第12章弯曲变形免费下载

§12-3
d 2 w M ( x) 2 d x EI
转角方程
积分法求弯曲变形
挠曲轴方程
dw M ( x) dx C dx EI
M ( x) w dxdx Cx D EI
C、D 为积分常数，由以下两类条件确定：
1.边界条件：梁截面的已知位移条件或位移约束条件。如： 固定端截面 w 0, 0 铰支座截面 w 0 弯曲变形对称截面 0 2.光滑连续条件：挠曲轴是一条光滑连续的曲线，任一截面 的挠度和转角只有一个确定的值。
qa 3l w1 B a 6 EI
2.将AB刚化，分析悬臂梁BC的变形。 C截面相应的挠度为
qa 4 w2 8EI
C截面的总挠度为
qa l qa qa wC w1 w2 (4l 3a) 6 EI 8EI 24 EI
3
4
3
例：悬臂梁在BC段作用集度为q 的均布载荷，设弯曲刚度 EI为常数。试用叠加法求自由端C 的挠度和转角。
1 ( x )
挠曲轴方程
w1 ( x )
1 bF 2 Fb 2 2 [ x (b l )] EI 2l 6l
1 bF 3 Fb 2 2 [ x (b l ) x ] EI 6l 6l
CB段（a ≤ x≤l） 转角方程
2 ( x)
挠曲轴方程
1 bF 2 F Fb 2 2 [ x ( x a )2 (b l )] EI 2l 2 6l
所以转角为零的点在AC 段
1 bF 2 Fb 2 2 1 ( x ) [ x (b l )] 0 EI 2l 6l
l 2 b2 x 3
wmax
l 2 b2 w( ) 3
3Fb ( l 2 b 2 )3 27 EI z l
§12-4
叠加法求弯曲变形
积分法：优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。但当只需确定 某些特定截面的转角和挠度，而并不需求出转角和挠度 的普遍方程时，积分法就显得过于累赘；另外，当梁上 同时作用多个荷载时，采用积分法需确定多个积分常数。 叠加法：梁在若干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下 的弯曲变形之叠加。 应用前提：（1）线弹性范围内的小变形； （2）内力、应力和变形与载荷成线性关系。 工 具：附录D 注 意： （1）当载荷方向与表中载荷方向相反时，则变形要变号； （2）转角函数可由挠度函数微分一次得到。
解得：
5ql FAy 8
求解静不定梁的关键是正确列出其相当系统的变形协调条件
例：悬臂梁承受集中载荷F 作用，因其刚度不够，用杆CB 加固。试计算梁AB 的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为l ，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为EI与EA，且A = 3I/l2。
解：将加固梁B 处的约束解除，用相应的约束力FR 代替
挠曲轴近似微分方程 d 2 w2 bF d 2 w1 bF EI x F ( x a) EI x 2 2 dx l dx l 转角方程 bF 2 F bF 2 2 EI ( x ) x ( x a ) C2 EI 1 ( x ) x C1 2 2l 2 2l 挠曲轴方程 bF 3 F bF 3 x ( x a )3 C 2 x D2 EIw1 ( x ) x C1 x D1 EIw2 ( x ) 6l 6 6l
1 bF 3 1 bF 3 F ( a C1a D1 ) w2 (a ) [ a (a a )3 C 2a D2 ] EI 6l EI 6l 6
Fb 2 2 C1 C 2 (b l ) 6l
解得：
D1 D2 0
⑷ AC段（0 ≤ x≤a）
转角方程
例：图示为一悬臂梁，EI=常数，在其自由端受一集中力F 的作用，试 求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。
解：(1)选取坐标系如图所示， 梁的弯矩方程为
M (x) F (l x )
⑵ 挠曲轴近似微分方程
d2w EI 2 F (l x) d x F 2 转角方程 EI ( x) x Flx C 2 F Fl 2 挠曲轴方程 EIw( x) x 3 x Cx D 6 2
相当系统 将多余约束用相应的多余约束力代替，得到的受力与原静不 定梁相同的梁，称为原静不定梁的相当系统。 求解静不定梁的步骤： 画出原静不定梁的相当系统 列出相当系统的变形协调条件 求出多余约束力 计算梁的内力、应力和变形等 相当系统
图示一度静不定梁，去掉B处可动铰链约束，得其相当系统
相当系统的变形协调条件为
例：图示简支梁，同时承受均布载荷q和集中载荷F作用，试用 叠加法计算截面C的挠度。设梁的弯曲刚度EI为常值。
解：查附录D，均布载荷q单独作用时 集中载荷F单独作用时 wCF 截面C的挠度：
wC wCq wCF 5ql 4 Fl 3 384 EI 48EI
Fl 3 48EI
5ql 4 wCq 384 EI
A 0
MAl ql 3 A 1 2 0 24 EI 3 EI
解得：
ql 2 MA 8
建立静力平衡方程
F 0 : M (F ) 0 :
y A
FAy FBy ql 0 l FBy l ql M A 0 2
3ql FBy 8
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系
AC段（0 ≤ x≤a）
bF M1 ( x ) x l CB段（a ≤ x≤l） bF M2 ( x) x F ( x a) l
⑵积分 AC段（0 ≤ x≤a） 弯矩方程
bF M1 ( x ) x l
CB段（a ≤ x≤l）
bF M2 ( x) x F ( x a) l
dw ' tan w ( x) dx
§12-2
纯弯曲：
挠曲轴近似微分方程
非纯弯曲：
M EI
1
1 M ( x) ( x) EI
（略去剪力对梁变形的影响） 由高数知识可知，平面曲线
w w( x)
上任一点的曲率为
d2w 2 1 d x 3/ 2 ( x) dw 2 1 ( ) dx
第十二章 §12-1
研究弯曲变形的目的：
弯曲变形 引言
1.建立梁的刚度条件； 2.求解静不定梁； 3.利用弯曲变形
挠曲轴（线）：梁弯曲变形后的轴线。 度量弯曲变形有两个量：挠度和转角
一、挠度（w）：横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的 线位移（mm) 。 向上的挠度 w 0 挠曲轴方程：
w w( x)
⑶ 确定积分常数
EIw1 (0)
EIw2 ( l )
bF 3 0 C1 0 D1 0 6l
bF 3 F l ( l a )3 C 2 l D2 0 6l 6
1 (a )
w1 (a )
1 bF 2 1 bF 2 F ( a C 1 ) 2 (a ) [ a ( a a )2 C 2 ] EI 2l EI 2l 2
逐段刚化叠加
例：外伸梁所受载荷及尺寸如图示，弯曲刚度EI已知。试求截面 C的挠度。
解：将该梁看作是由简支梁AB和固定在截面B的悬臂梁BC组成。 1. 将BC刚化，分析简支梁AB的变形，将分布载荷q平移到B截面， B截面的转角为 2
qa l 2 qa l 2 B 3EI 6EI
C截面相应的挠度为
FAy FBy ql 0 l FBy l ql M A 0 2
ql 2 MA 8
解得：
5ql FAy 8
求出多余约束力后，就可像静定梁一样进行内力、应力 和变形等计算。
注意：多余约束的选择并不是唯一的，上面讨论的静不定梁， 也可用解除固定端对截面转动约束的方法求解，则其变形协调条 件为
未加固梁的最大挠度 Fl 3 w 3 EI w 1 w 2
§12-6
一、梁的刚度条件
梁的刚度条件及合理刚度设计
w max [ ] max [ ]
式中 和[θ]为规定的许用挠度和转角。
例：如图，若F1=20kN，F2=10kN，a=1m，l=2m，E=200GPa，
变形协调条件
( F FR )l 3 FR l FR l 3 3 EI EA 3 EI
( F FR )l 3 FR l FR l 3 3 EI EA 3 EI
解得：
FR F 2
加固梁的最大挠度
( F FR )l 3 Fl 3 w 3 EI 6 EI
wB 0
由叠加法
wB wBFBy
ql 4 wBq 0 3EI 8EI
FBy l 3
FBy
3ql FBy 8 求出后，就变成了静定梁，可计算其内力、应力及变形， 并可校核其强度和刚度。
3ql 8 建立静力平衡方程 FBy
F 0 : M (F ) 0 :
y A
1 bF 3 F Fb 2 2 3 w2 ( x ) [ x ( x a) (b l ) x ] EI 6l 6 6l
⑸ 确定最大挠度
A 0
C
1 bF 2 Fb 2 2 Fab [ a (b l )] ( a b) 0 EI 2l 6l 3 EI z l
d2w M ( x) d2 x 3/ 2 EI dw 2 1 ( ) dx
挠曲轴微分方程
dw 2 在小变形下 ( ) 远小于1，挠曲轴方程简化为 dx d2 w M ( x) 2 d x EI
挠曲轴近似微分方程பைடு நூலகம்
d w M ( x) 2 d x EI