曲线计算作业

合集下载

学习曲线

乙方准备了l，000，000元的设备费用，在最初的 1000台订货时己全部折旧。
材料在第一次订购时，每台为6000元。但现在已涨价为7000元
电镀费用每台400元，此项费用不随产量的增加而降低，是一个不变的量。
乙方在第一次销售时未获取利益，决定在这次追加订货时希望获得15%的利润。
0.20 – 0.15 –
学习曲线
0.10 – 学习周期
0.05 –
标准时间
0– | | | | | | 50 100 150 200 250 300
累积产量
学习曲线的含义
学习曲线是将学习的效果定量地面在坐标图上，横轴表示学习次数，纵轴表示学习效果。在工业使用中，学习次数通常用累计平均工时来表示。因此，学习曲线表示了产品制造工时与累计产量之间的变化规律。
利用学习曲线可以估计销售价格
计算追加订购的1500台的销售价格设备折旧费已在第—次订购的1000台中全部转换完，
这次追加订购1500台设备折旧费为0。追加订购时，原材料费涨价，故材料费为7000元。由题目己知每台装配件的电镀费不变，仍为400元除去了不能影响学习曲线的a、b、c项后，追加订
时为每件50h，学习速率为80％。现准备再生产2500件，求需要多少工时才能完成。
学习曲线的应用
累–
计平 50 –
A
均 40 –
B
工
时 30 – 25
C
20 –
10 –
0– | | | | | | 1000 2000 3000 4000 5000 累计产量
学习曲线的应用
25h／件×3500件=87500h 50h／件×1000件=50000h

课时作业9：三　简单曲线的极坐标方程

三简单曲线的极坐标方程一、基础达标1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ C.ρ＝2cos θD.ρ＝2sin θ解析圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程. 答案 C2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 答案 B3.在极坐标系中，如果一个圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝1，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( ) A.ρsin θ＝3 B.ρsin θ＝－3 C.ρcos θ＝2D.ρcos θ＝－2解析圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的圆心为(2，3)，∴过圆心且与极轴平行的直线方程是y ＝3，即ρsin θ＝3. 答案 A4.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的极坐标方程为( )A.ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4B.ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4C.ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4D.ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4解析根据题意可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为(0，0)，(2，2)，所以在直角坐标系中，以AB 为直径的圆的圆心为(1，1)、半径为2，则方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，所以所求极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.答案 A5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.解析直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1，1)，弦长为 2. 答案26.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y .又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎨⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2).答案 (1，2)7.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 二、能力提升8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3解析点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23π的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝－12. 答案 D9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A.ρcos θ＝12 B.ρcos θ＝2 C.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3D.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3解析极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切. 答案 B10.在极坐标系中，曲线ρcos 2θ＝4sin θ的焦点的坐标为________ (规定：ρ≥0，0≤θ<2π).解析易知曲线ρcos 2θ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＝4y ，故该曲线焦点的直角坐标为(0，1)，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 11.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)，因为圆C 的经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.12.(2019·全国卷Ⅲ理，22)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标. 解 (1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6.综上，P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.三、探究与创新13.在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C上运动.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程.解 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0.(2)设Q (x ，y )，则P (2x ，2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 轨迹的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。

曲线的参数方程课时作业5

(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝t 2＋2t (t 为参数)的曲线必过点( ) A ．(1,2) B ．(－2,1) C ．(2,3)D ．(0,1)【解析】代入检验知曲线经过点(2,3)．【答案】 C2．已知O 为原点，参数方程⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则OA ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 OA ＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 【答案】 A3．圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0，－2)D ．(－2,0)【解析】 ∵x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ，∴x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆心坐标是(0,2)，故选A. 【答案】 A4．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( ) A.⎩⎨⎧x ＝5－cos θy ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎨⎧x ＝2＋5cos θy ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π)C.⎩⎨⎧ x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 【解析】圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若点(－3，－33)在参数方程⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.【解析】将点(－3，－33)的坐标代入参数方程 ⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . 【答案】 4π3＋2k π，k ∈Z6．(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图2－1－3【解析】将x 2＋y 2－x ＝0配方，得(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)三、解答题(每小题10分，共30分)7．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θy ＝2－cos θ(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A (1,3)，B (0，52)是否在曲线C 上．【解】将A (1,3)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎨⎧ 1＝1＋2sin θ3＝2－cos θ，即⎩⎨⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，由0≤θ<2π得θ＝π.将B (0，52)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋2sin θ52＝2－cos θ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－12，cos θ＝－12，这样的角θ不存在．所以点A 在曲线C 上，点B 不在曲线C 上． 8．已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．【解】 (1)由ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0得 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求，由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)．(2)由(1)知，x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin(α＋π4)，又－1≤sin(α＋π4)≤1.故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.9．已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a >0，且为已知常数，φ为参数)(1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值．【解】 (1)由已知圆的标准方程为： (x －a cos φ)2＋(y －a sin φ)2＝a 2(a >0)．设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝a sin φ(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)由方程⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0x 2＋y 2＝a2得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0，圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值． ∴弦长l ＝2a 2－(a2)2＝3a (定值)．教师备选10．已知矩形ABCD 的顶点C (4,4)，点A 在圆O ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)上移动，且AB ，AD 两边始终分别平行于x 轴、y 轴．求矩形ABCD 面积S 的最小值与最大值，以及相应的点A 的坐标．【解】由于点A 在圆O ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)上移动，所以设点A (3cos θ，3sin θ)，且θ∈[0，π2]． S ＝|AB |·|AD |＝(4－3cos θ)·(4－3sin θ)＝16－12(sin θ＋cos θ)＋9sin θ·cos θ. 令t ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)，则sin θ·cos θ＝t 2－12，且t ∈[1，2]． ∴S ＝92t 2－12t ＋232 ＝92(t －43)2＋72(1≤t ≤2)． ∴当t ＝sin θ＋cos θ＝43时，S min ＝72，此时sin θ·cos θ＝718，所以sin θ、cos θ是方程z 2－43z ＋718＝0，即18z 2－24z ＋7＝0的两根，解得z ＝23±26.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ＝2＋22，y ＝3sin θ＝2－22，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ＝2－22，y ＝3sin θ＝2＋22.当t ＝sin θ＋cos θ＝1时，S max ＝4，此时sin θ·cos θ＝0，所以sin θ＝0，cos θ＝1 或sin θ＝1，cos θ＝0.∴⎩⎨⎧ x ＝3cos θ＝3，y ＝3sin θ＝0，或⎩⎨⎧x ＝3cos θ＝0，y ＝3sin θ＝3.综上所述，S min ＝72，此时点A 的坐标为(2＋22，2－22)或(2－22，2＋22)；S max ＝4，此时点A 的坐标为(3,0)或(0,3)．。

课时作业10：2.2.1 双曲线及其标准方程

§2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程一、选择题1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 2．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k －2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知双曲线x 2m －y 23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－105 D.1054．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2s －y 2t＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －s B.12(m －s ) C ．m 2－s 2 D.m －s5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 6．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20二、填空题7．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点F 1(5,0)的距离为15，则点P 到点F 2(－5,0)的距离为________．8．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为____________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B＝________. 10．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出下列判断： ①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52； ④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4.其中正确的是________．三、解答题11.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的曲线方程．12．双曲线 x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，试求m 的取值．13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．答案精析1．D 2.A 3.B4．A [如图所示，设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎨⎧x ＋y ＝2m ，x －y ＝2s ，∴4xy ＝4(m －s )，∴xy ＝m －s .]5．B6．B 7.7或238.x 216－y 29＝1 解析设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则32a 2－9b2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 9.5610.②③④ 11．解圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴点M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－32)． 12．解 (1)当焦点在x 轴上，有m >5，则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2；综上所述，m ＝7或m ＝－2.13．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。

大学高数下册试题及答案第9章

大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。

三次Bezier曲线

作业三：三次Bezier曲线1. 设计要求:1．在程序窗口中建立坐标系2．输入控制点，绘制出三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线3．四个控制点间依次用细线连接4．在程序窗口显示四个控制点的位置并标出2. 设计思路:先在草稿纸上算出三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线的函数表达式：（０≤ｕ≤１）＝ａ×＋ｂ×＋ｃ×ｕ＋ｄ其中ａ、ｂ、ｃ、ｄ的值为：ａ＝（-） + 3 × - 3 × +ｂ＝3× - 6 × + 3 ×ｃ＝（-3） × + 3 ×ｄ＝将、、、中的（ｘ，ｙ）坐标值分别代入ａ、ｂ、ｃ、ｄ中得到、、、和、、、则：＝×＋×＋×ｕ＋（１）＝×＋×＋×ｕ＋（２）根据以上结果（１）和（２）编程求得当ｕ取不同值时所得到的点Ｐ（ｕ）。

再将各点用线连接起来即可拟合三次Ｂｅｚｉｅｒ曲。

3. 设计过程:以下是用ＶＢ编三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线时的源代码：其中显示四个控制点的思路是将控制点在ｘ和ｙ方向的坐标值都增大１，然后再与控制点用粗实线连接起来。

这样一来在窗口中显示的即为一个较大的实点。

Function drawcs() '此模块为建立坐标系Dim k As IntegerPictDraw.DrawWidth = 1: PictDraw.FontSize = 9 '设置线宽和字体 PictDraw.Line (-400, 0)-(400, 0), RGB(100, 100, 100)PictDraw.Line (0, -300)-(0, 300), RGB(100, 100, 100)For k = (-360) To 360 Step 40PictDraw.Line (k, -5)-(k, 0): PictDraw.CurrentX = k - 20: PictDraw.CurrentY = 5: PictDraw.Print kNext kFor k = (-280) To -40 Step 40PictDraw.Line (5, k)-(0, k): PictDraw.CurrentX = -40: PictDraw.CurrentY = k - 10: PictDraw.Print (-1) * kNext kFor k = (40) To 280 Step 40PictDraw.Line (5, k)-(0, k): PictDraw.CurrentX = -40: PictDraw.CurrentY = k - 10: PictDraw.Print (-1) * kNext kEnd FunctionPrivate Sub Form_Load()PictDraw.AutoRedraw = TruePictDraw.ScaleWidth = 800PictDraw.ScaleHeight = 600Text1.Text = -300: Text2.Text = -250: Text3.Text = 300: Text4.Text = -250Text5.Text = -300: Text6.Text = 250: Text7.Text = 300: Text8.Text = 250 '作为初始值，便于测试drawcsEnd SubPrivate Sub cmdCancle_Click()PictDraw.Clsdrawcs '清除屏幕后，重建坐标系End SubPrivate Sub delet_Click() '此模块为清除输入框中的值 Text1.Text = ""Text2.Text = ""Text3.Text = ""Text4.Text = ""Text5.Text = ""Text6.Text = ""Text7.Text = ""Text8.Text = ""End SubPrivate Sub cmdDraw_Click() '此模块为画三次Bezier曲线Dim px(4) As Double '定义控制点的x坐标的数组Dim py(4) As Double '定义控制点的y坐标的数组Dim a1, b1, c1, d1 As Double '定义x系数Dim a2, b2, c2, d2 As Double '定义y系数Dim x, y, u As Double '定义曲线中的自变量u和变量x，y Dim i As IntegerIf (Not IsNumeric(Text1) Or Not IsNumeric(Text2) Or Not IsNumeric(Text3) Or Not IsNumeric(Text4) _Or Not IsNumeric(Text5) Or Not IsNumeric(Text6) Or Not IsNumeric(Text7) Or Not IsNumeric(Text8)) ThenText1.Text = "": Text2.Text = ""Text3.Text = "": Text4.Text = ""Text5.Text = "": Text6.Text = ""Text7.Text = "": Text8.Text = ""Text1.SetFocus '判断输入框中的字符是否为数字，如果为数字执行else开始画图Elsepx(0) = Text1.Text: py(0) = Text2.Textpx(1) = Text3.Text: py(1) = Text4.Textpx(2) = Text5.Text: py(2) = Text6.Textpx(3) = Text7.Text: py(3) = Text8.TextPictDraw.FontSize = 18 '设置字体，为显示输入的四个点设置字体大小PictDraw.CurrentX = px(0): PictDraw.CurrentY = (-1) * py(0): PictDraw.Print "P"; 0For i = 0 To 2PictDraw.DrawWidth = 1PictDraw.Line (px(i), (-1) * py(i))-(px(i + 1), (-1) * py(i + 1)), RGB(0, 0, 255): PictDraw.Print "P"; i + 1Next iFor i = 0 To 3PictDraw.DrawWidth = 7PictDraw.Line (px(i), (-1) * py(i))-(px(i) + 1, (-1) * py(i) - 1)Next ia1 = -px(0) + 3 * px(1) - 3 * px(2) + px(3) '计算x和y的参数 b1 = 3 * px(0) - 6 * px(1) + 3 * px(2)c1 = -3 * px(0) + 3 * px(1)d1 = px(0)a2 = -py(0) + 3 * py(1) - 3 * py(2) + py(3)b2 = 3 * py(0) - 6 * py(1) + 3 * py(2)c2 = -3 * py(0) + 3 * py(1)d2 = py(0)For u = 0 To 1 Step 0.001 '每当u增加0.001求一次x和y x = a1 * u * u * u + b1 * u * u + c1 * u + d1 '求x的值y = (-1) * (a2 * u * u * u + b2 * u * u + c2 * u + d2) '求y的值 If u = 0 ThenPictDraw.CurrentX = x '设置画线起点PictDraw.CurrentY = yElsePictDraw.DrawWidth = 2PictDraw.Line -(x, y), RGB(255, 0, 0) '连点成线End IfNext uEnd IfEnd SubPrivate Sub cmdEnd_Click() '退出窗口程序EndEnd Sub4. 设计截图:图四．三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线截图。

曲线积分与曲面积分重点总结+例题

第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。

【教学重点】1。

两类曲线积分的计算方法；2。

格林公式及其应用；3。

第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。

两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。

应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。

[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。

《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。

求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。

定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。

，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。

铁路曲线养护—曲线拨道作业

对于拨量较大的曲线，为避免影响行车，可采用分次拨道法，利用行车间隔，每次只拨出拨量的一部分，经多次拨动直至满足要求为止。
在有轨道电路的地段进行拨道作业时，撬棍及拨道器必须有良好的绝缘装置，并且不许在绝缘接头下面插入撬棍或拨道器。在无缝线路地段，钢轨焊缝下不得插入撬棍或拨道器。
三、拨道作业后的工作
1．设置曲线拨道标桩拨道开始前，先在曲线外侧路肩上设置曲线拔道标桩或其他临时性标记，作为拨道时确定拨量的基准。曲线拨道标桩一般用钢钎打在曲线外侧，其位置应在与外轨作用边上测点的垂直距离为D±e(mm)处，D为1m或1.5m或其他容易记容易测的整数，e为该测点的拨量，e的符号取决于拔道方向，上挑时为正，下压时为负。拨道时，只须把各测点的钢轨拨到桩距等于D即可。
拨道作业之后，应随时回填、夯实扒出的碴石，填平撬窝、拧紧接头螺栓，打紧防爬设备。
捣固时，要加强外股，或在外股枕木头下打通镐。
曲线上的道床应使其碴石饱满、夯拍密实。道床肩宽不足时，应补充道碴并夯拍成形。
为了保持曲线圆顺、巩固曲线方向、便于对曲线经常进行检查和养护，应设置永久性的曲线拨道标桩。永久性的曲线拨道标桩，一般用混凝土制成柱形，每20m设置一个，与测点对齐，并埋设于距曲线钢轨轨头外侧1000mm处的路基面内，桩顶高度与轨顶齐干，桩顶金属帽上的“十” 字形刻痕，是检查测量曲线位置的基准。最后，应将各曲线拨道标桩至测点间的距离编列在曲线技术履历书中。
曲线拨道标桩也可用临时标记，这种标记可根据具体情况选用。如为复线区间，可选用邻线的一股钢轨作为拨道的基准，与测点对齐，每10m作一标记，根据拨道前量测的垂直距离，确定测点应拔至的位置。如为单线区间，则可选用一块具有显明棱角的石碴，置于测点附近的道床面上角间的距离，定出各测点应有的拨量。 2、扒枕端道碴当拨道量大时，为提高效率和拨道质量，应扒开拨动方向枕木头外侧的道碴和防爬支撑侧面的道碴，必要时尚需撤下防爬支撑和松动防爬器，目的在于减小道床阻力以利于拨道。 3．全面打紧打靠浮起的道钉，防止因拨道而影响轨距。

双曲线及其标准方程(作业)

8．(2013·泰安高二检测)方程4－x2 k＋k－y2 1＝1 表示的曲线为 C，给出下列四个命题：
①曲线 C 不可能是圆； ②若 1＜k＜4，则曲线 C 为椭圆； ③若曲线 C 为双曲线，则 k＜1 或 k＞4； ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜k＜52. 其中正确命题的序号是________(写出所有正确的命题的序号)
三、解答题 9．求与双曲线x42－y22＝1 有相同焦点且过点 P(2,1)的双曲线的方程．
10．已知方程 kx2＋y2＝4，其中 k 为实数，对于不同范围的 k 值分别指出方程所表示的曲线类型．
11．某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点 A，B，C 的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声，正东观测点听到爆炸声的时间比其他两观测点晚 4 s，已知各观测点到该中心的距离都是 1 020 m，试确定该枚炮弹的袭击位置．(声音的传播速度为 340 m/s，相关各点均在同一平面内)．
A.x22－y32＝1
B.x32－y22＝1
C．x2－y42＝1 D.x42－y2＝1
二、填空题 6．双曲线m2＋x2 12－4－y2m2＝1 的焦距为________．
7．(2013·郑州高二检测)设点 P 是双曲线x92－1y26＝1 上任意一点，F1，F2 分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.
双曲线及其标准方程
一、选择题
1．(2013·东营高二检测)方程2＋x2m－2－y2m＝1 表示双曲线，则 m 的取值范
围( )
A．－2＜m＜2
B．m＞0
C．m≥P 到 A(－5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6，则 P 点的轨

简单曲线的极坐标方程课时作业2

(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各点中与(2，π6)不表示极坐标系中同一个点的是( ) A ．(2，－116π) B ．(2，136π) C ．(2，116π)D ．(2，－236π)【解析】与极坐标(2，π6)相同的点可以表示为(2，π6＋2k π)(k ∈Z )，只有(2，116π)不适合．【答案】 C2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0)D ．(－2π，0)【解析】 x ＝πcos(－2π)＝π，y ＝πsin(－2π)＝0，所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．【答案】 A3．在极坐标系中，已知A (2，π6)、B (6，－π6)，则OA 、OB 的夹角为( ) A.π6 B ．0 C.π3D.5π6【解析】如图所示，夹角为π3.【答案】 C4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )A ．(2，－π3) B ．(2，4π3) C ．(1，－π3)D ．(2，－4π3)【解析】极径ρ＝12＋(－3)2＝2，极角θ满足tan θ＝－31＝－3， ∵点(1，－3)在第四象限，所以θ＝－π3. 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．平面直角坐标系中，若点P (3，7π2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________．【解析】 ∵点P (3，7π2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q (6，7π6)，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6|sin 7π6|＝3.【答案】 36．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))【解析】点A (3，π6)关于极轴的对称点的极坐标为(3，11π6)；点A 关于极点的对称点的极坐标为(3，7π6)；点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为(3，5π6)．【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6) 三、解答题(每小题10分，共30分)7．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y 变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P 的极坐标．【解】设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，∴点P 的直角坐标为(3，－3)， ρ＝32＋(－3)2＝23，tan θ＝－33， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为(23，11π6)． 8．(1)已知点的极坐标分别为A (3，－π4)，B (2，2π3)，C (32，π)，D (－4，π2)，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B (0，－53)，C (－2，－23)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【解】 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A (322，－322)，B (－1，3)，C (－32，0)，D (0，－4)(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A (23，π6)，B (53，3π2)，C (4，4π3)． 9．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (2，π3)，B (2，π)，C (2，5π3)．(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．【解】 (1)如图所示，由A (2，π3)，B (2，π)，C (2，5π3)得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3. ∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴AB ＝BC ＝CA ，故△ABC 为等边三角形． (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝33(面积单位)．教师备选10．某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．【解】以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC|＝600 m，∠AOC＝π6，∠OAC＝π2，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 3 m，又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m.同理，得|OE|＝2|OG|＝300 2 m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(3003，0)，C(600，π6)，D(300，π2)，E(3002，3π4)，F(300，π)，G(1502，34π)．。

2平曲线作业

•
5•
JD -)Th ZH +)L HY +)(Lh-L) HZ -)L YH -)0.5(Lh-2L) QZ +)0.5D JD
作业：某平原区二级公路有一弯道圆曲线半径取300m，交点的里程桩号K13+502.56，偏角为 32°50´，试计算该曲线设置缓和曲线后的五个主点里程桩号。不要替没来的同学做作业，本次作业计入期末考试成绩的平时成绩。我统计人数和作业份数。
8）例题某平原区二级公路有一弯道圆曲线半径取250m，交点的里程桩号K13+502.56，偏角为32°30´，试计算该曲线设置缓和曲线后的五个主点里程桩号。（L=75m） 1，缓和曲线长 • 根据《技术标准》，平原微丘二级公路计算行车速度 V=80km/h. • L=V3／47pR= • (离心加速度变化率p=0.6m/s3) • L=R/9~R= • 取整数，采用缓和曲线长为75m（《技术标准》规定当 V=80km/h时，缓和曲线最小长度为70m）。 2，圆曲线的内移值△R • △R=L2/24R-L4/2688R3= 3,切线总长度Th • q=L/2-L3/240R2= • Th=(R+△R)tg(0.5a)+q 4,曲线总长度Lh • β=(L/2R)·180/π • Lh=π/180×R(a-2ß)+2L=

双曲线(作业九)

作业九答案1、A2、D3、A4、C5、B6、A7、8 8、x 24－y 25＝1(x ≥2) 9、9 10、±1，± 211、解：（1）因为双曲线方程为12222=-by a x ，所以双曲线的渐近线方程为x a b y ±=．因为两渐近线的夹角为60且1<ab，所以30POF ∠= ．所以ab tan 303==．…………2分所以b a 3=．因为2c =，所以2222=+b a，所以a =1b =．所以椭圆C 的方程为2213xy +=．（2）因为1l l ⊥，所以直线l 与的方程为()ay x c b=-，其中c = 因为直线2l 的方程为by x a =，联立直线l 与2l 的方程解得点2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设||||FA AP λ=，则FA AP λ= ．因为点(),0F c ，设点()00,A x y ，则有()20000,,a ab x c y x y c c λ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．解得()2201c a x c λλ+=+，()01ab y c λλ=+．因为点()00,A x y 在椭圆22221x ya b +=上，所以()()()()2222222222111caab a c b c λλλλ++=++．即()()222224221ca a a c λλλ++=+等式两边同除以4a 得22222()(1),(0,1).e e e λλλ++=+∈所以24222222322e e e e e λ-⎛⎫==--++ ⎪--⎝⎭)2331≤-=-=．所以当22222e e-=-，即e =λ1．图7故||||AP FA 1．作业九一、选择题（共6道，每道10分）1．已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：由已知得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1.∴渐近线方程为x 29－y 216＝0，即x 3±y4＝0.答案：A2．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)．由题意，(0,1)在椭圆上或在椭圆内部， ∴m ≥1.又方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，∴m ≠5.∴m ≥1且m ≠5. 答案：D3．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为( )A ．(－1,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k <1，即－1<k <1.答案：A4．P 为双曲线x 29－y 216＝1上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于( )A ．13或1B ．1C ．13D ．15解析：由双曲线方程得a ＝3，b ＝4，c ＝5，显然双曲线右支上的点P 到F 1的距离最小为a ＋c ＝8，因此P 在双曲线左支上，则|PF 2|＝|PF 1|＋2a ＝13.答案：C5．椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( )A ．48B ．24C ．24 3D ．12 3解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝14，||PF 1|－|PF 2||＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝8，|PF 2|＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6，|PF 2|＝8.又|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°. 所以△PF 1F 2的面积 S ＝12|PF 1||PF 2|＝12×6×8＝24. 答案：B6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )A ．1＋ 3B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2解析：如图，设N 为MF 2的中点，N 在双曲线上，∴|NF 1|－|NF 2|＝2a . 又|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ， ∴3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：A二、填空题（共4道，每道5分）7．过双曲线x 24－y 2b2＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为________．解析：由双曲线方程知a ＝2. |MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝2a ＋|MF 1|＋2a ＋|NF 1|－|MN | ＝4a ＋|MN |－|MN | ＝4a ＝8. 答案：88．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是____________．解析：设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆C 1外切且与圆C 2内切，所以|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1. 相减得|MC 1|－|MC 2|＝4.又因为C 1(－3,0)，C 2(3,0)，并且|C 1C 2|＝6>4，所以点M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支，且有a ＝2，c ＝3.所以b 2＝5，所求的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．答案：x 24－y 25＝1(x ≥2)9．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．解析：设右焦点为F 1(4,0)，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|P A |＝|PF 1|＋4＋|P A |＝|PF 1|＋|P A |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9. 答案：910．若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1有且只有一个交点，则k 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.当1－k 2＝0时，即k ＝±1时，方程变为±2x －2＝0，则x ＝±1.此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点．当1－k 2≠0时，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＝0，解得k ＝±2.此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点．综上所述，k ＝±1，±2. 答案：±1，±2答题卡一、选择题（共6道，每道10分）7、 8、 9、 10、三、大题（共20分）11、如图7，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为21,l l ．过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A ，B ．（1）若1l 与2l 的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程；（2）求||||AP FA 的最大值．解：（1）因为双曲线方程为12222=-by a x ，所以双曲线的渐近线方程为x aby ±=．………………………………………………1分因为两渐近线的夹角为60且1<ab，所以30POF ∠= ．所以a b tan 303== ．…………………………………………………………2分所以b a 3=．因为2c =，所以2222=+b a ，所以a =1b =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=．…………………………………………4分（2）因为1l l ⊥，所以直线l 与的方程为()ay x c b=-，其中c =…………5分因为直线2l 的方程为by x a=，联立直线l 与2l 的方程解得点2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………6分设||||FA AP λ=，则FA AP λ= ．……………………………………………………7分因为点(),0F c ，设点()00,A x y ，则有()20000,,a abx c y x y c c λ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．解得()2201c a x c λλ+=+，()01ab y c λλ=+．………………………………………………8分因为点()00,A x y 在椭圆22221x y a b+=上，所以()()()()2222222222111caab a c b c λλλλ++=++．即()()222224221c aa a c λλλ++=+．等式两边同除以4a 得22222()(1),(0,1).e e e λλλ++=+∈……………………10分所以24222222322e e e e e λ-⎛⎫==--++ ⎪--⎝⎭………………………………………11分)2331≤-=-=．………………………12分所以当22222e e-=-，即e =λ1．……………13分故||||AP FA 1．………………………………………14分。

曲线

杨秀情——六年级暑假——配套练习【作业要求】（1）建议打印下来，归类整理好，一个学期下来，装订成册（2）先看秀情老师网校的课程视频，再做这些作业哈（3）可根据自己的情况，有选择性的做题哦（4）书写规范，步骤清晰【温馨提示】（1）做完后可以拍照，上传到秀情老师的群：数学加油站数学加油站（五年级）：236427726数学加油站（六年级）：252271825（2）秀情老师从中选优秀作业，赠送我独有的精美礼品（3）两周一次进行——【情学好问】直播答疑情学好问（五年级）：62834135情学好问（六年级）：283789167【练练1】某运动会上，200米赛跑的跑道如右图所示，其终点部分及起点部分是直道，因中间绕过半圆形跑道，π=，所以外跑道的起点必须前移。

如果跑道每道宽1.22米，求外跑道的起点应前移多少米？（ 3.14答案精确到百分位）终点起点【练练2】赤道是地球的“腰带”，它近似等于4万千米。

如果想象这条腰带长出10米，那么这条想象的腰带离开地球表面多高？一只小狗能通过吗？【练练3】7根直径都是4分米的圆柱形木棍，用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少分米长的绳子？π=，打结用的绳子不计）（ 3.14【练练4】根据图中所给的数值，求这个图形的外周长和面积。

（π取3.14）【练练5】如图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。

如果圆周率π取3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是16个圆．哪个图中阴影部分的面积大？为什么？【练练7】如图是两个圆包着两个正方形，那么大圆面积与小正方形面积之比为。

（结果用表示）【练练8】(2008年101中学考题)已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是．(π取3.14)(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛)一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为1cm ，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取22π7)1【练练10】（2009年四中入学测试题）正三角形ABC 的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A 点再次落在这条直线上，那么A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)AB BC A【练练11】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm 和3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm ．让这个长方形绕顶点B 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A 到达点E 的位置．求点A 走过的路程的长．ⅣⅢⅡⅠEDCBA图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米。

bp曲线计算题

以下是一道BP曲线计算题：
假设某公司的边际成本函数为MC=0.5Q^2+10Q+50，其中Q表示产量。

请回答以下问题：
1. 当产量为10时，该公司的边际成本是多少？
2. 当边际成本为80时，该公司应该生产多少产量？
解答：
1. 根据边际成本函数MC=0.5Q^2+10Q+50,我们可以计算出当产量为10时的边际成本。

将Q=10代入MC中，得到：
MC = 0.5 × 10^2 + 10 × 10 + 50 = 150
因此，当产量为10时，该公司的边际成本是150。

1. 根据边际成本函数MC=0.5Q^2+10Q+50,我们可以计算出当边际成本为80时的产量。

将MC=80代入MC中，得到：
80 = 0.5 × Q^2 + 10 × Q + 50
将上述方程化简，得到：
Q^2 - 20Q + 300 = 0
解这个二次方程，得到两个根：Q=10和Q=30。

由于Q必须是一个正整数，所以该公司应该生产30单位的产量。

配餐作业59曲线与方程

配餐作业(五十九) 曲线与方程一、选择题1．方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( ) A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆D ．一条直线解析依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0。

注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y－3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，即②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0。

故选D 。

答案 D2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16>0，所以动点P 的轨迹是圆。

故选B 。

答案 B3．已知A (－1,0)，B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为点N ，若MN →2＝λAN →·NB→，当λ<0时，动点M 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析设M (x ，y )，则N (x,0)，所以MN →2＝y 2，λAN →·NB →＝λ(x ＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x 2)，所以y 2＝λ(1－x 2)，即λx 2＋y 2＝λ，变形为x 2＋y2λ＝1。

又因为λ<0，所以动点M 的轨迹为双曲线。

故选C 。

答案 C4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点。

线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A ．4x 221－4y 225＝1 B ．4x 221＋4y 225＝1 C ．4x 225－4y 221＝1D ．4x 225＋4y 221＝1解析因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1。