更新：重庆大学材料力学考研重点知识点详解

2. 四种基本变形的刚度，都可以写成： 刚度 = 材料的物理常数×截面的几何性质 1)物理常数： 某种变形引起的正应力：抗拉（压）弹性模量E； 某种变形引起的剪应力：抗剪（扭）弹性模量G。 2)截面几何性质： 拉压和剪切：变形是截面的平移： 取截面面积 A； 扭转：各圆截面相对转动一角度或截面绕其形心转动： 取极惯性矩 I ； 梁弯曲：各截面绕轴转动一角度：取对轴的惯性矩 I Z 。
1 d2y ，一段长为 （x） dx 2
l 的纯弯曲梁有：

M l l x （x） EI z
补充与说明： 1、关于“拉伸与压缩” 指简单拉伸与简单压缩，即拉力或压力与杆的轴线重合；若外荷载作用线不与轴线重 合，就成为拉（压）与弯曲的组合变形问题；杆的压缩问题，要注意它的长细比
（柔度） 。
y 相等。
5
* QS z ( y) y ( y) b( y ) Iz
2 S ( y) ( R 2 y 2 ) 2 3
* z
3
4 Q y ( y) 2 3
y 2 2 1 R
max 平均
4
纯弯曲，在梁某段剪力 Q=0 时才发生，平面假设成立。 横力弯曲（剪切弯曲）可以视作剪切与纯弯曲的组合，因剪应力平行于截面，弯曲正应力 垂直于截面，两者正交无直接联系，所以由纯弯曲推导出的正应力公式可以在剪切弯曲中 使用。 5.关于横力弯曲时梁截面上剪应力的计算问题 为计算剪应力，作为初等理论的材料力学方法作了一些巧妙的假设和处理，在理解矩 形截面梁剪应力公式时，要注意以下几点： 1) 无论作用于梁上的是集中力还是分布力，在梁的宽度上都是均匀分布的。故剪应力在宽 度上不变，方向与荷载（剪力）平行。 2) 分析剪应力沿梁截面高度分布变化规律时，若仅在截面内，有 因
压应力 正应力 拉应力
线应变 应变：反映杆件的变形程度 角应变
变形基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 4. 物理关系、本构关系 虎克定律；剪切虎克定律：
Pl 拉压虎克定律：线段的拉伸或压缩。 E — — l EA 剪切虎克定律：两线段夹角的变化。 Gr
重庆大学材料力学复习（重点考点详解）
一. 材料力学的一些基本概念 1. 材料力学的任务： 解决安全可靠与经济适用的矛盾。 研究对象：杆件 强度：抵抗破坏的能力 刚度：抵抗变形的能力 稳定性：细长压杆不失稳。 2. 材料力学中的物性假设 连续性：物体内部的各物理量可用连续函数表示。 均匀性：构件内各处的力学性能相同。 各向同性：物体内各方向力学性能相同。 3. 材力与理力的关系, 内力、应力、位移、变形、应变的概念 材力与理力：平衡问题，两者相同； 理力：刚体，材力：变形体。 内力：附加内力。应指明作用位置、作用截面、作用方向、和符号规定。 应力：正应力、剪应力、一点处的应力。应了解作用截面、作用位置（点） 、作用 方向、和符号规定。

n
( h)bdh Q ，
(h)
的函数形式未知，无法积分。但由剪应力互等定理，考虑微梁段左、右内
力的平衡，可以得出：
* QSZ I zb
剪应力在横截面上沿高度的变化规律就体现在静矩
* * Sz 上， S z 总是正的。
剪应力公式及其假设： a.矩形截面 假设1：横截面上剪应力τ与矩形截面边界平行，与剪应力Q的方向一致； 假设2：横截面上同一层高上的剪应力相等。 剪应力公式：
dM d2y Q， EI 2 M， dx dx
EI d 3 y dM Q（x） dx dx 3
dQ q dx
EI d4y q（x） dx 4
有
设坐标原点在左端，则有：
q：
Q：
d4y EI 4 q ， dx
q 为常值
d3y EI 3 qx A dx
6
d2y q 2 M： EI 2 x Ax B 2 dx
这里的简单压缩是指“小柔度压缩问题” 。 2、关于“剪切” 实用性的强度计算法，作了剪应力在受剪截面上均匀分布的假设。要注意有不同的受 剪截面： a.单面受剪： 受剪面积是铆钉杆的横截面积； b.双面受剪： 受剪面积有两个：考虑整体结构，受剪面积为2倍销钉截面积；运用截面法，外力一分 为二，受剪面积为销钉截面积。 c.圆柱面受剪： 受剪面积以冲头直径d为直径，冲板厚度 t 为高的圆柱面面积。 3.关于扭转 表中公式只实用于圆形截面的直杆和空心圆轴。等直圆杆扭转的应力和变形计算公式 可近似分析螺旋弹簧的应力和变形问题是应用杆件基本变形理论解决实际问题的很好例 子。 4.关于纯弯曲
dy q x ： EI dx 6
3

A 2 x Bx C 2
y： EI y
q 4 A 3 B 2 x x x Cx D 24 6 2
其中A、B、C、D四个积分常数由边界条件确定。 例如，如图示悬臂梁：
则边界条件为：
Q |x 0 0 A 0 M |x 0 0 B 0 |x l 0 C y |x l 0 D q 3 l 6
* QS z ( y) ( y) Izb
，
b y 2 * 2 S（ （ ） y Z y） 2 2
max
b. 非矩形截面积 假设1： 同一层上的剪应力 力的方向。
3 Q 3 平均 2 bh 2

作用线通过这层两端边界的切线交点，剪应力的方向与剪
假设2：同一层上的剪应力在剪力Q方向上的分量 剪应力公式：
N A
Q A
max M T max Wp
Nl l EA
——
剪切
面积：A
圆轴扭转
极惯性矩
抗扭刚度
I p dA
2
GI P
抗弯刚度

MT l GI P
纯弯曲
惯性矩
I z y 2 dA
百度文库
EI Z
max
M max WZ
d2y M（x） 挠度y dy EI Z dx 2 转角 dx 1 M（x） （ EI Z
7
1) 2) 3) 4)
建立坐标，求约束反力； 划分内力方程区段； 依内力方程规律写出内力方程； 运用分布荷载q、剪力Q、弯矩M的关系作内力图；
d 2 M dQ dM q x ， Q x 2 dx dx dx 关系： Q Q d q x d x M M d Q x d x C D C c c D
规定：①荷载的符号规定：分布荷载集度 q 向上为正； ②坐标轴指向规定：梁左端为原点，x 轴向右为正。 剪力图和弯矩图的规定：剪力图的 Q 轴向上为正，弯矩图的 M 轴向下为正。 5) 作剪力图和弯矩图： ① 无分布荷载的梁段，剪力为常数，弯矩为斜直线；Q＞0，M图有正斜率（﹨） ；Q＜0，有 负斜率（／） ； ② 有分布荷载的梁段（设为常数） ，剪力图为一斜直线，弯矩图为抛物线；q＜0，Q图有负 斜率（﹨） ，M 图下凹（︶） ；q＞0，Q图有正斜率（／） ，M图上凸（︵） ； ③ Q=0的截面，弯矩可为极值； ④ 集中力作用处，剪力图有突变，突变值为集中力之值，此处弯矩图的斜率也突变，弯矩 图有尖角； ⑤ 集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变值为力偶之矩； ⑥ 在剪力为零，剪力改变符号，和集中力偶作用的截面（包括梁固定端截面） ，确定最大 弯矩（ M
q 4 l 8
q 4 ql 3 ql 4 EI y x x 24 6 8
y
x 0
ql 4 8 EI
截面法求内力方程： 内力是梁截面位置的函数，内力方程是分段函数，它们以集中力偶的作用点，分布的 起始、终止点为分段点； 1) 在集中力作用处，剪力发生突变，变化值即集中力值，而弯矩不变； 2) 在集中力偶作用处，剪力不变，弯矩发生突变，变化值即集中力偶值； 3) 剪力等于脱离梁段上外力的代数和。脱离体截面以外另一端，外力的符号同剪力符号 规定，其他外力与其同向则同号，反向则异号； 4) 弯矩等于脱离体上的外力、外力偶对截面形心截面形心的力矩的代数和。外力矩及外 力偶的符号依弯矩符号规则确定。 梁内力及内力图的解题步骤：
c.薄壁截面 假设1：剪应力 与边界平行，与剪应力谐调。 假设2：沿薄壁t， 均匀分布。 剪应力公式：
* QS z tI z
4 3
学会运用“剪应力流”概念确定截面上剪应力的方向。 三.梁的内力方程，内力图，挠度，转角 遵守材料力学中对剪力 Q 和弯矩 M 的符号规定。 在梁的横截面上，总是假定内力方向与规定方向一致，从统一的坐标原点出发 划分梁的区间，且把梁的坐标原点放在梁的左端（或右端） ，使后一段的弯矩方 程中总包括前面各段。 均布荷载 q、剪力Q、弯矩M、转角θ、挠度 y 间的关系： 由：
2
10 材料力学中引入和使用的的工程名称及其意义（概念） 1) 荷载：恒载、活载、分布荷载、体积力，面布力，线布力，集中力，集中力偶， 极限荷载。 2) 单元体，应力单元体，主应力单元体。 3) 名义剪应力，名义挤压力，单剪切，双剪切。 4) 自由扭转，约束扭转，抗扭截面模量，剪力流。 5) 纯弯曲， 平面弯曲， 中性层， 剪切中心 （弯曲中心） ， 主应力迹线,刚架， 跨度, 斜 弯曲，截面核心，折算弯矩，抗弯截面模量。 6) 相当应力，广义虎克定律，应力圆，极限应力圆。 7) 欧拉临界力，稳定性，压杆稳定性。 8)动荷载，交变应力，疲劳破坏。 二. 杆件四种基本变形的公式及应用 1. 四种基本变形： 基本变形 拉伸与压缩 截面几何 性质 面积：A 刚度 抗拉(压) 刚度 EA —— 应力公式 变形公式 备注 注意变截面及 变轴力的情况 实用计算法
适用条件：应力～应变是线性关系：材料比例极限以内。 5. 材料的力学性能（拉压） ： 一张σ-ε图，两个塑性指标δ、ψ ，三个应力特征点： p、 s、 b ，四个变化阶段： 弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。 拉压弹性模量E，剪切弹性模量G，泊松比v， G

E （ 2 1 V）
1
塑性材料与脆性材料的比较： 变形 塑性 脆性 材料流动、断裂变形明显 无流动、脆断 强度 拉压 s 的基本相同 仅适用承压 抗冲击 较好地承受冲击、振动 应力集中 不敏感 非常敏感
6. 安全系数、 许用应力、工作应力、应力集中系数 安全系数：大于1的系数，使用材料时确定安全性与经济性矛盾的关键。过小，使构 件安全性下降；过大，浪费材料。 许用应力：极限应力除以安全系数。 塑性材料
s
ns
0 s
b 脆性材料
nb
0 b
7. 材料力学的研究方法 1) 所用材料的力学性能：通过实验获得。 2) 对构件的力学要求：以实验为基础，运用力学及数学分析方法建立理论，预测理 论应用的未来状态。 3) 截面法：将内力转化成“外力” 。运用力学原理分析计算。 8.材料力学中的平面假设 寻找应力的分布规律，通过对变形实验的观察、分析、推论确定理论根据。 1) 拉（压）杆的平面假设 实验：横截面各点变形相同，则内力均匀分布，即应力处处相等。 2) 圆轴扭转的平面假设 实验：圆轴横截面始终保持平面，但刚性地绕轴线转过一个角度。横截面上正应力 为零。 3) 纯弯曲梁的平面假设 实验：梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁的纵向纤维；正应力成线性分 布规律。 9 小变形和叠加原理 小变形： ① 梁绕曲线的近似微分方程 ② 杆件变形前的平衡 ③ 切线位移近似表示曲线 ④ 力的独立作用原理 叠加原理： ① 叠加法求内力 ② 叠加法求变形。
3
3. 四种基本变形应力公式都可写成： 应力=
内力 截面几何性质
对扭转的最大应力：截面几何性质取抗扭截面模量 W p
I max
对弯曲的最大应力：截面几何性质取抗弯截面模量 W Z

IZ ymax
4. 四种基本变形的变形公式，都可写成：
内力 长度 变形= 刚度
因剪切变形为实用计算方法，不考虑计算变形。 弯曲变形的曲率