数学人教版九年级上册《21.2.2 公式法解一元二次方程》

21.2.2 公式法解一元二次方程

教学内容

本节课主要学习用公式法解一元二次方程。

教学目标

知识技能

掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．

数学思考

通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．

解决问题

培养学生准确快速的计算能力．

情感态度

通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．

重难点、关键

重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．

难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．

关键：掌握一元二次方程的求根公式，•并应用求根公式法解简单的一元二次方程．教学准备

教师准备：制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容

教学过程

一、复习引入

【问题】（学生总结，老师点评）

1.用配方法解下列方程

2780.

--=

x x

2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。

（1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

（4）原方程变形为（x +m ）2=n 的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

【活动方略】

教师演示课件，给出题目．

学生根据所学知识解答问题．

【设计意图】

复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．

二、 探索新知

如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c =0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

【问题】

已知ax 2+bx+c=0（a≠0）且b 2

-4ac≥0，试推导它的两个根为x 1=2b a -，

x 2 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

解：移项，得：ax 2+bx =-c

二次项系数化为1，得x 2+b a x =-c a

配方，得：x 2+b a x +（2b a ）2=-c a +（2b a

）2

即（x +2b a ）2=2244b ac a

- ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0

∴2244b ac a

-≥0

直接开平方，得：x +2b a =±2a

即x

=2b a

- ∴x 1

=2b a -+，x 2

=2b a

- 【说明】 这里a

ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）是一元二次方程的求根公式

【活动方略】

鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．

【设计意图】

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。

【思考】

利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？

【活动方略】

在教师的引导下，学生回答，教师板书

引导学生总结步骤：确定c b a ,,的值、算出ac b 42-的值、代入求根公式求解． 在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：

（1）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的；

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在042≥-ac b 的前提

下，把c b a ,,的值代入a

ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）中，可求得方程的两个根； （3）我们把公式a

ac b b x 242-±-=（042≥-ac b ）称为一元二次方程的求根公式，2(1)470;

x x --

=2(2)210;

x -+=2(3)531;

x x x -=+

用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；

（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．

【设计意图】

主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．

三、 反馈练习

教材P 37 练习第1、2题．

补充习题：

用公式法解下列方程．

（1）x 2-5x -6=0 （2）7x 2+2x -1=0 （3）3x 2-5x +2=0

（4）5x 2+2x -6=0 （5）4x 2-7x +2=0 （6）2x 2-12x -32

=0 【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对知识的掌握情况.

四、 应用拓展

例：某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x -1=0提出了下列问题．

（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．

（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．

你能解决这个问题吗？

分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m +1）≠0．

（2）要使它为一元一次方程，必须满足:

①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020

m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩ 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2

m 2=1 m=±1

当m =1时，m +1=1+1=2≠0