2018届高三·十四校联考 第一次考试

2018届高三·十四校联考 第一次考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()234i z i -=-+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．2i + D ．2i --2.已知全集为R ，集合{}21xA x =≥，{}2320B x x x =-+<，则R A B =ð（ ） A ．{}0x x ≤ B ．{}012x x x ≤≤≥或 C ．{}12x x << D ．{}012x x x ≤<>或3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”“0”“1”“8”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．144.若双曲线22131x y m m +=--的焦距为4，则m 等于（ ） A ．0或4 B ．4 C.12- D ．05.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若945S =，3812a a +=，则7a 等于（ ） A ．10 B ．9 C.8 D ．76.执行如图所示的程序框图，则其输出的结果是（ ）A ．2047B ．1025 C.1023 D ．5117.已知函数()f x 为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()f x =，且()1f x +为奇函数，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．12- C.2- D ．28.已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．38cm 3B ．34cm C.320cm 3 D ．316cm 39.若01a b <<<，b m a =，an b =，log b p a =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系正确的是（ ）A ．n m p <<B ．m n p << C.p m n << D ．p n m <<10.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，已知12,,2x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）A ．1-B ．2- C.1 D ．211.若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数()sin cos g x a x x x =-的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A．⎤⎥⎣⎦ B．1⎡-⎢⎣⎦C.21⎛⎡⎤--∞+∞ ⎢⎥ ⎝⎦⎣⎦， D ．(][),11,-∞-+∞12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN △与OAB△的面积分别记为OMN S △，OAB S △.则在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值为14-； ②OAB △的面积OAB S △是定值1；③线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB +是定值5； ④设OMNOABS S λ=△△，则2λ≥. A ．4个 B ．3个 C.2个 D ．1个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,2m =-，(),4n x =，若m n ⊥，则2m n += ．14.已知a 为常数，且102a xdx =⎰，则6a x ⎫⎪⎭的二项展开式中的常数项为 ．15.已知x ，y 满足约束条件2010x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩，则3z x y =+的最大值是最小值的2-倍，则k = ．16.已知数列{}n a 满足：13a =，()()12312nn n a a n -=--≥.设{}tk a 是等差数列，数列{}()t k t N *∈是各项均为正整数的递增数列，若11k =，则32k k -= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数())1sin sin 2f x xx x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若()1f B =，2b =，且()()2cos cos 1b A a B -=+，求ABC △的面积.18.某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：（Ⅰ）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系.请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（Ⅱ）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13.现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望.参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-，71364i ii x y==∑.19. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC CB ===，60ABC ∠=，ACEF ABCD ⊥平面平面，四边形ACEF 是菱形，60CAF ∠=.（Ⅰ）求证：BF AE ⊥；（Ⅱ）求二面角B EF D --的平面角的正切值.20. 已知椭圆()222210x y E a b a b+=>>： 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆E 上. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点()11M ，任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A 、B 两点，l 与直线:34120m x y +-=交于C 点，记直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k 、3k .试探究12k k +与3k 的关系，并证明你的结论.21. 已知函数()()ln xe f x a x x x =+-（其中a R ∈且a 为常数，e 为自然对数的底数，2.71828e =）.（Ⅰ）若函数()f x 的极值点只有一个，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0a =时，若()f x kx m ≤+（其中0m >）恒成立，求()1k m +的最小值()h m 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为2344x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-.（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设1M 为曲线1C 上的点，2M 为曲线2C 上的点，求12M M 的最小值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤试卷答案一、选择题1-5:DBDAB 6-10:ACDBC 11、12：DA二、填空题13.10 14.15 15.1 16.1三、解答题17.【解析】（Ⅰ）函数的解析式可化为：()1cos 212222x f x x -=+-12cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 由22226263k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+，得函数()f x 的递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）因为()1f B =，即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22623B k B k πππππ-=+⇒=+， 因为B 是三角形的内角，所以3B π=，又因为()()2cos cos 1b A a B -=+，由正弦定理得()()sin 2cos sin cos 1B A A B -=+， 所以()2sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin B A A B A B A A B A C =++=++=+， 所以2b a c =+， 因为2b =，3B π=，由余弦定理得()22222234b a c ac b a c ac ac b =+-⇒=+-⇒==.所以，113sin 4sin 23223S ac B π====，故ABC △18.【解析】（Ⅰ）依题意：()1123456747x =++++++=， ()158810141517117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，7172217364741121407167i ii ii x y x yb xx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243a y bx =-=-⨯=，则y 关于x 的线性回归方程为23y x =+.（Ⅱ）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：()1110224P X ==⨯=，()1113002233P X ==⨯⨯=，()111156002332618P X ==⨯+⨯⨯=，()1119002369P X ==⨯⨯=，()11112006636P X ==⨯=.所以，总金额X 的分布列如下表：总金额X 的数学期望为030060090012004004318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. 19.【解析】（Ⅰ）依题意，在等腰梯形ABCD 中，AC =4AB =，∵2BC =，∴222AC BC AB +=即BC AC ⊥，∵ACEF ABCD ⊥平面平面，∴BC ACEF ⊥平面，而AE ACEF ⊆平面，∴AE BC ⊥.连接CF ，∵四边形ACEF 是菱形，∴AE FC ⊥， ∴AE BCF ⊥平面，∵BF BCF ⊆平面，∴BF AE ⊥.（Ⅱ）取EF 的中点M ，连接MC ，因为四边形ACEF 是菱形，且60CAF ∠=. 所以由平面几何易知MC AC ⊥，∵ACEFABCD ⊥平面平面，∴MC ABCD ⊥平面. 故此可以CA 、CB 、CM 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：()000C ，，，()0A ,，()020B ，，，)10D-,，()3E ,，)3F,.设平面BEF 和平面DEF 的法向量分别为()1111,,n a b c =，()2222,,n a b c =，∵()3,23BF =-，，()0EF=，.∴由111111111023002300BF n b c a b c EF n ⎧=-+==⎧⎪⇒⇒⎨⎨===⎩⎪⎪⎩⎩，令13b =，则()10,3,2n =， 同理，求得()20,3,1n =-. ∴1212cos 130n n n n θ==B EF D --的平面角的正切值为97.20.【解析】（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为a c +，a c -，所以依题意有：()32a c a c a c +=-⇒=，∵222a b c =+，∴b .故可设椭圆E 的方程为：2222143x y c c+=，因为点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆E 上，所以将其代入椭圆E 的方程得2229141143c c c +=⇒=.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，直线l 不可能与x 轴垂直，故可设直线l 的方程为：()11y k x -=-即1y kx k =-+，()11,A x y ，()22,B x y 为l 与椭圆E 的两个交点.将1y kx k =-+代入方程2234120x y +-=化简得：()()22224384880kx k k x k k +--+--=.所以21228843k k x x k -+=+，212248843k k x x k --=+.()()1212121212123311111112222221111211y y k x k x k k k k x x x x x x ------⎛⎫∴+=+=+=-+=- ⎪------⎝⎭()()()()221222212128824321163221254888843k k k x x k k x x x x k k k k k --++--=-=-++----++. 又由()134112034120y kx k x kx k x y =-+⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩ ，解得4843k x k +=+，9343k y k +=+， 即C 点的坐标为4893,4343k k C k k ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以3933634324810143k k k k k k +--+==+-+. 因此，12k k +与3k 的关系为：1232k k k +=.21.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0+∞，，其导数为()()'211x e x x f x a x x--=-= ()21x x e x x a x e -⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由()'01f x x =⇒=或xxa e =， 设()x x u x e =，∵()'1x x u x e-=，∴当()0,1x ∈时，()'0u x >；当()1,x ∈+∞时，()'0u x <.即()u x 在区间()0,1上递增，在区间()1+∞，上递减，∴()()1=1u x u e=极大，又当0x →时，()0u x →，当x →+∞时，()0u x →且()0u x >恒成立.所以，当0a ≤或1a e >时，方程x xa e=无根，函数()f x 只有1x =一个极值点. 当1a e =时，方程x x a e =的根也为1x =，此时()'f x 的因式0x x a e-≥恒成立，故函数()f x 只有1x =一个极值点. 当10a e <<时，方程x xa e=有两个根1x 、2x 且()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，∴函数()f x 在区间()10,x 单调递减；()1,1x 单调递增；()21,x 单调递减；()2,x +∞单调递增，此时函数()f x 有1x 、1、2x 三个极值点.综上所述，当0a ≤或1a e≥时，函数()f x 只有一个极值点. （Ⅱ）依题意得ln x x kx m -≤+，令()()ln 1x x k x m ϕ=-+-，则对()0,x ∀∈+∞，都有()0x ϕ≤成立.因为()()'11x k xϕ=-+，所以当10k +≤时，函数()x ϕ在()0,+∞上单调递增， 注意到()()10m m e k e ϕ=-+≥，∴若(),m x e ∈+∞，有()0x ϕ>成立，这与()0x ϕ≤恒成立矛盾；当10k +>时，因为()'x ϕ在()0,+∞上为减函数，且'101k ϕ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，所以函数()x ϕ在区间101k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递增，在1,1k ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减，∴()()1ln 111x k m k ϕϕ⎛⎫≤=-+--⎪+⎝⎭， 若对()0,x ∀∈+∞，都有()0x ϕ≤成立，则只需()ln 110k m -+--≤成立， ()1ln 111m k m k e --∴+≥--⇒+≥，当0m >时，则()1k m +的最小值()1m h m me --=，∵()()'11m h m e m --=-，∴函数()h m 在()0,1上递增，在()1+∞，上递减，∴()21h m e ≤，即()1k m +的最小值()h m 的最大值为21e； 综上所述，()1k m +的最小值()h m 的最大值为21e . 请考生在第（22）～（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【解析】（Ⅰ）∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩且222x y ρ=+，∴由21sin ρθ=-得sin 2sin 2ρρθρρθ-=⇒=+()222222sin 24444x y y y x y ρρθ⇒=+⇒+=++⇒=+，∴曲线2C 的直角坐标方程为244x y =+. （Ⅱ）设22,14x M x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上的任意一点， 由2344x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得2100x y --=，知曲线1C 为直线:2100l x y --=.设2M 到l 的距离为d，则()212145x M M d -+≥==≥（当且仅当4x =取“=”）， 故12M M23.【解析】（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()max 1f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =.（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a b a b ++≥+， 所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤（当且仅当1a b ==时取“=”）。