4.2 指数函数
中职数学4.2指数函数
1 24 8…
图
y=3x … 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 …
象
yy 3x y 2x
特
征
1-
Y=1
o -3 -2 -1 1 2 3
x
Logo
用描点法作函数y (1)x 和y (1)x的图象.
函
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
数 y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
引例
某种细胞分裂时，由1 个细胞 分裂成2个，2个分裂成4个，......,一 个这样的细胞分裂 x 次后，得到的 细胞个数y与分裂次数x有怎样的函 数关系？
Logo
细胞分裂过程
细胞个数
第一次 第二次 第三次
第x次
表达式
…y …= …2x…
……
2=21 4=22 8=23
x
2
细胞个数y关于分裂次数x的表达式为
图 y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
象
y (1)x 2
y (1)x
3Y
特
征
Y=1
X O
Logo
观察右边图象，回答下列问题：
问题一： 图象分别在哪几个象限？
y
(
1)x 2
y
(1)x 3
y=3X
Y y=2x
答四个图象都在第＿Ⅰ＿、＿Ⅱ＿象限。
Y=
问题二：
O
X
图象的上升、下降与底数a有联系吗？
为什么要规定a>0,且a 1呢？
0
1
a
a ①若a=0， 则当x>0时， x =0；
②若a<0，
4.2指数和指数函数(含图像变换)
y=x2 y
A oB x C
将抛物线y=x2向下平移3个单位，平移后交 x轴于A、B两点，交y轴于点C.
（2）将平移后抛物线的图象 在x轴下方的部分沿x轴翻折， 图象的其余部分保持不变，得 到一个新的图象：
①画出示意图；
②写出该函数图象的解析式；
*当一元二次函数自变量有绝对值符号时，按
照⑤做完即可
(6) (7)
函数图象的平移与对称变换
一、图象的平移变换 口诀： 自变量：左加右减 常数项：上加下减
二、图象的对称变换
画出下列函数的图像
(3)
公式： 2(x+m)+1=2x-5 2x+2m+1=2x-5
所以： 2m+1=-5 m=-3
典型例题
函数图象的平移与对称变换
一、图象的平移变换 口诀： 自变量：左加右减 常数项：上加下减
二、图象的对称变换
函数图象的平移与对称变换
一、图象的平移变换 口诀： 自变量：左加右减 常数项：上加下减
二、图象的对称变换
⑤
注：*当幂函数、指数函数、对数函数自变量中既
有绝对值对称变换又有平移时，先对称后平移；
3.旋转变换 旋转180°呢？
抛物线的旋转
y =2(x+2)2 -1
P (-2,-1) y =-2(x+2)2 -1
P1 (2, 1)
转 化 x 顶点的旋转
y =-2(x-2)2 +1
1.已知二次函数 y = x2 2x 3.
D
y (0,3) x (0,-3)
2.已知二次函数 y=2（x+3）2－1 .
4.2-指数函数
(4)a2与a3(a 0,且a 1)
①0 a 1时, y ax是R上的减函数,2 3,a2 a3. ②a 1时, y ax是R上的增函数,2 3,a2 a3.
[变式]若1.52m 1.54,则m的范围是__m_<_2___.
4.2 指数函数
4.2.1指数函数的概念
指数的故事
与百万富翁的交易
杰米是百万富翁。一天，他碰到上一件奇怪的事。一个叫韦伯的人对他说：“我想和你
订个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你
每天给我的钱是前一天的两倍。”杰米说：“真的？你说话算数？”合同开始生效了，
杰米欣喜若狂。 第1天，杰米支出1分钱，收入10万元。1 第2天，杰米支出2分钱，收入10万元。1×2 第3天，杰米支出4分钱，收入10万元。1×2×2
(1) y 3x 1, x [1,2] 析 : x [1,2],3x [1 ,9],值域为[ 2 ,8].
3
3
(2) y 22x3 析 : x R,2x 3 R, y 0. 值域为(0,)
4 (1)x 2
由4
1 x
2
0得
1 x
2
4,
2x
22,
解指数不等式: 化同底+单调
性
x 2,x 2. 定义域为[2,).
[例7]求不等式
1
12
x
27的解集.
[变]求不等式232x 0.53x4的解集.
3
指数函数的应用五：求值域
(定义域)→指数范围 →单调性
[例8]求下列函数的值域.
解 : 设f (x) ax (a 0, a 1).a2 9,a 3(3舍去). f (x) 3x. f (2) 32 1 . 9
高中数学第4章指数函数与对数函数4.2指数函数4.2.1指数函数的概念4.2.2指数函数的图象和性质
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．( √ ) (2)当 a>1 时，对于任意 x∈R 总有 ax>1.( × ) (3)函数 f(x)＝2－x 在 R 上是增函数．( × )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若 f(x)＝(a2－3)ax 是指数函数，则 a＝________. (2)若函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象过点(2,9)，则 f(x)＝________. (3)函数 y＝2 1－3x的定义域为________，值域为________． 答案 (1)2 (2)3x (3)(－∞，0] [1,2)
＋ff43＋ff65＋…＋ff22002109＝(
)
A．1010 B．2020 C．2019 D．1009
答案 B
解析
不妨设
f(x)
＝
2x
，
则
f2 f1
＝
f4 f3
＝
…
＝
f2020 f2019
＝
2
，
所
以
原
式
＝
1010×2＝2020.
答案
解析
2．若函数 y＝(1－2a)x 是实数集 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为
教学难点：1.指数函数的图象与性质.2.底数 a 对函数的影响．
核心概念掌握
【知识导学】
知识点一 指数函数的定义
□01 函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义
域是 R
.
知识点二 指数增长模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为 N，每次的增长率
4.2 指数函数课件ppt
0<a<1
(4)当x<0时,y>1;
(4)当x<0时,0<y<1;当 x>0时, y>1
当x>0时,0<y<1
性
(5) 在R上是减函数
质 (5)在R上是增函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近 当x值趋近于正无穷大时,函数值
于正无穷大;
趋近于0;
当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近 当x值趋近于负无穷大时,函数值
(2)1.5 ,
8
27
4
;
(3)2.3-0.28,0.67-3.1;
(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解 (1)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数
y=2.5x在R上是增函数.
又3<5.7,∴2.53<2.55.7.
-7
(2)(化同底)1.5 =
x
4
-2
4
∴a=2.
∴f(4)f(2)=24×22=64.
(2)解 由 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,可得
解得
= 1,或 = 2,
故 a=2.
> 0,且 ≠ 1,
2 -3 + 3 = 1,
> 0,且 ≠ 1,
反思感悟 指数函数是一个形式定义,其特征如下:
变式训练1下列以x为自变量的函数中,是指数函数的为(
8
27
4
=
4
3
2
3
3 -7
2
=
2
2
4.2 第1课时 指数函数及其图象、性质(一)
答案: C
3.已知函数f(x)=4+ax+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的
坐标是(
)
A.(-1,5) B.(-1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,此时f(x)=4+1=5,故点P的
坐标为(-1,5).
设f(x)=0.8x, 因为0<0.8<1,所以f(x)在R上单调递减.
又因为0.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.
再比较0.80.8与0.90.8的大小,设g(x)=x0.8,
因为0.8>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为0.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.
第1课时
4.2 指数函数
指数函数及其图象、性质(一)
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图象.
4.探索并理解指数函数的单调性.
5.感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推
理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
答案:(1)D (2)(-5,-1)
反思感悟
1.指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象必过的定点;
(2)利用图象变换,如函数图象的左右平移、上下平移;
(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,
4.2 指数函数的性质与图像
③若a=1，则对于任何x R，
a x=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1。
在规定以后，对于任何x R，a x 都有意义，
因此指数函数的定义域是R
探究2：下列函数中，那些是指数函数？
y ax (a 0且a 1) (1) (5) (7) (8)
(1) y=4x (2) y=x4
(3) y= - 4x (4) y=( - 4 ) x
(5) y=πx (6) y=2·4x
(7) y = 2 -x (8) y = ( 2a – 1 ) x
指数函数是形式上的定义，
像前面加个系数形如 (a>1/2且a≠1)
y=kax不是指数函数
幂函数与指数函数的对比
式子
名称
a
x
y
指数函数: y=ax 底数 指数 幂 幂函数: y= xa 指数 底数 幂
分析：在解决实际应用问题时候，首先
要根据题目要求进行恰当的假设，并注 意自变量的取值范围。其次试写几个特 殊的例子，利用归纳法得出关系式子。
每经过1年剩留的这种物质是原来的84%
（1）.先求出函数关系式：
设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留 量是y，那么：
经过1年，剩留量 y 1 84% 0.841
42084(元)
答:即现在只要在银行存入42084（元）就可以了。
小结：1.指数函数的定义：函数 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。 2.指数函数的的图象和性质：
a>1
0<a<1
图
6
5
象
4 3
2
11
高中数学必修一(人教版)《4.2.1 指数函数的概念》课件
[答案] B
[方法技巧] 判断一个函数是指数函数的方法
(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征．只要有一个特征不具备， 则该函数就不是指数函数．
【对点练清】
1．下列函数是指数函数的是
A．y＝π2x C．y＝2x－1
B．y＝(－8)x D．y＝x2
[方法技巧] 实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型： 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1 ＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型： 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1 －p)x(x∈N)． (3)指数型函数： 把形如y＝kax(k≠0，a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用 的函数模型．
[典例1] 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；
④y＝x3；⑤y＝(－2)x.
其中，指数函数的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．4
[解析] ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x ＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量 x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数， 故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
(2)若指数函数 f(x)的图象经过点(2,9)，求 f(x)的解析式及 f(－1)的值．
[解析] (1)指数函数 y＝f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点－2，14，可 得 a－2＝14，解得 a＝2，函数的解析式为 y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.
4.2 指数函数-(新教材人教版必修第一册)(70张PPT)
类型三：指数函数的图象及应用
典例示范
【例 5】在如图所示的图象中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与函数
y＝bax 的图象可能是(
)
A 解析：根据图中二次函数的图象可知 c＝0， ∴二次函数 y＝ax2＋bx.∵ba>0， ∴二次函数的对称轴 x＝－2ba<0，排除 B，D. 对于 A，C，都有 0<ba<1，∴－21<－2ba<0，C 不符合．故选 A.
定向训练
1．不等式 a2x－7＞a4x－1(0＜a＜1)的解集为_(_－__3_，__＋__∞_)__．
2．比较下列各组数的大小．
(1)1.52.5 和 1.53.2；
(2)0.6－1.2 和 0.6－1.5；
(3)1.70.2 和 0.92.1；
(4)a1.1 与 a0.3(a>0，且 a≠1).
类题通法
1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成 底数相同的指数式．
2．解不等式 af(x)＞ag(x)(a＞0，a≠1)的依据是指数型函数的单调 性，要养成判断底数取值范围的习惯．若底数不确定，就需进行分
类讨论，即 af(x)＞ag(x)⇔ffxx＞ ＜ggxx， ，a0＞ ＜1a， ＜1.
数学（人教版）
必修第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
第一 阶段
课前自学质疑
必备知识 深化预习
1．指数函数的概念 一般地，函数_y_＝__a_x_ (a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中__指__数__x_ 是自变量，定义域是 R.
2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质
【例 2】指数函数 f(x)＝(2b－3)(1－a)x，若 f(2)＝9，求 a，b 的 值．
专题4.2 指数函数(解析版)
专题4.2指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数xy a 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即a>0且a≠12、指数函数的图象和性质0<a<1a>1定义域R,值域（0，+∞）(2)在R上是增函数注意：指数增长模型：y=N(1+p)x指数型函数：y=ka x3考点：（1）a b=N,当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。
一、单选题1．若函数()21xy m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12【答案】C【解析】由题意可得21101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2m =.故选：C.2．函数11x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】解：令10x -=，解得1x =，所以当1x =时，10112x y a a -=+=+=，所以函数11x y a -=+过定点()1,2.故选：B3．若函数()22x xf x a x -=+⋅-为R 上的奇函数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．2-C ．1D ．2【答案】A【解析】函数()22x xf x a x -=+⋅-为R 上的奇函数,故()010f a =+=，得1a =-，当1a =-时，()22x xf x x --=-满足()()f x f x -=-，即此时()22x xf x x --=-为奇函数，故1a =-，故选：A4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()2x f x =，则()2021f -=（）A ．2B ．－2C ．0D【答案】B【解析】由题意，()f x 的周期为4，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2021)(2021)(45051)(1)2f f f f -=-=-⨯+=-=-．故选：B ．5．已知f (x )=22,5(3),5x x x f x x ⎧-≥⎨+<⎩，则f (4)+f (-4)=（）A ．63B ．83C ．86D ．91【答案】C【解析】依题意，当x <5时，f (x )=f (x +3)，于是得f (-4)=f (-1)=f (2)=f (5)，f (4)=f (7)，当x ≥5时，f (x )=2x -x 2，则f (5)=25-52=7，f (7)=27-72=79，所以f (4)+f (-4)=86.故选：C6．函数()()32sin 1x xe x xf x e -=+的图象大致为（）A ．BC．D【答案】A【解析】由题意，得()()332sin sin 1x x x xe x x x xf x e e e---==++，所以()()3sin x x f x x e e x f x --+==-+-，所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B ，D ．又因为33ππππ6666ππ1πsin π662606f e ee e--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪⎝⎭++，()()32π2πsin 2π2π2π0f e e--=<+，所以排除C ．故选：A7．若221333111,,252a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ､b ､c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b<<D ．c b a<<【答案】A【解析】因为23y x =在(0,)+∞上单调递增，且1125>，所以22331125⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b >，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且2133>，所以21331122⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a >，所以c a b >>，即b a c <<故选：A 8．设函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=，()()2f x f x -=-，且当[]1,0x ∈-时，()2x f x =，则()2022f =（）A ．1-B ．1C ．12D ．12-【答案】A【解析】由()()2f x f x -=-得()()()222+-=-+=f x f x f x ，所以()()()42-+=+=-f x f x f x ，即()()4f x f x +=，所以()f x 的周期为4，()()()2022505422=⨯+=f f f ，由()()2f x f x -=-得()()022221-=-==f f ，所以()21f =-.故选：A.9．()f x 是定义域为R 的函数，且2()f x x -为奇函数，()2x f x +为偶函数，则(2)f 的值是（）A ．178B ．174C ．478D ．474【答案】A【解析】由题意，222()((()))f x x x f x f x x =--=----，即2()()2f x f x x -+=，(22))(x x f x f x -=++-，即()22()x x f x f x --=--，所以22(2)22x x f x x -=+-，可得2112)2(x x f x x ----=+，故2212122217(2)8f ----==+.故选：A.10．若2||()2x f x x =+，则下列关系式一定成立的是（）A ．()(3)()f f f e π>->B ．(3)()()f f f e π->>C ．()(3)()f e f f π>->D ．()()(3)f e f f π>>-【答案】A【解析】由2||()2x f x x =+可知：()()f x f x -=，()f x ∴为偶函数，又2222,0()22,0x xxx x f x x x x -⎧+≥=+=⎨+<⎩,知()f x 在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，故()(3)(3)(e)f f f f π>=->，故选：A.11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21xf x x =+-，则不等式()12f x -<的解集为（）A ．()0,2B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．()(),02,-∞+∞【答案】A【解析】当0x ≥时，()21xf x x =+-，则()f x 在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 是R 上的偶函数，且(1)2f =，因此，()()()121111f x f x f x -⇔-⇔-<，解得02x <<，所以不等式()12f x -<的解集为()0,2.故选：A12．已知函数()22,12,1xx ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【解析】∵()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，∴21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得13a ≤≤.故选：B.13．函数1()(2f x =）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．12⎤⎥⎝⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】依题意，210x x -++≥，解得：1122x ≤≤，即()f x 定义域为11[,]22，令u =，则函数u =在11[]22上单调递增，在11[,]22上单调递减，而函数1()2u y =在R 上单调递减，因此，()f x 在151[]22上单调递减，在11[,]22上单调递增，所以函数1()(2f x =1[2.故选：C14．已知函数()1424x x f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（）．A ．[)3,+∞B ．[]3,4C ．133,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 依题意，函数()2)(2224x xf x =-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x t =，则2x t =在[]1,1x ∈-上单调递增，即122t ≤≤，于是有2224(1)3y t t t =-+=-+，当1t =时，min 3y =，此时0x =，min ()3f x =，当2t =时，max 4y =，此时1x =，max ()4f x =，所以函数()y f x =的值域为[]3,4.故选：B15．函数2()f x x x =-，+1()42x x g x m =-+，若对1[1,2]x ∀∈，都存在2[1,1]x ∈-，使()()12f x g x >成立，则m 的取值范围是（）A ．0m <B ．1m <C ．2m <D ．3m <【答案】B【解析】若对1[1,2]x ∀∈，都存在2[1,1]x ∈-，使()()12f x g x >成立，则需()()min min >f x g x ，又2()f x x x =-，[1,2]x ∈，所以()()2min 1110f x f =-==，令2x t =，因为[1,1]x ∈-，所以1[,2]2t ∈，所以()2()211g x t t m g m =-+≥=-，所以0>1m -，解得1m <，则m 的取值范围是1m <，故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．二、多选题16．已知函数()33x xf x -=-，则（）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【解析】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-，所以()33x x f x -=-值域为R ，A 正确，D 错误；因为()3x g x =是递增函数，而()3x h x -=-是递增函数，所以()33x xf x -=-是递增函数，B正确；因为定义域为R ，且()()33x xf x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，C 正确；故选：ABC17．已知函数13()13xxf x -=+，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的图象关于坐标原点对称B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的最大值为1D ．()f x 在定义域上单调递减【答案】AD【解析】因为1331()()1331x x x x f x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A 正确；因为131(1)132f -==-+，1113(1)1213f --==+，(1)(1)f f ≠-，所以()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故不B 正确；因为3122()13131x x xf x +-=-=-+++，又30x >，所以311x +>，所以20231x <<+，所以()(1,1)f x ∈-，故C 不正确；因为3122()13131x x xf x +-=-=-+++，且3x y =为增函数，所以()f x 在定义域(,)-∞+∞上单调递减，故D 正确.故选：AD18．下列结论中，正确的是（）A ．函数12x y -=是指数函数B ．函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞C ．若(0,1)m n a a a a >>≠则m n>D ．函数2()3(0,1)x f x a a a -=->≠的图像必过定点(2,2)-【答案】BD【解析】由指数函数定义得函数12x y -=不是指数函数，A 错；函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭中，222(1)1u x x x =-+=--+，在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减，因此函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞，B 正确；01a <<时，由m n a a >得m n <，C 错；函数2()3(0,1)x f x a a a -=->≠中，由20x -=得2x =，(2)2f =-，即函数()f x 图象过点(2,2)-，D 正确．故选：BD ．19．已知函数21()21x xf x -=+，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(1,1)-C ．函数()f x 的图象关于y 轴对称D ．函数()f x 在R 上为增函数【答案】ABD【解析】A ：因为20x >，所以函数()f x 的定义域为R ，因此本选项结论正确；B ：212()12121x x xf x -==-++，由12220211012011212121x xx x x >⇒+>⇒<<⇒-<-<⇒-<-<+++，所以函数()f x 的值域为(1,1)-，因此本选项结论正确；C ：因为2112()()2112x xxxf x f x -----===-++，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y 轴对称，因此本选项说法不正确；D ：因为函数21x y =+是增函数，因为211x y =+>，所以函数221x y =+是减函数，因此函数2()121x f x =-+是增函数，所以本选项结论正确，故选：ABD20．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 为偶函数，且()()2x f x g x +=，则下列说法正确的是（）A ．()()f g x 为偶函数B ．()00g =C ．()()22f xg x -为定值D ．()()2,02,0x xx f x g x x -⎧≥+=⎨<⎩【答案】ACD【解析】()()2xf xg x +=令x 为x -得()()2x f x g x --+-=即()()2xf xg x --+=解得()222x x g x -+=，()222x xf x --=对于A.()()()()f g g x x f -=，故()()f g x 为偶函数对于B.()01g =，故B 错C.()()22222222122x x x x f x g x --⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎝⎭-=⎭，故C 对D.当0x ≥时，()222x x f x --=，()()2222222x x x xxf xg x ---++=+当0x <时，()222x x f x --=，()()2222222x x x xxf xg x ----++=()()2,02,0x xx f x g x x -⎧≥+=⎨<⎩故D 对故选：ACD三、填空题21．已知函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()211f a f a +>-，则实数a 的取值范围是___.【答案】(),2-∞-【解析】：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3y x =-在R 上都是单调递减，()312xf x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在R 上单调递减，∴由()()211f a f a +>-，可得211a a +<-，解得2a <-，即(),2a ∈-∞-．故答案为：(),2-∞-22．已知函数()()12xf xg x =+-为定义在R 上的奇函数，则()()()012g g g ++=____.【答案】72或3.5【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--，特别地，当0x =时，得到()00f =．由()()12xf xg x =+-取0x =，所以()()011f g =-，所以()11g =．再分别令1x =-和1x =，得()()1102f g --=-，()()122f g =-，两式相加得()()()()1110222f f g g --+=-+-，且()()110f f -+=，则()()02g g +52=，所以()()()012g g g ++=57122+=．故答案为：72.23．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()2xf x =，则()9f -=___________.【答案】2-【解析】：因为()()4f x f x +=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又因()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()9912f f f -=-=-=-.故答案为：2-.24．设不等式()44210x x xm -++≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是_______．【答案】1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】：由()44210x x x m -++≥，得()4214x x xm ++≤，即4111421124x x x x xm ≤=++++，[]0,1x ∈，11,122x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则221111371,3222244x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤++=++∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，114,1137124x x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦++，则13m ≤，即1,3m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、解答题25．已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ．在()1,0x ∈-时，()22x xf x -=+．(1)试求()f x 的表达式；(2)若对于()0,1x ∈上的每一个值，不等式()241x xt f x <⋅⋅-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】(1)()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩(2)0t ≥【解析】(1)：()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，()00f ∴=，因为在()1,0x ∈-时，()22x xf x -=+，设()0,1x ∈，则()1,0x -∈-，则()()()22x xf x f x -=--=-+，故()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩.(2)：由题意，()241x x t f x <⋅⋅-可化为()22241x x x xt --<⋅⋅--化简可得4141x x t -+>+，令()41214141x x xg x -+==-+++，()0,1x ∈，因为41x y =+在定义域()0,1上单调递增，2y x=在()2,5上单调递减，所以()g x 在()0,1上单调递减，()()0201041g x g ∴<=-+=+，故0t ≥．26．已知函数()()()313x xf x m m R -=--∈是定义域为R 的奇函数.(1)若集合(){}|0A x f x =≥，|0x m B x x m -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，求A B ；(2)设()()22332x xg x af x -=+-，且()g x 在[)1,+∞上的最小值为-7，求实数a 的值.【答案】(1){}|02A B x x =≤<(2)3a =【解析】(1)解：因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，可得2m =，当2m =时，()33x x f x -=-，所以()33x xf x --=-，()()f x f x -=-，所以()33x x f x -=-为奇函数，所以2m =；由()0f x ≥，得1303xx -≥，即23103x x -≥，因为30x >，所以2310x -≥，所以0x ≥，即{}|0A x x =≥；由0x mx m-<+，且2m =，得()()220x x -+<，即22x -<<，所以{}|22B x x =-<<，所以{}|02A B x x =≤<；(2)因为()()2233233x x x xg x a --=+--，()()2332332x x x x a --=---+，令33x x t -=-，因为1≥x ，所以83t ≥，所以()()()22282223g x t t at t a a t ϕ⎛⎫==-+=-+-≥ ⎪⎝⎭，当83a >时，()t ϕ在8,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[),a +∞上为增函数，所以()()2min 2t a a ϕϕ==-，即()2min 2g x a =-，所以227a -=-，解得3a =，或3a =-（舍去）；当83a ≤时，()t ϕ在8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以()min 88216393at ϕϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即()min 821693a g x =-，所以8216793a -=-，解得1458483a =>（舍去），所以3a =.27．已知定义在[]2,2-上的奇函数()f x ，当[]2,0x ∈-时，函数解析式为()()193x x f x a a -=+⋅∈R ．(1)求a 的值，并求出()f x 在[]2,2-上的解析式；(2)若对任意的(]0,2x ∈，总有()22f x t t ≥-，求实数t 的取值范围．【答案】(1)-3，()93,2039,02x x x xx f x x --⎧--≤≤=⎨-<≤⎩；(2)[]0,2.【解析】(1)根据题意，()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，则有()00=f ，当[]2,0x ∈-时()193x x f x a -=+⋅，则()10103f a =+=，解得：3a =-，当[]2,0x ∈-时，()93x xf x =-，设(]0,2x ∈，则[)2,0x -∈-，则()93x xf x ---=-，又()f x 为奇函数，所以()()39x xf x f x --=--=-，综上，()93,2039,02x x x xx f x x --⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，(2)由（1），(]0,2x ∈时，()2113933xxx x f x --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，设13x m =，则119m ≤<，则原函数可化为：()221124m m m m ϕ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，由18981ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10ϕ=知：()0f x >在(]0,2上恒成立，要使()22f x t t ≥-在(]0,2x ∈上恒成立，只需220t t -≤，解得：02t ≤≤，所以t 的取值范围为[]0,2．28．已知函数()1221xx f x -=+.(1)求()()22f f -+的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)若()()24221x a g x f x a ⎡⎤=-+⎣⎦+，且对任意的1x 、2x ∈R ，都有()()123g x g x -<，求实数a 的取值范围.【答案】(1)0；(2)()1,1-；(3)11a ≤.【解析】(1)：()()22221112121433422012121415514f f -------+==+=-=++++.(2)解：()()212212121x x x f x -++==-++.20x >，则211x +>，则20221x<<+，所以，211121x-<-<+，∴函数()f x 的值域为()1,1-.(3)解：()()()()()2224222122121x x a g x f x a f x a f x af x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+=--=- ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦++⎝⎭，令()t f x =，则()()22g x h t t at ==-，()1,1t ∈-，函数()h t 的对称轴为直线t a =.①当1a ≥时，函数()h t 在()1,1-上单调递减，()()()()12113g x g x h h ∴-<--≤，()()12123a a ∴+--≤，解得34a ≤，此时a 的取值不存在；②当1a ≤-时，函数()h t 在()1,1-上单调递增，()()()()12113g x g x h h ∴-<--≤，()()12123a a ∴--+≤，解得34a ≥-，此时a 的取值不存在；③当11a -<<时，函数()h t 在()1,a -上单调递减，在(),1a 上单调递增，()()()()121g x g x h h a ∴-<--，且()()()()121g x g x h h a -<-，所以，()()()()2211231123h h a a a h h a a a ⎧--=++≤⎪⎨-=-+≤⎪⎩，解得11a ≤≤，此时11a -≤.综上，实数a 的取值范围为11a ≤≤.29．设函数()()2x xf x a k a -=-+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若()312f =，()()222x xg x a a mf x -=+-，且当[)1,x ∞∈+时，()0g x ≥恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)1-(2)1712m ≤【解析】(1)函数()()2x xf x a k a -=-+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数,则()()()0002120f a k a k =-+=-+=，所以1k =-，又1k =-时，()x xf x a a -=-，对任意的R x ∈，都有()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-成立，满足题意，所以1k =-；(2)由（1）知，()x xf x a a -=-，且()312f =，所以，()1312f a a =-=，所以，2a =或12a =-（舍），()()()()22222222222222x x x x x xx x g x m m ----=+--=---+令()221x xt x -=-≥，则32t ≥，由当[)1,x ∞∈+时，()0g x ≥恒成立，得2220t mt -+≥在32t ≥时恒成立，则22m t t ≤+在时32t ≥恒成立，又2y t t =+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以，1726m ≤，所以，1712m ≤.。
人教版高中数学必修第一册4.2指数函数 课时3 指数函数的概念【课件】
律.
学习目标
课程目标
学科核心素养
通过具体实例，了解指数函数的
实际意义
通过具体实例，感受不同现实背景
下函数值增长的变化规律，知道增
长率为常数的变化方式为指数增长，
培养数学建模及数学抽象素养
通过建立函数模型的过程，抽象
出指数函数的概念
通过由特殊到一般的研究方法，抽
天内，他在得到310万元的同时，共付给了神秘人2 147 483 647分，也
就是2 000多万元！
张财主的故事一定让你感到吃惊：开始时微不足道的数字，两倍两倍
地增长，竟然会变得这么巨大！事实的确如此，因为张财主碰上了“指
数爆炸”．一种事物如果成倍成倍地增大(如2×2×2×…), 即符合指数
函数y＝ax(a> 1)时， 这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人．
中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120 h后两种物质的质量相等．已
知物质A的半衰期为7.5 h，则物质B的半衰期为(
思路点拨
进行求解
A. 10 h
B.
8 h
C. 12 h
D.
15 h
)
根据题设中实际问题建构指数函数模型，再利用指数幂的运算
【方法规律】
由特殊到一般探求变化规律，建构不同的指数函数模型，研究两者之间的
【问题3】你能再写出一些类似的函数吗?这些函数具有什么共同特征?
【活动2】探究指数函数的结构特征
【问题4】你能从上述函数中,抽象出指数函数的定义吗?
【问题5】下列函数中,哪些是指数函数?哪些不是指数函数?
【问题6】对于指数函数,其底数有怎样的要求?
4.2 指数函数的图像与性质
又 2.5 3，
②
4 3
1
5
1
3 5 4
又 1 1， 65
1.72.5 1.73
函数y
3 4
x
在R是减函数，
1
3 6 4
4
1 5
3
11
③、 a3和a2，（a 0, a 1)
1
1
解： ③ 当a 1时，y ax是R上的增函数，a3 a 2
1
1
当0 a 1时，y ax是R上的减函数，a3 a 2
y
2x
与y
1 2
x
1.指数函数的定义：
这两个函数有 何特点?
函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，
其中x是自变量 .函数的定义域是R .
思考:为何规定底数a0，且a1?
0
1
a
探究 1:为何规定a0，且a1?
0
1
a 1
当a0时，a x有些会没有意义，如(-2)2 , 0 2 等都没有
意义；
4.2 指数函数的图像与性质
桐柏高级中学 陆春燕
一、情境引入：
引例1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂 成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细 胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
引例1
细胞分裂过程
细胞个数
第一次
2=21
第二次
表达式
4=22
第三次
…y …= …2…x
8=23
有些函数貌似指数函数，实际上却不是.
如：y ax k(a 0且a 1, k Z )
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是.
如：y ax (a 0且a 1)
4.2指数函数的图像与性质
第四章：鬲函数、指数函数与对数函数第二节：指数函数的图像与性质【知识讲解】指数函数定义：一般地,函数〔.>0且awl〕叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R.特别注意：指数函数中对常数.的要求是不等于1的正实数.指数函数的图像与性质指数函数y =优在底数a > 1及Ova v 1这两种情况下的图象和性质：注意：〔1〕注意指数函数〕,= "〔“ >0且.工1〕与暴函数y = £.〕的区别〔2〕函数/〔幻=与g〔x〕=〔'〕'的图像关于了轴对称〔.> 0且"W 1〕.a〔3〕指数函数/〔%〕,对任意实数x,y都有f@+y〕 = f〔x〕f〔y〕〔4〕指数函数的图像是以x轴为渐进线值得注意的几个问题〔1〕会根据复合函数的单调性特征“同增异减〞,判断形如〕,=.小〕〔4>0且4W1〕函数的单调性: 〔2〕会根据〕'=优〔4 > 0且“ W 1〕的单调性求形如y = /叫xeD, y = f〔a x\xeD的值域：〔3〕解题时注意“分类讨论〞、“数形结合〞、“换元〞等思想方法的应用.题型1.指数函数定义例1、关于x的以下各函数中,指数函数是：〔〕① y = 3-t② y = 〔a + 1〕' > -1,且a * 0〕③ y = x~y④y = 4 ⑤y = ⑥y =例2,以下函数中, 哪些是指数函数?(2) y = x2：(3) y = -x；(5) y = 2-* (6) y = -2x例3、函数〕,=〔.2-34 + 3,/是指数函数,求.的值.题型2,定义域值域例3、设函数/〔x 〕 = x - 4的定义域是{0,—2,—3,4,5},求函数尸〔x 〕 = ——的定义域.21 — 1例4、91—10・3〞+940,求函数y = (l)~4例1.求函数的定义域与值域：〔1〕汽=卜?严 7 _八3«」〔2〕%=〔—〕. 4的定义域与值域4〔；〕*+2的最大值与最小值.例2,求函数〕,=题型3.图像例1、设a,"c,d都是不等于1的正数,y = = = 在同一坐标系中的图像如下图那么的大小顺序是〔〕A.ci <b<c <dB.a <h<d <cCh <a<d <c D.h <a <c <d例2、〔1〕画出函数y= 3、-1的图像,并指出攵为何值时,方程3〞一1 =左无解？有一解？有二解?〔2〕设函数/〔x〕 = 2i—l,xeR；1〕分别作出函数y = f〔国〕和y = \f〔x〕\的图像.2〕求实数〃的取值范围,使得方程/〔国〕=〃与|/〔x〕|=a都有且仅有两个实数解.例3. (1)作出函数),=2回与y = 2卜r的图像⑵ 设函数/'(X)=2TT-〃7,假设方程/(x) = 0的有实数根,求实数〃？的取值范围.例4.方程2511-4乂5*" + 2〃7-1有实数解,求实数〃？的范围例5、某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.毅,经过x年,绿化面积与原绿化面积之比为y,那么y=f(X) 的图像大致为( )例6、要使函数),=22+机的图像不经过第二象限的机的取值范围()B、rn < -1 C^ m < -2 D、m > -2例7、假设函数/(x) = "—3 + l) (〃>O且〃工1)的图像在第一、三、四象限,那么必有()A、Ovc/vl且Z?>0B、Ovavl且.vO C^且Z?vO D、且.>0题型4.性质:比拟大小、单调性、奇偶性例1、比拟以下各题中两个值的大小：(1) 1.72\1.73(2)0.8-.」.尸(4) 1.1〞与 L/3 ⑸0.5〞与ON (6) 0.7°s 与0.8°7例2.判断或讨论以下函数的奇偶性:⑴ /(x )=「1+6例3、函数/(x) = —(.＞0且a +a (1)求/(幻的定义域和值域；(7)设.、b w R ： 试比拟〃时与.好的大小.(3) Ohiowa (4) 1.7°\0.931(2) /(x) = a —2 2V + 1〔2〕讨论/〔x〕的奇偶性.〔3〕讨论/〔、〕的单调性.综合：复合函数、分类讨论例1、〔1〕求函数,,=d〕八2、的单调递增区间. 〔2〕求函数〕,=33+2"2的单调区间和值域(3)求函数y=- 的单调区间与值域.< 2 ；(4)函数),=3—+限+.*£火)的值域为R,,求常数a,〃,c满足的条件.例2,函数/“)= (/—1)］在R上是减函数,求实数.的取值范闱,例3、(1)假设函数),=4'一3・2〞+3的最小值为1,最大值为7,试确定x的取值范围.〔2〕设.是实常数,求函数y = 4*+4-,2a〔2、2-］〕的最小值.例4、求函数/〔X〕=,产二〃 > 0,.w 1〕在x e ［0,1］的最值.a例5、函数/〔x〕 = a・Z/+c, xe［0,+s〕的值域为［―2,3〕,那么/〔x〕的一个可能的解析式为例6、定义：区间［彳〔*<4〕的长度为马―』,函数丁 = 2忖的定义域为伍力］,值域为求区间口,勿的长度的最大值与最小值的差为例7.函数/'.〕= 3"一〔％ + 1〕・3'+2,当xeR时,/〔x〕的值恒大于0,求实数攵的范围.例8.、假设函数/.〕=,产+24、一1〔“>0,4.1〕在［-1,1］上的最大值为14,求实数a的值.。