八年级数学上册13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质课件新版新人教版
合集下载
八年级数学上册 13.3.2.2 含30°角的直角三角形的性质习题课件 (新版)新人教版
16．已知∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∠B＋∠D＝180°. (1)如图①，当∠B＝∠D时，求证：AB＋AD＝AC； (2)如图②，当∠B≠∠D时，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．
证明：(1)由∠B＋∠D＝180°，∠B＝∠D，得∠B＝∠D＝90°，由已知
得∠CAB＝∠CAD＝60°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°，∴AB＝12AC，AD
6．(2015·毕节)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分 ∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝__2__．
7．将一幅三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12 cm，则阴影部分 的面积是_1_8__cm2.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D ，试确定BC与AD的数量关系．并说明理由．
＝12AC，∴AB＋AD＝AC (2)仍然成立．理由：过 C 作 CE⊥AB 延长线于 E，作 CF⊥AD 于 F.由角 平分线的性质知 CE＝CF，可证∠CBE＝∠D，由 AAS 可证△CBE≌△ CDF，∴BE＝DF.由(1)可知 AE＋AF＝AC，∴AB＋BE＋AD－DF＝AC， 即 AB＋AD＝AC
方法技能： 1．对于含30°角的直角三角形的性质，应用的前提在直角三角形 中，结论是30°角所对的直角边是斜边的一半，而不是任一直角 边是斜边的一半． 2．该性质是利用等边三角形的“三线合一”证明的，它主要用 来证明线段的倍数关系，或进行线段长度的计算． 3．在有些题目中，若给出的角是15°角时，往往运用一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和将15°角转化为30°角后，再利用这 个性质解决问题． 易错提示： 利用“含30°角的直角三角形的性质”时易忽视30°角“所对”直 角边而出错．
人教版八年级数学上册 课件：13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质【精品】
则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD, ∴BC = 1 BD．
2
∴ BC = 1 AB．
2
B
C
D
6
证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形，
证明方法：
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
截半法
∵ ∠A= 30°，
A
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
八年级数学上（RJ）
第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1
学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算．（难点）
2
导入新课
问题引入
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在 一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC 与斜边AB之间的数量关系吗？
C．12米 D．15米 2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空
地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草
皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要B( ) A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元
20
3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，
AB．
B
C
8
判断下列说法是否正确： 1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边 的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
含30°角的直角三角形的性质-八年级数学上册课件(人教版)
A
求AC的长.
D
解：连接AE,
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15º，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30º．
∵∠C=90º，
∴AC=
1
1
2 AE= 2
BE=2.5.
B
E
C
强化训练
含30º角的直角三角形的性质
提升能力
2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120º,D是BC的中点,DE⊥AB于E点,
含30º角的直角三角形的性质
提升能力
3.如图,已知△BC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且
CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证：BP=2PQ. A
∵BQ⊥AD，
∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60º， ∴∠BQP=90º，
∴∠PBQ=30º，
∵CD=AE，∴△ADC≌△BEA.
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15º+15º=30º.
D
A
B
15º
15º
C
方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构
造含30º角的直角三角形来解决本.题的关键是作
高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30º角,
利用含30º角的直角三角形的性质解决问题.
含30º角的直角三角形的性质
课堂小结
知识梳理
∵∠BAD+∠CAD+∠B=90º，
系的结论时,要联想此性质．
∴∠B=∠BAD=∠CAD=30º.
知识点一
含30º角的直角三角形的性质
典型例题
【例1-4】已知:等腰三角形的底角为15º,腰长为20.求腰上的高.
求AC的长.
D
解：连接AE,
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15º，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30º．
∵∠C=90º，
∴AC=
1
1
2 AE= 2
BE=2.5.
B
E
C
强化训练
含30º角的直角三角形的性质
提升能力
2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120º,D是BC的中点,DE⊥AB于E点,
含30º角的直角三角形的性质
提升能力
3.如图,已知△BC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且
CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证：BP=2PQ. A
∵BQ⊥AD，
∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60º， ∴∠BQP=90º，
∴∠PBQ=30º，
∵CD=AE，∴△ADC≌△BEA.
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15º+15º=30º.
D
A
B
15º
15º
C
方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构
造含30º角的直角三角形来解决本.题的关键是作
高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30º角,
利用含30º角的直角三角形的性质解决问题.
含30º角的直角三角形的性质
课堂小结
知识梳理
∵∠BAD+∠CAD+∠B=90º，
系的结论时,要联想此性质．
∴∠B=∠BAD=∠CAD=30º.
知识点一
含30º角的直角三角形的性质
典型例题
【例1-4】已知:等腰三角形的底角为15º,腰长为20.求腰上的高.
新人教版八上数学课件：13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质
������������ = ������������,
∴△AEF≌△BDE( SAS ),∴EF=ED, 同理可得△AEF≌△CFD,∴EF=FD, ∴EF=ED=FD,∴△DEF 为等边三角形.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D为BC的中点,DE⊥AC于点E,AE=2,求CE的长.
A.30海里
B.40海里
C.50海里
D.60海里
9.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境.已知∠A=150°, 这种草皮每平方米售价为a元,则购买这种草皮需要( B )
A.300a元 C.450a元
B.150a元 D.225a元
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D在BC上,且AD⊥AC.若AD=1,则BC的长为 3 .
解:连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=120°,D为BC的中点, ∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠B=∠C=30°, ∴∠DAC=∠BAD=60°. ∵∠AED=90°,∴∠ADE=30°, ∴在Rt△ADE中,AD=2AE=4, 在Rt△ADC中,AC=2AD=8,∴CE=AC-AE=6.
15.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点 F. ( 1 )求∠F的度数; ( 2 )若CD=2,求DF的长.
证明:∵△ABC 为等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC, ∴∠EAF=∠EBD=120°. ∵BE=AF,∴BE+AB=FA+AC,即 AE=CF.
������������ = ������������, 在△AEF 和△BDE 中, ∠������������������ = ∠������������������,
∴△AEF≌△BDE( SAS ),∴EF=ED, 同理可得△AEF≌△CFD,∴EF=FD, ∴EF=ED=FD,∴△DEF 为等边三角形.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D为BC的中点,DE⊥AC于点E,AE=2,求CE的长.
A.30海里
B.40海里
C.50海里
D.60海里
9.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境.已知∠A=150°, 这种草皮每平方米售价为a元,则购买这种草皮需要( B )
A.300a元 C.450a元
B.150a元 D.225a元
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D在BC上,且AD⊥AC.若AD=1,则BC的长为 3 .
解:连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=120°,D为BC的中点, ∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠B=∠C=30°, ∴∠DAC=∠BAD=60°. ∵∠AED=90°,∴∠ADE=30°, ∴在Rt△ADE中,AD=2AE=4, 在Rt△ADC中,AC=2AD=8,∴CE=AC-AE=6.
15.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点 F. ( 1 )求∠F的度数; ( 2 )若CD=2,求DF的长.
证明:∵△ABC 为等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC, ∴∠EAF=∠EBD=120°. ∵BE=AF,∴BE+AB=FA+AC,即 AE=CF.
������������ = ������������, 在△AEF 和△BDE 中, ∠������������������ = ∠������������������,
13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质 课件2024-2025学年人教版八年级数学上册
图形 性边 质角
三线 合一
对称 性
等腰三角形
两条边相等 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角 的平分线互相重合
1条对称轴
等边三角形
三条边都相等 三个角都相等， 且都是60º 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合
3条对称轴
新课导入
图形 判 边（定义） 定
角
特殊法
等腰三角形
两条边相等的三角 形是等腰三角形
解：∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC,
∴∠NCM=∠BCM，∠AMN=∠NMC.
∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠NMC=∠BCM.
B
A
M
N
C
∴∠AMN=∠B=∠NMC=∠BCM=∠NCM.
∴NM=NC.
∵∠ACB=∠NCM+∠BCM，∴∠ACB=2∠B.
课堂训练
9.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交
新知探究
知识点 含30°角的直角三角形的性质
例1 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，
DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC,DE要多长？
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC,∠A=30 °，
B
∴BC= 1
2
AB,DE=
1
2 AD.∴BC=
1 ×7.4=3.7(m).
新知探究
知识点 含30°角的直角三角形的性质 常见的模型有如下几种（图中所标的红色的角均为30°）：
60°
60°
120°
120°
60°
15°
15°
课堂小结
含 30° 角的 直角 三角 形的 性质
人教版八年级数学上册课件 13-3-2 第2课时 含 30° 直角三角形的性质与判定
叠一叠 A
30°
C
B
如何证明呢？
猜想：它所对的直角边(BC)等于斜边(AB)的一半.
动手实践
在 Rt△ABC 中，已知 ∠C = 90°，∠A = 30°.
证明：BC
=
1 2
A
AB. 证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD.
∵ CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
30°
D
∴∵C∠DB=CA12A=B9=0°B，D且. 这叫你的∠做种还方A 证中法能= 3明线证用0°方法明其，法.吗他？
∴∠B = 60°. ∴△CBD 为等边三角形.
C
B ∴BC = BD = 1AB.
2
知识总结
含 30° 角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那
么它所对的直角边等于斜边的_一__半___.
几何语言 在 Rt△ACB ，∠ACB = 90°， ∵∠A = 30°， ∴BC = 12AB.
∴∠AGB = 60°.
(2)证明：由 (1) 可知，∠GAB = 60°， 由折叠可知， ∠GAH = ∠BAH = ∠GAB = 30°. ∠AHB = ∠AHG =∠CHI = ×180° = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB = 90°， ∴∠IAH = 90°－∠BAH = 90°－30° = 60°.
拓展活动 猜想： (1)步骤三中，∠GAB = __6_0__°； (2)步骤四中，△AHI 是_等__边__三__角__形____.
论证：请证明你得到的两个结论.
(1)证明：由折叠可知， AG = AB ；AF = FB = AB .
∴GF 是△GAB 在 AB 边上的中线. ∵ GF⊥AB， ∴△AGB 是等腰三角形(三线合一 )又. ∵ AG = AB，∴△AGB 是等边三角形.
人教版八年级上数学课件13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质.
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
∴CD= AC= ×20=10.
、 点，立柱BC DE 垂直于横梁AC，AB （3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
从而△ABD是一个等边三角形.
=7.4
cm，∠A
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.
2
理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ 1 ∠BAC， 2
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°，∴AB=2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，
∴AD=2AE，∴AB=4AE，∴BE=3AE.
课堂总结
∴CD= AC= ×20=10.
▼应用格式：
A
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴
1
BC =
AB．
2
B
C
判断下列说法是否正确： （1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角 边的一半. （2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半. （3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
（4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√
∴CD= AC= ×20=10.
、 点，立柱BC DE 垂直于横梁AC，AB （3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
从而△ABD是一个等边三角形.
=7.4
cm，∠A
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.
2
理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ 1 ∠BAC， 2
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°，∴AB=2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，
∴AD=2AE，∴AB=4AE，∴BE=3AE.
课堂总结
∴CD= AC= ×20=10.
▼应用格式：
A
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴
1
BC =
AB．
2
B
C
判断下列说法是否正确： （1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角 边的一半. （2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半. （3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
（4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√
相关主题