高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结
一.直线部分
1．直线的倾斜角与斜率：
（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.
（2）直线的斜率：
α
tan ),(211
21
2=≠--=
k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y .
2．直线方程的五种形式：
（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．
注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0
x x =．
（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式：121
121x x x x y y y y --=
-- (12y y ≠，12
x x ≠).
注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；
② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．
（4）截距式：1=+b y
a x （
b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．
注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．
（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．
一般式化为斜截式：
B C x B A y -
-
=，即，直线的斜率：
B A
k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0
x ，常设其方程为
x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．
已知直线过点
00(,)
x y ，常设其方程为
00
()y k x x y =-+或
x x =．
（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直
线一般不重合．
3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
（1）直线在两坐标轴上的截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若
111
:l y k x b =+，
222
:l y k x b =+，有
① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121
l l k k ⊥⇔=-.
（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有
① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且； ② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．
5．平面两点距离公式： （1）已知两点坐标
111(,)
P x y 、
222(,)
P x y ，则两点间距离2
2122121)()(y y x x P P -+-=．
（2）x 轴上两点间距离：
A
B x x AB -=．
（3）线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+=+=222
10210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：
点
)
,(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：
2
200B A C
By Ax d +++=
．
7．两平行直线间的距离公式：
两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：的距离：222
1B A C C d +-=
．
8．直线系方程： （1）平行直线系方程：
① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程． ② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10
Ax By C ++=．
③ 过点
00(,)
P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：
00()()0
A x x
B y y -+-=．
（2）垂直直线系方程：
① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10
Bx Ay C -+=．
② 过点
00(,)
P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：
00()()0
B x x A y y ---=．
（3）定点直线系方程：
① 经过定点000(,)
P x y 的直线系方程为
00()
y y k x x -=-(除直线
x x =),其中k 是待定的
系数．
② 经过定点
000(,)P x y 的直线系方程为
00()()0
A x x
B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系
方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除开2l
)，其中λ是待定的系数．
9．两条曲线的交点坐标：
曲线1
:(,)0C f x y =与2
:(,)0
C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解．
10.平面和空间直线参数方程：
① 平面直线方程以向量形式给出：
n
b y n
a
x 2
1
--=
方向向量为()n n s 21，=→
下面推导参数方程：
⎪⎩⎪⎨⎧+=+===--t
n b y t
n a x t
n b y n
a x 2
1
2
1
则有令：
② 空间直线方程也以向量形式给出： n
b z n
b y n
a
x 3
2
1
---==
方向向量为()n n n s 321,，=→
下面推导参数方程：
⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧+=+=+===
=---t n c z t n b y t n a x t n
c z n
b y n
a x 3213
2
1
则有令：
注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。

二.圆部分
1．圆的方程：
（1）圆的标准方程：2
22)()(r b y a x =-+-（0>r ）．
（2）圆的一般方程：
)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ． （3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：
0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．
注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --
，F E D r 421
22-+=．
（2）一般方程的特点：
① 2x 和2
y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 042
2>-+F E D （3）二元二次方程
022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是： ① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 042
2>-+AF E D ．
2．圆的弦长的求法：
（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，
则：“半弦长2+弦心距2=半径2
”——2
22)2(r d l =+；
（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则
||1
1||1||2
2B A B A y y k x x k AB -+
=-+=
（其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解） 3．点与圆的位置关系： 点
)
,(00y x P 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
① P 在在圆外
2
2020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔．
② P 在在圆内2
2020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔．
③ P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔．
【P 到圆心距离
d =
4．直线与圆的位置关系：
直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
圆心到直线距离为d (2
2B A C Bb Aa d +++=
)，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一
元二次方程的判别式为∆．
0<∆⇔⇔>相离r d ； 0=∆⇔⇔=相切r d ；
0>∆⇔⇔<相交r d ．
5．两圆位置关系:
设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，
d
O O =21
条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；
无公切线
内含⇔⇔-<21r r d ；
条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；
条公切线
内切121⇔⇔-=r r d ； 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ．
6．圆系方程：
)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x （1）过直线0=++C By Ax l ：与圆C :
02
2=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数．
（2）过圆1C :011122=++++F y E x D y x 与圆2C :0
22222=++++F y E x D y x 的交点的圆系
方程：
0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数． 特别地，当1λ=-时，2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是
121212()()()0
D D x
E E y
F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的
直线．
7．圆的切线方程：
（1）过圆2
22r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．
（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ．
（3）当点
)
,(00y x P 在圆外时，可设切方程为
)
(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，
即r d =，求出k ；或利用0=∆，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线
x x =．
8. 圆的参数方程：
圆方程参数方程源于： 1cos sin 2
2
=+θθ
那么
1
)()2
2
2
2=+--R
b y R a x （
设：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧
==
--θθcos )sin )R
b y R
a x （（ 得：⎪⎩
⎪⎨⎧=
=
++θ
θcos sin R b y R a x
9．把两圆011122=++++F y E x D y x 与
022222=++++F y E x D y x 方程相减 即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 10．对称问题： （1）中心对称：
① 点关于点对称：点),(11y x A 关于)
,(00y x M 的对称点
)
2,2(1010y y x x A --．
② 直线关于点对称：
法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．
法2：求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程． （2）轴对称：
① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．
点 A A '、关于直线l 对称⎩
⎨⎧''⇔上中点在⊥l A A l A A ⎩⎨
⎧'-=⇔'方程中点坐标满足·l A A k k l A A 1
． ② 直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）
法1：若b a ,相交，求出交点坐标，并在直线a 上任取一点，求该点关于直线l 的对称点． 若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距离相等．
法2：求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程． （3）其他对称：
点(a,b)关于x 轴对称：(a,-b)； 关于y 轴对称：(-a,b)； 关于原点对称：(-a,-b)；
点(a,b)关于直线y=x 对称：(b,a)； 关于y=-x 对称：(-b,-a)； 关于y =x+m 对称：(b-m 、a+m)； 关于y=-x+m 对称：(-b+m 、-a+m).
11．若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是⎪
⎭⎫
⎝⎛++++33321321y y y x x x ，． 12．各种角的范围：
直线的倾斜角 ︒<≤︒1800α 两条相交直线的夹角 ︒≤<︒900α 两条异面线所成的角 ︒≤<︒900α
三.椭圆部分
1.椭圆定义：
① 到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线：即∣MO1∣+∣MO2∣=2a
② 或定义：任意一条线段，在线段中任取两点（不包括两端点），将线段两端点置于这两点处，用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。

③ 从椭圆定义出发得到一个基本结论：椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数2a 。

2.椭圆性质：
①由于椭圆上任意一点到两点距离之和为常数，所以从A 点向焦点引两条焦半径 ∣AO 1∣+∣AO 2∣=∣AO 2∣+∣O 2B ∣=2a 这是因为∣AO1∣=∣O2B ∣(由图形比较看出) ② 椭圆的标准方程：
12
2
22
=+
b
y a x
③ 椭圆参数方程：
从圆方程知：R y x 22
2=+ 圆方程参数方程源于： 1cos sin 22=+θθ 所以按上面逻辑将椭圆方程
12
2
2
2=+b
y a x 视为
设 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==θθcos sin R
y R x
得：⎪⎩⎪⎨
⎧==θθcos sin R R y x 同理椭圆参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==θθcos sin b
y a x
得：⎪⎩⎪⎨
⎧==θ
θ
cos sin b a y x
④由于两个焦半径和为2a
所以⎪⎩
⎪⎨
⎧
==+C O C O a
C O C O 21212 得：
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
====c
C O b C O a
C
O C O 2
1
得：b
a c
c b a 2
2
222
-=
+=
⑤ 椭圆离心率，来源于圆的定义：
圆实际上是一种特殊的椭圆，而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了。

椭圆离心率为 a
c e =
四.双曲线部分
1.双曲线定义：到两定点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形，即：
a 21
2
=-
MO
MO
① 双曲线的标准方程：
12
2
2
2=-
b
y a
x
② 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的绝对值为常数2a.
a
AB AQ
BQ
AB
AQ
AQ
a AB AQ AQ 221
2
1
21
2
==
-
+
=
-
==-∴
③ 双曲线的渐近线： 由标准方程知：()a x a
b y a x a b y 2
2
2
2
2
2
2
-=⇒-=
程。

以上为渐近线的推导过为渐近线，另一条为又x
a
b
y x a
b y
x a
b x a
b a x a
b y
-==
=
<
-=
∴2
2
2
若标准方程为 122
22
=-a x b y ，那么这时
x
a
b y y b
a y b
a b y b a x =⇒=
<
-=
2
2
2
注意y 下面对应b ，x 下面对应a.
④ 取x=a 及x=-a 两条直线，它们与渐近线的两个焦点的连线和y 轴的交点称为虚焦点，
该轴称为虚轴。

⑤ 推导a 、b 、c 之间的关系：
设双曲线上任意一点坐标M （x ，y ）
1
2
2
2
2
2
2
22
21
2
2
21
2
22
2)()()()(=--=+-
+=
-
+=+
=+-+-a
c y
a x a
y c x y c x MO
MO
y c x MO y
c x MO 经化简得：
设：12
2
2
2
2
2
2
=-⇒=-b
y
a x
b a
c 双曲线标准方程为：
从而得到:
b a c
2
22
+=
五. 抛物线部分
1. 定义：到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线。

为了推导抛物线标准式，设：定直线为x=-p ，定点为O 1（p ，0）， （尽管这是一种特殊情况，但同样具有一般性） ① 设：抛物线上任意一点坐标为M(x ，y) M 点到定直线x=-p 的距离为
p
x +
M 点到定点O 1（p ，0）的距离为
y
p x 2
2
)
(+
-
px
y y
px p
x px p x y
p x p
x 422)(2
2
2
2
2
2
2
2=+-+
=
++
⇒
+
=
∴-+
② 很显然与以前学习的二次函数是一致的，只不过这里自变量变成y ，函数变成x ；而二次函数自变量是x ，函数是y ，因而二次函数也是抛物线，同样具有抛物线的性质。

如下：)0(2
≠++=a c bx x a
y
韦达定理：⑴ . ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
=•-=+a c x x a b x x 2121
⑵. 顶点坐标 )(4422
a b ac
a b --，，推导采用配方法： a b ac a
b x a
c a
b a
b x a b x a y 4422222222-+⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⑶ 求根公式：a
ac b b x 24221-±-=， 从而零点坐标为
()()0021
，、，x x 。

③ 平移 。

位，向右移动一个单位即图像想上移动一个单，及如何为零，不难看出和同样看、单位，即图像向左移动一个如何为零，不难看出同样看、即向下移动一个单位。

时，只有在难看出怎么样才可等于零，不如何平移呢？那就要看、例如：11)1()1()1(2)1(1)1()1(2101)1(2)1(222
22c b ,a =====-===-----+++++x y x y x p y x x x p y y y y px y 注意，平移部分需要自己琢磨，根据上面三个例子.。