2012考研考试数学辅导之重要知识点总结

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2012考研数学复习要点

高等数学部分 :第一章函数、极限、连续1、求极限 ;2、无穷小阶的比较问题 ;3、间断点类型的判断第二章一元函数微分学1、导数的定义 ;2、复合函数、隐函数和参数方程的求导 ;3、方程的根的相关问题 ;4、微分中值定理第三章一元函数积分学1、不定积分、定积分和反常积分的基本运算 ;2、变上限积分的相关问题 ;3、利用定积分求面积和旋转体的体积第四章多元函数微分学1、多元函数的连续性、偏导存在以及可微三者之间的关系 ;2、复合函数和隐函数求偏导 , 特别是抽象函数的偏导 ;3、多元函数的极值和最值问题第五章多元函数积分学(数二、数三 1、二重积分的计算 ;2、累次积分的换序与计算(数一 1、第二类曲线积分和第二类曲面积分的计算 ;2、关于二重积分、三重积分、第一类曲线积分和第二类曲面积分的基本计算第六章常微分方程1、求解微分方程的基本方法 (可分离变量的微分方程、齐次微分方程和二阶线性常系数微分方程 ;2、关于微分方程的综合题 (例如 :变上限积分与微分方程的结合 , 二重积分与微分程的结合 ;3、关于微分方程的应用题 (例如 :几何应用第七章无穷级数 (数一和数三1、关于常数项级数判敛的选择题 ;2、幂级数的收敛域、收敛半径和收敛区间 ; 幂级数的展开与求和线性代数部分复习线性代数要注重知识点的衔接与转换。

由于线性代数各个部分之间的联系非常紧密 , 而且历年来的考题大多都涉及到几个部分的内容 , 所以复习线性代数一定要有一个整体意识。

行列式和矩阵是基础知识 , 还有向量、方程组、特征值等一直是考点。

复习要注意以下几点。

一、注重对基本概念的理解与把握 , 正确熟练运用基本方法及基本运算线性代数的概念很多 , 重要的有 :代数余子式 , 伴随矩阵 , 逆矩阵 , 初等变换与初等矩阵 , 正交变换与正交矩阵 , 秩 (矩阵、向量组、二次型 , 等价 (矩阵、向量组 , 线性组合与线性表出 , 线性相关与线性无关 , 极大线性无关组 , 基础解系与通解 , 解的结构与解空间 , 特征值与特征向量 , 相似与相似对角化 , 二次型的标准形与规范形 , 正定 , 合同变换与合同矩阵。

2012考研数学初期复习知识点汇总

2012考研数学初期复习知识点汇总万学海文2012年的考研同学又开始准备自己的复习计划了，对于数学科目来说和政治英语科目有所不同。

除了大量做题之外，高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个部分还要掌握一些必备的知识点。

在此，万学海文数学辅导专家就为大家指点首轮复习的知识要点。

一、高数高等数学是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比较多。

主要包括八方面内容：1.函数、极限与连续。

主要考查分段函数极限或已知极限确定原式中的常数；讨论函数连续性和判断间断点类型；无穷小阶的比较；讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2.一元函数微分学。

主要考查导数与微分的求解；隐函数求导；分段函数和绝对值函数可导性；洛比达法则求不定式极限；函数极值；方程的根；证明函数不等式；罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理及辅助函数的构造；最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用；用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

3.一元函数积分学。

主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算；变上限积分的求导、极限等；积分中值定理和积分性质的证明题；定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4.向量代数和空间解析几何。

主要考查求向量的数量积、向量积及混合积；求直线方程和平面方程；平面与直线间关系及夹角的判定；旋转面方程。

5.多元函数微分学。

主要考查偏导数存在、可微、连续的判断；多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数；二元、三元函数的方向导数和梯度；曲面和空间曲线的切平面和法线；多元函数极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用；二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。

6.多元函数的积分学。

这部分是数学一的内容，主要包括二、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序；第一型曲线和曲面积分计算；第二型(对坐标)曲线积分计算、格林公式、斯托克斯公式；第二型(对坐标)曲面积分计算、高斯公式；梯度、散度、旋度的综合计算；重积分和线面积分应用；求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。

2012考研高等数学重要知识点解析(八)

钻石卡辅导：2012考研数学重要知识点解析之高等数学（八）数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。

万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此，特别为2012年的广大考生归纳一下高等数学的部分知识点。

这次我们介绍的是旋转曲面的方程的求法。

旋转曲面在考研试题中，单独考查情况比较少，一般会出现在多元函数微分学的几何应用中，或者在三重积分、曲面积分中经常会碰到，作为解题的中间步逐出现。

1、定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。

2、旋转曲面方程的求法：设在yoz 坐标面上有一已知曲线C ，它的方程为(,)0f y z =把这曲线绕z 轴旋转一周，就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面，方程为0),(22=+±z y x f ．曲线绕哪个轴旋转，对应变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式．【例1】求直线2111:-==-z y x L 绕z 轴旋转所得旋转面方程.【解析】设),,(z y x 为旋转面上任一点，它对应曲线L 上的点为),,(000z y x ，这里0z z =，则202022y x y x +=+，又),,(000z y x 满足21101000-==-z y x ，则10=x ，2100-=z y ，代入上式知，4)1(14)1(1)21(122020222-+=-+=-+=+z z z yx ，即 14)1(222=--+z y x .【例2】计算曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线3)0z y x ⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y 轴正向的夹角恒大于2π.【解析】积分曲面∑的方程为221(13)x z y y +=-≤≤，添加曲面2212:3x z y ⎧+≤∑⎨=⎩，其法向量与y 轴的正向相同，设1∑+∑所围成的闭区域为Ω，则有1122(81)2(1)4(81)2(1)4I x y dydz y dzdx yzdxdy x y dydz y dzdx yzdxdy∑+∑∑=++---++--⎰⎰⎰⎰22131()2(16)16D y x z dV dzdx dydzdx dzdxΩ∑+≤=--=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰31(1)3234y dy πππ=-+=⎰其中22():1D y x z y +≤-.。

2012考研数学之高数--考点详解之中值定理

2012考研数学之高数--考点详解之中值定理（1）充分重视考研数学考试大纲，逐条分析，潜心研究，全面复习。

“大纲”实际上就是教育部为考生所划的复习范围，考生应参照大纲，全面复习，不留遗漏，这是复习的基本对策。

通过复习比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法。

（2）基本训练要反复进行。

对于考研数学，要做一定数量的题。

提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多样，一题多变，要训练抽象思维能力。

对一些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要做到“熟能生巧”。

基本功扎实的人，遇到难题办法也多。

（3）注意突出复习重点，紧紧抓住考试热点。

一般地说，大纲中要求理解的内容，要求掌握的方法就是考试的重点，而近几年的考试中重复出现的内容就是考试热点。

事实证明，最新的考题与往年的考题非常雷同的占50分左右，这些考题大部分改变一种说法，但解题思路几乎一样。

一是要注意年年被考到的内容，二是注意那些多年没考到而大纲要求的内容。

（4）注意各章节之间的内在联系，注意综合性的典型考题的分析，来提高考生解决综合性问题的能力。

数学有其自身的规律，其表现的一个重要特征是各知识点之间、各科目之间的联系非常密切，这种相互之间的联系给综合命题创造了条件。

尽管考试千变万化，但是知识结构基本相同，题型相对固定。

提炼题型的目的就是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题速度和准确性。

（5）加强考研前强化训练，做几套模拟试卷必不可少。

许多考生往往看得多，练得少。

有些考生在考后抱怨题太多，做不完或做错。

其原因就是平时缺少练笔的机会以及考前没有进行强化训练。

所以建议考生在限定时间里系统做几套模拟题或样题，然后对照答案自己分析总结。

2012考研数学：高数讲义重点题型解答(一)

f ( x )dx < 0 ，即 an 单调减少
3 n 2 n −1
an = f (1) − ∫ f ( x )dx + f (2 ) − ∫ f ( x)dx + " + f (n − 1) − ∫
1
f ( x )dx + f (n )
= ∑ ⎡ f (k ) − ∫ ⎢ k k =1 ⎣
n −1
1
2． lim (a n + b n + c n ) n ( a, b, c非负) ；
解：因为 f ( x ) 在 [0,+∞ ) 上单调减少、非负、连续，故 f (k ) =
∫
k
k −1
f (k )dx < ∫
k
k −1
f (x )dx < ∫
k
k −1
f (k − 1)dx = f (k − 1) ， k ≥ 1
则 an +1 − an = f (n + 1) −
2
∫
n +1
n
xn − xn −1 1 − xn + 1 − xn −1
且 x2 = 0 < x1 ，故 x2 < x1 , x3 < x2 " xn < xn −1 ，即 xn 单调减少； x1 ≥ −2 ,不妨假设 xn ≥ −2 则 xn +1 ≥ − 1 + 2 ，即 xn 有下届，单调有界数列必在极限，故极限存在。不妨假设 lim xn = A ，则 A + 1 + A = 0 ，解得 A =
( )
sin x sin 2 x sin 3 x x x 2 x3 3 同理 1 + sin x = 1 + − + + o sin x = 1 + − − + o x3 2 2 16 2 2 48

2012考研数学重难点分布攻略.doc

下面关于线性代数、概率统计。

线性代数同学们牢牢把握住矩阵，有关矩阵的秩、逆、初等变换、初等矩阵、分块矩阵。

第二章矩阵是基础也是重点。

第三章重点把握一下线性表示，线性相关，线性无关，这些特别喜欢出大题，当然也可能出小题。

第四章是线性方程组，同学们把握住线性方程组的性质、结构、判定。

第五章研究矩阵的特征值，特征向量。

这一章同学们把握住三部分内容。

第一部分是特征值的定义、性质、求法。

第二部分是矩阵的相似对角化。

第三部分是
实对称矩阵。

第六章重点把握住两部分内容，二次型化为标准形，以及二次型的正定。

整个线性代数以矩阵为核心，把握住其它的章节就可以了。

概率统计重点注意第三章二维随机变量，第四章期望和方差，把握住这两章概率统计基本上其它的章节也就掌握住了。

以上是对考研数学重点、难点的一个简单分析，希望能够对2012年考研的同学起到一定的作用，用有限的时间取得最好
的成绩。

最后，预祝大家考试成功。

【2012考研必备资料】高等数学知识点归纳.

【2012考研必备资料】高等数学知识点归纳第一讲: 极限与连续一. 数列函数:1. 类型:(1数列: *; *(2初等函数:(3分段函数: *; *;*(4复合(含函数:(5隐式(方程:(6参式(数一,二:(7变限积分函数:(8级数和函数(数一,三:2. 特征(几何:(1单调性与有界性(判别; (单调定号(2奇偶性与周期性(应用.3. 反函数与直接函数:二. 极限性质:1. 类型: *; *(含; *(含2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量:3. 未定型:4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论:, , ,, , , ,,四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当时,; ; ;; ; ;;2. 泰勒公式:(1;(2;(3;(4;(5.五. 常规方法:前提: (1准确判断(其它如:; (2变量代换(如:1. 抓大弃小,2. 无穷小与有界量乘积 ( (注:3. 处理(其它如:4. 左右极限(包括:(1; (2; ; (3分段函数: , ,5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小(注: 非零因子6. 洛必达法则(1先”处理”,后法则(最后方法; (注意对比: 与(2幂指型处理: (如:(3含变限积分;(4不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项: 处理和式中的无穷小8. 极限函数: (分段函数六. 非常手段1. 收敛准则:(1(2双边夹: *, *(3单边挤: * * *2. 导数定义(洛必达?:3. 积分和: ,4. 中值定理:5. 级数和(数一三:(1收敛, (如 (2,(3与同敛散七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶: *(1(22. 渐近线(含斜:(1(2,(3. 连续性: (1间断点判别(个数; (2分段函数连续性(附:极限函数, 连续性八. 上连续函数性质1. 连通性: (注:, “平均”值:2. 介值定理: (附: 达布定理(1零点存在定理: (根的个数;(2.第二讲:导数及应用(一元(含中值定理一. 基本概念:1. 差商与导数: ;(1 (注:连续(2左右导: ;(3可导与连续; (在处, 连续不可导; 可导2. 微分与导数:(1可微可导; (2比较与的大小比较(图示;二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注:2. 法则: (1四则运算; (2复合法则; (3反函数三. 各类求导(方法步骤:1. 定义导: (1与; (2分段函数左右导; (3(注: , 求:及的连续性2. 初等导(公式加法则:(1, 求:(图形题;(2, 求: (注:(3,求及 (待定系数3. 隐式(导:(1存在定理;(2微分法(一阶微分的形式不变性.(3对数求导法.4. 参式导(数一,二: , 求:5. 高阶导公式:; ;;注: 与泰勒展式:四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线; (区别: 上点和过点的切线2. 物理: (相对变化率速度;3. 曲率(数一二: (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆4. 边际与弹性(数三: (附: 需求, 收益, 成本, 利润五. 单调性与极值(必求导1. 判别(驻点:(1 ; ;(2分段函数的单调性(3零点唯一; 驻点唯一(必为极值,最值.2. 极值点:(1表格(变号; (由的特点(2二阶导(注(1与的匹配(图形中包含的信息;(2实例: 由确定点“”的特点.(3闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优3. 不等式证明((1区别: *单变量与双变量? *与?(2类型: *; **; *(3注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如:4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点(必求导!:1. 表格; (2. 应用: (1泰勒估计; (2单调; (3凹凸.七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点1. 结论:2. 辅助函数构造实例:(1(2(3(4;3. 有个零点有个零点4. 特例: 证明的常规方法:令有个零点(待定5. 注: 含时,分家!(柯西定理6. 附(达布定理: 在可导,,,使:八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ; (2. 估计:九. 泰勒公式(连接之间的桥梁1. 结论: ;2. 应用: 在已知或值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义: [注:有定积分(不含变限条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念:1. 原函数:(1; (2; (3注(1(连续不一定可导;(2 (连续2. 不定积分性质:(1;(2;二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性3. 凑微法(基础: 要求巧,简,活(如:4. 变量代换:(1常用(三角代换,根式代换,倒代换:(2作用与引伸(化简:5. 分部积分(巧用:(1含需求导的被积函数(如;(2“反对幂三指”:(3特别: (*已知的原函数为; *已知6. 特例: (1; (2快速法; (3三. 定积分:1. 概念性质:(1积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续(2几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值*; *(3附: ,(4定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分的处理(重点(1可积连续, 连续可导(2; ;(3由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程问题3. 公式: (在上必须连续! 注: (1分段积分, 对称性(奇偶, 周期性(2有理式, 三角式, 根式(3含的方程.4. 变量代换:(1,(2 (如: (3,(4; ,(5,5. 分部积分(1准备时“凑常数”(2已知或时, 求6. 附: 三角函数系的正交性:四. 反常积分:1. 类型: (1 (连续(2: (在处为无穷间断2. 敛散;3. 计算: 积分法公式极限(可换元与分部4. 特例: (1; (2五. 应用: (柱体侧面积除外1. 面积,(1 (2;(3; (4侧面积:2. 体积:(1; (2(3与3. 弧长:(1(2(3:4. 物理(数一,二功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理:(1;(2, (以为周期:第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件2. 变换方程:(1令(如欧拉方程(2令(如伯努利方程3. 建立方程(应用题的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1; (2; (32. 变量分离型:(1解法:(2“偏”微分方程: ;3. 一阶线性(重点:(1解法(积分因子法:(2变化: ;(3推广: 伯努利(数一4. 齐次方程:(1解法:(2特例:5. 全微分方程(数一: 且6. 一阶差分方程(数三:三. 二阶降阶方程1. :2. : 令3. : 令四. 高阶线性方程:1. 通解结构:(1齐次解:(2非齐次特解:2. 常系数方程:(1特征方程与特征根:(2非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: 的算子法(3由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一: , 令五. 应用(注意初始条件:1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积;注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分;可设3. 导数定义立方程:含双变量条件的方程4. 变化率(速度5.6. 路径无关得方程(数一:7. 级数与方程:(1幂级数求和; (2方程的幂级数解法:8. 弹性问题(数三第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件, (1(2(3 (判别可微性注: 点处的偏导数与全微分的极限定义:2. 特例:(1: 点处可导不连续;(2: 点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导:注: (1型; (2; (3含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点:熟练掌握记号的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定:(1形式: *; * (存在定理(2微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性: (要求: 二阶导(3注: 与的及时代入(4会变换方程.三. 二元极值(定义?;1. 二元极值(显式或隐式:(1必要条件(驻点;(2充分条件(判别2. 条件极值(拉格朗日乘数法 (注: 应用(1目标函数与约束条件: , (或: 多条件(2求解步骤: , 求驻点即可.3. 有界闭域上最值(重点.(1(2实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作:(1,(2对称性(熟练掌握: *域轴对称; *奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标;(3“分块”积分: *; *分片定义; *奇偶2. 计算(化二次积分:(1直角坐标与极坐标选择(转换: 以“”为主;(2交换积分次序(熟练掌握.3. 极坐标使用(转换:附: ; ;双纽线4. 特例:(1单变量: 或(2利用重心求积分: 要求: 题型, 且已知的面积与重心5. 无界域上的反常二重积分(数三五: 一类积分的应用(:1. “尺寸”: (1; (2曲面面积(除柱体侧面;2. 质量, 重心(形心, 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三一. 级数概念1. 定义: (1, (2; (3 (如注: (1; (2(或; (3“伸缩”级数:收敛收敛.2. 性质: (1收敛的必要条件: ;(2加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论;(3;二. 正项级数1. 正项级数: (1定义: ; (2特征: ; (3收敛(有界2. 标准级数: (1, (2, (33. 审敛方法: (注:,(1比较法(原理:(估计, 如;(2比值与根值: * * (应用: 幂级数收敛半径计算三. 交错级数(含一般项: (1. “审”前考察: (1 (2; (3绝对(条件收敛?注: 若,则发散2. 标准级数: (1; (2; (33. 莱布尼兹审敛法(收敛?(1前提: 发散; (2条件: ; (3结论: 条件收敛.4. 补充方法:(1加括号后发散, 则原级数必发散; (2.5. 注意事项: 对比; ; ; 之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式:(1, (2, (32. 阿贝尔定理:(1结论: 敛; 散(2注: 当条件收敛时3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备注(1与同收敛半径(2与之间的转换4. 幂级数展开法:(1前提: 熟记公式(双向,标明敛域;;(2分解: (注:中心移动 (特别:(3考察导函数:(4考察原函数:5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换: (1(2,(注意首项变化(3,(4的微分方程(5应用:.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三:(1复利: ; (2现值:五. 傅里叶级数(数一: (1. 傅氏级数(三角级数:2. 充分条件(收敛定理:(1由(和函数(23. 系数公式:4. 题型: (注:(1且(分段表示(2或(3正弦或余弦*(4(*5.6. 附产品:第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一一. 向量基本运算1. ; (平行2. ; (单位向量(方向余弦3. ; (投影:; 垂直:; 夹角:4. ; (法向:; 面积:二. 平面与直线1.平面(1特征(基本量:(2方程(点法式:(3其它: *截距式; *三点式2.直线(1特征(基本量:(2方程(点向式:(3一般方程(交面式:(4其它: *二点式; *参数式;(附: 线段的参数表示: 3. 实用方法:(1平面束方程:(2距离公式: 如点到平面的距离(3对称问题;(4投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备1. 曲面(1形式: 或; (注: 柱面(2法向 (或2. 曲线(1形式, 或;(2切向: (或3. 应用(1交线, 投影柱面与投影曲线;(2旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转; (3锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面:2. 球面:变形: , ,,3. 锥面:变形: ,4. 抛物面: ,变形: ,5. 双曲面:6. 马鞍面: , 或五. 偏导几何应用1. 曲面(1法向: , 注: (2切平面与法线:2. 曲线(1切向:(2切线与法平面3. 综合: ,六. 方向导与梯度(重点1. 方向导(方向斜率:(1定义(条件:(2计算(充分条件:可微:附:(3附:2. 梯度(取得最大斜率值的方向:(1计算:;(2结论;取为最大变化率方向;为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一一. 三重积分(1. 域的特征(不涉及复杂空间域:(1对称性(重点: 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心(2投影法:(3截面法:(4其它: 长方体, 四面体, 椭球2. 的特征:(1单变量, (2, (3, (43. 选择最适合方法:(1“积”前: *; *利用对称性(重点(2截面法(旋转体: (细腰或中空, , (3投影法(直柱体:(4球坐标(球或锥体: ,(5重心法(:4. 应用问题:(1同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力(2公式二. 第一类线积分(1. “积”前准备:(1; (2对称性; (3代入“”表达式2. 计算公式:3. 补充说明:(1重心法: ;(2与第二类互换:4. 应用范围(1第一类积分(2柱体侧面积三. 第一类面积分(1. “积”前工作(重点:(1; (代入(2对称性(如: 字母轮换, 重心(3分片2. 计算公式:(1(2与第二类互换:四: 第二类曲线积分(1: (其中有向1. 直接计算: ,常见(1水平线与垂直线; (22. Green公式:(1;(2: *换路径; *围路径(3(但内有奇点(变形3. 推广(路径无关性:(1(微分方程(道路变形原理(2与路径无关(待定: 微分方程.4. 应用功(环流量: (有向,,五. 第二类曲面积分:1. 定义: , 或 (其中含侧2. 计算:(1定向投影(单项: , 其中(特别:水平面;注: 垂直侧面, 双层分隔(2合一投影(多项,单层:(3化第一类(不投影:3. 公式及其应用:(1散度计算:(2公式: 封闭外侧, 内无奇点(3注: *补充“盖”平面:; *封闭曲面变形(含奇点4. 通量与积分:(有向,,六: 第二类曲线积分(2:1. 参数式曲线: 直接计算(代入注(1当时, 可任选路径; (2功(环流量:2. Stokes公式: (要求: 为交面式(有向, 所张曲面含侧(1旋度计算:(2交面式(一般含平面封闭曲线: 同侧法向或; (3Stokes公式(选择:(化为; (化为; (化为。

2012考研数学重要知识点综述之数二

钻石卡指导：2012考研数学重要知识点综述之数二万学海文2012年考研数学备考有些考生已进入首轮复习阶段，万学海文钻石卡老师建议2012年考生要做的是全面整理基本概念、定理、公式，初步总结复习重点，把握命题基本题型，为强化期的复习打下坚实基础。

下面是万学海文钻石卡考研数学辅导专家们提炼的数学二的高等数学、线性代数两个部分比较重要的知识点。

高等数学一、函数、极限、连续1.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性2.复合函数、反函数、分段函数和隐函数3.基本初等函数的性质及其图形4.数列极限与函数极限的定义及其性质5.函数的左极限和右极限6.无穷小量和无穷大量的概念及其关系7.无穷小量的性质及无穷小量的比较8.极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则9.两个重要极限:0sin 1lim 1,lim 1xx x x e x x →→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭10.函数连续的概念11.函数间断点的类型12.闭区间上连续函数的性质二、一元函数微分学1.导数和微分的概念2.函数的可导性与连续性之间的关系3.平面曲线的切线和法线方程4.导数和微分的四则运算5.基本初等函数的导数6.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法7.高阶导数一阶微分形式的不变性8.微分中值定理9.洛必达（L’Hospital）法则10.函数单调性、极值11.函数图形的凹凸性、拐点及渐近线12.函数的最大值与最小值13.弧微分14.曲率的概念、.曲率圆与曲率半径三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质2.基本积分公式3.定积分的概念和基本性质，定积分中值定理4.积分上限的函数及其导数5.牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式6.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法7.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分8.反常（广义）积分9.定积分的几何应用（平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长、旋转体的侧面积）四、多元函数微积分学1.二元函数的极限与连续的概念2.多元函数的偏导数和全微分3.多元复合函数、隐函数的求导法4.二阶偏导数5.多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值6.二重积分的概念、基本性质和计算五、常微分方程1.变量可分离的微分方程2.齐次微分方程3.一阶线性微分方程4.可降阶的高阶微分方程5.线性微分方程解的性质及解的结构定理6.二阶常系数齐次线性微分方程7.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程线性代数一、行列式1.行列式的概念和基本性质2.行列式按行（列）展开定理二、矩阵1.矩阵的线性运算、乘法运算2.方阵的幂3.方阵乘积的行列式4.矩阵的转置5.逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件6.伴随矩阵7.矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的等价8.矩阵的秩9.分块矩阵及其运算三、向量1.向量的线性组合与线性表示2.向量组的线性相关与线性无关3.向量组的极大线性无关组4.等价向量组5.向量组的秩6.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系7.向量的内积8.线性无关向量组的的正交规范化方法四、线性方程组1.线性方程组的克莱姆（Cramer）法则2.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件3.非齐次线性方程组有解的充分必要条件4.线性方程组解的性质和解的结构5.齐次线性方程组的基础解系和通解6.非齐次线性方程组的通解五、矩阵的特征值和特征向量1.矩阵的特征值和特征向量的概念、性质2.相似矩阵的概念及性质3.矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵4.实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵六、二次型1.合同变换与合同矩阵2.二次型的秩，二次型的标准形和规范形3.用正交变换和配方法化二次型为标准形4.二次型及其矩阵的正定性最后，万学海文祝愿复习2012年考研的同学们能够复习顺利！.......................倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

2012年考研数学重要知识点

2012年考研数学备考有些考⽣已进⼊⾸轮复习阶段，建议考⽣要做的是全⾯整理基本概念、定理、公式，初步总结复习重点，把握命题基本题型，为强化期的复习打下坚实基础。

下⾯是⾼等数学、线性代数、概率论与数理统计三个部分⽐较重要的知识点。

微积分⼀、函数、极限、连续 1.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 2.复合函数、反函数、分段函数和隐函数 3.基本初等函数的性质及其图形 4.数列极限与函数极限的定义及其性质 5.函数的左极限和右极限 6.⽆穷⼩量和⽆穷⼤量的概念及其关系 7.⽆穷⼩量的性质及⽆穷⼩量的⽐较 8.极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 9.两个重要极限 10.函数连续的概念 11.函数间断点的类型 12.闭区间上连续函数的性质⼆、⼀元函数微分学 1.导数和微分的概念 2.函数的可导性与连续性之间的关系 3.平⾯曲线的切线和法线⽅程 4.导数和微分的四则运算 5.基本初等函数的导数 6.复合函数、反函数、隐函数数的微分法 7.⾼阶导数⼀阶微分形式的不变性 8.微分中值定理 9.洛必达（L’Hospital）法则 10.函数单调性、极值 11.函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 12.函数的值与最⼩值三、⼀元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质 2.基本积分公式 3.定积分的概念和基本性质，定积分中值定理 4.积分上限的函数及其导数 5.⽜顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 6.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 7.反常（⼴义）积分 8.定积分的⼏何应⽤（平⾯图形的⾯积、旋转体的体积）四、多元函数微积分学 1.⼆元函数的极限与连续的概念 2.多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件 3.多元复合函数、隐函数的求导法 4.⼆阶偏导数 5.多元函数的极值和条件极值 6.多元函数的值、最⼩值及其简单应⽤ 7.⼆重积分的概念、性质、计算五、⽆穷级数 1.常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念 2.级数收敛的基本性质与收敛的必要条件 3.⼏何级数与级数及其收敛性 4.正项级数收敛性的判别法 5.交错级数与莱布尼茨定理 6.任意项级数的绝对收敛与条件收敛 7.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 8.幂级数在其收敛区间内的基本性质 9.简单幂级数的和函数的求法 10.初等函数的幂级数展开式六、常微分⽅程与差分⽅程 1.变量可分离的微分⽅程 2.齐次微分⽅程 3.⼀阶线性微分⽅程 4.线性微分⽅程解的性质及解的结构定理 5.⼆阶常系数齐次线性微分⽅程 6.简单的⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程 7.差分⽅程的通解与特解 8.⼀阶常系数线性差分⽅程线性代数⼀、⾏列式 1.⾏列式的概念和基本性质 2.⾏列式按⾏（列）展开定理⼆、矩阵 1.矩阵的线性运算、乘法运算 2.⽅阵的幂 3.⽅阵乘积的⾏列式 4.矩阵的转置 5.逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件 6.伴随矩阵 7.矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的等价 8.矩阵的秩 9.分块矩阵及其运算三、向量 1.向量的线性组合与线性表⽰ 2.向量组的线性相关与线性⽆关 3.向量组的极⼤线性⽆关组 4.等价向量组 5.向量组的秩 6.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 7.向量的内积 8.线性⽆关向量组的的正交规范化⽅法四、线性⽅程组 1.线性⽅程组的克莱姆（Cramer）法则 2.齐次线性⽅程组有⾮零解的充分必要条件 3.⾮齐次线性⽅程组有解的充分必要条件 4.线性⽅程组解的性质和解的结构 5.齐次线性⽅程组的基础解系和通解 6.⾮齐次线性⽅程组的通解五、矩阵的特征值和特征向量 1.矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 2.相似矩阵的概念及性质 3.矩阵可相似对⾓化的充分必要条件及相似对⾓矩阵 4.实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对⾓矩阵六、⼆次型 1.合同变换与合同矩阵 2.⼆次型的秩，⼆次型的标准形和规范形 3.⽤正交变换和配⽅法化⼆次型为标准形 4.⼆次型及其矩阵的正定性概率论与数理统计⼀、随机事件和概率 1.事件的关系与运算，完备事件组 2.概率的概念、基本性质 3.古典型概率 4.⼏何型概率 5.条件概率 6.概率的基本公式 7.事件的独⽴性 8.独⽴重复试验⼆、随机变量及其分布 1.随机变量分布函数的概念及其性质 2.离散型随机变量的概率分布 3.连续型随机变量的概率密度 4.常见随机变量的分布 5.随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布 1.⼆维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 2.⼆维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 3.随机变量的独⽴性和不相关性 4.常⽤⼆维随机变量的分布 5.两个及两个以上随机变量简单函数的分布四、随机变量的数字特征 1.随机变量的数学期望（均值）、⽅差、标准差及其性质 2.随机变量函数的数学期望 3.矩、协⽅差、相关系数及其性质五、⼤数定律和中⼼极限定理 1.切⽐雪夫（Chebyshev）不等式 2.切⽐雪夫⼤数定律、伯努利（Bernoulli)⼤数定律、⾟钦（Khinchine）⼤数定律 3.棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理、列维－林德伯格（Levy-Lindberg）定理六、数理统计的基本概念 1.总体、个体、简单随机样本，统计量 2.样本均值、样本⽅差和样本矩 3. 分布、分布、分布 4.分位数 5.正态总体的常⽤抽样分布七、参数估计 1.矩估计法 2.似然估计法最后祝愿复习2012年考研的同学们能够复习顺利！。

2012年考研数学线代知识点精华总结

⎛1 1⎞
⎛1 1⎞
如 A = ⎜⎜⎝1
1⎟⎟⎠
≠
O,
B
=
⎜⎜ ⎝
−
1
−1⎟⎟⎠ ≠ O ，显然 AB = O 。
⎛0 0 1⎞
特别地， A ≠
O 不一定有 Ak
⎜ ≠ O ，如 A = ⎜ 0
0
⎟ 0⎟
≠
O ，但
A2
=
O。
⎜ ⎝
0
0
0
⎟ ⎠
（2） EA = AE = A 。（3） AB ≠ BA ，
（2）
AB −1
=
A(Eij
A) −1
=
AA
−1
E −1 ij
=
E −1 ij
=
Eij
。
第四步：三个问题
⎛1 1 2 ⎞
⎜
⎟
例子： A = ⎜ 2 1 −1⎟ ，因为| A |= 17 ≠ 0 ，所以 A 可逆，
⎜ ⎝
1
4
0
⎟ ⎠
⎛1 1 2 ⎞ ⎛1 1 2 ⎞ ⎛1 1 2 ⎞ ⎛1 1 2 ⎞
如： A 为 n 阶矩阵，| A |≠ 0 ，矩阵 B 是矩阵 A 经过 i 行与 j 行对调后所得的矩阵。
（1）证明： B 可逆；（2）求 AB −1 。
证明：（ 1）显然 B = Eij A ，
因为| B |=| Eij A |=| Eij | ⋅ | A |= − | A |≠ 0 ，所以 B 可逆。
⎛2 2⎞
A = ⎜⎜⎝1
1⎟⎟⎠,
B
=
⎜⎜ ⎝
−
1
− 1⎟⎟⎠
，
AB
=
O,

2012考研数学线性代数必须熟记的结论解读

1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C ABC B O B ==、(1)m n C A O AA B B O B C==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nn k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：11112---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ； ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义： ①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面； 6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3）向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i ja a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆；⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。

2012考研数学重要知识点解析——线性代数(二)

2012考研数学重要知识点解析——线性代数（二）万学海文数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。

万学海文数学考研辅导专家们在此，特别为2012年的广大考生归纳一下线性代数的部分知识点。

这次我们介绍的是矩阵的线性运算。

(1) 加法设()ij A a =和()m n ij B b F ⨯=∈，规定111112121121212222221122()n n n n ij ij m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b a b +++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭并称A B +为A 与B 之和．【概念理解点睛】矩阵的加法满足以下运算律：1) 交换律;A B B A +=+2) 结合律()();A B C A B C ++=++3) ;A O A +=其中O 是与A 同型的零矩阵4) ();A A O +-= (2) 矩阵的数量乘法(简称数乘)：设k 是数域F 中的任意一个数，()m n ij A a F ⨯=∈，规定111212122212()n n ij m m mn ka ka ka ka ka ka kA ka ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭并称这个矩阵为k 与A 的数量乘积．【概念理解点睛】设,k l 是数域F 中的数，矩阵的数量乘法满足运算律：1)()();kl A k lA =2)();k l A kA lA +=+3)().k A B kA kB +=+矩阵加法和数量乘法结合起来，统称为矩阵的线性运算．2 矩阵的乘法设A 是一个m n ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵，即111211112121222212221212,n s n s m m mn n n ns a a a b b b a a a b b b A B a a a b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则A 与B 之乘积AB (记作()ij C c =)是一个m s ⨯矩阵，且11221nij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b ==+++=∑即矩阵C AB =的第i 行第j 列元素ij c 是A 的第i 行n 个元素与B 的第j 列相应的n 个元素分别相乘的乘积之和．矩阵乘法满足运算律：1)结合律()()AB C A BC =2)数乘结合律()()()k AB kA B A kB ==，其中k 是数3)左分配律()C A B CA CB +=+4)右分配律()A B C AC BC +=+例设,A B 分别是1n ⨯和1n ⨯矩阵，且12n a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()12,,,n B b b b =，计算AB 和BA ．【解析】()1111212212221212,,,n n n n n n n n a a b a b a b a a b a b a b AB b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()12121122,,,n n n n a a BA b b b b a b a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪⎝⎭．注：虽然A 与B 左、右都可以相乘，但是乘得的结果不一定相同. ...........................。

2012考研数学-线性代数超级总结

线性代数超级总结概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0 只有零解，0总有唯一解是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得或 ○注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间.()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n ¡的标准基，n¡中的自然基，单位坐标向量87p 教材；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n nnn nj j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑LL L LL M M M L1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A O A A OA B O B O B B O A AA B B O B O*==**=-1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-K NN 1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n ij nj i nn n n nx x x xx x xxx x x ≤<≤---=-∏L L L MMML111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M M L称为m n ⨯矩阵.记作：()ijm nA a⨯=或m nA ⨯()1121112222*12n Tn ij nnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭L LM M M L ，ijA 为A 中各个元素的代数余子式.√ 逆矩阵的求法:① 1A A A*-=○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③1231111213aa a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m s AB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭L LL M M M L ⇔i iA c β= ，(,,)i s =L 1,2⇔iβ为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L ⇔12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵.同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L ⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L √ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B O B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O CB B CA B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A **⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→MM 初等行变换(I)的解法：构造()() T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材.⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组线12,,,n ααα⋅⋅⋅性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示.向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.⑨ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ；对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)nr αααLA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =%12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%⑫ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑬ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑮向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p 教材94,例10⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑰ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑱ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑲ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.√ 矩阵的秩的性质： ①()A O r A ≠⇔若≥1()0A O r A =⇔=若≤()m n r A ⨯≤min(,)m n②()()()T T r A r A r A A == p 教材101,例15③()()r kA r A k =≠ 若0④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤{}min(),()r A r B⑥()()()()A r AB r B B r AB r A ⇒=⇒=若可逆若可逆即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()rrE O E O r A rA A O O O O ⎛⎫⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max(),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p教材70⑩()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα⇔=−−−−−→=<⇔⇒⇔=⇔=⇔=⇔=−−−−−→≠⇒=⇔⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解0 表示法不唯一线性相关有非零解可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一线127()(),,,()()()1()n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⇔=⎪⎩⎧⇔≠⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩M L M M 教材72讲义8性无关只有零解不可由线性表示无解○注：AxAxββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Axβ=1122n nx x xαααβ+++=L1112111212222212,,nnm m mn n ma a a x ba a a x bA xa a a x bβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭LLM M M M ML12,,2,,jjjmjj nαααα⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎝⎭LM11212(,,,)nnxxxαααβ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭LM线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =⇒()()r A r A β=M⇒Ax β=一定有解，当mn <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM和的上限. √ 判断12,,,s ηηηL是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL都是Ax ο=的解；③ ()sn r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*L 线性无关√Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔()()A r r A r B B ⎛⎫== ⎪⎝⎭.√ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解，并且同解⇔()()A r r A r B B βγ⎛⎫== ⎪⎝⎭M M .√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.√ 关于公共解的三中处理办法：① 把(I)与(II)联立起来求解；② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解⇔基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+M当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设11122c c ξηη++是(I)的通解，233c ξη+是(II)的通解，两方程组有公共解⇔2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即：12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-M③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。

高数定理定义归纳

2012年考研数学高数定理定义归纳第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f（x）≥K1则函数f（x）在定义域上有下界，K1为下界；如果有f（x）≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f（x）在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理（极限的唯一性）数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中00（或A0（或f（x）>0），反之也成立。

函数f（x）当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f （x0-0）=f（x0+0），若不相等则limf（x）不存在。

一般的说，如果lim（x→∞）f（x）=c，则直线y=c是函数y=f（x）的图形水平渐近线。

如果lim（x→x0）f（x）=∞，则直线x=x0是函数y=f（x）图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1（x）≥F2（x），而limF1（x）=a，limF2（x）=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim（x →0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

2012考研数学重点和难点归纳辅导笔记

数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章集合和映射§1.集合§2.映射和函数本章教学要求：理解集合的概念和映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法和函数的一些基本性质。

第二章数列极限§1.实数系的连续性§2.数列极限§3.无穷大量§4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念和定义，掌握并会使用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。

第三章函数极限和连续函数§1.函数极限§2.连续函数§3.无穷小量和无穷大量的阶§4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限和数列极限的关系，无穷小量和无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。

第四章微分§1.微分和导数§2.导数的意义和性质§3.导数四则运算和反函数求导法则§4.复合函数求导法则及其使用§5.高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分和高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导和求微分的方法。

第五章微分中值定理及其使用§1.微分中值定理§2.L＇Hospital法则§3.插值多项式和Taylor公式§4.函数的Taylor公式及其使用§5.使用举例§6.函数方程的近似求解本章教学要求：掌握微分中值定理和函数的Taylor公式，并使用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练使用微分于求解函数的极值问题和函数作图问题。

第六章不定积分§1.不定积分的概念和运算法则§2.换元积分法和分部积分法§3.有理函数的不定积分及其使用本章教学要求：掌握不定积分的概念和运算法则，熟练使用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数和部分无理函数不定积分的方法。

2012考研高等数学重要知识点解析(六).

2012考研数学重要知识点解析之高等数学（六）每年的考研试题中必有“应用题”，用定积分计算几何量、物理量（数一、数二要求）、经济量（数三要求）是应用题的一个重要方面。

定积分的几何应用包括：求平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线的弧长（数一、数二），旋转体的表面积（数一、数二）、平行截面面积已知的立体体积（数一、数二）等，求旋转体的体积考得更多一些。

微积分的几何应用与最值问题相结合构成的应用题是常考题型，万学海文数学考研辅导专家们提醒2012年的考生要引起重视。

典型的平面图形有两种：一种是由曲线(),()y f x y g x ==和直线,x a x b ==围成；如果a b <，且当a x b ≤≤时，()()g x f x ≤，则该平面图形的面积公式是：[()()]ba S f x g x dx =-⎰。

另一种是由曲线(),()x y x y ==ϕψ和直线,y c y d ==围成；如果c d <，且当c y d ≤≤时，()()y y ≤ψϕ，则该平面图形的面积公式是：[()()]dc S y y dy =-⎰ϕψ。

在不同的题目中，尽管有千变万化，但求解过程总是两步：第一步，弄清欲求面积的平面图形可归于哪种类型，相应上下左右边界各是什么？解决了这些问题就不难写出其面积公式，这只是解决问题的基础，要完全解决问题还必须选用适当积分法和积分公式，正确求出积分的值。

旋转体的体积：(1)平面图形由曲线()x y y =()0≥与直线a x =，b x =和x 轴围成，绕x 轴旋转一周的体积：()dx x y V ba x ⎰=2π；绕y 轴旋转一周的体积：()⎰=ba y dx x xy V π2； (2)平面图形由曲线()y x x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成，绕y 轴旋转一周的体积：()dy y x V dc y ⎰=2π；绕x 轴旋转一周的体积：()⎰=dc x dy y yx V π2。