安徽省2017年中考数学总复习 第二轮 解答题专题学习突破 专题复习(十一)几何探究题 类型3

类型3 综合全等和相似三角形的几何探究题

9．(2016·赤峰)如图，正方形ABCD 的边长为3 cm ，P ，Q 分别从B ，A 出发沿BC ，AD 方向运动，P 点的运动速度是1 cm /s ，Q 点的运动速度是2 cm /s ，连接AP 并过点Q 作QE⊥AP，垂足为

E.

(1)求证：△ABP∽△QEA；

(2)当运动时间t 为何值时，△ABP ≌△QEA ；

(3)设△QEA 的面积为y ，用运动时间t 表示△QEA 的面积y(不要求考虑t 的取值范围)．

解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABP ＝∠BAD＝90°.

∴∠BAP ＋∠EAQ＝90°.

∵QE ⊥AP ，∴∠AEQ ＝90°.

∴∠EAQ ＋∠AQE＝90°.

∴∠ABP ＝∠AEQ＝90°，∠BAP ＝∠AQE.

∴△ABP ∽△QEA.

(2)当△ABP≌△QEA 时，AP ＝AQ.

由题意，得BP ＝t ，AQ ＝2t ，AB ＝3，

∴在Rt △ABP 中，AP 2＝AB 2＋BP 2＝9＋t 2.

∴9＋t 2＝(2t)2

，解得t 1 ＝3，t 2 ＝－3(舍去)．

故当t ＝3时，△ABP ≌△QEA.

(3)由(1)得，△ABP ∽△QEA ，∴S △QEA S △ABP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AQ AP 2，即y S △ABP ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫AQ AP 2. 又∵S △ABP ＝12BP·AB＝32

t ，AQ ＝2t ，AP 2＝9＋t 2， ∴y 3t 2＝4t 29＋t 2，解得y ＝6t 39＋t 2. 10．(2015·安徽)如图1，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG ，BG ，CG ，DG ，且∠AGD＝∠BGC.

(1)求证：AD ＝BC ；

(2)求证：△AGD∽△EGF；

(3)如图2，若AD ，BC 所在直线互相垂直，求AD EF

的值． 解：(1)证明：∵E 为AB 中点，GE ⊥AB ，

∴GE 是线段AB 的垂直平分线．∴AG＝GB.

同理可证GD ＝GC.

在△AGD 和△BGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝BG ，∠AGD ＝∠BGC，GD ＝GC ，

∴△AGD ≌△BGC(SAS )．

∴AD ＝BC.

(2)∵∠AGD＝∠BGC，

∴∠AGB ＝∠DGC.

∵AG ＝BG ，DG ＝CG ，且E ，F 分别为AB ，CD 中点，

∴∠AGE ＝12∠AGB，∠DGF ＝12

∠CGD. ∴∠AGE ＝∠DGF，易证Rt △AGE ∽Rt △DGF.

∴∠AGD ＝∠EGF，AG GE ＝GD GF

. ∴△AGD ∽△EGF.

(3)延长AD 交BC 延长线于点M.

∵AD ，BC 所在的直线互相垂直，

∴∠DAB ＋∠ABC＝90°，即∠DAB＋∠ABG＋∠GBC＝90°.

∵△AGD ≌△BGC ，∴∠GAD ＝∠GBC.

∴∠DAB ＋∠ABG＋∠GAD＝90°，即∠GAB＋∠GBA＝90°.

又∵∠GAB＝∠GBA，∴∠GAB ＝45°.

由(2)得△AGD∽△EGF，∴AD EF ＝GA GE ＝ 2. 11．(2013·安徽)我们把有不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”，如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”，其中∠B＝∠C.

(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABC D 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)；

(2)如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B ＝∠C，E 为边BC 上一点，若AB∥DE，AE ∥DC ，求证：AB DC ＝BE EC

； (3)在由不平行于BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E, 若EB ＝EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时(即图3所示情形)，四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论．(不必说明理由)

解：(1)如图所示．

(2)证明：∵AE∥CD，AB∥ED，

∴∠AEB ＝∠C，∠B ＝∠DEC.

∴△ABE ∽△DEC.

∴AE DC ＝BE EC .∵∠B＝∠C，∴∠AEB ＝∠B.

∴AB ＝AE.∴AB DC ＝BE EC

. (3)当点E 在四边形ABCD 内部时，四边形ABCD 是“准等腰梯形”．

理由：过点E 作EF⊥AB 于点F ，EG ⊥AD 于点G ，EH ⊥CD 于点H.

∵AE 平分∠BAD，∴EF ＝EG.

∵ED 平分∠ADC，

∴EG ＝EH.∴EF ＝EH.

∵EB ＝EC ，

∴Rt △BFE ≌Rt △CHE(HL )．

∴∠FBE ＝∠HCE.

∵EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB.

∴∠FBE ＋∠EBC＝∠HCE＋∠ECB，

即∠ABC＝∠DCB.

∵AD 不平行于BC ，

∴四边形ABCD 是“准等腰梯形”．

当点E 不在四边形ABCD 内部时，有两种情况：

①当点E 在边BC 上时，四边形ABCD 为“准等腰梯形”；

②当点E 在四边形ABCD 的外部时，四边形ABCD 为“准等腰梯形”．

12．(2016·合肥瑶海区模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD＝60°，AB ＋DC ＝BC.

(1)如图1，连接AC ，B D ，求证：AC ＝BD ；

(2)如图2，∠BAD 与∠ADC 的平分线相交于点E ，求∠E 的度数；

(3)如图3，若AB ＝6，CD ＝3，点P 为BC 上一点，且∠APD ＝60°，试判断△APD 的形状，并说明理由． 解：(1)证明：在CB 上取CE ＝CD ，连接DE ，AE.

∵AB ＋DC ＝BC ，∴AB ＝BE.

又∵∠ABC＝∠BCD＝60°，

∴△ABE 与△CDE 均为等边三角形．

∴AE ＝BE ，DE ＝CE.∴∠AEB ＝∠CED＝60°.

∴∠BED ＝∠AEC＝120°.

∴△BED ≌△AEC(SAS )．

∴AC ＝BD.

(2)在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C＝60°，

∴∠BAD ＋∠ADC＝240°.

∵AE ，DE 分别是∠BAD，∠ADC 的平分线，

∴∠EAD ＋∠EDA＝12

(∠BAD＋∠ADC)＝120°，故∠E＝60°. (3)∵∠APD＝60°，∴∠APB ＋∠CPD＝120°.∵∠BAP ＋∠APB ＝120°，∴∠BAP ＝∠CPD.

又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP ∽△PCD.

∴AB PC ＝BP CD ＝AP PD

. 又∵AB＝6，CD ＝3，BC ＝9，∴69－BP ＝BP 3

. ∴BP(9－BP)＝18.

解得(BP)1＝3，(BP)2＝6.

当(BP)1＝3时，AP PD

＝1，即AP ＝PD ，