函数的单调性

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函数单调性的概念)

函数单调性的概念
目录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 反例与特殊情况
01 函数单调性的定义
单调增函数
01
02
03
总结词
单调增函数是指函数在某个区间内，随着自变量的增加，函数值也单调增加的函数。
详细描述
单调增函数的定义是，对于任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函数$f(x)$满足 $f(x_1) leq f(x_2)$，则称 $f(x)$在区间$[x_1, x_2]$ 上单调增。
单调函数的连续性是其基本性质之一。在单调递增的函数中，如果函数在某一点的左侧小于该点的值，那么在该点的右侧也必然小于该点的值，即函数值随着自变量的增大而增大。同样地，在单调递减的函数中，函数值随着自变量的增大而减小。因此，单调函
数在其定义域内是连续的，不存在间断点。
单调函数的可导性
总结词
单调函数的可导性是指函数在单调区间内是可导的，即函数的导数在单调区间内存在且不为零。
数学表达
如果对于所有$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称$f(x)$为减函数。
严格单调函数
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，对于任意两个不同的自变量，其函数值也不同的函数。
详细描述
严格单调函数的定义是，对于任意两个不同的数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果函数 $f(x)$满足$f(x_1) < f(x_2)$或$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$[x_1, x_2]$上严格单调。
数学表达

函数的简单性质-单调性

求最值
求函数最大值
在闭区间上，如果函数在某区间内单调递增，那么该函数在此区间内取得最大值。同样，如果函数在某区间内单调递减，那么该函数在此区间内取得最小值。
求函数最小值
在闭区间上，如果函数在某区间内单调递增，那么该函数在此区间内取得最小值。同样，如果函数在某区间内单调递减，那么该函数在此区间内取得最大值。
对于函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$，其导数为$f'(x) = 3x^{2} - 6x$。要使$f(x)$在区间$( - infty,a)$上是增函数，需要满足$f'(x) > 0$，即$3x^{2} - 6x > 0$，解得$x < 0$或$x > 2$。因此，当$a < 0$或$a > 2$ 时，函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$在区间$( infty,a)$上是增函数。
反例应用
在研究经济发展时，需要考虑到各种因素对经济的影响，包括政策、技术、人口等。通过找到单调性的反例，可以更全面地了解经济发展的实际情况，为政策制定提供更有针对性的建议。
06 习题与解答
习题
判断函数$f(x) = x^{2} - 2x$在区间$( - infty,a)$上是减函数的
条件是什么？
单调性与奇偶性的关系
总结词
函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，而单调性是指函数值随自变量变化的趋势。虽然奇偶性和单调性是函数的两种不同性质，但它们之间也存在一定的关系。例如，奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，因此奇函数在对称轴两侧的单调性是一致
的。
详细描述
对于奇函数，如果它在某个区间内单调递增，那么它在该区间内关于原点对称的区间内也单调递增；同样地，如果奇函数在某个区间内单调递减，那么它在该区间内关于原点对称的区间内也单调递减。而对于偶函数，由于其图像关于y轴对称，因此偶函数在任

函数的单调性(定义法)

函数的单调性知识点：1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D⊆I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D⊆I , x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)x1−x2＞0⇔f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)x1−x2＜0⇔f(x)是D上的单调递减函数.(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)2.复合函数的单调性：3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+bcx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +bx(ab≠0)例1.多种方法判断下列函数的单调性：(1).f(x)=x + 1x x∈(0,1)(2).y=x−1xx∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;(4).f(x)=axx²−1，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R例2.(1).已知f(x)=x（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的x−a在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=ax+1范围.(3).已知函数f（x）= √3−ax（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则a−1实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x²+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。

函数单调性怎么证明

函数的单调性指的是函数在定义域内的取值随着其自变量的变化而单调变化。

函数单调性的证明方法有以下几种：
1.导函数法：如果函数f(x)在定义域内可导，那么当f'(x) > 0时，函数f(x)单调递增；当f'(x)
< 0时，函数f(x)单调递减。

2.分段单调性：如果函数f(x)在定义域的不同子区间上单调，则函数f(x)在整个定义域上
单调。

3.数学归纳法：通过归纳证明函数在一定范围内单调，再扩大该范围，最终证明函数在整
个定义域内单调。

4.数学归纳法：通过归纳证明函数在一定范围内单调，再扩大该范围，最终证明函数在整
个定义域内单调。

5.极值法：如果函数在定义域内没有极值，或者极值都是局部极值，那么函数是单调的。

证明单调性需要根据具体函数的性质来判断使用哪种方法。

函数的单调性

－x－3，x≤1，
(2)作出函数 f(x)＝
的图象，并指出函数 f(x)的单调区间.
x－22＋3，x>1
解 f(x)＝－ x－x－232＋，3x≤，1x>，1 的图象如图所示，由图可知，函数 f(x)＝－ x－x－232＋，3x≤，1x>，1 的单调递减区间为 (－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞).
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5.已知函数 f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足 f(x)<f 12的实数 x 的取值范围为__－__1_，__12___.
－1≤x≤1，解析由题设得x<12，解得－1≤x<12.
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函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调
性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的
任意子集上也是单调的.
3.函数 y＝6x的减区间是
A.[0，＋∞)
√C.(－∞，0)，(0，＋∞)
三、导学指导与检测
知识点1 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1) 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就称函数 f(x) 在区间D 上 _单__调__ 递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数 . (2) 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就称函数 f(x) 在区间D 上 __单__调_ 递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数.

函数的单调性(解析版)

考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数【答案】D.【解析】如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是．【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0，即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0．故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)，即函数在(k ，＋∞)上单调递增．当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)，即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增；当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三复合函数的单调区间例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。

函数的基本性质——单调性

3.4 函数的基本性质——单调性【知识解读】1、函数单调性的概念对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 )()(21x f x f <，那么就称)(x f 在区间I 上是单调增函数，区间I 称为函数)(x f 的单调增区间。

对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立，那么就称)(x f 在区间I 上是单调减函数，区间I 称为函数)(x f 的。

2、函数单调性的运算：设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调增函数，则)()(x g x f +在21I I I 上单调增设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调减函数，则)()(x g x f +在21I I I 上3、单调性与奇偶性：若奇函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上若偶函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 *4、复合函数单调性：同增异减。

【例题讲解】例1、证明函数()23+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数。

例2、判别函数24xy =在区间),0(+∞上的单调性，并证明。

例3：判定函数()[]2,4,2-∈=x x x f 的单调性，并求出它的单调区间（不需证明）。

例4、已知函数x x x f +=3)(（1）判断并证明)(x f 在R 上的单调性（2）方程1000)(=x f 有正整数解吗？为什么？例5、写出下列函数的单调区间（不需证明）（1）12)(+=x x f （2）2)1()(-=x x f（3）23)(2+-=x x x f （4）231)(-=x x f例6、已知函数a x a x x f 2)1()(2++-=在区间]1,2[-上单调递减，求实数a 的取值范围。

函数的单调性

函数的单调性1．单调增函数的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间．2．单调减函数的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有 12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间．注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；⑵. 单调性、单调区间是有区别的；单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。

如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是上升图像；而函数在其单调减区间上的图像是下降的图像。

（填＂上升＂或＂下降＂）我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间．4．函数单调性证明的步骤：（1）根据题意在区间上设12x x < ；（2）比较12(),()f x f x 大小；(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .一．根据函数图像写单调区间：例1：画出下列函数图象，并写出单调区间．（1）22y x =-+；（2）1y x =；（3）21, 0()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩．二．证明函数的单调性：例2：求证：函数f(x)= －x 3+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数例３: 函数1y x =在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数吗？练习1. 函数111--=x y ( )()A 在(1,)-+∞内单调递增 ()B 在(1,)-+∞内单调递减()C 在(1,)+∞内单调递增 ()D 在(1,)+∞内单调递减2. 函数822+--=x x y 的单调增区间为．.3. 求证：1()f x x x =+在区间(0,1)上是减函数．4．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是（）A (]B [)C (]D [)．－∞，．，＋∞．－∞，－．－，＋∞34343434 5. 若函数()f x 是R 上的增函数，对于实数,a b ，若0a b +>，则有( )()A ()()()()f a f b f a f b +>-+- ()B ()()()(f a f b f a f b+<-+- ()C ()()()()f a f b f a f b ->--- ()D ()()()()f a f b f a f b -<---3. 函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[2,0]-，则f(x)的单调递减区间是________．4. 函数y=⎩⎨⎧<--≥+0101，x x ，xx 的单调减区间为 .5．函数y=|x+1|的单调递减区间为单调递减区间6．(1)若函数2()45f x x m x m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数，则实数m 的值为；（2）若函数2()45f x x m x m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为；（3）若函数2()45f x x m x m =-+-的单调递增区间为[2,)-+∞，则实数m 的值为．7．判断函数21()f x x x =-((0,))x ∈+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．。

函数的单调性

函数的单调性一、知识梳理＆方法总结1. 单调性的定义和证明(1) 单调性：当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐减小；当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐增加。

函数的这两种性质都叫做函数的单调性。

(2) 定义：一般地，对于给定区间I 上的函数()y f x =：① 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调增函数。

② 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调减函数。

(3) 如果函数()y f x =在某个区间I 上是增（减）函数，那么就说函数()y f x =在区间I 上是单调函数。

区间I 叫做函数()y f x =的单调区间。

若()f x 在区间D 上是增（减）函数，则()f x 在D 的任一子区间上也是增（减）函数 (4) 函数单调性的证明（证明某函数在指定区间上增减性的步骤）① 在该区间上任取12x x <② 作差12()()f x f x -，通过因式分解等恒等变形方法将差式化为若干因式的积或商．③ 由判断各因式的符号来确定差式的符号，从而得到12()()f x f x >（或12()()f x f x <）即()f x 的增减性依定义证明完毕．任取、做差、变形、定号、下结论。

(5) 函数单调性的两种等价定义设12,[,]x x a b ∈则①1212()()0()f x f x f x x x ->⇔-在[,]a b 上是增函数1212()()0()f x f x f x x x -<⇔-在[,]a b 上是减函数② 1212()[()()]0()x x f x f x f x -->⇔在[,]a b 上是增函数1212()[()()]0()x x f x f x f x --<⇔在[,]a b 上是减函数2. 四则运算的单调性增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

函数的单调性(定义法)

知识点:1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的 x 1,x 2 €D,D? I,x 1 >x 2 ,若f(x 1) - f(x 2) >0 则称f(x)在 D 内是单增，若f(x 1) - f(x 2) V 0则称f(x)在D 内是单减.>0 ? f(x)是D 上的单调递增函数；②f(x1)-f(x 2) V 0 ? f(x)是D 上的单调递减函数X 1-X 2 (注意：函数的单调性的局部性 (注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区, 应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)3.几种常见函数的单调性：f(x) = ax+^ (abcd 工0, bc 工ad); f(x) = ax + -(ab 工0) cx+d ' x精品文档函数的单调性(2).对定义在 D 上的函数f(x)设x 1 ,x 2 € D,I , x 1 V x 2 ,则有：① f(X 1)-f(X 2) X 1-X 2例1.多种方法判断下列函数的单调性:(1).f(x)=1 1=x + - x €(0,1) (2) .y = x - - x €( 0, + ; (3) . y = x3 x € R;x x⑷ f(x)= ax , x €( -1,1 ) ( a 工0) (5).f(x) = x + V1+ x2, x €Rx2-1例2. (1).已知f(x) = —(x工a),若a> 0且f (x)在(1.+ 内单调递减，求 ax-a的取值范围.(2).若f(x) = -x 2 + 2ax,与g(x) = 一?-在区间［1 , 2］上都是减函数，求a的x+1 取值范围.(3).已知函数f (x) = ”-ax (a工1)若f (x)在区间(0,1 ］上是减函数，??-1则实数a的取值范围.(4).已知函数f (x)=必2+ 1 -ax (a> 0)①.证明当a> 1时，函数f (x)在区间［0 , +x)上为单调减函数.②.若函数f (x)在区间［1 , + x)上是增函数，求a的取值范围。

函数的基本性质之单调性

函数的基本性质之单调性1、函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.函数的单调性与单调区间函数=y )(x f 在区间D 上是增函数或减函数函数=y )(x f 在这一区间具有（严格性）单调性区间D 叫做=y )(x f 的单调区间3.对函数单调性的理解（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.题型一求函数的单调区间例1：(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.例2：画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并写出函数的单调区间.变式练习1 作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=1,3)2(1,3)(2x x x x x f 的图象，并指出函数的单调区间.题型二函数单调性的判定与证明利用定义法证明函数单调性的步骤：第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子；第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论；第四步：定论，即根据定义得出结论.例2 已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.变式练习1.求证：函数11)(--=xx f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)2.证明函数f (x )＝x ＋x1在(0,1)上是减函数．3.证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．题型三函数单调性的简单应用例4：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，6]上是减函数，求实数a 的取值范围.变式练习3 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是________.例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.变式练习4 已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)<f(2－3a)，则a的取值范围是________.课后作业1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y ＝|x | B.y ＝3－x C.y ＝1xD.y ＝－x 2＋42.若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则有( ) A.a ≥12 B.a ≤12 C.a >12 D.a <123.定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有0)()(1212<--x x x f x f ，则( )A.f (3)<f (2)<f (1)B.f (1)<f (2)<f (3)C.f (2)<f (1)<f (3)D.f (3)<f (1)<f (2)4.若函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，3)上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a >3 C.a ≤3D.a <－35.已知⎩⎨⎧≥+-<+-=1,11,4)13()(x x x a x a x f 是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，13)B.(17，＋∞) C.[17，13) D.(－∞，－17]∪(13，＋∞)6.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是__________________________________.7.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是_____.8.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．9.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.10.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是_____.11.写出下列函数的单调区间．(1)y ＝x ＋1________________； (2)y ＝－x 2＋ax ________________；(3)y ＝12-x ________________； (4)y ＝－1x ＋2________________.12.已知函数f (x )＝a －2x.(1)若2f (1)＝f (2)，求a 的值；(2)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性并用定义证明.13.函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.。

函数的单调性

一、函数单调性判断常用方法：1、定义法（重点）：121212121212()()0()()()()0()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ->>⇒⎧<⎨-<<⇒⎩即单调增函数在其定义域内有任意，且即单调增函数2、常用结论：⑴ )(x f 与)(x f +C 单调性相同。

（C 为常数）⑵ 当0>k 时，)(x f 与)(x kf 具有相同的单调性；当0<k 时， )(x f 与)(x kf 具有相反的单调性。

⑶ 当)(x f 恒不等于零时，)(x f 与)(1x f 具有相反的单调性。

⑷ 当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数时，则)(x f ＋)(x g 在D 上是增（减）函数。

⑸ 当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，)(x f )(x g 在D 上是增（减）函数；当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，)(x f )(x g 在D 上是减（增）函数。

3、复合函数快速判断：“同增异减”4、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

二、利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；（2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。

三、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤：（1）确定函数的定义域；（2）将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

（3）分别确定分解成的两个函数的单调性；（4）下结论：若两个函数在对应的区间上的单调性相同，则复合后的函数))((x g f y =为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异，则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

函数的单调性

函数的单调性xx年xx月xx日•函数的单调性概述•单调函数的性质•单调函数的应用目录•单调函数的证明•单调函数的扩展01函数的单调性概述•函数的单调性是指函数在某区间内单调递增或单调递减的性质。

如果函数在某区间内单调递增，则函数在该区间内的图形是上升的；如果函数在某区间内单调递减，则函数在该区间内的图形是下降的。

定义类型•函数的单调性主要有两种类型：单调递增和单调递减。

判断函数单调性的方法有多种，以下是其中两种常用的方法判断方法求导数法：如果函数在某区间内可导，且导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内可导，且导数小于0，则函数在该区间内单调递减。

定义法：根据函数单调性的定义，如果对于任意的$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}<x_{2}$时，都有$f(x_{1})\leq f(x_{2})$（单调递增）或$f(x_{1})\geq f(x_{2})$（单调递减），则函数在该区间内单调。

01020302单调函数的性质单调函数的定义域和值域定义域单调函数的定义域是实数集的子集，即定义域可以是全体实数、正实数、负实数或零。

值域单调函数的值域是定义域上的子集，即值域可以是全体实数、正实数、负实数或零。

奇函数如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。

在单调函数中，奇函数关于原点对称，即对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)。

偶函数如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数。

在单调函数中，偶函数关于y轴对称，即对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)。

如果一个函数满足f(x+T)=f(x)，则称该函数为周期函数，其中T为该函数的周期。

在单调函数中，周期函数是指存在一个正实数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)。

最小正周期对于单调函数而言，其周期性意味着该函数存在最小正周期，即存在一个最小的正实数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)。

判断单调性的5种方法

1.用定义证明函数的单调性，可以用作差法，也可以用作商法。

无论是作差还是作商，步骤都是一样的，一共是四步。

第一步：取值，在题干指定的区间内，取x1 ，x2 ，令x1小于 x2。

第二步：变形，作差或者作商，并把式子进行变形，变形的方法有因式分解、配方、通分、分母有理化。

变形的方向是作差法方便与0比较，作商法方便与1比较。

第三步：定号，确定作差或者作商的结果。

如果不能确定，考虑分类讨论。

第四步：定论，根据x1与x2 的大小关系，f(x1)与 f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论。

2.图像法图像法确定函数的单调性，一定要先化简函数解析式，再画出它的草图，最后根据函数的定义域并结合草图，确定函数的单调区间。

当函数的解析式中含有绝对值时，要利用绝对值内等于0的分界点讨论，去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数。

要想能画出图，学生一定要掌握二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的基本性质。

比如二次函数的开口，对称轴。

3.根据对称性函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称等同于f(x+a)=f(a-x)等同于f(x)=f(2a-x)。

到对称轴距离相等的自变量对应的函数值相等。

函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称。

4.根据奇偶性 -“奇同偶异”奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性，可以简记为"奇同偶异"。

5.复合函数的单调性 -“同增异减”判断复合函数y=f(g(x))的单调性的步骤，第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。

第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。

第三步：分别确定这两个函数的单调性。

第四步：用"同增异减"判断函数 y=f(g(x))的单调性。

函数的单调性

数f(x)为单调增函数；如果f′(x)＜0，则函数f(x)为单调减函数；
⑤性质法： 6奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性；
偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性。
5．函数单调性的判定方法 (1)定义法：利用定义 (2)图象法：作出函数图象 (3)复合法：对于复合函数 y＝f[g(x)]，如果内、外层函数单调性相同，那么 y＝f[g(x)]为 ________，如果内、外层函数单调性相反，那么 y＝ f[g(x)]为 __________． (4) 导数法：设 y ＝ f(x) 在定义域的给定区间上可导，如果 ________，那么 f(x)为增函数；如果________，那么 f(x)为减函数． (5)性质法： ①若 f(x)、 g(x)都是增 (减 )函数，则 f(x)＋g(x)为 ______ 函数；若 f(x)为增函数， g(x)为减函数，则 f(x)－ g(x)为 ________；若 f(x)为减函数， g(x)为增函数，则 f(x)－g(x)为 ________函数． ②奇函数在两个对称的区间上具有 ________的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有 ________的单调性． ③互为反函数的两个函数具有 ________的单调性．
题型一：利用函数图像求函数单调性
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是 A．y＝－ x＋1 B．y＝ x 2 2 C．y＝x －4x＋5 D．y＝ x 解析：∵函数y＝ x的单调增区间为[0，＋∞)， ∴函数y＝ x在(0,2)上为增函数．答案：B 2．函数y＝(2k ＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则 1 1 A．k ＞ B．k ＜ 2 2 1 1 C．k ＞－ D．k ＜－ 2 2 解析：∵函数y＝(2k ＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数， 1 ∴2k ＋1＜0，∴k ＜－ . 2 答案：D ( ) ( )

函数单调性知识点

函数单调性知识点函数的单调性包括增函数和减函数两种类型。

增函数指的是函数随着自变量的增加而增加，也就是说如果x1<x2，则f(x1)<f(x2)。

减函数则是函数随着自变量的增加而减小，也就是说如果x1<x2，则f(x1)>f(x2)。

下面详细介绍函数单调性的相关知识点：1.增函数：函数的增函数是指函数随着自变量的增加而增加。

具体而言，如果函数f(x)在定义域内任意两个值x1和x2满足x1<x2，那么有f(x1)<f(x2)。

也就是说，函数的图像是自左向右上升的。

2.减函数：函数的减函数是指函数随着自变量的增加而减小。

具体而言，如果函数f(x)在定义域内任意两个值x1和x2满足x1<x2，那么有f(x1)>f(x2)。

也就是说，函数的图像是自左向右下降的。

3.严格增函数和严格减函数：严格增函数指的是函数的增加或减小是严格的，也就是说对于定义域内的任意两个不同的值x1和x2，f(x1)≠f(x2)。

严格减函数也类似。

严格增函数和严格减函数的图像分别为严格递增曲线和严格递减曲线。

4.非增函数和非减函数：非增函数是指函数在定义域内任意两个值x1和x2满足x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)。

非减函数是指函数在定义域内任意两个值x1和x2满足x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)。

非增函数的图像自左向右不降，非减函数的图像自左向右不升。

5.临界点：函数在临界点处的单调性发生改变。

在一些临界点，函数从增函数变为减函数或从减函数变为增函数。

临界点可以通过函数的导数来判断，导数为零的点为临界点。

临界点的左侧是增函数，右侧是减函数；临界点的左侧是减函数，右侧是增函数。

6.区间单调性：当定义域有多个区间时，也可以讨论函数在每个区间内的单调性。

函数在每个区间内都可能是增函数、减函数、严格增函数、严格减函数、非增函数或非减函数。

7.利用导数判断函数单调性：在实际应用中，可以借助函数的导数来判断函数的单调性。