高一数学一元二次方程根的分布和恒成立问题

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高一数学一元二次方程根的分布问题

c，使 f (c) 0 ，求实数 p的取值范围。
1
{ f (1) 2 p
f (1) 2 p 2 p 1 0
2
1
3p 9 0 3 p 3 或 p 2
3 3 p 2
y 6 x x 2 的定义域为A， 2 函数 y lg(kx 4 x k 3)的定义域为B，当B A求实数
x1 (m, n), x2 ( p, q)

f ( m) 0 f ( n) 0 f ( p) 0 f (x2 2x 3k 2 0 的两实根一个小于1，
x1
典型例题
(,4) (0,) 。另一个大于1，则实数 k 的取值范围是______________________
例3.已知函数
的取值范围。 k
A {x | 2 x 3} B {x | kx 4x k 3 0} 2 B A k 0 且函数 f ( x) kx 4x k 3
2
的图象与 x 轴的两个交点在－2与3之间。
2
x1
x2
2
3
或方程 kx 4 x k 3 0 有一根为－2或3时，另一根的情况：若一根为－2，则k＝1，不符合题意，舍去。若一根
1 3k 2 x x 0 k 2k 1 3k 2 f (1) 1 0 k 2k
2
2
m
x2
一根大于m，另一根小于m
2
例2.若二次函数 f ( x) 4x 2( p 2) x 2 p p 1 在区间[1,1] 内至少存在一点
f (m) 0

10 3 ( , ) 3

不等式专题：一元二次方程根的分布问题-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)

一元二次方程根的分布问题一、二次函数相关知识对于形如()20=++≠y ax bx c a 的二次函数，有以下性质：1、判别式：ac b 42-=∆；求根公式：aacb b x 242-±-=；2、韦达定理：a b x x -=+21，acx x =21；3、二次函数对称轴a b x 2-=，定点坐标（a b 2-，ac b ac 442-）．二、一元二次方程根的0分布方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。

三、一元二次方程根的k 分布k x k x <<21,k x k x >>21,21x k x <<()0∆>⎧⎩()0∆>⎧⎩0∆>0∆>kkk∆>()0f m⎧> 0∆>⎧题型一 R 上根的分布情况【例1】设k 为实数，若关于x 的一元二次方程210x kx k +++=没有实数根，则k 的取值范围是___.【答案】(222,222-+.【解析】∵关于x 的一元二次方程210x kx k +++=没有实数根∴()2Δ410k k =-+<∴2440k k --<解得：222222k -<<+【变式1-1】关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根，则m 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦D ．()1,00,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根0m ≠且>0∆，即：()22214410m m m +-=+>且0m ≠，解得14m >-且0m ≠.故选：D.【变式1-2】关于x 的一元二次方程2310kx x +-=有实根，则k 的取值范围是（） A ．94k ≤- B ．94k ≥-且0k ≠ C ．94k ≥- D ．94k >-且0k ≠【答案】B【解析】由题可知：240k +≥△=3，所以94k ≥-，又因为0k ≠，所以94k ≥-且0k ≠.故选：B.【变式1-3】若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实根，则m 的取值范围为（） A ．()(),232232,-∞---++∞ B ．()322322---+，C ．()(),322322,-∞---++∞ D ．()232232---+，【答案】C【解析】由关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实根，所以2(1)40m m ∆=++=，即26+10m m +> 解得：322m >-+或322m <--故选：C.题型二根的“0”分布【例2】若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．()0,∞+ C ．()1,+∞ D ．(),0-∞ 【答案】C【解析】因为关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，所以2044010a a a a ⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪>⎩，解得1a >，故实数a 的取值范围是()1,+∞.故选：C【变式2-1】若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围为___________. 【答案】125k ≤-【解析】首先0k ≠，设方程2330kx kx k ++-=的两根为12,x x ，则12121200,00x x x x x x +<⎧<<⇔⎨>⎩，所以2Δ94(3)03030k k k kkk k⎧⎪=--≥⎪⎪-<⎨⎪-⎪>⎪⎩，又0k ≠，解得125k ≤-．故答案为：125k ≤-．【变式2-2】已知关于x 的二次方程2(21)210m x mx m +-+-=有一正数根和一负数根，则实数m 的取值范围是_____．【答案】112m -<<【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得2101021m m m +≠⎧⎪-⎨<⎪+⎩，解得112m -<<.【变式2-3】一元二次方程24260x mx m -++=有两个不等的非正根，则实数m 的范围为（） A ．30m -<< B ．31m -<≤- C ．31m -≤<- D ．312m -≤≤ 【答案】C【解析】因为一元二次方程24260x mx m -++=有两个不等的非正根，2164(26)020260m m m m ⎧∆=-+>⎪<⎨⎪+≥⎩，解得31m -≤<-，故选：C【变式2-4】若方程()2250x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围是（）A ．4m ≤-或4m ≥B ．54m -<≤-C ．54m -≤≤-D ．52m -<<- 【答案】B【解析】方程()2250x m x m ++++=只有正根，则1（）当()()22450m m ∆=+-+=，即4m =±时，当4m =-时，方程为()210x -=时，1x =，符合题意；当4m =时，方程为()230x +=时，3x =-不符合题意.故4m =-成立；2（）当()()22450m m ∆=+-+>，解得4m <-或4m >，则()()()224502050m m m m ⎧∆=+-+>⎪-+>⎨⎪+>⎩，解得54m -<<-. 综上得54m -<≤-.故选B.题型三根的“k ”分布【例3】已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（）A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞ 【答案】C【解析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或则54m -<<-，即(5,4)m ∈--，故选：C【变式3-1】方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值范围是_______ 【答案】5[2,)2【解析】2240x ax -+=的两个根都大于121520Δ4160a a a >⎧⎪∴->⎨⎪=-≥⎩，解得522a ≤<可求得实数a 的取值范围为5[2,)2，故答案为：5[2,)2【变式3-2】若关于x 的方程220x kx -+=的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k 的取值范围为______．【答案】(),3-∞-【解析】由题意，关于x 的方程220x kx -+=的一根大于-1，另一根小于-1，设()22f x x kx =-+，根据二次函数的性质，可得()130f k -=+<，解得3k <-，所以实数k 的取值范围为(),3-∞-.【变式3-3】若关于x 的方程20x x a ++=的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a 的取值范围为_____. 【答案】(,2)-∞-【解析】关于x 的方程20x x a ++=的一个根大于1、另一个根小于1，令2()f x x x a =++，则()120f a =+<，解得2a <-，题型四根在区间上的分布【例4】关于x 方程2210ax x --=在01x <<内恰有一解，则（） A ．1a <- B ．1a > C ．11a -<< D ．01a <≤ 【答案】B【解析】当0a =时，1(0,1)x =-∉，不合题意；∴0a ≠，令2()21f x ax x =--，有(0)1f =-，(1)2(1)f a =-，要使()f x 在01x <<内恰有一个零点， ∴(0)(1)0f f <即可，则1a >，故选：B【变式4-1】（多选）已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5【答案】BC【解析】设()()2112f x x m x =+++，由12013x x <<<<，可得()()()()10200110110230193102f fm f m ⎧>⎪⎧>⎪⎪⎪<⇒+++<⎨⎨⎪⎪>⎩⎪+++>⎪⎩，解得：25562m -<<-，又因为m Z ∈，得3m =-或4m =-，故选：BC.【变式4-2】若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．【答案】（52，＋∞）【解析】设2()24f x x ax =-+，由题意2Δ4160(1)1240(2)4440a f a f a ⎧=->⎪=-+<⎨⎪=-+<⎩，解得52a >，故答案为：5(,)2+∞．【变式4-3】已知一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a 的取值范围为________．【答案】5(,2)2--【解析】设f (x )＝x 2＋ax ＋1，由题意知(0)10(1)20(2)520f f a f a =>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得－52<a <－2.【变式4-4】关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2(2)21f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足： ①()()010f f ⋅<，()()21320m m --<，解得：1223m <<； ②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：12m =，此时方程为2302x x -=，两根为0，32，而()30,12∉，不合题意，舍去把点()1,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：23m =，此时方程为23410x x -+=，两根为1，13，而()10,13∈，故符合题意； ③函数与x 轴只有一个交点，横坐标属于(0,1)，()2(2)4210m m ∆=---=，解得6m =±当6m =+2(2)210x m x m +-+-=的根为2- 若6m =-2(2)210x m x m +-+-=2，符合题意综上：实数m 的取值范围为{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦，故选：D【变式4-5】关于x 的一元二次方程2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，令()221f x x kx k =++-，当1,2x x =-=不是方程的根时，所以()()()24210120k k f f ⎧∆=-->⎪⎨-⋅<⎪⎩，解得：304k -<<；当1x =-是方程的根时，得12100k k k -+-=⇒=，此时方程变为：210x -=，解得：1x =或1x =-，1x =在区间(1,2)-内，1x =-在区间(1,2)-外，符合题意；当2x =是方程的根时，得3422104k k k ++-=⇒=-，此时方程变为：23344210x x ⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭--，解得：2x =或54x =-，此时方程的两根均在区间(1,2)-外，不符合题意；所以实数k 的取值范围是3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

一元二次不等式的解法(含参不等式恒成立问题及根的分布)

②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；
③当a<2时，则a的值不存在；
综上，所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.
A
5
题型与解法
（二）不等式的恒成立
a x2b xc0 恒成立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒成立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒成立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒成立 ca0b0或a00
1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次函数图象一统天下，但必须注意前后的等价； 2.一元二次方程根的分布问题； 3.有关一元二次不等式恒成立问题. 4.含参数的一元二次不等式的解法
x=-b/2a
x1
x2
A
25
课后作业
1.P87 习题3—2 B组第1题、第2题； 2.课时作业.
A
26
本节课到此结束，请同学们课后再做好复习。谢谢！
(C) 4ax3a (D) 3ax4a
A
23
课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是
{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b= -14 (a=-12,b=. -2)
（2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是 {x|x＜-2或x＞1/2}，则关于x的不等式 ax2-bx+c＜0的解集为 {x|-1/2<x<2} .
A
11
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合： (3)两根都小于1;
解： (3) ∵两根都小于1,
0
m
2

一元二次方程根的分布问题、恒成立问题

一、知识要点1、利用Δ与韦达定理研究)0a (0c b x ax 2≠=++的根的分布1）方程有两个正根2）方程两根一正一负3）方程有两个负根 2、借助函数图像研究)0a (0c b x ax 2≠=++的根的分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x2x k 【定理1】【定理2】【定理3】【定理4【定理5】⎪⎩>0)(2p f ⎪⎩<0)(2p f 【定理6】2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b二、典型例题例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

分析：利用Δ与韦达定理研究)0a (0c b x ax 2≠=++的根的分布例2k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？分析：利用0021<<<acx x ，则例3若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：把x=0代入，得k=3,则可算出两根之和为5/3>0,所以另一根为正例4.方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围分析：利用21x k x <<⇔0)(<k af例5.练习1.练习21).如（1；（2）；（3）；（4）；（5）） 2).能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()m i n f x B <.如已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____（答：1a >）3).恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立,则等价于不等式()A x f >的解集为D ；若不等式()B x f <在区间D 上恰成立,则等价于不等式()B x f <的解集为D .。

必修一专题——一元二次方程根的分布问题(辅导必备)

一元二次方程根的分布问题一元二次方程的两根就是相应二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标，因此在讨论方程的根的分布时，一定要分析方程对应的函数图象与坐标轴的交点情况，列出等价的不等式（组）求解。

在列不等式组时，一般情况下需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴与区间端点的关系，有时也可以利用韦达定理。

一、知识点精析设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面表（1）两根与0的大小比较即根的正负情况（2）两根与k 的大小比较（3）根在区间上的分布根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，需满足的条件是点评：（1）依据：根的存在性定理（2）入手点：二、典型例题例 1．已知2(3)0x m x m +-+=，分别求方程的根满足下列条件下的m 的取值范围：（1）两个正根；（2）两个负根；（3）两根都小于1；（4）两根都大于1；（5）一根大于1，一根小于1；（6）两根都在区间（0,2）内；（7）两根有且仅有一个在区间（0,2）内；例2. 已知关于x 的方程x 2－(2－m)x ＋5－m ＝0有两个实数根，一根大于0且小于2，另一根大于4且小于6，求m 的取值范围。

例3 .已知关于x 的方程3x 2－5x ＋a=0的有两个实根α，β，满足条件：α∈（－2，0），β∈（1，3），求实数a 的取值范围．例4. 设二次函数f （x ）=x 2＋ax ＋a ，方程f （x ）－x =0的两个实根为1x 、2x ，<01x <2x <1，(1) 求实数a 的取值范围； (2) 试比较)0()1()0(f f f -与161的大小。

一元二次不等式恒成立问题(高一最新)

微专题不等式一元二次不等式恒成立问题一、备考基础——查清1、解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：一是数性结合法，借助二次函数图像，解决问题；二是分离变量法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题.2、用函数思想研究方程和不等式是高考的热点之一，二次函数的图像位置与对应二次不等式的解集的范围相互联系，可相互转化，二次函数与一元二次不等式联系的核心是二次函数的图像，理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效果.常见的命题角度有：(1)形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0，(x∈[a，b])，确定参数范围；(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围.二、热点命题——悟通角度一形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围例1 若关于x的不等式x2＋ax＋4≥0恒成立，则实数a取值范围是___________练习：1.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是_____________．2.若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则常数a的取值范围是____________3.函数f(x)＝ln(3x2＋ax＋1)的定义域为R，则实数a的取值范围是________[总结反思] 对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．角度二形如f(x)≥0，(x∈[a，b])，确定参数范围例2 1. 设对任意实数x∈[－1，1]，不等式x2＋ax－3a＜0恒成立，求实数a的取值范围2．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范围解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．[总结反思]解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：一是数性结合法，借助二次函数图像，解决问题；(抓住图像的独特性[隐性结论])二是分离变量法，把不等式等价转化，求谁的范围就把谁分离到不等式左侧,使之转化为函数的最值问题.(比最大值还大,比最小值还小)角度三形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围例3 已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x的取值范围．[总结反思] 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．课后巩固练习:1.已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．2．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．3．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．(*)4．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是________5. 求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围______6．关于x 的不等式2(2)120x a x a +--->对任意的[2,2]a ∈-均成立，则x 的范围是______7.若不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是_______ _8.对任意的实数x ，求实数a 的取值范围_______ _。

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

（ 1）若 b m, n ，则 f x max max f m , f 2a
b ,f n
2a
， f x min
min f m , f
b ,f n
；
2a
（ 2）若 b 2a
m, n ，则 f x max
max f m , f n ， f x min
min f m , f n
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开
3a b 2 5 2b 2
b25 3a b 2 2
a 1； b0
a1 b3
解：对称轴 x0 a （ 1）当 a 1 时，ymin f 1 2 2a（ 2）当 1 a 3 时，ymin f a 1 a2 ；（ 3）当 a 3 时，ymin f 3 10 6a
'.
.
改： 1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
.
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程 ax2 bx c 0 根的分布情况
设方程 ax2 bx c 0 a 0 的不等两根为 x1, x2 且 x1 x2 ，相应的二次函数为 f x ax2 bx c 0 ，方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
解：对称轴 x0 1 2,3 ，故函数 f x 在区间 2,3 上单调。
（ 1）当 a 0 时，函数 f x 在区间 2,3 上是增函数，故
f x max f x min
f3 f2
（ 2）当 a 0 时，函数 f x 在区间 2,3 上是减函数，故
f x max f x min
f2 f3
例 2、求函数 f x x2 2ax 1, x 1,3 的最小值。

一元二次方程实根的分布.

一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。

本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。

一．一元二次方程实根的基本分布——零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。

一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则 1x 、2x 均为正⇔△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负⇔△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0；1x 、2x 一正一负⇔1x 2x ＜0。

例1．关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。

解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆⎧⎪+< ⎨⎪> ⎩≥ ①②③由①得：2(1)32(7)0m m +--≥，2(15)0m -≥，恒成立。

由②得：18m +-＜0，解之，m ＞1-。

由③得：78m -＞0，解之，m ＞7。

综上，m 的取值范围是m ＞7。

例2．若n ＞0，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求m n的值。

解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆= ⎧⎪+⎨⎪> ⎩①＞ ②③由①得：2(2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。

若m n =，则1x ＋2x 22m n n n n =-=-=-＜0，不符合②，舍去。

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x <<两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f 大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f 综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f 大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()0>k f 综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()0<⋅k f a kkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，qp n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()0f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

一元二次解法恒成立、根的分布情况

④原不等式的解集为{x|-1＜x＜2或2＜x＜3}.
例7 解不等式 ( x 1)( x x 6) 0 .
2
解：原不等式 ( x 1)(x 3)(x 2) 0
( x 2)(x 1)(x 3) 0

-2
.

1
.

.

3
∴原不等式的解集为：
{x | x 2，或1 x 3}.
例题选讲
题型五. 恒成立问题
2 ( a 2 ) x 2(a 2) x 4 0 例5.不等式
对一切 x R 恒成立，则a的取值范围。变式1.不等式(a 2 4) x2 (a 2) x 1 0 的解集为空集，求a的取值范围。
变式2.若函数 f ( x) kx 2 6kx ( k 8) 的定义域为R,求实数k的取值范围.
例题选讲
题型四. 一元二次不等式的解与系数的关系(韦达定理)
例4.不等式 ax bx 2 0 的解集为
2
1 1 {x | x }, 求 a, b. 2 3 1 1 2 , 是方程 ax bx 2 0 解:由题意可得,
2 3
的两个根,且a<0.
1 1 b 2 3 a 1 1 2 2 3 a
并将各因式x的系数化“+”
②求根，并在数轴上表示出来(注意空心?实心?)
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点
④若不等式是“＞0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“＜0”,则找“线”在x轴下方的区间.
穿线的原则：奇穿偶不穿
例5：解不等式 x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.
解：①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)＜0

一元二次不等式恒成立问题

上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f(x ) 2 x 2 9 x m ,x [2 ,3 ],
问题等价于f(x)max≤0,
y
f(x)2 (x9)2m 8 1,x [2 ,3 ], 48
fm a x (x )f(3 ) m 9 ≤ 0 , o
m≤9.
（2）转换求函数的最值
练习1：若不等式 x2-2x+m>0 对于x∈(0,3)恒成立,则实数m的取值范围是_______.
练习2：若不等式 mx2-2x+1>0 对于x∈(0,3)恒成立,则实数m的取值范围是_______.
练习3：若不等式 x2-mx+4>0 对于x∈(0,3)恒成立,则实数m的取值范围是_______.
m<0，若 m≠0，则
Δ＝m2＋4m<0 所以－4<m≤0.
⇒－4<m<0.
练习：若关于 x 的不等式： a x 2 2 a x + 2 0 的解集为 R ,
求实数a的取值范围。
题型一方法小结
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0
b2
4ac
0
（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
. 2
3x
.
例2. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f(x)2 x2 9 xm ,x [2 ,3 ],
则
f (2) ≤ 0
f
(3) ≤

一元二次不等式恒成立问题总结

一元二次不等式恒成立问题总结
前言：
嘿，朋友们！今天咱要来好好聊聊一元二次不等式恒成立问题，这可是数学里很关键的一部分呢！就好像我们在生活中寻找一直都在的美好一样，一元二次不等式恒成立也有它独特的魅力和挑战。

正文：
咱先说说什么是一元二次不等式恒成立吧。

比如说，x²-2x+3＞0 这个
不等式，如果在任何情况下它都是成立的，那这就是恒成立。

这就好比你有个宝贝玩具，不管啥时候拿出来玩都觉得超好玩！比如说，对于不等式
x²+ax+1＞0 恒成立，那这其中的奥秘可就多了去啦。

我们得去研究它的判别式啦，看看能不能找到一直成立的关键所在。

就好像我们要找到打开宝藏的那把钥匙一样！
然后呢，有些情况还得考虑特殊条件呢。

比如二次项系数是不是等于0。

哎呀，这就跟出门要不要带伞一样，得考虑清楚各种情况呀！像不等式 -
x²+2x+1≥0，咱就得仔细琢磨琢磨啦，可不能马虎。

结尾：
怎么样，一元二次不等式恒成立问题是不是很有意思呀？就像是解开一道神秘的谜题一样！好好去探索吧，朋友们，你们肯定能掌握好它的！加油！。

一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法

一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题是高中数学中的一个重要知识点，它涉及到一元二次不等式的求解和区间的概念。

在解决这类问题时，我们需要灵活运用一元二次不等式的性质和求解方法，并结合区间的特性进行分析。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法，帮助读者更深入地理解这一知识点。

1. 一元二次不等式的基本形式在开始讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法之前，我们先来回顾一下一元二次不等式的基本形式。

一元二次不等式通常可以写成以下形式：ax^2 + bx + c > 0其中，a、b、c为实数且a ≠ 0，x为变量。

在求解一元二次不等式时，我们通常需要先将不等式化为标准形式，再根据不等式的性质和判定条件进行求解。

2. 一元二次不等式的解题思路对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，我们首先需要确定该区间，并根据不等式的特性进行分析。

在求解过程中，我们需要考虑以下几点：（1）对一元二次不等式进行因式分解，寻找合适的解题方法；（2）利用一元二次不等式的图象和判定条件，确定不等式在给定区间上的变化趋势；（3）结合区间的特性，分析不等式在给定区间上的取值范围；（4）判断一元二次不等式在给定区间上是否恒成立，给出相应的解法。

3. 求解方法举例接下来，我们通过一个具体的例子来演示一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法。

例题：求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0在区间(1, 3)上是否恒成立。

解：我们对不等式x^2 - 4x + 3 > 0进行因式分解，得到(x - 1)(x - 3) > 0。

我们可以利用一元二次不等式的图象和判定条件来分析不等式在区间(1, 3)上的变化趋势。

当x属于区间(1, 3)时，(x - 1)和(x - 3)的取值分别为正和负，或者为负和正。

一元二次恒成立问题上海高考内容

一元二次恒成立问题上海高考内容
一元二次恒成立问题是指在高考数学考试中，所出的一元二次方程题目。

一元二次方程的一般形式为 ax² + bx + c = 0，其中 a、b 和 c
表示实数常数，且a ≠ 0。

在高考数学考试中，一元二次恒成立问题一般要求考生求解或判断给定的一元二次方程是否恒成立。

方法通常有以下几种：
1. 求解一元二次方程：根据方程 ax² + bx + c = 0 的求根公式，可以求得该方程的两个根。

如果方程的两个根相等，则说明该方程恒成立。

2. 化简方程：根据一元二次方程的特点，可以将方程进行化简。

例如，对于方程 (a+b)² + (a-b)² = 2(a² + b²) ，可以将等式两边
进行展开和化简，判断是否恒成立。

3. 利用性质判断：根据一元二次方程的性质，可以判断方程是否恒成立。

例如，对于方程 x² + px + p²/4 = 0，根据二次方程
的判别式，可以得到方程只有一个根，因此恒成立。

需要注意的是，在解题过程中，要将解答步骤和结果写清楚，以便阅卷老师进行评分。

另外，高考数学中的一元二次恒成立问题往往需要结合其他知识点进行综合运用，考查考生的数学运算能力和分析能力。

因此，考生需要熟练掌握一元二次方程的相关知识，并能够将其灵活应用到解题过程中。

高一数学一元二次方程根的分布和恒成立问题

高一年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间： 11.15一元二次方程实数根的分布例1、若方程0)5()2(2=++++m x m x 的两根均为正数，求实数m 的取值范围.变式1：两根一正一负时情况怎样？变式2：两实根均大于5时情况又怎样？变式3：一根大于2，另一根小于-1时情况又怎样？一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax实根分布图解变式练习1、m 为何实数时，方程02)1(2=+++m x m x的两根都在-1与1之间.2、若方程0)3()1(2=-++-a x a x 的两根中，一根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围.例2、已知点(0,4)A 、(4,0)B .若抛物线21y x mx m =-++与线段AB (不包括端点A 及B )有两个不同的交点，则m 的取值范围是 .变式练习已知抛物线2(4)2(6),y x m x m m =++-+为实数.m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点都位于点(1,0)的右侧？巩固练习：1．关于x 的一元二次方程222320ax x a ---=的一根大于1，另一根小于1.则a 的值是（）（A ）0a >或4a <- （B ）4a <- （C ）0a > （D ）40a -<<2．方程227(13)20(x k x k k k -++--=为常数）有两实根,αβ，且01α<<，12β<<，那么k 的取值范围是（）（A ）34k << （B ）21k -<<- （C ）21a -<<-或34k << （D ）无解3．设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m = .4.若关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是m ＝5. 方程2(21)(6)0x m x m +-+-=的一根不大于－1，另一根不小于1.试求：（1）参数m 的取值范围；（2）方程两根的平方和的最大值和最小值.恒成立问题、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎨⎧<0)(m f例3．对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围.、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；f(x)<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<00a . 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4．若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.变式练习已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，（1）求a 的取值范围.（2）若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.巩固练习1. （1）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围（2）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数m 恒成立，求实数x 的取值范围。

高一上学期专题5--函数的恒成立问题

高一上学期专题5 函数的恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量别离型；⑤数形结合型. 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题. 策略一、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,那么f ：(4,3,2,1) → ( )A.10B.7C.-1D.0 例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π- 对称，那么a=〔〕.A .1B .-1C .2D . -2.策略二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),假设y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，那么根据函数的图象〔线段〕〔如下列图〕可得上述结论等价于ⅰ〕⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ〕⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，假设在[m,n]内恒有f(x)<0，那么有⎨⎧<0)(m f例3a,x 的取值范围.策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 f(x)>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；f(x)<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<0a . 假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4．假设函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.例5.函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式1：假设[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式2：假设[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.策略四、变量别离型——别离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：假设对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，那么g(a)<f(x)min ;假设对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，那么g(a)>f(x)max .(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值例6.三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.例7. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，假设12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .策略五、数形结合——直观求解例8. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围. 解不等式恒成立的四种方法 1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。

一元二次不等式恒成立问题解法

一元二次不等式指的是形如$ax^2+bx+c>0$ 或$ax^2+bx+c\geq 0$ 的不等式，其中$a,b,c$ 是实数且$a\neq 0$。

如果要证明这个不等式恒成立，可以使用以下方法：方法一：求解方程将不等式转化为等式，即$ax^2+bx+c=0$。

由于$a\neq 0$，因此该方程的解为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

如果$x_1$ 和$x_2$ 的符号相同，那么不等式就不成立；如果$x_1$ 和$x_2$ 的符号不同，那么不等式就成立。

这是因为，当$a>0$ 时，$ax^2+bx+c$ 开口向上，所以当$x\in(x_1,x_2)$ 时，$ax^2+bx+c<0$；当$a<0$ 时，$ax^2+bx+c$ 开口向下，所以当$x<x_1$ 或$x>x_2$ 时，$ax^2+bx+c<0$。

方法二：利用一元二次函数的性质一元二次函数$y=ax^2+bx+c$ 的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。

如果$a>0$，那么抛物线开口朝上，函数的最小值为$c-\frac{b^2}{4a}$，即当$x=-\frac{b}{2a}$ 时；如果$a<0$，那么抛物线开口朝下，函数的最大值为$c-\frac{b^2}{4a}$，即当$x=-\frac{b}{2a}$ 时。

因此，当$c-\frac{b^2}{4a}>0$ 时，不等式恒成立；当$c-\frac{b^2}{4a}\leq 0$ 时，不等式不成立。

综上所述，要证明一元二次不等式恒成立，可以使用上述两种方法之一。

需要注意的是，这些方法只适用于一元二次不等式，对于更高次的不等式，需要使用其他的方法进行证明。

根的分布与恒成立

b b b ， 2a 或或 2a 2a f ( ) 0 0 f ( ) 0
f ( ) 0 f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 f ( ) 0
2 设一元二次方程 ax bx c 0 （ a 0 ）的两个实根为 x1 ， x2 ，且 x1 x 2 。
b 2 4ac 0 b 【定理 1】 x1 0, x 2 0，则 x1 x 2 0 a c x1 x 2 0 a
O
x

x1
x2 x
a0
f (k ) 0
b 2 4ac 0 【定理 2】 x1 x 2 k，则af (k ) 0 b k 2a y y
a0
O
f (k ) 0

x
O
b 2a
x1
x2
k x
b 2a
k
x2

x1
a0
x
x
f (k ) 0
x 2 2x a , x [1,) ，若对任意 x [1,) ， f ( x) 0 恒成立，求实数 a 的例 3．函数 f ( x) x
取值范围。
பைடு நூலகம்
例 4. 已知 f ( x) x 2 ax 3 a ，若 x [2,2], f ( x) 2 恒成立，求 a 的取值范围.

f ( k1 ) 0 x1 k2

O k 1
x2
x
O
x1 k 1
a0
x2
k2

x
f (k 2 ) 0
f (k 2 ) 0

高一数学一元二次方程根的分布和恒成立问题

高一数学一元二次方程根的分布问题

不等式专题：一元二次方程根的分布问题-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)

一元二次不等式的解法(含参不等式 恒成立问题及根的分布)

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