数学人教B版必修4示范教案：1.3.3 已知三角函数值求角 含解析 精品
人教B版必修四已知三角函数值求角
七、课后作业
1．若 cos 0 ，则角 的值是 A． k ， k Z B． k （ ， k Z C． ）
2
2. 已知 tan x 3, 且 x (
3
2 , 2
k ，k Z 2 2
D． 2k
2
，
) ，求 x 的值.
k Z
2．下列命题不正确的个数是 ① arcsin( ) arcsin （ ）
已知三角函数值求角第 1 页
（2）已知 tan x
3 ，且 x ( , ) ，求 x 的值。 2 2 3
（1） sin x
3 ( x ) 5 2
（2） sin x
1 3 ( x ) 4 2
1 变式练习：1. 已知 cos x ，且 x , ，求 x 的值 2 2
10.已知 2 cos x
2 ， x R .求 x 得集合.
11.求适合 3 tan(x 1) 2 0 的 x 的集合.
课堂小结 本节反思
1. 余弦函数奇偶性问题 2. 余弦函数单调性问题 3. 余弦函数对称性问题 反思一下本节课，你收获到了什么啊
已知三角函数值求角第 3 页
【目标 2】2、.已知 sin x a ， x , ，则 x 2 2
则x . ；
；x
3 , ， 2 2
2 5 C. D. 3 6 3 3 ) ，则 x 等于 5.若 tan x 3, 且 x ( , 2 2 A. arctan 3 B. arctan 3 C. arctan 3
.
3
2 3
,
【B版】人教课标版高中数学必修四《已知三角函数值求角》教案-新版
1.3.3 已知三角函数值求角一、学习目标会由已知三角函数值求角。
二、学习重点、难点重点是已知三角函数值求角，难点是：①根据)2,0[π范围确定有已知三角函数值的角；②对符号arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识；③用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求的角。
三、学习方法在旧问题的基础上，不断提出新的问题，让学生在探索中获得新知识。
四、学习过程学习环节学习内容师生互动设计意图复习引入复习在初中已知锐角三角函数值求锐角的例子。
提出问题：如果将所给角的范围扩大，问题应该怎么处理？复习旧知识，引入新问题应用举例例1、已知21sin=x，（1）若]2,2[ππ-∈x，求x；（2）若)2,0[π∈x，求x；（3）若Rx∈，求x的取值集合。
1、学生回答，老师板书，老师及时指出学生解法中的不足。
2、进一步将问题深化：①若21sin-=x，怎么办？②若sinx=0.3，怎么办？3、对于问题②，学生可能会有三种答案：数学用表、计算器、反正从学生熟悉的问题出发，逐渐增大难度，让学生在不断的探索中获得新知识。
弦，指出前两者不是精确值，应使用第三种。
概念形成若sinα=t，则α=arcsint，其中]2,2[ππα-∈，t∈[-1 , 1]。
1、让学生思考对α、t范围进行限制的理由。
2、用反函数的知识解释α范围的由来。
3、和学生一起，写出反余弦、反正切的相关结论。
4、完成sinx=0.3的处理。
强化角的表示，淡化反三角函数概念。
应用举例例2、（1）已知cosx=0.5，)2,0[π∈x，求x；（2）已知31cos-=x，求x的取值集合；（3）已知tanx=33-，)2,0[π∈x，求x；（4）已知tanx=1.23，求x的取值集合。
巩固练习：练习A 1、3、5指导学生完成，并让学生思考解此类题的一般步骤。
让学生尝试解决“已知余弦值、正切值求角”的问题，并将解题过程程序化。
归纳小结已知三角函数值t求角α的解题步骤：（1）确定角α所在的象限(有时不止一个象限)。
高中数学人教B版必修4 1.3 教学设计 《已知三角函数值求角》(人教)
《已知三角函数值求角》这节所需解决的问题，在本章的前几节已经提供了知识和方法的铺垫，通过本节的研究将有助于学生完善三角体系，形成知识网络。
还将为进一步学习《正、余弦定理》、《解斜三角形》、以及立体几何中求角问题，提供解决问题的方法和手段。
因此，其地位与作用十分重要。
【知识与能力目标】了解反正弦的意义，会用符号arcsinx，arccosx表示角。
【过程与方法目标】使学生能够借助单位圆、解决已知三角函数值求角。
【情感态度价值观目标】使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性、实用性，进一步理解数学的本质，发展学生的数学应用意识。
【教学重点】已知三角函数值求角；【教学难点】诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用。
多媒体课件。
一、复习提问1、α，π－α，π＋α，2π－α，－α的诱导公式？2、在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，满足条件()sin 11x a a =-≤≤的x 有几个？ 答：有且只有一个3、在区间[]0,2π上，满足条件()sin 11x a a =-≤≤的x 有几个？答：当1a =或1a =-时，有且只有一个；当11a -<<且0a ≠时有两个；当0a =时有三个。
二、新课讲授例１ 已知sinx 22-=，且x ∈[22ππ，-]，求x 。
由例1思考已知三角函数值求角的方法是什么？练习：已知sinx 21-=，求x 的取值集合。
例2 已知sinx 31=，且x ∈[22ππ，-]，求x 。
（回想反函数的定义）反正弦的概念根据正弦函数的性质，为了使符合条件()sin 11x a a =-≤≤的角x 有且只有一个，我们选择闭区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦作为基本的范围。
在这个闭区间上，符合条件()sin 11x a a =-≤≤的角x 叫做实数a 的反正弦，记作arcsin a ，即arcsin x a =，其中,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin a x =。
说明：当11a -≤≤时，arcsin a 表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的一个角，其正弦值等于a ，故()sin arcsin a a =。
高中数学_已知三角函数值求角教学设计学情分析教材分析课后反思
人教版数学《必修四》第一章《1.3.3已知三角函数值求角》教学设计高中数学教学目标：1.了解反三角函数符号arcsinx、arccosx、arctanx的来源及意义；2.会正确运用arcsinx、arccosx、arctanx表示角.教学重点：已知三角函数值求角.教学难点：对符号arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识和应用.教学过程：一、复习回顾.1.单位圆与三角函数线——正弦线、余弦线、正切线.2.运用三角函数线解：（学生作答）已知sinx=，求x：①x∈；②x∈；③x∈R.3.提出新问题：若已知sinx=，求x？（非特殊角如何解决？）二、新授课.（一）已知正弦值求角1.反正弦符号定义：一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知函数值为y（-1≤y≤1），那么在上有唯一的角x与之对应，记作：x=arcsiny（其中-1≤y≤1，x∈）举例：arcsin = arcsin（）= arcsin（-1）=2.解决问题：例1 已知sinx=，求x：①x∈；②x∈]；③x∈R.解：∵sinx=∴x终边在一或二象限∴x∈时，x= arcsin；x∈]时，x= arcsin或x=π- arcsin；x∈R时，x= arcsin+2kπ或x=π- arcsin+2kπ(k∈Z).变式训练：已知sinx=，求x：①x∈；②x∈]；③x∈R.（学生自行研究讨论）学习指导：确定角所在象限（三、四）→找到锐角arcsin→写出所求角形式：π+ arcsin、2π- arcsin（上）练习：已知sinx=，x∈，求x.小结（学生探讨总结）：已知sinx=a（-1<a<1）求角的方法.（二）已知余弦值求角提出新问题：已知cosx=，x∈，求x.由学生相互讨论研究如何定义x=arccosy.完善的结论：1.反余弦符号定义：一般地，对于余弦函数y=cosx，如果已知函数值为y（-1≤y≤1），那么在上有唯一的角x与之对应，记作：x=arccosy（其中-1≤y≤1，x∈）2.解决问题：例2 已知cosx=，x∈]，求x.（根据解决正弦经验，学生讨论研究）解：x=π- arcscos 或x=π+ arcsin .总结：已知正余弦值求角，解答方法（学生讨论研究）步骤已知sinx=a(-1<a<1)求角已知cosx=a(-1<a<1)求角定象限a>0 一、二一、四a<0 三、四二、三找锐角α=arcsin|a|α=arccos|a|写形式[0,2π] a>0 x=α，x=π-αx=α，x=2π-αa<0 x=π+α，x=2π-αx=π-α，x=π+α，（三）已知正切值求角学生相互讨论研究，完成以下问题：1.反正切符号定义；2.已知正切值求角：例3 已知tanx=-2，x∈求x.（四）课堂测试（五）自我检验：是否完成本节课教学目标1.了解反三角符号arcsinx、arccosx、arctanx的意义；2.能够正确运用反三角符号表示角，解决已知三角函数值求角的问题. （六）布置作业1.课本：P63 1-3A 9、10；P64 1-3B 12、14.2.课后探究：arcsin(-x)与arcsinx、arccos(-x)与arccos x、arctan(-x)与arctanx关系.学情分析高中数学1.所教高一.12班学生优点：课堂能够紧跟教师步伐，发言积极主动，勇于提问，师生交流无障碍；数学学习兴趣较高，学习习惯和态度较好；大部分学生层次差异不大，思维活跃。
高中数学人教B版必修4学案1.3.3 已知三角函数值求角 Word版含解析
已知三角函数值求角.掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号，，表示角.(重点、难点).熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－π，π]上对应的角.[基础·初探]教材整理已知三角函数值求角的相关概念阅读教材～内容，完成下列问题..已知正弦值，求角：对于正弦函数＝，如果已知函数值(∈[－])，那么在上有唯一的值和它对应，记为＝..已知余弦值，求角：对于余弦函数＝，如果已知函数值(∈[－])，那么在[，π]上有唯一的值和它对应，记为＝(其中－≤≤≤≤π)..已知正切值，求角：一般地，如果＝(∈)且∈，那么对每一个正切值，在开区间内，有且只有一个角，使＝，记为＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()在区间上，满足条件＝(－≤≤)的有个.( )()在区间[π]上，满足条件＝(－≤≤)的有个.( )()在区间[π]上，满足条件＝(－≤≤)的有个.( )()在区间上，满足条件＝(∈)的只有个.( )【答案】()√()×()×()√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]已知＝.()当∈时，求的取值集合；()当∈[π]时，求的取值集合；()当∈时，求的取值集合.【精彩点拨】尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解.【自主解答】()∵＝在上是增函数，且＝，∴＝，∴是所求集合. ()∵＝＞，∴为第一或第二象限的角.且＝＝，∴在[π]上符合条件的角有＝或＝π，∴的取值集合为.()当∈时，的取值集合为.。
高一数学人教b版必修4作业设计：1.3.3 已知三角函数值求角 含解析
1．3．3 已知三角函数值求角 课时目标 1．掌握已知三角函数值求角的方法，会用已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x ，arccos x ，arctan x 表示角．2．牢记一些比较常见的三角函数值，在以后的学习中会带来很大的方便．已知三角函数值时角的表示一、选择题1．下列叙述错误的是( )A ．arctan y 表示一个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的角 B ．若x ＝arcsin y ，则sin x ＝yC ．若tan x 2＝y ，则x ＝2arctan yD．arcsin y、arccos y中的y∈[－1,1]2．若α是三角形内角，且sin α＝12，则α等于( )A．30° B．30°或150°C．60° D．120°或60°3．若sin x＝15，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则x等于( )A．arcsin 15B．π－arcsin15C．π2＋arcsin15D．－arcsin154．若cos x＝－23，x∈[0，π]，则x的值为( )A．arccos 23B．－arccos23C．arccos(－23) D．π－arccos(－23)5．下列各式中正确的是( )A．sin(arcsin π3)＝π3B．sin(arcsin 3π)＝3πC．arccos(－x)＝arccos xD．arctan(tan 2π3)＝2π36．若tan x＝－3，0<x<2π，则角x等于( )A．π3或2π3B．2π3或4π3C．4π3或5π3D．2π3或5π3二、填空题7．arcsin(sin 5π6)＝________．8．已知cos x＝－32，π<x<2π，则x＝________．9．直线2x＋y－1＝0的倾斜角是________(用反正切表示)．10．arcsin32－arccos⎝⎛⎭⎪⎫－12arctan(－3)的值等于________．三、解答题11．用反三角函数的形式把下列各式中的x表示出来．(1)cos x＝－45(π2<x<π)，(2)sin x＝－14(－π2<x<π2)，(3)3tan x＋1＝0 (0<x<π)，(4)sin x＝－14(π<x<3π2)．12．已知sin α2＝－32，且α是第二象限的角，求角α．能力提升13．直线ax＋by＋c＝0 (ab>0)的倾斜角为____________________________________．14．已知cos x＝－1 3．(1)当x∈[0，π]时，求x；(2)当x∈[0,2π]时，求x；(3)当x∈R时，求x的取值集合．。
数学人教B版必修4课堂导学：1.3.3已知三角函数值求角
课堂导学三点剖析一、已知正弦值求角已知正弦值求角,与所给角的范围有关,应根据角的范围划定单调区间后判断角的个数 ,反正弦是选在最基本的单调区间［-2π,2π］上定义的,其他单调区间上对应的角可根据周期性写出或用诱导公式转化到区间［-2π,2π］上,用反正弦表示出来. 【例1】 已知sinx=23, (1)当x ∈［-2π,2π］时,求x 的取值集合; (2)当x ∈［0,2π］时,求x 的取值集合;(3)当x ∈R 时,求x 的取值集合.思路分析:在函数y=sinx 的非单调区间上,对于已知的一个正弦值,有多个角和它对应,在单调区间上只有一个值与之对应.解:(1)∵y=sinx 在［-2π,2π］上是增函数,且知sin 3π=23, ∴满足条件的角只有x=3π. ∴x 的取值集合为{3π}. (2)∵sinx=23>0, ∴x 为第一或第二象限角,且sin 3π=sin(π-3π)=23. ∴在［0,2π］上符合条件的角x=3π或32π. ∴x 的取值集合为{3π,32π}. (3)当x ∈R 时,x 的取值集合为 {x|x=2kπ+3π或x=2kπ+32π,k ∈Z }. 温馨提示(1)对于本题,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围这一条件的约束作用.(2)对第(3)题的结论可写为{x|x=nπ+(-1)n ·3π,n ∈Z }.一般地,对于sinx=a(x ∈R ),|a|≤1,这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsina 或x=2kπ+π-arcsina,k ∈Z ,从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)k arcsina,k ∈Z }.各个击破类题演练 1已知sinA=0.501 8，求角A.（利用计算器 ）解：先按功能选择键和，再依次按，得结果30.119 158 67,所以∠A=30.12°(若精确到1°,则结果为30°).温馨提示任意给定一个角，只要该角的函数值存在，总可以求出这个三角函数值.反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角.变式提升 1已知sin 232-=α,且α是第二象限的角,求角α. 思路分析:先求出2α,进而求出α. 解:首先确定2α所在象限. ∵α是第二象限的角, ∴2α是第一或第三象限的角. 又∵sin2α=23-<0,∴2α是第三象限的角. 然后在［0,2π)内找到满足条件的2α. ∵sin 3π=23, ∴在［0,2π)内满足条件的角2α是π+3π=34π. 再找到所有满足条件的角2α. ∴2α=2kπ+34π(k ∈Z ). 最后求出所有满足条件的角α, ∴α=4kπ+38π,k ∈Z . 温馨提示本例中将2α看作一个整体,求出2α的所有角后,再求出α. 二、已知角的余弦值求角已知余弦值求角,可利用y=cosx 的图象找出在［0,π］内满足条件的角,然后根据y=cosx 的周期性用反余弦(或特殊角)表示所给范围内的角.【例2】 已知cosx=-0.287,(1)当x ∈［0,π］时,求x;(2)当x ∈R 时,求x 的取值集合.思路分析:由于cosx=-0.287,x 不是特殊角,因此应用反余弦表示x,而［0,π］正是反余弦的主值区间,故当x ∈［0,π］时,x=arccos(-0.287)=π-arccos0.287.当x ∈R 时,可利用诱导公式先求出［0,2π］内的所有解,再利用周期性即可求出x ∈R 的所有解.解:(1)因为cosx=-0.287,且x ∈［0,π］,所以x=arccos(-0.287)=π-arccos0.287.(2)当x ∈R 时,先求出x ∈［0,2π］上的解.因为cosx=-0.287.故x 是第二或第三象限角,由(1)知x 1=π-arccos0.287是第二象限角. 因为cos(π+arccos0.287)=-cos(arccos0.287)=-0.287,且π+arccos0.287∈(π,23π), 所以x 2=π+arccos0.287.由余弦函数的周期性,可知当x=2kπ+x 1或x=2kπ+x 2,k ∈Z 时,cosx=-0.287,即所求的x 值的集合是{x|x=2kπ+π-arccos0.287或x=2kπ+π+arccos0.287,k ∈Z }={x|x=2kπ±arccos(-0.287),k ∈Z }. 温馨提示方程cosx=a,|a|≤1的解集可写成{x|x=2kπ±arccosa,k ∈Z }.类题演练 2已知cos(21x+3π)=23-，求角x 的集合. 思路分析:把“21x+3π”视为一个整体,首先在长度为一个周期的闭区间上找出符合条件的角,再利用终边相同的角的集合把它扩展到整个定义域上.解:∵cos(21x+3π)=23-<0, ∴角21x+3π是第二或第三象限角. 令cos(21x+3π)=23,得锐角2x +3π=6π. 在区间［0，2π］上，符合条件的角是π-6π或π+6π,即65π或67π,所以在x ∈R 上,有2x +3π=65π+2kπ,k ∈Z 或2x +3π=67π+2kπ,k ∈Z . 化简得x=π+4kπ或x=35π+4kπ,k ∈Z . 故角x 的集合是{x|x=π+4kπ或x=35π+4kπ,k ∈Z }. 变式提升 2已知cosx=31-,x ∈(-π,-2π),则x 等于…( )A.arccos(31-) B.π-arccos 31 C.-arccos(31-) D.-arccos 31 解析:∵arccos(31-)∈(2π,π), ∴-arccos(31-)∈(-π,-2π).故选C. 答案:C三、已知正切值求角已知正切值求角,可利用y=tanx 的图象找出(-2π,2π)内满足条件的角,然后根据y=tanx 的周期性用反正切(或特殊角)表示所给范围内的角.【例3】 已知tanα=-2,若(1)α∈(-2π,2π); (2)α∈［0,2π］;(3)α∈R ,求角α.思路分析:由正切函数的单调性,可知在开区间(-2π,2π)内,符合条件tanα=-2的角只有一个,而在α∈［0,2π］内,符合条件tanα=-2的角就有两个,而根据正切函数的周期性,可知第(3)题中符合条件的角α就有无穷多个了.解:(1)由正切函数在开区间(-2π,2π)上是增函数可知符合条件tanα=-2的角只有一个,即α=arctan(-2).(2)∵tanα=-2<0,∴α是第二或第四象限角.又∵α∈［0,2π］,由正切函数在区间(2π,π］,(23π,2π］上是增函数知符合tanα=-2的角有两个，即α=π-arctan2,α=2π-arctan2.(3)α∈R 时角α有无穷多个,则α=(2k+1)π-arctan2或α=2(k+1)π-arctan2(k ∈Z ).温馨提示对于反三角函数，我们要特别注意主值区间，即-2π≤arcsinx≤2π,0≤arccosx≤π,- 2π<arctanx<2π. 类题演练 3（1）已知sinx=32-,x ∈（π,23π），求角x; （2）已知tanx=3,x ∈（3π,27π）,求角x. 解法一：（1）令sinx 1=32,得x 1=arcsin 32. ∵x ∈（π，23π）,∴符合条件的角x=π+x 1=π+arcsin32. (2)令tanx 1=3,得锐角x 1=arctan3.∵x ∈(3π,27π), ∴符合条件的角x=3π+x 1=3π+arctan3.解法二：（1）∵π<x<23π,∴-2π<π-x<0. 又由sinx=32-,得sin(π-x)=32-. ∴π-x=arcsin(32-)=-arcsin 32. ∴x=π+arcsin 32. (2)∵3π<x<27π, ∴0<x-3π<2π. 由tanx=3,得tan(x-3π)=3.∴x-3π=arctan3.∴x=3π+a rctan3.变式提升 3已知直线bx+ay=ab(a<0,b<0)，试求它的倾斜角.解：因为该直线的斜率k=a b -<0，所以它的倾斜角是钝角.令tanθ=a b ，得θ=arctan a b .所以它的倾斜角是π-arctana b . 温馨提示直线的倾斜角α的正切值tanα是直线的斜率.这里的arctan(ab -)表示一个负角，而不是我们要求的钝角.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.3.3 已知三角函数值求角》
已知三角函数值求角制作时间：使用时间：学习目标：1已知三角函数值求角典型例题：例1已知正弦值求角题组一：（1）已知sin x=12，xÎ-p2,p2éëêùûú则（2）已知sin x=12，xÎ0,2péëùû，则（3）已知sin x=12，则题组二：（1）已知sin x=13，xÎ-p2,p2éëêùûú则（2）已知sin x=13，xÎ0,2péëùû，则（2）已知sin x=13，则小结：练习：1.求角（1）arcsin2（2）arcsin-12æèçöø÷2 解方程：sin x=-14,xÎp2,3p2éëêùûú例2已知余弦值求角题组一：（1）已知cos x=12，xÎ0,péëùû则（2）已知cos x=12，xÎ0,2péëùû，则（3）已知cos x=12，则题组二：（1）已知cos x=13，xÎ0,péëùû则（2）已知cos x=13，xÎ0,2péëùû，则（2）已知cos x=13，则小结：练习：1.求角（1）2（2）arccos-1 2æèçöø÷2 解方程：cos x=-14,xÎp2,3p2éëêùûú例3 已知正切值求角题组一：（1）已知tan x=1，xÎ-p2 ,p2æèçöø÷则（2）已知tan x=1，xÎ0,2péëùû，则（3）已知tan x=1，则题组二：（1）已知tan x=13，xÎ-p2,p2æèçöø÷则（2）已知tan x=13，xÎ0,2péëùû，则（3）已知tan x=13，则小结：练习：1求角（1）（2）arctanæèçø2 解方程：tan x=-14,xÎp2,3p2éëêùûú当堂检测：1.arccos-1()2.D ABC中，tan A=-2,求3.解方程：sin x=-15,xÎ-p,péëùû我的收获：课后作业：（1）整理学案（2）课后巩固案。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.3.3 已知三角函数值求角》6
课题：1.3.3已知三角函数值求角的教学设计授课教师：葫芦岛市实验高中刘梅Ⅰ、设计理念学生是学习和发展的主体，教师是学习活动的组织者和引导者。
已知三角函数值求角的学习主要是使学生更加深刻地认识函数与方程的关系；培养学生运用数学结合的思想直观地解决数学问题的能力，因此在学习和教学过程中应发挥学生在学习中的主动性和创造性。
通过探究性的学习方法，培养学生在探究学习的过程中的积极参与意识和独立思考能力。
多媒体的应用是教学情景设置、表现三角函数图象动态变化中曲线与直线的关系、加深对角理解的一个重要手段，也是教师调动学生的情感体验，关注学生的学习兴趣和诱导学生积极独立思考的重要方法，为实现学生的主体地位起着重要作用。
Ⅱ、教学背景分析1教学内容解析《已知三角函数值求角》是必修4人教版第一章第三节《三角函数的图像与性质》的第3节的内容，在本章的前几节已经学习了诱导公式及三角函数的图象与性质，本节课的内容包括反正弦、反余弦、反正切的定义，解决了已知三角函数值求角问题。
本节课的研究有助于学生完善三角体系，形成知识网络，还将为进一步学习《正、余弦定理》、《解斜三角形》、以及立体几何中求角，提供解决问题的方法和手段。
学好这部分内容，对理顺学生的知识架构体系、提高学生的综合能力起着重要作用。
2学生学情分析（1）学生通过学习任意角的三角函数，正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，这对学生学习已知三角函数值求角的打下了良好的基础，同时，学生已获得了由特殊角求三角函数值, 借助于多媒体认识三角函数与方程的关系研究方程解时，因而会比较轻松地融入对本课的探究．（2）虽然学生对三角函数的学习有了一段时间，已经具备了基本的计算能力,但对于问题中的非特殊角才刚刚接触，没有形成一种熟练运用符号语言的能力，还有一部分学生接受新知识能力较差，因此，在学习的过程应有一定的难度，教学中必须注意这一点。
【学法指导】在探究活动中，学生亲历从“特殊”到“一般”获取新知的过程，培养学生积极参与的主体的意识，体验探索的乐趣，培养学习数学的兴趣。
高中数学人教B版必修4教案：1.3.3 已知三角函数值求角 Word版含答案
2、进一步将问题深化：①若 ，怎么办？②若sinx=0.3，怎么办？
3、对于问题②，学生可能会有三种答案：数学用表、计算器渐增大难度，让学生在不断的探索中获得新知识。
概
念
形
成
若sin =t，则 =arcsint，其中 ，t [-1 , 1]。
（4）已知tanx=1.23，求x的取值集合。
巩固练习：
练习A 1、3、5
指导学生完成，并让学生思考解此类题的一般步骤。
让学生尝试解决“已知余弦值、正切值求角”的问题，并将解题过程程序化。
归
纳
小
结
已知三角函数值t求角 的解题步骤：
（1）确定角 所在的象限(有时不止一个象限)。
（2）求 上的角 ：
1°先求出与 对应的锐角 ；
在旧问题的基础上，不断提出新的问题，让学生在探索中获得新知识。
四、教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
复习在初中已知锐角三角函数值求锐角的例子。
提出问题：如果将所给角的范围扩大，问题应该怎么处理？
复习旧知识，引入新问题
应
用
举
例
例1、已知 ，
（1）若 ，求x；
（2）若 ，求x；
（3）若 ，求x的取值集合。
1.3.3已知三角函数值求角
一、教学目标
会由已知三角函数值求角。
二、教学重点、难点
重点是已知三角函数值求角，难点是：①根据 范围确定有已知三角函数值的角；②对符号arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识；③用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求的角。
数学人教B版必修4示范教案：1.3.3 已知三角函数值求角 含解析 精品
数学人教B版必修4示范教案：1.3.3 已知三角函数值求角含解析精品----b2c135f8-6eb3-11ec-8d1d-7cb59b590d7d数学人教b版必修4示范教案：1.3.3已知三角函数值求角含解析精品示范教案整体设计教学分析在课程标准中，没有已知三角函数值求角的内容，但相当多的内容涉及到这个问题(如立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角)，所以教材专门列出一小节讲解，因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号arcsinx、arccosx、arctanx.但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以了．当已知角X的三角函数值来计算角X时，它实际上是最简单的三角方程。
因为三角函数不是定义域R的一对一映射→ 值域[-1,1]，当已知角X的三角函数值来计算角X时，不一定只有一个角，角的数量应根据角的值范围确定，该范围应在标题中给出。
如果在该范围内有多个角对应于已知的三角函数值，可分为以下步骤：第一步是确定哪个象限角X可能是；在第二步中，如果函数值为正，首先找到相应的锐角X1；如果函数值为负，首先找到与其绝对值对应的锐角X1；步骤3：如果函数值为负，则根据角X可能为的象限角，得到[0,2π]中对应的角；第4步：如果需要[0,2π]以外的角度，可以使用具有相同端边的角度具有相同三角函数值的定律来写入结果如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了．本节的难点有三个，简单地说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合．克服难点的关键是拾级而上，分层次理解，弄清各层次的意义．但要注意表示形式上的不唯一．三维目标1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号表示．2.能从已知角度的正弦值、余弦值和正切值计算出[0,2π]范围内的角度，并能用反正弦、反余弦和反正切符号表示角度或角度集3．能运用已知三角函数值求角，解决与其相关的一些简单问题．重点难点教学重点：寻找具有已知正弦、余弦和切线值的角度教学难点：对反正弦、反余弦、反正切的概念及其符号的正确认识．课时安排1课时在教学过程中引入新课程思路1.(直接引入)我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．由此导入新课．思路2（通过类比引入）当我们研究函数时，我们知道给定一个函数值，必须有一个或多个自变量中的一个值与之对应．那么三角函数作为一类特殊的函数，是不是也这样呢？比如sinx＝，你怎样2找到适合这个公式的X值吗？在学生的探究中引入新课程推进新课新知探究给定正弦值，求出角度。
高一数学人教B版必修4学案：1.3.3 已知三角函数值求角 Word版含解析
1.3.3 已知三角函数值求角[学习目标] 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号arcsin x ，arccos x ，arctan x 的含义，并能用这些符号表示非特殊角．[知识链接]已知角x 的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？答 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个． [预习导引] 1．arcsin y 的含义一般地，对于正弦函数y ＝sin x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上有唯一的x 值和它对应，记为x ＝arcsin_y ⎝⎛⎭⎫其中－1≤y ≤1，－π2≤x ≤π2，即arcsin y (|y |≤1)表示⎣⎡⎦⎤－π2，π2上正弦值等于y 的一个角．2．arccos y 的含义一般的对于余弦函数y ＝cos x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1]，那么在[0，π]上有唯一的x 值和它对应，记作x ＝arccos_y (－1≤y ≤1,0≤x ≤π)． 3．arctan y 的含义一般地，如果正切函数y ＝tan x (y ∈R )且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，那么对每一个正切值，在开区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内有且只有一个角x ，使tan x ＝y ，记作x ＝arctan_y .要点一 已知正弦值，求角 例1 已知sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14，求x . 解 设x －π3＝t ，则有sin t ＝－14.t ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，t ＝arcsin ⎝⎛⎭⎫－14，又sin t ＝－14，所以t 是第三、四象限角，且t 1＝arcsin ⎝⎛⎭⎫－14是第四象限角． 又sin ⎣⎡⎦⎤π－arcsin ⎝⎛⎭⎫－14＝sin ⎣⎡⎦⎤arcsin ⎝⎛⎭⎫－14＝－14， 且π－arcsin ⎝⎛⎭⎫－14是第三象限角， 所以t 2＝π－arcsin ⎝⎛⎭⎫－14. 由正弦函数周期性可知t ＝2k π＋t 1或t ＝2k π＋t 2(k ∈Z )时，sin x ＝－14.所以t ＝2k π＋arcsin ⎝⎛⎭⎫－14(k ∈Z )， 或t ＝2k π＋π－arcsin ⎝⎛⎭⎫－14(k ∈Z )． 因此x 的集合为⎩⎨⎧x |x ＝2k π＋π3＋arcsin ⎝⎛⎭⎫－14，⎭⎬⎫或x ＝2k π＋4π3－arcsin ⎝⎛⎭⎫－14，k ∈Z . 规律方法 方程y ＝sin x ＝a ，|a |≤1的解集可写为{x |x ＝2k π＋arcsin a ，或(2k ＋1)π－arcsin a ，k ∈Z }．也可化简为{x |x ＝k π＋(－1)k arcsin a ，k ∈Z }． 跟踪演练1 已知sin x ＝32. (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，求x 的取值集合； (2)当x ∈[0,2π]时，求x 的取值集合； (3)当x ∈R 时，求x 的取值集合．解 (1)∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，且知sin π3＝32.∴满足条件的角只有x ＝π3. ∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3.(2)∵sin x ＝32>0， ∴x 为第一或第二象限角且sin π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝32. ∴在[0,2π]上符合条件的角x ＝π3或x ＝2π3.∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，2π3.(3)当x ∈R 时，x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z .要点二 已知余弦值，求角 例2 已知cos x ＝－13.(1)当x ∈[0，π]时，求x ； (2)当x ∈[0,2π]时，求x ； (3)当x ∈R 时，求x 的取值集合． 解 (1)∵cos x ＝－13，且x ∈[0，π]，∴x ＝arccos ⎝⎛⎭⎫－13＝π－arccos 13. (2)∵x ∈[0,2π]且cos x ＝－13<0.∴x 为第二象限角或第三象限角． ∴x ＝π－arccos 13或x ＝π＋arccos 13.(3)当x ∈R 时，x 与π－arccos 13终边相同或者与π＋arccos 13终边相同．∴x ＝2k π＋π－arccos 13(k ∈Z )或x ＝2k π＋π＋arccos 13(k ∈Z )．∴x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝(2k ＋1)π±arccos 13，k ∈Z .规律方法 方程cos x ＝a ，|a |≤1的解集可写成{x |x ＝2k π±arccos a ，k ∈Z }． 跟踪演练2 若cos 2x ＝12，其中π2<x <π，则x 的值为( )A.π6B.5π6C.2π3D.5π3 答案 B解析 ∵π2<x <π，∴⎭⎬⎫π<2x2x ＝12>0⇒⎩⎨⎧3π2<2x <2π，x ＝5π3.∴x ＝5π6.要点三 已知正切值，求角例3 (1)已知tan α＝－2，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求α； (2)已知tan α＝－2，且α∈[0,2π]，求α； (3)已知tan α＝－2，α∈R ，求α.解 (1)由正切函数在开区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，故α＝arctan(－2)．(2)∵tan α＝－2<0，∴α是第二或第四象限角．又∵α∈[0,2π]由正切函数在区间⎝⎛⎦⎤π2，π，⎝⎛⎦⎤3π2，2π上是增函数，知符合tan α＝－2的角有两个，∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2且arctan(－2)∈⎝⎛⎭⎫－π2，0.∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)．(3)α∈R ，则α＝k π＋arctan(－2)(k ∈Z )．规律方法 方程tan x ＝a ，a ∈R 的解集为{x |x ＝k π＋arctan a ，k ∈Z }． 跟踪演练3 已知tan x ＝－1，求x ，并写出在区间[－2π，0]内满足条件的x . 解 因为tan x ＝－1，所以满足条件的x 的解集为 {x |x ＝k π＋arctan(－1)，k ∈Z }＝x |x ＝k π－π4，k ∈Z ，在x ＝k π－π4中，令k ＝0或－1，得x ＝－π4或x ＝－5π4，即在[－2π，0]内正切值为－1的角x 有2个：－π4与－5π4.1．已知α是三角形的内角，sin α＝32，则角α等于( ) A.π6 B.π3 C.5π6或π6 D.2π3或π3 答案 D2．若sin x ＝14，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则x 等于( )A ．arcsin 14B ．π－arcsin 14C.π2＋arcsin 14 D ．－arcsin 14 答案 B3．若cos x ＝13，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则x ＝________. 答案 －arccos 134．arcsin(－1)＋arctan 33＝________. 答案 －π31.理解符号arcsin x 、arccos x 、arctan x 的含义．每个符号都要从以下三个方面去理解，以arcsin x 为例来说明． (1)arcsin x 表示一个角； (2)这个角的范围是⎣⎡⎦⎤－π2，π2； (3)这个角的正弦值是x ，所以|x |≤1. 例如：arcsin 2，arcsin 3都是无意义的． 2．已知三角函数值求角的大致步骤 (1)由三角函数值的符号确定角的象限． (2)求出[0,2π)上的角． (3)根据终边相同的角写出所有的角.一、基础达标1．下列叙述错误的是( ) A ．arctan y 表示一个⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的角 B ．若x ＝arcsin y ，|y |≤1，则sin x ＝y C ．若tan x2＝y ，则x ＝2arctan yD ．arcsin y 、arccos y 中的y ∈[－1,1] 答案 C2．若α是三角形内角，且sin α＝12，则α等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．120°或60° 答案 B解析 ∵sin 30°＝12，sin(180°－30°)＝sin 30°＝12，∴α＝30°或150°. 3．已知cos x ＝－32，π<x <2π，则x 等于( ) A.7π6 B.4π3 C.11π6 D.5π6 答案 A解析 符合条件cos x 0＝32的锐角x 0＝π6， 而cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32，∴x ＝π＋π6＝7π6. 4．若tan x ＝－3，0<x <2π，则角x 等于( ) A.π3或2π3 B.2π3或4π3 C.4π3或5π3 D.2π3或5π3 答案 D解析 ∵tan x ＝－3<0，∴x 为第二或第四象限角． 符合条件tan x 0＝3的锐角x 0＝π3.而tan ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－tan π3＝－3， tan ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－tan π3＝－3， ∴x ＝π－π3＝2π3或x ＝2π－π3＝5π3.5．arcsin ⎝⎛⎭⎫sin 23π＝________. 答案 π3解析 arcsin ⎝⎛⎭⎫sin 23π＝arcsin 32＝π3. 6．直线2x ＋y －1＝0的倾斜角是________(用反正切表示)． 答案 π＋arctan(－2)解析 ∵2x ＋y －1＝0，∴y ＝－2x ＋1.设直线y ＝－2x ＋1的倾斜角为θ，则tan θ＝－2， ∴θ为钝角，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.∵arctan(－2)∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴θ＝π＋arctan(－2)． 7．求值arcsin 32－arccos ⎝⎛⎭⎫－12arctan (－3).解 arcsin32＝π3，arccos ⎝⎛⎭⎫－12＝2π3， arctan(－3)＝－π3，∴原式＝π3－2π3－π3＝1.二、能力提升8．使得等式2cos x2＝1成立的x 的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋π6，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π±23π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π6，k ∈Z答案 C解析 cos x 2＝12>0，x 2为第一象限角或第四象限角．∴x 2与π3或－π3终边相同．∴x 2＝2k π±π3，k ∈Z ，∴x ＝4k π±23π，k ∈Z . 9．直线x ＋2y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．arctan ⎝⎛⎭⎫－12 B ．－arctan 12 C ．arcsin ⎝⎛⎭⎫－55 D ．arccos ⎝⎛⎭⎫－255 答案 D解析 A ，B ，C 均表示负锐角，只有D 选项中arccos ⎝⎛⎭⎫－25 5表示钝角．故选D.10．已知sin α＝13，若π2<α<π，用反正弦符号表示α为________．答案 π－arcsin 13解析 满足sin α＝13的锐角为α0＝arcsin 13.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(π－α0)＝sin α0＝13， ∴α＝π－α0＝π－arcsin 13.11．用反三角函数的形式把下列各式中的x 表示出来． (1)cos x ＝－45 ⎝⎛⎭⎫π2<x <π， (2)sin x ＝－14 ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2， (3)3tan x ＋1＝0 (0<x <π)， (4)sin x ＝－14 ⎝⎛⎭⎫π<x <3π2. 答案 (1)arccos ⎝⎛⎭⎫－45 (2)arcsin ⎝⎛⎭⎫－14 (3)π－arctan 13 (4)π＋arcsin 1412．利用反正切表示直线ax ＋by ＋c ＝0 (ab >0)的倾斜角．(结果含a 、b ) 解 ∵ab >0，ax ＋by ＋c ＝0.∴y ＝－a b x －c b ，k ＝－a b .由k ＝－ab<0，∴直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为钝角π－arctan ab .三、探究与创新13．已知sin α2＝－32，且α是第二象限的角，求角α.解 ∵α是第二象限的角，∴α2是第一或第三象限的角．∵sin α2＝－32<0，∴α2是第三象限的角． 在[0,2π]内找到满足条件的α2，∵sin π3＝32，∴在[0,2π]内满足条件的角α2＝π＋π3＝4π3.∴所有满足条件的α2＝2k π＋4π3 (k ∈Z )，即α＝4k π＋8π3 (k ∈Z )．。
高中数学_1.3.3 已知三角函数值求角教学设计学情分析教材分析课后反思
课题：已知三角函数值求角【教材分析】在2017年新课程标准中，对已知三角函数值求角这一节的内容没有要求，但是有很多的内容要涉及到本节课的内容例如：立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角，这就是为什么设计这一节的主要原因。
因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号x x x arctan arccos arcsin 、、.但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以了．已知三角函数值求角，由于三角函数不是从定义域R →值域[－1,1]上的一一映射，所以已知x sin 值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可以分为以下几个步骤：第一步，确定角x 可能是第几象限角；第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x ，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x ；第三步，如果函数值为负数，则根据角x 可能是第几象限角，得出[0,2π]内对应的角；第四步，如果要求出[0,2π]以外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果． 如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了．本节的难点有三个，简单地说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合．克服难点的关键是分层次理解，弄清各层次的意义．但要注意表示形式上的不唯一．【教学目标】1.理解符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 的意义。
2.会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角，当x 为特殊的三角函数值时，会求arcsinx ，arccosx ，arctanx 的值。
3.体会函数与方程的关系，运用数形结合思想直观地解决数学问题。
认识事物间相互联系的关系，抓住事物的内在联系。
38567_《已知三角函数值求角》教案3 新人教B版必修4
1.3.3已知三角函数值求角一、教学目标1．知识目标：使学生理解符号arcsin x，arccos x，arctan x的意义2．能力目标：（1）会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角；（2）当x为特殊的三角函数值时，会求符号arcsin x，arccos x，arctan x的值；（3）使学生更加深刻地认识函数与方程的关系；（4）培养学生运用数学结合的思想直观地解决数学问题。
3．情感目标：通过本节的学习，让学生认识到事物间是相互联系、相互依存的关系，抓住了事物间的内在联系，就能更加清楚地认识事物的有序结构。
二、教学重点、难点本节的重点是已知三角函数的值求角，难点是符号arcsin a，arccos a，arctan a所表示的意义及利用其意义求它们的特殊值。
三、教学方法：利用数形结合思想，从特殊过渡到一般的方法，重点突破用如何arcsin a来表示角arcsin a的意义，再运用类比的思想，让学生自主探究符号arcsin a，arccos a，arctan a所表示角的意义四、教学过程：概念的深化利用arcsin a所表示角的意义求值：生：让学生练习课本P60练习A组第3题（1）、（2）。
巩固符号arcsin a所表示角的意义应用举例例1、比较⎪⎭⎫⎝⎛-413tanπ与⎪⎭⎫⎝⎛-517tanπ的大小。
解：tan413tan-=⎪⎭⎫⎝⎛-π4π，1、引导学生实践，简单利用函数的性质解决问题；2、通过一个简单的问题，探索整个函数的各种性质，让学生自主的解学生通过自己的实践，真确地体会函数的性质，强化对新建构的知识的理解与掌握。
教学环节教学内容师生互动设计意图直接引入师：我们知道，任意给定一个角，可以唯一地确定其正弦值；反之，我知道角的正弦值，能否确定角？52tan517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-， 又：⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增，⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即。
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示范教案整体设计教学分析在课程标准中，没有已知三角函数值求角的内容，但相当多的内容涉及到这个问题(如立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角)，所以教材专门列出一小节讲解，因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号arcsinx 、arccosx 、arctanx.但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以了．已知角x 的一个三角函数值求角x 时，实际上就是解最简单的三角方程．由于三角函数不是从定义域R →值域[－1,1]上的一一映射，所以已知角x 的一个三角函数值求角x 时，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可以分为以下几个步骤：第一步，确定角x 可能是第几象限角；第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x 1，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x 1；第三步，如果函数值为负数，则根据角x 可能是第几象限角，得出[0,2π]内对应的角；第四步，如果要求出[0,2π]以外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果．如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了．本节的难点有三个，简单地说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合．克服难点的关键是拾级而上，分层次理解，弄清各层次的意义．但要注意表示形式上的不唯一．三维目标1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号表示．2．会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[0,2π]范围内的角，并能用反正弦、反余弦、反正切符号表示角或角的集合．3．能运用已知三角函数值求角，解决与其相关的一些简单问题． 重点难点教学重点：已知正弦、余弦、正切值求角．教学难点：对反正弦、反余弦、反正切的概念及其符号的正确认识． 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.(直接引入)我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．由此导入新课．思路2.(类比引入)前面我们学习函数时知道，给定一个函数值必有一个或多个自变量的值与之对应．那么三角函数作为一类特殊的函数，是不是也这样呢？比如sinx ＝12，你怎样求出适合这个式子的x 的值呢？在学生探究中引入新课．推进新课 新知探究已知正弦值，求角． 提出问题(1)在函数y ＝sinx 的非单调区间上，对于已知的一个正弦值，有多少个角和它对应？(2)对于正弦函数y ＝sinx ，如果已知函数值y (y ∈[－1，1])，那么，在[－π2，π2]上怎样表示x ？活动：教师引导学生先复习正弦函数的图象和性质，或用课件演示，引导学生得出：在函数y ＝sinx 的非单调区间上，对于已知的一个正弦值，有多个角和它对应，如在[0,2π]上有两个角π4和3π4的正弦值都为22，在R 上有无穷多个角的正弦值为22.但是，在y ＝sinx 的单调区间上，只有一个角和已知正弦值对应，比如在单调区间[－π2，π2]上，只有π4的正弦值等于22. 也就是说，正弦函数在区间[0,2π]上不具有单调性．但在[－π2，π2]上单调递增．所以在区间[－π2，π2]上，满足条件sinx ＝a(－1≤a ≤1)的x 有且只有一个，而在[0,2π]上满足条件sinx＝a(－1≤a ≤1)的x 一般有两个．一般地，对于正弦函数y ＝sinx ，如果已知函数值y(y ∈[－1,1])，那么在[－π2，π2]上有唯一的x 值和它对应．记为x ＝arcsiny(其中－1≤y ≤1，－π2≤x ≤π2)，即arcsiny(|y|≤1)表示[－π2，π2]上正弦等于y 的那个角．这个角叫做y 的反正弦．讨论结果：(1)有无穷多个；(2)表示为x ＝arcsiny(其中－1≤y ≤1，－π2≤x ≤π2)．应用示例例1(1)已知sinx ＝22，且x ∈[－π2，π2]，求x ； (2)已知sinx ＝22，且x ∈[0,2π]，求x 的取值集合； (3)已知sinx ＝22，且x ∈R ，求x 的取值集合． 解：由sinx ＝22知x 的正弦值是个正值，所以x 是第一象限或第二象限的角，如图1，由sin π4＝22，sin 3π4＝22可知：图1(1)在[－π2，π2]上，x ＝π4；(2)在[0,2π]上，x ＝π4或x ＝3π4；(3)在R 上符合条件的角是所有与π4终边相同的角和所有与3π4终边相同的角．因此x 的取值集合为{x|x ＝2kπ＋π4(k ∈Z )}∪{x|x ＝2kπ＋3π4(k ∈Z )}．点评：本例解法没涉及到反正弦概念，那么学习反正弦还有什么用呢？教师可就此点明，在本例(1)中，π4＝arcsin 22，3π4＝π－arcsin 22.那么本例(2)中的答案也可写成{arcsin 22，π－arcsin22}．进一步体会－22≤arcsina ≤22(其中－1≤a ≤1)．同时强调，如果求得的角是特殊角，则最好用特殊角的弧度表示，如果不是特殊角，则用反正弦表示，为书写方便，一般地把x 作为自变量，y 是x 的函数，记为y ＝arcsinx.例如：如果sinx ＝12，x ∈[－π2，π2]，则x ＝arcsin 12＝π6；如果sinx ＝－32，x ∈[－π2，π2]，则x ＝arcsin(－32)＝－π3； 如果sinx ＝0，x ∈[－π2，π2]，则x ＝arcsin0＝0；如果sinx ＝0.345 8，x ∈[－π2，π2]，在不要求求出具体的x 值时，其中的x 可记作arcsin0.345已知余弦值和正切值，求角． 提出问题(1)你能类比反正弦函数的概念，给出反余弦、反正切函数的概念吗？(2)arccosa (－1≤a ≤1)、arctana 的范围是多少？活动：教师引导学生复习余弦函数、正切函数的图象和性质，得出函数y ＝cosx 在区间[0,2π)上，对y ∈(－1,1)的任意一个值，有两个角x 与之对应．如果考察自变量x 在整个定义域(－∞，∞)上取值，那么对区间[－1,1]上的任意一个值y ，有无穷多个x 值与之对应，为了使符合条件cosx ＝a(－1≤a ≤1)的角x 有且只有一个，我们选择闭区间[0，π]作为基本范围．在这个闭区间上，符合条件cosx ＝a(－1≤a ≤1)的角x ，叫做实数a 的反余弦，记作arccosa ，即x ＝arccosa ，其中x ∈[0，π]且a ＝cosx.同样，根据正切函数的图象和性质，为了使符合条件tanx ＝a(a 为任意实数)的角x 有且只有一个，我们选择开区间(－π2，π2)作为基本的范围．在这个开区间内，符合条件tanx ＝a(a ∈R )的角x ，叫做实数a 的反正切，记作arctana ，即x ＝arctana ，其中x ∈(－π2，π2)，且a ＝tanx.讨论结果：(1)略．(2)0≤arccosa ≤π，－π2<arctana<π2.应用示例例2已知cosx ＝－22，且x ∈[0,2π)，求x 的取值集合． 解：因为余弦函数值是负值，所以x 是第二或第三象限的角(图2)．由 cos 3π4＝－cos π4＝－22图2可知，所求符合条件的第二象限的角x ＝3π4.又由cos(π4＋π)＝－cos π4＝－22可知，在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角 x ＝π4＋π＝5π4.因此，所求角x 的取值集合为{3π4，5π4}．点评：与例1一样，本解法仍没用到反余弦符号，其道理同例1.因此本例中答案可写成{arccos(－22)，π＋arccos 22}或写成{π－arccos 22，π＋arccos 22}或{arccos(－22)，2π－arccos(－22)}．因为是特殊角，所以写{3π4，5π4}最简洁明了．如： arccos 12＝π3，arccos 22＝π4，arccos(－12)＝2π3.由此也看出，在用反三角符号表示角或角的集合时，形式上不唯一.例3已知tanx ＝－33，且x ∈(－π2，π2)，求x 的值． 解：∵tanx ＝－33<0， ∴x 为第二或第四象限角． 又∵－π2≤x ≤π2，∴符合条件的角只有一个，x ＝arctan(－33)＝－π6.课堂小结先让学生回顾本节课所学过的知识，涉及到的数学思想方法．在此基础上教师进行画龙点睛：在学完反正弦后，我们用类比的思想学习了反余弦、反正切．要求熟练掌握已知角α的三角函数值求α角的一般步骤．本教材只要求同学们会用arcsinx ，arccosx ，arctanx 这三个符号表示角，对于这三个符号的其他知识不作进一步探讨．作业课本本节练习A 组 1,3.设计感想 本节教案设计主线是：始终抓住类比思想，数形结合思想，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，结合图形，由学生自己来对新知识进行分析、猜想、验证、应用，使新旧知识点有机地结合在一起；同时通过多媒体教学，使学生通过对图象的观察，对知识点的理解更加直观、形象，提高学生的学习兴趣，教学过程流畅，符合高中课程标准理念．本节教案设计理念是：坚持以学生为本，以学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，让学生学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比、数形结合等重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．备课资料备用习题1．满足cosx ＝13(－π2<x<0)的x 的值是( )A ．π－arccos 13 B.π2－arccos 13C ．arccos 13D ．－arccos 132．已知cosα＝－0.9，α∈(0，π)，则下列表示中正确的是( ) A ．α＝π－arccos0.9 B ．α＝π2－arccos0.9C ．α＝π2＋arccos0.9 D ．α＝π＋arccos0.93．若sinx ＝13，且x ∈(0，π2)，则下列表示中不正确的是( )A ．x ＝arcsin 13B ．x ＝π2－arccos 13C ．x ＝arccos 223D ．x ＝arccos(－223)4．已知tan(x －π2)＝－12，且x ∈(0，π2)，用反正切表示x 为__________．5．已知sinα＝sin π7，α∈[－π，π]，则α＝__________.6．arccos[sin(－π6)]＝__________.答案：1.D 2.A 3.D 4.x ＝π2＋arctan(－12) 5.π7或6π76.2π3 解析：arccos[sin(－π6)]＝arccos(－12)＝－2π3.。