ＋5＝－1或3a ＋5＝1，解得a ＝－2或a ＝－43.7．答案：1解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <3f （x －2），x ≥3，所以f (5)＝f (3)＝f (1)＝12＝1， 所以f (f (5))＝f (1)＝12＝1. 8．答案：－2x ＋1解析：因为f (x )＋2f (－x )＝2x ＋3，① 所以f (－x )＋2f (x )＝2·(－x )＋3，② ②×2－①得，f (x )＝－2x ＋1.9．解析：(1)∵f (2)＝2a －1＝0得a ＝12，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥01x ，x <0，∴f (1)＝－12，∴f (f (1))＝f (－12)＝－2.(2)当m ≥0时，由f (m )＝－m 得12m －1＝－m 解得m ＝23；当m ＜0时，由f (m )＝－m 得1m＝－m ，无实数解，综上所述，m ＝23.10．解析：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ，f (x －1)＝a (x －1)＋b ， 所以3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝7， 所以f (x )＝2x ＋7.(2)由函数f (x ＋1)＝x －1， 令x ＋1＝t ≥0，则x ＝t 2－1， 所以f (t )＝t 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[0，＋∞).核心素养升级练1．答案：AC解析：对于选项A ，f (1x )＝1x －x ，－f (x )＝1x－x ，故满足“倒负”变换；对于选项B ，f (1x )＝1x ＋x ，－f (x )＝－1x－x ，故不满足“倒负”变换；对于选项C ，当0＜x ＜1时，f (1x)＝－x ，－f (x )＝－x ，当x ＝1时，f (1)＝0，成立，当x ＞1时，f (1x )＝1x ，－f (x )＝1x，故满足“倒负”变换；对于选项D ，f (1x )＝1－x 3x 2，－f (x )＝1－x3x，故不满足“倒负”变换．2．答案：h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－2或x ≥1x ，－2<x <1解析：当f (x )≤g (x )时，即2－x 2≤x ，即x 2＋x －2≥0，解得x ≤－2或x ≥1， 此时，h (x )＝min{f (x )，g (x )}＝f (x )＝2－x 2； 当f (x )>g (x )时，即2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0， 解得－2<x <1.此时，h (x )＝min{f (x )，g (x )}＝g (x )＝x .综上所述，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－2或x ≥1x ，－2<x <1.3．解析：(1)函数f (x )的图象如图所示：(2)f (f (3))＝f (3－32)＝f (－6)＝1－2×(－6)＝13，f (a 2＋1)＝3－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋2；(3)当x >0时，f (x )≥2⇒3－x 2≥2⇒－1≤x ≤1，∴0<x ≤1； 当x ＝0时，f (x )＝2，符合题意； 当x <0时，f (x )≥2⇒1－2x ≥2⇒x ≤－12，综上所述：x 的取值范围为：(－∞，－12]∪[0，1].。
函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)
函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)祖π数学之高分速成新人教八年级下册基础知识3 函数的表示1.函数的表示方法可以用解析式法、列表法和图像法。
解析式法是用公式表示函数，列表法是将函数的定义域和值域列成表格，图像法是用函数的图像来表示函数。
2.描点法画函数图形的一般步骤是先确定定义域和值域，然后选择若干个自变量值，计算出相应的函数值，最后在平面直角坐标系中标出这些点，连接起来就是函数的图形。
题型1】图像法表示函数1.2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进。
官兵们坐车以某一速度匀速前进，但中途被阻停下。
为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往。
根据函数的图像，可以判断出官兵们行进的距离S与行进时间t之间的关系。
2.故事中的乌鸦喝水问题可以用函数的图像来表示。
设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，可以画出函数的图像来表示乌鸦喝水的情景。
3.在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止。
设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y。
根据函数的图像，可以求出当x=7时，点E应运动到哪个位置。
4.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动。
根据函数的图像，可以求出△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图像。
5.XXX骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，加快了骑车速度。
根据XXX到学校剩下的路程s关于时间t的函数图像，可以判断出符合XXX行驶情况的图像。
6.XXX每天坚持体育锻炼，星期天从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家。
根据XXX离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的函数图像，可以判断出当天XXX的运动情况。
7.小以400米/分叶的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地。
2023版新教材高中数学第三章函数-函数及其表示方法第3课时分段函数课时作业新人教B版必修第一册
第3课时 分段函数必备知识基础练1．函数f(x)＝，则f(f(2))的值为( )A．－1 B．－3C．0 D．－82．已知函数f(x)＝，若f(a)＝10，则实数a的值为( )A．±3 B．3 C．－3 D．－3或－53．设函数f(x)＝则f()＝________，若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．4．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．5．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝求f(g(x))和g(f(x))的解析式．6．设函数f(x)＝且f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的定义域、值域．关键能力综合练7．设f(x)＝则f(5)的值是( )A．24 B．21 C．18 D．168．已知f(x)＝如果f(x0)＝3，那么x0＝( )A．2或－ B．2C．－ D．2或9．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝x sgn |x|C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝x sgn x10．令[x]表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，若函数f(x)＝3[x]－[2x]，则函数f(x)在区间[0，2]上所有可能取值的和为( )A．1 B．2 C．3 D．411．(多选)已知f(x)＝则满足不等式xf(x)＋x≤2的x的值有( )A．1 B．2 C．3 D．－112．求函数f(x)＝－＋x2的定义域，并画出图象，再求其值域．核心素养升级练13．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．14．已知函数f(x)＝1＋，(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)在坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)在同一坐标系中，再画出函数g(x)＝(x>0)的图象(不用列表)，观察图象直接写出当x>0时，不等式f(x)>的解集．第3课时 分段函数必备知识基础练1．解析：因为函数f(x)＝，所以f(2)＝22－2－3＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝1－(－1)2＝0.答案：C2．解析：因为函数f(x)＝，f(a)＝10，所以当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝－3或a＝3(舍去)；当a>0时，f(a)＝－2a＝10，解得a＝－5(舍去)，所以实数a的值为－3.答案：C3．解析：f()＝ ＝＝，当x0≤0时，由－x0－1>1，得x0<－2，当x0>0时，由>1，得x0>1，所以x0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).答案： (－∞，－2)∪(1，＋∞)4．解析：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2，当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2，当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2，故y＝根据函数解析式作出函数图象，如图所示，由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}．答案：{y|y≤2}5．解析：当x≥0时，g(x)＝x2，f(g(x))＝2x2－1，当x<0时，g(x)＝－1，f(g(x))＝－2－1＝－3，所以f(g(x))＝因为当2x－1≥0，即x≥时，g(f(x))＝(2x－1)2，当2x－1<0，即x<时，g(f(x))＝－1，所以g(f(x))＝6．解析：(1)因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1，所以16－4b＋c＝3，4－2b＋c＝－1，解得：b＝4，c＝3，所以f(x)＝(2)分析函数的定义域为[－4，4]，当－4≤x<0时，f(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，由－4≤x<0可得，－1≤f(x)≤3，当0≤x≤4时，f(x)＝－x＋3，所以－1≤f(x)≤3，所以函数的值域为[－1，3]，其图象如图所示．关键能力综合练7．解析：f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，f(5)＝f(21)＝24.答案：A8．解析：因为f(x)＝所以若x0<0，f(x0)＝x＝3，则x0＝－，同理若x0>0，f(x0)＝x0＋1＝3，则x0＝2.答案：A9．解析：当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x sgn |x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C.答案：D10．解析：因为[x]表示不超过x的最大整数，所以：当0≤x<时，有0≤2x<1，则[x]＝0，则3[x]＝0，[2x]＝0，此时f(x)＝0，当≤x<1时，有1≤2x<2，则[x]＝0，则3[x]＝0，[2x]＝1，此时f(x)＝－1，当1≤x<时，有2≤2x<3，则[x]＝1，则3[x]＝3，[2x]＝2，此时f(x)＝1，当≤x<2时，有3≤2x<4，则[x]＝1，则3[x]＝3，[2x]＝3，此时f(x)＝0，当x＝2时，2x＝4，则[x]＝2，则3[x]＝6，[2x]＝4，此时f(x)＝2，函数f(x)在区间[0，2]上所有可能取值的和为0－1＋1＋0＋2＝2.答案：B11．解析：当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，所以0≤x≤1，当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，所以x<0.综上可知x≤1.答案：AD12．解析：由题意知，该函数的定义域为{x|x≠0}，f(x)＝其图象如图所示，由图象可知，所求函数的值域为[－，＋∞).核心素养升级练13．解析：由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象，值域是(－∞，1].答案：(－∞，1]14．解析：(1)因为当x≥0时，f(x)＝1；当x<0时，f(x)＝x＋1，所以f(x)＝(2)函数图象如图：所以不等式f(x)>的解集为{x|x>1} .。
函数的表示法教案(新课标)
知 识 流 程
教师活动 学生活动 四、例题讲解
例1 某种笔记本每个5元,买x(x ∈{1,2,3,4,})个笔记本的钱数记为y(元).试写出以x 为自变量的函数y 的解析式,并画出这个函数的图象. 解:这个函数的定义域是集合{1,2,3,4},
函数解析式为5,({1,2,3,4}),y x x =∈它
的图象由四个孤立点组成,如图所示,
这些点的坐标分别是(1,5),(2,10),(3,15)，
(4,20).
例2国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算:
1. 信函质量不超过100g 时,每20g 付邮资80分,即信函质量不超过20g
付邮资80分,信函质量超过20g,但不超过40g 付邮资160分,依此类推;
2. 信函质量大于100g 且不超过200g 时,每100g 付邮资200分,即信函质
量超过100g,但不超过200g 付邮资(A+200)分,(A 为质量等于100g 的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g 付邮资(A+400)分,依此类推.
设一封x g(0<x ≤200)的信函应付的邮资为y(单位:分),试写出以x 为自变量的函数y 的解析式,并画出这个函数的图象.
解:这个函数的定义域是0200,x <≤函数的解析式为 y= 80,(0,20],
160,(20,40],
240,(40,60],320,(60,80],
400,(80,100],
600,(100,200].
x x x x x x ∈∈∈∈∈∈
它的图象是六条线段(不包括在端点),都平行于x 轴,如图所示.。
函数的表示法(含答案)
函数的表示法[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 知识点函数的三种表示方法思考(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答(1)三种表示方法的优、缺点比较：(2)不一定并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x∈Q，1，x∈∁R Q.列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.题型一作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.跟踪训练1画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1).解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).题型二列表法表示函数例2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f答案1 2解析∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.跟踪训练2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出(1)f[g(1)]＝__________；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝__________.答案(1)1(2)1解析 (1)由表知g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1； (2)由表知g (2)＝2，又g [f (x )]＝2，得f (x )＝2， 再由表知x ＝1.题型三 待定系数法求函数解析式例3 (1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x ). 解 (1)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又∵f [f (x )]＝4x －1， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)∵f (x )是二次函数， ∴设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，得c ＝1，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 左边展开整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由恒等式原理知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.跟踪训练3 已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，求该二次函数的解析式. 解 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋1.题型四 换元法(或配凑法)求函数解析式 例4 求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x ).解 (1)方法一 (换元法)令t ＝1＋x x ＝1x＋1，则t ≠1.把x ＝1t －1代入f⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，得 f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t －12⎝⎛⎭⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1. ∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞).方法二 (配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋xx ＋1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x＋1≠1，∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1). (2)方法一 (换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).方法二 (配凑法)∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1.又∵x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).跟踪训练4 已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 方法一 (换元法)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，可得f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3. 方法二 (配凑法)因为x 2－2x ＝(x 2＋2x ＋1)－(4x ＋4)＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.忽略函数的定义域致误例5 已知f (x －1)＝2x ＋x ，求f (x ). 错解 令t ＝x －1，则x ＝(t ＋1)2， 所以f (t )＝2(t ＋1)2＋(t ＋1)＝2t 2＋5t ＋3， 所以f (x )＝2x 2＋5x ＋3.正解 令t ＝x －1，则t ≥－1，x ＝(t ＋1)2， 所以f (t )＝2(t ＋1)2＋(t ＋1)＝2t 2＋5t ＋3， 所以f (x )＝2x 2＋5x ＋3(x ≥－1).易错警示跟踪训练5 已知f (1＋1x )＝1x 2－1，求f (x ).解 令t ＝1＋1x (x ≠0)，则x ＝1t －1(t ≠1)，所以f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t (t ≠1)， 所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1).1.已知f (x ＋2)＝6x ＋5，则f (x )等于( ) A.18x ＋17 B.6x ＋5 C.6x －7D.6x －52.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )3.已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.4.已知f(x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)_______. 5.已知f (x )为二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的表达式.一、选择题1.已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )等于( ) A.3x ＋2 B.3x －2 C.2x ＋3 D.2x －32.已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( )A.f (x )＝x 2＋2x ＋1B.f (x )＝x 2－2x ＋1C.f (x )＝x 2＋2x －1D.f (x )＝x 2－2x －1 3.已知f (1－2x )＝1x 2，则f (12)的值为( )A.4B.14C.16D.1164.函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )5.如图中图象所表示的函数的解析式为( )A.y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B.y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C.y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D.y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)6.设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A.1B.－1C.1或－1D.1或－2二、填空题7.已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________.8.函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是________. 9.若2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝________. 10.如图，函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝____.三、解答题11.作出下列函数的图象，并求出其值域. (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]； (2)y ＝|x ＋1|.12.(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式.13.求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式.当堂检测答案1.答案 C解析 设x ＋2＝t ，得x ＝t －2， ∴f (t )＝6(t －2)＋5＝6t －7， ∴f (x )＝6x －7，故选C. 2.答案 C解析 由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项A ；又由于开始时匀速，后来因交通堵塞停留一段时间，最后是加快速度行驶，故选C. 3.答案 1解析 由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1.故填1. 4.答案 f (x )＝2x ＋7解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， 所以a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.5.解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0， ∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2.2.答案 A解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.3.答案 C 解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16.4.答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x >0，x －1， x <0.5.答案 B解析 由图象知，当0≤x ≤1时，y ＝32x ；当1<x ≤2时，y ＝3－32x .6.答案 B解析 因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.二、填空题7.答案 f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.8.答案 [2,11)解析 画出函数的图象，如图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f (2)，f (5))，即函数的值域是[2,11). 9.答案 52解析 令x ＝2，得2f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝92，令x ＝12，得2f ⎝⎛⎭⎫12＋f (2)＝32，消去f ⎝⎛⎭⎫12，得f (2)＝52. 10.答案 2 三、解答题11.解 (1)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[－2,2]. 列表如下：作出函数图象如图(1)[－1,8].(2)当x ＋1≥0，即x ≥－1时，y ＝x ＋1；当x ＋1<0，即x <－1时，y ＝－x －1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1.作该分段函数的图象如图(2)所示，可得函数的值域是[0，＋∞). 12.解 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21， 所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5.(2)因为f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ， 整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2， 所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.13.解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋3. ∴f (x )＝x 2＋3. (2)以－x 代替x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x . 与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得： f (x )＝13x 2－2x .。
人教新课标版数学高一必修1学案 函数的表示法(二)
1.2.2 函数的表示法(二)自主学习1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题． 2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是非空数集．对点讲练分段函数的求值问题【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2 (－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值； (2)若f (a .)＝3，求a . 的值．分析 本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x 属于哪一个区间，所以要对x 的可能范围逐段进行讨论． 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a .≤－1时，f (a .)＝a .＋2，又f (a .)＝3，∴a .＝1(舍去)；当－1<a .<2时，f (a .)＝a .2，又f (a .)＝3，∴a .＝±3，其中负值舍去，∴a .＝3；当a .≥2时，f (a .)＝2a .，又f (a .)＝3， ∴a .＝32(舍去)．综上所述，a .＝ 3.规律方法 对于f (a .)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a . 所在范围有关，因此要对a .进行讨论．由此我们可以看到： (1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x (x <0)，若f (a .)>a .，则实数a .的取值范围是________．答案 a .<－1解析 当a .≥0时，f (a .)＝12a .－1，解12a .－1>a .，得a .<－2与a .≥0矛盾，当a .<0时，f (a .)＝1a ，解1a>a .，得a .<－1.∴a .<－1.分段函数的图象及应用【例2】 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 化简f (x )的解析式 →化简f (x )的解析式 →把f (x )表示为分段函数形式→画出f (x )的图象→求f (x )的值域 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎨⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移 2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1| (x <1)－x ＋3 (x ≥1)，使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是______________________． 答案 (－∞，－2]∪[0,2] 解析在同一坐标系中分别作出f (x )及y ＝1的图象(如图所示)，观察图象知，x 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2]．映射概念及运用【例3】 判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么？（1）A={x|x 为正实数}，B={y|y ∈R[}，f ：x →y=±x（2）A=R ，B={0，1},对应关系f ：x,→y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；0， x<0；（3）A=Z ，B=Q ，对应关系f ：x →y=1x；（4）A={0，1，2，9}，B={0，1，4，9，64}，对应关系f:a →b=()21a -解 (1)任一个x 都有两个y 与之对应，∴不是映射．(2)对于A 中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，任意一个负数都有唯一的元素0和它对应， ∴是映射．(3)集合A 中的0在集合B 中没有元素和它对应，故不是映射． (4)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射．规律方法 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A 中的 每一个元素”；(2)在B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可． 变式迁移3 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A=R ，B=R,f:x →y ＝1x ＋1；(2)A ＝{a.|a.＝n ，n ∈N ＋}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b|b ＝1n ，n ∈N ＋，f ：a.→b ＝1a；(3)A=[)0,+∞,B=R ，f:x→y 2＝x ；(4)A ＝{x|x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x|x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆． 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)是映射，也是函数，因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，主要利用映射的定义：(1)集合A 到B 的映射，A 、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)； (2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；(3)与A 中元素对应的元素构成的集合是集合B 的子集．课时作业一、选择题1．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝N *，f ：a .→b ＝(a .＋1)2D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 答案 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A ． f:x→y ＝12x B. f:x→y ＝13xC. f:x→y ＝14xD. f:x→y ＝16x答案 A由f:x →y ＝12x ，集合A 中的元素6对应3∉{y |0≤y ≤2}，故选项A 不是映射．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 由题意知f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]等于( )A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x 2 答案 B解析 当x <0时，g (x )＝－x 2<0， ∴f [g (x )]＝－x 2. 二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．答案 π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥00，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤2，∴x <0. 综上可知x ≤1. 三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x <3)的图象． 解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)．∵点(1,1)、(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2 (x <1)． 同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a .(x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a .<0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a .＋2＝1，a .＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).【探究驿站】9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1， 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)，若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1， 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3， 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。
第3章专题2 函数的表示法-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册常考题型专题练习
函数的表示法考向一 列表法表示函数1、变量x 与变量y ，w ，z 的对应关系如下表所示：下列说法正确的是A ．y 是x 的函数B ．w 不是x 的函数C ．z 是x 的函数D ．z 不是x 的函数【答案】C【解析】观察表格可以看出，当x =1时，y =–1，–4，则y 不是x 的函数；根据函数的定义，一个x 只能对应一个y,反之一个y 可以跟多个x 对应，很明显w 是x 的函数，z 是x 的函数．故选C ．2、已知函数()(),f x g x 分别由下表给出：则()1f 的值为________；当()2g x =时，x =___；【答案】2 2【解析】由表知，f （1）＝2，g （x ）＝2时，x ＝2；故答案为2；2考向二 图像法表示函数1、电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费.通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图像可表示为下图中的( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意知，当0<t≤3时，S=0.2.当3<t≤4时，S=0.2+0.2=0.4.当4<t≤5时，S=0.4+0.2=0.6.……所以对应的函数图像为C.故选C.2、如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【答案】A【解析】对于第一幅图,水面的高度h的增加应是均匀的,因此不正确,其他均正确.3、函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－1,0)【答案】C4.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-5)= ,f(f(2))= .【答案】32 4考向三 求函数的解析式题型一 待定系数法求解析式1、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x +1)−2f(x −1)=2x +17，求f(x)的解析式． 【答案】y =2x +7 【解析】第一步：设一次函数解析式为f(x)=ax +b(a ≠0)； 第二步：代入条件得3[a(x +1)+b]−2[a(x −1)+b]=2x +17，化简得(a −2)x +5a +b −17=0，题意即上式对任意x 都成立，可得到{a =25a +b −17=0； 第三步：解得{a =2b =7，故解析式为y =2x +7． 2、已知二次函数满足，求． 【解析】设c bx ax x f ++=2)(，)(x f 564)12(2+-=+x x x f )(x f则564)24(4)12()12()12(222+-=+++++=++++=+x x c b a x b a ax c x b x a x f ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+=562444c b a b a a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==951c b a∴95)(2+-=x x x f3、已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，4、已知函数)()()(x g x f x +=ϕ，其中)(x f 是x 的正比例函数，)(x g 是x 的反比例函数，且1631=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ，8)1(=ϕ．求)(x ϕ的解析式，并指出定义域． 【解析】5、已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝0，得c ＝0，由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，6、设二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，求f (x )的解析式；【答案】f(x )＝－2x 2＋4x ＋11【解析】 (1)方法一 由f (3)＝f (－1)，知抛物线y ＝f (x )的对称轴为x ＝1， 故设f (x )＝a (x －1)2＋13(a <0)，将点(3,5)的坐标代入，求得a ＝－2. 故f (x )＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11. 方法二 由f (3)＝f (－1)＝5，可设f (x )－5＝a (x －3)(x ＋1)(a <0)，即f (x )＝a (x 2－2x －3)＋5＝a (x －1)2－4a ＋5，故－4a ＋5＝13，得a ＝－2， 从而f (x )＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11.题型二 换元法求解析式1、已知3f x =--，则=)(x f ．∴)0(32)(2≥---=t t t t f ， ∴)0(32)(2≥---=x x x x f2、已知f(2x +1)=x +3，则f(x)的解析式可取( )A ．3x−1x−1B ．3x+1x−1C ．2x1+x 2 D ．−x1+x 2 【答案】A 【解析】令t =2x +1，(t ≠1)，则x =2t−1，因为f(2x+1)=x +3， 所以f(t)=2t−1+3=3t−1t−1，(t ≠1)所以f(x)=3x−1x−1，(x ≠1)3、已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式．题型三 配凑法求解析式1、（1）已知1)(2++=x x x f ，求)1(-x f ．（2）已知24)1(2++=+x x x f ，求)(x f ．（3）（多选）已知24)12(x x f =-，则下列结论正确的是（ ）A ．9)3(=fB ．4)3(=-fC ．2)(x x f =D ．2)1()(+=x x f【解析】 （1）∵1)(2++=x x x f ，∴11)1()1()1(22+-=+-+-=-x x x x x f ，故解析式为1)1(2+-=-x x x f（2）∵1)1(2)1(212)1(2)1(24)1(222-+++=--++++=++=+x x x x x x x f ∴12)(2-+=x x x f ，故解析式为12)(2-+=x x x f（3）BD 解析：∵22]1)12[(4)12(+-==-x x x f ，∴2)1()(+=x x f ，故C 错误，D正确；16)13()3(2=+=f ，故A 错误；4)13()3(2=+-=-f ，故B 正确；答案为BD2、已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式．3、331)1(xx x x f +=+， 求)(x f ．∴）或（22,3)3()(32-≤≥-=-=x x x x x x f题型四 方程法求解析式1、已知函数)(x f 满足x x f x f 3)()(2=-+，则=)(x f __________．解析：23)()(2+=-+x x f x f ①23)()(2+-=+-x x f x f ②2、已知()()21f x f x x +-=+，则)(x f 的解析式是 ．解析：12)(3)(+=-+x x f x f ①12)(3)(+-=+-x x f x f ②②①⨯-3得：28)(8-=-x x f3、已知1()2()32f x f x x+=-，求)(x f 的解析式． 【解析】4、已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，求f (x )．5、已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫2－1x ＋2f ⎝⎛⎭⎫2＋1x ＝3x ，则f (－2)＝________.题型五 根据图像求解析式1、已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)的解析式是________．【答案】f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－x ，0≤x≤1 2、某种产品每件定价80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为( )A ．y ＝－14x ＋50(0<x <200) B ．y ＝14x ＋50(0<x <100) C ．y ＝－14x ＋50(0<x <100) D ．y ＝14x ＋50(0<x <200) 【答案】A【解析】设解析式为y ＝kx ＋b ，依题意有： 3080{ 20120k bk b =+=+答案：A.。
18.4(1.2)函数的表示法
（1）甲出发后几小时乙才出发？
25
20
50/3 15
10
Q
5
PM
o11
2
NR
（2）乙行驶多少分钟后追上甲？ 这时两人离B地还有多少千米？
（3）甲乙两人分别在下午几点 到达B地？
（4）甲从下午1时到2时半的速度 是每小时多少千米？
12 2 21
3
2
（5）乙的速度是每小时多少千 米？
下午t(小时)
例题3：一个游泳池内有水90立方水，设排尽全池水 的时间为t（分），每分钟的排水量为x（立方米）， 规定排水时间至少9分钟，至多15分钟。试写出排水 时间t关于每分钟排水量x的函数解析式，并指出函数 的定义域。
把一块边长为20厘米的正方形铁皮,在四角各 截去边长为x厘米的小正方形,再按虚线折成一 个无盖的长方体盒子.求这个盒子的容积V(立 方厘米)关于变量x(厘米)的函数解析式以及函 数的定义域.
20
x
x
20-2x
A、B两地相距25千米，甲于某日12时30分骑自行 车从A地出发前往B地。图中折线PQR和线段MN分 别反映了甲和乙所行驶的路程s与该日下午的时间t S(千米的) 函数关系。根据图像提供的信息回答下列问题：
y(毫克／立方米）
6
（1）药物燃烧了几分钟时，教室里含药 两最大？每立方米含药量多少毫克？
（2）写出药物燃烧时，y关 于x的函数解析式及定义域。
3
O
4 8 12 16 18 20 22 24
（3）写出在药物燃烧结束 后，y与x的函数解析式及 定义域。
Hale Waihona Puke 例题4：按照我们税法规定，个人所得税的缴付办法 是：月收入不超过1600元，免缴个人所得税；超过 1600元不超过5000元，超过部分需缴纳5%的个人所 得税，等等，例如下表：
【课标分析】函数的表示法
课标分析
（1）知识与技能：①掌握函数的三种表示方法，明确每种方法的优点和缺点。
②通过学习函数的三种表示法及其之间的相互转化，提升对函数概念的理解。
③掌握画熟悉和不熟悉函数图像的步骤，并会初步应用。
④初步学会用数学方法分析、解决实际问题，发展应用意识。
（2）过程与方法：①通过丰富的实例进一步体会函数是描述变量与变量之间的依赖关系的重要的数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
②在实际背景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
（3）情感、态度价值观：①从学生熟知的实际问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
②把数学与实际相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。
③学生之间互相交流合作，让学生能够学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养合作意识。
（4）教学重点与难点①教学重点：根据不同需要选择恰当的方法表示函数及求函数的解析式。
②教学难点：函数解析式的求法。
数学高一必修1课时作业 函数的表示法
课时作业8函数的表示法|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是()A．g(x)＝2x＋1B．g(x)＝2x－1C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7【解析】因为g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，所以令x＋2＝t，则x＝t－2，g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.所以g(x)＝2x－1.【答案】 B2．函数f(x)＝|x－1|的图象是()【解析】由绝对值的意义可知当x≥1时y＝x－1，当x<1时，y＝1－x，选B.【答案】 B3．已知函数f(x)＝{2x，x>0，x＋1，x≤0，且f(a)＋f(1)＝0，则a等于()A．－3 B．－1C．1 D．3【解析】当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0⇒a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0⇒a＝－3，适合题意．【答案】 A4．已知函数y＝{x2＋1，x≤0，－2x，x>0，则使函数值为5的x的值是()A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52【解析】 当x ≤0时，x 2＋1＝5，x ＝－2.当x >0时，－2x <0，不合题意．【答案】 A5．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 对于第一幅图，水面的高度h 的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知函数f (x )在[－1,2]上的图像如图所示，则f (x )的解析式为________．【解析】 当x ∈[－1,0]时，y ＝x ＋1；当x ∈(0,2]时，y ＝－12x，故f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ，0<x ≤2.【答案】f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ，0<x ≤2.7．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f [f (0)]＝________.【解析】 由图象可知f (0)＝4，f (4)＝2，f [f (0)]＝2. 【答案】 28．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )＝________.【解析】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，所以f (x )＝x 2＋2. 【答案】 x 2＋2三、解答题(每小题10分，共20分) 9．(1) 已知函数f (x )＝x 2，求f (x －1)； (2)已知函数f (x －1)＝x 2，求f (x )；(3)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋9，求f (x )．【解析】 (1)f (x －1)＝(x －1)2＝x 2－2x ＋1.(2)方法一(配凑法)：因为f (x －1)＝x 2＝(x －1)2＋2(x －1)＋1，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.方法二(换元法)：令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，可得f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，即f (x )＝x 2＋2x ＋1.(3)设f (x )＝ax ＋b ，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b . 又∵3f (x ＋1)＝6x ＋9，∴3(ax ＋a ＋b )＝6x ＋9， ∴⎩⎨⎧3a ＝6，3(a ＋b )＝9，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，即f (x )＝2x ＋1. 10．已知f (x )＝{ x ＋1 (x >0)，π (x ＝0)，0 (x <0).求f (－1)；f (f (－1))；f (f (f (－1)))．【解析】 ∵－1<0，∴f (－1)＝0，∴f (f (－1))＝f (0)＝π， ∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1. |能力提升|(20分钟，40分)11．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①【解析】 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 【答案】 B12. 设函数f (x )＝{ x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2(x >0)，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为________．【解析】 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，所以⎩⎨⎧(－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2(x ≤0)，2(x >0).当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x－2＝x ，解得x ＝－2或x ＝1(1>0，舍去)．当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}． 【答案】 {－2,2}13．求下列函数解析式． (1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(2)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )．【解析】 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则3f (x ＋1)－2f (x －1) ＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， 所以a ＝2，b ＝7， 所以f (x )＝2x ＋7. (2)2f (x )＋f (－x )＝3x ，① 2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② ①×2－②得3f (x )＝6x ＋3x ， 所以f (x )＝3x .14．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝{ x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2))；(2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式．【解析】 (1)g (2)＝1，f (g (2))＝f (1)＝0； f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，f (g (x ))＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f (g (x ))＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0. 同理可得g (f (x ))＝⎩⎨⎧x 2－2，x <－1或x >1，3－x 2，－1<x <1.。
(课时训练) 4.1.2函数的表示法
人工作者
湘教版八年级数学下册
4.1.2函数的表示法
1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
(1)一个正方形的边长为3 cm ，它的各边长减少x cm 后，得到的新正方形周长为y cm ．求y 和x 间的关系式；
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式；
(3)矩形的周长为12 cm ，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积．
2.求下列函数中自变量x 的取值范围：
(1)y ＝－2x －5x2； (3) y ＝x(x ＋3)；
(3)36+=x x y ； (4)12-=x y ．
3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t （秒）滑下的距离s （米）由下式给出：s ＝10t ＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？
4.当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值：
(1) y ＝(x+1)(x －2)；(2)y ＝2x2－3x ＋2； (3)12-+=x x y ．。
湘教版必修第一册3.1.2表示函数的方法作业(2)
【精编】3.1.2表示函数的方法作业练习一．单项选择1．函数定义域是，则的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与3．函数y则该函数的定义域为（ ） A ． B ． C ．[D ． 4．下列各组函数中，f （x ）与g （x ）相等的是（ ）A ．，B ．，C ．D ． ，5． 已知函数，则（ ）A ．5B ．4 C．3D ．26．下列函数中与表示同一函数的是（ ）(2)y f x =-[0,4](1)y f x =+[3,1]-[2,2]-[1,3]-[1,5]()f x =()g x =()f x x =()2x g x x =()2lg f x x=()2lg g x x=()0f x x=()01g x x =()023x -，322,,1233⎛⎫⎛⎤-⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦323,],1232⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦3,12⎛⎤- ⎥⎝⎦31()f x x x -=21()(1)(1)g x x x x -=--()1f x x 21()(1)(1)g x x x -=-+()f x =()g x =1()||f x x -=1()g x =()32f x x =-()2f =y x =A ．B ．C ．D ．7．函数则（ ） A ．0B ．-2C ．2D ．68．设函数，则，则（ ） A ．0 B ． C ． D ．19．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．10． 若集合，函数的定义域为B ，则（ ）A ．B ．C ．D ． 11．若函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数，则（ ） A ．4B ．8C ．16D ．3213．已知函数满足，求的值为（ ）2x y x=3y=y =1y =()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩()()4f f =31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩(())2f f a =a =13231()lg 1f x x x =+-(0,)+∞(0,1)(1,)⋃+∞(0,1)(1,)+∞{A x y ==∣()ln 2y x =-A B =1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)2,+∞24()43x f x mx mx -=++R m 3(0,]43[0,]43[0,)43(0,)42,1()2,1xx x f x x ⎧≤-=⎨>-⎩((2))f f -=()f x 3()2(1)f x f x x +-=(3)fA ．B ．C ．D ．14． 已知函数是一次函数，且，则的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．15．下列各组函数表示相同函数的是（ ）A ．B ．，C ．， D ．，34-43-3553-()f x (1)43f x x -=+()f x ()41f x x =-()47f x x =+()41f x x =+()43f x x =+()f x =2()g x =()1f x =()2g x x =,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩()g t t =()1f x x =+21()1x g x x -=-参考答案与试题解析1．【答案】A 【解析】函数定义域是，则，所以，解得， 所以函数的定义域为.故选：A 2．【答案】D 【解析】 对于A ，定义域都为，但同，故二者不是同一个函数，A 错误；对于B ，的定义域为，而的定义域为，二者定义域不同，所以二者不是同一个函数，故B 错误；对于C ，定义域为，定义域为，二者定义域不相同，所以二者不是同一个函数，故C 错误； 对于D ，两个函数的定义域为，且，所以二者是同一个函数，故D 正确.故选：D 3．【答案】A 【解析】，函数的定义域需满足，解得：， 所以函数的定义域是.故选：A 4．【答案】D(2)y f x =-[0,4]222x -≤-≤212x -≤+≤31x -≤≤(1)y f x =+[3,1]-(],0-∞()f x ==-()g x =()f x x =R 2()x g x x =(,0)(0,)-∞+∞2()lg f x x =(,0)(0,)-∞+∞()2lg g x x =(0,)+∞(,0)(0,)-∞+∞()()1f x g x ==()01232y x x -=-∴1023230x x x -⎧≥⎪+⎨⎪-≠⎩31223x x ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩322,,1233⎛⎫⎛⎤-⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【解析】对于A ，的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），两函数的定义域不同，不是相等函数；对于B ，的定义域是R ，的定义域（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），两个函数的定义域不同，不是相等函数；对于C ，定义域是R ，的定义域是R ，两函数的对应关系不同，不是相等函数；对于D ，的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数． 故选：D ． 5．【答案】B 【解析】 因为，所以，故选：B 6．【答案】B 【解析】 解：由题意知：的定义域为，值域为，对A ，的定义域为，所以A 错误； 对B ，，两函数的定义域和对应法则都相同，是相同的函数；对C ，的值域为，所以C 错误；对D ，，两函数值域不同，所D 错误.故选：B. 7．【答案】A 【解析】由， 则.故选：A8．【答案】C 【解析】312()f x x x x -==212()(1)(1)g x x x x x -=--=()1f x x 21()(1)(1)1g x x x x -=-+=-()||f x x ==()g x x ==1()||f x x -=11()||g x x -==()32f x x =-()23224f =⨯-=y x =R R 2x y x =()(),00,-∞⋃+∞3=y x=y =[)0+，∞1y =()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩()()()41110f f f =-=-+=因为， 所以当时，单调递增，且； 当时，单调递增，且，因此函数在定义域内单调递增；由得，所以，解得.故选：C. 9．【答案】B 【解析】由题得且.所以函数的定义域为：故选：B10．【答案】C 【解析】由题得，， 所以. 故选：C.11．【答案】C 【解析】解：由的定义域是知：恒成立， 即无解， 若，则知方程无解；若，则，解得：，31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩1≥x ()2x f x =()(1)2f x f =≥1x <()31f x x =-()(1)2f x f <=()f x (())2f f a =()12f a =<()311f a a =-=23a =10,00x x x -≠⎧∴>⎨>⎩1x ≠(0,1)(1,)⋃+∞1{[,)2A x y ===+∞∣{}()20,2B x x =->=-∞A B =1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x R 2430mx mx ++≠243=0mx mx ++0m =0m ≠2=16120m m ∆-<304m <<综上所述：. 故选：C.12．【答案】C 【解析】由已知，，所以故选：C13．【答案】B 【解析】 故选：B 14．【答案】B 【解析】设一次函数的解析式为，因为，可得，所以，解得，所以函数的解析式为. 故选：B 15．【答案】C 【解析】对于A 中，函数，函数的定义域为，所以定义域不同，所以不是相同的函数； 对于B 中，函数与对应法则不同，所以不是相同的函数；对于C 中，函数和的定义域都是，且对应法则相同，所以是相同的函数；对于D 中，函数的定义域为，函数的定义域为所以不是相同的函数.故选：C.3[0,)4m ∈2(2)(2)4f -=-=4((2))(4)216f f f -===()f x ax b(a 0)=+≠(1)43f x x -=+(1)(1)43f x a x b ax a b x -=-+=-+=+43a a b =⎧⎨-+=⎩4,7a b ==()47f x x =+()f x =R 2()g x =(0,)+∞()1f x =()2g x x =,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩(),0,0t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩R ()1f x x =+R 21()1x g x x -=-{}|1x x ≠。