吉林省东北师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题

2017级高二年级上学期期末考试

数学（文科）学科试卷

考试时间 ：120分钟 满分：150分

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量 为9的样本，则抽取的女生人数为 （ ）

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

2．已知p ：a ≠0，q ：ab ≠0，则p 是q 的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．已知命题p ：∀x >2，x 3－8>0，那么 p 是 （ ）

A ．∀x ≤2，x 3－8≤0

B ．∃x ≤2，x 3－8≤0

C ．∀x >2，x 3－8≤0

D ．∃x >2，x 3－8≤0

4．四张卡片上分别写有数字1,2,3,4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 （ ）

A. 13

B. 12

C. 23

D. 3

4

5．已知函数y ＝x ln x ，则这个函数在点x ＝1处的切线方程是 （ ）

A ．y ＝2x －2

B ．y ＝2x ＋2

C ．y ＝x －1

D ．y ＝x ＋1

6．已知椭圆与双曲线x 24－y 2

12＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和

为10，那么椭圆的离心率等于 （ ）

A. 35

B. 45

C. 54

D. 3

4

7．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为 （ ）

A ．745,

3 B ．735,3 C ．764,3 D ．774,3

8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5

2

，则C 的渐近线方程为 （ ）

A ．y ＝±14x

B ．y ＝±13x

C ．y ＝±1

2

x

D ．y ＝±x

9．函数f (x )＝x

e

x ，x ∈[0,4]的最大值为 （ ）

A ．0 B. 1e C. 4e 4 D. 2

e 2

10．在（0，1）之间随机取两个数,x y ，则6

5

x y +<

的概率为 （ ） A.

1725 B. 1125 C. 925 D. 1425

11．设P 是椭圆x 225＋y 2

9＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的

点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为 （ ）

A ．9,12

B ．8,11

C ．10,12

D ．8,12

12．已知偶函数f (x )在定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞内可导，且()0xf x '<，设(1)a f =-，

1

()2

b f =，(2)

c f =，则 （ ）

A ．a

B ．c

C ．c

D ．b

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）

13．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ．

14．已知P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)上一点，,,1212为左右焦点，且90F F F PF ∠=o 若

129PF F S ∆=，则b = ．

15．已知函数()ln f x ax x =-+有两个零点，则a 的取值范围是 ．

16．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)作圆x 2＋y 2

＝a 24的切线，切点为E ，

延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →

)，则双曲线的离心率为________．

三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）某班抽取20名学生周测物理考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：

（1）求频率分布直方图中a 的值，并写出众数； （2）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数； （3）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．

18．（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (2,0)，离心率为22，

直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . （1）求椭圆C 的方程； （2）当△AMN 的面积为10

3

时，求实数k 的值．

19．（本小题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得101

i

i x =∑＝80，101

i

i y =∑＝20，101

i i

i x y =∑＝184，10

2

1

i

i x

=∑＝720.

（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；

（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

参考公式：1

221

n

i i i n i i x y nx y

b x nx a y b x

∧==∧∧⎧

-⋅⎪⎪=⎪

⎨-⎪⎪⎪=-⎩∑∑

20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点K (－1,0)为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；

（2）设F A →·FB →＝89

，求直线l 的方程．