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2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(七)数学(理科)

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2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.2{|6510}M x x x =-+=，{|1}P x ax ==，若P M ⊆，则a 的取值集合为( ) A. {}2 B. {}3C. {}2,3D. {}0,2,3【答案】D 【解析】 【分析】求出11,32M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由{|1}P x ax ==，P M ⊆，可得P ∅=，13P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或12P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由此能求出a 取值集合．【详解】211{|6510},32M x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，{|1}P x ax ==，P M ⊆，P ∅∴=，13P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或12P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，0a ∴=或3a =或2a =．a ∴的取值集合为{}0,2,3．故选D ．【点睛】本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题． 2.若复数()122aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A. 1B. 1-C. 16D. 16-【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a 的值．【详解】∵复数()()()()12212221422255ai i ai a ai i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴221455a a -+=，解得a 16=． 故选C ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立， 当αβ⊥时，l β⊥不一定成立， 即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.4.在区间上随机取两个数,x y，记1p为事件“12x y+≥”的概率，2p为事件“12x y-≤”的概率，3p为事件“12xy≤”的概率，则（）A. 123p p p<< B.231p p p<<C. 312p p p<< D.321p p p<<【答案】B【解析】【详解】因为,[0,1]x y∈，对事件“12x y+≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y-≤”，如图（2）阴影部分，对为事件“12xy≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p<<．（1）（2）（3）考点：几何概型．5.已知数列{}n a的首项为1，第2项为3，前n项和为n S，当整数1n>时，()1112n n nS S S S+-+=+恒成立，则15S 等于 A. 210 B. 211C. 224D. 225【答案】D 【解析】 【分析】结合题目条件，计算公差，证明该数列为等差数列，计算通项，结合等差数列前n 项和公式，计算结果，即可．【详解】结合()1112n n n S S S S +-+=+可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，所以()12121n a n n =+⋅-=-，所以1529a =所以()()11515152911522522a a S ++⋅===，故选D ．【点睛】本道题考查了等差数列的通项计算方法，考查了等差数列前n 项和计算方法，难度中等． 6.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.D.【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.7.已知椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一个动点P ，P 不同于A 、B 两点，直线P A 与椭圆C 交于点Q ，则PBQF k k 的取值范围是（ ）A. 33044⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， B. ()3004⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭，， C. ()()101-∞-，，D. ()()001-∞⋃，，【答案】D 【解析】 【分析】椭圆焦点在x 轴上，由P 在圆224x y +=，则PA PB ⊥，有11,PB PB PA QF QF PA k k k k k k =-=-⋅，设(2cos )Q θθ，求出223(1cos )4cos 2cos 2QF PAk k θθθ-⋅=+-，令cos (1,1)t θ=∈-，224223(1)PB QF k t t k t +-=--，分离常数，求解得出结论.【详解】椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，右焦点(1,0)F ，点P 圆224x y +=上且不同于,A B ，11,1,,PB PB PA PB PA QF QF PAk PA PB k k k k k k k ∴⊥⋅=-∴=-=-⋅，设(2cos )Q θθ，223(1cos )2cos 22cos 14cos 2cos 2QF PAk k θθθθθθθ-⋅=⋅=+-+- 令cos (1,1)t θ=∈-，222242222(1)14213(1)31331PB QF k t t t t k t t t +--++=-=⋅=+⋅--- 1111,210,12t t t -<<-<-<<--，(,1)PBQFk k ∈-∞且不等于0. 故选:D.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.8.已知实数,x y 满足1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是( ) A. tan tan x y >B. ()()22ln 2ln 1x y +>+ C.11x y> D. 33x y >【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由指数函数的性质分析可得x ＞y ，据此结合函数的单调性分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，实数x ，y 满足（12）x <（12）y ，则x >y ，依次分析选项：对于A ，y=tanx 在其定义域上不是单调函数，故tanx >tany 不一定成立，不符合题意；对于B ，若0>x>y ，则x 2+2>y 2+2不成立，故ln （x 2+2）>ln （y 2+2）不一定成立，不符合题意；对于C ，当x >y>0时，1x <1y，不符合题意；对于D ，函数y=x 3在R 上为增函数，若x >y ，必有x 3>y 3，符合题意． 故选D ．【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是掌握并利用常见函数的单调性．9.若函数()(cos )x f x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()+∞B. (1,)+∞C. [1,)+∞D. )+∞【答案】D 【解析】 【分析】求得()(cos sin )xf x e x x a =--'，把函数的单调性，转化为cos sin 0x x a --≤在区间(,)22x ππ∈-上恒成立，即cos sin ,(,)22a x x x ππ≥-∈-恒成立，利用三角函数的性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得()(cos sin )xf x e x x a =--'，若()f x 在区间(,)22ππ-上单调递减，则cos sin 0x x a --≤在区间(,)22ππ-上恒成立， 即cos sin ,(,)22a x x x ππ≥-∈-恒成立，令()cos sin sin(),(,)422h x x x x x πππ=-=-∈-，则3(,)444x πππ-∈-，故sin()4x π-的最大值为1，此时42x ππ-=，即4πx =-，所以()h x ，所以a ≥D.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调及其应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中转化为转化为cos sin ,(,)22a x x x ππ≥-∈-恒成立，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别12F F 、，以线段12F F 为直径的圆与双曲线C 在第一象限交于点P ，且2PO PF =,则双曲线的离心率为( )A.1B.C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，1290F PF ∠=︒，三角形2POF 为等边三角形，从而可以得到122PF PF c a -=-=，即可求出离心率．【详解】由题意知，1290F PF ∠=︒，212PO OF OF PF c ====，三角形2POF 为等边三角形，则1PF =，2PF c =，则122PF PF c a -=-=，解得1c a ==，1，答案为A. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，属于基础题．11.已知直线3402x y ππ+-=经过函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻的最高点和最低点，则将()f x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后得到解析式为（ ）A. cos 2y x =B. cos2x y =-C. 3sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 28y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由直线斜率求出周期，从而得ω，直线与x 轴的交点是函数()f x 的零点，由此可求得ϕ，最后由图象变换可得结论．【详解】直线3402x y ππ+-=的斜率为4k π=-，∴242T π=，T π=，22πωπ==， 直线3402x y ππ+-=与x 轴交点为3(,0)8π，根据对称性，此点是()f x 的零点． ∴33()sin(2)088f ππϕ=⨯+=，又2πϕ<，∴4πϕ=，∴()sin(2)4f x x π=+． ∴将()f x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后得到解析式为sin[2()]cos 284y x x ππ=++=．故选：A ．【点睛】本题考查正弦型三角函数的图象与性质，考查三角函数图象变换，解题时注意正弦函数的“五点法”，求三角函数的解析式、性质常常与这五点联系起来．12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线2:C y x =，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为T .给出以下四个几何体：① ② ③ ④图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体； 图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与T 的体积相等的是（ ） A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】A 【解析】 【分析】将题目中的切线写出来，然后表示出水平截面的面积，因为是阴影部分旋转得到，所以水平界面面积为环形面积，整理后，与其他四个几何体进行比较，找到等高处的水平截面的面积相等的，即为所求. 【详解】几何体T 是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为1x ，切线对应的横坐标为2x()()2,2f x x f x x '==，()12k f '∴==切线为()121y x -=-，即21y x =-，2121,2y x y x +∴==横截面面积2221s x x ππ=-()2211=42y y y ππ⎡⎤+-⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦图①中的圆锥高为1，底面半径为12，可以看成由直线21y x =+绕y 轴旋转得到 横截面的面积为2212y s x ππ-⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以几何体T 和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等， 故选A 项.【点睛】本题考查对题目条件的理解和转化，在读懂题目的基础上，表示相应的截面面积，然后进行比较.属于难题.二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.261()(21)x x x-+的展开式中4x 项的系数为__________． 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：()621x +的展开式为：()66616622rrr r rr T C x C x ---+==，当62r -=，4r =时，644642416260T C xx --+==， 当65r -=，1r =时，6116154162192T C x x --+==，据此可得：展开式中4x 项的系数为60192132-=-.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．14.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且A 、B 、C成等差数列，b =则ABC∆面积的取值范围是__________．【答案】 【解析】分析：由A 、B 、C 成等差数列可得3B π=，然后根据正弦定理可得2sin a A =，2sin c C =，在此基础上求得ABC ∆的面积后再根据三角变换可得ABC S ∆=)6A π-+再根据锐角三角形求得62A ππ<<，于是可得面积的取值范围．详解：∵ABC ∆中A 、B 、C 成等差数列， ∴3B π=．由正弦定理得2sin sin sin sin3a cb A C B π====，∴2sin ,2sin a A c C ==， ∴132sin 3sin sin 3sin sin()23ABC S ac B ac A C A A π∆====-23133331cos 23sin (cos sin )sin cos sin sin 22222422A A A A A A A A -=+=+=+⋅ 33333sin 2cos 2sin(2)444264A A A π=++=-+， ∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<． ∴52666A πππ<-<， ∴1sin(2)126A π<-≤， ∴33333sin(2)22644A π<-+≤， 故ABC ∆面积的取值范围是333(,]． 点睛：（1）解决三角形中的范围问题的常用方法：①利用余弦定理并结合基本不等式求解；②结合正弦定理将问题转化为形如sin()y A x ωϕ=+的形式后根据三角函数的有关知识求解．（2）解答本题时容易出现的错误时忽视“锐角ABC ∆”这一条件，从而扩大了角A 的范围．15.如图所示，已知直线AB 的方程为1x y a b+=，⊙C ，⊙D 是相外切的等圆.且分别与坐标轴及线段AB 相切，||AB c =，则两圆半径r =__________（用常数,,a b c 表示）．【答案】()2()c a b c a b +-+ 【解析】 【详解】分析：由题得△CDM ∽△BAO ，得2b x r a y r r b a c----==，再利用等式的性质得到两圆半径r . 详解：如图所示，作CM ⊥DM,CE ⊥AB,由△CDM ∽△BAO,得2,.CM DM CD b x r a y r r OB OA AB b a c----==∴== (2)2(),.2()a b x y r a b c r c a b c r a b a b c a b +-+++-+-∴==∴=+++ 故答案为()()2c a b c a b +-+ 点睛：（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何选讲，意在考查学生对这些知识的掌握能力和计算能力. (2)解答本题的关键是得到2b x r a y r r b a c----==的化简，这里利用到了合比的性质，(2)2.a b x y r a b c r a b a b c+-+++-==++ 16.已知两平行平面αβ、间的距离为3A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为__________．【答案】6【解析】设平面ABC 与平面β交线为CE ，取CE AB = ,则0//,4,60AB CE CE ECD =∠=0112343sin 60 6.32A BCD A CDE V V --==⨯⨯⨯⨯=三､解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写需给出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.在ABC ∆中，边a b c 、、所对的角分别为、、A B C ，sin sin sin 23sin a A b B c C C a B +-= （1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的中线CD 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值【答案】（1）3C π∠=（2）面积的最大值为33【解析】【分析】 （1）由已知及正弦定理可得：22223a b c ab +-=C ，由余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tan C 的值，结合范围C ∈（0，π），可得C 的值．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝4+c 2，由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ，消去c 2，结合基本不等式可求ab 43≤，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】（1）∵由已知及正弦定理可得：22223a b c ab +-=C ， ∴由余弦定理可得：22232a b c cosC sinC ab +-==， 即3tanC =∴由C ∈（0，π），可得3C π=．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝22+c 2＝4+c 2，由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ，消去c 2得：224423ab a b ab ab -=+≥≤，（当且仅当a ＝b 时，等号成立）， 即1143322323ABC S absinC =≤⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形中线长定理的综合应用，三角形中线长定理主要表述三角形三边和中线长度关系，定理内容为：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍，属于中档题．18.如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，DC BC ⊥,3AB =，2BC =，1AC =.(1)求证：AB AD ⊥；(2)设E 是BD 的中点，若直线CE 与平面ACD 的夹角为30︒，求四面体ABCD 外接球的表面积.【答案】（1）见解析；（2）12π.【解析】试题分析：(1)利用线面垂直的判断定理结合题意(2)利用题意首先求得外接球的半径，然后利用球的表面积公式计算表面积即可.试题解析：(1)由平面ABC ⊥平面BCD ，DC BC ⊥，得DC ⊥平面ABC ，AB CD ∴⊥又由3AB =2BC =，1AC =，得222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥故AB ⊥平面ADC ，所以AB AD ⊥（2）取AD 的中点F ，连接EF ，则EF BA //,因为AB ⊥平面ADC EF ∴⊥平面ADC连接FC ,则30ECF ︒∠=，23CE EF AB ∴===又90BAD BCD ︒∠=∠=，所以四面体ABCD 的外接球的半径3R CE ==故四面体ABCD 的外接球的表面积=24312ππ=（向量解法酌情给分）. 19.已知过抛物线()2:20E x py p =>焦点F 且倾斜角的60直线l 与抛物线E 交于点,M N OMN ∆的面积为4．（I ）求抛物线E 的方程；（II ）设P 是直线2y =-上的一个动点，过P 作抛物线E 的切线，切点分别为,A B 直线AB 与直线,OP y 轴的交点分别为,Q R 点,C D 是以R 为圆心RQ 为半径的圆上任意两点，求CPD ∠最大时点P 的坐标．【答案】（I ）24x y =；（II ）()22,2±-． 【解析】试题分析：（I ）抛物线焦点为(,0)2p F ，写出直线l 方程，与抛物线方程联立，消元后可得1212,x x x x +，其中1122(,),(,)M x y N x y ，可再求出原点O 到直线l 的距离d ，由12S MN d =求得p ，也可由1212S x x OF =-求得p ； （II ）首先设出点坐标，设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数几何意义得出两切线方程，代入P 点坐标，从而得直线AB 方程为240tx y -+=，从而可得,R Q 坐标，得QR 的长，而要使CPD ∠最大，则,PC PD 与圆R 相切，这样可求得sin2CPD ∠，最后由基本不等式可得最大值．也可用正切函数求最大值．试题解析：（I ）依题意，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l的方程为2p y =+；由2{22p y x py =+=得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p ∆=+=>+==-所以)1212127,8y y x x p p MN y y p p +=++==++=，O 到MN 的距离21,442OMN p d S MN d p ∆=====， 2p ∴=，抛物线方程为24x y =（II ）设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24x y =得2,'42x x y y ==， 则切线PA 方程为()211142x x y x x -=-即21111242x x x y x x y =-=-， 同理，切线PB 方程为222x y x y =-， 把P 代入可得112222{22x t y x t y -=--=-故直线AB 的方程为21x t y -=-即240tx y -+= ()0,2R ∴由240{2tx y y x t -+=-=得2244{84Q Q t x t y t -=+=+，r RQ ∴====，当,PC PD 与圆R 相切时角CPD ∠最大，此时1sin 23CPD r PR ∠===≤，等号当t =± ∴当()2P ±-时，所求的角CPD ∠最大．综上，当CPD ∠最大时点P的坐标为()2±-点睛：在解析几何中由于OMN ∆的边MN 过定点F ，因此其面积可表示为1212S OF x x =-，因此可易求p ，同样在解解析几何问题时如善于发现平面几何的性质可以帮助解题，第（II ）小题中如能发现OP AB ⊥则知OP 是圆R 的切线，因此CPD ∠取最大值时，,PC PD 中一条与PO 重合，另一条也是圆的切线，从而易得解．另解：（I ）依题意，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l的方程为2p y =+；由2{22p y x py =+=得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p ∆=+=>+==-124x x p -==， 2121422OMN S OF x x p p ∆=-==⇒=，抛物线方程为24x y =． （II ）设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24x y =得2,'42x x y y ==， 则切线PA 方程为()211142x x y x x -=-即21111242x x x y x x y =-=-， 同理，切线PB 方程为222x y x y =-， 把P 代入可得112222{22x t y x t y -=--=-故直线AB 的方程为21x t y -=-即240tx y -+=()0,2R∴由240{2tx yy xt-+=-=得2244{84QQtxtyt-=+=+，()()()22222222216822444Q Qttr RQ x yt tt⎛⎫∴==+-=+-=⎪+⎝⎭++，注意到OP AB⊥2284tPQt+∴=+，2222tan2822RQ tCPD tPQ t t∠∴==≤=+当且仅当28t+即22t=±时等号成立．20.2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．()1求被调查者满意或非常满意该项目的频率；()2若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；()3已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．【答案】（1）0.78；（2）12125；（3）23. 【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是 ()10.0160.004100.25+⨯==，根据独立重复试验n 次发生k 次的概率公式可得结果；（3）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果. 试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为： ()0.0280.030.0160.004100.78+++⨯=；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为15， 现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：223141255125P C ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭； （3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占13， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，()023********C C P C ξ⋅=== ()1136291811362C C P C ξ⋅==== ()2036293123612C C P C ξ⋅====ξ的分布列为：ξ的数学期望E ξ 15112012362123=⨯+⨯+⨯=. 21.设函数()ln x f x ae x x =-，其中R a ∈，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）若()f x 是0,上的增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若22ea ≥，证明：()0f x >. 【答案】（Ⅰ）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（I ）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得a 的最小值，由此得到a 的取值范围；（II ）将原不等式()0f x >，转化为e ln 0x a x x ->，令()e ln x a F x x x=-，求出()F x 的导数，对x 分成01,1x x ≤两类，讨论函数的最小值，由此证得()0F x >，由此证得()0f x >. 试题解析：（Ⅰ）()()e 1ln x f x a x '=-+，()f x 是()0,+∞上的增函数等价于()0f x '≥恒成立.令()0f x '≥，得1ln e x x a +≥，令()1ln e x x g x +=（0x >）.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()1e1ln x g x x x -⎛⎫=-'- ⎪⎝⎭， 令()11ln h x x x =--，()2110h x x x'=--<，()h x 是()0,+∞上的减函数， 又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增；当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减； 故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11e g =，所以1e a ≥，即a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）()0f x >⇔ e ln 0xa x x->. 令()e ln xa F x x x=-（0x >），以下证明当22e a ≥时，()F x 的最小值大于0. 求导得()()21e 1xa x F x x x='-- ()211e x a x x x ⎡⎤=--⎣⎦. ①当01x <≤时，()0F x '<，()()1F x F ≥ e 0a =>；②当1x >时，()()21a x F x x ='- ()e 1x x a x ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，令()()e 1x x G x a x =--， 则()e x G x '= ()2101a x +>-，又()222e G a =- 2e 20a a-=≥， 取()1,2m ∈且使()2e 1m a m >-，即22e 1e 1a m a <<-，则()()e 1m m G m a m =-- 22e e 0<-=， 因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()F x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000e ln x a F x x x =-， 且()()0000e 01x x G x a x =-=-，即()000e 1x x a x =-，故()0001ln 1F x x x =--， 因为()()02001101F x x x =--<-'，故()0F x 是()1,2上的减函数. 所以()()02F x F >= 1ln20->，所以()0F x >. 综上，当22ea ≥时，总有()0f x >. 点睛：本题主要考查导数与单调性的关系及恒成立问题，考查利用导数证明不等式的方法，考查化归与转化的数学思想方法.第一问由于已知函数在区间上单调递增，故其导函数在这个区间上恒为非负数，若函数在区间上单调递减，则其导函数在这个区间上恒为非正数.分离常数后可求得a 的取值范围.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 经过点()0,1P ，倾斜角为6π.在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4sin ρθ=.（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数）；曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=；（2）3． 【解析】【详解】试题分析：（1）先根据直线参数方程标准式写直线l 的参数方程，利用y sin ,x cos ρθρθ==化简极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆方程，再根据参数几何意义化简11PA PB+，最后根据韦达定理代入化简求值试题解析：（1）直线l的参数方程为0611162x tcos y tsin t ππ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩(t 为参数）.即直线l的参数方程为2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数）； ∵4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，∴224x y y +=，即()2224x y +-=， 故曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得230t t --=，显然>0∆, ∴2121,3l t t t t +==-, ∴123PA PB t t ⋅==，12t t PA PB +=-==∴113PA PB PA PB PA PB ++==⋅. 23.已知函数()|1|f x x =+（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M（2）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.【答案】(1){1M x x =<-或 }1x >；(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明1ab a b +>+，再两边平方，因式分解转化为证明()()22110a b -->，最后根据条件221,1a b >>确定()()22110a b -->成立.【详解】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<.当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，∴1x <-； 当112x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-， 无解； 当12x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >. 综上所述，{1M x x =<-或}1x >.（2）∵()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤，要证()()()f ab f a f b >--成立， 只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证222210a b a b --+>,即证()()22110a b -->.由（1）知，{1M x x =<-或}1x >，∵a b M ∈、，∴221,1a b >>，∴()()22110a b -->成立.综上所述，对于任意的a b M ∈、都有()()()f ab f a f b >--成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。

2021年河南省天一大联考高考数学模拟试卷(理科)

2021年河南省天一大联考高考数学模拟试卷(理科)

河南省天一大联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={（x，y）|x∈A，y∈A}，则A∩B=（）A．A B．B C．A∪B D．∅2．已知i表示虚数单位，则=（）A．1 B．5 C．D．3．在区间[﹣3，3]上随机选取一个实数x，则事件“2x﹣3＜0”发生的概率是（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知点A（﹣1，﹣2）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与抛物线交于M，N两点，则线段MN的长为（）A．4 B．C．2 D．16．设向量，满足，，则=（）A．4 B．8 C．12 D．167．已知变量x，y满足则的最大值为（）A．B．C．2 D．18．已知a是大于0的常数，把函数y=a x和的图象画在同一坐标系中，选项中不可能出现的是（）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．710．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．211．设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，则下列结论正确的是（）A．a1008＞a1009B．a2016＜b2016C．∀n∈N*，1＜n＜2017，a n＞b n D．∃n∈N*，1＜n＜2017，使得a n=b n 12．已知f（x）=，若方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|有且仅有4个不等实根，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（，e）C．（0，e）D．（e，+∞）二、填空题《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是．14．（2a+b）4的展开式中，a2b3项的系数为．15．三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，AB=6，则该三棱锥的外接球半径为．16．过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点向圆x2+y2=a2作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠DAE=∠EAC，BD=2，DE=3．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sinC．18．（12分）如图1，2，E是正方形ABCD的AB边的中点，将△AED与△BEC 分别沿ED、EC折起，使得点A与点B重合，记为点P，得到三棱锥P﹣CDE．（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角P﹣CE﹣D的余弦值．19．（12分）某金匠以黄金为原材料加工一种饰品，由于加工难度大，该金匠平均每加工5个饰品中有4个成品和1个废品，每个成品可获利3万元，每个废品损失1万元，假设该金匠加工每件饰品互不影响．（Ⅰ）若该金匠加工4个饰品，求其中废品的数量不超过1的概率？（Ⅱ）若该金匠加工了3个饰品，求他所获利润的数学期望．（两小问的计算结果都用分数表示）20．（12分）已知椭圆方程，其左焦点、上顶点和左顶点分别为F，A，B，坐标原点为O，且线段FO，OA，AB的长度成等差数列．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若过点F的一条直线l交椭圆于点M，N，交y轴于点P，使得线段MN 被点F，P三等分，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数的图象的一条切线为x轴．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）令g（x）=|f（x）+f'（x）|，若不相等的两个实数x1，x2满足g（x1）=g （x2），求证：x1x2＜1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1和C2共有四个不同交点，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）求a2b的最大值．2017年河南省天一大联考高考数学模拟试卷（理科）（五）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={（x，y）|x∈A，y∈A}，则A∩B=（）A．A B．B C．A∪B D．∅【考点】1E：交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，可知A是数集，集合B是点集，则A ∩B是空集．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A}={（x，y）|}，∵A为数集，B为点集，∴A∩B=∅．故选：D．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．已知i表示虚数单位，则=（）A．1 B．5 C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化成a+bi（a、b∈R）的形式，再求其模即可．【解答】解：===﹣﹣i，∴=|﹣﹣i|=，故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算和模的计算，是基础题．3．在区间[﹣3，3]上随机选取一个实数x，则事件“2x﹣3＜0”发生的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意，利用区间的长度比求概率即可．【解答】解：在区间[﹣3，3]上随机选取一个实数x，对应事件的为区间才6，而满足事件“2x﹣3＜0”发生的事件为，由几何概型的公式得到所求概率为；故选B【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确事件的测度为区间的长度是关键．4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，i的值，当i=3时，满足条件i≥3，退出循环，输出a的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=，b=1，i=1，不满足条件i≥3，a=，b=，i=2，不满足条件i≥3，a=4，b=1，i=3，满足条件i≥3，退出循环，输出a的值为4．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a，b，i的值是解题的关键，属于基础题．5．已知点A（﹣1，﹣2）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与抛物线交于M，N两点，则线段MN的长为（）A．4 B．C．2 D．1【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的准线方程，求得p的值，求得抛物线的方程及焦点坐标当x=1时，y=±2，即可求得M和N点坐标，即可求得线段MN的长．【解答】解：由点A（﹣1，﹣2）在抛物线C：y2=2px的准线上，则﹣=﹣1，则p=2，则抛物线方程y2=4x，焦点F（1，0），当x=1时，y=±2，则M（1，2），N（1，﹣2），∴线段MN的长丨MN丨=4，故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单性质，抛物线的通径求法，考查计算能力，属于基础题．6．设向量，满足，，则=（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】分别平方，再相减即可求出答案．【解答】解：∵，，∴||2+2+||2=25，||2﹣2+||2=9，∴4=16，∴=4，故选：A【点评】本题考查了向量的模的计算和向量的数量积公式，属于基础题．7．已知变量x，y满足则的最大值为（）A．B．C．2 D．1【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：的几何意义为区域内的点到P（﹣3，﹣2）的斜率，由图象知，PA的斜率最大，由，得P（﹣2，0），故PA的斜率k==2．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．已知a是大于0的常数，把函数y=a x和的图象画在同一坐标系中，选项中不可能出现的是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】0＜a＜1，x＞0，的最小值大于等于2，函数y=a x和的图象不可能有两个交点，可得结论．【解答】解：a＞0，是对勾函数，0＜a＜1，x＞0，的最小值大于等于2，函数y=a x和的图象不可能有两个交点，故选D．【点评】本题考查指数函数、对勾函数图象，考查了两个函数图象间的关系，是基础题．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．7【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，直观图是正方体截去两个三棱锥所得，利用所给数据，即可求出体积．【解答】解：由三视图可知，直观图是正方体截去两个三棱锥所得，体积为=，故选A．【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数f（x）的部分图象求出A、B的值，再根据x=时f（x）取得最大值，x=2π时f（x）=0，列出方程组求出ω、φ的值，写出f（x）的解析式，再计算f（）．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的部分图象知，2A=3﹣（﹣1）=4，解得A=2，∴B==1；又x=时，f（x）取得最大值3，∴ω+φ=①；x=2π时，f（x）=0，∴2πω+φ=②；由①②组成方程组，解得ω=，φ=；∴f（x）=2sin（x+）+1，∴f（）=2sin（×+）+1=2×（﹣）+1=0．故选：B．【点评】本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的图象与性质的应用问题，是基础题．11．设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，则下列结论正确的是（）A．a1008＞a1009B．a2016＜b2016C．∀n∈N*，1＜n＜2017，a n＞b n D．∃n∈N*，1＜n＜2017，使得a n=b n【考点】88：等比数列的通项公式；84：等差数列的通项公式．【分析】由{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，推导出a n=n，b n=（）n﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，∴a2017=1+2016d=2017，解得d=1，∴a1018=1+2017=1018，a1019=1+1018=1019，∴a1018＜a1019，故A错误；b2017==2017，∴q=，a2016=1+2015=2016，，∴a2016＜b2016不一定成立，故B错误；∀n∈N*，1＜n＜2017，a n=n，，∴a n＞b n，故C正确；当a n=n=b n=（）n﹣1时，n=1或n=2017，∴不存在n∈N*，1＜n＜2017，使得a n=b n，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列、等比数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．12．已知f（x）=，若方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|有且仅有4个不等实根，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（，e）C．（0，e）D．（e，+∞）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】画函数f（x）的图象，利用数形结合的思想探讨方程f2（x）+2a2=3a|f （x）|的根的情况，即可得出结论．【解答】解：f（x）=的图象，如图所示，极小值点x=1，f（1）=e．f（x）＞0，方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|化为f（x）=a或f（x）=2a；f（x）＜0，方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|化为f（x）=﹣a或f（x）=﹣2a；∵方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|有且仅有4个不等实根，∴＜a＜e．故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的应用，利用数形结合、函数与方程的相互转化思想解题，属于高档题．二、填空题（2017•河南模拟）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是6．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设第一个人分到的橘子个数为a1，由等差数列前n项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数．【解答】解：设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得：，解得a1=6．∴得到橘子最少的人所得的橘子个数是6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．（a+2b）（2a+b）4的展开式中，a2b3项的系数为32．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】展开（a+2b）（2a+b）4=（a+2b）[（2a）4+4（2a）3b+6（2a）2b2+4×2a×b3+b4]，即可得出a2b3项的系数．【解答】解：（a+2b）（2a+b）4=（a+2b）[（2a）4+4（2a）3b+6（2a）2b2+4×2a×b3+b4]，∴a2b3项的系数=8+6×22=32．故答案为：32．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，AB=6，则该三棱锥的外接球半径为．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出P到平面ABC的距离为3，可得球心O到平面ABC的距离，即可求出三棱锥的外接球半径．【解答】解：设球心O到平面ABC的距离为h，则由P到平面ABC的距离为3，可得球心O到平面ABC的距离为h=，∴该三棱锥的外接球半径为=，故答案为．【点评】本题考查三棱锥的外接球半径，考查面面垂直，比较基础．16．过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点向圆x2+y2=a2作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为2或．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出切线方程，与渐近线方程联立，利用该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，切线方程为y=（x+c），与y=x联立，可得（，），与y=﹣x联立，可得（﹣，），∵该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，∴（+）2+（﹣）2=3a2，化简求得e=2或．故答案为2或．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•河南模拟）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠DAE=∠EAC，BD=2，DE=3．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sinC．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据tanθ=，tan2θ=，利用正切函数的二倍角公式，即可求得tanθ，即可求得AB的长；（Ⅱ）sinC=sin（﹣∠BAC）cos∠BAC=cos（θ+2θ），利用二倍角公式即可求得sinC．．【解答】解：（Ⅰ）设∠BAD=θ＜90°，在Rt△ABD中，tanθ=，AB=，在Rt△ABE中，tan2θ=，AB=，∴=，则5tanθ=2tan2θ，即5tanθ=，即5tan2θ=1，解得（负值舍去），因此．（Ⅱ）由题意知0°＜θ＜2θ＜3θ＜90°．因为，则，，则sin2θ=2sinθcosθ=，cos2θ=cos2θ﹣cos2θ=，即，．sinC=sin（﹣∠BAC）cos∠BAC=cos（θ+2θ）=cosθcos2θ﹣sinθsin2θ，=×﹣×=∴sinC=．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式，两角和的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•河南模拟）如图1，2，E是正方形ABCD的AB边的中点，将△AED与△BEC分别沿ED、EC折起，使得点A与点B重合，记为点P，得到三棱锥P﹣CDE．（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角P﹣CE﹣D的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由PE⊥PD，PE⊥PC．得PE⊥平面PCD，即可得平面PED⊥平面PCD．（Ⅱ）设正方形ABCD的边长为2，取DC中点F，连接PF，EF，过点P作PO⊥EF于点O，易证CD⊥PO，PE⊥PF，由EF=2PE=2，得∠PFE=30°且，，．以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，C（1，0，0），E（0，2，0），利用向量法求解【解答】解：（Ⅰ）证明：∵∠A=∠B=90°，∴PE⊥PD，PE⊥PC．∵PD交PC于点P，PC，PD在平面PCD内，∴PE⊥平面PCD，∵PE在平面PED内，∴平面PED⊥平面PCD．（Ⅱ）设正方形ABCD的边长为2，取DC中点F，连接PF，EF，过点P作PO⊥EF于点O，易证CD⊥平面PEF，所以CD⊥PO，又CD∩EF=F，所以PO⊥平面CDE，∵PE⊥平面PCD，PF在平面PCD内，∴PE⊥PF，∵EF=2PE=2，∴∠PFE=30°且，，．以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，C（1，0，0），E（0，2，0），所以，，设平面PCE的法向量为，则令z=1，得，又平面CDE的一个法向量为，记二面角P﹣CE﹣D的平面角为α，则．【点评】本题考查了空间面面垂直，向量法求二面角，属于中档题．19．（12分）（2017•河南模拟）某金匠以黄金为原材料加工一种饰品，由于加工难度大，该金匠平均每加工5个饰品中有4个成品和1个废品，每个成品可获利3万元，每个废品损失1万元，假设该金匠加工每件饰品互不影响．（Ⅰ）若该金匠加工4个饰品，求其中废品的数量不超过1的概率？（Ⅱ）若该金匠加工了3个饰品，求他所获利润的数学期望．（两小问的计算结果都用分数表示）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）依题意，该金匠加工饰品的废品率为，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出他加工的4个饰品中，废品的数量不超过1的概率．（Ⅱ）设X为加工出的成品数，则X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出该金匠所获利润的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）依题意，该金匠加工饰品的废品率为，他加工的4个饰品中，废品的数量不超过1的概率为：p=．（Ⅱ）设X为加工出的成品数，则X可能的取值为0，1，2，3，，，，，∴，故该金匠所获利润的数学期望是万元．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是中档题．20．（12分）（2017•河南模拟）已知椭圆方程，其左焦点、上顶点和左顶点分别为F，A，B，坐标原点为O，且线段FO，OA，AB的长度成等差数列．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若过点F的一条直线l交椭圆于点M，N，交y轴于点P，使得线段MN 被点F，P三等分，求直线l的斜率．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）依题意有，将其变形可得b=2c，结合椭圆的几何性质以及离心率公式可得，计算可得答案；（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+c），当k＞0时，表示出k和x M、y M，将直线l的方程和椭圆方程联立，解可得x M、y M的值，由斜率公式计算可得k的值，同理分析k＜0时可得k的值，综合可得答案．【解答】解：（Ⅰ）依题意有，把上式移项平方并把a2=b2+c2，代入得b=2c，又由a2=b2+c2；所以椭圆的离心率．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+c），先研究k＞0的情况，要使|MF|=|FP|，则x M=﹣2c，，因此．将直线l的方程和椭圆方程联立可得解得由于点N的横坐标为c，因此|PN|也等于|PF|，同理，当k＜0时，由对称性可知k=；直线l的斜率为或．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是依据题意，求出椭圆的标准方程．21．（12分）（2017•河南模拟）已知函数的图象的一条切线为x轴．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）令g（x）=|f（x）+f'（x）|，若不相等的两个实数x1，x2满足g（x1）=g （x2），求证：x1x2＜1．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设出切点坐标，得到关于a的方程组，求出a的值即可；（Ⅱ）令，根据函数的单调性求出g（x）的表达式，令G（x）=g（x）﹣g（），根据函数的单调性得到，从而证明结论即可．【解答】解：（Ⅰ），x＞0，设切点坐标为（x0，0），由题意得，解得；（Ⅱ）证明：，令，则，当x≥1时，，h'（x）＞0，h'（x）又可以写成，当0＜x＜1时，，h'（x）＞0．因此h'（x）在（0，+∞）上大于0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，因此h（x）在（0，1）上小于0，在（1，+∞）上大于0，且g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，g（1）=0．当x＞1时，，记，记函数y=f'（x）的导函数为y=f''（x），则==，故G（x）在（1，+∞）上单调递增，所以G（x）＞G（1）=0，所以，不妨设0＜x1＜1＜x2，则，而0＜x1＜1，，有单调性知，即x1x2＜1．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•河南模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1和C2共有四个不同交点，求a的取值范围．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）由于两方程表示的曲线均关于y轴对称，所以只要关于y的方程有两个大于0的不等实根，即代表两个曲线有4个不同交点，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为x2+（y﹣a）2=4，表示一个以（0，a）为圆心，2为半径的圆；曲线C2的极坐标方程可化为ρ2cos2θ=ρsinθ，故对应的直角坐标方程为y=x2．（Ⅱ）将两方程联立得得y2+（1﹣2a）y+（a2﹣4）=0，由于两方程表示的曲线均关于y轴对称，所以只要关于y的方程有两个大于0的不等实根，即代表两个曲线有4个不同交点，因此有解得．【点评】本题考查三种方程的转化，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•河南模拟）已知a＞0，b＞0，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）求a2b的最大值．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，由基本不等式可得，进而可得ab 的最大值，由基本不等式分析可得≥，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，将变形可得1=+=++，由基本不等式分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由，可得，，当且仅当时等号成立，因此的最小值为8．（Ⅱ）因为，即3•≤1，变形可得，即a2b的最大值为，当且仅当，即且时，等号成立．【点评】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件．。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)理科数学试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)理科数学试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）数学试题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. {|0}A B x x =< B. A B R = C. {|1}AB x x =>D. AB =∅【答案】A 【解析】∵集合{|31}xB x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A2.已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.3.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ） A. 1i + B. 1i --C. 1i -+D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=， 故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.4.已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A. (0,1])⋃+∞B. (0,1][3,)⋃+∞C. )⋃+∞D. [3,)⋃+∞【答案】B 【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A. sin y x = B. ln y x =C. xy e =D. 3y x =【答案】A 【解析】 【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件； 当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝e x 时，y ′＝e x ＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件；故选A ．考点：导数及其性质.6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A. 725 B. 15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D. 【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．7.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos（2x+π6）=sin（2x+2π3）的图象，即曲线C2，故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数sin()()y A x x Rωϕ=+∈是奇函数π()k k Zϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x Rωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Zϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x Rωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Zϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x Rωϕ=+∈是偶函数π()k k Zϕ⇔=∈.8.设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z＝2x＋y的最小值是（）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值z min＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.9.已知F为抛物线2:4C y x=的焦点，过F作两条互相垂直的直线12,l l，直线1l与C交于A B、两点，直线2l与C交于D E、两点，则|||||AB DE+的最小值为（）A. 16B. 14C. 12D. 10【答案】A 【解析】 【分析】根据12l l ⊥，要使|||||AB DE +最小，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线2l 的斜率为1时，取得最小值.【详解】解法一：如图所示因为12l l ⊥，直线1l 与C 交于A B 、两点，直线2l 与C 交于D E 、两点，要使||||AB DE +最小，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线2l 的斜率为1， 又直线2l 过点()1,0，所以直线2l 的方程为1y x =-，联立方程组241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2440y y --=，12124,4y y y y +==-，所以()212121222111148DE y y y y y y k k=+-=++-=，所以|||||AB DE +的最小值为16. 故选：A解法二：设AB 为(1)y k x =-，DE 为1(1)y x k=--．分别代入抛物线方程得：2222(24)0k x k k -++=⋯（1），22(24)10x k x -++=⋯（2）．由于21234242()2()44482416AB DE x x x x k k+=+++++=+++>=+⨯=．此时2244k k=，1k =或1k =-，故选：A ．【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系，弦长公式等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）． A. 1- B. 32e -- C. 35e - D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．11.已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A. 12-B.13C.12D. 1【答案】C 【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.12.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A. 3 B. 22C. 5D. 2【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 易得圆半径5r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________.【答案】79- 【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=cos cos βα=-=， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=- 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .14.已知函数f （x ）＝23,12,1x x x x x x ⎧-+≤⎪⎨+>⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)2x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是__ 【答案】﹣4716≤a ≤2 【解析】 【分析】先求画出函数()f x 的图像，然后对2y x a =+的图像进行分类讨论，使得2y x a =+的图像在函数()f x 的图像下方，由此求得a 的取值范围.【详解】画出函数()f x 的图像如下图所示，而,22222xa x a x y a x a a ⎧+≥-⎪⎪=+=⎨⎛⎫⎪-+<- ⎪⎪⎝⎭⎩，是两条射线组成，且零点为2x a =-.将2x y a =+向左平移，直到和函数()f x 图像相切的位置，联立方程22x y a y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简得2240x ax -+=，令判别式24160a ∆=-=，解得2a =.将2xy a =+向右平移，直到和函数()f x 图像相切的位置，联立方程223x y a y x x ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+⎩消去y 并化简得2302x x a -++=，令判别式()14304a ∆=-+=，解得4716a =-.根据图像可知47,216a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，其中包括二次函数的图像、对勾函数的图像，以及含有绝对值函数的图像，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.形如y ax b =+函数的图像，是,0b a ⎛⎫-⎪⎝⎭引出的两条射线. 15.设抛物线22{2x pt y pt==（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ，若||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为32则p 的值为__________． 6 【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=， 又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则2A y =，由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2EF CFEA AF==， 所以262CEFCEAS S==92ACFAECCFESSS=+=所以132922p ⨯=6p =【考点】抛物线定义【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理． 2．若P （x 0，y 0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋2p；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．16.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值． （Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ， ＝﹣cos2x 3-sin2x ， ＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．18. 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．【答案】(1)取出1球为红球或黑球的概率为3.4(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为11.12【解析】试题分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，根据古典概型和互斥事件的概率公式得到结果；（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果试题解析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，∴概率为．（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，∴概率为．即取出的1球是红球或黑球的概率为；取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．考点：等可能事件的概率19.（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）7 .【解析】试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值7试题解析：（1）由题设可得，ABD CBD ≌△△，从而AD DC =. 又ACD 是直角三角形，所以=90ADC ∠︒. 取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO . 又由于ABC 是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB 中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==， 故90DOB ∠=. 所以平面ACD ⊥平面ABC .（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得312E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()()311,0,1,2,0,0,2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,310.2x z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩可取3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n .设m是平面AEC的法向量，则m ACm AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，，同理可取()0,1,3=-m.则7cos,⋅==n mn mn m.所以二面角D-AE-C的余弦值为7.【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n互补或相等，故有cos cos,m nm nm nθ⋅==.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.20.如图，已知抛物线2x y=.点A1139-2424B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P（x,y）13-x22⎛⎫⎪⎝⎭＜＜,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求PA?PQ的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）2716.【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．满分15分．（Ⅰ）由斜率公式可得AP的斜率为12x-，再由1322x-<<，得直线AP的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达||PA与||PQ的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k=--+求解||||PA PQ⋅的最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|PA1)2x +1)k +， |PQ2)Q x x -=所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=． 令3()(1)(1)f k k k =--+， 因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．21.已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（Ⅲ）若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21-21ax x n<+- 【答案】（Ⅰ） 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由()n f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥， 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. （2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n -=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x =-'，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即，则0()()()F x f x f x -'''=由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（Ⅲ）证明：不妨设12x x ≤，由（Ⅱ）知()()20()g x n nx x =--，设方程()g x a =的根为2x'，可得202.a x x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（Ⅱ）知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥，所以11112(11)111n n n Cn n ---=+≥+=+-=，故1102n nx -≥=，所以2121ax x n-<+-. 考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.11,23x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被曲线cos ,3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）所截得的弦长.【答案】2 【解析】 【分析】由cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去θ得到直角坐标方程，然后将11,22x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线的直角坐标方程，再利用直线参数方程的几何意义求弦长.【详解】由cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去θ得2213y x +=，将11,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2213y x +=并整理得：220t t -=，解得120,2t t ==， 所截得的弦长为122t t -=【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的转化，以及直线参数方程的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.设0,0x y >>，已知1x y +=，求2223x y +的最小值. 【答案】65【解析】 【分析】根据柯西不等式的性质求解.【详解】由柯西不等式得()()222222231x yx y ⎡⎤+⋅+≥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以226235x y +≥，当且仅当23x y =，即32,55x y ==时，取等号.所以2223x y +的最小值为65【点睛】本题主要考查柯西不等式的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(七)历史试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(七)历史试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（七）历史试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷（选择题）1.有人在《春秋天事表·楚令尹表》中作了统计，春秋之世楚国26个令尹，除1人外，其余25人全部出自楚王族贵族。

越往后，楚令尹的挑选范围越窄，只限于王子、王孙范围。

这种变化说明当时的楚国A. 选官制度发生重大变革B. 血缘纽带不再发生作用C. 分封制得到了贯彻执行D. 权力向集中的方向发展【答案】D【解析】【分析】【详解】根据材料“春秋之世楚国26个令尹，除1人外，其余25人全部出自楚王族贵族”“只限于王子、王孙范围”等信息结合所学可知，令尹相当于楚国的丞相，26个令尹中25个出自王族，越往后越限于王子、王孙出任，丞相的任用限于王族，说明权力向集中的方向发展，D项正确；战国时期选官制度的变化主要是在秦国，由世卿世禄制度转变为军功爵制，A项错误；王子、王孙是典型的王族成员，不能说血缘纽带不再发生作用，B项错误；题干没有提及分封制的执行情况，C项错误。

2021-2022学年全国版天一大联考高考数学一模试卷含解析

2021-2022学年全国版天一大联考高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米2．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<3．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m β D ．n ⊂α，m n ⊥4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）5．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ）A ．34- B ．34C ．43-D ．437．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>11．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米12．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学(理科)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学(理科)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟考试理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|1},{|0}A x x B x x ≤==<，则()RA B ⋃=（ ）A. {|1}x x ≥B. {|1}x x >C. {|1x x <-或01}x ≤< D . {|1x x ≤-或01}x <≤【答案】B 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再求A 与B 的并集，然后再求补集即可. 【详解】因为2{|1}={|11}A x x x x =-≤≤，{|0}B x x =<，所以={|1}A B x x ≤，所以(){|1}RA B x x =>.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.在等比数列{}n a 中，363,6a a ==，则9a =（ ） A.19B.112C. 9D. 12【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：因为等比数列的性质，369,,a a a 成等比数列，即9623a a a =⋅，所以392636312a a a =÷=÷=.故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题. 3.设复数() ,z x yi x R y =+∈，下列说法正确的是（ ） A. z 的虚部是yi ; B. 22||z z =；C. 若0x =，则复数z 为纯虚数;D. 若z 满足|1|z i -=，则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的相关概念一一判断即可；【详解】解：z 的实部为x ，虚部为y 所以故A 错；2222i z x y xy =++，222||z x y =+，所以B 错；当00x y ==，时，z 为实数，所以C 错；由|1|z i -=得||1x yi i +-=，|(1)|1x y i ∴+-=，22(1)1x y ∴+-=，所以D 对. 故选：D【点睛】本题考查复数的相关概念的理解，属于基础题.4.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（ ） A. 8种 B. 9种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】 【分析】采用采用间接法，任意选有4615C =种，都是男生有1种，进而可得结果. 【详解】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故选：D.【点睛】本题考查分类计数原理，考查间接法求选法数，属于基础题目. 5.若sin 831πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 29-B.29C. 79-D.79【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简求得结果.【详解】227sin 2sin 2cos 212sin 14424899πππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C .【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式求值的问题，考查基础公式的应用.6.田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是（ ） A. 0.832 B. 0.920C. 0.960D. 0.992【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式求出三次试跳都没成功的概率，由对立事件的概率公式可得其获得冠军的概率；【详解】解：三次试跳都没成功的概率为30.2=0.008，所以他获得冠军的概率是10.0080.992-=. 故选：D【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.7.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，()ln ln 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. a c b <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性比较a 、b 、c 与0和1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】555log 1log 2log 5<<，则01a <<，0.50.5log 0.2log 0.51b =>=，ln1ln 2ln e <<，即0ln 21<<，()ln ln 2ln10c ∴=<=.因此，c a b <<. 故选：D.【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.8.已知直线a 和平面α、β有如下关系：①αβ⊥；②//αβ；③a β⊥；④//a α.则下列命题为真的是（ ）A. ①③⇒④B. ①④⇒③C. ③④⇒①D. ②③⇒④【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质可判断A 选项的正误；由空间中线面位置关系可判断B 选项的正误；利用线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理可判断C 选项的正误；利用面面平行的性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由①③可知，//a α或a α⊂，A 错； 对于B 选项，由①④可知，a 与β的位置关系不确定，B 错； 对于C 选项，过直线a 作平面γ，使得b γα⋂=，//a α，则//a b ，a β⊥，b β∴⊥，b α⊂，αβ∴⊥，C 对；对于D 选项，由②③可知，a α⊥，D 错. 故选：C.【点睛】本题考查空间中有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.9.如图，为测量某公园内湖岸边,A B 两处的距离，一无人机在空中P 点处测得,A B 的俯角分别为,αβ，此时无人机的高度为h ，则AB 的距离为（ ）A. ()222cos 11sin si s n s n in i hβααβαβ-+- B. ()222cos 11sin si s n s n in i hβααβαβ-++C. ()222cos 11cos co c s c s os o h βααβαβ-+- D. ()222cos 11cos co c s c s os o hβααβαβ-++【答案】A 【解析】 【分析】设点P 在AB 上的投影为O ，在Rt △POB 中，可得sin hPB β=，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得AB ，得到答案.【详解】如图所示，设点P 在AB 上的投影为O ，在Rt △POB 中，可得sin hPB β=， 由正弦定理得sin()sin AB PBαβα=-，所以sin()sin()=sin sin sin PB h AB αβαβαβα⋅-⋅-=222222sin ()(sin cos cos sin )sin sin sin sin h h αβαβαββαβα--= 222222sin cos cos sin 2sin cos cos sin =sin sin h αβαβαβαββα+- 2222cos cos 2cos cos =sin sin sin sin h αββααβαβ+-22221sin 1sin 2cos cos =sin sin sin sin h αββααβαβ--+-22112cos cos 2sin sin sin sin h βααβαβ=+--22112sin sin 2cos cos sin sin sin sin h αβαβαβαβ+=+- 22112cos()sin sin sin sin h αβαβαβ-=+-故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中结合图象把实际问题转化为数学问题，合理利用正弦定理求解是解答的关键，注重考查了推理与运算能力.10.过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，若3AF BF =，O 为坐标原点，则AFOF=（ ） A.43B.34C. 4D.54【答案】A 【解析】 【分析】画出图像,分别作,A B 关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可.【详解】如图,作分别作,A B 关于准线的垂线,垂足分别为,D E ,直线AB 交准线于C .过A 作BE 的垂线交BE 于G ,准线与y 轴交于H .则根据抛物线的定义有,AF AD BF BE ==.设AF AD t ==,3BF BE t ==,故2BG t =,4AB t =,故1cos 2BG ABG AB ∠==. 故26BC BE t ==,故FH 是CBE △边BE 的中位线,故113244OF FH BE t ===.故4334AFt t OF==.故选：A【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.11.函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与()f x 的图象交于M 、N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）①函数()f x 的图象关于点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称;②函数()f x 11,26--⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增; ③圆C 的面积为3136π. A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】 分析】先求出函数()y f x =的解析式，验证403f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断①的正误；利用正弦函数的单调性可判断②的正误；求出圆C 的半径，利用圆的面积可判断③的正误.【详解】由圆对称性，正弦函数的对称性得1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数()y f x =的一个对称中心，所以周期112136T ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，22T πωπ∴==，又函数()y f x =的图象过点1,06⎛⎫-⎪⎝⎭，则1sin 063f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()y f x =在16x =-附近单调递增，所以，()23k k Z πϕπ-=∈，可取3πϕ=.所以，()i 2s n 3x f x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 084s =33in 3f ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以①对； 当1126x -<<-时，22033x πππ-<+<，所以，函数()y f x =在区间11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，所以②错；当0x =时，得点M 的坐标为⎛ ⎝⎭，所以圆的半径为MC ==，则圆的面积为3136π，所以③对. 故选：B.【点睛】本题考查利用正弦函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性和单调性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 12.函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-的图象在点()()()()1111,,,A xf x B x f x --处两条切线的交点0(P x ，0)y 一定满足（ ） A. 00x = B. 0x m = C. 00y = D. 0y m =【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-，求导，然后利用导数的几何意义，分别写出在点()()()()1111,,,A x f x B x f x --处的切线方程，再联立求解即可.【详解】因为函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-，所以()2mx mxf x me mex m -'=-+-， 所以()11112-'=-+-mx mx f x me me x m ()11112-'-=---mx mx f x me me x m所以()()112111R -=++∈-mx mx f x ee x mx m ，()()112111+R --=++∈mx mxf x e e x mx m又因为在点()()()()1111,,,A x f x B x f x --处的切线方程分别为：()()()()()()111111,y f x f x x x y f x f x x x ''-=---=-+，联立消去y 得：()()1111211112+---+--++-mx mx mx mx me me x m x x e e x mx ，()()111121111+2--=--++-++mx mx mx mx me me x m x x e e x mx .解得0x =. 故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的交点，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】y x =± 【解析】 【分析】根据离心率公式和双曲线的,,a b c 的关系进行求解【详解】由题知：2222⎧==⎪⇒=⎨⎪=+⎩c e a b ac a b，双曲线的渐近线方程为y x =± 故答案为y x =±【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质 14.执行如图所示的程序框图，若输入[]1,3t ∈-，则输出s 的取值范围是____________.【答案】[0,1] 【解析】 【分析】分别在[)1,1t ∈-和[]1,3t ∈两种情况下，根据指数函数和对数函数的单调性求得值域，取并集得到所求的取值范围.【详解】当[)1,1t ∈-时，1t s e -=，1t s e -=在[)1,1-上单调递增，)2,1s e -⎡∴∈⎣；当[]1,3t ∈时，3log s t =，3log s t =在[]1,3上单调递增，[]0,1s ∴∈；综上所述：输出的[]0,1s ∈. 故答案为：[]0,1.【点睛】本题以程序框图为载体考查了指数函数和对数函数值域的求解问题，关键是能够通过分类讨论得到函数的单调性，进而确定所求值域.15.已知向量()0,1,||7,1,AB AC AB BC ==⋅=则ABC ∆面积为____________.【答案】2【解析】 【分析】根据()0,1=AB ，1AB BC ⋅=，可得||cos 1-=BC B ，再由||7=AC ，利用余弦定理可解得||BC ，cos B ，进而得到sin B ，然后代入1sin 2=ABCS BA BC B 求解. 【详解】因为()0,1=AB ， 所以||1=AB ，又因为||||cos()1π⋅=⋅-=AB BC AB BC B ， 所以||cos 1-=BC B ，由余弦定理得222||||||2||||cos =+-⋅⋅AC AB BC AB BC B ， 所以||2BC =， 则1cos 2B =-， 因为 0180<<︒B ，所以120B =︒，sin B =，所以面积为1133sin 122222==⨯⨯⨯=ABCSBA BC B . 故答案为：32【点睛】本题主要考查平面向量与解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱1,BC CC 的中点，则二面角C AM N --的余弦值为_________；若动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动，且1PA //平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是_________.【答案】 (1). 23 (2). 32[,5] 【解析】 【分析】延长AM 交DC 于点Q ，过C 作AM 垂线CG ，垂足为G ，连接NG ，则∠NGC 为二面角C AM N --的平面角，计算可得结果；取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连结1A O ，推导出平面//AMN 平面1A EF ，从而点P 的轨迹是线段EF ，由此能求出1PA 的长度范围． 【详解】延长AM 交DC 于点Q ，过C 作AM 垂线CG ，垂足为G ，连接NG ，则∠NGC 为二面角C AM N --的平面角， 计算得25CG =，22535()155NG =+=，所以25352cos 553NGC ∠=÷= 取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连接1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连接1A O ，点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点， 1//AM A E ∴，//MN EF ， AMM N M =，1A EEF E =，∴平面//AMN 平面1A EF ，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，2211215A E A F ==+22112=+=EF ，1AO EF ∴⊥， ∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值221232(5)()2A O =-=，当P 与E （或)F 重合时，1PA 的长度取最大值为115A E A F ==． 1PA ∴的长度范围为325]． 故答案为：23；325] 【点睛】本题考查二面角余弦值的求法和线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.已知数列{}n a 是等比数列，且公比q 不等于1，数列{}n b 满足2n bn a =.（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若12a =，32432a a a =+，求数列211log n n b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）1n nS n =+ 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则和等比数列定义可证得12log n n b b q +=-，由此证得结论； （2）利用等比数列通项公式可构造方程求得q ，进而整理得到211log n n b a +，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）已知数列{}n b 满足2n b n a =，则2log n n b a =，1121222log log log log n n n n n na b b a a q a +++∴-=-==， ∴数列{}n b 为等差数列.（2）由12a =，32432a a a =+可得：23642q q q =+，解得：2q或1q =（舍），2n n a ∴=，则2log n n b a n ==，()211111log 11n n b a n n n n +==-++∴，11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列的证明、裂项相消法求解数列的前n 项和问题，涉及到等比数列通项公式的应用；求和问题的处理关键是能够根据通项公式的形式进行准确裂项，进而前后相消求得结果.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,90B AB C AD D ︒∠=，点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，点F 在CD 上，且13DF FC =.（1）求证：EF //平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =且PA PD ⊥，求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）277【解析】 【分析】（1）如图所示，取PA 的中点M ，连结DM 、EM ，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取AD 中点N ，BC 中点H ，连结PN 、NH ，以N 为原点，NA 方向为x 轴，NH 方向为y 轴，NP 方向为z 轴，建立空间坐标系，找到平面PBF 的一个法向量n ，求出直线PA 向量n 所成夹角的余弦值，即可求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值.【详解】（1）如图所示，取PA 的中点M ，连结DM 、EM ，因为点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，所以//EM AB 且112EM AB ==， 因为13DF FC =，所以411==DF DC ，所以1==EM DF ， 又因为//AB DC ，所以//EM DF ，所以四边形EMDF 为平行四边形，所以//EF DM ，又DM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ；（2）取AD 中点N ，BC 中点H ，连结PN 、NH ， 因为PA PD =，所以PNAD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PN平面ABCD ，又//,90B AB C AD D ︒∠=，所以AD NH ⊥，以N 为原点，NA 方向为x 轴，NH 方向为y 轴，NP 方向为z 轴，建立空间坐标系， 所以()0,0,1P ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,1,0F -，在平面PBF 中()1,2,1=--BP ，()2,1,0=--BF ，()=1,0,1PA -,设在平面PBF 的法向量为(),,n x y z =，所以00BP n BF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，2020x y z x y --+=⎧⎨--=⎩，令1x =，则法向量()1,2,3n =--，又()1,0,1PA =-， 设直线PA 与平面PBF 所成角为α， 所以||27sin |cos ,|||||214α⋅=<>===⋅⋅PA n PA n PA n ，即直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值为27.【点睛】本题主要考查线面平行的判定，和线面所成角的求法，解题的关键是会用法向量的方法求线面角的正弦值.19.已知椭圆22:12x C y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于B 、D 两点.（1）求过A 、B 、D 三点的圆E 的方程；（2）若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和（1）中的圆E 分别相切于点P 和点Q （P 、Q 不重合），求直线OP 与直线EQ 的斜率之积.【答案】（1）22948x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）24. 【解析】 【分析】（1）求出A 、B 、D 三点的坐标，求得圆心E 的坐标，进而求出圆E 的半径，由此可求得圆E 的方程； （2）设直线l 的方程为y kx m =+（k 存在且0k ≠），将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由0∆=可得2212m k =+，由直线l 与圆E相切可得出22889k m =-+，进而可得出2221241k m =-=，求出直线OP 与直线EQ 的斜率，进而可求得结果. 【详解】（1）由题意可得)A、()0,1B -、()0,1D ，则圆心E 在x 轴上，设点(),0E m ，由BE AE =，可得)221m m +=，解得m =，圆E的半径为AE =. 因此，圆E的方程为2298x y ⎛+= ⎝⎭； （2）由题意：可设l 的方程为y kx m =+（k 存在且0k ≠）， 与椭圆C 联立消去y 可得()222124220kxkmx m +++-=，由直线l 与椭圆C 相切，可设切点为()00,P x y ，由()()222216421120k m m k∆=-⨯-+=，可得2212m k =+，解得02k x m =-，01y m=， 由圆E 与直线l4=，可得22889k m =-+.因此由222212889m k k m ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，可得2221241k m =-=， 直线OP 的斜率为12OP k k =-，直线EQ 的斜率1EQ k k=-， 综上：22421OP EQ k k k =⋅=. 【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线斜率之积的计算，考查计算能力，属于中等题.20.武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*1000n N ∈份血液样本，有以下两种检验方式：方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验1k次)；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立. （1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =. 试比较方案②中，k 分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)【答案】（1）分布列见解析；（2）2k =，总次数为690次；3k =，总次数为604次；4k =，次数总为594次；减少406次 【解析】 【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，可得1q p =-，再由相互独立事件的概率求法可得k 个人呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1k q -，随机变量1,1X k k=+即可得出分布列. （2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令2,3,4k =求出期望即可求解. 【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-.所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1kq -， 依题意可知1,1X k k=+， 所以X 的分布列为：1111k kX k k Pq q +- （2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为:()()111111k k k E X q q k k k q ⎛⎫=++⋅-=-+ ⎪⎝⎭⋅ 所以当2k =时, ()210.910.692E X =-+=， 此时1000人需要化验的总次数为690次，3k =()31,0.910.60433E X =-+≈，此时1000人需要化验的总次数为604次，4k =时, ()410.910.59394E X =-+=，此时1000人需要化验的次数总为594次，即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少. 而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①, 当4k =时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.【点睛】本题考查了两点分布的分布列、数学期望，考查了考生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 21.已知函数()2ln 2,xe f x a x e R a =-∈ （1）若函数()f x 在2ex =处有最大值，求a 的值； （2）当a e ≤时，判断()f x 的零点个数，并说明理由.【答案】（1）a e =；（2）当0a e ≤<时，函数()f x 无零点；当0a <或a e =时，函数()f x 只有一个零点. 【解析】 【分析】（1）根据函数最值点可确定02e f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，从而求得a ；代入a 的值验证后满足题意，可得到结果；（2）令()()ln 0tg t a a t e t =+->，将问题转化为()g t 零点个数的求解问题；分别在0a =、0a <和0a e <≤三种情况下，根据导函数得到原函数的单调性，结合零点存在定理和函数的最值可确定零点的个数.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()22xe af x e x e'=-，()f x 在2e x =处取得最大值，2202e af e⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，解得：a e =. 当a e =时，()2ln 2xef x e x e =-，()22xe ef x e x e'=-，()22240xe ef x e x e''∴=--<，()f x '∴在()0,∞+上单调递减，又02e f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，则0,2e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()f x ∴在0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()max 2e f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，满足题意；综上所述：a e =. （2）令2x t e=，()()ln 0tg t a a t e t =+->，则()g t 与()f x 的零点个数相等， ①当0a =时(),0,tg t e =-<即()20x ef x e =-<，∴函数()f x 的零点个数为0；②当0a <时, ()0ta g t e t'=-<，()g t ∴在()0,∞+上为减函数， 即函数()g t 至多有一个零点，即()f x 至多有一个零点.当10e a t e-<<时，1ln ln 1ea e a a t a a e a a e a -⎛⎫⎛⎫+>+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ln t a a t e +∴>，即()0g t >，又()01g a e =-<，∴函数()g t 有且只有一个零点，即函数()f x 有且只有一个零点；③当0a e <≤时，令()0g t '=，即t a te =，令()()0th t te t =>，则()()10ttth t e te t e '=+=+>()t h t te ∴=在()0,∞+上为增函数，又()1h e =，故存在(]00,1t ∈，使得()00g t '=，即00t ae t =. 由以上可知：当00t t <<时，()0g t '>，()g t 为增函数；当0t t >时，()0g t '<，()g t 为减函数；()()0000max 0ln ln t ag t g t a a t e a a t t ∴==+-=+-，(]00,1t ∈， 令()ln aF t a a t t=+-，(]0,1t ∈， 则()20a aF t t t'=+>，()F t ∴在(]0,1上为增函数， 则()()10F t F ∴≤=，即()()max0g t ≤，当且仅当1t =，a e =时等号成立，由以上可知：当a e =时，()g t 有且只有一个零点，即()f x 有且只有一个零点；当0a e <<时，()g t 无零点，即()f x 无零点；综上所述：当0a e ≤<时，函数()f x 无零点；当0a <或a e =时，函数()f x 只有一个零点.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数的最值求解参数值、利用导数研究函数零点个数的问题；函数零点个数的求解关键是能够通过换元法将问题转化为新函数零点个数的求解，进而通过分类讨论的方式，结合函数单调性、零点存在定理和函数最值来确定零点个数，属于较难题.(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足||||8,OA OB ⋅=点B 的轨迹为2C .（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为32,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值. 【答案】（1）1C ：2cos ρθ=，2C ：cos 4ρθ=； （2）2. 【解析】 【分析】（1）消去参数，求得曲线1C 的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线1C 的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）由2OM =,求得OBM OAM ABM S S S ∆∆∆=-，求得ABM ∆面积的表达式，即可求解. 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，消去参数，可得普通方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，代入可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 设点B 的极坐标为(,)ρθ，点A 点的极坐标为00(,)ρθ， 则0000,,2cos ,OB OA ρρρθθθ====， 因为||||8OA OB ⋅=，所以08ρρ⋅=，即82cos θρ=，即cos 4ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（2）由题意，可得2OM =, 则2211||||242cos 42cos 22ABM B OBM O M A A S S S OM x x θθ∆∆∆=⋅-=⋅⋅=-=--， 即242cos ABM S θ∆=-， 当2cos 1θ=，可得ABM S ∆的最小值为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.23.已知函数()|23||23|.f x x x =-++（1）解不等式()8f x ≤；（2）设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（1）{|22}x x -≤；（2）6【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得6M =，利用柯西不等式求解最值.【详解】（1）322x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩或332268x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或322x x ⎧⎪⎨⎪≤⎩∴{|22}x x -≤，（2）∵()()()|2323|66x x x f M --+=∴=()()()2222222112236,a b c a b c ++++++= 当且仅当22a b c ==时“=”成立，所以2226,a b c ++所以最小值为6.【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件.。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)数学(理科)

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)数学(理科)

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A. {|0}x x <B. {|01}x xC. {|10}x x -<D. {|1}x x -【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()RAB【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<，所以 (){|1}RA B x x =-.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z 与其共轭复数z 满足213z z i -=+，则||z =（ ）A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】设z a bi =+，则2313z z a bi i -=-+=+，得到答案.【详解】设z a bi =+，则222313z z a bi a bi a bi i -=+-+=-+=+，故1a =-，1b =，1z i =-+，z =.故选：A .【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 3.抛物线214y x =的准线方程是（ ） A. 1x =- B. 2x =- C. 1y =- D. 2y =-【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，抛物线可化为24x y =，则2p =，所以准线方程为1y =-，故选C ．考点：抛物线的几何性质．4.若向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则|2+|=a b （ ）A.B.2C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行得到3x =-，故()|2+|=3,3a b -，计算得到答案.【详解】向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则()12x -+=，故3x =-，()()()|2+|=4,41,13,3a b -+-=-=故选：C .【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.5.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ） A. 若,m n m α⊥⊥，则//n α B. 若//,//,m n m n αα⊄，则//n α C. 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于A ：若,m n m α⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故A 错误；BCD 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 6.已知函数()y f x =的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()tan f x x x =+B. ()sin 2f x x x =+ C. 1()sin 22f x x x =- D. 1()cos 2f x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】首先通过函数的定义域排除选项A ，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B ，确定答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为R ，而函数()tan f x x x =+的定义域不是R,所以选项A 不符合题意； 由图象可知函数是一个奇函数，选项D 中，存在实数x ， 使得1()cos ()2f x x x f x -=--≠-，所以函数不是奇函数，所以选项D 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项B ，()12cos 2[1,3]f x x =∈-'+，所以函数是一个非单调函数，所以选项C 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C ，()1cos 20f x x =-≥，所以函数是增函数，所以选项C 符合题意. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 64【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.8.已知函数41()2x xf x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x xxf x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=-故函数是奇函数，又2x y =在定义域上单调递增，2x y -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >>即a b c >> 故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.9.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++) A. 1.24 B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.10.已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()0||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭， 的部分图像如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为（ ）A. 1-B. 0C.12D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到()sin(2)3f x x π=+，sin 33n n a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6n n a a +=，计算每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++，计算得到答案.【详解】741234T πππ=-=，故T π=，故2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，2sin()033f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故2,3k k Z ϕππ+=∈，故2,3k k Z πϕπ=-∈，当1k =时满足条件，故3πϕ=， ()sin(2)3f x x π=+，sin 633n n n a f πππ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()66sin 33n n a n a ππ++⎛⎫= ⎪⎝⎭=+， 13a =，20a =，332a =-，432a =-，50a =，632a =，每个周期和为0， 故202012343S a a a a =+++=. 故选：D .【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 作直线b y x a=-的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2FN FM =，则双曲线的离心率为（ ） A. 3B.5 C. 2 D.3【答案】B 【解析】 【分析】计算得到2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据2FN FM =得到222,a ab N c c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程解得答案.【详解】易知直线NF ：()a y x c b =-，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2,a ab M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭. 2FN FM =，故222,a ab N c c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故2222222241a c c a b a c b⎛⎫- ⎪⎝⎭-=， 化简整理得到：22241e e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得e =故选：B .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.已知函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 5126⎛⎫⎪⎝⎭B. 52⎛-⎝C. 1,320⎛-⎝ D. 11,206⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点定义可知()f x mx =有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x ≤<和46x ≤<的解析式，可求得y mx =与两段函数相切时的斜率，即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数()()F x f x mx =-有4个零点，即()f x mx =有四个不同交点. 画出函数()f x 图像如下图所示：由图可知，当24x ≤<时，设对应二次函数顶点为A ，则13,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，11236OAk ==， 当46x ≤<时，设对应二次函数的顶点为B ，则15,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，114520OBk ==. 所以11206m <<. 当直线y mx =与24x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有三个交点，此时()211322y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()22680x m x +-+=.()226480m ∆=--⨯=，解得322,m =- 322m =+； 当直线y mx =与46x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有五个交点，此时()211544y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()2410240x m x +-+=.()24104240m ∆=--⨯=，解得56,2m =562m =；故当()f x mx =有四个不同交点时56,3222m ⎛∈- ⎝. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____. 【答案】700 【解析】 【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x 的值，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x ﹣2，2x ﹣4. 由题意可得()()2222436x x x +-+-=，∴7x =. 设我校高三年级的学生人数为N ，再根据36271800N⨯=，求得N ＝700 故答案为：700.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.14.已知实数,x y 满足24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_______.【答案】22 【解析】 【分析】3y x z =-，作出可行域，利用直线的截距与b 的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS==∑_____.【答案】21nn + 【解析】 【分析】 计算得到()12n n n S +=，再利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比为常数(0λλ＞且1)λ≠的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P 满足3BP PE ＝．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．【答案】 (1). 23 (2). 94【解析】 【分析】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，设(,)P x y ，求出点P 的轨迹为22+12x y =，即得解；（2）先求出点P 的轨迹为222++12x y z =，P 到平面1B CF 的距离为3h =，再求出h 的最小值即得解.【详解】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，则(6,0),(2,0),B E 设(,)P x y ， 由3BP PE ＝得2222(6)3[(2)]x y x y -+=-+， 所以22+12x y =，所以若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为3（2）设点(,,)P x y z ，由3BP PE ＝得222222(6)3[(2)z ]x y z x y -++=-++，所以222++12x y z =，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),F B C所以11(3,3,0),(0,3,3),FB BC =-=-设平面1B CF 的法向量为000(,,)n x y z =， 所以100100·330,(1,1,1)·330n FB x y n n B C y z ⎧=-=⎪∴=⎨=-=⎪⎩，由题得(6,3,z)CP x y =--， 所以点P 到平面1B CF的距离为||||CP n h n ⋅== 因为2222222(++)(111)(),66x y z x y zx y z ++≥++∴-≤++≤， 所以minh ==M 到平面1BCF由题得1B CF ∆=， 所以三棱锥1MB CF -的体积的最小值为21934. 故答案为：(1). (2).94． 【点睛】本题主要考查空间几何中的轨迹问题，考查空间几何体体积的计算和点到平面距离的计算，考查最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分)17.在锐角△ABC 中，a =________， （1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围． 注：在①(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(),()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．【答案】（1）若选①，3π（2）(6+ 【解析】 【分析】（1）若选①，12m n ⋅=-，得到1cos 2A =，解得答案.（2）根据正弦定理得到4sin sin sin a b c A B C ===，故6ABC l B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△到答案.【详解】（1）若选①，∵(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-221cos sin 222A A ∴-+=-，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）4sin sin sin a b c A B C===， 故24sin 4sin 4sin 4sin 3ABC l B C B B π⎛⎫=++=-++⎪⎝⎭△ 6ABClB π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，锐角△ABC ，故62B ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，.2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,(6ABC l ∴∈+△. （1）若选②，()cos 2cos A b c a C =-，则2cos cos cosb A a Cc A =+，2sin cos sin B A B =，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭，（2）问同上；（1）若选③11()cos (cos )24f x x x x =-＝21cos 2x sin x x －14＝12×1+cos 22x ＋2×sin 22x －14111=(cos 22)=sin(2)2226x x x π++， ()11sin 2462f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）问同上；【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z ~N (μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值．．．．作代表）， ①求μ的值；②利用该正态分布，求(88.5)P Z ≥；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．14≈．若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=．【答案】（1）①60.5μ=②0.0228（2）见解析，1654【解析】 【分析】（1）直接根据公式计算得到60.5μ=，14σ=，计算得到答案.（2）获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）由题意得：3024013502160257024801190460.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴60.5μ= ，∵14σ=≈，1(22)(88.5)(2)0.02282P u Z P Z P Z σμσμσ--<≤+>=>+==，（2）由题意知()()12P Z P Z μμ<=≥=，.获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，()13320248P X ==⨯=，()133********P X ==⨯⨯=，()11150248P X ==⨯=，()13111337024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()111110024432P X ==⨯⨯=，.∴X 的分布列为： X 20 40 50 70 100 P 3893218316132∴39131165()20405070100832816324E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CM CP的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD =， 又因为4,4CD BDC π=∠=．根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ， 平面ABCD平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-.因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π12=，解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做． 20.已知函数21()(1)ln(1)()2f x x x ax x a R =++--∈ （1）设()'()h x f x =，试讨论()h x 的单调性；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上有最大值，求实数a 的取值范围 【答案】（1）在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）01a << 【解析】 【分析】（1）计算()()()ln 1h x f x x ax '==+-，()11h x a x '=-+，讨论0a ≤，0a >两种情况，计算得到答案. （2）讨论0a ≤，1a ≥，01a <<三种情况，求导得到函数单调区间，110h a ⎛⎫->⎪⎝⎭，由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =，计算最值得到答案.【详解】（1）()()ln 1f x x ax '=+-，令()()()ln 1h x f x x ax '==+-， ()11h x a x '=-+； 当0a ≤时，()0h x '>，()'fx ∴在()1,-+∞上递增，无减区间；当0a >时，令()0h x '>，则111x a -<<-，令()0h x '<，则11x a>-， 所以()'fx 在11,1a⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）由（1）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,∞+上递增，()()''00f x f ∴>=，()f x ∴在()0,∞+上递增，无最大值，不合题意；当1a ≥时，()1101h x a a x '=-<-≤+，()'f x 在()0,∞+上递减， 故()()''00f x f <=，()f x ∴在()0,∞+上递减，无最大值，不合题意； 当01a <<时，110a ->，由（1）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 设()1ln g x x x =--，则()1x g x x-'=； 令()0g x '<，则01x <<；令()0g x '>，则1x >，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤-，由此，当0x >时，1≤<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=-．取241t a =-，则11t a>-，且()20h t <-=， 又因为()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭， 所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00h x =；. 当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 故函数在()0,∞+上有最大值()0f x ． 综上，01a <<.【点睛】本题考查了函数的单调性，根据最值求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，2F 点又恰为抛物线2:4D y x =的焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与D 相交于A ，B 两点，记点A ，B 到直线1x =-的距离分别为1d ，2d ，12||AB d d =+．直线l 与C 相交于E ，F 两点，记OAB ，OEF 的面积分别为1S ，2S ． （ⅰ）证明：1EFF △的周长为定值； （ⅱ）求21S S 的最大值． 【答案】（1）2212x y +=；（2）（i ）详见解析；（ii【解析】 【分析】（1）由已知求得2(1,0)F ，可得1c =，又以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点，知b c =，从而求得a 与b 的值，则答案可求；（2）()i 由题意，1x =-为抛物线D 的准线，由抛物线的定义知，1222||||||AB d d AF BF =+=+，结合22||||||AB AF BF +，可知等号当且仅当A ，B ，2F 三点共线时成立．可得直线l 过定点2F ，根据椭圆定义即可证明11||||||EF EF FF ++为定值；()ii 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，求出||AB 与||EF可得21||||4S EF S AB ==；若直线l 的斜率存在，可设直线方程为(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(E x ，3)y ，4(F x ，4)y ，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得||AB ，||EF，可得2212||1()1||2S EF S AB k ==∈+，由此可求21S S 的最大值． 【详解】解：（1）因为2F 为抛物线2:4D y x =的焦点，故2(1,0)F所以1c =又因为以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点知：b c =所以a =1b =所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=（2）（ⅰ）由题知，因为1x =-为抛物线D 的准线 由抛物线的定义知：1222||AB d d AF BF =+=+又因为22||AB AF BF ≤+，等号当仅当A ，B ，2F 三点共线时成立 所以直线l 过定点2F 根据椭圆定义得：112112||4EF EF FF EF EF FF FF a ++=+++==（ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x = 因为||4AB =，||EF =21||||4S EF S AB == 若直线l 的斜率存在，则可设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得，()2222240k x k x k -++= 所以212224k x x k ++=，212244||2k AB x x k+=++= 设()33,E x y ，()44,F x y ，由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，()2222124220k x k x k +-+-= 则2342412k x x k +=+，23422212k x x k-=+所以)23421||12k EF x k+=-==+则2212||11||242S EF S AB k ⎛⎫⎪⎛⎫===⨯∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭综上知：21SS 的最大值等于4【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)A ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，,P Q 中点为M ，求||||||AP AQ AM 的值. 【答案】（1）10x y --=.22(3)9x y -+=.（2）2【解析】【分析】 （1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程得到125t t =-，12t t +=. 【详解】（1）直线:cos 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故cos sin 10ρθρθ--=， 即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线:6cos 0C ρθ-=，则曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，即22(3)9x y -+=.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C的直角坐标系方程得250t --=.设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则125t t =-，12t t +=所以M对应的参数1202t t t +==120|t ||t |||||=||||2AP AQ AM t ==. 【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果； （2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(七)数学试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(七)数学试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（七）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则AB =（ ） A. {1,2,3,4,5}B. {0,1,4,5}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4,5} 【答案】D【解析】【分析】根据并集的定义可直接求得结果.【详解】由并集的定义可得：{}0,1,2,3,4,5AB =.故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2.i 是虚数单位，2z i =-，则||z =（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】【分析】由复数模长的定义可直接求得结果.【详解】2z i =-，z ∴==故选：C .【点睛】本题考查复数模长的求解问题，属于基础题.3.已知向量()1,2a =，()1,b λ=-，若//a b ，则实数λ等于（ ）A. 1-B. 1C. 2-D. 2【答案】C【解析】【分析】 由向量平行关系可构造方程求得结果. 【详解】//a b ，()121λ∴⨯=⨯-，解得：2λ=-.故选：C .【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.4.设命题2:,0p x R x ∀∈>，则p ⌝为（ ）A. 2,0x R x ∀∈≤B. 2,0x R x ∀∈>C. 2,0x R x ∃∈>D. 2,0x R x ∃∈≤【答案】D【解析】【分析】根据全称量词否定的定义可直接得到结果.【详解】根据全称量词否定的定义可知：p ⌝为：x R ∃∈，使得20x ≤.故选：D .【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.5.511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2x -的系数是（ ） A. 15B. 15-C. 10D. 10- 【答案】D【解析】【分析】由二项展开式通项公式可确定3r =，由此可求得系数. 【详解】511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项()()55155111r r r r r r r T C C x x --+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭， 当3r =时，3224510T C x x --=-=-，即2x -的系数为10-.故选：D . 【点睛】本题考查二项展开式指定项系数的求解问题，关键是熟练掌握二项展开式通项公式的形式.6.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为53，点(,0)P b ，则12||||PF PF =( ) A. 6B. 8C. 9D. 10 【答案】C【解析】【分析】根据题意写出1F 与2F 坐标，表示出12||||PF PF ，结合离心率公式计算即可. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，又(,0)P b ， ∴1PF b c =+，2PF c b =-， 该双曲线离心率为53，∴53ca=，即2222253c ca c b⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得54cb=，∴12511||495||114cPF b c bcPF c bb+++====---，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的定义及性质，考查运算能力，属于基础题.7.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d（d为球的直径），并得到球的体积为316V dπ=，这种算法比外国人早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据 3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（）A. 3169d V≈ B. 32d V≈ C. 3300157d V≈ D. 3158d V≈【答案】C【解析】【分析】利用选项中的公式化简求得π，找到最精确的选项即可.【详解】由316V dπ=得：36Vdπ=.由A得：3916Vd≈，693.37516π=∴⨯≈；由B得：312Vd≈，632π∴≈=；由C得：3157300Vd≈，61573.14300π⨯∴≈=；由D得：3815Vd≈，683.215π⨯∴≈=，C∴的公式最精确.故选：C.【点睛】本题考查数学史与立体几何的知识，关键是能够对选项中的公式进行准确化简求得π的近似值.8.已知32cos cos2αβ-=，32sin sinαβ+=cos()αβ+等于（）A. 12B. 12-C. 14D. 14- 【答案】A【解析】【分析】把已知两等式平方后作和，结合同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可化简求得结果.【详解】由32cos cos 2αβ-=得：()22292cos cos 4cos 4cos cos cos 4αβααββ-=-+=， 由32sin sin 2αβ+=得：()22232sin sin 4sin 4sin sin sin 4αβααββ+=++=， 两式相加得：()54cos cos sin sin 3αβαβ--=，即()4cos 2αβ+=，()1cos 2αβ∴+=. 故选：A . 【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用；关键是能够通过平方运算配凑出符合两角和差余弦公式的形式.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 第一场得分的中位数为52B. 第二场得分的平均数为193C. 第一场得分的极差大于第二场得分的极差D. 第一场与第二场得分的众数相等【答案】ABD【解析】【分析】 根据茎叶图分别计算中位数、平均数、极差和众数，依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A ，将第一场得分从小到大排序可知中位数为23522+=，A 正确；对于B ，第二场得分的总分为3967710102476+++++++=，则平均数为7619123=，B 正确； 对于C ，第一场得分的极差为19019-=，第二场得分的极差为24024-=，C 错误；对于D ，第一场和第二场得分的众数均为0，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查茎叶图的相关知识，涉及到利用茎叶图计算中位数、众数、平均数和极差的问题，属于基础题.10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N ，若线段MN 1，则（ ）A. 正方体的外接球的表面积为12πB. 正方体的内切球的体积为43πC. 正方体的棱长为2D. 线段MN 的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，由此确定内切球和外接球半径，由MN 的最小值为两球半径之差可构造方程求得a ，进而求得外接球表面积和内切球体积；由MN 的最大值为两球半径之和可得到最大值.【详解】设正方体的棱长为a ，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即2a ；内切球半径为棱长的一半，即2a . ,M N 分别为外接球和内切球上的动点，min 11222a MN a a ∴=-==，解得：2a =，即正方体棱长为2，C 正确，∴正方体外接球表面积为2412ππ⨯=，A 正确；内切球体积为43π，B 正确；线段MN 的最大值为122a a +=，D 错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点的距离最小值为R r -，最大值为R r +.11.已知圆M 与直线20x y ++=相切于点(0,2)A -，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是（ ）A. 圆M 的圆心在定直线20x y --=上B. 圆M 的面积的最大值为50πC. 圆M 的半径的最小值为1D. 满足条件的所有圆M 的半径之积为10【答案】ABD【解析】【分析】由切线的性质可确定AM 与20x y ++=垂直，由此可求得M 满足的直线方程，可判断出A 的正误；利用垂径定理可构造方程求得半径所有可能的取值，进而判断出,,B C D 的正误. 【详解】圆M 与20x y ++=相切于()0,2A -，AM ∴与20x y ++=垂直，∴直线AM 斜率为1，则M 在直线2y x =-，即20x y -+=上，A 正确；设(),2M a a -，∴圆M 半径r AM ===，∴圆M 被x轴截得的弦长为2==，解得：5a =-或1a =，当5a =-时，圆M 面积最大，为250r ππ=，B 正确；当1a =时，圆M ，C 错误；满足条件的所有半径之积为10=，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查直线与圆知识的综合应用，涉及到切线的性质、直线被圆截得的弦长问题；关键是熟练应用垂径定理，即直线被圆截得的弦长等于12.若存在m ，使得()f x m ≥对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有下界，其中m 为函数()f x 的一个下界；若存在M ，使得()f x M ≤对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有上界，其中M 为函数()f x 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是（ ）A. 1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B. 函数()ln f x x x =有下界，无上界C. 函数2()xe f x x =有上界，无下界D. 函数2sin ()1x f x x =+有界 【答案】BD【解析】【分析】 根据基本不等式可判断出A 错误；利用导数可确定B 中函数的单调性，从而确定是否存在上下界；由20x >，0x e >可知()0f x >，从而否定C ；根据正弦函数的值域可进行放缩得到D 中函数的上下界.【详解】对于A ，当0x >时，12x x +≥（当且仅当1x =时取等号），()1f x ∴>恒成立，1∴是()f x 的一个下界，A 错误；对于B ，()()ln 10f x x x '=+>，()10,x e -∴∈时，()0f x '<；()1,x e -∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，()()11f x f e e-∴≥=-，()f x ∴有下界， 又x →+∞时，()f x →+∞，()f x ∴无上界限，综上所述：()ln f x x x =有下界，无上界，B 正确；对于C ，20x >，0xe >，20xe x ∴>，()f x ∴有下界，C 错误； 对于D ，[]sin 1,1x ∈-，2221sin 1111x x x x -∴≤≤+++， 又2111x -≥-+，2111x ≤+，2sin 111x x ∴-≤≤+，()f x ∴既有上界又有下界， 即()f x 有界，D 正确.故选：BD .【点睛】本题考查函数的新定义运算的问题，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值、放缩法的应用等知识.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且(2)4g -=-，则(2)f =________.【答案】6-【解析】【分析】根据偶函数的定义可构造方程()()f x x f x x +=--，代入2x =和()24g -=-即可求得结果.【详解】()g x 为偶函数，()()g x g x ∴=-，即()()f x x f x x +=--，()()2222f f ∴+=--，又()()2224g f -=--=-，()26f ∴=-.故答案为：6-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.14.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=_________.【答案】2【解析】【分析】根据正弦函数两相邻对称中心横坐标间隔为半个最小正周期可求得最小正周期，由此可求得ω. 【详解】2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 两个相邻的对称中心， 722632T πππ∴=-=，即2T ππω==，2ω∴=. 故答案为：2.【点睛】本题考查正弦型函数对称性和周期性的综合应用问题，关键是明确正弦型函数相邻的两个对称中心横坐标间隔为半个最小正周期.15.已知1F ，2F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧，过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若||2ON =（O 为坐标原点），则21MF MF -=__________，||OM =________.【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】延长2F N ，1MF 相交于Q 点，易知2MF FQ =，得到N 2F Q 中点，结合三角形中位线性质可求得1FQ ，由1211MQ MF MF MF FQ -=-=可求得结果；结合椭圆定义可求得2MF ，1MF ，由勾股定理确定11MF OF ⊥，进而求得结果.【详解】如图，延长2F N ，1MF 相交于Q 点，由题意知：2MN F Q ⊥，且MN 平分12F MF ∠，2MF MQ ∴=，N ∴为2F Q 的中点， O 为12F F 的中点，11//2ON FQ ∴，21114MF MF MQ MF FQ ∴-=-==. 由椭圆定义知：218MF MF +=，26MF ∴=，12MF =， 又12216842F F =-=2222112MF MF F F ∴=+，11MF OF ∴⊥，22114823OM MF OF ∴=+=+=故答案为：4；23【点睛】本题考查椭圆几何性质的应用，涉及到椭圆的定义和对称性的应用，考查学生对于椭圆几何性质的基础知识的掌握情况.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，23AB =12AA =，,E F 分别为1AB ，11A C 的中点，平面α过点1C ，且平面//α平面11A B C ，平面α平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为________. 3【解析】【分析】 由面面平行性质可知11//l A B ，取1111,A B B C 的中点分别为,H G ，可证得//GF l ，由此得到异面直线所成角为GFE ∠或其补角，通过求得cos GFE ∠可确定所成角为GFE ∠，进而得到结果. 【详解】平面//α平面11A B C ，平面α平面111A B C l =，平面11A B C 平面11111A B C A B =， 11//l A B ∴取1111,A B B C 的中点分别为,H G ，连接1,,,,EH EG GH GF AC ，如图所示，则11//GF A B ，//GF l ∴，∴异面直线EF 与l 所成的角为GFE ∠或其补角，23AB =，12AA =，14AC ∴=，1EH =，3HF GF ==，2EG EF ∴==，3322cos 024GF GFE EF ∴∠===>， ∴异面直线EF 与l 所成的角为GFE ∠， ∴异面直线EF 与l 所成角的余弦值为3.故答案为：3. 【点睛】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的求解；解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，将异面直线所成角的问题转变为相交直线所成角的问题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结.如图是2015～2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的拆线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311ii i tt y y =--=∑；回归方程ˆˆˆya bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆnii i nii tty y b tt==--=-∑∑，ˆˆay bt =-. 【答案】（1）ˆ31.1120.9y t =+；（2）338.6万人【解析】 【分析】（1）根据折线图中数据计算得到最小二乘法所需数据，利用最小二乘法求得回归直线； （2）将7t =代入回归直线即可求得所求预测值. 【详解】（1）由折线图中数据计算得：()11234535t =++++=， ()()()522222212101210i i t t =-=-+-+++=∑，由参考数据知，()()51311ii i tt y y =--=∑，()()()51521311ˆ31.110ii i i i tty y bt t ==--∴===-∑∑，ˆˆ214.231.13120.9a y bt=-=-⨯=， ∴所求回归方程为ˆ31.1120.9yt =+. （2）将2021年对应的7t =代入回归方程得：ˆ31.17120.9338.6y=⨯+=， ∴预测2021年全国硕士研究生报考人数约338.6万人.【点睛】本题考查最小二乘法求解回归直线并利用回归直线进行预测的问题，涉及到折线图的读取问题；关键是熟练掌握最小二乘法，对学生的运算能力有一定要求. 18.在①2b c +=.②ABC ∆的面积4ABC S ∆=，③3sin sin 4B C =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题中的ABC ∆是否为等边三角形，请说明理由.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且(cos cos )tan ,1a C c A A a +==，________，试判断ABC ∆是否为等边三角形？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】若选①，等边三角形；若选②，等边三角形；若选③，等边三角形. 【解析】【分析】利用正弦定理边化角整理可求得tan A ，进而得到A ，利用余弦定理可构造方程，得到221b c bc +-=； 若选①，利用余弦定理的结论可求得1bc =，进而求得1b c ==，从而得到结论； 若选②，根据三角形面积公式可求得1bc =，进而求得1b c ==，从而得到结论； 若选③，利用正弦定理角化边可求得1bc =，进而求得1b c ==，从而得到结论.【详解】由()cos cos tan a C c A A +=得：()sin cos sin cos tan A C C A A B +=，即()()sin tan sin tan sin tan A C A B A B A B π+=-==，()0,B π∈，sin 0B ∴≠，tan A ∴=，又()0,A π∈，3A π∴=.由余弦定理得：22222cos 1b c bc A b c bc +-=+-=.若选①，则()2223431b c bc b c bc bc +-=+-=-=，解得：1bc =，1b c ∴==，又3A π=，则ABC ∆是等边三角形.若选②，1sin 244ABC S bc A ∆===，解得：1bc =， 222b c ∴+=，即1b c ==，又3A π=，则ABC ∆是等边三角形.若选③，3A π=，sin 2A ∴=，23sin sin sin 4B C A ∴==，由正弦定理得：2bc a =，即1bc =，222b c ∴+=，即1b c ==，又3A π=，则ABC ∆是等边三角形.【点睛】本题采用开放式设问的方式，考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边角互化的应用、利用余弦定理和三角形面积公式解三角形等知识，属于常考题型.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，()1314nn n S a -+=-，()212(1)log n n n b a +=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）4nn a =；（2）24(21)n T n n =-+【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可证得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式求得结果； （2）由（1）可求得{}n b 的通项公式，采用并项求和的方法，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）()1314n n n S a -+=-，∴当2n ≥且n *∈N 时，()11314n n n S a -+-=-，()()()111331414n n n n n n n a S S a a --+-+∴=-=---，整理可得：()()11440nn n aa -+--=，当2n ≥且n *∈N 时，140n --≠，14n n a a +∴=； 当1n =时，()1112331412S a a-==-=，216a ∴=，满足214a a =，∴数列{}n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，1444n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知：()()()()()2211122221log 41log214n n n n n n b n +++=-⋅=-⋅=-⋅，()()22222241234212n T n n ⎡⎤∴=-+-+⋅⋅⋅+--⎣⎦()()()()()()412123434411n =+⨯-++⨯-+⋅⋅⋅+-⨯-⎡⎤⎣⎦()()()()424374144212n n n n n +=⨯---⋅⋅⋅--=-⨯=-+【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为等比数列并求通项、并项求和法求解数列的前n 项和的问题，涉及到等差数列求和公式的应用；关键是明确对于通项公式含有()1n-的数列求和时，通常采用并项求和的方式，通过分组找到数列的规律.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//BC AD ，222AD BC PA ===，1AB =，,,E F G 分别为线段,,AD DC PB 的中点.（1）证明：平面//PEF 平面GAC ； （2）求多面体AGCPEF 的体积；（3）求直线GC 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3）16【解析】 【分析】（1）连接BE ，交AC 于点O ，证得四边形ABCE 为平行四边形，从而得到O 为AC 中点，分别利用三角形中位线性质和线面平行的判定定理证得//PE 平面GAC ，//EF 平面GAC ，由面面平行的判定定理可证得结论；（2）利用切割的方式，通过所求体积P ABCD G ABC P DEF V V V V ---=--，结合棱锥体积公式可求得结果； （3）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得所求的结果. 【详解】（1）连接BE ，交AC 于点O ，连接,GO CE ，//BC AD ，2AD BC =且E 为AD 中点，//BC AE ∴，∴四边形ABCE 为平行四边形，O ∴为AC 中点，又G 为PB 中点，//GO PE ∴，又GO ⊂平面GAC ，PE ⊄平面GAC ，//PE ∴平面GAC ； ,E F 分别为,AD CD 中点，//EF AC ∴，又AC ⊂平面GAC ，EF ⊄平面GAC ，//EF ∴平面GAC ，,PE EF ⊂平面PEF ，PE EF E ⋂=，∴平面//PEF 平面GAC .（2）222AD BC PA ===，1AB =，∴()111121322P ABCD V -=⨯⨯+⨯=； 又G 为PB 中点，G ∴到平面ABC 的距离为1122PA =，11111132212G ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯=，,E F 分别为,AD CD 中点，14DEF DAC S S ∆∆∴=，又()1112111122DAC S ∆=⨯+⨯-⨯⨯=，11113412P DEF V -∴=⨯⨯=，∴多面体AGCPEF 的体积1111212123P ABCD G ABC P DEF V V V V ---=--=--=.（3）PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，,,AB AD AP ∴两两互相垂直，则以A 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则11,0,22G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ， 11,1,22GC ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，()1,1,1PC =-，()0,2,1PD =-，设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，则020n PC x y z n PD y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-=⎩，令1y =，则2z =，1x =，()1,1,2n ∴=，设直线GC 与平面PCD 所成角为θ，则112sin 6362n GC n GCθ⋅===⋅⨯， ∴直线GC 与平面PCD 所成角的正弦值为16.【点睛】本题考查立体几何中的面面平行关系的证明、多面体体积的求解、空间向量法求解直线与平面所成角的问题；对于不规则几何体体积的求解，通常采用切割的方式，将问题转化为棱锥或棱柱体积的求解问题.21.已知点()()8,0P t t <是抛物线()2:20C y px p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，10PF =.（1）求直线PF 的方程；（2）若直线PF 与抛物线C 的另一个交点为Q ，曲线C 在点P 与点Q 处的切线分别为,m n ，直线,m n 相交于点G ，求点G 的坐标.【答案】（1）4380x y +-=；（2）(2,3)--【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式可求得抛物线方程和焦点坐标，进而求得P 点坐标；由直线两点式方程可整理得到直线的一般式方程；（2）联立直线PF 方程与抛物线方程可求得Q 点坐标，假设切线方程，与抛物线方程联立后可利用0∆=求出切线方程，两条切线方程联立即可求得交点坐标. 【详解】（1）10PF =，8102p∴+=，解得：4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =，()2,0F ，又P 为抛物线C 上一点，264t ∴=，又0t <，8t ∴=-，∴直线PF 的方程为028082y x --=---，即4380x y +-=.（2）联立243808x y y x+-=⎧⎨=⎩得：26160y y +-=，解得：8y =-或2y =， 1,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，设():88m y k x +=-，联立()2888y x y k x ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩得：2864640ky y k ---=，由()64464640k k ∆=++=得：12k =-， ∴直线m 的方程为：()1882y x +=--，即280x y ++=. 同理可求得直线n 的方程为：210x y -+=.由280210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得：23x y =-⎧⎨=-⎩，即G 点的坐标为()2,3--.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线焦半径公式的应用、抛物线切线方程的求解等知识；解决直线与拋物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题；（3）注重平面几何的知识，利用数形结合的思想处理问题.22.已知函数()sin f x ax x =-，曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线过点(2021,2020). （1）求实数a 的值；（2）求函数()()g x xf x =的单调区间；（3）若112a =，122n n n a a f a ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，证明：1114n n a a π+-<- 【答案】（1）1a =；（2）单调递增区间(0,)+∞，单调递减区间(,0)-∞；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用在某点处切线方程的求解方法可求得在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程，将点()2021,2020代入切线方程即可求得a ；（2）由（1）可知当0x >时，sin 0x x ->，从而可确定当0x >时，()g x '的正负，从而确定()g x 在()0,∞+上的单调性；根据奇偶性定义可知()g x 为偶函数，从而求得其在(),0-∞上的单调性，进而得到所求单调区间；（3）根据递推关系式可类推得到101n n a a +<<<，利用（2）中当0x >时，sin x x >的结论，将所证不等式左侧进行放缩即可证得结论. 【详解】（1）()cos f x a x '=-，cos 22f a a ππ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，又122a f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为：122a y a x ππ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即为1y ax =-，又切线过点()2021,2020，202020211a ∴=-，解得：1a =. （2）()22sin sin g x ax x x x x x =-=-，()2sin cos g x x x x x '∴=--，当0x >时，由（1）知：()1cos 0f x x '=-≥，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()00f x f ∴>=，即sin 0x x ->，()()()2sin cos sin 1cos g x x x x x x x x x '=--=-+-，∴当0x >时，()0g x '>，()g x ∴在()0,∞+上单调递增；又()()()()22sin sin g x x x x x x x g x -=-+-=-=，()g x ∴偶函数，()g x ∴在(),0-∞上单调递减；综上所述：()g x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞.（3）sin 222n n n f a a a πππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1sin 2n na a π+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 112a =，2sin 42a π∴==120222a a πππ∴<<<，2301a a ∴<<<， 依次类推可得到：101n n a a +<<<.()211sin 1cos 2sin 1122241111n n n n n n n na a a a a a a a ππππ+⎛⎫⎛⎫⎡⎤---- ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦===---- 01n a <<，011n a ∴<-<，()0144n a ππ∴<-<，又101n n a a +<<<，110112n a a ≤∴<--=， 由（2）知：当0x >时，sin x x >，()()()222sin 121144111424224n n n nn a a a a a πππππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴<=⨯-≤⨯⨯<--，1114n n a a π+-∴<-.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数求解函数的单调区间、利用导数证明与数列有关的不等式的问题；证明不等式的关键是能够将所证不等式，利用已证得的结论进行适当放缩，属于较难题.。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(七)物理试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(七)物理试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（七）物理试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.如图所示是氢原子的能级图，大量处于n＝5激发态的氢原子向低能级跃迁时（）A. 一共能辐射6种频率的光子B. 能辐射出3种能量大于10.2eV的光子C. 能辐射出3种能量大于12.09eV的光子D. 能辐射出能量小于0.31eV的光子【答案】B【解析】【详解】A ．激发态的氢原子向低能级跃迁时，能辐射()112n n -种频率的光子，当5n =时，一共能辐射10种频率的光子，A 错误；BCD ．辐射的光子的能量等于两能级能量之差，即从5n =依次向4,3,2,1n =跃迁的能量分别为：0.31eV ，0.97eV ，2.86eV ，13.06eV ； 从4n =依次向3,2,1n =跃迁的能量分别为：0.66eV ，2.55eV ，12.75eV ； 从3n =依次向2,1n =跃迁的能量分别为：1.89eV ，12.09eV ； 从2n =向1n =跃迁的能量为：10.2eV ； 所以B 正确，CD 错误； 故选B ．2.三条在同一平面（纸面）内的长直绝缘导线组成一等边三角形，在导线中通过的电流均为I ，方向如图所示。

2021届全国天一大联考新高考模拟考试(三)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟考试(三)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟考试（三）数学试卷（理）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合1|02x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}|5213B x x =-≤+≤，则集合A B =（ ） A. [)3,2-- B. ()2,1-C. RD. ∅【答案】A 【解析】 【分析】分别求解集合A 和集合B ，进而求解AB 即可.【详解】解：由1|02x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，可知{|2A x x =<-或}1x >， 由{}|5213B x x =-≤+≤，可知{}|31B x x =-≤≤. 则{}|32A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，结合分式不等式的解法，考查运算能力，属于基础题. 2.已知直线1l :sin 210x y α+-=，直线2l :cos 30x y α-+=，若12l l ⊥，则tan2α=（ ）A. 23-B. 4 3-C. 2 5D. 4 5【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的垂直，即可求出tanα=2，再根据二倍角公式即可求出． 【详解】因为l 1⊥l 2，所以sin 2cos 0αα-=， 所以tan α=2， 所以22tan 44tan 21tan 143ααα===---. 故选：B ．【点睛】本题考查了两直线的垂直的充要条件，以及正切二倍角公式，属于容易题.3.已知复数z 满足||1z =，则|1|z -+的最小值为（ ）A. 2B. 1C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】复数方程||1z =转化成实数方程221x y +=，再由复数模几何意义得|1|z -+表示(1,与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】设(),z x yi x R y R =+∈∈，由||1z =得221x y +=，又1z -+=(1,与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得min |1|1211z -==-=，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，考查了转化思想，属于中档题．4.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A. //αβ，//m α，则//m βB. m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβC. m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥D. m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面和面面平行，线线、线面和面面垂直有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，//αβ，//m α，可能m β⊂，所以A 选项错误.对于B 选项，m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，可能α和β相交，所以B 选项错误. 对于C 选项，m n ⊥，m α⊥，βn//，可能n ⊂α、//αβ，所以C 选项错误.对于D 选项，m α⊥，//m n ，则n α⊥，由于//αβ，则n β⊥，所以D 选项正确，故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性判断，属于中档题. 5.已知()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则函数()f x 可以是（ ）A. 42()2f x x x =-B. ()2x xe ef x -+=C. ()sin f x x x =D. 21()cos 3f x x x =+ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与在区间(0,)+∞上的单调性，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，42()2f x x x =-，其定义域为R ，有42()2()f x x x f x -=-=，是偶函数，其导数32()444(1)f x x x x x '=-=-，在区间(0,1)上，()0f x '<，()f x 为减函数，不符合题意；对于B ，()2x x e e f x -+=，其定义域为R ，有()()2x xe ef x f x -+-==，是偶函数，其导数()2x xe ef x --'=，在区间(0,)+∞上，()0f x '>，()f x 为增函数，符合题意；对于C ，()sin f x x x =，其定义域为R ，有()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，是偶函数，而()022f ππ=>， 33()022f ππ=-<，在(0,)+∞上不是增函数，不符合题意； 对于D ，()21cos 3f x x x =+，其定义域为R ，有21()()cos()3f x x x -=-+-21cos 3x x =+()f x =，是偶函数，而(0)1f =，21()13272f ππ=+<，在(0,)+∞上不是增函数，不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意函数奇偶性与单调性的判断方法，属于基础题． 6.已知圆C :22()4(2)x a y a -+=≥与直线20x y -+=相切，则圆C 与直线40x y --=相交所得弦长（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆C :22()4(2)x a y a -+=≥与直线20x y -+=相切，由圆心到直线的距离等于半径求得a，然后再利用弦长公式l =.【详解】圆心到直线20x y -+=的距离为：d =，因为圆C :22()4(2)x a y a -+=≥与直线20x y -+=相切，所以2d r ===，解得2a =或2a =- 因为2a ≥， 所以2a =，所以22(2)4x y -+=，圆心到直线40x y --=的距离为：d ==，所以圆C 与直线40x y --=相交所得弦长为l ==， 故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及弦长公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7.已知函数()sin cos f x x x =+的导函数为()g x ，则下列结论中错误．．的是（ ） A. 函数()f x 与()g x 有相同的值域和周期 B. 函数()g x 的零点都是函数()f x 的极值点 C. 把函数()f x 的图象向左平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图象 D. 函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是增函数 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导数，利用三角函数的辅助角公式进行化简，分别进行判断即可.【详解】由题意知，()()cos sin )[4g x f x x x x π'==-=+∈，周期为2π又()sin cos )[4f x x x x π=+=-∈，周期2π，两个函数值域与周期相同，故A 正确；若0x 是函数()g x 的零点,则g (0x ) =0，即0()0f x '=，即0x 是函数()f x 的极值点，故B 正确；把函数()f x 的图象向左平移2π个单位，得)4y x π=+，得到函数()g x 的图象，故C 正确；当,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，则(0)42x ππ-∈-，此时()f x 是增函数，当,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，(0,)42x ππ+∈，此时函数()g x 是减函数，两个函数不都是增函数，故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查命题的真假关系，涉及三角函数的图象和性质,利用辅助角公式进行化简，导数零点与函数极值点，结合三角函数的性质是解决本题的关键.8.若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布()21000,500N ，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（ ） 参考数据:若随机变量X 服从正态分布则()2N ,μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，3309().973P X μσμσ-<≤+=.A. 2.718B. 6.827C. 8.186D. 9.545【答案】C 【解析】 【分析】先求恰在500元至2000元之间概率，再求数学期望. 【详解】(100050010002500)P X -<≤+⨯(1000250010002500)(100025001000500)P X P X =-⨯<≤+⨯--⨯<≤- (1000250010002500)P X =-⨯<≤+⨯(1000250010002500)(10005001000500)2P X P X -⨯<≤+⨯--<≤+-(1000250010002500)(10005001000500)2P X P X -⨯<≤+⨯+-<≤+=0.95450.68270.81862+==ξ的数学期望为0.8186108.186⨯=故选：C【点睛】本题考查正态分布及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.5(21)(x x++的展开式中3x 系数为（ ） A. 180 B. 90C. 20D. 10【答案】A 【解析】 【分析】 利用5(x+展开式通项公式352153r r r r T C x -+=即可得解.【详解】5(x展开式通项公式352153r r r r T C x -+=，其各项次数依次为7155,,2,,1,222--, 所以3x 的系数是21x +的一次项系数2乘以5(x+展开式的2x 的系数. 由5(x+展开式通项公式352153r r r r T C x -+=知3522r-= 解得2r，所以3x 系数为22523=180C ⨯. 故选：A【点睛】本题考查二项式定理，考查分类讨论的数学思想以及赋值法的应用.求解形如()()++n ma b c d 的展开式问题的思路：(1)若n m ， 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如222+++()()()(2)++m m a b c d a ab b c d ＝ ，然后展开分别求解．(2)观察()(++)a b c d 是否可以合并，如5752252()()[()()1+1]()111()()11x x x x x x x ---=--=+ ； (3)分别得到((+))+n m a b c d ，的通项公式，综合考虑．10.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且2sin b a B =， 则cos sin B C +的取值范围为（ ）A. B.C. 322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得sin B 进而求得B 的大小.根据三角恒等变换化简cos sin B C +，由此求得取值范围.【详解】依题意2sin b a B =， 由正弦定理得sin 2sin sin B A B =，所以1sin 2A =，cos A =由于三角形ABC 是锐角三角形，所以6A π=.由23202A B B B ππππ⎧+>⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩. 所以5cos sin cos sin 6B C B B π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭13cos cos cos 22B B B B B =++=+3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于25336B πππ<+<，所以1sin ,322B π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332B π⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，两角差的正弦公式，属于中档题.11.设双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，P 在双曲线E 的右支上.且12PF PF ⊥，Q 为线段1PF ，与双曲线E 左支的交点，若230PQF ∠=︒，则2e =（ ）A. 7-B. 1+C. 1D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设2PF m =，根据双曲线的定义和直角三角形的性质可得出22,==QF m PQ ，122=-QF m a ，4a m =，2221616c m =，再由双曲线的离心率可得选项.【详解】据已知在2PQF ∆中，230PQF ∠=︒，设2PF m =，则22,==QF m PQ ，由双曲线定义得211||||2,22-=∴=-QF QF a QF m a，又()12||||222,PF PF a m a m -==--所以4a m =，12=PF ，又在12PF F ∆中有，2222112+,=PF PF F F 即222+4m c⎫=⎪⎪⎝⎭，所以2221616c m=，故22227mcea===-.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的基本知识和离心率的求解，关键在于由平面几何中的三角形的性质和双曲线的定义得出线段间的数量关系，属于中档题.12.已知函数33,0()ln1,0xx x xf x x xxe x⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若关于x的方程发2()()10f x mf x--=恰好有6个不相等的实根，则实数m的取值范围是（）A.12,1e⎛⎫-+⎪⎝⎭B. ()12,00,1e⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭C.2321,2ee e+⎛⎫- ⎪+⎝⎭D.2321,00,2ee e+⎛⎫⎛⎫-⋃⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】【分析】利用导数的性质对该分段函数进行作图，并利用导数求出该分段函数的极值，根据图像即可求解.【详解】当0x≤时,3()3f x x x=-，则2'()333(1)(1)f x x x x=-=-+，令'()0f x=，得1x=-，∴当(,1)x∈-∞-时，'()0f x<，()f x单调递减；当(1,0)x∈-时，'()0f x>，()f x单调递增，且(1)2f-=-，(0)0f=，当0x>时，ln1()xx xf xe x+=+，21ln'()xx xf xe x--=+，显然，'(1)0f=，∴当(0,1)x∈时，'()0f x>，()f x单调递增；当(1,)x∈+∞时，'()0f x<，()f x单调递减，且1(1)1fe=+，故()f x的大致图像如图所示：令()t f x =，则关于x 的方程2()()10f x mf x --=化为关于t 的方程210t mt --=，240m ∆=+>，∴方程210t mt --=有两个不相等的实根，设为1t ，2t ，由韦达定理得：1212,10t t m t t +==-<，不妨设120,0t t ><，关于x 的方程2()()10f x mf x --=恰好有6个不相等的实根，由函数()f x 的图像可知，1101t e <<+，220t -<<，设2()1g t t mt =--，则(2)0(0)01(1)0g g g e ⎧⎪->⎪<⎨⎪⎪+>⎩，解得：23212e m e e+-<<+ 故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的根的情况，属于难题.二、填空题.13.已知向量,a b ，满足：(1,3)a =，||2b =，()a b b -⊥，则向量,a b 的夹角为______.【答案】4π 【解析】 【分析】根据()a b b -⊥，利用平面向量的数量积运算求得=2a b ⋅，然后结合()21+3a =，||2b =，由夹角公式cos ,a b a b a b⋅=⋅求解.【详解】因为(1,3)a =， 所以(1+a =，又因为()a b b -⊥，所以2()==0a b b a b b -⋅⋅-， 解得=2a b ⋅，所以cos ,222a b a b a b⋅===⋅⋅， 因为[],0,a b π∈， 所以a,b 4π=，故答案为：4π 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量夹角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知非负实数x ，y 满足10240x y x y --≥⎧⎨+-≤⎩，则11y z x +=+的最大值是______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最大值，得到答案.【详解】由已知得,因为非负实数x ，y ，故可得x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点B 时，z 最大， 所以，z 的最大值为11201+=+. 故答案为：2【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15.已知直线l 经过抛物线C :24y x =的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，其中点A 在第四象限，若2AF FB →→=，则直线l 的斜率为______.【答案】22-【解析】 【分析】根据题中所给条件，设出直线方程为()1y k x =-，联立直线方程与抛物线方程，依据条件，得出交点横坐标之间的数量关系，然后再根据韦达定理，求出交点横坐标，从而求得结果．【详解】依题意，抛物线24y x =的焦点()10F ， 设直线l 的方程为()1y k x =-由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2222220k x k k -++=，设()11A x y ，，()22B x y ，12242x x k ∴+=+，121x x ⋅=， 2AF FB →→=，且()()11221,,1,AF x y FB x y →→=--=-，12122x x ∴-=-即21230x x +-= 121x x =，221230x x ∴+-=， 解得21x =或212x =11x ∴=或12x =又122422x x k +=+>，所以12x =，212x =，得241222k +=+ 解得：22k =±，结合图象得22k =-.故答案为：22-【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，考查了学生的运算求解能力. 16.如图，在三棱锥A BCD -中，2AB CD ==，3AC BD ==，5BC AD ==，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.若用一个与直线EF 垂直的平面去截该三棱锥，与棱AC ，AD ，BD ，BC 分别交于M ，N ，P ，Q 四点，则四边形MNPQ 面积的最大值为______.【答案】32【解析】 【分析】把三棱锥A BCD -放置在长方体中，由已知可得四边形MNPQ 为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得||||||2PN PQ AB +==,求出PN 与PQ 所成角，代入三角形面积公式，再由基本不等式求最值. 【详解】把三棱锥A BCD -放置在长方体中,如图，,E F 分别是AB ,CD 的中点,且平面MNPQ EF ⊥，可知//,//MN PQ PN QM ，则四边形MNPQ 为平行四边形， 再由平行线截线段成比例知，||||||||,||||||||NP PD PQ BP AB BD CD BD ==，且||||AB CD =， 所以|||||||||||+1|||||||||PN PQ NP PQ PD BP AB CD AB BD ++=== 可得||||||2PN PQ AB +==，因为长方体侧面DC 3,1， 所以长方形对角线长为2，由正三角形可知侧面两条对角线所成锐角为60°, 又//,//PQ CD PN AB 则60NPQ ︒∠=，23||||3||||sin 60222MNPQ PN PQ S PN PQ ︒+⎛⎫∴=⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭四边形， 当且仅当|||1PN PQ==∣时等号成立， ∴四边形MNPQ 33【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线、直线与平面位置关系的应用，考查“分割补形法，利用基本不等式求最值，属于中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且满足121n n S S n +=++ （1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T【答案】（1）见解析；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】（1）根据1n n n a S S -=-结合已知条件等式可得递推关系式121n n a a +=+，2n ≥，即可得证； （2）首先根据（1）求得n b 的通项公式，然后利用错位相减法求解即可. 【详解】(1)证明：∵121n n S S n +=++，① ∴当2n ≥时，12n n S S n -=+②-①②得，121n n a a +=+，2n ≥∴11211n n a a ++=++，2n ≥ 即()1121n n a a ++=+，2n ≥. 又12122a a a +=+，∴23a =， 则()21121a a +=+∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，公比为2的等比数列.(2)由（1）知12n n a +=. ∴2nn b n =⋅.∴1234112223242(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+⋅①∴23451212223242(1)22nn n T n n +=⨯+⨯+⨯+⨯+-⋅+⋅②-①②得：23121212122n n n T n +-=+⨯+⨯+⋯+⨯-⋅1(1)22n n +=-⋅-.∴1(1)22n n T n +=-⋅+.【点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法.常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等.18.如图.长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，2AB =，13AA =，E 为棱1AA 上一点，1AE =，F 为棱11B C 上任意一点.（1）求证：BE EF ⊥；（2）求二面角11C B E C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（210【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可知1BE B E ⊥，再由11B C ⊥平面11A ABB 知11BE B C ⊥，可证BE ⊥平面11E B C ，即可得BE EF ⊥；（2）分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 【详解】(1)证明：∵1AE =，12A E =，在长方体1111ABCD A B C D -中，2211116B E A E A B =+=，223BE AE AB =+，∴22211B B B E BE =+，即1BE B E ⊥.在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11A ABB ，BE ⊂平面11A ABB ，∴11BE B C ⊥ 又1111E B B C B ⋂=，∴BE ⊥平面11E B C .无论点F 位置如何，EF ⊂平面11E B C ， ∴BE EF ⊥.(2)如图所示，分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦即可.则1(2,2,3)B ，E(2,0,1)，2,0)，2,2,0)B ，1(2,0,3)CB →=，12,2)EB →=设平面的法向量为n (x,y,z)→=∴1100n CB n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230220x z z +=+= 令2z =3x =-，2y =-，可得平面1CB E 的一个法向量为(3,22)n →=--由（1）可知，BE ⊥平面11E B C ，所以平面11B C E 的一个法向量(0,2,1)BE →=- ∴,3210cos ,315||||BE BE B n E nn →→→→→→⋅<>===⨯⋅即二面角11C B E C --10【点睛】本题主要考查了线线垂直，线面垂直的判定与性质，利用向量法求二面角，属于中档题. 19.已知平面内动点P 与点(2,0)A -，(2,0)B 连线的斜率之积为34-. （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点(1,0)F 的直线与曲线E 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线4x =分别交于M ，N 两点.求证：以MN 为直径的圆恒过定点.【答案】（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）见解析【解析】 【分析】(1) 设点P 的坐标(),x y ，再根据34PA PB k k ⋅=-列式求解，同时注意定义域即可； (2)联立PQ 与椭圆的方程，设()11,P x y ，()22,Q x y ，得出韦达定理，进而求得,M N 的坐标表达式，进而求得MN 的长及MN 的中点，写出以MN 为直径的圆的方程，即可分析出所过定点. 【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，则由34PA PB k k ⋅=-，可得3224y y x x ⋅=-+- 整理得221(2)43x y x +=≠±，即动点P 的轨迹E 的方程（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为(1)y k x =-，与曲线E 的方程联立，消去y 得()22223484120k xk x k +-+-=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+ 直线AP 的方程为1122y x y x +=+，令4x =，得1162=+y y x ，即1164,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭， 同理2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭， ∴()()()()()211221************||62224k x x x x y y MN x x x x x x +⎡⎤-+--+⎣⎦=-=++++()()2112121824k x x x x x x -=+++21||x x -===∴|MN |=线段MN 中点的纵坐标为12121212661113322222y y x x k x x x x k ⎛⎫⎛⎫--+=⋅+=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭故以MN 为直径的圆的方程为：()2222913(4)k x y k k +⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ 令0y =得:2(4)9x -=，解得1x =或7x =此时MN 以为直径的圆过点()1,0D 和()7,0E 当PQ x ⊥轴时，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,3M ，()4,3N - 则以MN 为直径的圆的方程为22(4)9x y -+=，也过点D ，E 所以，以MN 为直径的圆恒过点(1,0)D 和(7,0)E .【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解方法，圆的方程，同时也考查了联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求解定值的问题，需要根据题意设椭圆上的点的坐标，进而表达相关点的坐标，进而表达出对应的弦长代入韦达定理求解.属于难题.20.某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性.主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）.若朝上的点数为偶数.则继续抛掷一次.若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次.每位参与者只能参加一次游戏.（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书.方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励.试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由. 【答案】（1）49216；（2）选择方案一，理由见解析 【解析】 【分析】（1）游戏结束时朝上点数之和为5的事件为只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5、抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5、掷3次结束游戏且朝上点数之和为5三个互斥事件的和，根据互斥事件的和的概率求解即可;（2）分别计算方案一、方案二获得畅销书本书的随机变量的期望即可比较方案的优劣.【详解】(1)设事件A ：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B :抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C :掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A ，B ，C 彼此互斥. 则1()6P A =，()11111666618P B =⨯+⨯=，()1111666216P C =⨯⨯= 游戏结束时朝上点数之和为5，即事件A B C ++，其概率为11149()618216216P A B C ++=++=（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X ，1(3)8P X ==7(1)8P X ==则X 的分布列为：175()31884E X =⨯+⨯=方案二：设获得奖励畅销书的本数为Y1(5)8P X ==7P(0)8X ==则Y 的分布列为：175()50888E Y =⨯+⨯=∵()()E X E Y >，∴选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励.【点睛】本题主要考查了互斥事件的和的概率，古典概型，离散型随机变量的分布列，期望，属于中档题.21.设函数()ln f x x =，()(1)g x a x =-.（1）若对任意(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值集合； （2）设()2*n x nn N =∈，点()(),nnnA x f x ，点()()111,n n n A xf x +++，直线1n n A A +的斜率为n k 求证:()*122n k k k n N ++⋯+<∈.【答案】（1）{}1；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令()()ln (1())F x f x g x x a x =--=-，求得导数1()axF x x-='，结合导数分类讨论求得函数()F x 的单调性与最值，即可求解.（2）由点()22,ln n A n n，点()(221(1),ln(1)n A n n +++，求得221ln 121n n n k n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+，根据（1）求得2221121n n n k n n+<=+，进而作出证明. 【详解】（1）由题意，函数()ln ,()(1)f x x g x a x ==-， 令()()ln (1())F x f x g x x a x =--=-，则11()axF x a x x-=-='， 若0a ≤时，()0F x '>，函数()F x 为单调递增函数，当1x >时，ln (1)0x a x -->，即()()f x g x >，不符合题意； 若0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<，令()0F x '<，解得1x a>， 所以()F x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减， 所以，当1x a =时，函数()F x 取得最大值111ln 1ln 1F a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要使得对任意(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≤恒成立，只需1ln 10F a a a ⎛⎫=-+-≤⎪⎝⎭， 令()ln 1x x x ϕ=-+-，可得11()1x x x xϕ-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递减， 所以()x ϕ在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， 所以()(1)0x ϕϕ≥=，所以()0a ϕ≥，即()0a ϕ=，可得()ln 10a a a ϕ=-+-=，解得 1a =， 所以实数a 的取值集合为{}1. （2）由题意知，点()22,ln n A n n，点()(221(1),ln(1)n A n n +++，2222221ln 1ln(1)ln (1)21n n n n n k n n n +⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭==+-+ 由（1）知，当1a =时，ln 1(0)x x x ≤->，所以222121ln 1n n n n ++⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以2221121nn n k n n +<=+， 所以1222111122n n k k k +++<++， 而22221111111112311223(1)n n n++++≤++++⨯⨯-11111111222231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()*122n n k k k N++⋯+<∈.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点(2,1)A，点B为曲线C上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值.并求此时点B 的坐标.【答案】（1）2213xy+=，10x-=；（2）最大值为4，此时点的坐标为22⎛⎫⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）曲线C的普通方程为2213xy+=，由1sin62πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭11sin cos22ρθρθ+=，然后可化为10x+-=（2）点A的直角坐标为()2,1，设点),sinBαα，则点1sin2Mα⎫+⎪⎪⎝⎭，点M到直线l的距离为:d==然后即可得出其最大值，进而可求出此时点B的坐标【详解】（1）曲线C的参数方程为sinxxαα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)可得cossinyαα==⎩两边平方相加得：221y+=即曲线C的普通方程为：2213xy+=由1sin62πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭11sin cos22θρθ+=即直线l的直角坐标方程为10x+-=(2)(2,1)A，设点),sinBαα，则点1sin2Mα⎫+⎪⎪⎝⎭，点M到直线l的距离d ===当sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d即点M 到直线l的，此时点的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的是参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用参数方程求解最值问题，属于基础题.23.已知是a ，b ，c 正实数，且21a b c ++=.()1求111a b c++的最小值； ()2求证：22216a b c ++≥. 【答案】()16+；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1根据a ，b ，c 是正实数，且21a b c ++=，可得()1111112a b c a b c a b c⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求出111a b c++的最小值即可； ()2由柯西不等式可得()()()22222221122a b c a bc ++++≥++，再结合21a b c ++=，即可证明22216a b c ++≥成立. 【详解】解：()121a b c ++=，∴()11111122b a c a b c a b c a b c a b a⎛⎫++=++++=+++ ⎪⎝⎭ 246a c bc b c+++≥+当且仅当a b ==时，等号成立.又由21a b c ++=，∴22a b -==，12c =时，等号成立，即111a b c++的最小值为6+. ()2由柯西不等式可得()()()222222211221a b c a b c ++++≥++=即2221 6a b c ++≥当且仅当112a b c==时，等号成立. 又由21a b c ++=，∴13c =，16a b ==时，等号成立.∴22216a b c ++≥成立. 【点睛】本题考查利用综合法证明不等式，基本不等式和柯西不等式的运用，考查转化思想，属于中档题.。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十）数学试题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24410U x x x =-+≥，{}20B x x =-≥，则UB =（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合U 和B ，进而可求出UB .【详解】由()22441210x x x -+=-≥恒成立，所以U =R . 又因为{}{}202B x x x x =-≥=≥，所以{}2UB x x =<.故选：A.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的补集，属于基础题. 2.已知32a ib i i-=+（,a b ∈R ），其中i 为虚数单位，则复数z a bi =-在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算，结合复数相等，求得参数,a b ，写出复数在复平面内对应点的坐标即可判断. 【详解】因为32a ib i i-=+，故可得32a i bi -=-+， 故可得2,3a b =-=-，则复数23a bi i -=-+在复平面内对应的点为()2,3-， 其位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数相等求参数，以及复数在复平面内对应点的考查，属综合基础题. 3.在正项等比数列{}n a 中，若2124a a =，则72a （ ） A. 2- B. 2C. 4D. 16【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的性质可得，27212a a a =，即可求出7a ，从而可求出()72a-. 【详解】在正项等比数列{}n a 中，由题意得272124a a a ==，72a ∴=，()()72224a -=-=∴.故选：C.【点睛】本题考查等比中项的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 4.251(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中x 3的系数为（ ） A. 5 B. 10C. 15D. 20【答案】C 【解析】 【分析】利用乘法分配律和二项式展开式通项公式，求得3x 的系数. 【详解】依题意，展开式中3x 的项为()12243355151015x C x C x x x x⋅+⋅=+=，所以3x 的系数为15. 故选：C【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查乘法分配律，属于基础题.5.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为135，180，则输出的a =（ ）A. 0B. 5C. 15D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，列出算法循环的每一步，结合判断条件，可得输出的a 值. 【详解】运行该程序，输入135a =，180b =， 则a b ，且a b <，可得135a =，18013545b =-=； 则a b ，且a b >，可得1354590a =-=，45b =； 则ab ，且a b >，可得904545a =-=，45b =；则a b =，退出循环，输出45a =. 故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，直线9x =与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，O为坐标原点.若OPQ △为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B.3C.43D.【答案】B 【解析】 【分析】由OPQ △为正三角形，可得π6QOx ∠=，从而可知双曲线C 的渐近线为y x =，即可求出b a 的值，再结合离心率c e a ==.【详解】依题意得OPQ △为正三角形，所以π3POQ ∠=，结合对称性可知，π6QOx ∠=，所以双曲线C 的渐近线为y x =，即b a =所以离心率3c e a ====. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 7.东京夏季奥运会推迟至2021年7月23日至8月8日举行，此次奥运会将设置4⨯ 100米男女混泳接力赛这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场.若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有（ ） A. 144种 B. 8种 C. 24种 D. 12种【答案】B 【解析】 【分析】由甲只能承担仰泳或者自由泳，可分为两种情况，分别讨论，进而利用分类加法计数原理，可求出答案.【详解】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有122C =种安排方法，其他两名运动员有222A =种安排方法，共计224⨯=种方法；若甲承担自由泳，则乙运动员有122C =种安排方法，其他两名运动员有222A =种安排方法，共计224⨯=种方法.所以中国队参赛共有448+=种不同的安排方法. 故选：B .【点睛】本题考查排列组合，考查分类加法计数原理的应用，考查学生的推理能力，属于基础题. 8.已知直三棱柱111ABC A B C -玉石，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，14cm AA =，若将此玉石加工成一个球，则此球的最大表面积为（ ）2cm .A.8π3B.32π3C. 16πD.64π3【答案】C 【解析】 【分析】由222AB AC BC =+，可知ABC 为直角三角形，可求得Rt ABC △的内切圆的半径r ，可知12AA r =，从而将此玉石加工成一个球，此球是该三棱锥的内切球时，球的表面积最大，且内切球半径R r =，求出该球的表面积即可.【详解】在ABC 中，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，则222AB AC BC =+，所以ABC 为直角三角形，在Rt ABC △中，设内切圆的半径为r ，则()1168681022r ⨯⨯=++，即2cm r =， 因为12AA r =，所以将此玉石加工成一个球，要求此球的最大表面积，此球应是直三棱的内切球，球的半径R 等于底面直角三角形内切圆的半径，即2cm R =， 所以该球的最大表面积为24π16πS R ==. 故选：C.【点睛】本题考查几何体的结构特征、内切球的表面积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A. 335π11π2π,2πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B. 335π11π4π,4πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C. 33π5π2π,2πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈ZD. 33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知函数()f x 的周期7ππ233T ⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，结合2πT ω=，可求出ω，再结合函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，π,03⎛⎫⎪⎝⎭，可求出,A ϕ，即可得到函数()f x 的表达式，进而利用平移变换，可得到()g x 的表达式，然后求出单调递增区间即可.【详解】由图象可知，函数()f x 的周期7ππ2π24π33T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，12ω∴=. 又函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， ππsin 036f A ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π2π6n ϕ+=∴()n ∈Z ，π2π6n ϕ=-∴，π2ϕ<，π6ϕ∴=-，又()π30sin sin 62f A A ϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，3A ∴=，()1π3sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.∴()π1π3sin 323g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π1ππ2π2π2232k x k -+≤-≤+()k ∈Z ，得π5π4π4π33k x k -+≤≤+， 故()g x 的单调递增区间为33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z . 选择：D.【点睛】本题考查三角函数的解析式、图象的平移变换及单调递增区间，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.定义在R 上的奇函数()f x 在,0上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. c a b <<D. a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】易知()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可判断出0.822log 5log 4.122>>>，结合函数的单调性可得()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】由()f x 是定义域为R 的奇函数，且在(),0-∞上是增函数， 则()f x 在(0,)+∞上是增函数， 所以()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()2log 4.1b f =，()0.82c f =，易知222log5log 4.1log 42>>=，而10.822<，所以0.822log 5log 4.12>>.所以()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即c b a <<.故选：A.【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，下列说法中：①PQ 可能与平面11CDD C 平行； ②PQ 与BC 所成的角的最大值为π3； ③1CD 与PQ 一定垂直； ④2PQ ≥⑤PQ 与1DD 5. 其中正确个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】结合空间中线线、线面、面面间的位置关系及正方体的性质，对题中5个说法逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①，当Q 为11B C 的中点时，因为1//C Q PD 且1C Q PD =，所以四边形1C QPD 是平行四边形，所以1//PQ C D ，又因为PQ ⊄平面11CDD C ，1C D ⊂平面11CDD C ，所以//PQ 平面11CDD C ，故①正确； 对于②，当Q 为11B C 的中点时， 1//PQ C D ，又111B C C D ⊥，11//BC B C ，可得PQ BC ⊥，此时PQ 与BC 所成的角为π2，故②错误； 对于③，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，且1111C DB C C =，可得1CD ⊥平面11ADC B ，又PQ ⊂平面11ADC B ，故1CD PQ ⊥，故③正确；对于④，当Q 为11B C 的中点时，线段PQ 的长为两平行线11,AD B C 之间的距离，且12PQ C D AB ==，故2PQ AB ≥，即④正确；对于⑤，如图，点E 为11A D 中点，连结,PE QE ，因为1//PE DD ，所以PQ 与1DD 所成角的正切值即为PQ 与PE 所成角的正切值，为EQPE，点Q 为11B C 上移动，PEQ 始终为直角三角形，当Q 与1B 或1C 重合时，EQ 取得最大值，此时PQ 与PE 所成角的正切值最大，且PQ 与PE 所成的角也最大，设正方体边长为2，则2PE =，221215EC =+=，所以所成最大角的正切值为5，故⑤正确. 所以正确的个数为4. 故选：C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系及其应用，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.12.已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ） A. ln 212-B. ln 212+C. 2D.2【答案】D 【解析】 【分析】易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+，且e 1x x ≥+恒成立，2C 在点()1,0B 处的切线方程为1y x =-，且()ln 10xx x x-≥>恒成立，由AB 等于平行线1y x =+与1y x =-间的距离，从知min PQ AB =. 【详解】曲线1C ：e x y =，求导得e x y '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立.构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x -'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立.令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立.因为AB ==1y x =+与1y x =-=，所以PQ 的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,3a =，()3,b m =，且0a b ⋅=，则向量a 在向量()a b -上的投影为__________.【解析】 【分析】由0a b ⋅=，可求出m ，进而由向量a 在()a b -上的投影为()aa b a b⋅--，求解即可.【详解】因为630a b m ⋅=+=，解得2m =-，所以()3,2b =-，()1,5a b -=-， 所以向量a 在()a b -上的投影为()262125a ab a b⋅-==+-. 故答案为：262. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14.某省级示范校新校区计划今年九月招生，学校决定面向全国招聘优秀老师，其中数学科今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名.若a ，b 满足不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，若设该校今年计划招聘数学科教师最多z 名，则z =__________.【答案】13 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可求出+a b 的最大值. 【详解】如图所示，画出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当6a =，7b =时，+a b 取得最大值. 故()max 6713a b +=+=，即13z =. 故答案为：13.【点睛】本题考查利用线性规划解决实际问题，考查数形结合的思想在解题中的应用，属于基础题. 15.已知A ，B 是抛物线22y x =上的两个动点，O 为坐标原点且满足0OA OB ⋅=，直线AB 与x 轴交于点M ，当2AM BM =时，直线AB 斜率为__________.【答案】 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为x my t =+，与抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由0OA OB ⋅=，可得12120x x y y +=，结合韦达定理，可求出124y y =-，由2AM BM =，可得122y y =-，进而可求出,m t 的值，由1AB k m=，可求出直线AB 的斜率. 【详解】由题意，设直线AB 的方程为x my t =+，联立22y x x my t⎧=⎨=+⎩，得2220y my t --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121222y y my y t +=⎧⎨=-⎩，因为0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，即22121204y y y y +=，即1212041y y y y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为120y y ≠，所以124y y =-，所以2t =， 由2AM BM =，可得122y y =-，所以22222422y m y y +=⎧⎨-=--⎩，解得222y =，212m =，所以2m =±，即1AB k m ==故答案：【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查韦达定理的应用，及平面向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 16.已知数列{}n a 满足14a =，144n na a +=-，且()()()()()12232222f n a a a a =--+--+()()()()3412222n n a a a a +--++--，若对()3n n *∀≥∈N ，都有()22f n m m ≥-恒成立，则实数m 的最小值为__________.【答案】1-【解析】 【分析】 易知124422n n n n a a a a +--=-=，可得111122422n n n n a a a a +==+---，从而可得数列22n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，进而可求出22n a -及2n a -的表达式，从而可求出()f n 的表达式，然后求出()f n 的最小值，令()2min 2f n m m ≥-，即可求出实数m 的范围，从而可求出实数m 最小值.【详解】14a =，144n na a +=-， ∴124422n n n na a a a +--=-=， 若存在()2,n n n *≥∈N，使得12n a+=，则2n a =，即112n n a a a -====，显然与14a =矛盾，12n a +∴≠，2n a ≠. 111122422n n n n a a a a +∴==+---，122122n n a a +∴-=--，1221242a ==--，22n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列；2112n n n a ∴=+-=-，22n a n-=， ()()1221122411n n a a n n n n +⎛⎫∴--=⋅=- ⎪++⎝⎭， ()()()()()()()()()122334122222222n n f n a a a a a a a a +∴=--+--+--++--1111144122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭.对()*3n n ∀≥∈N，都有()22f n mm ≥-恒成立，所以()2min 2f n m m ≥-，因为()*3n n ∀≥∈N时，()44141n f n n n ==-++，易知()f n 在[)3,+∞上是增函数，所以()()min 33f n f ==，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤，所以实数m 的最小值为1-. 故答案：1-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的证明及通项公式的求法，考查裂项相消求和法的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，7a =，8c =..（1）若sin C =A ；（2）若ABC 的面积为，求ABC 周长.【答案】（1）π3A =；（2）周长为20或15+【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a c A C =，可求出sin A ，易知π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而可求出角A ； （2）由1sin 2ABC S ac B =△，可求出sin B ，进而可求出cos B ，结合余弦定理，可求出b ，即可求出ABC 的周长.【详解】（1）由已知条件可知，7a =，8c =，sin C =根据正弦定理可得sin sin a cA C=，si 7sin n 8a A c C =∴==， a c <，A C ∴<，π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴=.（2）因为ABC 的面积为7a =，8c =.1sin 28sin 1032ABC S ac B B ∴===△，53sin 14B ∴=. 2111si s 14co n B B ±=±∴=-. ①若11cos 14B =，由余弦定理得，22222112cos 782782514b ac ac B ⨯=+-⨯⨯-=+=， 5b ∴=，ABC ∴的周长为78520a b c ++=++=；②若1os 14c 1B =-，由余弦定理得，22222112cos 7827820114b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪⎝⎭⨯⨯， 201b ∴=，ABC ∴的周长为2011527081a b c ++=+++=.综上，ABC 周长为20或15201+.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品进城”和“消费品下乡”.“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐步提高，生活水平得到改善，农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓，深受人们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元.经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示.小王为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x （单位：吨）表示下一个月内市场的需求量，y （单位：元）表示下一个月内经销西凤脐橙的销售利润.（1）将y 表示为x 的函数；（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y 不少于67000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率，（例如：若需求量[)80,90x ∈，则取85x =，且85x =的概率等于需求量落入[)80,90的频率），求小王的网店下一个月销售利润y 的分布列和数学期望.【答案】（1）130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤<⎩；（2）0.7；（3）见解析，期望为70900元【解析】 【分析】（1）分别写出[)70,100x ∈和[]100,120x ∈时，利润y 的表达式，进而利用分段函数可得到所求函数； （2）结合（1），令67000y ≥，分[)70,100x ∈和[]100,120x ∈两种情况，分布求出对应x 的范围，结合频率分布直方图，可求出所求概率；（3）由频率分布直方图知，需求量x 可取75，85，95，105，115，结合（1）可得利润y 的所有取值，进而求出对应概率，可求得下一个月销售利润y 的分布列和数学期望.【详解】（1）依题意得，x 表示一个月内的市场需求量，y 表示一个月内经销西凤脐橙的利润，当[)70,100x ∈时，()800500100130050000y x x x =--=-. 当[]100,120x ∈时，80010080000y =⨯=.所以130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤<⎩. （2）由题意令67000y ≥，当[)70,100x ∈时，由13005000067000x -≥，得90x ≥，所以90100x ≤<. 当[]100,120x ∈时，8000067000y =>.综上可知，若利润不少于67000元，则[]90,120x ∈.由频率分布直方图可知，需求量[]90,120x ∈的频率为()0.0300.0250.015100.7++⨯=， 所以小王的网店下一个月内的利润y 不少于67000元的概率的估计值为0.7. （3）由频率分布直方图知，需求量x 可取75，85，95，105，115. 当75x =时，1300755000047500y =⨯-=； 当85x =时，1300855000060500y =⨯-=； 当95x =时，1300955000073500y =⨯-=； 当105x =时，80000y =； 当115x =时，80000y =.所以()475000.010100.1P y ==⨯=，()605000.020100.2P y ==⨯=，()735000.030100.3P y ==⨯=，()()800000.0250.015100.4P y ==+⨯=.故小王的网店下一个月内销售利润y 的分布列为：y （元） 4750060500 73500 80000 p0.10.20.30.4()475000.1605000.2735000.3800000.470900E y =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.所以小王的网店下一个月内销售利润y 的期望为70900元.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分段函数的应用，考查分布列及数学期望的求法，考查概率的计算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）.（Ⅰ）证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66N 点位置；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）存在，此时N 为BC 的中点. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明PE ⊥平面EBCD ，得到平面PEB ⊥平面EBCD ，故平面PBC ⊥平面PEB ，EM ⊥平面PBC ，得到答案.（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角，设2PE EB BC ===，BN x =，计算得到答案. 【详解】（Ⅰ）∵PE EB ⊥，PE ED ⊥，EBED E =，∴PE ⊥平面EBCD .又PE ⊂平面PEB ，∴平面PEB ⊥平面EBCD ，而BC ⊂平面EBCD ，BC EB ⊥，∴平面PBC ⊥平面PEB ， 由PE EB =，PM AB =知EM PB ⊥，可知EM ⊥平面PBC ， 又EM ⊂平面EMN ，∴平面EMN ⊥平面PBC .（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，由PE EB ⊥知//PE MQ ， 易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理）， 即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角， 不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，在Rt EBN ∆中，设BN x =（02x <<），由Rt ~Rt EBN ERQ ∆∆得，BN ENRQ EQ= 即222x x RQ +=，得222RQ x =+，∴24tan MQ x MRQ RQ +∠==， 依题意知6cos 6MRQ ∠=，即24tan 5x MRQ x+∠==，解得1(0,2)x =∈， 此时N 为BC 的中点.综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值6，此时N 为BC 的中点.【点睛】本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.20.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点2P ⎫⎪⎪⎭.（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625 【解析】 【分析】（1）设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，可得2b a =，进而将2⎭代入椭圆方程，可求出,a b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为x ky m =+，与椭圆方程联立，并消去x 得到关于y 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，可得0CA CB ⋅=，将其展开并结合韦达定理，可求得65m =，即直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭，进而1212ABCS DC y y =-，结合韦达定理，求出最大值即可.【详解】（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，所以2b a ==，则椭圆方程为222214x yb b+=.将2⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=，解得2a =，1b =. 故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意，设直线l 的方程为x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=， 由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式并整理得()()()()2212121220k y y k m y y m ++-++-=，则()()()()22222214222044k m k m m m k k +---++-=++，化简得()()5620m m --=， 解得65m =或2m =， 因为直线x ky m =+不过点()2,0C ，所以2m ≠，故65m =. 所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故121162225ABCSDC y y ⎛=-=⨯- ⎝==， 设211044t t k ⎛⎫=<≤⎪+⎝⎭，则ABCS =在10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增， 当14t =时，1625ABCS ==， 所以ABC 面积的最大值为1625. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查三角形的面积的计算，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于难题. 21.已知函数()()21ln 22f x m x x x m =+-∈R . （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <且()120f x ax -≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）()f x 的定义域为0,，对()f x 求导，分0m ≤、01m <<和1m ≥三种情况，分别讨论，可求得函数的单调递增区间；（2）由（1）知()f x 有两个极值点()1212,x x x x <时，等价于方程2x 2x m 0-+=有两个不等正根，可求得212x x =-，()112m x x =-，及101x <<，212x <<，由()120f x ax -≥恒成立，可得111112ln 122a x x x x ≤+---恒成立，构造函数()()121,0,1l 2n 2g x x x x x x=+--∈-，求导并判断单调性可知()()1g x g >，令()1a g ≤即可.【详解】（1）()f x 的定义域为0,，求导得()222m x x m f x x x x -+'=+-=， 令0f x ，得2x 2x m 0-+=，()4441m m ∆=-=-，若1m ≥时，0∆≤，0f x 在0,上恒成立，()f x 单调递增； 若1m <时，>0∆，方程2x 2x m 0-+=的两根为11x =21x =当0m ≤时，10x <，20x >，则()2,x x ∈+∞时，0f x ，故()f x 在()2,x +∞单调递增；当01m <<时，120x x <<，则()10,x x ∈或()2,x x ∈+∞时，0f x ，故()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增.综上，当0m ≤时，()f x的单调递增区间为()1++∞；当01m <<时，()f x的单调递增区间为(0,1，()1+∞；当1m ≥时，()f x 的单调递增区间为0,.（2）由（1）知()f x 有两个极值点()1212,x x x x <时，等价于方程2x 2x m 0-+=的有两个不等正根 ()121241020m x x x x m ⎧∆=->⎪∴+=⎨⎪=>⎩，()112m x x ∴=-，101x <<，212x <<，此时不等式()120f x ax -≥恒成立，等价于()()211111112l 2202n x x x x x x a -+---≥对()10,1x ∈恒成立， 可化为()2111111111112ln 2122ln 1222x x x x x a x x x x x -+-≤=+----恒成立， 令()()121,0,1l 2n 2g x x x x x x=+--∈-， 则()()()()22241212()1ln ln ln 222222x x g x x x x x x x -'=+--=+-=+---， ()0,1x ∈，ln 0x ∴<，()40x x -<，()0g x '∴<在0,1恒成立，()g x ∴在0,1上单调递减，()()12310112212g x g >=+-⨯-=--∴， 32a ∴≤-. 故实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】22.已知在平面直角坐标系xoy中，曲线112:12x t C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,1M ，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离.【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2224x y -+=；（2【解析】【分析】（1）消去参数得到20x y +-=，再利用极坐标公式化简得到答案.（2）根据直线过圆心得到()2,0，计算得到答案.【详解】（1）曲线1:C 1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得20x y +-=， 其极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4cos ρθ=，24cos ρρθ=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）由题意及（1）知直线1C 过圆2C 的圆心()2,0，则点N 的坐标为()2,0，又()1,1M，所以MN ==.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，线段长度，意在考查学生的计算能力.【选修4—5：不等式选讲】23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()5(3)f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式2()||4f x x a x ++≤+在[1,1]-上有解，求实数a 的取值范围.【答案】(1) {}23x x -≤≤ (2) 24a -≤≤【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题x a 2x +≤-在[]1,1-上有解，去绝对值分离变量a 即可.【详解】（1）不等式()()f x 5f x 3≤--，即x 1x 25++-≤ 等价于1,125,x x x <-⎧⎨---+≤⎩ 或12,125,x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩或2,125,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得 2x 3-≤≤，所以原不等式的解集为{}x 2x 3-≤≤；（2）当[]x 1,1∈-时，不等式()2f x x a x 4++≤+，即x a 2x +≤-， 所以x a 2x +≤-在[]1,1-上有解即2a 22x -≤≤-在[]1,1-上有解，所以，2a 4-≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.。

2021年全国统一高考数学试卷(理科)答案及解析

2021年全国统一高考数学试卷(理科)答案及解析

y2 b2
1(a
b
0) 的上顶点，若 C
上的任意一点
P 都满足，
PB 2b ，则 C 的离心率的取值范围是（ ）
2 A.[ ,1)
2
B.[ 1 ,1) 2
C. (0, 2 ] 2
D. (0, 1 ] 2
答案：
C
解析：
由题意，点 B(0,b) ，设 P(x0, y0 ) ，则
x02 a2
y02 b2
，所以 z 1 i . 2.已知集合 S {s | s 2n 1,n Z} ， T {t | t 4n 1, n Z} ，则 S T ( ) A. B. S
C. T D. Z
答案： C 解析：
s 2n 1， n Z ； 当 n 2k ， k Z 时， S {s | s 4k 1, k Z} ；当 n 2k 1， k Z 时，
m AM
2 x y 0 .令 x 2
2 ，的 m (
2,1, 2) .设平面 PMB 的一个法向量为
n (x, y, z) ，
则
n
CB
2x 0
.令 y 1， 的 n (0,1,1) .所 以
n PB 2x y z 0
cosm, n
m n
3
3 14 ，所以二面角 A PMN B 的正弦值为
表目距的差 C. 表高 表距 表距
表目距的差 D. 表高 表距 表距
表目距的差
答案：
A
解析：
连接 DF 交 AB 于 M ，则 AB AM BM .
记 BDM
， BFM
，则
MB tan
MB tan
MF
MD
DF
.
而 tan FG ， tan ED .所以

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(七)理科数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(七)理科数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（七）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题意）1.已知集合{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，则（ ） A. {}1MN x x =<B. {}0MN x x =>C. M N ⊆D. N M ⊆【答案】D 【解析】 【分析】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<， 则：{}|01MN x x =<<，选项A 错误；{}|1M N x x ⋃=<，选项B 错误； N M ⊆，选项C 错误，选项D 正确；故选D .【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知复数z 满足||3z z i +=+，则z 对应点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】由题意设(,)z a bi a b R =+∈，由3z z i =-+，得3,1a z b =-=，43a =，所以44,33z i z i =+=-，在第四象限，选D ． 3.已知点()1,2A ，()3,B x ，向量()2,1a =--，//AB a ，则（ ） A. 3x =，且AB 与a 方向相同 B. 3x =-，且AB 与a 方向相同 C. 3x =，且AB 与a 方向相反 D. 3x =-，且AB 与a 方向相反【答案】C 【解析】分析：表示出AB ，利用//AB a 求出x ，然后判断两个向量的方向即可. 详解：()1,2A ，()3,B x ， 可得()2,2AB x =-， 又()2,1a =--，//AB a ， 可得()222x --=-，解得3x =，()2,1AB ∴=，与a 方向相反.故选：C.点睛：向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．4.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝()dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算： 010lgI I η=⋅(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设170dB η=的声音强度为1I ，260dB η=的声音强度为2I ，则1I 是2I 的（ ） A.76倍 B. 10倍C. 7610倍D. 7ln 6倍【答案】B 【解析】 【分析】根据题意代入170dB η=，260dB η=，得到方程组，然后将两式相减，整理化简后得到12I I 的值，得到答案. 【详解】因为010lgI I η=⋅， 代入170dB η=，260dB η=，得10207010lg 6010lg I I I I ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩， 两式相减，得12001010lg lg I I I I ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭得到12lg1I I =，即1210II =， 故选：B.【点睛】本题考查利用已知函数模型解决问题，对数运算公式，属于简单题.5.某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得，则A B 、两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差【答案】D 【解析】 【分析】利用平均值和方差的定义和公式，即得解. 【详解】设样本A 的平均值为x ，方差为()D x ， 则样本B 的平均值为2x +，(2)()D x D x +=，样本,A B 的方差相同．故选：D ．【点睛】本题考查了样本的平均数和方差，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.6.三个数ln 0.3，0.37，70.3的大小关系是 （ ） A. 0.37ln0.370.3>> B. 0.377ln0.30.3>> C. 70.30.37ln0.3>> D. 0.3770.3ln0.3>>【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，借助于中间量0,1，即可得到结论，得出答案. 【详解】由题意可知0.3070ln 0.3ln10,771,00.30.31==<<=，所以0.3770.3ln0.3>>，故选D.【点睛】本题主要考查了指数式、对数式的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，合理借助中间量比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7.下列定义在R 上的四个函数与其对应的最小正周期T 不正确的一组是（ ） A. 3ln sin4y x =，43T π= B. 2sin 2y x =，2T π=C. 1cos 2y x π=，2T π= D. 1tan 34y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，3T π=【答案】C 【解析】 【分析】依次分析各个函数的周期，28334T，故3|sin |4y π=周期为43π，可判断A ；21cos4sin 24x y x -==，242T ππ==，可判断B ；1cos 2y x π=，22T ππ==，可判断C ；313T ππ==，可判断D .【详解】对于A 项，28334T，故3|sin |4y π=周期为43π，正确； 对于B 项，21cos4sin 24x y x -==，242T ππ==，正确； 对于C 项，1cos 2y x π=，22T ππ==，错误： 对于D 项，313T ππ==，正确．故选：C【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切型函数的周期性，考查了学生概念理解，转化划归能力，属于中档题.8.抛物线2y ax =的焦点是直线x y 10+-=与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )A. 1x 4=-B. x 1=-C. 1y 4=-D. y 1=-【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得a 的值，并求得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在y 轴上，直线10x y +-=与y 轴交点为()0,1，故111,44a a ==，即抛物线的方程为24x y =，故准线方程为1y =-，故选D. 【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题.9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：利用祖暅原理分析判断即可.详解：设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等，∴根据祖暅原理可知，p 是q 的充分不必要条件.故选A.点睛：本题考查满足祖暅原理的几何体的判断，是基础题，解题时要认真审查，注意空间思维能力的培养.10.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（ ）C.D. 5-【答案】D 【解析】 【分析】先化简已知得)x ϕ-，再利用三角函数的图像和性质分析函数的最值和此时cos θ的值.【详解】由题得sin cos sin cos cos sin)x x x x xϕϕϕ-=⋅-⋅-,其中cos5ϕϕ==当sin()1xϕ-=，即2()x222x k k z kππϕππϕ-=+∈=++即时，函数取到最大值.所以=2,cos cos(2)sin225k kππθπϕθπϕϕ++∴=++=-=-.故选D【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知双曲线C：22221x ya b-=(0,0)a b>>的左、右焦点分别为12F F、，坐标原点O关于点2F的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为过2F的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若||3MN=，1F MN∆的周长为10，则双曲线C的离心率为( ) A.32 B. 2 C. 52 D. 3 【答案】B 【解析】【分析】依题意得到P点的坐标，利用点P到渐近线的距离列方程，求得b的值，根据双曲线的定义得1F MN∆周长的表达式，由此列方程求得a，c的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意得点P()2,0c2b b==⇒=由双曲线的定义得1F MN∆周长为4610a+=，由此得1a=，2c=，故2e=．【点睛】本小题主要考查点和点对称的问题，考查点到直线距离公式，考查双曲线的定义以及双曲线离心率的求法，考查分析与求解的能力.属于中档题.双曲线22221x ya b-=的渐近线方程是0bx ay±=.根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a .12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，均有(2)()f x f x +=且(1)0f =，当[0,1)x ∈时，()21x f x =-，则方程()1||0f x g x -=的实根个数为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和周期性得到函数()f x 的图像，在同一直角坐标系中画出两个函数图像，数形结合，即得解.【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，均有(2)()f x f x +=，可得()f x 为周期为2的奇函数，可得(2)()()f x f x f x -+=-=-，又(1)0f =，(21)0()f k k N ∴-=∈， 画出函数()y f x =与lg ||y x =的图象，如图所示，当0x >时，()y f x =与lg ||y x =有5个交点， 当0x <时()y f x =与lg ||y x =有7个交点， 故方程()lg ||0f x x -=有12个实数根，故D 正确． 故选：D【点睛】本题考查了函数的图像与性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合的能力，属于中档题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作，现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是_________．【答案】910【解析】 【分析】根据分层抽样的定义，可计算抽取的5人中，男生和女生人数，计算对立事件全是女生的情况只有1种，利用对立事件的概率公式，即得解.【详解】由题意，男生30人，女生20人，按照分层抽样方法从班级中抽取5人负责校园开放日的接待工作，则男生为305350⨯=人，女生为205250⨯=， 从这5人中随机选取2人，共有10种，若全是女生的只有1种， 所以至少有1名男生的概率为1911010P =-=． 故答案为：910【点睛】本题考查了统计概率综合，考查了分层抽样，对立事件，古典概型等知识点，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于基础题. 14.设函数1,()1,x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数，则(f f =______．【答案】1 【解析】 【分析】根据题中分段函数的对应关系，先计算f ，再计算(())f f π即得解.【详解】由题意，1,(())(1)1f f f f π=-∴=-= 故答案：1【点睛】本题考查了求分段函数的函数值，考查了学生概念理解，数学运算的能力属于基础题.15.在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别是a b c 、、，若2cos 22B a cc+=，则C ∠=______． 【答案】2π【解析】【分析】利用降幂公式得到：1cos 22B a cc++=，结合余弦定理得到222+=a b c ，即得解. 【详解】由题得1cos +22B a cc+=， cos c B a ∴⨯=，2222a c b c a ac+-∴⨯=，222a b c ∴+=，2C π∴∠=．故答案为：2π 【点睛】本题考查了三角函数和解三角形综合，考查了降幂公式，余弦定理等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.16.如图，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水，如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图2-②），则图2-①中的水面高度为 .【答案】37(1a - 【解析】试题分析：在图②中，水形成的小“圆锥”和大圆锥形容器高的比为12，底面半径比为12，故其底面积的比为14，所以体积比为18，则在图①中，无水部分形成的小“圆锥”和大圆锥形容器的体积比为78，设水面高度为h ，则小“圆锥”和大圆锥形容器的高的比为a ha-，体积比为37(=8a h a -），解的h =37(1a . 考点：圆锥的体积.三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//EF AC ，1EF =，060ABC ∠=，CE ⊥平面ABCD ，3CE =，2CD =，G 是DE 的中点.（Ⅰ）求证：平面//ACG 平面BEF ；（ⅠⅠ）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)155． 【解析】试题分析：（Ⅰ）连接BD 交AC 于O ，得//OG BE ，所以//OG 面BEF ，又//EF AC ，得//AC 面BEF ，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；（Ⅱ）如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面ABF 的一个法向量m ，利用向量AD 和向量m 夹角公式，即可求解AD 与平面ABF 所成角的正弦值． 试题解析：（Ⅰ）连接BD 交AC 于O ，易知O 是BD 的中点，故OG //BE ，BE ⊂面BEF ，OG 在面BEF 外，所以OG//面BEF ；又EF //AC ，AC 在面BEF 外，AC//面BEF ，又AC 与OG 相交于点O ，面ACG 有两条相交直线与面BEF 平行，故面A C G ∥面BEF ；（Ⅱ）如图，以O 为坐标原点，分别以OC 、OD 、OF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()0,3,0B - ， ()3,0D ，(3F ， ()1,3,0AD =，()1,3,0AB =-，()1,0,3 AF=，设面ABF的法向量为(),,m a b c=，依题意有m ABm AF⎧⊥⎨⊥⎩，()()()(),,1,3,030,,1,0,330a b c a ba b c a c⎧⋅-=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3a=，1b=，1c=-，()3,1,1m=-，3315cos,5441AD m+==⨯+，直线AD与面ABF成的角的正弦值是155．18.高考数学考试中有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求该考生的选择题：（1）得60分的概率；（2）得多少分的概率最大？【答案】（1）148（2）该生选择题得分为45分或50分的概率最大．【解析】【分析】（1）先计算有两道题答对的概率各为12，有一道题答对的概率为13，还有一道题答对的概率为14，利用独立事件的概率公式即得解；（2）该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种，利用事件的独立性，依次计算对应概率，比较即得解.【详解】（1）要得60分，必须12道选择题全答对，依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为12，有一道题答对的概率为13，还有一道题答对的概率为14， 所以他做选择题得60分的概率为：11111223448P =⨯⨯⨯=． （2）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种． 得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，于是其概率为：111236223448P =⨯⨯⨯=． 得45分的概率为：211231113112117222342*********P =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=． 得分为50的概率：31748P =； 得分为55的概率：4748P =； 得分为60的概率：5148P =. ∴该生选择题得分为45分或50分的概率最大．【点睛】本题考查了独立事件的概率计算，考查了学生数学应用，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.19.已知数列{}n a 为等差数列，且3820a a +=，39S =． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ． （2）设数列2nn na b =前n 项和为n T ，求n T ．【答案】（1）21n a n =-，()2*n S n n N =∈（2）()*2332n nn T n N +=-∈ 【解析】 【分析】（1）利用基本量1,a d 表示3820a a +=，39S =，计算即得解； （2）依题意：212n nn b -=，利用乘公比错位相减法求和，即得解.【详解】（1）由题意知1112720339a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．21n a n ∴=-，()12n u n a a S +∴=()2*(121)2n n n n N +-==∈．（2）依题意：212n nn b -=23135212222-=++++n n n T ①234111352122222+-=++++n n n T ② ①减②得：23411111112122222222n nn n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 2111112122212212n n n ++--=+⨯-- 132322n n ++=-． ()*2332n nn T n N +∴=-∈． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和乘公比错位相减等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20.已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）.（1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数； （2）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 231a e e<≤++【解析】分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与()y g x =联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得()()y f x g x =-的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围． 详解：（1）∵()ln f x x x =， ∴()'ln 1f x x =+， ∴()'11f =. 又()10f =，∴曲线在点()1,0处的切线方程为1y x =-．由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩得()2110x a x +-+=.故()()()22142313a a a a a ∆=--=--=+-，所以当0∆>，即1a <-或3a >时，切线与曲线()y g x =有两个公共点； 当0∆=，即1a =-或3a =时，切线与曲线()y g x =有一个公共点； 当0∆<，即13a -<<时，切线与曲线()y g x =没有公共点. （2）由题意得()()22ln y f x g x x ax x x =-=-++，由0y =，得2ln a x x x=++， 设()2ln (0)h x x x x x=++>， 则()()()212'x x h x x -+=.又1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()0,?h x h x <'单调递减； 当[]1,x e ∈时，()()0,?h x h x >'单调递增．所以()()min 13h x h ==. 又1121h e e e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()21h e e e=++， 结合函数图象可得，当231a e e <≤++时，方程2ln a x x x=++有两个不同的实数根， 故当231a e e<≤++时，函数()()y f x g x =-有两个零点． 点睛：函数零点个数（方程根的个数、两函数图象公共点的个数）的判断方法：（1）结合零点存在性定理，利用函数的性质确定函数零点个数；（2）构造合适的函数，判断出函数的单调性，利用函数图象公共点的个数判断方程根的个数或函数零点个数．21.直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭（1）求椭圆C 的方程； （2）已知点(2,1)P ，斜率为12-的直线l 与椭圆C 相交于AB 两点，若0PA PB ⋅=，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=（2）112y x =-+ 【解析】 【分析】 （1）由1=2c a 可得2a b =，代入点坐标即得解； （2）设直线l 为12y x t =-+，与椭圆联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212(2)(2)(1)(1)PA PB x x y y ⋅=--+--，代入韦达定理，即得解.【详解】（1）由e =1=2c a ，122a b ∴=设椭圆方程为222214x y b b +=，代入点⎛ ⎝⎭，得1b =，故椭圆方程为：2214x y +=．（2）设直线l 为12y x t =-+， 代入椭圆方程2214x y +=可得()222210x tx t -+-=，()22(2)4210t t ∆=--⨯->得t <设()11,A x y ，()22,B x y ，所以122x x t +=，()21221x x t =-，()1212121112222y y x t x t x x t t ⎛⎫⎛⎫+=-++-+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()22121212121111122422l y y x t x t x x x x t t ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故1212(2)(2)(1)(1)PA PB x x y y ⋅=--+--21212121252()4()1(21)02x x x x y y y y t t =-+++-++=-+=1t ∴=，满足t <<故所求直线方程为：112y x =-+ 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分） 22.选修4-4：坐标系与参数方程点P 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C .（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线3πθ=，（0ρ>）与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，设定点(2,0)M ，求MAB∆的面积.【答案】（Ⅰ）4cos ρθ=,4sin ρθ=;（Ⅱ）3． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅱ）M 到射线3πθ=的距离为2sin3d π==B A AB ρρ=-可求得S试题解析：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． 设(),Q ρθ，则,2P πρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，则有4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅱ）M 到射线3πθ=的距离为2sin3d π==)4sin cos 2133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则132S AB d =⨯=． 23.已知实数,m n 满足23m n -=.（1）若39m n ++≥，求实数m 的取值范围；（2）求51123333m n m n -+-的最小值. 【答案】（1）3m ≤-或3m ≥.（2）3 【解析】 【分析】()1由题意得23m n =+，代入不等式，利用绝对值的定义，求出实数m 的取值范围 ()2 代入23m n =+，得原不等式等价于12m m ++-，利用绝对值的几何意义，求解最小值即可【详解】解：因为23m n -=，所以23m n =+.（1）3239m n m m m ++=+=≥，所以3m ≥，所以3m ≤-或3m ≥.（2）()()51125112232312333333333m n m n m m m m m m -+-=--+--=++-≥， 当且仅当12m -≤≤（或51n -≤≤）时等号成立，所以51123333m n m n -+-的最小值是3. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，绝对值的几何意义的应用，属于基础题，在解答含有绝对值的题目时一般需要去掉绝对值，然后求解，本题在解题过程中运用了绝对值的几何意义，这样较为简单。

2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十七)数学(理科)

2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十七)数学(理科)

2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十七）数学（理）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若21iz i-=+，则z z +=（ ） A. 1- B. 1C. 3-D. 3【答案】B 【解析】 【分析】复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数是(i ,)z a b a b =-∈R ，复数除法运算是将分母实数化，即()()()()()22(,,,)c di a bi ac bd ad bc ic di a b cd R a bi a bi a bi a b +⋅-++-+==∈++⋅-+． 【详解】∵()()2113222i i z i --==-，∴1z z +=.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力. 2.设集合{}2A x x a=>，{}32B x x a =<-，若AB =∅，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()(),12,-∞⋃+∞C. []1,2D. (][),12,-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，AB =∅说明集合,A B 没有公共元素，借助于数轴列式计算．【详解】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.若曲线()()sin 402y x ϕϕπ=+<<关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ=（ ）A.23π或53πB.3π或43π C.56π或116π D.6π或76π【答案】A 【解析】 【分析】正弦函数sin y x =的对称中心是()(),0k k Z π∈，由“五点法”作图得，将12x π=代入．【详解】因为曲线()()sin 402y x ϕϕπ=+<<关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 所以()412k k Z πϕπ⨯+=∈，又02ϕπ<<，所以1k =时23ϕπ=，2k =时5=3ϕπ. 【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力. 4.若0x >，0y <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 222xyx -> B.()1222log 1x yx ->+ C. 222y x x -> D. ()1222log 1yxx ->+【答案】B 【解析】 【分析】比较两个数或式子的大小，可以用不等式的性质，如0,0a b ><，则a b >． 详解】∵0x >，0y <，∴22x y >，∴220x y ->.∵0x >，∴()12log 10x +<，∴()1222log 1x yx ->+，∴B 一定成立. 【点睛】本题考查指数、对数函数与不等式的交汇，考查逻辑推理的核心素养. 5.如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB =（ ）A. AC AD -B. 22AC AD -C. AD AC -D. 22AD AC -【答案】D 【解析】 【分析】本题是用,AC AD 当基底向量，来表示AB ，所以先在 ACD ∆中根据向量减法的三角形法则，用,AC AD 表示CD ，再探究CD 、AB 的线性关系即可．【详解】因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以//CD AB ，且2AB CD =，所以()2222AB CD AD AC AD AC ==-=-. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.1254- B. 358+-C. 514-D. 458+-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到72ACB ∠=，利用三角函数的定义得到cos 72，再由二倍角公式得到cos144，进而用诱导公式，由()sin 234sin 14490cos144=+=求解.【详解】由题意可得：72ACB ∠=，且12cos BCACB AC ∠==， 所以251cos1442cos 7214=-=-， 所以()51sin 234sin 14490cos1444+=+==-， 故选：C【点睛】本题主要考查二倍角公式和诱导公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.若函数()()222,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. []0,17B. (],17-∞C. []1,17D. [)1,+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】要求函数()f x 的最大值，可先分别探究函数()122,1xf x x =+≤与()()22log 1,1f x x x =->的单调性，从而得到()f x 的最大值．【详解】易知()122,1xf x x =+≤在(],1-∞上单调递增，()()22log 1,1f x x x =->()1,+∞上单调递增.因为()14f =，()174f =，所以a 的取值范围为[]1,17.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.8.如图，圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C 经过点()2,15A ，则圆C 的半径为（ ）A. 72B. 8C. 82D. 10【答案】A 【解析】 【分析】题中的网格，相当于给出了点的坐标，由此可求出直线的方程、切点的坐标；要求圆的半径，可考虑求出圆心坐标，这样圆心与点A 之间的距离即是半径．【详解】由图可知，直线与圆C 切于点()2,1，即圆C 经过点()2,1，又圆C 经过点()2,15，所以圆C 的圆心在直线8y =上.又直线过点()()0,33,0，，所以直线的斜率30103k -==--， 因为直线与圆C 切于点()2,1，所以圆心在直线()1121y x --=--，即10x y --=上.联立8,10,y x y =⎧⎨--=⎩得圆C 的圆心为()9,8，则圆C 的半径为()()22928172-+-=.【点睛】本题考查直线与圆，考查数形结合的数学方法.圆心的性质：圆心在弦的垂直平分线上；圆心与切点的连线与切线垂直（121k k ）．9.函数()()33lg xxf x x -=+⋅的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十七)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十七)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十七）理科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知实数集R ，集合{|15}A x x =-<<，集合|B y y ⎧==⎨⎩，则()R A B ⋂＝( ) A. {|12}x x -<≤ B. {|1}x x >- C. {|10}x x -<≤D. {|05}x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】可以求出集合B ，然后进行交集和补集的运算即可． 【详解】解：{|15},A x x =-<<|B y y ⎧==⎨⎩所以{|0}B y y =>，{|0},R B y y ∴=≤(){|10}RAB x x =-<≤.故选：C.【点睛】本题考查了描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.已知z C ∈，若||12z z i -=+，则z =( )A.322i - B.322i + C. 322i -- D. 322i -+ 【答案】B 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈．由||12z z i -=+()12a bi i -=+1a =，2b =，解得b ，a ．【详解】解：设z a bi =+(),a b ∈R .||12,z z i -=+()12a bi i -=+，1,a =2b =，解得2,b =32a =.则322z i =+， 故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算性质、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则1232020a a a a +++⋯+=( )A. 0B. 1C. ﹣1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】令0x =求得0a ，再令1x =即可求解结论． 【详解】解：因为：2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令0x =可得：01a =；令1x =可得：202001232020(121)1a a a a a ++++⋯+=-⨯=；故1232020110a a a a +++⋯+=-=. 故选：A.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．4.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.1寸表示115寸41分（1寸=10分）.已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为( ) A. 91.6寸 B. 82.0寸C. 81.4寸D. 72.4寸【答案】D 【解析】 【分析】由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为1130=a ，夏至晷影长为14.8寸，则为1314.8=a ，春分的晷影长为7a ，根据等差数列的性质即可求解．【详解】解：由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为1130=a ，夏至晷影长为14.8寸，则为1314.8=a ， 春分的晷影长为71132a a a =+；772.4a ∴=；即春分的晷影长为72.4． 故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的应用，属于基础题．5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数22122y cos x cosx x ππ⎡⎤=-++∈-⎢⎥⎣⎦，，的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设f （x ）22122cos x cosx x ππ⎡⎤=-++∈-⎢⎥⎣⎦，，，分析函数的奇偶性可以排除A 、D ，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数y ＝f （x ）为增函数，排除C ；即可得答案． 【详解】根据题意，设f （x ）22122cos x cosx x ππ⎡⎤=-++∈-⎢⎥⎣⎦，，，有f （﹣x ）＝f （x ），即函数f （x ）为偶函数，排除A 、D ； 设t ＝cos x ，则y ＝﹣2t 2+t +1，在区间[0，2π]上，t ＝cos x 为减函数，且0≤t ≤1， y ＝﹣2t 2+t +1，其对称轴为t 14=，开口向下，在区间（﹣∞,14）上为增函数，（14,+∞）上为减函数， 在区间（0,arc cos14）上，t ＝cos x 为减函数，此时14＜t ＜1，函数y ＝﹣2t 2+t +1为减函数，故函数y ＝f （x ）为增函数，排除C ； 故选：B ．【点睛】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的分析，属于基础题． 6.已知0.12,x =5log 2,y =0.5z e -=，则( ) A. y x z << B. z y x <<C. z x y <<D. y z x <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】解：010221,⋅>=1x ∴>，5511og 11og 210g 2<<=，510log 2,2∴<<102y ∴<<，0.51,2z e -==>112z ∴<<， y z x ∴<<，故选：D.【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“||1q =”是“623S S =”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前n 项和为n S ．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】解：若1q =时，6121163326S a S a a ===⋅=，1q =-时，6230S S ==，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“||1q =”是“623S S =”的充要条件， 故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质是解决本题的关键． 8.如图，在平行四边形ABCD 中，12DE EC =，F 为BC 的中点，G 为EF 上的一点，且79AG AB mAD =+，则实数m 的值为( )A.23B.13C. 13-D. 23-【答案】A 【解析】 【分析】可根据条件得出11,32DE AB BF AD ==，并可设(1)AG AE AF λλ=+-，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出21(1)()322AG AB AD λλ=-++，从而根据平面向量基本定理即可得出27139122m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解出m 即可． 【详解】解：12DE EC =，F 为BC 的中点， 1,3DE AB =∴12BF AD =， 设(1)AG AE AF λλ=+-()(1)()AD DE AB BF λλ=++-+11(1)32AD AB AB AD λλ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211322AB AD λλ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又79AG AB mAD =+， 27139122m λλ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩，解得23m =.故选：A.【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于中档题．9.已知函数2,1()37,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a的取值范围是（ ） A. ()2,2- B. (]2,2-C. (),3-∞D. (],3-∞【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，讨论a 的取值范围，结合二次函数的图像与性质及一次函数解析式，即可求得a 的取值范围.【详解】函数2,1()37,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，当12a-<-，即2a <时，根据二次函数的图像与性质可知存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立， 当12a-≥-时，即2a ≥时，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则137a a -+>-，解得3a <，所以23a ≤<，综上所述，a的取值范围为(),3-∞，故选：C.【点睛】本题考查了分段函数解析式的应用，分类讨论思想的应用，属于基础题.10.已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的左右焦点分别为F 1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A 、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为（）A. 31+ B. 2 C. 3 D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与yba=联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．【详解】如图，因为A为F1B的中点，所以1F A AB=，又因为B在圆上，所以12F B F B⋅=0，故OA⊥F1B，则F1B：yab=（x+c），联立()ay x cbby xa⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得B（222a cb a-,22abcb a-），则OB2＝（222a cb a-）2+（22abcb a-）2＝c2，整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，∴2 2 c a=4，eca==2．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．11.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为23m，则圆锥的底面圆半径为（）A. 1mB.2m3C.43m D.3m2【答案】B【解析】【分析】将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从P爬行一周后回到P（记作1P），作1OM PP⊥，如下图所示：由最短路径为23m，即123,2PP OP==，由圆的性质可得13POM POMπ∠=∠=，即扇形所对的圆心角为23π，则圆锥底面圆的周长为24233lππ=⨯=，则底面圆的半径为423223lrπππ===，故选：B.【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.12.已知函数()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，1x 、2x 、[]30,x π∈，且[]0,x π∀∈都有()()()12f x f x f x ≤≤，满足()30f x =的实数3x 有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数1x 有且只有1个；②满足题目条件的实数2x 有且只有1个；③()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①④ B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】D 【解析】 【分析】 设23t x πω=-，由[]0,x π∈，得出22,33t πππω⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，由题意得出()1f x 为函数()y f x =的最小值，()2f x 为函数()y f x =的最大值，作出函数cos y t =的图象，结合图象得出325232ππππω≤-<，进而对各结论进行验证. 【详解】0ω>，当[]0,x π∈时，222,333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. 设23x t πω-=进行替换，作出函数cos y t =的图象如下图所示：由于函数()y f x =在[]0,π上满足()30f x =的实数3x 有且只有3个， 即函数cos y t=22,33πππω⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有且只有3个零点， 由图象可知325232ππππω≤-<，解得131966ω≤<，结论④正确；由图象知，cos y t =在22,33πππω⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；当x ∈0,10π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，222,33103x πππωπω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭， 由131966ω≤<知27102030πωππ-<<-，所以cos y t =在22,3103ππωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增， 则函数()y f x =在0,10π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，结论③正确．综上，正确的有①③④.故选D ． 【点睛】本题考查余弦型函数的零点、最值点以及单调性有关命题的判断，解题时要充分计算出对象角的取值范围，并作出图象进行验证，考查推理能力，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设曲线y ＝e x +1上点P 处的切线平行于直线x ﹣y ﹣1＝0，则点P 的坐标是_____．【答案】（0,2）【解析】【分析】先对函数求导数，然后根据切点处的导数值等于切线斜率，列出切点横坐标满足的方程即可．【详解】由题意得y ′＝e x ，且切线斜率为1．设切点为P （x ,y ），则e x ＝1，所以x ＝0，∴y ＝e 0+1＝2．故切点坐标为（0,2）．故答案为：（0,2）【点睛】本题考查了利用导数的几何意义的应用，本题利用切点处的导数等于切线斜率构造方程求解，注意掌握．14.某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知这三个社团他都能进入得慨率为124，至少进入一个社团的概率为34，则m n +=________.【答案】34【解析】【分析】 利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解．【详解】解：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为m ，13，n ，且相互独立， 所以01,m ≤≤01n ≤≤， 又因为三个社团他都能进入的概率为124， 所以11324mn =①， 因为至少进入一个社团的概率为34， 所以一个社团都不能进入的概率为31144-=， 所以21(1)(1)34m n --=，即318m n mn --+=②， 联立①②得：34m n +=. 故答案为：34. 【点睛】正确使用相互独立事件及对立事件的概率公式进行计算，是解决此题的关键，属于基础题． 15.自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t 的A 型卡车，6辆载重为10t 的B 型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t 物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车5次，B 型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A 型卡车1200元，B 型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为_____．【答案】9600【解析】【分析】设每天派出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，运输队所花成本为z 元，根据题意把实际问题数学化，列出需要满足的不等式组，注意x ∈N ，y ∈N ，把运输队所花成本z 看作目标函数，画出可行域，根据目标函数平移得到最值的取法．【详解】设每天派出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，运输队所花成本为z 元，则08061056410240x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨+≤⎪⎪⨯⨯+⨯⨯≥⎩，且x ∈N ，y ∈N ， 目标函数z ＝1200x +1800y ，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z ＝240x +378y 经过点B （8,0）时，截距z 最小，∵在可行域的整数点中，点（8,0）使z 取得最小值，即z min ＝1200×8+1800×0＝9600，∴每天排除A 型卡车8辆，B 型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元，故答案为：9600.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，根据题意列出不等式组是解题关键，本题属于中档题．16.已知椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的动点，12MF F △的内心为I ，则22||MI MF MF ⋅=________. 21【解析】【分析】运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．【详解】解：设12MF F △的内切圆与12MF F △相切于D ，E ，F ，设,MD u =1,DF v =2FF t =，则,MD MF u ==11,DF EF v ==22EF FF t ==， 由椭圆的定义，可得，12222,MF MF a +==1222F F c ==， 即有22,u v t ++=2v t +=， 即有：2222u =，即21u =， 再由22||cos ||21MI MF MI IMF MF u MF ⋅=∠===，21-.【点睛】本题考查椭圆的方程的定义，考查切线的性质，内心的定义，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，且满cos 2cos 22sin sin 33A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求角B 的值；（2）若3b a =≤，求12a c -的取值范围. 【答案】（1）3π或23π；（2）332⎣【解析】【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cos 21B =±，结合范围(0,)B π∈，可求B 的值．（2）由b a =，可求得3B π=，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求1)26a c A π--，由已知可求范围662A πππ-<，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围． 【详解】解：（1）cos 2cos 22sin sin 33A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112cos sin sin 2222A A A A ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22312cos sin 44A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭31cos 211cos 22222A A+-=⨯-⨯1cos 22A =+，∴解得1cos 22B =-，可得212cos 12B -=-，∴可得21cos 4B =，1cos 2B ∴=±(0,)B π∈，3B π∴=或23π.（2）3b a =≤，∴由（1）可得3B π=，由正弦定理2sin sin sin a bcA B C ====，可得2sin ,a A =2sin c C =，122sin sin 2sin sin 23a c A C A A π⎛⎫∴-=-=-- ⎪⎝⎭222sin sin cos cos sin 33A A A ππ=-+3sin 2A A =6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，b a ≤，2,33A ππ∴≤<662A πππ≤-<， 13,322a c ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎪⎣. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．18.如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，//AD BC ，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==.（1）求证：BD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60︒，求平面MBD 与平面SBC 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（23105. 【解析】【分析】（1）取BC 中点E ，连接DE ，设==AB AD a ，2BC a =，由已知可得222BD CD BC +=，则BD CD ⊥，又平面SCD ⊥底面ABCD ，由面面垂直的性质可得BD ⊥平面SCD ；（2）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ，可得SH CD ⊥，则SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影，求解三角形可得222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作//DF SH ，则DF ⊥底面ABCD ，可得DB 、DC 、DF 两两垂直，以点D 为坐标原点，DB 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，DF 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，然后分别求出平面BMD 与平面SBC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面MBD 与平面SBC 所成的锐二面角的余弦值．【详解】解：（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ，设==AB AD a ，2BC a =，依题意，四边形ABED 为正方形，且有,BE DE CE a ===2BD CD a ==, 222BD CD BC ∴+=，则BD CD ⊥.又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD ⊥底面ABCD CD =，BD ∴⊥平面SCD ； （2）解：过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ，平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD 底面,ABCD CD =SH CD ⊥，SH ⊂平面SCD ，SH ∴⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影，SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒. 由（1）得，2SD a =，∴在Rt SHD 中，2SD a =，62SH a =， 在ADH 中，45,ADH ∠=︒,AD a =22DH a =， 由余弦定理得22AH a =， 222AH DH AD ∴+=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作//DF SH ，DF ⊥∴底面ABCD ，∴DB 、DC 、DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，DF 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，则)2,0,0,B a ()2,0,C a 260,,,22S a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，226,424M a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MBD 的法向量(,,)n x y z =，由2020222n DB ax n DM ax ay az ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 取1z =，得30,,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；设平面SBC 的一个法向量为()111,,m xy z =，由111112020m BC m SB ax⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩， 取11x =，得(m =. 32cos ,35||||7n m n m n m +⋅∴<>===⋅⨯. ∴平面MBD 与平面SBC 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．19.线段AB 为圆22:21060M x y x y ++-+=的一条直径，其端点A ，B 在抛物线2:2(0)C x py p => 上，且A ，B 两点到抛物线C 焦点的距离之和为11.（1）求抛物线C 的方程及直径AB 所在的直线方程；（2）过M 点的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，抛物线C 在P ，Q 处的切线相交于N 点，求PQN 面积的取值范围.【答案】（1）22x y =，40x y +-=；（2）[27,)+∞.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义可求出1p =，再利用点差法求出直线AB 的斜率，结合直线AB 过圆心M ，利用点斜式即可求出直线AB 的方程：（2）不妨设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，0(N x ，0)y ，直线l 的方程为(1)5y k x =++，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求出||PQ ，再利用导数的几何意义求出抛物线C 在1(P x ，1)y 的切线方程，把点0(N x ，0)y 代入切线PN 的方程得21010220x x x y -+=，同理可得：22020220x x x y -+=，故1x ，2x 为一元二次方程200220x x x y -+=的两根，再次利用韦达定理得0x k =，05y k =--，所以点N 到直线PQ 的距离2d ，所以3221||[(1)9]2PQN S PQ d k ∆==++，故当1k =-时，PQN ∆的面积取得最小值，最小值为27.【详解】解：（1）设()11,,A x y ()22,B x y ，抛物线的焦点为F ，则12||||AF BF y y p +=++，又1210,y y +=1011,p ∴+=1p ∴=，∴抛物线C 的方程为：22x y =，由21122222x y x y ⎧=⎨=⎩，两式相减得：12121212y y x x x x -+==--， ∴直线AB 的斜率为﹣1，圆M 方程：2221060x y x y ++-+=化为坐标方程为： 22(1)(5)20x y ++-=，∴直线AB 过圆心(1,5)-，∴直线AB 的方程为：5(1)y x -=-+，即40x y +-=；（2）不妨设()11,,P x y ()22,,Q x y ()00,N x y ，直线l 的方程为(1)5y k x =++，联立方程22(1)5x y y k x ⎧=⎨=++⎩，消去y 得：222100x kx k ---=，122,x x k ∴+=12210x x k =--，||PQ ∴== 抛物线C 的方程为22x y =，21,2y x ∴=y x '∴=， ∴抛物线C 在()11,P x y 的切线方程为：()111y y x x x -=⋅-， 又点()00,N x y 在切线PN 上，则()01101y y x x x -=-，即21010220x x x y -+=，同理可得：22020220x x x y -+=，故1,x 2x 为一元二次方程200220x x x y -+=的两根， 1202,x x x ∴+=1202x x y =，又122,x x k +=12210x x k =--，0,x k ∴=05y k =--，∴点N 到直线PQ 的距离2d ===，11||22PQN S PQ d ∴=⋅= ()332222210(1)9k k k ⎡⎤=++=++⎣⎦， ∴当1k =-时，PQN 的面积取得最小值，最小值为27，PQN ∴面积的取值范围为：[27,)+∞.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 20.已知函数2()cos f x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若函数()()g x f x a =-在(0,)+∞上有两个零点1,x 2x ，且12x x <，求证：12x x π+<.【答案】（1）24π；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由于函数()f x 为偶函数，故只需求[0x ∈，)+∞时()f x 的最小值，利用()2sin f x x x π'=-，对x 分(0,)2x π∈及(2x π∈，)+∞，两类讨论，即可求得函数()f x 的最小值； （2）只需证1222x x π+<，其中1(0,)2x π∈，2,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，构造函数()()()F x f x f x π=--，(0,)2x π∈，利用导数结合题意可证得12x x π+<．【详解】解：（1）由于函数2()cos f x x x π=+为偶函数，要求函数()f x 的最小值，只需求[0,)x ∈+∞时()f x 的最小值即可.因为()2sin f x x x π'=-, 所以，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 设()2sin ,h x x x π=-()2cos h x x π'=-，显然()h x '单调递增，而(0)0,h '<02h π⎛⎫'> ⎪⎝⎭， 由零点存在定理，存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 当()00,,x x ∈()0,h x '<()h x 单减， 当0,,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,h x '>()h x 单增， 而(0)0h =，0,2h π⎛⎫=⎪⎝⎭0,,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <， 即0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单减， 又当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，2sin x x ππ>>，()0f x '>，()f x 单增， 所以2min()24f x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （2）只需证1222x x π+<，其中10,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，构造函数()()()F x f x f x π=--，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()()()22sin 0F x f x f x x πππ'''=+-=->，即()F x 单增， 所以，()02F x F π⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 即当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()f x f x π<-， 而10,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()11f x f x π<-， 又()()12f x f x =，即()()21f x f x π<-， 此时2,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，1,2x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 由第（1）问可知，()f x 在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单增， 所以，21x x π<-，12x x π+<，即证.【点睛】本题考查 利用导数来求曲线某点的切线方程及利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．21.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有()*n n N ∈份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，列需要检验n 次；②混合检验，将其k （*k N ∈且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01p p <<.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.（2）现取其中k （*k N ∈且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（i ）运用概率统计知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =；（ii ）若141p e -=-，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈.【答案】（1）()310P A =；（2）（i ）111k p k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（*k N ∈且2k ≥）；（ii ）k 的最大值为8 【解析】【分析】（1）结合题意，由排列组合知识及概率公式即可得解；（2）先由已知条件求得p 关于k 的函数关系式()p f k =，再利用导数研究函数的单调性，再结合函数性质即可得解.【详解】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，则()3121322335310P A A C A C A +==. （2）（i ）()1E k ξ=，2ξ的取值为1，1k +，()()211k P p ξ==-，()()2111k P k p ξ=+=--， 所以()()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ=-++--=+--，由()()12E E ξξ=，得()11kk k k p =+--，所以111k p k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（*k N ∈且2k ≥）. （ii ）141p e -=-，()421kE k ke ξ-=+-，所以41k k ke k -+-<，即ln 04kk ->. 设()ln 4x f x x =-，()1144'4x x xf x -=-=，0x >， 当()0,4x ∈时，()'0f x >，()f x 在()0,4上单调递增；当()4,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 在()4,+∞上单调递减.()ln823n 2208l f =-=->，()99ln 92ln 30494f =-=-<， 所以k 最大值为8.【点睛】本题考查了概率公式及随机变量的期望，重点考查了导数的综合应用，属中档题.（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为22413sin ρα=+． （1）求曲线C 1的极坐标方程以及曲线C 2的直角坐标方程；（2）若直线l ：y ＝kx 与曲线C 1、曲线C 2在第一象限交于P 、Q ，且|OQ |＝|PQ |，点M 的直角坐标为（1，0），求△PMQ 的面积．【答案】（1）1:C ρ＝4cos θ；2:C 2214x y +=（2）3． 【解析】【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用及面积公式的应用求出结果．【详解】（1）曲线C 1的参数方程为222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），转换为直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x ＝0，转换为极坐标方程为ρ＝4cos θ． 曲线C 2的极坐标方程为22413sin ρα=+．转换为直角坐标方程为2214x y +=． （2）直线l ：y ＝kx 转换为极坐标方程为θ＝θ0，代入22413sin ρα=+，解得220413Q sin ρθ=+． 代入ρ＝4cos θ，得到ρP ＝4cos θ0，由于|OQ |＝|PQ |，所以ρP ＝2ρQ ， 故：202016(4)13cos sin θθ=+，解得2023sin θ=，2013cos θ=，所以3Q ρ==，04P cos ρθ== 则()01122333PMQ OMP OMQ P Q S S S sin ρρθ=-=⨯-=⨯=． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.已知实数a 、b 满足a 2+b 2-ab ＝3．（1）求a -b 的取值范围；（2）若ab ＞0，求证：2211344a b ab++≥．【答案】（1）﹣2≤a ﹣b ≤2；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由已知得a 2+b 2＝3+ab ≥2|ab |．①当ab ≥0时，3+ab ≥2ab ，解得ab ≤3，即0≤ab ≤3；②当ab ＜0时，3+ab ≥﹣2ab ，解得 ab ≥﹣1，即﹣1≤ab ＜0， 得0≤3﹣ab ≤4，即0≤（a ﹣b ）2≤4，即﹣2≤a ﹣b ≤2；（2）由（1）知0＜ab ≤3，可得22222211344344a b a b ab a b ab +++-=-+， 利用配方法即可容易证明.【详解】（1）因为a 2+b 2﹣ab ＝3，所以a 2+b 2＝3+ab ≥2|ab |．①当ab ≥0时，3+ab ≥2ab ，解得ab ≤3，即0≤ab ≤3；②当ab ＜0时，3+ab ≥﹣2ab ，解得 ab ≥﹣1，即﹣1≤ab ＜0， 所以﹣1≤ab ≤3，则0≤3﹣ab ≤4，而（a ﹣b ）2＝a 2+b 2﹣2ab ＝3+ab ﹣2ab ＝3﹣ab ，所以0≤（a ﹣b ）2≤4，即﹣2≤a ﹣b ≤2；（2）由（1）知0＜ab ≤3， 因为22222211344344a b a b ab a b ab +++-=-+ 22222223433331111133()04442ab a b ab a b ab a bab ab +⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当ab ＝2时取等号， 所以2211344a b ab++≥． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的证明，属于中档题．。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(四)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(四)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（四）数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

―、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}14A x x =≤≤，{}*2N 23B x x x =∈-≤，则A B =( )A. {}13x x ≤≤ B. {}03x x ≤≤C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】解不等式223x x -≤，结合*N x ∈，用列举法表示集合B ，从而可求交集. 【详解】{}{}{}*2*23131,2,3B x N x x x N x =∈-≤=∈-≤≤=，{}1,2,3A B ∴⋂=.故选:C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集.易错点是忽略集合B 中*N x ∈这一条件.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()122i z i -=+，则z z ⋅=( ) A. 4 B. 2C. 4-D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】 由已知可求出2221iz i i+==-，进而可求2z i =-，则可求出z z ⋅的值. 【详解】()122i z i -=+，()()()()211222111i i i z i i i i +++∴===--+，2z i ∴=-，4z z ∴⋅=. 故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的概念.本题的关键是通过复数的除法运算，求出复数z .3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若888S a ==，则公差d 等于( ) A.14B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由88S a =，可求出4707S a ==，进而可知40a =，结合88a =，可求出公差. 【详解】解：888S a ==，1288a a a a ∴+++=，()17747207a a a S ∴+===，40a ∴=. 又由844a a d =+，得8480244a a d --===. 故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项.对于等差、等比数列问题，一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减少运算量.4.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A ，B ，C ，D ，E 五个等级.某试点高中2019年参加“选择考”总人数是2017年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2017年和2019年“选择考”成绩等级结果，得到如图表：针对该校“选择考”情况，2019年与2017年比较，下列说法正确的是( ) A. 获得A 等级的人数不变 B. 获得B 等级的人数增加了1倍 C. 获得C 等级的人数减少了 D. 获得E 等级的人数不变【答案】D 【解析】 【分析】设2017年参加“选择考”总人数为a ，分别求出2017,2019年获得A ，B ，C ，E 等级的人数，进而可选出正确选项.【详解】解：设2017年参加“选择考”总人数为a ，则2019年参加“选择考”总人数为2a ； 则2017年获得A 等级有0.25a 人，2019年获得A 等级有0.2520.50.25a a a ⨯=≠，排除A ； 2017年获得B 等级有0.35a 人，2019年获得B 等级有0.420.820.35a a a ⨯=≠⨯，排除B ； 2017年获得C 等级有0.28a 人，2019年获得C 等级有0.2320.460.28a a a ⨯=>，排除C ； 2017年获得E 等级有0.04a 人，2019年获得E 等级有0.0220.04a a ⨯=，人数不变， 故选:D.【点睛】本题考查了扇形统计图，考查了由统计图分析数据. 5.函数()cos xxy e ex -=-的部分图象大致是( )A .B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A,C.代入特殊值，如1x =，通过判断函数值的符号，可选出正确答案. 【详解】解：由()()cos xx x e e y ---=-，可知函数()cos x xy x e e -=-为奇函数，由此排除A ，C ，又1x =时，()11cos1y e e-=-，因为1,012e π><<，则110,cos10e e -->>，即此时()cos 0xxy e e x -=->，排除D .故选:B.【点睛】本题考查了函数图像的选择.选择函数的图像时，常结合函数的奇偶性、单调性、对称性、定义域排除选项，再代入特殊值，判断函数值的符号进行选择.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线C 的离心率为( )A.3B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心坐标、半径以及双曲线的渐近线，由渐近线和圆相切，可求出圆心到渐近线的距离为半径，即1=，结合双曲线中222+=a b c ，进而可求出离心率的大小.【详解】解：由题意知，圆心为()2,0在x 轴上，则圆与双曲线的两条渐近线都相切， 则圆心到渐近线by x a =的距离为半径1r =1=，即223b a =， 又222+=a b c ，则()2223c a a-=，解得c e a ==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的性质，考查了直线和圆相切问题，考查了双曲线离心率的求解.本题的关键是由相切得到223b a =.一般求圆锥曲线的离心率时，常根据题意列出,,a b c 的关系式进行变形求ca的值.本题的易错点是混淆了椭圆和双曲线中,a c 的关系. 7.在ABC 中，5AC AD =，E 是直线BD 上一点，且2BE BD =，若AE mAB nAC =+则m n +=( )A.25B. 25-C.35D.35【答案】D 【解析】 【分析】通过向量的线性运算，以,AB AC 为基底，表示出25AE AB AC =-+，进而求出m n +的值. 【详解】解：()2225AE AB BE AB BD AB AD AB AB AC =+=+=+-=-+，35m n ∴+=-.故选:D.【点睛】本题考查了向量的加法运算，考查了向量的减法运算.本题的难点是由题目条件求出,m n 的具体值.8.若函数()cos f x x x =+在区间[],a b 上是增函数，且()2f a =-，()2f b =，则函数()sin x x g x =-在区间[],a b 上( )A. 是增函数B. 是减函数C. 可以取得最大值2D. 可以取得最小值2-【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式可求得()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()2sin 3g x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，由题意可知，不妨取2,33a b ππ=-=，令3t x π=-，结合()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-的图像，可选出正确选项.【详解】解：()1cos 2cos 2sin 226f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1sin 2sin 2sin 23g x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在区间[],a b 上是增函数，且()2f a =-，()2f b =， 则2,2,6262a kb k k Z ππππππ+=-++=+∈，即22,2,33a kb k k Z ππππ=-+=+∈，不妨取2,33a b ππ=-=，设3t x π=-，则()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-，则图像为所以，()3sin x x g x -在[],a b 先增后减，可取到最大值为2. 故选:C.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角函数的单调性，考查了三角函数的最值，考查了数形结合.本题的关键是由单调性和最值，确定,a b 的值.9.若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =-（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则11ea b+的取值范围是( ) A. [)2,e B. (],4eC. [)2,+∞D. [),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()00,x y ，由题意知()000ln 1x a ex b e x a⎧+=-⎪⎨=⎪+⎩，从而可得2ea b +=，根据 “1”的代换，可求出11122b ea ea b ea b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可求出取值范围. 【详解】解：()ln y x a =+，1y x a ∴'=+，设切点为()00,x y ，则()000ln 1x a ex be x a⎧+=-⎪⎨=⎪+⎩，2ea b ∴+=，()111111222b ea ea b ea b ea b ea b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴.,,0a b e > ∴ 原式12222b ea ea b ⎛≥+⨯= ⎝，当且仅当b ea ea b =，即1,1a b e==时等号成立， 即112ea b+≥. 故选:C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式.切线问题，一般设出切点，由切点处的导数值为切线的斜率以及切点既在切线上又在函数图像上，可列出方程组.运用基本不等式求最值时注意一正二定三相等.10.在三棱锥P ABC -中，已知4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，三棱锥P ABC -的体积为36，若点,,,P A B C 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π【答案】A 【解析】 【分析】取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，由题意可知，AO BO R ==，由1336P ABC PBCV S AO -=⋅=，可列出关于R 的方程，进而可求出球的半径，则可求球的表面积. 【详解】解：取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，因为3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，所以AO BO R ==，2PC R =，PB R =，3BC R =， 因为4APC π∠=，PA AC ⊥，所以PA AC =，则AO PC ⊥,因为平面PAC ⊥平面PBC ，所以AO ⊥平面PBC ，即133P ABC PBCV S AO -=⋅=， 所以33366R =，1R ∴=，∴球的表面积为244R ππ=.故选:A.【点睛】本题考查了椎体的体积，考查了面面垂直的性质，考查了球的表面积的求解.求球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，通常设半径，结合勾股定理列方程求解.本题的关键是面面垂直这一条件的应用. 11.已知函数()223f x x x=-+，()()g x f x b =+，若函数()()y f g x =有6个零点，则实数b 的取值范围为( ) A. ()2,+∞ B. ()1,-+∞C. ()1,2-D. ()2,1-【答案】A 【解析】 【分析】结合导数，求出()223f x x x=-+的单调性，由120f f ，可得其零点及函数的简图，通过分析可知，()()f g x 有6个零点等价于()1f x b =--和()2f x b =-都分别有3个实数根，结合图像可得关于b 的不等式，进而可求出b 的取值范围.【详解】解：因为()223f x x x =-+，所以()()3222122x f x x x x+'=--=-， 故当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当10x -<<和0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减； 又120ff ，∴函数有两个零点分别为1-，2.则函数的简图为函数()()f g x 有6个零点，()1g x ∴=-与()2g x =的根共有6个，()1f x b ∴=--和()2f x b =-都分别有3个实数根，则10b --<且20b -<，即2b >.故选:A.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，考查了运用导数求函数的单调性，考查了数形结合.本题的难点是对()()y f g x =有6个零点这一条件的理解.一般地，若()()()f x g x h x =-，则()f x 的零点个数就等于()(),y g x y h x ==的图像交点个数.12.已知抛物线()2:20C y px p =>，其焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线C 于点,A B （其中A 在x 轴上方），,A B 两点在抛物线的准线上的投影分别为,M N ，若23MF =，2NF =，则AFBF=( ) A. 3 B. 2C. 3D. 4.【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知2MFN π∠=，由22216MNNF MF =+=，可求出4MN =，由MNFS可求出3p =，由1cos 2p MFO MF ∠==可知3MFO π∠=，从而可知23AF MF ==， 231cos p BF θ==+，进而可求AF BF 的值. 【详解】解：由题意知，AF AM =，BF BN =，则,AMF AFM BFN BNF ∠=∠∠=∠, 由////BN AM x 轴，可知22AFM BFN π∠+∠=，则2MFN π∠=，22216MN NF MF ∴=+=，4MN ∴=，112322MNFp MN NF S MF =⋅=⋅=， 3p ∴=，则1cos 2p MFO MF ∠== ，3MFO π∴∠=，AF AM =，AMF ∴△为等边三角形，∴直线AB 的倾斜角3πθ=，且23AF MF ==,又因为cos cos BN BF BF BF p θθ+=+=，则231cos 3p BF θ==+.3AF BF ∴=.故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系.本题的关键是p 的求解.对于抛物线的问题，一般结合抛物线的定义，可减少运算量.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.6x⎛⎝展开式中常数项为________.【答案】240 【解析】 【分析】先求出二项式6x⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项.【详解】6x⎛- ⎝展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x --+⎛==⨯-⨯ ⎝令36342r r -=⇒=,所以6x ⎛ ⎝的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.在平面直角坐标系中，若角α的始边是x 轴非负半轴，终边经过点22sin,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()cos πα+=________.【答案】 【解析】 【分析】化简出P 的坐标，从而可求出cos α=()cos πα+的值.【详解】解：由题意知，221sin ,cos 3322P P ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则P 到原点的距离为1，cos 2α∴=，()cos cos 2παα+=-=-. 故答案为: . 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数值的求解.由P 点坐标求出角的余弦值是本题的关键. 15.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，x R ∀∈，都有()()2f x f x +=-，当01x <≤时，()213log ,02112x x f x x ⎧-<<⎪⎪=≤≤，则()9114f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【答案】5 【解析】 【分析】由题意可知()f x 周期为2，从而可求出91544f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110f f ==，进而可求出()9114f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】解：由()()2f x f x +=-可知，()f x 关于1x =对称，又因为()f x 是偶函数， 所以()f x 周期为2，则9915444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()1110f f == ()()9111150544f f f f ⎛⎫⎛⎫∴-+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:5.【点睛】本题考查了分段函数，考查了函数的周期性的应用.由奇偶性和对称性求出函数的周期是求解本题的关键.16.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足333321232n n n a a a a S S ++++=+，设2nn na b =数列{}n b 的前n 项和为nT，则使得n T m <成立的最小的m 的值为________.【答案】3 【解析】 【分析】由333321232n n n a a a a S S ++++=+，得333321231112n n n a a a a S S ---++++=+，两式相减可得()2122n n n a S S n -=++≥，结合1,2n n n a S S n -=-≥，可求出()113n n a a n --=≥，又21321a a -=-=，从而可求出{}n a 的通项公式1n a n =+，用错位相减法可求出332n n n T +=-，进而可求使得n T m <成立的最小的m 的值.【详解】解：由333321232n n n a a a a S S ++++=+，得333321231112n n n a a a a S S ---++++=+，两式相减得()()3221112222n n n n n n n n n a S S S S a S S a n ---=+--=++≥，整理得，()2122n n n a S S n -=++≥，()211223n n n a S S n ---∴=++≥，两式相减得()22113n n n n a a a a n ---=+≥.数列{}n a 的各项为正数，()113n n a a n -∴-=≥，当1n = 时，321112a a a =+，即()211120a a a --=，解得12a =或1-（舍）或0（舍）， 又22212224a S S a =++=++，解得：23a =或22a =-（舍），则21321a a -=-=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，()2111n a n n ∴=+-=+⨯，12n n n b +∴=，12323412222nnn T +=++++，则23411111122222n n n T ++=++++， 相减得1234111111111111111221222222222212n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++++-=+--，3332n n n T +∴=-<，∴满足不等式的m 的最小正整数为3. 故答案为:3.【点睛】本题考查了通项公式的求解，考查了错位相减法求和.本题的难点是由已知,n n S a 递推关系式的整理.一般地，已知,n n S a 递推关系时，常结合11,2,,1n n n S S n n N a S n *-⎧-≥∈=⎨=⎩进行求解. 本题的易错点是由错位相减法求n T 时，计算量大，容易算错.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+.（1）求A ；（2）若ABC 的面积为63，27a =，求ABC 的周长. 【答案】（1）3π；（2）1027+. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对已知式子进行边角互化，结合三角形的内角和定理，化简后可得1cos 2A =，进而可求出A ； （2）由1sin 632ABCSbc A ==，可知24bc =，结合余弦定理可求出10b c +=，从而可求周长. 【详解】解：（1）由2cos cos cos a A b C c B =+知，2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，()2sin cos sin sin A A B C A ∴=+=.0A π<<，1cos 2A ∴=，则3A π=. （2）1632sin ABCbc SA ==，24bc ∴=.由余弦定理知， 2222cos 28=+-=a b c bc A ，即()222283b c bc b c bc =+-=+-，()2283100b c bc +=+=∴，解得10b c +=，ABC ∴的周长为1027+.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式.一般地，若题目已知式子中既有边又有角，常结合正弦定理和余弦定理进行边角互化；若式子中三个角都存在，则常结合三角形的内角和定理进行消角化简.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为长方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，3BC =，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上靠近B 点的三等分点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求平面AEF 与平面PCD 所成二面角正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2178【解析】 【分析】（1）通过BC PA ⊥，BC AB ⊥可证明BC ⊥平面PAB ，进而可得AE BC ⊥，结合AE PB ⊥证明线面垂直.（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，可求出平面AEF 的法向量()1,4,1m =--，平面PCD 的法向量()0,4,3n =，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：PA AB =，E 为线段PB 中点，AE PB ∴⊥.PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥.又底面ABCD 是长方形，BC AB ∴⊥.又PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB .AE ⊂平面PAB ，AE BC ∴⊥. 又PB BC B ⋂=，AE ∴⊥平面PBC .（2）解：由题意，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,2E ，()4,1,0F ，()0,0,4P ，()4,3,0C ，()0,3,0D . 所以()2,0,2AE =,()4,1,0AF =，()4,3,4PC =-，()0,3,4PD =-， 设平面AEF 的法向量(),,m x y z =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22040x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则4y =-，1z =-，()1,4,1m ∴=--，同理可求平面PCD 的法向量()0,4,3n =，192cos ,,m n m n m n⋅∴==-，2178sin 1cos ,,m m n n ∴=-=， 即平面AEF 与平面PCD 所成角的正弦值为17830.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了二面角正弦值的求解，考查了同角三角函数的基本关系.证明线线垂直时，可结合等腰三角形三线合一、勾股定理、矩形的邻边、菱形的对边、线面垂直的性质证明. 19.2019新型冠状病毒（2019―nCoV ）于2020年1月12日被世界卫生组织命名.冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病.某医院对病患及家属是否带口罩进行了调查，统计人数得到如下列联表： 戴口罩 未戴口罩 总计 未感染301040（1）根据上表，判断是否有95%的把握认为未感染与戴口罩有关；（2）从上述感染者中随机抽取3人，记未戴口罩的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）有把握；（2）分布列见解析，95. 【解析】 【分析】（1）由表求出245043841..K ≈>，即可判断；（2）由题意知X 的取值可能为0，1，2，3，求出每种情况的概率，从而可得分布列，进而可求数学期望.【详解】解：（1）由列联表可知，()225030641045043841341640.10.K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. 所以有95%的把握认为未感染与戴口罩有关.（2）由题知，感染者中有4人戴口罩，6人未戴口罩，则X 的取值可能为0，1，2，3.()343101030C P X C ===；()21463103110C C P X C ===；()1246210122C C P X C ===；()36310136C P X C ===，则X 的分布列为()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=∴. 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了离散型随机变量的分布列，考查了数学期望的求解.在第一问求2K 时，由于数据较大，应注意计算.一般对于求分布列的问题，写出分布列后，可结合概率之和为1这一性质，进行检验.20.已知点1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点，椭圆上一点P 满足1PF x ⊥轴，215PF PF =，12F F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，当1ABF 的内切圆面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）y x =y x =-. 【解析】 【分析】（1）由1PF x ⊥轴，结合勾股定理可得2221122PF F F PF +=，从而可求出23PF =13PF =，则可知a =122F F c ==21b =，即可求出椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，:l x ty =+12y y +=，12213y y t =-+，从而可用t 表示出11212223AF BF F AF F BSSSt =+=+，用内切圆半径表示出()11112AF BSAF F B AB r =++⋅=，即可知23r t =+，结合基本不等式，可求出当半径取最大时，t 的值，从而可求出直线的方程.【详解】解：（1）因为1PF x ⊥轴，所以122PF F π∠=，则2221122PF F F PF +=，由215PF PF =，12F F =2PF =1PF =122F F c ==由椭圆的定义知233a =+=a ∴=2221b ac =-=， ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）要使1AF B △的内切圆的面积最大，需且仅需其1AF B △的内切圆的半径r 最大.因为()1F，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，易知，直线l 的斜率不为0，设直线:l x ty =+2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22310t y ++-=，故12y y +=，12213y y t =-+； 所以11212121212AF BF F A F F BSS SF F yy =+=-===， 又()1111114222AF B S AF F BAB r a r r=++⋅=⋅⋅=⋅=，=，即，21232r t ==≤+；=，即1t =±时等号成立，此时内切圆半径取最大值为12， ∴直线l 的方程为y x =y x =-+.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆内三角形周长的求解，考查了三角形的面积公式，考查了直线与椭圆的位置关系.本题的关键是用内切圆半径表示出三角形的面积.本题的难点是计算化简. 21.已知函数()()()2ln 2f x x a x a R =++∈.（1）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()122f x f x +>.【答案】（1）当0a >时，()f x 的最大值为1ln3a +，当0a ≤时，()f x 的最大值为1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数()2242x x a f x x ++'=+，分为2a ≥，02a <<，0a ≤三种情况，结合导数判断函数的单调性，继而求出最大值.（2）由函数()f x 存在两个极值点可知2240x x a ++=在()2,-+∞上存在两不等的实根，令()224p x x x a =++，从而可知()168020a p ∆=->⎧⎨->⎩，可求出a 的取值范围，结合韦达定理可求出()()12ln 42af x f x a a +=-+，结合令()ln 42x q x x x =-+，在()0,2x ∈上的单调性，可证明()()12ln 422af x f x a a +=-+>.【详解】解：（1）由题意知，()f x 定义域为()2,-+∞，且()2242x x af x x ++'=+，当1680a ∆=-≤时，解得2a ≥，此时()0f x '≥对[]1,1x ∈-成立， 则()f x 在[]1,1-上是增函数，此时最大值为()11ln3f a =+，当2a <时，由2240x x a ++=得1x =-，由[]11,1---，取01x =-，则[)01,x x ∈-时，()0f x '≤；[)0,x x ∈+∞时，()0f x '≥， 所以()f x 在[)01,x x ∈-上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，又()11f -= 则当()()11f f >-，即0a >时，此时，()f x 在[]1,1-上的最大值为1ln3a +； 当()()11f f ≤-，即0a ≤时，()f x 在[]1,1-上的最大值为()11f -=，∴综上，当0a >时，函数()f x 在[]1,1x ∈-的最大值为1ln3a +，当0a ≤时，函数()f x 在[]1,1x ∈-的最大值为1.（2）要使()f x 存在两个极值点，则2240x x a ++=在()2,-+∞上存在两不等的实根，令()224p x x x a =++，则对称轴为1x =-，则()168020a p ∆=->⎧⎨->⎩，解得02a <<，由韦达定理知121222x x a x x +=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，()()()()22121122ln 2ln 2f x f x x a x x a x ∴+=+++++()()2121212122ln 24x x x x a x x x x =+-++++⎡⎤⎣⎦()()222ln 22422a a a ⎡⎤=--⋅++⋅-+⎢⎥⎣⎦ln 42a a a =-+.令()ln42x q x x x =-+，()0,2x ∈，()ln 02xq x '∴=<，()q x ∴在()0,2上单调递减， 02x ∴<<时，()()22q x q >=，()()122f x f x ∴+>.【点睛】本题考查了二次函数根的分布，考查了韦达定理，考查了运用导数求最值，考查了已知极值点的个数求参数.本题的难点在于第一问中，参数范围的确定；第二问中，如何将极值点个数转化为参数的取值范围.一般地，含参函数求最值时，首先求出定义域，然后求得导数，令导数为零，讨论导数为零有无根；当有根时，再讨论根是否属于定义域，结合单调性，即可求最值.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标系的原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试求,A B 两点间的距离.【答案】（1）3cos 4sin 10ρθρθ-+=，220x y x y +--=；（2）75.【解析】 【分析】（1）将直线参数方程通过消参得到普通直角坐标方程，结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得其极坐标方程；结合两角差的余弦公式，可得2cos sin ρρθρθ=+，从而可求出曲线C 的普通方程.（2）联立直线参数方程和圆的方程，可求出12127,05t t t t +=-=，则1275AB t t =-=. 【详解】解：（1）消参得，直线:3410l x y -+=，即3cos 4sin 10ρθρθ-+=；曲线:cos cos sin sin 444C πππρθθθ⎛⎫⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎭，即2cos sin ρρθρθ=+，则22x y x y +=+ ，所以曲线C 的普通方程为220x y x y +--=.（2）设,A B 两点在直线上对应的参数分别为12,t t ，将415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入220x y x y +--=，得2705t t +=，则12127,05t t t t +=-=，则1275AB t t =-==. 【点睛】本题考查了参数方程与普通直角坐标方程的转化，考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了弦长问题.求第二问的弦长时，可结合直线和圆的图形，由勾股定理求解，但是计算稍麻烦；也可结合参数的几何意义求解.选修4-5：不等式选讲23.已知0a >，0b >，1a b +=. （1（2）若不等式111x m x a b+-+≤+对任意x ∈R 及条件中的任意,a b 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1；（2）[]3,5-. 【解析】【分析】（1）求结合基本不等式可求出2的最大值为6+（2）结合基本不等式中“1”的代换，可求出114a b+≥，结合11x m x m +-+≤-，可得14m -≤，从而可求出m 的取值范围. 【详解】解：（1）21111116a b a b a b =+++++++++++=， =12a b ==时取等号，. （2）()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =，即a b =时取等号，11a b∴+的最小值为4.又11x m x m +-+≤-，∴ 14m -≤，解得35m -≤≤， 即m 的取值范围为[]3,5-.【点睛】本题考查了基本不等式，考查了“1”的代换，考查了含绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式.在应用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.。

2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十七)数学试题

2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十七)数学试题

2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十七）数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本题共8小题、每小题5分、共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若全集U =R ，集合{}2A y y x=∈=R ，(){}3log 1B x y x =∈=-R ，则()RA B =（ ）A. (]1-∞，B. []1,2C. 0,1D. [)0,1 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合A 和B ，再求出B R，即可得解.【详解】由题{}[)20,A y y x=∈==+∞R ，(){}()3log 11,B x y x =∈=-=+∞R(],1RB =-∞，()RA B =0,1.故选：C【点睛】此题考查集合补集和并集的运算，关键在于准确求解已知集合的值域和定义域，根据集合的运算法则求解.2.任意复数z a bi =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以()cos sin z r i θθ=+的形式，其中r =，()02θπ≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数z =，则z 的辐角主值为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】D 【解析】 【分析】先将复数z =，利用复数的除法运算化简为12=z i ，再化为三角形式求解.【详解】因为2112===i z i ， 所以55cossin 66ππ=+z i ， 所以z 的辐角主值为56π. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.“1a =”是“直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先根据两直线垂直系数之间的关系求出a 值，再利用充分条件、必要条件的定义即可得出答案. 【详解】充分性：若1a =，则()11110⨯+-⨯=，即两直线垂直，充分性满足； 必要性：直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直， 则()1110a ⨯+-⨯=，解得1a =，必要性满足；即“1a =”是“直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直”的充要条件. 故选：A【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，考查了两直线垂直系数之间的关系，属于基础题.4.已知函数()()2sin ,0log ,0x x f x a x x ≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，且716f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a =（ ） A.32B. 2C. 3D. ln 2【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义计算． 【详解】7751()sin()sin 6662f πππ-=-==，所以2711()log ()1622f f f a π⎛⎫⎛⎫-==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32a =． 故选：A ．【点睛】本题考查分段函数，根据自变量的不同取值范围选择不同的表达式计算是解题关键．本题考查了三角函数的计算，对数的概念．属于中档题．5.在连续5次模拟考试中，统计甲、乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为111，乙同学5次成绩的中位数为103，则x y +的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】利用平均数和中位数，求得,x y 的值，进而求得x y +的值. 【详解】依题意1021071161101201115x +++++=，解得0x =.乙的中位数为103，所以3y =. 所以3x y +=. 故选：A【点睛】本小题主要考查茎叶图中的平均数和中位数的计算，属于基础题.6.已知函数()()sin 03sin f x x x πωωω⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=>的最小正周期为π，则函数()f x 的一个对称中心可以是（ ） A. ,06π⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,124π⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 1,34π⎛⎫⎪⎝⎭ D. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】对函数进行三角恒等变换，根据最小正周期求得函数解析式，即可求出对称中心. 【详解】由题可得()sin sin 3f x x x πωω⎛⎫=-⎪⎝⎭⋅1cos sin 22sin x x x ωωω⎛⎫- ⎝=⎪⎪⎭2sin 1sin 2x x x ωωω-=21cos 24xx ωω--=11sin 6224x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()0ω> 最小正周期为π，即2,12ππωω== 所以()11sin 2642f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 令,,,62122k x k k Z x k Z ππππ+=∈=-∈， 所以其对称中心为1,,2124k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭，结合选项可得，B 选项符合题意. 故选：B【点睛】此题考查根据函数最小正周期求参数的取值，根据函数解析式求对称中心，关键在于熟练掌握三角恒等变换和对称中心的求解方法.7.已知非零实数a ，x ，y 满足2211log log 0a a x y ++<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A. 221111x y <++ B. y x x y x y+>+ C. 1111xya a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭D. x y y x >【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值排除错误选项，利用分析法证明正确选项.【详解】依题意非零实数a ，x ，y 满足2211log log 0a a x y ++<<，则20,11a a ≠+>，所以01x y <<<. 不妨设11,42x y ==， 则2211614161616,,175201720111142===>⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 选项错误； 315535,2,422444y x x y x y +=+=+==<，所以B 选项错误；由于1011a <<+，根据指数函数的性质可知：11421111a a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误. 依题意01x y <<<，要证明x yy x >，只需证明ln ln x y y x >，即证ln ln x y y x >，即证ln ln y xy x>，构造函数()()ln 01xf x x x =<<，()'21ln x f x x-=，由于01x <<，所以ln 0x <，所以()'21ln 0x f x x-=>在区间()0,1上恒成立，所以()f x 区间()0,1上递增，所以ln ln y x y x >，所以x yy x >.故D 选项正确. 故选：D【点睛】本小题主要考查不等关系的判断，属于中档题.8.已知图象连续不断的函数()f x 的定义域为R ，()f x 是周期为2的奇函数，()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，则()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为（ ） A. 5050B. 4041C. 4040D. 2020【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，得出()00f =且()f x 在区间(0,2]内有4个零点，再结合函数的周期性，即可求解. 【详解】由函数()f x 的定义域为R 上的奇函数，可得()00f =， 又由()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点， 可得函数()f x 在区间[1,0)-和(0,1]内各有2个零点，因为()f x 是周期为2，所以区间(1,2]内有两个零点，且(2)0f =， 即函数()f x 在区间(0,2]内有4个零点， 所以()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为20204140412⨯+=个零点. 故选：B.【点睛】本题主要考查了抽象函数的零点个数的判定，以及函数的奇偶性的应用，着重考查了分析维内托和解答问题的能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知曲线C方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A. 当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B. 当2k =时，曲线C C. 存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D. 当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B 【解析】 【分析】根据k 的取值和椭圆、双曲线的几何性质可确定,A B 的正误；根据方程表示双曲线可构造不等式，确定C 的正误；根据直线与圆位置关系的判定可知D 的正误.【详解】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距2c ==，A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则a =c =∴离心率==ce aB 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集， ∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为7y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离35d ===≠，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选：B .【点睛】本题考查椭圆、双曲线几何性质的应用，涉及到椭圆和双曲线焦距和离心率的求解、根据方程表示双曲线求解参数、直线与圆位置关系的判定等知识，是对解析几何部分基础知识的综合考查.10.已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A. //PB CQB. 1233BP BA BC =+ C. 0PA PC ⋅> D. 4S =【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题 11.如图，正方形123SG G G 的边长为1，E ，F 分别是12G G ，23G G 的中点，2SG 交EF 于点D ，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 三点重合，重合后的点记为G ，则在四面体S GEF -中必有（ ）A. SG ⊥平面EFGB. 设线段SF 的中点为H ，则//DH 平面SGEC. 四面体S GEF -的体积为112D. 四面体S GEF -的外接球的表面积为32π 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项,A 折成四面体S EFG -后，SG GE ⊥，SG GF ⊥，由此能证明SG ⊥平面EFG ；对选项B ,证明//DH SE ，即得证；对选项C ,求出四面体S GEF -的体积为124，即得解；对选项D ,求出三棱锥的外接球的半径为6，即得解. 【详解】对选项A ，在折前正方形123SG G G 中，11SG G E ⊥，33SG G F ⊥，∴折成四面体S EFG -后，SG GE ⊥，SG GF ⊥，又GEGF G =， ,GE GF ⊂平面EFG ，SG ∴⊥平面EFG ．所以选项A 正确. 对选项B ,对选项B ,连接,DH 因为ED DF =,SH HF =, 所以//DH SE ,因为SE ⊂平面SEG ,HD ⊄平面SEG , 所以//DH 平面SGE . 所以选项B 正确. 对选项C ,前面已经证明SG ⊥平面GEF ,所以SG 是三棱锥S GEF -的高，且1SG =. 由题得12GE GF ==，22112()()222EF =+=， 所以222,2GE GF EF EGF π+=∴∠=.所以11112228EGFS=⨯⨯=， 所以四面体S GEF -的体积为1111=3824⨯⨯. 所以选项C 错误.对选项D ,由于,,SG GE SG GF GE GF ⊥⊥⊥,所以可以把三棱锥S GEF -放到长方体模型之中，长方体的三条棱为,,GS GE GF , 所以三棱锥的外接球的直径2221166321()(),4224162R R S ππ=++∴=∴=⨯=. 所以选项D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算和外接球问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12.某同学在研究函数()22145f x x x x =+-+()f x 变形为()()()()()2222001201x f x x =-+--+-()f x 的描述正确的是（ ）A. 函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增 B. 函数()f x 的图象是中心对称图形 C. 函数()f x 的值域是)22,⎡+∞⎣D. 方程()()15ff x =+无实数解【答案】ACD 【解析】 【分析】设(0,1)A ，(2,1)B ，函数()f x 表示x 轴上点(,0)P x 到,A B 两点的距离之和，让P 在x 轴上移动，可观察出函数()f x 的变化情况，从而判断各选项的正确性． 【详解】设(0,1)A ，(2,1)B ，()()()()()2222001201x f x x =-+-+-+-表示x 轴上点(,0)P x 到,A B 两点的距离之和，设(1,0)Q ，以,A B 为焦点，Q 为短轴上一个端点，作椭圆，x 轴与此椭圆相切于点Q ，当P 从Q 向右移动时，PA PB +逐渐增大，即函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，A 正确；当P 与Q 重合时，PA PB +最小，最小值为22，因此()f x 的值域是[22,)+∞，C 正确；函数图象关于直线1x =对称，不是中心对称是，B 错误；当0x =或2x =时，()15f x =+，由于()22f x ≥，因此()0f x =和()2f x =都无解，D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查函数的性质，解题关键是把函数转化为x 轴上点(,0)P x 到,A B 两点的距离之和，这样通过点的移动直观地得出函数的性质．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.抛物线()220y px p =>过圆2248190x y x y +-++=的圆心，()3,A m 为抛物线上一点，则A 到抛物线焦点F 的距离为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】求得圆心的坐标，由此求得抛物线的方程，进而求得抛物线的准线方程，结合抛物线的定义，求得A 到抛物线焦点F 的距离.【详解】圆2248190x y x y +-++=的圆心为48,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,4-，代入抛物线方程得()24224p p -=⨯⇒=，所以抛物线方程为28y x =，其准线方程为2x =-，()3,A m 则A 到抛物线焦点F 的距离等于A 到抛物线准线的距离，即距离为325+=. 故答案为：5【点睛】本小题主要考查圆的方程，考查抛物线的定义，属于基础题. 14.已知tan θ=()cos sin 60θθ=-︒__________.【答案】3【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式展开得()cos sin 60θθ=-︒. 【详解】由题()cos sin 603222222θθ====-︒.【点睛】此题考查三角恒等变换化简求值，根据正切值求三角函数值，关键在于熟练掌握两角差的正弦公式，结合齐次式求解.15.已知函数()xf x e ax =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）的图象恒过定点A ，（1）则点A 的坐标为__________；（2）若()f x 在点A 处的切线方程21y x =+，则a =__________. 【答案】 (1). ()0,1 (2). 1- 【解析】 【分析】令0x =可得定点；利用切线斜率可构造方程求得a . 【详解】当0x =时，()01f =，∴点A 的坐标为()0,1；()x f x e a ='-，()012f a '∴=-=，解得：1a =-.故答案为：()0,1；1-.【点睛】本题考查函数过定点、根据在某点处的切线求解参数值的问题，属于基础题. 16.已知()()20211n nnx a a x a x a x n +=++++∈*N ，设012n n S a a a a =++++；数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n T ，当112020n T -≤时，n 的最小整数值为__________. 【答案】11 【解析】 【分析】首先利用赋值法求得，0122n n n S a a a a =++++=，之后应用等比数列求和公式求得11(1)12211212n n n T ⋅-==--，代入求解即可. 【详解】因为()()20211n nn x a a x a x a x n +=++++∈*N ，令1x =，得0122n n n S a a a a =++++=，所以112n n S =， 所以11(1)12211212n n n T ⋅-==--，所以112020n T -≤即为120202n ≤， 所以11n ≥，故答案为：11.【点睛】该题考查的是有关二项展开式的问题，涉及到的知识点有赋值法求系数和，等比数列求和公式，属于简单题目.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =，3AD =，2BC =.（1）若13CD =ABCD 的面积；（2）若32sin 5BCD ∠=，0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，求sin ADC ∠.【答案】（1）132+2）43310+ 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求得BD ，由余弦定理求得cos C ，得C 角，计算两个三角形面积后可得四边形面积； （2）由正弦定理求得sin BDC ∠，得cos BDC ∠，在直角三角形ABD 中求出角6ADB π∠=，由两角和的正弦公式可得sin ADC ∠．【详解】解：（1）连接BD ，在Rt △ABD 中， 由勾股定理得：2224BD AB AD =+=， 所以2BD =，在BCD 中，由余弦定理知：2222cos 22BC CD BD C BC CD +-==⋅， 因为()0,C π∈，所以4Cπ，所以1322ABDSAB AD =⋅=，113sin 22ABDSBC CD C +=⋅⋅=， 所以ABCD 的面积132ABD BCDS S S=+=+.（2）在BCD 中，由正弦定理知：sin sin BC BDBDC BCD=∠∠，所以sin 3sin 5BC BCD BDC BD ⋅∠∠==. 因为0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 所以0,2BDC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，4cos 5BDC ∠=. 在Rt △ABD 中，3tan 3AB ADB AD ∠==， 所以6ADB π∠=，所以3341433sin sin 6525210ADC BDC π+⎛⎫∠=∠+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理，还考查三角形面积公式，两角和与差的正弦公式等等，运用较多，需确定选用公式的顺序．本题属于中档题．18.试在①PC BD ⊥，②PC AB ⊥，③PA PC =三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO ⊥面ABCD 成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥P ABCD -中，AC BD O =，底ABCD 为菱形，若__________，且60ABC ∠=︒，异面直线PB 与CD 所成的角为60︒，求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】详见解析；余弦值为13【解析】 【分析】先分析出只能选择①③，再进行证明和计算.【详解】若选②：由PO ⊥平面ABCD 知，又PC AB ⊥， 所以AB ⊥面P AC ，所以AB AC ⊥， 所以90BAC ∠=︒，BC BA >，这与底面ABCD 为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③. 下面证明：PO ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥. 因为PC BD ⊥，PC AC C =，所以BD ⊥平面APC.又因为PO ⊂平面APC ，所以BD PO ⊥. 因为PA PC =，O 为AC 中点，所以PO AC ⊥. 又ACBD O =，所以PO ⊥平面ABCD ，因为PO ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OP 的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系O xyz -，因为//AB CD ，所以PBA ∠为异面直线PB 与CD 所成的角， 所以60PBA ∠=︒.在菱形ABCD 中，设2AB =，因为60ABC ∠=︒，所以1OA =，3OB =设PO a =，则PA，PB =.在PBA 中，由余弦定理得：222+2cos PA BA BP BA BP PBA =-⋅⋅∠，所以22114322a a +=++-⨯，解得a = 所以()0,1,0A -，)B ，()0,1,0C，( P .设()1111,,n x y z =为平面ABP 的法向量，()3,0AB =，(AP =， 由1100n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：11110y y +=+=⎪⎩， 令11z =得()12,n =.设()2222,,n x y z =为平面CBP 的法向量，()3,1,0CB=-，( 0,CP =-，由2200n CB n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：222200y y -=-=⎪⎩， 令21z =得：()22,n =.设二面角A PB C --的平面角为θ，所以12121cos 3n n n n θ⋅==，所以二面角A PB C --的余弦值为13. 【点睛】此题考查补齐题目条件并进行求解二面角的大小，关键在于准确判定需要补齐的条件，根据立体几何常见的解题方法求解二面角的大小.19.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，2121n n S n a +++=，n *∈N .（1）证明：当2n ≥时，11n n a a +=+；（2）若4a 是2a 与8a 的等比中项，求数列{}2nn a ⋅的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析；（2）()1122n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】（1）由21211n n S a +++=，得到2n ≥时，()2122n n S n a n -+=≥，两式相减，化简整理得()()22112n n a a n ++=≥，即可得到当2n ≥时，11n n a a +=+； （2）由（1）和题设条件，得到数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，求得n a n =，进而得到22n n n a n ⋅=⋅，利用乘公比错位相减法，即可求解.【详解】（1）因2121n n S n a +++=，可得当2n ≥时，()2122n n S n a n -+=≥，两式相减得：()221212n n n a a a n ++=-≥，所以22121n n n a a a +++=，即()()22112n n a a n ++=≥. 因为数列{}n a 的各项均为正数，所以当2n ≥时，11n n a a +=+. （2）由（1）得：422a a =+，826a a =+，因为4a 是2a 与8a 等比中项，所以2428a a a =⋅，即()()222226a a a +=⋅+，解得22a =，又21222a a +=，所以11a =，所以211a a -=，从而11n n a a +-=对n *∈N 恒成立，所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =，所以22n nn a n ⋅=⋅，所以()211222122n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯ ()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯两式相减得：212222n n n T n +-=+++-⨯()1212212n n n +-=-⨯-()1122n n +=-⋅-，所以()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.20.已知O 为坐标原点，椭圆()22:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，双曲线2214x y -=的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,,D M N 为椭圆C 上的动点，,,M O N 三点共线，直线,DM DN 的斜率分别为12,k k . （i ）证明：1214k k =-； （ii ）若120k k +=，设直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，证明：22m n +为定值.【答案】（1）2214x y +=（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）设渐近线与椭圆C 交点为()2,P t t ，根据P 到原点的距离和P 在椭圆上可得到关于,a b 的方程，结合离心率即可求得,a b ，进而得到椭圆方程； （2）由,M N 关于原点对称可假设,,D M N 坐标；（i ）利用,D M 在椭圆上，满足椭圆方程，代入2212122212y y k k x x -=-中化简整理可得结论；（ii ）求得12,k k 后，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用()12120x x x x +-=可得到所求定值.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由题意知：2c e a ====，2a b ∴=…①， 双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，∴可设双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限的交点为()2,P t t ，=212t =. ()2,P t t 在椭圆上，222241t t a b∴+=，即：222112a b +=…②，由①②解得：2a =，1b =，∴椭圆C的标准方程为：2214x y +=.（2）由题意知：,M N 关于原点对称，则可设()11,D x y ，()22,M x y ，()22,N x y --.（i ）点,D M 在椭圆C 上，221114x y ∴+=，222214x y +=， 221114x y ∴=-，222214x y =-，22122212121212222212121212114414x x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴=⋅===--+--. （ii ）不妨设10k >，20k <，1214k k =-，120k k +=，112k ∴=，212k =-，直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，∴直线1:2DM y x m =+，1:2DN y x n =-+， 由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：22 2220x mx m ++-=，21222x x m ∴=-， 由221214y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222220x nx n -+-=，21222x x n ∴-=-， ()2212122240x x x x m n ∴+-=+-=，即222m n +=， 22m n ∴+为定值2.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、定值问题的求解与证明等知识；本题中定值问题的求解关键是能够灵活应用韦达定理的结论，将韦达定理代入已知等式中，化简整理得到定值.21.已知函数()()22ln 12sin ,0f x ax x x a =++->. （1）若1a ≥，证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求正实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）01a << 【解析】 【分析】（1）对函数求导()222cos 1f x ax x x'=+-+，则()00f '=，再令()() h x f x '=，则()()21'2sin 1h x a x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭，得出导函数()'h x 的正负，可得出函数()h x 的单调性，继而判断导函数() f x '的正负，从而可得出函数() f x 的单调性，可得证；（2）分两种情况1a ≥和01a <<，分别讨论得出函数()f x 的单调性，由已知可得出正实数a 的取值范围. 【详解】（1）由题知()222cos 1f x ax x x'=+-+，()00f '=， 令()() h x f x '=，则()()21'2sin 1h x a x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 若1a ≥，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()22112sin 21sin 011h x a x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=-+≥-+>+ +⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()()00h x h >=，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 所以()()00f x f >=.（2）①若1a ≥，由（1）知：()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 因此0x =不可能是()g x 的极大值点.②若01a <<，令()()()212sin 1x h x a x x ϕ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝'==+⎭-+， 因为当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()342cos 01x x x ϕ'=+>+，所以()x ϕ即()h x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.又因为()()'0210(0)h a ϕ==-<，212102212h a ππϕπ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥'==+-> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦， 因此存在0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足：() 0h a '=，所以当()1,x a ∈-时，()()0a h x h ''<=， 所以()()f x h x '=在()1,a -上单调递减，()()000f h '==，所以当()1,0x ∈-时，()0f x '>；当()0,x a ∈时，()0f x '<； 所以()f x 在()1,0-上单调递增；在()0,a 上单调递减； 综上，当0x =是()f x 的极大值点时，01a <<.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、极值、最值等问题，关键在于构造合适的函数，由其导函数的正负得出原函数的单调性，及其图象趋势，从而可得出所研究的函数的极值、最值、零点等相关的问题，属于难度题.22.中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：若该大学体重超重人数y 与月份变量x （月份变量x 依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？（2）在某次排球训练课上，球恰由A 队员控制，此后排球仅在A 队员、B 队员和C 队员三人中传递，已知每当球由A 队员控制时，传给B 队员的概率为12，传给C 队员的概率为12；每当球由B 队员控制时，传给A 队员的概率为23，传给C 队员的概率为13；每当球由C 队员控制时，传给A 队员的概率为23，传给B 队员的概率为13.记n a ，n b ，n c 为经过n 次传球后球分别恰由A 队员、B 队员、C 队员控制的概率.（i ）若3n =，B 队员控制球的次数为X ，求EX ； （ii ）若n 112233n n a b c --=+，111123n n n b a c --=+，111123n n n c a b --=+，2n ≥，n ∈*N ，证明：25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断经过200次传球后A 队员控制球的概率与25的大小. 附1：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211=n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnx x x ====-⋅--=--∑∑∑∑；a y bx =-.附2：参考数据：515180i ii x y==∑，522222211234555i i x ==++++=∑.【答案】（1）可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下；（2）（i ）1918（ii ）证明见解析；20025a >. 【解析】 【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并由此进行预测. （i ）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列，进而计算出EX . （ii ）证明部分：法一：通过证明1222535n n a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭证得25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；法二：通过证明1222535n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭证得25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列. 求得数列{}n a 的通项公式，由此判断出20025a >. 【详解】（1）由已知可得：1234535x ++++==， 640540420300200210042055y ++++===，又因为515180i ii x y==∑，522222211234555i i x ==++++=∑，所以51522215518063001120ˆ1125553105i ii ii x y xybxx ==--===-=--⨯-∑∑，所以ˆˆ4201123756ay bx =-=+⨯=， 所以ˆˆˆ112756ybx a x =+=-+， 当()11275610y x x *=-+<∈N 时，7x ≥，所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下. （2）（i ）由题知X 的可能取值为：0，1，2；()121102326P X ==⨯⨯=；()121112111211112322332323218P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=；()121111222322339P X ==⨯⨯+⨯⨯=；X 的分布列为：所以()111219012618918E X =⨯+⨯+⨯=. （ii ）（法一）由111123n n n b a c --=+，111123n n n c a b --=+，两式相加得：()11113n n n n n b c a b c ---+=++.因为112233n n n a b c --=+，所以1132n n n b c a --+=，132n n n b c a ++=，代入等式得113122n n n a a a +-=+，即111233n n n a a a +-=+所以1121222333n n n n a a a a a a +-+=+==+，因为10a =，21212223233a =⨯+⨯=，所以12233n n a a ++=，所以1222535n n a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以数列25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为25-，公比为23-的等比数列，所以1222553n n a -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即122153n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此经过200次传球后A 队员控制球的概率1992002221535a ⎡⎤⎛⎫=-->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （法二）由题知：111123n n n c a b --=+，所以11223n n n b c a --=-， 所以11112222333n n n n n n a b c c a c ----=+=-+，又因为1111123n n n n n b a c a c --=+=--，所以1111123n n n n c a a c --=---，所以112212223n n n n n n a c a c a a --=-+-=--，所以12233n n a a -=-+，所以1222535n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 又因为10a =，所以122055a -=-≠， 所以数列25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为25-，公比为23-的等比数列，所以1222553n n a -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即122153n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此经过200次传球后A 队员控制球的概率1992002221535a ⎡⎤⎛⎫=-->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查根据递推关系证明等比数列，考查随机变量期望值的计算，属于难题.。

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2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（七）理科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共有12小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个是正确的.） 1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,4},{1,3,5}A B==,则()U A B =（ ） A. {1}B. {3,5}C. {1,6}D. {1,3,5,6} 【答案】B【解析】分析：由全集U 及A ，求出补集U C A ，找出集合A 的补集与集合B 的交集即可.详解：{} 1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}3,5U A ∴=， 又{}(){}1,3,5,3,5U B A B =∴⋂=，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合B 或不属于集合A 的元素的集合.2.已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则m 的值为（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】A【解析】【分析】先化简已知的等式，再利用两个复数相等的条件，解方程组求得x 的值．【详解】∵()()2243,m i i i +-=+∴()2m 2443m i i ++-=+， ∴22443m m +=⎧⎨-=⎩，即m 1= 故选A【点睛】本题考查两个复数的乘法法则的应用，以及两个复数相等的条件，基本知识的考查． 3.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+与c 共线,则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】 由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b 表示出c ，进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=，又c = a b λ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）A. 165B. 325C. 10D. 185【答案】C【解析】【分析】由条件可知8025200s =，计算结果. 【详解】设图中阴影部分的面积为s ，正方形的面积为25，则8025200s =， 解得：10s =故选：C【点睛】本题考查几何概型，属于简单题型.5.函数()f x 的定义域是R ，且满足()()0f x f x +-=，当0x ≥时，()21x f x x =+，则()f x 图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性可排除B,C 选项，当0x ≥时，()21x f x x =+可知()0f x ≥，排除D 选项，即可求解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是R ，且满足()()0f x f x +-=，所以()f x 是奇函数，故函数图象关于原点成中心对称，排除选项B,C ，又当0x ≥时，()21x f x x =+， 可知()0f x ≥，故排除选项D,故选：A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数图象，属于中档题.6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、玉、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、.癸酉，甲戌、乙亥、子、.癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到60个组合，周而复始，循环记录.2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2019年是“干支纪年法”中的（ ）A. 己亥年B. 戊戌年C. 庚子年D. 辛丑年【答案】A【解析】【分析】根据“干支纪年法”依次写出2011-2019年的“干支纪年”，得到结果.【详解】2011年是辛卯年，2012年是玉辰年，2013年是癸已年，2014年是甲午年，2015年是乙未年，2016年是丙申年，2017年是丁酉年，2018年是戊戌年，2019年是己亥年.故选：A【点睛】本题考查新定义，重点考查读懂题意，列举法，属于基础题型.7.若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log a b 的大小关系为（ ） A.1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b a b a b a >>> C.1log log b a b a a a b b >>> D. 1log log a b b aa b a b >>> 【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>，因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <. 综上1log log a b b a a b a b >>>；故选D. 8.已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个直角边分别为2和1的全等三角形，则这个四面体最长的棱长为（ ）A. 5B. 3C. 2D. 23【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出如图的几何体，再求最长的棱长.【详解】由三视图可知，此几何体是三棱锥，如图，画出四面体ABCD ，由三视图可知，2AD DC ==，长方体的侧棱长为1，最长的棱是BD ，2222213BD =++=故选：B【点睛】本题考查由三视图还原几何体，重点考查空间想象能力，属于中档题型，一般由三视图还原几何体，根据“长对正，高平齐，宽相等”的原则还原，也可将几何体放在正方体或长方体中，找点作图.9.已知51x ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为-40，则a 的值为（ ） A. 2B. -2C. 2±D. 4 【答案】C【解析】【分析】 由题意可知51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含1x 项的系数是-40，利用二项式定理的通项公式求1x 的系数求a 的值. 【详解】由题意可知51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含1x 项的系数是-40， ()()555215511r r r r r r r r T C ax C a x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 当3r =时，()33213151T C a x -+=⋅-⋅，则21040a -=-，解得：2a =±.故选：C【点睛】本题考查二项式定理指定项系数，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.10.已知函数()()2sin 10f x x ωω=+>在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上存在唯一的0x 使得0()3f x =，则ω的取值不可能为（ ）A. 23B. 14C. 34D. 1【答案】B【解析】【分析】 由已知函数在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]0,π上存在唯一的最大值，建立关于ω的不等式组，求解ω的范围，比较选项. 【详解】由题意可知225220ππωπωππω⎧⋅≤⎪⎪⎪≤⋅<⎨⎪>⎪⎪⎩，解得：112ω≤≤ 四个选项只有B 不成立.故选：B【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查最值，属于中档题型，本题的关键是考查端点值和最大值的比较.11.过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点F 的直线交两渐近线于E 、Q 两点，O 为坐标原点，OEQ △内切圆的半径为4a ，且0OE EQ ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】因为内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，根据角平分线的性质，画出如图的图象，再结合焦点到渐近线的距离为b ，和数形结合分析出13b a =，再求离心率. 【详解】设内切圆的圆心为M ，则在EOQ ∠的角平分线上， 过点M 分别作MN OE ⊥于点N ，MT EQ ⊥于点T ，由FE OE ⊥，得四边形MNET 是正方形，由焦点到渐近线0bx ay -=的距离为d ，则22bc d b a b ==+，又OF c =， OE a ∴=，4a NE MN ==， 34a NO ∴=， 13b MN a ON ∴==， 221013c b a a ∴=+=故选：D【点睛】本题考查双曲线的几何性质和三角形内心的几何性质，重点考查转化与化归，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是利用双曲线的焦点到渐近线的距离等于b ，再根据勾股定理确定OE a =，再根据内切圆的几何性质确定几何关系.12.如图，在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC ,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ）A. S 为定值,l 不为定值B. S 不为定值,l 为定值C. S 与l 均为定值D. S 与l 均不为定值【答案】B【解析】【分析】将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -和''C B CD '-，得到一个几何体V ，V 是以平行平面'A BD 和''B CD 为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，设正方体棱长为a ，'''A K A B γ=，可求得六边形的周长为32a 与γ无关，即周长为定值；当I J N M L K 、、、、、都在对应棱的中点时，ω是正六边形，计算可得面积233S a =，当ω无限趋近于'A BD 时，ω的面积无限趋近于23a ，从而可知ω的面积一定会发生变化． 【详解】设平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形为ω，ω与正方体的棱的交点分别为I J N M L K 、、、、、（如下图）， 将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -和''C B CD '-，得到一个几何体V ，V 是以平行平面'A BD 和''B CD 为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形ω的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，设正方体棱长为a ，'''A K AB γ=，则2IK B D a γγ''==，()()121KL A B a γγ=-'=-，故()2212IK KL a a a γγ+=+-=，同理可证明2LM MN NJ IJ a +=+=，故六边形ω的周长为32a ，即周长为定值；当I J N M L K 、、、、、都在对应棱的中点时，ω是正六边形，计算可得面积221233362224S a a ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，三角形'A BD 的面积为()2213322a a ⨯⨯=，当ω无限趋近于'A BD 时，ω的面积无限趋近于23a ，故ω的面积一定会发生变化，不为定值． 故答案为B.【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了截面的周长及表面积，考查了学生的空间想象能力，属于难题．第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题（共20分.本大题共4小题，每小题5分）13.实数满足204040x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值是____【答案】-8【解析】【分析】首先画出可行域，然后平移直线，判断目标函数的最小值.【详解】如图，画出可行域，令0z =，作出初始目标函数：12y x =，当0y =时，x z =，即当直线的横截距最小时，2z x y =-取得最小值，由图象可知，当直线过点C 时，目标函数取得最小值， 204x y x -+=⎧⎨=⎩ ，解得4,6x y == ，即()4,6C , 即min 4268z =-⨯=-故答案为：-8【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.14.为响应中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，高二（1）班5名学生自发到3个农场参加劳动，确保每个农场至少有一人，则不同的分配方案有___种（用数字填写答案） 【答案】150 【解析】 【分析】根据条件分配方案先分成两类，一种是2，2,1，一种是1,1,3的分组分配，再按照组合排列求解.【详解】由题意可知，有两类分配方法，其中一种是3个农场有2个农场有2人，1个农场有1人，共有2235332290C C A A =种方法, 另外一种是3个农场有2个农场有1人，另外一个农场有3人，共有1135432260C C A A =种方法， 所以一共有90+60=150种方法. 故答案为：150【点睛】本题考查排列，组合，重点考查分组，分配，属于基础题型.15.设12,F F 分别是椭圆221167x y +=的左、右焦点，E 为椭圆上任一点，N 点的坐标为()5,1，则1||||EN EF +的最大值为_____【答案】8【解析】 【分析】首先利用椭圆的定义，转化()128EN EF EN EF +=+-，利用22EN EF NF -≤，结合数形结合分析距离和的最大值. 【详解】128EF EF +=()128EN EF EN EF ∴+=+-22EN EF NF -≤，如图，当2,,E F N 三点共线时，等号成立，所以2EN EF -的最大值是2F N ==即1||||EN EF +的最大值是8.故答案为：85【点睛】本题考查椭圆内距离的最大值，椭圆的定义，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型，本题的关键是利用椭圆的定义转化()128EN EF EN EF ∴+=+-，从而利用三点共线求最大值. 16.设数列{}n a 的前n 项和为n S 满足：1(1)n n n a S n n -=-+，1,2,,n n =，则2020S =____【答案】202020201120212S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】首先求首项，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，再通过构造可得数列11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是等比数列，从而求得n S . 【详解】当1n =时，10S =， 当2n ≥时，1(1)n n n S a n n -+=+，11111212111n n n n n S S S S S n n n n n--⎛⎫+-=-=--=- ⎪+++⎝⎭ 111111111111222212n n nn n n S S S S n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-=-=-=-⇒=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故202020201120212S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查数列已知n S 求n a ，重点考查转化与化归的思想，属于中档题型，本题的关键是证明数列11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是等比数列.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17.如图，点A 在BCD 的外接圆上，且3sin 5A =，A 为锐角，5AD CD ==，35BD =.（1）求AB ；（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）10；（2）18 【解析】 【分析】（1）ABD △中，利用余弦定理求AB ；（2）由（1）易求ABD △的面积，根据四点共圆，可知A BCD π∠+∠=，BCD 中利用正弦定理求sin DBC ∠，再来利用两角和的正弦公式求sin BDC ∠，最后求面积.【详解】解：（1）∵3sin 5A =，A 为锐角，∴4cos 5A =，在ABD △中由余弦定理得：2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅28200AB AB --=，得10AB =或2AB =-（舍去），∴10AB = （2）由（1）可知113sin 10515225ABD S AB AD A =⋅=⨯⨯⨯=△ ∵ABCD 四点共圆，∴A C π∠+∠=，∴3sin 5C =，4cos 5C =-，在BCD 中由正弦定理得：sin sin BD CD C DBC =∠，即3553sin 5DBC =∠，得5sin DBC ∠=25cos 5DBC ∠= sin sin(())sin()BDC DBC BCD DBC BCD π∴∠=-∠+∠=∠+∠=5425325555525⎛⎫-+=⎪⎝⎭ ∴1125sin 355322BCD S BD CD BDC =⨯⨯⨯∠=⨯=△∴四边形ABCD 面积15318S =+=【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，重点考查推理计算能力，属于基础题型，本题的关键条件是四边形若有外接圆，则对角互补.18.已知四棱锥S ABCD -，SD SB =，在平行四边形ABCD 中，AD CD =，Q 为SC 上的点，过AQ 的平面分别交SB ，SD 于点E 、F ，且//BD 平面AEQF .（1）证明：EF SC ⊥；（2）若23SA SC ==2AB =，Q 为SC 的中点，SA 与平面ABCD 所成角的正弦值为32，求平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质可知//BD EF ，再后再根据条件证明BD ⊥平面SAC ，从而证明线线垂直； （2）如图，以O 为坐标原点，分别以,,OA OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用两个平面法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结SO . ∵在平行四边形ABCD 中，AD CD =， ∴BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点， ∵SD SB =，∴SO BD ⊥， ∵ACSO O =，且,AC SO ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，∵SC ⊂平面SAC ，∴BD SC ⊥， ∵//BD 平面AEQF ，且平面AEQF平面SBD EF =∴//BD EF ， ∴EF SC ⊥（2）由（1）可知BD ⊥平面SAC ，故平面ABCD ⊥平面SAC ∵SA SC =，且O 为AC 的中点，∴SO AC ⊥ 又∵平面ABCD平面SAC AC =∴SO ⊥平面ABCD ，∴SA 与平面ABCD 所成角为SAO ∠ ∵SA 与平面ABCD 所成角的正弦值为32，且23SA =，∴3AO =3SO = 在Rt AOB 中，2AB =，由勾股定理得：1OB =如图，以O 为坐标原点，分别以,,OA OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则：3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3)A B C D S --，∵Q 为SC 的中点，∴3322Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则(0,2,0)BD =-，333,0,22AQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭易知，平面SBD 的一个法向量为()1,0,0m =设平面AEQF 的法向量为(),,n x y z =，因为//EF BD ，则：00n BD n AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2033302y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，则：0y =，3z =AEQF 的一个法向量为(1,0,3n =∴||1cos ,||||213m n m n m n ⋅===+∴平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角的余弦值为12【点睛】本题考查证明线线垂直，空间坐标法求二面角，重点考查推理证明，计算能力，属于中档题型. 19.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点. （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点()2,0E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点. 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）法一：分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线方程为()1y k x =-与24y x =联立，利用弦长公式1228AB x x =++=求解；法二：设直线方程为1x my =+，方程联立后利用弦长公式求解；（2）设直线l 方程为()0x my b m =+≠与24y x =联立，由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =-，利用根与系数关系，得到直线过定点.【详解】解：（1）法一：焦点()1,0F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为()1,2，()1,2-，此时AB 4=，不符合题意，故直线的斜率存在.设直线l 方程为()1y k x =-与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()()212222||||||1128k AB AF BF x x k+=+=+++=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+法二：焦点()1,0F ，显然直线l 不平行于x 轴，设直线方程为1x my =+， 与24y x =联立得2440y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y124y y m +=，124y y =-()2||41AB m ====+由8AB =，解得1m =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+ （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线l 方程为()0x my b m =+≠与24y x =联立得2440y my b --=124y y m +=，124y y =-由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =-，即121222y yx x =-++ 整理得121122220y x y x y y +++=，即()()121122220y my b y my b y y +++++= 整理得()12122(2)0my y b y y +++= 即84(2) 0bm b m -++=，即2b = 故直线l 方程为2x my =+过定点()2,0【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的综合问题，涉及弦长，斜率求法，属于中档题型，题中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.20.某工厂改造一废弃的流水线M ，为评估流水线M 的性能，连续两天从流水线M 生产零件上随机各抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为X . 第一天第二天经计算，第一天样本的平均值165μ=，标准差1 2.2.σ=第二天样本的平均值265μ=，标准差2 2.σ= （1）现以两天抽取的零件来评判流水线M 的性能.（i ）计算这两天抽取200件样本的平均值μ和标准差σ（精确到0.01）；（ii ）现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率），①()0.6826P X μσμσ-<≤+≥；②()2 20.9544P X μσμσ-<≤+≥；③()330.9974P X μσμσ-<≤+≥评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线M 的性能等级.（2）将直径X 在(]2,2μσμσ-+范围内的零件认定为一等品，在(]3,3μσμσ-+范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品.现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个，设ξ为抽到次品的件数，求ξ分布列及其期望.2.102≈6.648≈21.024≈；参考公式：标准差σ=【答案】（1）（i ）65μ=， 2.10σ≈；（ii ）合格；（2）分布列见解析，811【解析】 【分析】（1）（ⅰ）因为两天100个零件的平均值都是65，所以200个零件的平均值也是65，按照公式计算标准差σ；（ⅱ）分别计算3σ的概率，然后比较等级；（2）由（ⅱ）可知200件零件中合格品7个，次品4个，ξ的可能取值为0，1，2，利用超几何分布计算概率，并求分布列和数学期望.【详解】（1）（i ）依题意：200个零件的直径平均值为65μ=由标准差公式得：第一天：()100221165100484i i X σ=-==∑，第二天：()100222165100400i i X σ=-==∑，则()2002211165(484400) 4.42200200ii X σ==-=+=∑故 2.10σ=≈（注：如果写出1(2.202) 2.102σ=+=不给分） （ii ）由（1）可知：164()(62.967.1)0.820.6826200P X P X μσμσ-<≤+=<≤==≥， 189(22)(60.869.2)0.9450.9544200P X P X μσμσ-<≤+=<≤==<，196(33)(58.771.3)0.980.9974200P X P X μσμσ-<≤+=<<==<仅满足一个不等式，判断流水线M 的等级为合格.（2）可知200件零件中合格品7个，次品4个，ξ的可能取值为0，1，2，则2721121(0)55C P C ξ===，117421128(1)55C C P C ξ===，242116(2)55C P C ξ===，ξ的分布列则21286801255555511E ξ=⋅+⋅+⋅= 【点睛】本题考查样本期望，方差的计算，3σ原则的应用，以及超几何分布列的计算，重点考查数据的分析和应用，属于中档题型，本题的关键是读懂题意.21.已知函数2()2ln f x x ax =-，()(1)34x g x x e ax =++-，a R ∈. （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有最大值且最大值是1-，求证：()()f x g x <. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导，得()221()ax f x x-'=，对a 分类讨论，利用导函数的正负性即可得出单调性；（2）利用（1）中结论及()f x 最大值是1-，可得1a =，对()()f x g x <进行整理，可得232ln 14x x x x e x -<+-+，由0x >时，e 1x>可知，证明232114ln x x x x -+-+≤即可，构造函数()2432ln h x x x x =--+，利用导数可得()()0h x h x ≤()002ln 1x x =-+，再构造()ln 1m x x x =-+，利用导数可得()(1)0m x m ≤=，所以()()00h x h x ≤≤，问题得解. 【详解】（1）由函数2()2ln f x x ax =-，0x >得()2212()2ax f x ax x x-'=-= 1)当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0∞，+上单调递增； 2)当0a >时，由()f x '=当0x <<时()0f x '>，当x >()0f x '< 故()fx 0⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减.（2）证明：由（1）知，当0a >时，函数()f x 有唯一最大值，即l 1n 1f a --=-，解得=1a . 22ln ()(3)14x x x f x g x e x x -++-<⇔<0x >时e 1x >， 所以证明23ln 1142x x x x -≤⇔+-+ 242ln 30x x x -+≤-即可， 令()()2432ln 0+h x x x x x =-+∈-∞，， ()()()()2211221224x x x x h x x x x x-+-+-'=--==可知，当01x -时函数()h x 取得极大值即最大值，且200210x x +-= ()()2000000=2ln 432ln 1h x x x x x x --+=-+设()ln 1m x x x =-+，则11()1x m x x x-'=-= 所以()m x 在01，上单调递增，[)1+∞，上单调递减， 故()(1)0m x m ≤=，所以()()0002ln 10h x x x =-+≤所以()()00h x h x ≤≤，即242ln 30x x x -+≤-问题得解.【点睛】本题是导数的综合应用题，考查了利用导数求函数单调性及利用导数求最值证明不等式，考查了分类讨论思想和放缩法，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为4π⎫⎪⎭，直线l的极坐标方程为sin()42πρθ+= （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若B 是曲线C 上的动点，G 为线段AB 的中点.求点G 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）l ：10x y +-=，C ：2213x y +=；（2）2【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=消参得到曲线C 的普通方程，以及利用两角和的正弦公式展开，利用cos ,sin x y ρθρθ==求直线的直角坐标方程；（2）利用参数方程设),sin ,[0,2)B αααπ∈，则1sin 1,22G θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，利用点到直线的距离，转化为三角函数求最值.【详解】（1）∵直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin cos 10ρθρθ+-=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线l 的直角坐标方程为10x y +-=.将曲线C的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α，得曲线C 的普通方程为2213x y +=. （2）设),sin ,[0,2)B αααπ∈.点A的极坐标4π⎫⎪⎭化为直角坐标为()1,1则sin 12G θ⎫+⎪⎪⎝⎭. ∴点G 到直线l距离3d πθ⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭. 当sin 13πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭时，等号成立点. ∴点G 到直线l的距离的最大值为2 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的互化，以及参数方程的应用，属于基础题型，本题第二问的关键是利用椭圆的参数方程设点G 的坐标，转化为三角函数求最值.23.已知函数()21f x x a x =-++，()2g x x =+.（1）当2a =时，求不等式()1f x <的解集；（2）若[0,1]x ∀∈，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值.【答案】（1）空集；（2）1【解析】【分析】（1）不等式转化为22110x x -++-<，利用零点分段，去绝对值，写成分段函数的形式，利用函数的单调性求函数的值域，同时求出不等式的解集；（2）当[]0,1x ∈，去绝对值，转化为21x a -≤对[]0,1x ∀∈恒成立，再去绝对值求a 的取值范围.【详解】解：（1）当2a =时，不等式()1f x <化为22110x x -++-<，设函数2211x x y -++-=，3,12,1132,1x x y x x x x -<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，由函数图象可知当1x =时，函数取得最小值1，所以1y ≥∴原不等式解集为空集（2）当[]0,1x ∈，不等式()()f x g x ≤恒成立，即21x a -≤对[]0,1x ∀∈恒成立，由2121x ax a-≤⎧⎨-≥-⎩得2121a xa x≥-⎧⎨≤+⎩对[]0,1x∀∈恒成立得11 aa≥⎧⎨≤⎩故a的取值为1【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，以及恒成立求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.。

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