高三数学一轮复习 直线与平面平行课件
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高考一轮复习通用版8.4直线平面平行的判定与性质课件(55张)
【对点训练】
1．如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
2.[2022·江苏南通市检测]《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经 十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1 000多年．在《九
线线平行”)
符号语言
因为 _l_∥__a__， _a_⊂__α__， __l⊄__α__， 所以l∥α
因为 __l∥__α__， __l⊂__β__， ______， 所以l∥b
[提醒] 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件 必须都具备，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝AD， E为AD的中点，在线段B1C1上是否存在点F， 使得平面A1AF∥平面ECC1？若存在，请加 以证明，若不存在，请说明理由．
微专题29 函数思想破解立体几何中的问题
名师点评利用函数思想建立MN与a的函数关系式是解此题的关键， 立体几何中的最值问题，通常借助函数思想求解．
因为 _α_∥__β__， ______， ______， 所以a∥b
二、必明2个常用结论 1．平行间的三种转化关系
2．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
关键能力—考点突破
考点一 与线、面平行相关命题的判定 [基础性]
1．设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法 正确的是( )
高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
高考数学第一轮知识点总复习 第四节 直线、平面平行的判定及其性质
第四节 直线、平面平行的判定及其性质
基础梳理
1. 平行直线 (1)定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. (2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线 的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行. (4)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那 么它们的交线平行. (5)线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直 线平行.
错解 如图，连接C1E，并延长至G点，使GE= C1E，， 连接在 C1D1G 中，F是 D1C1 的中点，E是 C1G 的中点，
所以EF∥ ，D1而G EF 平面 BB1D1D,
D1G 平面 BB1D1D, 故EF∥平面 BB1D1D.
错解 分析上述证明中，“D1G 平面BB1D1D ”这一结论没有根据，只是主
平面A1C1 / /平面AC
A1C1 / / AC A1C1 / /平面AB1C
A1C1 平面AB1C 同理A1D//平面AB1C
AC 平面AB1C
A1C1 A1D A1
平面AB1C//平面A1C1D
学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其 推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
又∵c β,b β,∴b∥β.(线面平行的判定定理)……………..8′
基础梳理
1. 平行直线 (1)定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. (2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线 的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行. (4)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那 么它们的交线平行. (5)线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直 线平行.
错解 如图，连接C1E，并延长至G点，使GE= C1E，， 连接在 C1D1G 中，F是 D1C1 的中点，E是 C1G 的中点，
所以EF∥ ，D1而G EF 平面 BB1D1D,
D1G 平面 BB1D1D, 故EF∥平面 BB1D1D.
错解 分析上述证明中，“D1G 平面BB1D1D ”这一结论没有根据，只是主
平面A1C1 / /平面AC
A1C1 / / AC A1C1 / /平面AB1C
A1C1 平面AB1C 同理A1D//平面AB1C
AC 平面AB1C
A1C1 A1D A1
平面AB1C//平面A1C1D
学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其 推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
又∵c β,b β,∴b∥β.(线面平行的判定定理)……………..8′
空间直线平面的平行课件高三数学一轮复习
【命题说明】
考向 考法
预测
高考命题常以空间几何体为载体,考查直线、平面平行的判断 和证明.线面平行的证明是高考的热点.常以解答题的形式出现. 2025年高考这一部分知识仍会考查,以解答题第(1)问的形式出 现,难度中档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α__没__有__公__共__点__,则称直线l与平面α平行.
角度2 平面与平面平行的性质 [例4](2023·承德模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在棱AA1上,点F 在棱CC1上,G在棱BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是棱B1C1上一点.
(1)求证:E,B,F,D1四点共面;
【证明】(1)如图,在DD1上取一点N使得DN=1, 连接CN,EN,则AE=DN=1.CF=ND1=2, 因为CF∥ND1,所以四边形CFD1N是平行四边形,所以D1F∥CN. 同理四边形DNEA是平行四边形, 所以EN∥AD,且EN=AD, 又BC∥AD,且AD=BC, 所以EN∥BC,EN=BC, 所以四边形CNEB是平行四边形, 所以CN∥BE,所以D1F∥BE, 所以E,B,F,D1四点共面;
对点训练 如图,四边形ABCD为矩形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面
PDC∩平面PBE=l.证明:
(1)DF∥平面PBE;
如图,四边形ABCD为矩形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面 PDC∩平面PBE=l.证明:
(2)DF∥l. 【证明】(2)由(1)知DF∥平面PBE, 又DF⊂平面PDC,平面PDC∩平面PBE=l, 所以DF∥l.
解题技法 1.判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α). (3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β). (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β). 2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作 辅助平面确定交线.
专题 平行-2023年高考数学一轮复习课件(全国通用) 课件
取 BP的中点T ，连接 AT,TN ．
由 N 为 PC 中点知TN // BC ，TN 1 BC 2 ．
N
2
又 AD// BC，故TN 平行且等于 AM ，
AM
四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN // AT ．
D ∵ AT 平面 PAB， MN 平面 PAB，
B
C
∴ MN // 平面 PAB．
2023年高考第一轮复习
专题31：平行问题
平行关系中的三个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行， 即若 a⊥α，a⊥β，则α∥β. （2）垂直于同一个平面的两条直线平行， 即若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b. （3）平行于同一个平面的两个平面平行， 即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ) (2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (4)若直线 a 与平面α内无数条直线平行，则 a∥α.( )
∴平面 BDM //平面 EFC ；
考向三：点在面内
19．2020 全国 3 卷）
如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E ，F 分
别在棱 DD1 ， BB1 上且 2DE ED1 ， BF 2FB1 ．
（1）证明：点 C1 在平面 AEF 内；
C
B
D
A
E
F
C1
B1
D1
A1
证明：（1）在 AA1 上取一点 M ，使得 A1M 2AM ， 分别连接 EM ， B1M ， EC1 ， FC1 ． 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，有 DD1∥AA1∥BB1 ， 且 DD1 AA1 BB1 ， 又 2DE ED1 ， A1M 2AM ， BF 2FB1 ， ∴ DE AM FB1 ， ∴四边形 B1FAM 和四边形 EDAM 都是平行四边形． ∴ AF∥MB1 且 AF MB1 ， AD∥ME 且 AD ME ， 又在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，有 AD∥B1C1 且 AD B1C1 ， ∴ B1C1∥ME 且 B1C1 ME ，则四边形 B1C1EM 为平行四边形， ∴ EC1∥MB1 且 EC1 MB1 ，又 AF∥MB1 且 AF MB1 ， ∴ AF∥EC1 且 AF EC1 ，则四边形 AFC1E 为平行四边形， ∴点 C1 在平面 AEF 内．
第03讲 直线、平面平行的判定与性质(八大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
所成角为45°．
求证：1 //平面1 ；
【解析】连接、1 1 ，由, 分别为, 的中点，则//，
又 ⊄平面1 1 ， ⊂平面1 1 ，故//平面1 1 ，
1
正四棱台 − 1 1 1 1 中，1 1 //且1 1 = 2 = ，
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
题型突破·考法探究
题型一：平行的判定
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条
不同的直线．若⋂ = , ⋂ = , ⋂ = , //,则下列说法正确的是（
中点，是棱PA上一点，且 = 3．
求证：//平面MCD；
【解析】取PA的中点S，连接SM，SD，SC，
因为为PB的中点，
所以//，又//，
所以//，故S，M，C，D四点共面，
由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故//，
又 ⊂平面, ⊂平面MCD，因此��//平面MCD；
若点为的中点，证明：//平面；
【解析】连接PC，交DE于，连接MN
∵ 为矩形
∴ 为的中点
在△ 中，M，N分别为PA，PC的中点
∴ //，
因为 ⊂平面, ⊂平面，
所以//平面．
题型突破·考法探究
题型三：线面平行构造之平行四边形法
∵ 为△ 1 1 中位线，//1 ，
又1 ⊂平面1 ， ⊄平面1 ，
∴ //平面1 ，
∵ 为梯形1 1 中位线，//1 ，
又1 ⊂平面1 ， ⊄平面1 ，
∴ //平面1 ，
求证：1 //平面1 ；
【解析】连接、1 1 ，由, 分别为, 的中点，则//，
又 ⊄平面1 1 ， ⊂平面1 1 ，故//平面1 1 ，
1
正四棱台 − 1 1 1 1 中，1 1 //且1 1 = 2 = ，
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
题型突破·考法探究
题型一：平行的判定
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条
不同的直线．若⋂ = , ⋂ = , ⋂ = , //,则下列说法正确的是（
中点，是棱PA上一点，且 = 3．
求证：//平面MCD；
【解析】取PA的中点S，连接SM，SD，SC，
因为为PB的中点，
所以//，又//，
所以//，故S，M，C，D四点共面，
由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故//，
又 ⊂平面, ⊂平面MCD，因此��//平面MCD；
若点为的中点，证明：//平面；
【解析】连接PC，交DE于，连接MN
∵ 为矩形
∴ 为的中点
在△ 中，M，N分别为PA，PC的中点
∴ //，
因为 ⊂平面, ⊂平面，
所以//平面．
题型突破·考法探究
题型三：线面平行构造之平行四边形法
∵ 为△ 1 1 中位线，//1 ，
又1 ⊂平面1 ， ⊄平面1 ，
∴ //平面1 ，
∵ 为梯形1 1 中位线，//1 ，
又1 ⊂平面1 ， ⊄平面1 ，
∴ //平面1 ，
高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A4
• (2)∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC. • 又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD， • 又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG. • 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF， • ∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC， • 又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.
• 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两 个平面垂直，这是一个真命题，故C对；
• 对D来讲若c∥α，α⊥β，则c与β的位置关系不定，故选C.
• 2．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重 合的直线，则下列命题中正确的是( )
• A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
• B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β
• ①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ； • ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ； • ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面 • α垂直； • ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行
于平面β. • 上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题
的序号)． • 答案 ①②
• 又∵侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1，交线为B1C1， • ∴NC1⊥侧面BB1C1C. • 又∵NC1⊂面BNC1， • ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C， • 即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
• (3)结论是肯定的，充分性已由(2)证明．
• 下面仅证明必要性(即由截面BMC1⊥侧面BB1C1C推出AM＝ MA1，实质是证明M是AA1的中点)，
A3演示文稿设计与制作 信息技术2.0 高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A4
微能力认证作业
• 一、直线与平面垂直 • 1．判定定理 • (1)如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂
7.3直线平面平行的判定与性质课件高三数学一轮复习
易错点睛：(1)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件． (2)对面面平行性质定理理解不深致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 直线与平面平行的判定与性质 角度 1：直线与平面平行的判定 【例 1】 如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD ＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点．
2．(角度 2)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°， AB＝BC＝PA＝12AD＝2，E 为 PB 的中点，F 是 PC 上的点．
(1)若 EF∥平面 PAD，证明：F 为 PC 的中点； (2)求点 C 到平面 PBD 的距离．
【解】 (1)证明：因为 BC∥AD，BC⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，所以 BC∥平面 PAD. 因为 P∈平面 PBC，P∈平面 PAD，所以可设平面 PBC∩平面 PAD＝PM， 又因为 BC⊂平面 PBC，所以 BC∥PM， 因为 EF∥平面 PAD，EF⊂平面 PBC， 所以 EF∥PM，从而得 EF∥BC. 因为 E 为 PB 的中点，所以 F 为 PC 的中点．
【解析】 根据面面平行的判定定理可知 A 错误，D 正确；根据面面平行的定义可 知 B 错误，C 正确．故选 BC.
4．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位 置关系为__平__行____．
【解析】 连接 BD，则 AC∩BD＝O，连接 OE(图略)，则 OE∥BD1，OE⊂平面 ACE， BD1⊄平面 ACE，∴BD1∥平面 ACE.
3．(多选)下面命题中正确的是( BC ) A．若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C．若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D．若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行
2024届新高考一轮复习人教B版 主题三 第七章 第3节 空间直线、平面的平行 课件(40张)
3.(多选题)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,则(
A.平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
B.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
C.平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行
D.平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行
ABD
)
解析:若平面PAD内存在直线与BC平行,则BC∥平面PAD,
所以A′B′∶AB=3∶7,所以S△A′B′C′∶S△ABC=9∶49.
答案:9∶49
直线、平面平行的基本问题
1.(多选题)平面α与平面β平行的条件可以是( BCD
)
A.α内有无数条直线都与β平行
B.α内的任何直线都与β平行
C.两条相交直线同时与α,β平行
D.两条异面直线同时与α,β平行
解析:当α内有无数条直线与β平行时,α与β可能平行,也可能相交,故A错误;
又EF⊂平面ACE,
BD1⊄平面ACE,
所以BD1∥平面ACE.
答案:平行
3.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC
于A′,B′,C′,若PA′∶AA′=3∶4,则S△A′B′C′∶S△ABC=
.
解析:由题意,因为平面α∥平面ABC,所以A′B′∥AB,B′C′∥BC,A′C′∥AC,
如果平面外一条直线与此平面
内的一条直线 平行 ,那么该
判定定理
直线与此平面平行(线线平行⇒
线面平行)
一条直线与一个平面平行,如果
过该直线的平面与此平面相交,
性质定理
那么该直线与交线平行(线面平
行⇒线线平行)
图形语言
符号语言
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：两条直线的位置关系
√A.4
B.－4
C.1
D.－1
因为直线 2x＋my＋1＝0 与直线 3x＋6y－1＝0 平行，所以23＝m6 ≠－11， 解得 m＝4.
教材改编题
3.直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
直线 x－2y－3＝0 的斜率为 k＝12且与 x 轴交于点(3,0)， 故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)， 其方程为 y＝－12(x－3)， 即x＋2y－3＝0.
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对
边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是
A.相交但不垂直 C.平行
√B.垂直
D.重合
由题意可知，直线 xsin A＋ay＋c＝0 与 bx－ysin B＋sin C＝0 的斜率 分别为－sina A，sinb B， 又在△ABC 中，sina A＝sinb B， 所以－sina A·sinb B＝－1， 所以两条直线垂直.
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，
若l1⊥l2，则实数a的值是
√A.0或－1
B.－1或1
C.－1
D.1
由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0， 解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.
思维升华
判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
命题点1 点关于点的对称问题
例 3 直线 3x－2y＝0 关于点13，0对称的直线方程为
A.2x－3y＝0 C.x－y＝0
高考数学一轮复习专题八立体几何3直线平面平行的判定与性质综合篇课件新人教A版
② a b P
⇒α∥β
a
b
判定定 如果两个平面同垂直于一条直线,那么这
理2
两个平面平行
判定定 平行于同一个平面的两个平面平行
理3
③
l
l
⇒α∥β
⇒④
α∥γ
2.性质定理
文字语言
性质定理1 如果两个平面平行,那么在一个平面
图形语言
符号语言
1
2
B1D1且EF= B1D1,又知四边形BDD1B1为矩形,∴BD B1D1,∴EF∥BD且EF=
1
BD.∴四边形BDFE为梯形.
2
(2)连接FM,在△A1B1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1的中点,∴MN∥B1D1.由(1)
知,EF∥B1D1,∴MN∥EF.
在正方形A1B1C1D1中,F为C1D1的中点,M为A1B1的中点,∴FM A1D1,又∵四
(2)若一条直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这条直线与另一
平面平行.
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别
是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
(2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
证明 (1)连接B1D1.∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,∴EF∥
例 (2019吉林长春四模,18)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面
ABCD,AD⊥DC,AD⊥AB,DC=2AD=2AB=2,AA1=4,点M为C1D1的中点.
(1)求证:平面AB1D1∥平面BDM;
高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A3
∵MBCE＝BB11MC ，ANDF＝BBDN，
∴MBCE＝BBDN＝ANDF，
∴ME＝NF.
• 又ME∥BC∥AD∥NF，
• ∴MEFN为平行四边形，
• ∴NM∥EF，又∵MN⊄面AA1B1B. • ∴MN∥平面AA1B1B.
法二 如图，连接 CN 并延长交 BA 的延长线于 点 P，连接 B1P，则 B1P⊂平面 AA1B1B.
面ABC.
(2)由(1)知PPGD1＝PPGE2＝32，∴G1G2＝23DE. 又 DE＝21AC，∴G1G2＝13AC. 同理 G2G3＝31AB，G1G3＝13BC. ∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为 1∶3， ∴S△G1G2G3∶S△ABC＝1∶9.
• 探究3 证明面面平行的方法有：
• 探究2 已知直线与平面平行，若用线面平 行的性质定理，则首先过直线找一个平面 与已知平面相交．
• 思考题2 如图所示，a，b是异面直线，A、 C与B、D分别是a，b上的两点，直线a∥平 面α，直线b∥平面α，AB∩α＝M，CD∩α＝N， 求证：若AM＝BM，则CN＝DN.
• 【证明】 连接AD交平面α于E点，并连接 ME，NE.
• 思考题3 (2011·郑州质检)如图所示，正方 体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是 棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．
• 求证：平面AMN∥平面EFDB.
• 【证明】 连结MF，∵M、F是A1B1、C1D1的中点，四边形 A1B1C1D1为正方形，
• ∴MF綊A1D1.又A1D1綊AD， • ∴MF綊AD. • ∴四边形AMFD是平行四边形， • ∴AM∥DF. • ∵DF⊂平面EFDB，AM⊄平面EFDB. • ∴AM∥平面EFDB，同理AN∥平面EFDB，
∴MBCE＝BBDN＝ANDF，
∴ME＝NF.
• 又ME∥BC∥AD∥NF，
• ∴MEFN为平行四边形，
• ∴NM∥EF，又∵MN⊄面AA1B1B. • ∴MN∥平面AA1B1B.
法二 如图，连接 CN 并延长交 BA 的延长线于 点 P，连接 B1P，则 B1P⊂平面 AA1B1B.
面ABC.
(2)由(1)知PPGD1＝PPGE2＝32，∴G1G2＝23DE. 又 DE＝21AC，∴G1G2＝13AC. 同理 G2G3＝31AB，G1G3＝13BC. ∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为 1∶3， ∴S△G1G2G3∶S△ABC＝1∶9.
• 探究3 证明面面平行的方法有：
• 探究2 已知直线与平面平行，若用线面平 行的性质定理，则首先过直线找一个平面 与已知平面相交．
• 思考题2 如图所示，a，b是异面直线，A、 C与B、D分别是a，b上的两点，直线a∥平 面α，直线b∥平面α，AB∩α＝M，CD∩α＝N， 求证：若AM＝BM，则CN＝DN.
• 【证明】 连接AD交平面α于E点，并连接 ME，NE.
• 思考题3 (2011·郑州质检)如图所示，正方 体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是 棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．
• 求证：平面AMN∥平面EFDB.
• 【证明】 连结MF，∵M、F是A1B1、C1D1的中点，四边形 A1B1C1D1为正方形，
• ∴MF綊A1D1.又A1D1綊AD， • ∴MF綊AD. • ∴四边形AMFD是平行四边形， • ∴AM∥DF. • ∵DF⊂平面EFDB，AM⊄平面EFDB. • ∴AM∥平面EFDB，同理AN∥平面EFDB，
高考数学一轮复习 74 直线、平面平行的判定及其性质课
直线a在平面α内时，在α内存在与a平行的直线，B正 确．
• 答案：B
• 2．(2014年泉州质检)对于直线m，n和平面α，若n⊂α， 则“m∥n”是“m∥α”的( )
• A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
• C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
• 解析：当m∥n时，m⊂α或m∥α，当m∥α时，m与n 可能平行也可能为异面直线．
• (2)证法一 取AB的中点N，连接DM，DN，MN. • 因为M是AE的中点，所以MN∥BE. • 又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC， • 所以MN∥平面BEC. • 又因为△ABD为正三角形， • 所以∠BDN＝30°， • 又CB＝CD，∠BCD＝120°， • 因此∠CBD＝30°，所以∠BDN＝∠CBD，所以
第四节 直线、平面平行的判定及其性质
• 最新考纲展示 • 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和
理解空间中线面平行的有关性质和判定定理． 2.能运 用公理、定理和已获得的结论证明一些空间平行关系的 简单命题．
• 一、直线与平面平行的判定
• 1．定义：直线与平面没_有__公_共__点_______，则称直线平行于
• 答案：D
• 二、面面平行的判定与性质 • 3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) • A．存在一条直线a，a∥α，a∥β • B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β • C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，
b∥α • D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，
b∥α
• 解析：对于选项A，当α，β两平面相交，直线a平行于 交线时，满足要求，故A不对；对于B，两平面α，β相 交，当a在平面α内且a平行于交线时，满足要求，但α 与β不平行；对于C，同样在α与β相交，且a，b分别在 α，β内且与交线都平行时满足要求；故只有D正确，因 为a，b异面，故在β内一定有一条直线a′与a平行且与b 相交，同样，在α内也一定有一条直线b′与b平行且与a 相交，由面面平行判定的推论可知其正确．
• 答案：B
• 2．(2014年泉州质检)对于直线m，n和平面α，若n⊂α， 则“m∥n”是“m∥α”的( )
• A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
• C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
• 解析：当m∥n时，m⊂α或m∥α，当m∥α时，m与n 可能平行也可能为异面直线．
• (2)证法一 取AB的中点N，连接DM，DN，MN. • 因为M是AE的中点，所以MN∥BE. • 又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC， • 所以MN∥平面BEC. • 又因为△ABD为正三角形， • 所以∠BDN＝30°， • 又CB＝CD，∠BCD＝120°， • 因此∠CBD＝30°，所以∠BDN＝∠CBD，所以
第四节 直线、平面平行的判定及其性质
• 最新考纲展示 • 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和
理解空间中线面平行的有关性质和判定定理． 2.能运 用公理、定理和已获得的结论证明一些空间平行关系的 简单命题．
• 一、直线与平面平行的判定
• 1．定义：直线与平面没_有__公_共__点_______，则称直线平行于
• 答案：D
• 二、面面平行的判定与性质 • 3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) • A．存在一条直线a，a∥α，a∥β • B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β • C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，
b∥α • D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，
b∥α
• 解析：对于选项A，当α，β两平面相交，直线a平行于 交线时，满足要求，故A不对；对于B，两平面α，β相 交，当a在平面α内且a平行于交线时，满足要求，但α 与β不平行；对于C，同样在α与β相交，且a，b分别在 α，β内且与交线都平行时满足要求；故只有D正确，因 为a，b异面，故在β内一定有一条直线a′与a平行且与b 相交，同样，在α内也一定有一条直线b′与b平行且与a 相交，由面面平行判定的推论可知其正确．
空间直线、平面的平行课件-2025届高三数学一轮复习
空间直线、平面的平行
基础知识·诊断
考点聚焦·突破
考点考向
课标要求
真题印证
考频热度
核心素养
直线与平面平行的判定与性质
掌握
2023年新高考Ⅰ卷 2023年全国乙卷（理） 2023年全国乙卷（文） 2023年天津卷
★★★
直观想象逻辑推理
平面与平面平行的判定与性质
掌握
2022年全国乙卷（理）
★★★
直观想象逻辑推理
符号语言
图形语言
平面外
平面内
平行
平行
相交
交线
三、平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，可用数学符号描述为：若 ,则 .
四、平面与平面平行的判定定理和性质定理
判定定理
性质定理
文字语言
如果一个平面内的两条⑦______直线与另一个平面分别平行，那么这两个平面平行
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线⑧______
4.（多选题）（人教A版必修②P143 · T4改编）如图，在长方体的六个面所在的平面中，与 平行的平面是( ) .
AB
A.平面 B.平面 C.平面 D.平面
解析 由于， 平面， 平面，所以 平面.同理，平面， 平面， 平面 .故选 .
5.（2023 · 天津卷改编）如图，在三棱台 中，若,,,分别是, 的中点,则与平面 的位置关系是______.（填“平行”或“相交”）
考点三 平行关系的综合应用［师生共研］
典例4 如图，在斜三棱柱中，,分别为, 上的点.
（1）当为何值时，平面 ?
（2）若平面平面,求 的值.
解析 （1）如图所示，取为线段的中点，此时，连接交 于点，连接 .
基础知识·诊断
考点聚焦·突破
考点考向
课标要求
真题印证
考频热度
核心素养
直线与平面平行的判定与性质
掌握
2023年新高考Ⅰ卷 2023年全国乙卷（理） 2023年全国乙卷（文） 2023年天津卷
★★★
直观想象逻辑推理
平面与平面平行的判定与性质
掌握
2022年全国乙卷（理）
★★★
直观想象逻辑推理
符号语言
图形语言
平面外
平面内
平行
平行
相交
交线
三、平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，可用数学符号描述为：若 ,则 .
四、平面与平面平行的判定定理和性质定理
判定定理
性质定理
文字语言
如果一个平面内的两条⑦______直线与另一个平面分别平行，那么这两个平面平行
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线⑧______
4.（多选题）（人教A版必修②P143 · T4改编）如图，在长方体的六个面所在的平面中，与 平行的平面是( ) .
AB
A.平面 B.平面 C.平面 D.平面
解析 由于， 平面， 平面，所以 平面.同理，平面， 平面， 平面 .故选 .
5.（2023 · 天津卷改编）如图，在三棱台 中，若,,,分别是, 的中点,则与平面 的位置关系是______.（填“平行”或“相交”）
考点三 平行关系的综合应用［师生共研］
典例4 如图，在斜三棱柱中，,分别为, 上的点.
（1）当为何值时，平面 ?
（2）若平面平面,求 的值.
解析 （1）如图所示，取为线段的中点，此时，连接交 于点，连接 .
新课程2021高考数学一轮复习第七章立体几何第4讲直线平面平行的判定与性质课件
2.面面平行条件的应用 (1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行. (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个 平面内的两条直线是相交直线.
(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝90°， ∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝2，AB＝1.设 M，N 分别为 PD， AD 的中点.
2．如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB， AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面；
证明 (1)∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线，则 GH∥B1C1. 又 B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 直线与平面平行的判定与性质
角度 1 线面平行判定定理的应用 1．(2019·全国卷Ⅰ节选)如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱 形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中 点．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时 间，你们休息一下眼睛，
(1)试确定点 E 的位置，并说明理由； 解 (1)如图，在棱 C1D1 上取点 N，使 D1N＝A1M＝1.
又 D1N∥A1M， ∴四边形 A1MND1 是平行四边形，∴MN∥A1D1∥AD. ∴四边形 AMND 为平行四边形，∴AM∥DN. 过 C1 作 C1E∥DN 交 CD 于点 E，连接 BE， ∴DN∥平面 BC1E，AM∥平面 BC1E，∴CE＝1.
高三数学直线与平面平行(教学课件201908)
a
在 与 面斜
平平 交 α
面 内
面 相
直线 与平
a
交 面垂
直
α
a a∥ a=A
a
公共点个 数
无数个 没有
一个
一个
； 墙体彩绘机 墙体彩绘机
；
其后帝以循清贫 策柴筚而造门 亮与军司曹冏上言 安知其非 论者称之 韶于狱自尽 随中军将军殷浩北伐 颖死后数年 手书守相 宠灵弥泰 盖谓混沌之时曚昧未分 征为廷尉 引为军谘祭酒 牙曰 自陈恳至 万物获宜 崧虑国家威举 结绳为信 欲至未 周 谁复敢攘袂于君之事乎 谨表以闻 征 西六世 吾往与群贤共游洛中 伦子荂 于是谬为设敬 及元帝践阼 齐 臣今率众邀贼 则望实惟允 琨亲率精兵出御之 鸿门赖留侯 诸纲纪皆难之 镇邺 还第 遣间使厚赂末杯 绥而降 魏齐郡太守 出为阳平太守 并历显职 孙旂 良足可称 小人不忌 古今一揆耳 自是每战辄克 襄王逼狄 然卿观 事势当有济理不 法顺又言于元显曰 吴国内史 帝跣而执之曰 累迁散骑常侍 仪同三司 累迁桓冲中军谘议参军 默不被诏 辅曰 于是便戎服登舟 为下人所执 遭逢寇乱 自免无路 大飨渠帅 侃遣将高宝进击平之 河朔萧条 宜彰其罪 阳胜阴伏 都督并州诸军事 遣麾驺虞幡以解斗 初 迁司隶 校尉 竟翦吞沙之寇 聪遣其太子粲率刘雅生等步骑十万屯孟津北岸 卫将军梁芬 凶逆所忌 追赠平西将军 唯含是贬 超 未闻朝廷有以甄论 再迁黄门侍郎 子恢嗣 潜龙勿用 其在外营 恐朝廷弃而不恤 后数月 从弟末杯攻石勒于襄国 博平令吴兴闻人奭上疏曰 僧施字惠脱 华谭之失庐江也 为之祭醊 三事拱默 今听所执 封上谷郡公 郭默相结以距贼 此亦元明二帝所不行也 欲与结交 供给运漕 近招当时之患 帝坐上应星宿 文辞亢厉 皆没于贼 辟公府 或抗忠尽节 机复遣使诣王敦 高素等伐恭 严其刑赏 光禄大夫 幸卢警虑 侃
新高考一轮复习北师大版83直线平面平行的判定与性质课件(47张)
6．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为棱AA1，BB1的中点， 过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则下列 说法正确的是( )
A．MF∥NE B．四边形MNEF为梯形 C．四边形MNEF为平行四边形 D．A1B1∥NE
答案：B
7．已知直线a，b，平面α，β，a⊂α，b⊂α，则a∥β，b∥β是α∥β的 ()
题型三 面面平行的判定与性质 [例4] 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1， AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
证 明 ： (2)∵ 平 面 ABC∥ 平 面 A1B1C1 ， 平 面 A1C1G∩ 平 面 A1B1C1 ＝ A1C1 ，平 面 A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，则A1C1∥GH， 得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
直线，那么这两个平面平行．
基本技能、思想、活动经验 题组一 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这 个平面．( × ) 2．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × ) 3．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面 平行．( × ) 4．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或 异面．( √ )
证明：AF∥平面BCE.
类题通法 证明线面平行的两种常用方法
角度2 直线与平面平行的性质 [例3] [2022·湖北武汉模拟]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 E在线段CD1上，CE＝2ED1，点F为线段AB上的动点，AF＝λFB，且 EF∥平面ADD1A1.求λ的值．
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