2006—数二真题、标准答案及解析

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2006—数二真题、标准答案及解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）

一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x

y x x

-的水平渐近线方程为 .

（2）设函数23

1sin ,0,

(),

x t dt x f x x a x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩

⎰

在0x =处连续，则a = .

（3）广义积分

(1)xdx

x +∞=+⎰

（4）微分方程(1)

y x y x

-'=

的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y

y xe =-确定，则0

A dy dx

== .

（6）设矩阵2112A ⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =

. 二、选择题

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<

（C ）0.y dy ∆<<

（D ）0.dy y <∆<

【】

（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则

()x f t dt ⎰

是

（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数

（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. 【】

（9）设函数()g x 可微，1()

(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于

（A ）ln31-. （B ）ln3 1.--

2006—数二真题、标准答案及解析

间断点，则0

()x f t dt

⎰

是

（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. 【】（9）设函数()g x 可微，1()

(),(1)1,(1)2

g x h x e h g +''===，则(1)g 等于

（A ）ln31-. （B ）ln3 1.--

（C ）ln 2 1.-- （D ）ln 2 1.- 【】

（10）函数21

x x

y C e

C e xe -=++满足一个微分方程是

（A ）23.x

y y y xe '''--= （B ）23.x y y y e '''--=

（C ）23.x

y y y xe '''+-= （D ）23.x

y y y e '''+-=

（11）设(,)f x y 为连续函数，则1

(cos ,sin )d f r r rdr

πθθθ⎰⎰等于

（A ）0

(,).

f x y dy ⎰⎰ （B ）0

(,).

f x y dy ⎰⎰

（C ）0

(,).

f x y dx ⎰

⎰

（D ）0

(,).

f x y dx ⎰

⎰

【】

（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y

x y ϕ≠. 已知0

(,)

x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是

（A ）若0

(,)0x

f x y '=，则0

(,)0y

f x y '=.

（B ）若0

(,)0x

f x y '=，则0

(,)0y

f x y '≠.

（C ）若0

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学真题数二

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．（1）曲线x

x x

x y

cos 25sin 4-+=

的水平渐近线方程为______．

【答案】5

1=y

【考点】水平渐近线【难易度】★★ 【详解】

解析：，

51cos 25sin 41lim cos 25sin 4lim lim =-

=-+=∞→∞→∞→x

x x x

x x x x y x x x 所以水平渐近线方程为51=y . （2）设函数⎪⎩

⎪

⎨⎧==/=⎰

,0,d sin 1)(0

x a x t t x x f x

在x ＝0处连续，则a ＝______．

【答案】

【考点】函数连续的概念【难易度】★★ 【详解】

解析：按连续性定义，3

3sin lim d sin lim

)(lim )0(2203

=====→→→⎰x x x t t x f f a x x

x x ．（3）广义积分

⎰

+∞

2)1(d x x

x ＝______．

【答案】

【考点】无穷限的反常积分【难易度】★★ 【详解】解析：

2111

21)1(d 21)1(d 0

2222=

+-=+=++∞

∞

+∞+⎰

⎰x x x x x x

（4）微分方程x

x y y )

1(-=

'的通解是______．【答案】x

y Cxe -=，C 为∀常数【考点】变量可分离的微分方程

【难易度】★★ 【详解】

解析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得

x x

y y d )11

(d -=. 积分得 1ln ln y x x C =-+，即1

考研数二历年真题答案

为了帮助考研数学二科目的学生更好地备考，以下整理了近几年的考研数学二历年真题及其详细答案。通过仔细研究和解析这些真题，考生们可以更好地了解考试内容和出题思路，从而更有针对性地复习和备考。

一、2000年考研数学二真题及答案

（下面是2000年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）

二、2001年考研数学二真题及答案

（下面是2001年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）

三、2002年考研数学二真题及答案

（下面是2002年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）

四、2003年考研数学二真题及答案

（下面是2003年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）

五、2004年考研数学二真题及答案

（下面是2004年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）

六、2005年考研数学二真题及答案

（下面是2005年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）

七、2006年考研数学二真题及答案

（下面是2006年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）八、2007年考研数学二真题及答案

（下面是2007年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）九、2008年考研数学二真题及答案

（下面是2008年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）十、2009年考研数学二真题及答案

（下面是2009年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）十一、2010年考研数学二真题及答案

（下面是2010年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）十二、2011年考研数学二真题及答案

（下面是2011年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。）十三、2012年考研数学二真题及答案

2006考研数学(二)真题及参考答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）

一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x

y x x

-的水平渐近线方程为 .

（2）设函数23

1sin ,0,

(),

x t dt x f x x a x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩

⎰

在0x =处连续，则a = .

（3）广义积分

(1)xdx

x +∞=+⎰

（4）微分方程(1)

y x y x

-'=

的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y

y xe =-确定，则

A dy dx

== .

（6）设矩阵2112A ⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B

E =+，则B = . 二、选择题

（C ）0.y dy ∆<<

（D ）0.dy y <∆<

【】

（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则

()x f t dt ⎰

是

（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数

（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. 【】

（9）设函数()g x 可微，1()

(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于

（A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--

（C ）ln 2 1.--

（D ）ln 2 1.-

2006考研数学(二)真题及参考答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）

一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x

y x x

-的水平渐近线方程为 .

（2）设函数23

1sin ,0,

(),

x t dt x f x x a x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩

⎰

在0x =处连续，则a = .

（3）广义积分

(1)xdx

x +∞=+⎰

（4）微分方程(1)

y x y x

-'=

的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y

y xe =-确定，则

A dy dx

== .

（6）设矩阵2112A ⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B

E =+，则B = . 二、选择题

（C ）0.y dy ∆<<

（D ）0.dy y <∆<

【】

（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则

()x f t dt ⎰

是

（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数

（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. 【】

（9）设函数()g x 可微，1()

(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于

（A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--

2006年考研数学二真题答案解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）解析

一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x

y x x

-的水平渐近线方程为

y =

4sin 11lim lim

2cos 5

5x x x

x y x x

→∞→∞+

==-

（2）设函数2

301sin ,0

(),0x

t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

⎰ 在x =0处连续，则a =

2200()1

lim ()lim 33

x x sm x f x x →→== （3）广义积分

(1)xdx

x +∞

+⎰

2222220

(1)11

0(1)2

(1)2(1)

xdx d x x x x +∞+∞

+∞

=-⋅

=+++⎰

⎰

（4）微分方程(1)

y x y x

-'=

的通解是x

y cxe -=)0(≠x

（5）设函数()y y x =由方程1y

y xe =-确定，则0

x dy dx

==e

当x =0时，y =1，

又把方程每一项对x 求导，y

y e xe y ''=--

(1)1x x y y

e y xe e

y e xe ===''

+=-=-

=-+

(6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= .

-1 2

解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得

|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]

2006年考研数学一数学二试题与解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)0ln(1)

lim 1cos x x x x

→+=

-. (2)微分方程(1)

y x y x

-'=的通解是 .

(3)

设

∑

是锥面

z =(

z ≤≤)的下侧,则

23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑

++-=⎰⎰ .

(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫

⎪-⎝⎭

A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵

B 满足2=+BA B E ,则

B = .

(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则

{}max{,}1P X Y ≤= .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则

(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<

(D)0dy y <∆<

(8)设(,)f x y 为连续函数,则

(cos ,sin )d f r r rdr π

θθθ⎰

⎰等于

(A)

(,)x

f x y dy ⎰⎰

(B)

(,)f x y dy ⎰

⎰

(C)

(,)y

f x y dx ⎰

⎰

(C)

(,)f x y dx ⎰

2006年考研数学二真题及解析

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1…..【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.
【详解】
4 sin x
lim
x →∞
x + 4 sin x 5x − 2 cos x
=
1+ lim
x →∞
5−
x 2 cos x
（C） y′′ + y′ − 2 y = 3xex.
（D） y′′ + y′ − 2 y = 3ex.
π
∫ ∫ （11）设 f (x, y) 为连续函数，则 4 dθ 1 f (r cosθ , r sinθ )rdr 等于
0
0
2
1− x2
∫ ∫ （Ａ） 2 dx
f ( x, y)dy .
0
x
2
1− x2
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［］
三、解答题：15－23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
试确定 A, B, C 的值，使得
ex (1 + Bx + Cx2 ) = 1+ Ax + o( x3 ) ，

2006年考研数学二真题及答案

2006年考研数学二真题

一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）

(1)曲线的水平渐近线方程为_________。

【答案】。

【解析】

故曲线的水平渐近线方程为。

综上所述，本题正确答案是

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线

(2)设函数在处连续，则_________。

【答案】。

【解析】.

综上所述，本题正确答案是

【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性(3)反常积分_________。

【答案】

【解析】

综上所述，本题正确答案是

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分

(4)微分方程的通解为__________。

【答案】，为任意常数。

【解析】

即，为任意常数

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程

(5)设函数由方程确定，则__________。

【答案】。

【解析】等式两边对求导得

将代入方程可得。

将代入，得.

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(6)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足

，则___________。

【答案】2。

【解析】

因为，所以。

综上所述，本题正确答案是。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理

二、填空题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的

四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

(7)设函数具有二阶导数，且，为自变

量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微

分，若，则

(A)(B)

(C)(C)

2006年考研数学二真题答案解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）解析

一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x

y x x

-的水平渐近线方程为

y =

4sin 11lim lim

5x x x

x y x

→∞→∞+

==-

（2）设函数2

1sin ,

0(),0

t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

⎰ 在x =0处连续，则a =

2200()1

lim ()lim 33

x x sm x f x x →→== （3）广义积分

(1)xdx

x +∞

+⎰

2222220

(1)11

0(1)2

(1)2(1)

xdx d x x x x +∞+∞

+∞

=-⋅

=+++⎰

⎰

（4）微分方程(1)

y x y x

-'=

的通解是x

y cxe -=)0(≠x

（5）设函数()y y x =由方程1y

y xe =-确定，则0

x dy dx

==e

当x =0时，y =1，

又把方程每一项对x 求导，y y

y e xe y ''=--

(1)1x x y y

e y xe e

y e xe ===''

+=-=-

=-+

(6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= .

-1 2

解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得

|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]

2006考研数学二真题及答案解析

设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量α1 =(−1, 2, −1)T ,α2 =(0, −1,1)T 是线
性方程组 Ax = 0 的两个解. (I) 求 A 的特征值与特征向量;
❤
(II) 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 Λ ,使得 QT AQ = Λ .
2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
=1 3
注： 0 型未定式，可以采用洛必达法则；等价无穷小量的替换 sin x2 x2 0
❤
(3)【答案】1 2
【详解】
∫ ∫ +∞ xdx =1 +∞ dx2 =− 1 ⋅ 1 +∞ =1
0 (1+ x2 )2 2 0 (1+ x2 )2 2 1+ x2 0 2
(4) 【答案】 Cxe− x .
一、填空题
(1)【答案】 y = 1 5
【详解】由水平渐近线的定义及无穷小量的性质----“无穷小量与有界函数的乘积是无穷小
量”可知
lim y = lim
x + 4sin x
1+ 4sin x
= lim
x
= lim 1+ 0 = 1
x→∞ x→∞ 5x − 2 cos x x→∞ 5 − 2 cos x x→∞ 5 − 0 5
三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)

考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2004年)微分方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχ的特解形式可设为【】A．y*＝aχ2＋bχ＋c＋χ(Asinχ＋Bcosχ)．

B．y*＝χ(aχ2＋bχ＋c＋Asinχ＋Bcosχ)．

C．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Asinχ．

D．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Acosχ．

正确答案：A

解析：方程y〞＋y＝0的特征方程为ρ2＋1＝0，其特征根为ρ＝±i，因此方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχy*＝aχ＋bχ＋C＋χ(Asinχ＋Bcosχ) 故应选A．知识模块：常微分方程

2．(2006年)函数y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ满足的一个微分方程是【】

A．y〞－y′－2y＝3χeχ．

B．y〞－y′－2y＝3eχ．

C．y〞＋y′－2y＝3χeχ．

D．y〞＋y′－2y＝3eχ．

正确答案：D

解析：由y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ知，齐次方程的两个特征根分别为1和－2，所以只有C和D项可能是正确的选项，将y＝χeχ代入D项中方程知其满足该方程，则应选

D．知识模块：常微分方程

3．(2008年)在下列微分方程中，以y＝C1eχ＋C2cos2χ＋C3sin2χ(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是【】

A．＋y〞－4y′－4y＝0．

B．＋y〞＋4y′＋4y＝0．

C．－y〞－4y′＋4y＝0．

D．－y〞＋4y′－4y＝0．

正确答案：D

解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1＝1，ρ2，3＝±2i 则其特征方程为(ρ－1)(ρ2＋4)＝0，故所求方程应为y″′－y〞＋4y′－4y＝0 故应选

数学二2006年考研真题及答案解析

线 y f (x) 凹向，作函数 y f (x) 的图形如右图所
示，显然当 x 0 时，
y dy f (x0 )dx f (x0 )x 0 ，故应选(Ａ).
x
（8）设 f (x) 是奇函数，除 x 0 外处处连续， x 0 是其第一类间断点，则 f (t)dt 0 是
【详解】 h(x) e1g(x) 两边对 x 求导,得 h(x) e1g(x) g(x) .
上式中令 x 1 ，又 h(1) 1, g(1) 2 ，可得
1 h(1) e1g(1) g(1) 2e1g(1) g(1) ln 2 1 ，故选（C）.
【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可
【详解】原方程等价为
dy y

1 x

1
dx
，
两边积分得 ln y ln x x C1，整理得
y Cxex .（ C eC1 ）
（5）设函数 y
y(x) 由方程 y 1 xey 确定，则
（9）设函数 g(x) 可微， h(x) e1g(x) , h(1) 1, g(1) 2 ，则 g(1) 等于
（A） ln 3 1. （C） ln 2 1. ]
（B） ln 3 1.
（D） ln 2 1.
[C

(完整版)2006考研数学二真题及答案解析

2006年数学（二）考研真题及解答

一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x

y x x

-的水平渐近线方程为 .

（2）设函数23

1sin ,0,

(),

x t dt x f x x a x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩

⎰

在0x =处连续，则a = .

（3）广义积分

(1)xdx

x +∞=+⎰

（4）微分方程(1)

y x y x

-'=

的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y

y xe =-确定，则0

A dy dx

== .

（6）设矩阵2112A ⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =

二、选择题

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy

分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则

（A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<

（C ）0.y dy ∆<<

（D ）0.dy y <∆<

【】

（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则

()x f t dt ⎰

是

（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数

（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. 【】

（9）设函数()g x 可微，1()

(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于

（A ）ln31-. （B ）ln3 1.--

（C ）ln 2 1.--

（D ）ln 2 1.-

2006年考研数学二真题及答案

2006年考研数学二真题

一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） (1)曲线y =

x+4sinx 5x−2cosx

的水平渐近线方程为_________。

【答案】y =15

。【解析】lim

x→∞x+4sinx

5x−2cosx

=lim

x→∞

1+4

sinx

x 5−2

cosx x

故曲线的水平渐近线方程为y =1

5。

综上所述，本题正确答案是y =15

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (2)设函数f (x )={1

x 3∫sint 2dt,x ≠0,

x 0a,x =0

在x =0处连续，则a =_________。

【答案】1

3。

【解析】a =

lim x→01

x 3∫sint 2

dt x 0

=lim

x→0sinx 2

3x 2

综上所述，本题正确答案是13

【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性 (3)反常积分∫xdx (1+x 2)2

+∞

=_________。

【答案】12。【解析】

∫

xdx (1+x 2)

2+∞

=lim b→+∞∫xdx

(1+x 2)2b

0=lim b→+∞12∫d (1+x 2)(1+x 2)2=12b 0lim b→+∞(−1

1+x 2)|0

=12lim b→+∞(1−11+b 2)=12

综上所述，本题正确答案是1

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分

(4)微分方程y′=y(1−x)

的通解为__________。

【答案】y=Cxe−x，C为任意常数。

【解析】dy

y =1−x

dx⇒ln|y|=ln|x|−lne x+ln|C|