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高中数学第1章数列 1.1 数列的概念讲义教案北师大版必修5

学习资料数列§1数列1．1数列的概念学习目标核心素养1．了解数列通项公式的概念．2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．（重点、难点）1．通过数列基本概念的学习培养数学抽象素养．2．通过数列通项公式的应用培养逻辑推理及数学运算素养．1．数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题．(1)数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫作数列项数列中的每一个数叫作这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第n项a n叫数列的通项(2)数列的表示①一般形式：a1,a2，a3，…,a n，…；②字母表示：上面数列也可记为｛a n}．③数列的分类分类标准名称含义举例按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2，3,4，…，n 无穷数列项数无限的数列1，4,9,…,n2，…思考：(1)［提示]数列1，2,3，4,5和数列5,4，3,2，1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．（2）数列的项和项数有何区别?[提示]数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号,如数列1,2，3，4，5中第1项为a1＝1,其项数是1．2．通项公式阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1"以上的内容，完成下列问题．(1）如果数列｛a n｝的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a n＝f(n），那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．(2）数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．思考：（1)若a n＝2n－1，则a2＋a3的值是什么?[提示］因为a n＝2n－1,所以a2＝2×2－1＝3,a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8．（2)数列的通项公式a n＝f(n）与函数解析式y＝f(x)有什么异同？［提示］数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）为定义域的函数a n＝f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域:数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋1,则122是该数列的（)A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项C[由n2＋1＝122得n2＝121,∴n＝11．故选C．]2．数列3,4，5,6，…的一个通项公式为（)A．a n＝n B．a n＝n＋1C．a n＝n＋2 D．a n＝2nC[经检验可知,它的一个通项公式为a n＝n＋2．]3．若数列{a n}的通项公式为a n＝sin 错误!,则a2＝________．0[a2＝sin 错误!＝sin π＝0．]4．已知数列｛a n}的通项公式为a n＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．1－1［当n＝8时，a8＝（－1)8＝1．当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1．］数列的概念【例1】(1A．数列0,1，2,3，…的首项是0B．数列｛a n｝中，若a1＝3，则从第2项起，各项都不等于3C．数列中的每一项都是数D．如果已知数列的通项公式，那么可以写出该数列的任意一项(2）下列各组元素能构成数列吗?如果能,构成的数列是有穷数列,还是无穷数列？并说明理由．①8,8,8，8；②－3,－1,1，x，5,7，y，11；③当n取1,2，3,4，…时，(－1）n的值排成的一列数．(1）B［同一个数可以在一个数列中重复出现,故B错误．]（2)［解]①能构成数列，且构成的是有穷数列．②当x，y代表数时是数列,此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1，1，－1,1,…．数列及其分类的判定方法(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数．(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列,否则是无穷数列．错误!1．下列说法正确的是（)A．1,2,3，4，…，n是无穷数列B．数列3，5，7与数列7,5,3是相同数列C．同一个数在数列中不能重复出现D．数列｛2n＋1｝的第6项是13D［A错误，数列1,2，…，n，共n项,是有穷数列．B错误，数列是有次序的．C错误，数列中的数可以重复出现．D正确，当n＝6时,2×6＋1＝13．]根据数列的前n项写出数列的通项公式（1)错误!，错误!,错误!，错误!，…；（2)错误!，2，错误!，8，错误!，…；（3)－1，2，－3，4，…；（4)2,22，222,2 222，…．［解]（1）分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5，5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．故a n＝错误!．(2)将分母统一成2，则数列变为错误!，错误!，错误!，错误!,错误!，…，其各项的分子为n2．∴a n＝错误!．(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同,且奇数项为负,偶数项为正，故a n＝（－1)n·n．(4）通过观察分析可知所求通项公式为a n＝错误!(10n－1)．由数列的前几项求通项公式的思路（1）通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数,或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．(3）要借助一些基本数列的通项,如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等．（4）符号用（－1）n或(－1)n＋1来调整．（5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．[跟进训练]2．(1）数列1，错误!,错误!，错误!,错误!，…的一个通项公式a n＝(）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（2）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．①错误!，错误!，错误!，错误!，…；②－3，7，－15,31，…;③2，6，2,6，…．(1）B［由已知得，数列可写成错误!，错误!,错误!,错误!，错误!,…，故通项公式为n2n－1．］（2)[解]①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以a n＝1(n＋1)(n＋3)．②正负相间，且负号在奇数项,故可用（－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数（项数加1)次幂减1，所以a n＝（－1)n（2n＋1－1）．③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数错误!＝4,而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1）n 来表示．所以a n ＝4＋（－1)n ·2或a n ＝错误!通项公式的应用［探究问题]1．已知数列{a n }的通项公式,如何求数列的某一项？[提示] 把n 的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值关于n 的方程．2．已知数列{a n ｝的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？[提示］假定这个数是数列中的第n 项，由通项公式可得关于n 的方程，解方程求得n ，若n 是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n 不是正整数，则该数不是数列中的项．【例3】数列｛a n ｝的通项公式是a n ＝n 2－21n 2(n ∈N ＋）．（1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是,那么是第几项？（2）数列｛a n ｝中是否存在连续且相等的两项？若存在,分别是第几项？思路探究：（1）错误!⇒错误!⇒错误!（2）假设存在连续且相等的两项⇒错误!⇒错误!⇒错误! ［解］（1)若0是{a n }中的第n 项,则错误!＝0，因为n ∈N ＋，所以n ＝21．所以0是{a n }中的第21项．若1是{a n ｝中的第n 项，则错误!＝1, 所以n 2－21n ＝2，即n 2－21n －2＝0．因为方程n 2－21n －2＝0不存在正整数解，所以1不是｛a n ｝中的项．（2)假设｛a n ｝中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1,解得m ＝10．所以数列｛a n ｝中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．1．(变条件)在例3中，把“a n ＝错误!”改为“a n ＝n 2－3n ”，解答(1）（2）两题． [解］ (1)若0是{a n ｝中的第n 项，则n 2－3n ＝0，因为n ∈N ＋,所以n ＝3，故0是{a n }中的第3项．若1是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝1,即n 2－3n －1＝0，因为方程n 2－3n －1＝0不存在正整数解，所以1不是{a n ｝中的项．(2）假设{a n ｝中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1,所以m 2－3m ＝（m ＋1)2－3(m ＋1),解得m ＝1．所以数列｛a n ｝中存在连续的两项,第1项与第2项相等．2．（变结论）例3的条件不变,求a 3＋a 4的值和a 2n ．[解] a 3＋a 4＝32－21×32＋错误!＝－61，a 2n ＝错误!＝2n 2－21n ．1．由通项公式写出数列的指定项,主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．1．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．并非每一个数列均有通项公式，例如由错误!的不足近似值构成的数列1,1．4,1．41,1．414，…，便无通项公式．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”） (1）数列中的项不能相等．( ) (2）数列1，2，3，4,…，n －1，只有n －1项． ( ） (3）数列1,2，3,4，…，n 2是无穷数列． ( ）［答案] (1）× (2)√ (3）×[提示］数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2，3，4,…,n 2共n 2项，是有穷数列,故(3)错．2．在数列－1，0,19，错误!，…,错误!，…中0．08是它的( ）A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项C [由题意知，a n ＝错误!．令a n ＝0．08，即错误!＝错误!，所以n ＝10,n ＝52（舍去），故选C ．]3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________，错误!＝________．3－4n错误![根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．因为a n＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n,错误!＝错误!＝错误!．]4．已知数列{a n｝的通项公式为a n＝错误!．（1）写出数列的前三项；（2）错误!和错误!是不是数列｛a n｝中的项？如果是，是第几项? ［解](1）数列的前三项：a1＝错误!＝1，a2＝错误!＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!＝错误!．（2)令错误!＝错误!,则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8,注意到n∈N＋，故n＝－8舍去．所以错误!是数列｛a n}的第5项．令错误!＝错误!，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝错误!或n＝－错误!，注意到n∈N＋,所以错误!不是数列{a n}中的项．。

数学北师大版高中必修5北师大版高中数学必修5第一章《数列》第一课时数列的概念

第一课时 1.1.1 数列的概念一、教学目标1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。

3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析四、教学过程（一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（二）、推进新课［合作探究］折纸问题师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生均是一列数生还有一定次序师它们的共同特点：都是有一定次序的一列数［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n 项叫数列的通项．以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列4、通项公式法:如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列的通项公式，则．值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．［知识拓展］师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n［例题剖析］例1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1 n n ;(2)a n =(-1)n ·n师由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项生解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65 (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-师好！就这样解例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，师这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n-+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，a n ＝n ＋2)1(1n -+；(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，a n ＝(-1)n +1n (n ＋师完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式（三）、学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4补充题：已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A.30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决答案：点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式。

高中数学北师大版必修五课件：第1章 §1-1.1 数列的概念

(1)数列定义的理解数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照 “一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置． (2)数列分类的理解判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．
(2)①符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)． ②将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)， 89(1－0.001)，…，所以 an＝891－110n.
用观察法求数列的通项公式的方法 (1)统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式． (3) 对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以 (－1)n(n∈N＋)处理符号．
(3 分)
(6 分) (10 分) (12 分)
法二：(迭代法)
同法一，得aan＋n 1＝n＋n 1，
(6 分)
所以 an＋1＝n＋n 1an，
(7 分)
所以 an＝n－n 1an－1＝n－n 1·nn－－21an－2＝n－n 1·nn－－21·nn－－32·an－3＝…
＝n－n 1·nn－－12·nn－－32·…·12a1＝n1a1.
第一章数列
§1 数列
1．1 数列的概念
1．数列的概念 (1)数列：一般地，按
一定次序排列的一列数叫作数列．
(2)项和项数：数列中的每一个数叫作这个数列的项，各项

新版高中数学北师大版必修5课件：第一章数列 1.2.1.2

由a59=a49+10d,知10d=100-80,解得d=2.
∵a79=a59+20d, ∴a79=100+20×2=140.
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一题型二题型三
目标导航
Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一题型二题型三
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D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【变式训练1】在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这个数列.
解:∵-1,a,b,c,7成等差数列, ∴b是-1与7的等差中项,a是-1与b的等差中项,c是b与7的等差中项,
第2课时等差数列的性质及应用
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1.体会等差数列与一次函数的关系,能够运用一次函数的性质解决等差数列问题.
2.掌握等差中项的定义,能够运用定义解决有关问题. 3.掌握等差数列性质的应用及实际应用.
数列为递减数列. (2)d=��--��1��1 = ��--��(m,n,k∈N+). (3)an=am+(n-m)d(m,n∈N+). (4)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则 am+an=ap+aq. (5)若��2+��=k,则 am+an=2ak(m,n,k∈N+). (6)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和

2018-2019版数学学导练必修五北师大版实用课件第一章数列1.2.2.2

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名师点拨常用的裂项求和公式 (1)若{an}是等差数列,则
1 1 1 1 = ; �� +2 2�� +2 1 1 1 1 (2) = ; ��(��+��) �� +�� 1 1 1 1 (3) =2 - 2��+1 ; (2��-1)(2��+1) 2��-1 1 1 (4) = �� ( �� + �� − ��); ��+ ��+�� 1 1 1 1 (5)��(��+1)(��+2) = 2 ��(��+1) - (��+1)(��+2) 1 �� +1
=
1 1 1 �� +1
,
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思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打 “×”. (1)已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+2,则{an}的通项公式为 an=2n+1. ( ) (2)已知数列{an}的通项公式为an=18-3n,Sn是{an}的前n项和,Tn是 {|an|}的前n项和,则一定有Tn≠Sn. ( ) �� n (3)数列-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,…,(-1) · n,…的前n项和为 2 . ( ) 答案:(1)× (2)× (3)×

—学数学北师大版必修5同步教学案第1章数列§1 数列

第一章数列 1.1 数列的概念课时目标 1.理解数列及其有关概念；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1．一般地，按一定________排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…简记为数列{a n }，其中数列的第1项a 1也称首项；a n 是数列的第n 项，也叫数列的通项．2．项数有限的数列称________数列，项数无限的数列称为______数列．3．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的________公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1]B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)]C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1]4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项 5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2 D ．a n ＝n 2＋16．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n 等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为_____．8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第______项．9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… (4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．能力提升13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是____________________________．14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式． 3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝2k －1)，1 (n ＝2k )，其中k ∈N ＋.1.2 数列的函数特性课时目标 1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 2．数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．3．一般地，一个数列{a n }，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项________，那么这个数列叫做常数列．一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥23．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12C.34D.58 4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则：a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31155．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( )A.67B.57C.37D.176．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3,4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1，则a n ＝________. 8．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N ＋)，则使a n >100的n 的最小值是________．9．若数列{a n }满足：a 1＝1，且a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N ＋)，则当n ≥2时，a n ＝________.10．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋，则实数λ的最小值是________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.12．已知a n ＝9n (n ＋1)10n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．能力提升13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N ＋，则通项公式a n ＝________.14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N ＋或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图像是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图像可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图像呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N ＋)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N ＋)都成立．§1 数列 1．1 数列的概念答案知识梳理1．次序 2.有穷无穷 3.通项作业设计 1．B 2.A3．D [令n ＝1,2,3,4代入验证即可．]4．C [n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．]5．C [令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C .]6．D [∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.]7．4,7,10,15 8．10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n(n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.9．a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 10．55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.11．解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N ＋)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n (n ∈N ＋)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n ·2n－32n (n ∈N ＋)． (4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N ＋)．(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N ＋)．12．(1)解设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)解令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N ＋，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎨⎧n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N ＋，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.13．a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2 解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b2，故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2.14．解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.1．2 数列的函数特性知识梳理2．正整数集N ＋函数值 3.第2项 a n ＋1>a n 第2项 a n ＋1<a n 都相等作业设计1．A 2.B 3.B4．C [a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.]5．C [计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.]6．C [∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图像上，在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图像，由图像易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1，当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减，∴a 10>a 11>…>a 30>1. 所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.]7．3·21－n 8．12 9.n (n ＋1)2解析 ∵a 1＝1，且a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N ＋)．∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n －1a n －2·a n a n －1＝31·42·53·…n n －2·n ＋1n －1，即a n ＝n (n ＋1)2. 10．－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N ＋⇔λ≥－3.11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2， ∴a 2 010＝2.12．解因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤(n ＋2)－109(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9，则当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n9>0，当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n9＝0，当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108.13．－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)，∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；… …a n －a n －1＝1(n －1)n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n.∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n.14.1n解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0， ∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0.方法一 a n ＋1a n ＝nn ＋1.∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， ∴a n a 1＝1n. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n.方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1，∴na n ＝1，a n ＝1n .。

2018秋新版高中数学北师大版必修5：第一章数列 1.1.2

1.2 数列的函数特性
-1-
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1.了解数列是一种特殊的函数. 2.了解数列的图像表示,掌握数列的增减性的判断.
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典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
∵
�� +1 ��
=
�� + 1 3�� + 4
�� 3�� + 1
=
(��
+ 1)(3�� + (3�� + 4)��
1)
=
3��2 + 4�� + 3��2 + 4��
n
1
2
3
4
an
(2)在直角坐标系中,画出数列{an}的图像. 解:(1)填表如下:
n
1
2
3
4
an
1
3
9
27
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题型一题型二题型三题型四
(2)数列{an}的图像如图所示:
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7,且{an}是递增数列,则实数
a
的
取值范围是( )
A.
9 4
,3

2018-2019版数学学导练必修五北师大版实用课件第一章数列1.1.2

��
3��-1
3��+2
=
6��2 +4�� , 6��2 +4��-2
当 n∈N+时,an>0,an+1>0, ��+1 所以 �� >1,从而 an+1>an,
��
故{an}是递增数列.
3 1 解法三: 令 = − , 2 2�� 1 因为当 x∈[1,+∞)时,y=2��是减少的,所以 3��-1 f(x)= 2�� 3 1 f(x)=2 − 2��是增加的,
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思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)数列若用图像表示,则从图像上看是一群孤立的点. ( ) (2)在数列{an}中,若存在m,n∈N+,当m<n时有am<an成立,则数列 {an}是递增数列. ( ) (3)数列不一定有通项公式. ( ) (4)数列1,3,5,7,…,2n-1可以看作函数y=2x-1,当x取1,2,3,…,n时,对应函数值的集合. ( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
n 1 an -7 2 -12 3 -15 4 -16 5 -15 6 -12 7 -7 8 0 9 9 … …
描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像. (1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),…
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高中数学北师大版必修5同步课件第1章数列 §1 第2课时

在直角坐标系中图像如下：
[方法总结]
(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间
的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系；(2)数列an＝3n－1的图像是函数y＝3x－1(x>0)上的无穷多个孤立的点．
已知数列 {an} 的通项公式为 an ＝ 2n － 1 ，作出该数列的图
确定数列{an}的增减性．
[ 证明]
n2 对于任意 n∈N＋，由公式 an＝ 2 ，有 n ＋1
n＋12 n2 1 an ＋ 1 － an ＝－ 2 ＝ [1 － ] － (1 － 2 2 n＋1 ＋1 n ＋1 n＋1 ＋1 1 ) n2＋1 ＝ 1 n2＋1 － 1 n＋12＋1 ＝ n＋12－n2 n2＋1[n＋12＋1] ＝
[解析] 因为 an
＋
1
2n＋1 2n － an ＝－＝ 3n＋1＋1 3n＋1
2 >0，所以 an＋1>an，故该数列是递增数列． 3n＋43n＋1
5 ．已知数列的通项公式为 an ＝－ 4n ＋ 10 ，则数列是 ______数列．(填递增或递减) [答案] 递减 [解析] ∵an＋1－an＝－4(n＋1)＋10－[－4n＋10]＝－4<0. ∴an＋1<an，∴数列为递减数列．
)
[ 答案]
C
[ 解析]
1 1 1 数列 1，3，32，33，…是无穷数列，但它不是递增
π 2π 3π 4π 数列，而是递减数列；数列 sin13，sin13，sin13，sin13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1， 1 1 1 －2，－3，－4， …是无穷数列，也是递增数列；数列 1,2,3,4， …， 30 是递增数列，但不是无穷数列．

高一数学优质课件：第一章数列§1 1.2 数列的函数特性北师大版必修五

1.数列的概念是什么. 2.数列的通项公式的含义是什么.
由上节课的学习我们知道数列可以看作定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.
而数列的通项公式就类似于函数的解析式，因此研究数列的性质我们就可以借助数列的通项公式，而且数列的表示形式也和函数一样，有多种表示方法，下面来看几个例子.
an+1<an,那么这个数列叫作递减数列. 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.
例3 判断下列无穷数列的增减性.
（1）2,1,0，1,,3 n,
(2) 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
解 (1)设an 3 n，那么
an1 3 (n 1) 2 n,
2 (1)n ; 5
(3)an

n
1
(1)n (n 2
1)
解：(1)an1

an

n 1 n2

n n 1

(n 1)2 (n 2)n (n 1)(n 2)

(n
1 1)(n

2)
,
an1 an 0 ，所以数列{an} 为递增数列.
（2）方法1：
例4 作出数列 1 , 1 , 1 , 1 ,, ( 1 )n , 的图像，
并分析数列的增减性.2 4 8 16
2
an
1
2
1
●
41
3ห้องสมุดไป่ตู้
5
●
O
2
4 ●n
●
1 4
1

●
2
图4

北师大版高中必修5第一章数列课程设计

北师大版高中必修5第一章数列课程设计一、背景数列是数学中一种基本的概念，也是高中数学必修的一个章节。

数列的概念不仅在数学中有广泛的应用，也涉及到某些实际问题的策略和方法。

因此，数列的学习对高中数学的日常课程以及未来的学习和发展有重要的影响。

二、课程设计目标通过本课程，学生应该能够达到以下目标：•掌握数列的概念和性质；•熟练进行数列的公式推导及题目求解；•对数列的应用能够有一定的理解和掌握。

三、教学内容3.1 数列的概念1.数列概念1.等差数列的概念2.等比数列的概念3.斐波那契数列的概念2.数列的性质1.数列有界性及数列极限的概念2.数列的递推公式及通项公式3.2 数列的基本操作1.求和公式的推导及实际应用2.数列基本操作题目讲解及习题完成3.3 数列的应用1.数列在实际问题中的应用2.数列应用题目讲解及习题完成四、教学步骤4.1 第一课时4.1.1 导入数列是数学中的一个基础概念，本章的教学将介绍所涉及到的数列类型及数列的基本性质，让同学们对此有一个清晰的认识。

4.1.2 引入本节课将主要讲解等差数列的概念及性质，包括差、首项、公差等。

学生应该学会如何求出等差数列的通项公式及其与和式的关系。

4.1.3 操作1.老师首先讲解等差数列的概念及性质。

2.引导学生完成一系列简单的等差数列题目，以掌握其推导和应用方法。

3.最后让学生独立完成几道综合性的等差数列应用题目。

4.2 第二课时4.2.1 导入本节课将主要讲解等比数列的概念及性质，包括比、首项、公比等。

学生应该学会如何求出等比数列的通项公式及其与和式的关系。

4.2.2 引入本章主要讲解斐波那契数列的概念及其应用，引导学生从一个简单的问题入手，渐渐深入到一系列的高层应用。

4.2.3 操作1.老师首先讲解等比数列的概念及性质。

2.引导学生完成一系列简单的等比数列题目，以掌握其推导和应用方法。

3.最后让学生独立完成几道综合性的等比数列应用题目。

4.3 第三课时4.3.1 导入数列学习的最后一个环节是数列的应用，是这个学习过程的重点，将深入介绍数列在实际问题中的应用。

2018-2019版数学新设计同步北师大版必修五讲义：第一

3.2 等比数列的前n 项和学习目标 1.理解并掌握等比数列前n 项和公式及其推导过程(重点)；2.能应用前n 项和公式解决等比数列有关问题(难点).预习教材P26－29，完成下列问题：知识点一等比数列的前n 项和公式【预习评价】(1)等比数列{a n }中，首项a 1＝8，公比q ＝12，那么它的前5项和S 5的值为( ) A.312 B.332 C.352 D.372 (2)等比数列{a n }中，a n ＝2n ，则它的前n 项和S n ＝( )A .2n －1 B.2n －2 C .2n ＋1－1 D.2n ＋1－2答案 (1)A (2)D知识点二等比数列前n 项和的性质(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q .若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ；(2)数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，则：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍构成等比数列，其公比为q n (q ≠－1).(3)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n ·S m . 【预习评价】1.在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A .140B.120C .210 D.520解析 ∵S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80， ∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140. 答案 A2.等比数列{a n }的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是( ) A .28 B.48 C .36D.52解析易知S m ＝4，S 2m －S m ＝8， ∴S 3m －S 2m ＝16， ∴S 3m ＝12＋16＝28. 答案 A题型一等比数列前n 项和的基本运算【例1】在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . 解 (1)由题意知⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝30，a 1（1＋q ＋q 2）＝155，解得⎩⎨⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.(2)法一由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝312. 法二由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6，得q 3＝18，从而q ＝12. 又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，所以a 1＝8，从而S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根. 从而⎩⎨⎧a 1＝2，a n ＝64或⎩⎨⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q 为2或12.规律方法等比数列前n 项和的运算技巧(1)在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(2)在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 列方程组求解. 特别提醒：等比数列的公比q 一定不为0. 【训练1】在等比数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n . 解 (1)由S n ＝a 1－a n q 1－q 得112＝2－162q1－q， ∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得162＝2(－2)n －1， ∴n ＝5.(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不合题意，∴q ≠1，∴S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝1，S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4， ∴q ＝2或q ＝－2，当q ＝2时，a 1＝115，a n ＝115·2n －1；当q ＝－2时，a 1＝－15，a n ＝－15·(－2)n －1.【探究1】已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋r ，则r 的值是( ) A.1 B.0 C.2D.－1解析当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q q n，∴r ＝－1.答案 D【探究2】已知等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1为( ) A.65 B.56 C.20D.110解析由题意得a 1·a 1q 2·a 1q 4…a 1q 2n a 1qa 1q 3…a 1q 2n －1＝a 1q 1＋1＋…＋1n 个＝a 1q n ＝a n ＋1＝100120＝56. 答案 B【探究3】已知等比数列{a n }中，前10项和S 10＝10，前20项和S 20＝30，求S 30.解因为S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列，又S 10＝10，S 20＝30，所以S 30－S 20＝S 30－30＝（30－10）210，即S 30＝70.【探究4】在等比数列{a n }中，对任意n ∈N ＋，均有a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 21＋a 22＋…＋a 2n .解由题意设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，显然S n ＝2n －1. 令n ＝1，得a 1＝S 1＝1；令n ＝2，得a 1＋a 2＝3，∴a 2＝2，∴公比q ＝a 2a 1＝2，∴a n ＝a 1·q n －1＝2n －1，(n ∈N ＋).又∵a 2n ＋1a 2n＝（2n ）2（2n －1）2＝4，∴数列{a 2n }是首项为1，公比为4的等比数列.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21（1－4n ）1－4＝1－4n1－4＝13(4n －1). 规律方法 (1)若数列{a n }为等比数列，则{a 2n }也为等比数列，另外以下结论也常用到：若{a n }、{b n }为等比数列，则{a n ·b n }也为等比数列.(2)若一个数列的前n 项和为S n ＝c －c ·q n (q ≠1)，则数列{a n }为等比数列. (3)在等比数列中S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列，这个结论还可推广为：在等比数列中，连续k 项之和成等比，如a 1＋a 2＋…＋a k ，a 2＋a 3＋…＋a k ＋1，a 3＋a 4＋…＋a k ＋2，…为等比数列.题型三等比数列前n 项和的实际应用【例2】从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式.解 (1)第一年投入为800万元，第二年投入为800⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，……，第n 年的投入为800⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元.所以，n 年内的总投入为：a n ＝800＋800⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋…＋800⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1＝4 000－4 000⎝ ⎛⎭⎪⎫45n；第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，……，第n 年旅游业收入为400⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为b n ＝400＋400⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋400⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1＝1600⎝ ⎛⎭⎪⎫54n－1 600. 规律方法在解数列应用题时，不要被题目的设计背景所干扰，应该把对题目的背景的阅读当成是一件快乐的事情，不应因应用题的阅读量大避而远之，要知道应用题的设计体现的就是人文关怀，解答时要分清等差数列与等比数列的不同表示语句，从而更好的解决问题.【训练2】某商场2017年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从2017年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(lg 1.6≈0.2，lg 1.1≈0.04)?解根据题意，每年比上一年销售量增加10%，所以，从2017年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000，由等比数列前n 项和公式得 5 000（1－1.1n ）1－1.1＝30 000，整理，得1.1n ＝1.6，两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6，所以n ＝lg 1.6lg 1.1≈0.20.04＝5(年).故大约5年可使总销售量达到30 000台.课堂达标1.若等比数列{a n }的各项都是正数，且a 1＝16，a 5＝81，则S 5等于( ) A.179 B.211 C.243D.275解析由a 5＝a 1q 4得q 4＝a 5a 1＝8116，又因为q >0，所以q ＝32，所以S 5＝a 1－a 5q1－q＝16－81×321－32＝211. 答案 B2.在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A.4 B.－4 C.2D.－2解析利用等比数列前n 项和公式，得a 1[1－（－2）5]1－（－2）＝44，解得a 1＝4.答案 A3.等比数列中，S 2＝7，S 4＝28，则S 6＝________. 解析法一设该等比数列的首项为a 1，公比为q ，易知 q ≠1，则⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝7，a 1（1－q 4）1－q ＝28，两式相除，得1＋q 2＝4，所以q 2＝3，所以S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝a 1（1＋q ）（1－q ）（1＋q 2＋q 4）1－q＝7×(1＋3＋32)＝91.法二由等比数列前n 项和的性质，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，所以(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即(28－7)2＝7×(S 6－28)，解得S 6＝91. 答案 914.某厂2017年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从2018年起5年内，该厂的总产值为________.解析 5年产值分别为a (1＋10%)，a (1＋10%)2，a (1＋10%)3，a (1＋10%)4，a (1＋10%)5，则总产值S ＝1.1a （1－1.15）1－1.1＝11(1.15－1)a . 答案 11(1.15－1)a5.在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n . 解 ∵S 6≠2S 3，∴q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝72 ①a 1（1－q 6）1－q ＝632 ②②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.将q ＝2代入①中得a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12·2n －1＝2n －2，即a n ＝2n －2.课堂小结1.等比数列的前n 项和公式共涉及五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，其中a 1和q 为基本量，且五个量“知三可求二”；在解决等比数列问题中，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯.2.在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质.3.利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型.要确定a 1与项数n 的实际含义，同时要搞清是求a n 还是求S n 的问题.基础过关1.等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B.－13 C.19D.－19解析由题知q ≠1，则S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19. 答案 C2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A.3 B.4 C.5D.6解析 3S 3－3S 2＝3a 3＝a 4－a 3⇒a 4＝4a 3⇒q ＝4. 答案 B3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A.2B.73 C.83 D.3 解析由题意知S 6S 3＝a 1（1－q 6）1－q a 1（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1（1－q 9）1－q a 1（1－q 6）1－q ＝1－q 91－q6＝1－（q 3）31－（q 3）2 ＝1－81－4＝73.答案 B4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析 ∵S 6＝4S 3，∴a 1（1－q 6）1－q ＝4a 1（1－q 3）1－q ，解得q 3＝3.∴a 4＝a 1q 3＝3. 答案 35.数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝8，则S 12＝________. 解析由等比数列前n 项和的性质，知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，即(S 8－S 4)2＝S 4(S 12－S 8)，又S 4＝2，S 8＝8，故S 12＝26. 答案 266.在等比数列{a n }中，a 3－a 1＝8，a 6－a 4＝216，S n ＝40.求公比q ，a 1及n . 解显然公比q ≠1，由已知可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2－a 1＝8，a 1q 5－a 1q 3＝216，a 1（1－q n ）1－q ＝40，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3，n ＝4.7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解当q ＝1时，S n ＝na 1，∴S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；∴q ≠1.当q ≠1时，a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2×a 1（1－q 9）1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍)或q 3＝0(舍)，∴q ＝－342.能力提升8.已知{a n }是等比数列，a 3＝1，a 6＝18，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( ) A.16(1－4－n ) B.16(1－2－n ) C.323(1－4－n )D.323(1－2－n )解析 ∵a 3＝1，a 6＝18，∴q ＝12，∴a 1＝4，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n ).答案 C9.已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.19(1－3－10)C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)解析因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列. 因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10). 答案 C10.等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 22＝a 1a 4，若a 1，a 3，ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，则k n ＝________.解析由题意得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，∴a 1＝d ，∴q ＝a 3a 1＝3a 1a 1＝3. ∴ak n ＝9a 1×3n －1＝k n a 1，∴k n ＝9×3n －1＝3n ＋1.答案 3n ＋111.在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析 ∵a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(－2)n －1，∴|a n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝2n －2， ∴|a n |的前n 项和为12（1－2n ）1－2＝12(2n －1). 答案 12(2n －1)12.设等比数列{a n }的公比q ＜1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式.解由题设知a 1≠0，S n ＝a 1（1－q n ）1－q，则 ⎩⎨⎧a 1q 2＝2， ①a 1（1－q 4）1－q＝5×a 1（1－q 2）1－q ， ②由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0.(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0，因为q ＜1，解得q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1＝2(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1＝(－1)n －12n －2.13.(选做题)已知数列{a n }是等比数列，其中a 7＝1，且a 4，a 5＋1，a 6成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)数列{a n }的前n 项和记为S n ，证明：S n <128(n ＝1，2，3，…). 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q ∈R 且q ≠1)，由a 7＝a 1q 6＝1，得a 1＝q －6，从而a 4＝a 1q 3＝q －3， a 5＝a 1q 4＝q －2，a 6＝a 1q 5＝q －1，因为a 4，a 5＋1，a 6成等差数列，所以a 4＋a 6＝2(a 5＋1)，即q －3＋q －1＝2(q －2＋1)，q －1(q －2＋1)＝2(q －2＋1).所以q ＝12.故a n ＝a 1q n －1＝q －6·q n －1＝q n －7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －7. (2)由(1)知a 1＝q －6＝64，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝64⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝128⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <128.。

2018-2019版数学新设计同步北师大版必修五课件：第一

【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
2 3 4 5 n (1)数列3，4，5，6，…的通项公式是 an＝ .( × ) n＋1 (2)数列的图像是一群孤立的点.( √ ) (3)数列 1，－1，1，－1，…与数列－1，1，—1，1，…是同一数列.( × )
知识点二
数列的增减性
递增数列；若 an ＋ 1<an ，在数列 {an}中，若 an ＋ 1>an ，则{an} 是 ______
n＋1 n ＋1 ∴an＋1＝＝ . 3（n＋1）＋1 3n＋4 法一 n＋1 n an＋1－an＝－ 3n＋4 3n＋1
（n＋1）（3n＋1）－n（3n＋4）＝（3n＋4）（3n＋1） 1 ＝，（3n＋4）（3n＋1） ∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即
n an＋1>an，∴数列 3n＋1为递增数列.
列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.
解
设
an－1≤an， an 为最大项，则即 an≥an＋1
10n－1 10n ， ≤ （ n ＋ 1 ） n× 11 11 解得 9≤n≤10. 10n 10n＋1 （n＋1） ≥（n＋2）， 11 11
法二
∵n∈N＋，∴an>0. n＋1 an＋1 3n＋4 （n＋1）（3n＋1） 3n2＋4n＋1 1 ∵ a ＝ n ＝＝＝1＋ 2 >1 ， 2 （ 3 n ＋ 4 ） n 3 n ＋ 4 n 3 n ＋ 4 n n 3n＋1 ∴an＋1>an， n ∴数列 3n＋1为递增数列. x 法三令 f(x)＝ (x≥1)，则 3x＋1

2018版高中数学北师大版必修五学案：第一章 1.2 数列

1.2数列的函数特性学习目标 1.理解数列的几种表示方法.2.能从函数的观点研究数列．知识点一数列的表示方法思考以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？梳理数列的表示方法有____________法、________法、列表法、递推公式法．知识点二数列的增减性思考观察知识点一中数列2,4,6,8，…的图像，随着n的增大，a n有什么特点？梳理一般地，按项的增减趋势分类，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n＋1____a n，那么这个数列叫作____________；从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即a n＋1____a n，那么这个数列叫作____________；各项相等的数列叫作____________；从第2项起，有些项小于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫作____________．类型一数列的表示方法例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在4个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．反思与感悟由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与序号之间的联系，善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的．跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．类型二数列的增减性命题角度1判断数列的增减性例2判断数列{nn＋1}的增减性．反思与感悟对于无穷数列，不可能从第2项起逐项验证是否大于前一项．故需考察a n ＋1－a n 的正负来研究数列的增减性．跟踪训练2 若数列{n 2＋λn }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．命题角度2 求数列中的最大项与最小项例3 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)(1011)n (n ∈N ＋)．(1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．反思与感悟数列中最大项与最小项的两种求法(1)若求最大项a n ，则a n 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，若求最小项a n ，则a n 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.(2)将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n ∈N ＋这一条件．跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －122n －7，求数列{a n }的最大项和最小项．1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋2n ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系． 2．数列的表示方法：(1)图像法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．3．判断数列增减性的办法一般是作差：a n ＋1－a n ，通过判断差的正负来判断数列{a n }的增减性．当a n >0，也可用作商法与1比较大小判断数列的增减性．通过判断数列在各区间上的增减性，可求出数列的最大项与最小项．答案精析问题导学知识点一思考对数列2,4,6,8,10,12，…可用以下几种方法表示： ①通项公式法：a n ＝2n .②递推公式法：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N ＋.③列表法：④图像法：梳理通项公式图像知识点二思考图像上升，a n 随n 增大而增大．梳理 > 递增数列 < 递减数列常数列摆动数列题型探究例1 解这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n ＝3n －1.在直角坐标系中的图像为一些孤立的点(如图所示)．跟踪训练1 55例2 解设a n ＝nn ＋1，则a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－nn ＋1＝1(n ＋2)(n ＋1)>0，∴{n n ＋1}是递增数列．跟踪训练2 (－3，＋∞) 解析设a n ＝n 2＋λn ，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ>0对任意n ∈N ＋恒成立． ∴(2n ＋1＋λ)min ＝3＋λ>0， ∴λ>－3.例3 (1)证明令a na n －1>1(n ≥2)，即(n ＋1)·(1011)nn ·(1011)n －1>1，整理得n ＋1n >1110，解得n <10.令a na n ＋1>1，即(n ＋1)·(1011)n(n ＋2)·(1011)n ＋1>1.整理得n ＋1n ＋2>1011，解得n >9.所以数列{a n }从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{a n }先增后减．(2)解由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大．跟踪训练3 解因为a n ＋1－a n ＝4n －82n －5－4n －122n －7＝(4n －8)(2n －7)－(4n －12)(2n －5)(2n －5)(2n －7)＝(8n 2－44n ＋56)－(8n 2－44n ＋60)(2n －5)(2n －7)＝－4(2n －5)(2n －7)＝－1(n －52)(n －72)当n ≤2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ；当n ＝3时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ≥4时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 又当n ≤3时，a n <2；当n ≥4时，a n >2.所以a 4>a 5>…>a n >…>2>a 1>a 2>a 3.故数列{a n }的最大项为a 4＝4，最小项为a 3＝0. 当堂训练1．B 2.B 3.a n ＝2n ＋1。

北师版数学必修5讲义：第1章 1.1 数列的概念

§1数列1．1数列的概念1．了解数列通项公式的概念．2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点)3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重、难点)[基础·初探]教材整理1数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题．1．数列的有关概念2.(1)一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…；(2)字母表示：上面数列也记为{a n}．3．数列的分类判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1,2，－2,5，－3可以构成数列．( ) (2)1,2,3,4,5,6,7是无穷数列．( ) (3)数列中的项不能相等．( )【解析】 (1)由数列的概念知该列数可以构成数列． (2)是有穷数列，要表示无穷数列，应把“…”放在“7”后． (3)由数列的概念知，数列中的项可以相等．【答案】 (1)√(2)× (3)× 教材整理2 通项公式阅读教材P 5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题． 1．如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．2．数列可以看作是定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．(1)数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2＋2n ＋1，则数列中的第4项为________． (2)若数列的通项公式为an ＝2n －1，则a n ＋1＝________. 【解析】 (1)当n ＝4时，a 4＝3×42＋2×4＋1＝57. 【答案】 57(2)a n ＋1＝2(n ＋1)－1＝2n ＋1. 【答案】 2n ＋1[小组合作型]。

2019-2020版数学新设计同步北师大版必修五讲义：第一章数列 2.1(二) Word版含答案

2.1 等差数列(二)学习目标 1.掌握“判断数列是否为等差数列”常用的方法(重点)；2.掌握等差数列的通项公式、性质及其应用(难点).预习教材P13－14，完成下列问题：知识点一等差数列的函数特性由等差数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，可知其图像是直线y ＝dx ＋(a 1－d )上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d 是该直线的斜率.当d >0时，{a n }为递增数列；当d <0时，{a n }为递减数列；当d ＝0时，{a n }为常数列.【预习评价】(1)等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋7.则该数列为单调递________数列.(填“增”或“减”)(2)若等差数列a n ＝(2a －1)n ＋a 为单调递增数列，则a 的范围是________.答案 (1)减 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 知识点二等差中项的概念如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b的等差中项，即A ＝a ＋b 2.【预习评价】(1)－4与8的等差中项为________.(2)3与a 的等差中项为4，则a 的值为________.答案 (1)2 (2)5知识点三等差数列的常用性质(1)m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别地若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(2)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 也成等差数列；(3)若数列{a n }成等差数列，则a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )；(4)若数列{a n }成等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 为常数)仍为等差数列；(5){a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }也是等差数列.【预习评价】(1)等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)是( )A .公差为d 的等差数列B .公差为cd 的等差数列C .不是等差数列D .以上都不对(2)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10等于( )A .12B.16C.20D.24答案 (1)B (2)B题型一等差数列的性质及应用【例1】 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值.解 (1)法一根据等差数列的通项公式，得a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d .由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13.∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.法二根据等差数列性质a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)，∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2，∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)，∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.规律方法等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这类问题，在解题过程中通常要考虑利用等差数列的性质，尤其要注意利用性质“若m ，n ，p ，k ∈N ＋，且m ＋n ＝p ＋k ，则有a m ＋a n ＝a p ＋a k ，其中a m ，a n ，a p ，a k 是数列中的项.特别地，当m ＋n ＝2p 时，有a m ＋a n ＝2a p ”，从而将问题解决.【训练1】在等差数列{a n }中：(1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；(2)a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列a 1＋a 20等于________. 解析 (1)a 1＋2a 4＝a 1＋(a 3＋a 5)＝(a 1＋a 5)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝15.(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20＝18.答案 (1)15 (2)18【例2】已知a ，b ，c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列. 证明因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以(b ＋c )＋(a ＋b )＝a ＋2b ＋c ＝a ＋(a ＋c )＋c ＝2(a ＋c )，所以b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列.【迁移1】本例条件不变，证明a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )成等差数列. 证明因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b ，所以a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b )－2b 2(c ＋a )＝a 2c ＋c 2a ＋ab (a －2b )＋bc (c －2b )＝a 2c ＋c 2a －2abc ＝ac (a ＋c －2b )＝0，所以a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b )＝2b 2(c ＋a )，所以a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )成等差数列.【迁移2】将条件改为“1a ，1b ，1c 成等差数列”，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列.证明因为1a ，1b ，1c 成等差数列，所以2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b (a ＋c ).因为b ＋c a ＋a ＋b c ＝c （b ＋c ）＋a （a ＋b ）ac ＝c 2＋a 2＋b （a ＋c ）ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac＝2（a ＋c ）2b （a ＋c ）＝2（a ＋c ）b ，所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 成等差数列.【迁移3】将例题条件改为“1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b成等差数列”，试证：a 2，b 2，c 2成等差数列.证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 成等差数列，∴2c ＋a ＝1b ＋c ＋1a ＋b .∴2(b ＋c )·(a ＋b )＝(a ＋c )(a ＋c ＋2b )，∴2b 2＝a 2＋c 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列.规律方法判断一个数列是等差数列的方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列.(2)通项法：a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{a n}是等差数列.(3)等差中项法：2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2且n∈N＋)⇔{a n}是等差数列.题型三等差数列的实际应用【例3】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请根据提供的信息，求(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？(3)哪一年的规模最大？解由图知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10.第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，则c n ＝a n b n .(1)由a 1＝1，a 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋5d 1＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d 1＝0.2，得a 2＝1.2；由b 1＝30，b 6＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，b 1＋5d 2＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，d 2＝－4，得b 2＝26.所以c 2＝a 2b 2＝1.2×26＝31.2.所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只.(2)c 6＝a 6b 6＝2×10＝20<c 1＝a 1b 1＝30，所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.(3)因为a n ＝1＋(n －1)×0.2＝0.2n ＋0.8，b n ＝30＋(n －1)×(－4)＝－4n ＋34(1≤n ≤6，n ∈N ＋)，所以c n ＝a n b n ＝(0.2n ＋0.8)(－4n ＋34)＝－0.8n 2＋3.6n ＋27.2(1≤n ≤6，n ∈N ＋).因为对称轴为n ＝94，所以当n ＝2时，c n 最大.所以第2年的规模最大.规律方法 (1)在实际问题中，若涉及与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.(2)在利用数列方法解决问题时，一定要分清首项、项数等关键量.【训练2】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A.1升B.6766升C.4744升D.3733升解析设竹子自上而下各节的容积所成等差数列为{a n }，其公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766.故选B.。

新版高中数学北师大版必修5课件：第一章数列 1.2.2.1

A.15 B.16 C.49 D.64
解析:a8=S8-S7=82-72=15. 答案:A
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做1-2】数列{an}的前n项和Sn=n2-n+1,则数列{an}的通项
公式为
.
解析:∵Sn=n2-n+1,
且 ��
=
7�� + 2 �� + 3
,
求
��5 ��5
的值.
分析:利用等差数列的性质与等差数列前n项和的推导方法倒序
相加.
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
题型一题型二题型三
(2)若Sn=242,求n.
分析:(1)由 a10=30,a20=50,列出关于 a1,d 的方程组,可得 an;(2)由
Sn=na1+��(��2��-1)d,列出关于 n 的方程,求出 n 即可.
解:(1)设数列{an}的首项为
a1,公差为
d,则
��1 ��1
+ +
91��9��==305,0,解得
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-n+1-(n-1)2+(n-1)-1=2n-2;
当n=1时,a1=S1=1,不符合上式.
∴an=
1,�� = 1, 2��-2,�� ≥ 2.
答案:an=
1,�� = 1, 2��-2,�� ≥ 2

2018-2019学年高二数学北师大版必修5课件：第一章数列 1复习课1

S随堂演练
UITANGYANLIAN
5
5一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项
的和的比为32∶27,求该数列的公差d.
解:设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差
数列的公差为d.
奇 + 偶 = 354,
由已知条件,得
偶 ∶ 奇 = 32 ∶ 27,
∴Sn(1+2Sn-1)=Sn-1.
由上式知若 Sn-1≠0,则 Sn≠0.
∵S1=a1≠0,∴由递推关系知 Sn≠0(n∈N+).
1
1
由①式得 −
=2(n≥2).

-1
1
1
1
∴ 是等差数列,其中首项为 = =2,公差为

1
1
1
1
1
1
(2)解 ∵ = +2(n-1)= +2(n-1),∴Sn= .
解析:数列{an}为等差数列,则am-1+am+1=2am,
2
2
则 am-1+am+1−
− 1 = 0 可化为2am −
− 1 = 0,
解得am=1.
又S2m-1=(2m-1)am=39,则m=20.故选B.
答案:B
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1
2
3
4
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
由①②得d=-2,
∴a9=a7+2d=-2+2×(-2)=-6.
答案:A
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI

2019-2020版数学新设计同步北师大版必修五讲义：第一章数列 2.1(一) Word版含答案

§2 等差数列2.1 等差数列(一)学习目标 1.理解等差数列的概念(重点)；2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用(难点).预习教材P10－12，完成下列问题：知识点等差数列的概念及通项公式【预习评价】(1)在等差数列{a n }中，a 1＝2，d ＝2，则a n ＝________.(2)已知等差数列中，a n ＝2n ＋3，则a 1＝________，d ＝________.(3)等差数列2，6，10，14，…的通项公式为________.答案 (1)2n (2)5 2 (3)a n ＝4n －2题型一等差数列的概念及通项公式【例1】 (1)下列数列中，递增的等差数列有( )①1，3，5，7，9；②2，0，－2，0，－6，0，…；③19，29，39，49，…；④0，0，0，0，…；⑤2－1，2，2＋1.A.1个B.2个C.3个D.4个(2)在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }是( )A.公差为1的等差数列B.公差为12的等差数列C.公差为2的等差数列D.不是等差数列解析 (1)等差数列有①③④⑤，其中递增的为①③⑤，共3个，④为常数列.(2)∵a n ＋1＝a n ＋12，∴a n ＋1－a n ＝12(n ∈N ＋)，∴数列{a n }是以12为公差的等差数列.答案 (1)C (2)B规律方法 (1)判断一个数列是不是等差数列，只需看a n ＋1－a n (n ≥1)是不是一个与n 无关的常数.(2)判断一个等差数列是不是递增数列，只需看数列{a n }的公差d 是否大于0.【训练1】若{a n }是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有( ) ①{|a n |}；②{a n ＋1－a n }；③{pa n ＋q }(p ，q 为常数)；④{2a n ＋n }.A.1个B.2个C.3个D.4个解析设a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)，则a n ＋1－a n ＝k ，故②为常数列，也是等差数列.pa n ＋q ＝p (kn ＋b )＋q ＝pkn ＋(pb ＋q )，故③为等差数列，2a n ＋n ＝2(kn ＋b )＋n ＝(2k ＋1)n ＋2b ，故④为等差数列.①未必，如a n ＝2n －4，则{|a n |}的前4项为2，0，2，4，显然{|a n |}不是等差数列.答案 C题型二等差数列通项公式的应用【例2】 (1)已知数列{a n }为等差数列且a 5＝11，a 8＝5，求a n ；(2)求等差数列10，8，6，…的第20项；(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解 (1)设数列{a n }的公差为d .由等差数列的通项公式及已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2.∴a n ＝19＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋21.(2)由于a 1＝10，d ＝－2，∴a n ＝10＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋12.∴a 20＝－2×20＋12＝－28.(3)由于a 1＝2，d ＝7，∴a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5.由7n －5＝100，得n ＝15.∴100是这个数列的第15项.规律方法 (1)已知等差数列的某两项，可利用等差数列的通项公式列出a 1，d 的二元一次方程组.求出首项a 1及公差d ，从而可求数列的其他项，体现方程的思想.(2)求a 1和d 的常用方法是基本量法，即根据条件列关于a 1和d 的方程(组)求解.(3)等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 中含有四个量，已知其中的三个量，可求得另一个量.【训练2】在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项.(2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝15，a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5.令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项.(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1，∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ，所以a 10＝13－10＝3.【探究1】已知数列{a n }满足a n ＝6n ＋1，试判断这个数列是不是等差数列. 证明法一 ∵a n ＋1－a n ＝6(n ＋1)＋1－6n －1＝6为常数，∴数列{a n }为等差数列.法二 ∵a n ＝6n ＋1＝7＋(n －1)×6∴数列{a n }是首项为7，公差为6的等差数列.【探究2】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 为常数，且p ≠0，求证数列{a n }为等差数列.证明 ∵a n ＝pn ＋q ，∴a n ＋1－a n ＝p (n ＋1)＋q －pn －q ＝p ，又p 为常数，∴数列{a n }为等差数列.【探究3】已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列.证明 ∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2（a n －2）－1a n －2＝a n －22（a n －2）＝12. 又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列.【探究4】已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }满足x n ＝f (x n －1)，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为等差数列.证明由x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， 1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N ＋). ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列. 【探究5】已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3).(1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求{a n }的通项公式.解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)，∴{a n }不是等差数列.(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2.当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3，又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1），2n －3 （n ≥2）.规律方法证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可.课堂达标1.等差数列{1－3n }，公差d 等于( )A.1B.3C.－3D.n解析 ∵a n ＝1－3n ，∴a 1＝－2，a 2＝－5，∴d ＝a 2－a 1＝－3.答案 C2.下列命题：①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；②数列a ，a －1，a －2，a －3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成a n ＝kn ＋b 的形式(k ，b 为常数)；④数列{2n ＋1}是等差数列.其中正确命题的序号是( )A.①②B.①③C.②③④D.③④解析 ②③④正确，①中公差为－2.答案 C3.在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，d ＝－2，a n ＝1，则n ＝________. 解析因为a 5＝11，d ＝－2，所以a 1＋4×(－2)＝11，所以a 1＝19，所以a n ＝19＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋21.令－2n ＋21＝1，得n ＝10.答案 104.等差数列{a n}：－3，－7，－11，…的一个通项公式为________.解析a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，所以a n＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1. 答案a n＝－4n＋15.判断下列数列是否是等差数列.(1)在数列{a n}中，a n＝3n＋2；(2)在数列{a n}中，a n＝n2＋n.解(1)a n＋1－a n＝[3(n＋1)＋2]－(3n＋2)＝3，所以{a n}是等差数列.(2)a n＋1－a n＝[(n＋1)2＋n＋1]－(n2＋n)＝2n＋2，所以a2－a1＝4，a3－a2＝6，因为a2－a1≠a3－a2，所以{a n}不是等差数列.课堂小结1.等差数列的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d，已知a1，n，d，a n这四个量中的三个，可以求得另一个量.2.等差数列的判定关键是看a n＋1－a n(或a n－a n－1(n≥2))是否为一个与n无关的常数.3.对于通项公式的理解.a n＝a1＋(n－1)d⇒a n＝nd＋(a1－d)，所以，当d≠0时，a n是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，当d＝0时，等差数列{a n}为常数列：a1，a1，a1，…，a1，…基础过关1.在等差数列{a n}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于()A.－9B.－8C.－7D.－4。