信号与系统引论第二章
信号与系统课件第二章解读
8.1 Z变换的定义
fs (t) f (t) T (t) f (t) (t kT)
k
Fs (s)
f (t ) (t kT )estdt
k
f (kT )eskT
k
引入一个新的复变量z，令z esT或s 1 ln z T
则上式变为F (z) f (k )zk k
当 1时，级数收敛， 1时，级数发散， 1不定
8.1 Z变换的定义
3、有限长序列的收敛域
f (k) f (k) 0
k1 k k2 其它
k2
F (z) f (k )zk k k1
为有限项之和，最小收敛域为0 z
若k1 0, k2 0则存在负幂项，z 0 若k1 0, k2 0则只有正幂项，z 0,不含z , 0 z
Z[u(k)]
1 1 z1
z
z 1
即u(k) z z 1 z1
z 1
8.2 常用序列的Z变换
例3、求指数序列a k u(k )的z变换
解：Z[aku(k )] ak zk ( a )k
k0
k0 z
当 a 1即 z | a | 时，有 z
Z[aku(k)] 1 z 1 a za z
因为 a 1 ，所以 a z a1，则 f k 的双边Z变换存在
F z
z za
z z a1
z2
a a1 a a1
z z1
a z a1
若 a 1 ,则由于左边序列与右边序列的Z变换没有公共的收 敛域，此时该序列不存在双边Z变换。
8.3 Z变换的性质
1、线性性质
if
f1(k) F1(z) f2 (k) F2 (z)
| z || a |,
信号与系统引论第二章
13 页
系统的特征方程为: 3 7 2 16 12 0 特征根
22 3 0 1 2重根 , 2 3
因而对应的齐次解为 rh t A1t A2 e 2 t A3e 3 t
第
例4
d r t d r t d et 给定微分方程式 2 3r t et 2 dt dt dt 1 et t 2 ; 2 et et , 分别求两种情况下此 如果已知： 方程的特解。
1．电容电压的突变
iC (t ) C
第
22 页
由伏安关系 1 t vC ( t ) iC ( ) d v ( t ) C C 1 0 1 0 1 t iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0 当有冲激电流 1 0 令t 0 , vC (0 ) vC (0 ) iC ( ) d 0 或阶跃电压作 C 0 用于电容时： 如果i c ( t )为有限值 0 vC ( 0 ) vC ( 0 ) i ( ) d 0 , 此时v (0 ) v (0 )
Be t
B1 cos t B2 sin t
p p 1 1 2
B t B t cos t D t D t
p 1 2
B p t B p 1 e t cos t D p t D p 1 e t sin t
vC 0 vC 0 , i L 0 i L 0 . •但是当有冲激电流(或阶跃电压）强迫作用于电容或有 冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感， 0 到0 状 态就会发生跳变。 •当系统用微分方程表示时，系统从 0 到 0 状态有 没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 t 及 其各阶导数项。
信号与系统 第二章习题 王老师经典解法(青岛大学)小白发布
2-16 已知 f1 (t ) =
画出下列各卷积的波形。 （1） s1 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （2） s2 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （3） s3 (t ) = f1 (t ) ∗ f 3 (t ) 。
2-17 求题图 2-17 所示电路在 e(t ) = (1 + 2e
第二章
连续时间系统的时域分析
2-1 电路如题图 2-1 所示，列写求 vo (t ) 的微分 方程。
L1 1H R1 2Ω + e(t) i 1 (t )
R2 1Ω + L2 2H 题图 2-1
C
1F
i 2 (t )
vo(t)
2-2 电路如题图 2-2 所示， 列写求 i2 (t ) 的微分方 程。
题图 2-18
−2 t
− 1)U (t ) ， 试利用卷积的性质求题
1 0 -1
e2(t)=tU(t) 1 t 0
e3(t)
t 0 1
2-19 一线性时不变的连续时间系统，其初始状态一定，当输入 e1 (t ) = δ (t ) 时，其全响应
r1 (t ) = −3e − tU (t ) ； 当 输 入 e2 (t ) = U (t ) 时 ， 其 全 响 应 r2 (t ) = (1 − 5e − t )U (t ) 。 求 当 输 入 e(t ) = tU (t ) 时的全响应。
2-14 计算卷积 f (t ) = f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) ，其中 f1 (t ) = sgn(t − 1) ， f 2 (t ) = e 2-15 求下列卷积 （1） f1 (t ) = e
信号与系统 第二章
( x1 ( t ) + x2 ( t ))* h( t ) = x1 ( t )* h( t ) + x2 ( t )* h( t )
Application: Parallel system a common system Can break a complicated convolution into several simpler ones
Signals & Systems
Example 2.10
1 n x[n] = ( ) u[ n] + 2n u[− n] 2 h[n] = u[n]
Signals & Systems
2.3.3 The Associative Property
x[n]* ( h1 [n]* h2 [n]) = ( x[n]* h1 [n])* h2 [n] x ( t )*[h1 ( t )* h2 ( t )] = [ x ( t )* h1 ( t )]* h2 ( t )
1 h[n] = 0 n = 0,1 otherwise
Example 2.9
If the system is LTI,determine the relationship between input and output If the system is not LTI,determine the relationship between input and output
Signals & Systems
2.2 Continuous-Time LTI System: The Convolution Integral
2.2.1 The Representation ContinuousTime Signals In Term Of Impulse
信号与系统课后答案 第2章 习题解
第2章 习 题2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应（1）0)(2)(3)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt dy ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dtd y ；（3）0)(2)(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt dy ； （4）0)()(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy ； （5）0)()(2)(2233=++t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22===---y dt d y dt d y 。
（6）0)(4)(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy 。
解：（1）微分方程的特征方程为：2320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t th y t Ae Be --=+.由(0)3,(0)2dy y dt--==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85tty t e e--=-.（2）微分方程的特征方程为：240λ+=，解得特征根：1,22i λ=±.因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+.由(0)1,(0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1()cos(2)sin(2)2y t t t =+.（3）微分方程的特征方程为：2220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())th y t e A t B t -=+.由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.所以齐次方程的零输入响应为:()(cos()3sin())ty t e t t -=+.（4）微分方程的特征方程为：2210λλ++=，解得二重根:1,21λ=-.因此该方程的齐次解为：()()th y t At B e -=+. 由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,B A B =-=解得:3, 1.A B == 所以该方程的零输入响应为:()(31)ty t t e -=+.（5）微分方程的特征方程为：3220λλλ++=，解得特征根: 1,21λ=-,30λ=. 因此该方程的齐次解为：()()th y t A Bt C e -=++.由22(0)1,(0)1,(0)2d d y y y dx dt---===得:1,1,22A C B C C B +=-=-=. 解得:5,3,4A B C ==-=-.所以方程的零输入响应为:()5(34)ty t t e -=-+.（6）微分方程的特征方程为：240λλ+=，解得特征根:120,4λλ==-. 因此该方程的齐次解为：4()th y t A Be -=+.由(0)1,(0)2d y y dx --==得:1,42A B B +=-=.解得:31,22A B ==-. 所以此齐次方程的零输入响应为:431()22ty t e -=-.2-2 已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。
《信号与系统》第二章总结
其中rzsh (t )和rzsp (t )分别为如下方程的齐次解和特解 zsp d n rzs (t ) d n −1rzs (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 zs + Cn rzs (t ) dt n dt n −1 dt d m e(t ) d m −1e(t ) de(t ) = E + E1 + L + Em −1 + Em e(t ), m −1 0 dt m dt dt (k ) rzs (0− ) = 0
则h(t )为t ≥ 0+时满足起始态为零的微分齐次方程的解
n α t 当n > m时，h(t ) = ∑ Ak e k u (t ) k =1 （设特征方程的根为n个单根α k）
当n ≤ m时，h(t )还须含δ ( m − n ) (t )、δ ( m − n −1) (t )、 、δ (t ), L 而各项系数由Em决定
•连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解 求解系 求解 统的微分 微分、积分方程 方程。 微分 方程 •连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn r (t ) n n −1 dt dt dt d m e (t ) d m −1e(t ) de(t ) = E0 + E1 + L + Em −1 + Em e(t ) m m −1 dt dt dt
信号与系统第二章ppt课件
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
信号与系统第四版第二章
该过程可借助数学描述
第 2章 连续系统时域分析
分析
中的 表示 到
在
中
章 连续系统时域分析
数学描述
设 则 代入方程 得出 即 即
所以得
第 2章 连续系统时域分析
例2-3-3
代入微分方程， 得 （1）将e(t)代入微分方程，t≥0得 ） 代入微分方程
iL(0+ ) ≠ iL(0− )
第 2章 连续系统时域分析
例2-3-2
第 2章 连续系统时域分析
三．冲激函数匹配法确定初始条件
配平的原理： 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的 及各阶 导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件， 导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件， 可以不管其他项） 可以不管其他项） 例：
第 2章 连续系统时域分析
(3)
换路前
第 2章 连续系统时域分析
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 因而有
第 2章 连续系统时域分析
(4)
求得 要求的完全响应为
第 2章 连续系统时域分析
几种典型激励函数相应的特解
激励函数e(t) 激励函数 响应函数r(t)的特解 响应函数 的特解
第 2章 连续系统时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析 §2.1 引言 系统数学模型的时域表示
时域分析方法:不涉及任何变换， 时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统 的微分、积分方程式，这种方法比较直观， 的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概 念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。 念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。
信号与系统第二章习题答案
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
h (t ) = C1e −2t + C2 e t ε (t )
对上式求一阶、二阶导数，得
(
)
h ' (t ) = − 2C1e −2t + C 2e t ε (t ) + C1e −2t + C2 e t δ (t )
(
)
(
t
)
h '' (t ) = 4C1e −2 t + C2 e t ε (t ) + − 2C1e −2t + C 2e t δ (t ) + − 2C1e − 2t
d 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) di 2 (t ) = 4 + 6 + 2 dt 2 dt 2 dt dt
将⑴式、⑸式代入⑽式中，得到：
⑾
对⑾式求导，得到：
⑿
再将⑴式代入⑿式中，得到 i1 (t ) 的微分方程为：
64
d 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) = 4 + 6 + 4i1 (t ) dt 2 dt 2 dt
⑼
再将⑴式代入⑼式中，得到 i 2 (t ) 的微分方程为：
2
d 2i 2 (t ) di 2 (t ) de(t ) + 3 + 2i 2 (t ) = 2 dt dt dt
⑽
对⑹式求一阶导，得到：
di (t ) di (t ) du (t ) de(t ) = 4 1 +2 2 + c dt dt dt dt di (t ) de(t ) = 4 1 + 6i1 (t ) + 2i2 (t ) dt dt
《信号与系统》第二章讲
第二章 连续时间系统的时域分析2.1 系统模型为便于对系统进行分析，需要建立系统的模型，在模型的基础上可以运用数学工具对系统进行研究。
一. 模型：模型是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。
由电路图可列出方程：dt t de C t i dt t di RC dtt i d LC t e t Ri dt t di L dt t i Ct)()()()()()()()(122=++=++⎰∞-即：这就是系统的数学模型。
二. 系统模型的建立是有一定条件的：1. 对于同一物理系统在不同条件之下，可以得到不同形式的数学模型。
（参考书中P29）2. 对于不同的物理系统，经过抽象和近似有可能得到形式上完全相同的数学模型。
（参考书中P29）建立系统模型只是进行系统分析工作的第一步，为求得给定激励条件下系统的响应，还应当知道激励接入瞬间系统内部的能量储存情况。
如果系统数学模型、起始状态以及输入激励信号都已确定，即可运用数学方法求解其响应。
一般情况下我们对所求得结果可以作出物理解释赋予物理意义。
综上所述，系统分析的过程，是从实际物理问题抽象为数学模型，经过数学解释后再回到物理实际的过程。
也即：建立数学模型解数学模型对解加于物理解释三. 时域分析方法时域分析：在分析过程中，所涉及到的函数都是时间的函数。
（1）经典方法：求解微分方程（2）卷积积分法（重点内容）2.2 线性时不变系统微分方程的建立分析对象：线性的、时不变系统（非时变系统）教学目标：熟练掌握建立线性系统的微分方程的方法。
重点：电路系统建立微分方程的基本依据。
难点：用网孔电流法及节点电位法列状态方程。
一.一. 电路系统建立微分方程的基本依据1.元件特性约束（电路元件的伏安特性）（1）电阻器：-R由欧姆定律：)( )()(1)(tiRtutuRtiRRRR⋅==或若电阻特性参数与时间无关，即R与流过电阻器的电流或施加的电压大小无关，则此电阻称为时不变电阻或线性电阻。
信号与系统(郑君里)课后答案 第二章习题解答
( p + 5) h(t ) = 1 δ (t ) + 2δ (t )
p +1
3
⇒
h(t) =
1⋅ p+5
1δ p +1
(t ) +
2δ p+5
(t) =
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
−1 4+
p+5
1⎞
4 p +1
⎟ ⎟δ ⎟
(t ) +
2δ p+5
(t)
⎝
⎠
⇒
h(t)
=
⎛ ⎜⎝
7 4
e−5t
+
1 4
e−t
⎞ ⎟⎠
卷积的微分与积分；与冲激函数或阶跃函数的卷积）对表达式进一步的化简，甚至直接得到
结果。
解题过程：
（1） f (t ) = u (t ) − u (t −1) = u (t )∗ ⎡⎣δ (t ) − δ (t −1)⎤⎦
∴s (t ) = f (t ) ∗ f (t ) = u (t ) ∗ ⎡⎣δ (t ) −δ (t −1)⎤⎦ ∗u (t )∗ ⎡⎣δ (t ) − δ (t −1)⎤⎦ = ⎡⎣u (t ) ∗u (t )⎤⎦ ∗ ⎡⎣δ (t ) − 2δ (t −1) + δ (t − 2)⎤⎦ = tu (t ) ∗ ⎡⎣δ (t ) − 2δ (t −1) + δ (t − 2)⎤⎦ = tu (t ) − 2(t −1)u (t −1) + (t − 2)u (t − 2)
⎞ ⎟⎠
u
(t)
受迫响应： 3 u (t )
2 综观以上两种方法可发现 p 算子法更简洁，准确性也更高
信号与系统引论笔记
信号与系统引论笔记
第一章信号与系统概述
1. 信号的定义：信号是传递信息的一种物理量。
2. 信号的分类：确定信号与随机信号、连续信号与离散信号。
3. 系统的定义：系统是对输入信号进行特定处理并产生输出信号的实体或描述。
4. 系统的分类：线性时不变系统、线性时变系统、非线性系统。
第二章信号的基本特性
1. 周期信号：具有固定周期的信号。
2. 非周期信号：不具有固定周期的信号。
3. 能量信号与功率信号：能量信号的能量有限，功率信号的能量无限。
4. 信号的频域表示：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换。
第三章系统分析方法
1. 系统的时域分析：系统的微分方程和差分方程表示。
2. 系统的频域分析：系统的频率响应。
3. 系统的复频域分析：系统的传递函数和系统的极点、零点分析。
4. 系统的状态变量分析：系统的状态方程和输出方程。
第四章线性时不变系统
1. LTI系统的定义：线性时不变系统，即满足叠加性和均匀性的系统。
2. LTI系统的特性：系统的冲激响应和系统的传递函数。
3. LTI系统的稳定性：通过系统的极点判断系统的稳定性。
4. LTI系统的频域表示：通过傅里叶变换分析LTI系统的频率响应。
第五章信号的分解
1. 信号的正交分解：将信号表示为多个正交分量之和。
2. 信号的能量谱与功率谱：描述信号能量的分布。
3. 信号的滤波：通过系统对信号进行滤波，实现信号的频域选择性处理。
信号与系统第二章 总结
第二章 总结一﹑LTI 连续系统响应（一）微分方程经典解法= 解开方式：全解y （t ）=通解）（特解）（t y t y p n + 1﹑通解（齐次解）：令右侧为零由特征方程n a +n λ1-n a +1-n λ…+0a a 01=+λ确定通解形式，再由n 个+0初始条件确定系数。
总结：齐次解模式由系统决定，系数由n 个初始条件决定，有时与f （t ）有关。
2﹑特解：函数形式与f （t ）有关，根据f （t ）形式选择特定形式后，代入原微分方程，球的系数。
3﹑全解：） y （t ）=）（）（t y t y p n + 响应。
）又称强迫响应或受迫（响应；）又称自由响应或固有（t y t y p n (二)初始条件与-00+（1）经典系统的响应应限于到正无穷范围。
+0（2）不能将{）（-n 0y }作为微分方程初始条件。
（3）{）（+0y n }由{）（-n 0y }导出，{）（+0y n }又称导出初始条件。
（三）零输入响应与零状态响应y （t ）=）（）（t y t y zs zi + 定义求解：（1）求解zi y ：微分方程→特征方程→特征根→zi y （t ）模式→数由{）（-n 0y }确定。
（2））（t y zs 求解：经典法﹑卷积积分法。
二﹑卷积积分卷积积分及其图解计算（1）定义： （2）图解计算：∑=n 1i i i t y a ）（）（∑=m 1j j j t f b ）（）（()()()τττd 21⎰∞∞--=t f f t f ττ ),()(.111积分变量改为f t f →)()()()(.22222τττ-−−→−-−−→−→t f f f t f 平移翻转τττd )(.)(.321-⎰∞∞-t f f 乘积的积分：总结：翻卷（翻转+平移）→乘积→积分三﹑卷积的性质：（一）卷积的代数性质：（1） 交换性：（2） 分配性： （3） 结合律： (二)延时特性：卷积的延迟量等于相卷积的两函数卷积之和（三）函数与冲激函数卷积)()()(t f t t f =*δ卷积奇偶性：同偶异奇（四）卷积的导数与积分：1﹑卷积导数：[）（）（t f t f 21*]´=）（）（t f t f 21*´=）（）（，t f t f 21* 推广：）（）（）（）（）（）（t f t f t f t f n 2n 121-*=* 2、卷积积分）（）（）（）（）（）（t f dx x f dx x f t f dx x f x f 2t1t 212t1*=*=*⎰⎰⎰∞-∞-∞- 若y （t ）=）（）（t f t f 21*，则）（）（）（）（）（）（t f t f t y j -i 2j 1i *= （五）相关函数dt t f t f dt t f t )()()(f R 212-112∙+=-∙=⎰⎰∞∞-∞∞τττ）（）（ dt t f t f dt t f t )()()(-f R 212-121τττ+∙=∙=⎰⎰∞∞-∞∞）（）（ )-(R 2112ττR =）（ ）（）（ττ-R R 1221= 自相关函数：若）（）（）（t f t f t f 21==，则R （τ）称为自相关函数。
《信号与系统》第二章习题解答
yt xt ht
(b) If d y t dctontains only three
value of a?
discontinuities,what is the
Solution ：
yt
a
0 a 1 1+a t
5
Chapter 2
Problems Solution
2.11 Let xt ut 3 ut 5 ht e3tut
a
u0 tcostdt
cost
1
t0
b
5
0
sin2t t 3dt 0
c
5
5
u1 1
cos2
d
1 t
6 4
u1tcos2 1tdt
1cos2t 0 t 0
8
Chapter 2
Problems Solution
2.22a
xt ht
e e
tut
信号与系统第二章
信号与系统第二章
内容简介
本书是奥本海姆主编的《信号与系统》（第2版）的学习辅导书，主要包括以下内容：
（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。
本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。
因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。
（2）详解课后习题，巩固重点难点。
本书参考大量相关辅导资料，对奥本海姆主编的《信号与系统》（第2版）的课后习题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
（3）精编考研真题，培养解题思路。
本书从历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对之做了详尽的解析。
所选考研真题涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。
本书提供电子书及打印版，方便对照复习。
一、连续时间和离散时间信号
1连续时间信号和离散时间信号
（1）连续时间信号（图1-1（a））
①定义
连续时间信号是指自变量连续可变的信号，信号在自变量的连续值上
都有定义。
②表示方法
自变量用t表示，表示连续时间。
连续时间信号表示为x(t)。
（2）离散时间信号（图1-1（b））
①定义
离散时间信号自变量仅取在一组离散值的信号，信号仅定义在离散时刻点上。
②表示方法
自变量用n表示，表示离散时间。
离散时间信号表示为x[n]。
《信号与系统》总结：第二章1
四.电路元件的运算模型
元件名称
电路符号
时域
电路符号
频域
电路符号
复域
关系
运算模型
运算模型
运算模型
电阻
电容
电感
五.连续时间系统时域分析
1. 2.
高阶冲激信号
冲激偶信号
说明：1. 量纲是 2.强度 的单位是
3. 是奇函数
筛选特性
证明：对 两端微分
取样特性
证明：关键利用筛选特性展开
展缩特性
特别：
是奇函数
备注：1.Байду номын сангаас度变换：
三.卷积
连续时间信号
离散时间信号
卷积定义
交换率
分配率
结合率
奇异信号卷积特性
单位样值信号卷积特性
单位元特性
延时特性
积分特性
第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析
一．普通信号
普通信号
，
直流信号
实指数信号
时间常数：
虚指数信号
正弦信号
复指数信号
二、冲激信号
冲激信号
是偶函数
筛选特性
特别：
取样特性
特别：
展缩特性
证明：1. 2. 3.
阶跃信号
处可以定义为 (个别点数值差别不会导致能量的改变)
性质
1. 2.
斜坡信号
性质
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§2.4 起始点的跳变
•电容电压的突变 •电感电流的突变
•奇异函数平衡法确定初始条件
一．起始点的跳变
0 0
O
第
20 页
t 0
t
0 状态、起始状态
2 n 1 d r 0 d r 0 d r 0 k r 0 r 0 , , , 2 n 1 d t d t d t 2 n 1 d r 0 d r 0 d r 0 k r 0 r 0 , , , 2 n 1 dt dt dt
13 页
系统的特征方程为: 3 7 2 16 12 0 特征根
22 3 0 1 2重根 , 2 3
因而对应的齐次解为 rh t A1t A2 e 2 t A3e 3 t
第
例4
d r t d r t d et 给定微分方程式 2 3r t et 2 dt dt dt 1 et t 2 ; 2 et et , 分别求两种情况下此 如果已知： 方程的特解。
第
例2
机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧
9 页
k
m
f
Fs
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩 擦力为 f，外加牵引力为 FS t ，其外加牵引力FS t 与 刚体运动速度 v t 间的关系可以推导出为 d FS t d 2 v t d v t m f kv t 2 dt dt dt 这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方程表示。
§2.1 引言
第 3 页
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求 解系统的微分、积分方程式，这种方法比较 直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换 域方法的基础。
系统分析过程
列写方程 : 根据元件约束 ,网络拓扑约束 经典法 零输入 : 可利用经典法求 解方程双零法 零状态 : 利用卷积积分法求解 变换域法
vC 0 vC 0 , i L 0 i L 0 . •但是当有冲激电流(或阶跃电压）强迫作用于电容或有 冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感， 0 到0 状 态就会发生跳变。 •当系统用微分方程表示时，系统从 0 到 0 状态有 没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 t 及 其各阶导数项。
例1
求并联电路的端电压 v t 与激励 i s t 间的关系。
a
第 8 页
1 电阻 iR t v t R 1 t 电感 i L t v d i t L s d v t 电容 iC t C dt
i R
R
i
L C
i
c
L
v t b
根据KCL
i R t i L t iC t iS t
代入上面元件伏安关系，并化简有 d iS t d 2 v t 1 d v t 1 C v t 2 dt R dt L dt 这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
2
14 页
1
将et t 2代入方程右端 , 得到 t 2 2t , 为使等式两端 平衡，试选特解函数式
rp t B1t 2 B2 t B3
这里 , B1 , B2 , B3为待定系数。 将此式代入方程得到
3 B1t 2 4 B1 3 B2 t 2 B1 2 B2 3 B3 t 2 2t
10 页
若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。
第
11 页
§2.3 用时域经典法 求解微分方程
复习求解系统微分方程的经典法
第
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
kt A e k 注意重根情况处理方法。
k 1 n
12 页
特
解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
d r ( 0) d 2 r ( 0) d n 1 r ( 0) r ( 0) , , , , 2 dt dt d t n 1
如果响应在0时刻有跳变，则用 t 0 作为初始 2 n 1 条件： d r ( 0 ) d r ( 0 ) d r ( 0 ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n 1
第
16 页
d 2 r t d r t d et (2) (原方程： 2 2 3r t et dt dt dt
）
当et e t时, 很明显, 可选r t Be t。 这里，B是待定系数。 代入方程后有：
Be 2 Be 3 Be e e
i L (0 ) i L (0 )
第
二．奇异函数平衡法确定初始条件
24 页
配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t) 及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论 初始条件，可以不管其他项） 例：
d r t 3r t 3 t 已知r 0 , 求r 0 dt
p 1
系统的完全响应 求出齐次解rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解 :
r t Ai e
i 1 n
第
18 页
it
rp t
利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应 的求解区间定为 t 0 ,如果响应在0时刻没有跳变，通 常取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。
如果i c ( t )为 t 1 0 1 1 i ( ) d ， 此时vC (0 ) vC (0 ) C 0 C C C
0 C
C
C
第
2．电感电流的突变
1 t i L ( t ) v L ( ) d L 1 0 i L (0 ) i L (0 ) v L ( ) d L 0
0 状态、初始条件、 导出的起始状态
我们来进一步讨论
vC (0 ) vC (0 ) i L ( 0 ) i L ( 0 )
的条件。
第
说明
21 页
•对于一个具体的电网络，系统的 0 状态就是系统中 储能元件的储能情况; •一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
分析
d r t 3r t 3 t 已知r 0 , 求r 0 dt
i L (t )
23 页
L
v L (t )
如果 v L (t )为有限值，
0
0
v L ( ) d 0 ，此时i L (0 ) i L (0 )
冲激电压或阶 跃电流作用于 电感时：
如果v L (t )为 (t ) ，
1 0 1 v L ( ) d , L 0 L 此时i L 0 i L 0
第二章 连续时间系统的时域分析
第
第2章 连续时间系统的时域分析
2.1 引言2.2 系统数学模型(微分方程)的建立2.3 用时域经典法求解微分方程2.4 起始点的跳变——从0－到0+状态的转换2.5 零输入响应与零状态响应-
2 页
2.6 冲激响应与阶跃响应2.7 卷积2.8 卷积的性质2.9 利用卷积分析通信系统多径失真的消除方法 2.10 用算子符号表示微分方程
Be t
B1 cos t B2 sin t
p s t D t D t
p 1 2
B p t B p 1 e t cos t D p t D p 1 e t sin t
1．电容电压的突变
iC (t ) C
第
22 页
由伏安关系 1 t vC ( t ) iC ( ) d v ( t ) C C 1 0 1 0 1 t iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0 当有冲激电流 1 0 令t 0 , vC (0 ) vC (0 ) iC ( ) d 0 或阶跃电压作 C 0 用于电容时： 如果i c ( t )为有限值 0 vC ( 0 ) vC ( 0 ) i ( ) d 0 , 此时v (0 ) v (0 )
第
15 页
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
3 B1 1 4 B1 3 B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
联解得到
1 2 10 B1 , B2 , B3 3 9 27
所以，特解为
1 2 2 10 rp t t t 3 9 27
第 4 页
经典法:关键是初始条件的确定；难点是利用 (t)函数确定激励引起起始条件的跳变； 卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过 冲激响应来求。(新方法) yzs t f t ht
本章主要内容
•线性系统完全响应的求解； •冲激响应h(t)的求解； •卷积的图解说明； •卷积的性质； •零状态响应： yzs t f t ht 。
全
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应 为 t 0时的方程的解，初始条件 2 n 1 d r ( 0 ) d r ( 0 ) d r ( 0 ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n 1