2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二上学期期中数学试卷与解析(文科)
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2014-2015学年高二上
2014学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科 试题（文理合卷）考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）10y +=的倾斜角是（ ▲ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒ 2．下列说法正确的是（ ▲ ）A ．棱柱的底面一定是平行四边形B ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 C. 圆台平行于底面的截面是圆面 D ．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球3．已知两条直线1(:1)30l kx k y +--=和22:(120)k x l y -+-=互相垂直，则k =（ ▲ ） A ．1或－2 B ．－1或2 C ． 1或2 D ．－1或－2 4．直线l 与直线1y =，直线5x =分别交于P ，Q 两点，PQ 中点为M （1，-1），则直线l 的斜率是（ ▲ ） A ． 12-B ． 12C ． 2D ．－2 5．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若//,//m n αα，则//m n B ．若//,,m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥C ．若//,//m m αβ，则//αβ D. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥6．如图是一个空间几何体的三视图，其正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是一个两直角边长分别为3和1的直角三角形，则此几何体的 体积为 （ ▲ ）A ．33 B ．1 C ． 23 D ．2 7．若直线0(0)ax by c ab ++=≠在两坐标轴上的截距相等，则,,a b c 满足的条件是（ ▲ ） A. a b = B. ||||a b = C. 0c a b ==或 D ．0c a b ==或 8．ABCD 为空间四边形，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M 、N 分别是对角线AC 与BD 的中点， 则MN 与（ ▲ ）A. AC 、BD 之一垂直B. AC 、BD 都垂直 C ．AC 、BD 都不垂直 D. AC 、BD 不一定垂直9．如图，三棱锥P -ABC 的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB <60°.设动点D 、E 分别在线段PB 、PC 上，点D 由P 运动到B ，点E 由P 运动到C ，且满足DE ∥BC ，则下列结论正确的是（ ▲ ）A ．当点D 满足AD ⊥PB 时，△ADE 的周长最小 B ．当点D 为PB 的中点时，△ADE 的周长最小C ．当点D 满足13PD PB =时，△ADE 的周长最小 D ．在点D 由P 运动到B 的过程中，△ADE 的周长先减小后增大 10. 在正方体''''ABCD A B C D - 中，P 为棱'AA 上一动点，Q 为 底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点P ，Q 都运动时， 点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ▲ ）A. 棱柱B. 棱台C. 棱锥D.球的一部分二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11.在正方体1111ABCD A B C D -中， E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1， B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为 ▲ .12．已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是 ▲ . 13．已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为 ▲ .14．如左下图，在三棱柱'''ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，'AA ⊥底面ABC ， 且AB ＝1，'AA ＝2，则直线'BC 与平面''ABB A 所成角的正弦值为 ▲ .A第B'15．已知一个三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如右上图所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图．．． 面积为 ▲ .16．已知实数a b c 、、满足0a b c --=则原点(0,0)O 到直线0ax by c ++=的距离的最大值为 ▲ .17．若当(1,)x ∈-+∞时，(1)21()k x x k k R +<++-∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ▲ .三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）如图多面体中，正方形ADEF 所在的平面与直角梯形ABCD 所在的平面垂直， 且12AD AB CD ==，//AB CD ，M 为CE 的中点. （1）证明：//BM 平面ADEF ； （2）证明：平面BCE ⊥平面BDE .19.（本小题满分12分）已知点A （2，2），直线:21l y x =+. (1)求点A 关于直线l 的对称点'A 的坐标；(2)当点B ，C 分别在x 轴和直线l 上运动时，求ABC ∆周长的最小值.F20．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，90ABC APB ∠=∠=︒，4AB MB =，且CD PM ⊥，22AB BC PB AD ===．（1）证明：面⊥PAB 面ABCD ；（2）求直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值．21.（本小题满分14分）在等边三角形ABC 中，AB =2，E 是线段AB 上的点(除点A 外），过点E 作EF AC ⊥于点F ，将AEF ∆ 沿EF 折起到PEF ∆(点A 与点P 重合，如图)，使得3PFC π∠=，(1) 求证：EF PC ⊥；(2) 试问，当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -EB -C 的大小是否为定值？ 若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由.C BB二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．060 12．50π 13． 2 14 15 1617．(,2][0,1]-∞- 三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. （本小题满分12分）解析：（1）（解法一）取DE 的中点N ，连结MN ，AN . 在DEC ∆中，因为M ，N 分别为EC ，ED 的中点， 所以//MN CD ，且12MN CD =. 又因为//AB CD ，12AB CD =，F所以//MN AB ，且MN AB =. 所以四边形ABMN 为平行四边形，故//MB NA ， 又因为MB ⊄平面ADEF ，NA ⊂平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF . （5分） （解法二）取DC 的中点P ，连结,MP BP . 在直角梯形ABCD 中，因为//AB CD ，12AB CD =，12DP DC =， 所以//AB DP ，且AB DP ＝，故四边形ABPD 为平行四边形，所以//BP AD .在DEC ∆中，因为M ，P 分别为EC ，DC 的中点，所以//MP ED . 又因为MPPB P =，ED DA D =，所以平面//MPB 平面EDA ，又因为M B ⊂平面MPB ，所以//BM 平面ADEF . （5分） （2）直角梯形ABCD 中，//AB CD ，设12AD AB CD a ===，所以BD BC ==，2CD a =，故222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥. （8分）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 又平面ADEF平面ABCD AD =，ED AD ⊥，所以ED ⊥平面ABCD ，故ED BC ⊥. （10分） 又因为BDED D =，所以BC ⊥平面BDE . （11分）又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面BDE . （12分）19.（本小题满分12分）1'(,),222-,21522-2116--225216'(-,).(655A a b b a a b b a A ⎧++⎧==⨯+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴⋯⋯⋯解：（）设则有解得点的坐标为分）22222'(12A x A A A ABC ==∆⋯⋯⋯（）点关于轴的坐标为（，－）则分）20. （本小题满分14分） 解：（1）由BM PB AB 42==，得AB PM ⊥，又因为CD PM ⊥，且CD AB ，所以⊥PM 面ABCD ， 且⊂PM 面PAB ． 所以，面⊥PAB 面ABCD .………（6分） （2）过点M 作CD MH ⊥，连结HP ， 因为CD PM ⊥，且M MH PM = ，所以⊥CD 平面PMH ，又由⊂CD 平面PCD ，得到平面⊥PMH 平面PCD ， 平面 PMH 平面PH PCD =，过点M 作PH MN ⊥，即有⊥MN 平面PCD ， 连结DN ，则MDN ∠为直线DM 与平面PCD 所成角． ………（10分）在四棱锥ABCD P -中，设t AB 2=， 则t DM 213=，t PM 23=，t MH 1057=，∴t PH 554=，t MN 1637=， 从而104397sin ==∠DM MN MDN ，………（13分） 即直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值为104397.………（14分）21. （本小题满分14分）(1),,,.,.(5EF PF EF FC PF FC F EF PFC PC PFC EF PC ⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥证明：平面又平面分）21,.,,(10EF PFC BCFE PFC PH FC FC H PH BCFE HG BE BE G PG BE PG PGH ⊥∴⊥⊥⊥⊥⊥∠（）由（）知平面平面平面作交于点则平面作交于点，连结，则所以就是二面角的平面角分）0,0 1.60,,,21,42tan .(1332.(143AF x x x PFC FH PH x GH x PH PGH GH E AB P EB C =<≤∠=∴=∴-==∴∠==-当点在线段上移动时，二面角的大小定值，这个二面角的平面角的正切设据题意有在图形（）中可求得分值）为分）备注：对于简答题的其他解法，请参照评分标准评分.。
浙江省台州中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)
A BCDA 1B 1C 1D 1浙江省台州中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l 的方程为y ＝x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．135°2．直线72=-y x 与直线012=--y x 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．重合 D ．异面3．已知二面角α－l －β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）5．若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．3 D ．-36．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， 异面直线1A D 与1D C所成的角为 （ ） A ．30B ．45C ．60D ．907．点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值是( )A ．2B ．C ．22D ．108．给岀四个命题：(1) 若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；(2) α ，β 为两个不同平面，直线a ⊂ α ，直线b ⊂ α ，且a ∥β ，b ∥β , 则α ∥β ; (3) α ，β 为两个不同平面，直线m ⊥α ，m ⊥β 则α ∥β ; (4) α ，β 为两个不同平面，直线m ∥α ，m ∥β , 则α ∥β . 其中正确的是（ ）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）9．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( ) A ．x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y －9＝0C ． 2x －y －5＝0D ．4x －3y ＋7＝010．点A B C D 、、、在同一个球的球面上，3===AC BC AB ，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为( ) A ．16289π B ．8π C ．π16169 D ．2516π二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分。
浙江省杭州求是高级中学2014-2015学年高二上学期期中
试卷Ⅰ（选择题，共54分）一、单项选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1、使带电的金属球靠近不带电的验电器，验电器的箔片张开．下列各图表示验电器上感应电荷的分布情况，正确的是( )2．如图1所示，空间有一电场，电场中有两个点a 和b .下列表述正确的是( )A ．该电场是匀强电场B ．a 点的电场强度比b 点的大C ．a 点的电势比b 点的高D ．正电荷在a 、b 两点受力方向相同3、两个相同的金属小球(可看作点电荷)，带有同种电荷，且电量之比为1∶7，在真空中相距为r ，两者相互接触后再放回原来的位置上，则它们间的库仑力可能是原来的( )A ．7 B.37 C.97 D.1674、空中有两个等量的正电荷q 1和q 2，分别固定于A 、B 两点，DC 为AB 连线的中垂线，C 为A 、B 两点连线的中点，将一正电荷q 3由C 点沿着中垂线移至无穷远处的过程中，下列结论正确的有( )A ．电势能逐渐减小B ．电势能逐渐增大C ．q 3受到的电场力逐渐减小D ．q 3受到的电场力逐渐增大5、如图3所示，a 、b 、c 为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c 为ab 的中点，a 、b 电势分别为φa ＝5 V 、φb ＝3 V ．下列叙述正确的是( )A ．该电场在c 点处的电势一定为4 VB ．a 点处的场强E a 一定大于b 点处的场强E bC ．一正电荷从c 点运动到b 点电势能一定减少D ．一正电荷运动到c 点时受到的静电力由c 指向a6．两个小灯泡，分别标有“1 A 4 W”和“2 A 1 W”的字样，则它们均正常发光时的电阻阻值之比为()A．2∶1 B．16∶1 C．4∶1 D．1∶167．如图所示，将左边的铜导线和右边的铝导线连接起来，已知截面积S铝＝2S铜．在铜导线上取一截面A，在铝导线上取一截面B，若在1 s内垂直地通过它们的电子数相等，那么，通过这两截面的电流的大小关系是()A．I A＝I B B．I A＝2I B C．I B＝2I A D．不能确定8、在正常照射下，太阳能电池的光电转换效率可达23%.单片单晶硅太阳能电池可产生0.6 V 的电动势，可获得0.1 A的电流，则每秒照射到这种太阳能电池上的太阳光的能量是()A．0.24 J B．0.25 J C．0.26 J D．0.28 J9、如图1所示，R4是半导体材料制成的热敏电阻，电阻率随温度的升高而减小，这就是一个火警报警器的电路，电流表是安放在值班室的显示器，电源两极之间接一个报警器，当R4所在处出现火情时，显示器的电流I和报警器两端的电压U的变化情况是()A．I变大，U变小B．I变大，U变大C．I变小，U变大D．I变小，U变小10、某电源电动势6V和内阻为0.5Ω．用此电源与三个阻值均为3 Ω的电阻连接成电路，测得路端电压为4.8 V．则该电路可能为()二、多项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11、下列各量中，与检验电荷无关的物理量是()A．电场力F B．电场强度EC．电势差U D．电场力做的功W12、某静电场中的电场线如图188所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是()A．粒子必定带正电荷B．由于M点没有电场线，粒子在M点不受静电力的作用C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度D．粒子在M点的动能小于在N点的动能13、如图1108所示为“研究影响平行板电容器电容的因素”的实验装置，以下说法正确的是()A．A板与静电计的指针带的是异种电荷B．甲图中将B板上移，静电计的指针偏角增大C．乙图中将B板左移，静电计的指针偏角不变D．丙图中将电介质插入两板之间，静电计的指针偏角减小14．图示238是某导体的I-U图线，图中倾角为α＝45°，下列说法正确的是()A．通过电阻的电流与其两端的电压成正比B．此导体的电阻R＝2 ΩC．I-U图线的斜率表示电阻的倒数，所以电阻R＝cot 45°＝1.0 ΩD．在R两端加6.0 V电压时，每秒通过电阻截面的电量是6.0 C15、某学生做研究串联电路电压特点的实验时，接成如图5所示的电路，接通S后，他将多用电表电压挡的红、黑表笔并联在A、C两点间时，电压表读数为U；当并联在A、B两点间时，电压表读数也为U；当并联在B、C两点间时，电压表读数为零，故障的原因可能是()A．AB段断路B．BC段断路C．AB段短路D．BC段短路16如图2116所示是简化的多用电表的电路图．转换开关S与不同接点连接，就组成不同的电表，已知R3＜R4，下面是几位同学对这一问题的议论，请你判断下列说法正确的是()A．S与1或2连接时，多用电表就成了电流表，且前者量程较大B．S与3或4连接时，多用电表就成了电流表，且前者量程较大C．S与3或4连接时，多用电表就成了电压表，且前者量程较大D．S与5连接时，多用电表就成了欧姆表三、填空题(每空2分，共20分)17、长为l的导体棒原来不带电，现将一带电荷量为＋q的点电荷放在距棒左端R处，如图191所示．当棒达到静电平衡后，棒上的感应电荷在棒内中点P处产生的电场强度大小等于________，方向为________．18、如图所示，已知电源电动势E＝12 V，内阻r＝1 Ω，定值电阻R＝2 Ω，通过小灯泡的电流为1 A，已知小灯泡的电阻为3 Ω，小型直流电动机的线圈电阻为1 Ω，则电动机两端的电压V 电动机的输入功率W电动机的输出功率W 19、如图1713所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定电场强度的方向为及大小为N/C20、用伏安法测量一个定值电阻的电阻值，现有的器材规格如下：A．待测电阻R x(大约100 Ω)B．直流毫安表A1(量程0～10 mA，内阻约100 Ω)C．直流毫安表A2(量程0～40 mA，内阻约40 Ω)D．直流电压表V1(量程0～3 V，内阻约5 kΩ)E．直流电压表V2(量程0～15 V，内阻约15 kΩ)F．直流电源(输出电压4 V，内阻不计)G．滑动变阻器R(阻值范围0～50 Ω，允许最大电流1 A)H．开关一个、导线若干(1)根据器材的规格和实验要求，为使实验结果更加准确，直流毫安表应选________，直流电压表应选________．(2)本实验应采电流表的接法（填内或外）四、计算题(本题共3小题，共26分)21、(8分)如图10所示，在匀强电场中，将带电荷量q＝－6×10－6C的电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了2.4×10－5J的功，再从B点移到C点，电场力做了1.2×10－5J 的功．求：(1)A、B两点间的电势差U AB和B、C两点间的电势差U BC；(2)如果规定B点的电势为零，则A点和C点的电势分别为多少？(3)作出过B点的一条电场线(只保留作图的痕迹，不写做法)．22、电路图2913甲所示，若电阻未知，电源电动势和内阻也未知，电源的路端电压U随电流I的变化图线及外电阻的U-I图线分别如图乙所示，求：图2913(1)电源的电动势和内阻；(2)电源的路端电压；(3)电源的输出功率．23、如图11217所示，水平放置的两平行金属板，板长为10 cm，两板相距2 cm.一束电子经加速电场后以v0＝4.0×107 m/s的初速度从两板中央水平射入板间，然后从板间飞出射到距板右端L为45 cm、宽D为20 cm的荧光屏上．(不计电子重力，荧光屏中点在两板间的中线上，电子质量m＝9.0×10－31 kg，电荷量e＝1.6×10－19 C)求：图11217(1)电子飞入两板前所经历的加速电场的电压；(2)若偏转电压为720V，则电子射出偏转电场时的竖直方向的位移为多少？(3)为使带电粒子能射中荧光屏所有位置，两板间所加电压的取值范围．杭州求是高级中学2014学年第一学期高二年级物理学科期中考试答案一、单项选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)二、多项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11、答案BC12答案ACD13、BD14、答案AB18答案6V 6W 5W19、水平向右4020、答案(1)C D(2)外四、计算题(本题共3小题，共26分)21、答案(1)4 V－2 V(2)4 V 2 V22、答案(1)4 V 1 Ω(2)3 V(3)3 W解析(1)由题图乙所示UI图线知：电源电动势E＝4 V，短路电流I短＝4 A，故内阻r＝EI短＝1 Ω.(2)由图象知：电源与电阻构成闭合回路时对应路端电压U＝3 V.(3)由图象知：R＝3 Ω，故P出＝I2R＝3 W.由此看出，电子从偏转电场射出时，不论偏转电压多大，电子都像是从偏转电场的两极板间中线的中点沿直线射出一样，射出电场后电子做匀速直线运动恰好打在荧光屏的边缘上，结合图可得tan θ＝D /2L ＋l 2＝D 2L ＋l U 2＝Ddm v 20el (2L ＋l )，代入所有数据得U 2＝360 V 因此偏转电压在－360 V ～360 V 范围内时，电子可打在荧光屏上的任何位置．。
2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二(上)期中数学试卷(文科)
2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共40.0分)1.直线x=-1的倾斜角为（）A.0°B.45°C.90°D.135°【答案】C【解析】解：因为直线的方程为x=-1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，故直线x=-1的倾斜角为90°，故选C直线x=-1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，进而可得其倾斜角．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．2.下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A.①和⑤B.①C.③和④D.①和④【答案】D【解析】解：①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④球体是旋转体；⑤四面体是多面体．故选D．利用旋转体的概念直接进行判断．本题考查旋转体的定义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】解：对于①，若α∥β，β∥γ，由平面平行的传递性可知，γ∥α，故①正确；对于②，若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确；对于③，因为n⊊β，令n在β内的射影为n′，因为m⊥β，所以m⊥n′，又m⊥n，所以n∥n′，n′⊂β，n⊊β，所以n∥β，故③正确．故选：D．①利用空间平面平行的传递性可判断①；②利用面面平行的性质可判断②；③利用线面垂直的性质与线面平行的判定定理可判断③．本题考查空间线面平行、面面平行的判定与性质，考查空间想象能力，是对空间线面位置关系等基础知识的考查．4.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax 与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax 递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图，∵C1C⊥ABCD，∴直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则C1C=1，AC1=，∴sinθ=sin∠C1AC===．故选C．由C1C⊥ABCD，知直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，由此能求出sinθ的值．本题考查线面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．6.直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A.-1B.1C.±1D.【答案】C【解析】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0∴（a-1）（a+2-2a-3）=0∴（a-1）（a+1）=0∴a=1，或a=-1故选C．根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0，从而可求a 的值本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．7.已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A. B.2 C.2 D.4【答案】C【解析】解：如图所示：该四边形的水平放置的平面直观及原四边形，由斜二测画法可知：原四边形是一个一条边长为1，其边上的高（对角线）为的平行四边形，故原四边形的面积S==．故选C．利用斜二测画法的规则即可求出．熟练掌握斜二测画法是解题的关键．8.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A.平行B.相交C.异面D.以上皆有可能【答案】D【解析】解：如图在正方体ABCD_A1B1C1D1中A1A，B1B与底面ABCD夹角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD夹角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD夹角相等，此时两直线异面；故选A根据直线与平面所成的角的定义，可得两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则两条直线可能平行，可能相交，也可能异面本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间直线与直线位置关系的定义及几何特征是解答的关键．9.一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A.右前上方B.左前上方C.右后上方 D.左后上方【答案】C【解析】解：由该楼的正视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的右侧，由该楼的侧视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的后方，由该楼的俯视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的上方，∴该楼中最高一层的那个房间在大楼右后上方．故选C．由该楼的三视图，逐步判断该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置．本题考查三视图的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．10.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S-EFG中必有（）A.SG⊥△EFG所在平面B.SD⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面【答案】A【解析】解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选A．根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)11.直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标是______ ．【答案】（1，0）【解析】解：解方程组，得x=1，y=0，∴直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）解方程组得到直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标．本题考查两条直线的交点坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12.已知原点O到直线3x+4y=15的距离为______ ．【答案】3【解析】解：原点O（0，0）到直线3x+4y=15的距离为：d==3．故答案为：3．利用点到直线的距离公式求解．本题考查点到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______ ．【答案】【解析】解：由该几何体的三视图，知：该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，∴该几何体的体积V=+32×2=．故答案为：．由该几何体的三视图，知该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，由此能求出该几何体的体积．本题考查由几何体的三视图求几何体的体积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14.R t△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为______ ．【答案】16π【解析】解：旋转一周所成的几何体是底面以BC为半径，以AB为高的圆锥，所以圆锥的体积：=16π．故答案为：16πR t△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体是圆锥，推出底面半径和高，即可求出几何体的体积．本题是基础题，考查旋转体的体积，正确推测几何体的图形形状，求出有关数据，是本题的关键．15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为______ ．【答案】【解析】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△R t ADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16.设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为______ ．【答案】3x+5y-34=0【解析】解：当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，由=可知所求直线的斜率为，故可得直线的方程为y-5=（x-3），化为一般式可得3x+5y-34=0，故答案为：3x+5y-34=0由题意当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，进而可得其斜率，由点斜式方程可得，化为一般式即可．本题考查直线方程的求解，得出当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值是解决问题的关键，属基础题．三、解答题(本大题共4小题，共36.0分)17.已知直线l经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x-4y-1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【答案】解：（1）∵直线l经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，∴解方程组，得P（-2，2），∵l垂直于直线x-4y-1=0，∴设直线l的方程为4x+y+c=0，把P（-2，2）代入，得-8+2+c=0，解得c=6，∴直线l的方程为4x+y+6=0．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-．∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S==．【解析】（1）解方程组，得P（-2，2），由l垂直于直线x-4y-1=0，设直线l 的方程为4x+y+c=0，由此能求出直线l的方程．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-．由此能求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．本题考查直线的方程的求法，考查直线与两坐标轴围成的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线方程性质的合理运用．18.已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0，试分别确定m、n的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，-1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1．【答案】解：（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m-1=0，联立解得，n=-．（2）∵l1∥l2且l1过点（3，-1），∴，解得或（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x-1=0．∴-8+n=0，解得n=8．∴m=0，n=8．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知：m=0，n=8．【解析】（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m-1=0，联立解得即可．（2）由于l1∥l2且l1过点（3，-1），根据平行线的斜率相等及点适合直线l1的方程可得，解得即可；（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x-1=0．可得-8+n=0，解得即可．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．本题考查了直线的平行、垂直与斜率的关系、直线相交问题，属于中档题．19.如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．【答案】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接MO∵ABCD为正方形，∴O为AC中点∵△ACF中，M为EC中点∴MO∥AF又∵MO⊂平面MBD，AF⊄平面MBD，∴AF∥平面MBD．（2）解：根据（1）得AF∥OM，AF与BM所成角即∠OMB，设正方形边长为a，则AC=a，AF=a，MO=AF=a，MC=a∴MB==a∴cos∠BMO===．【解析】（1）连接AC，BD交于点O，连接MO，可得△ACF中，MO为中位线，即MO∥AF，进而由线面平行的判定定理可得AF∥平面MBD；（2）由（1）中MO∥AF，可得AF与BM所成角即∠OMB，解三角形可得：异面直线AF与BM所成角的余弦值．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，难度中档．20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．【答案】（1）证明：取PB中点N，连NM，NA，∵，，，，∴NM∥AD，NM=AD，∴四边形NMDA为平行四边形，从而DM∥AN，又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB；（2）解：连接AC，则∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°∴AC==2∴AC⊥AB∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AC⊥平面PAB取PA中点G，连接MG，则MG∥AC，MG=，∴MG⊥平面PAB连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角在正三角形PAB中，BG=AB=∴tan∠MBG==1∴∠MBG=45°，即直线BM与平面PAB所成角为45°．【解析】（1）取PB中点N，连NM，NA，证明四边形NMDA为平行四边形，可得DM∥AN，利用线面平行的判定，可得线面平行；（2）取PA中点G，连接MG，连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角，从而可得结论．本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．。
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二上学期期中数学试卷与解析
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x+y+=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（4分）下列说法正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥C．圆台平行于底面的截面是圆面D．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球3．（4分）已知两条直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或﹣24．（4分）直线l与直线y=1，直线x=5分别交于P，Q两点，PQ中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率是（）A．﹣ B．C．2 D．﹣25．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β6．（4分）如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，则此几何体的体积为（）A．B．1 C．D．27．（4分）若直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足的条件是（）A．a=b B．|a|=|b| C．c=0或a=b D．c=0或|a|=|b|8．（4分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直9．（4分）如图，三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB ＜60°．设动点D、E分别在线段PB、PC上，点D由P运动到B，点E由P运动到C，且满足DE∥BC，则下列结论正确的是（）A．当点D满足AD⊥PB时，△ADE的周长最小B．当点D为PB的中点时，△ADE的周长最小C．当点D满足=时，△ADE的周长最小D．在点D由P运动到B的过程中，△ADE的周长先减小后增大10．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于．12．（4分）已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是．13．（4分）已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为．14．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为．15．（4分）如图1，已知三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图面积为．16．（4分）已知实数a、b、c满足a﹣b﹣c=0则原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值为．17．（4分）若当x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD=AB=CD，AB∥CD，M为CE的中点．（1）证明：BM∥平面ADEF；（2）证明：平面BCE⊥平面BDE．19．（12分）已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．（1）求点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，=4，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．21．（14分）在图1等边三角形ABC中，AB=2，E是线段AB上的点（除点A外），过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF 沿EF折起到△PEF（点A与点P重合，如图2），使得∠PFC=．（1）求证：EF⊥PC；（2）试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣EB﹣C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x+y+=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：直线x+y+=0的斜率为：﹣，所以直线x+y+=0的倾斜角为α，则tan，所以α=120°．故选：D．2．（4分）下列说法正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥C．圆台平行于底面的截面是圆面D．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球【解答】解：根据柱、锥、台、球的定义，可得圆台平行于底面的截面是圆面，故选：C．3．（4分）已知两条直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或﹣2【解答】解：∵直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直∴k（k﹣1）+2（1﹣k）=0∴k2﹣3k+2=0∴k=2或k=1故选：C．4．（4分）直线l与直线y=1，直线x=5分别交于P，Q两点，PQ中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率是（）A．﹣ B．C．2 D．﹣2【解答】解：∵直线l与直线y=1，x=5分别交于点P，Q，∴P，Q点的坐标分别为：P（a，1），Q（5，b），∵线段PQ的中点坐标为M（1，﹣1），∴由中点坐标公式得：=1，=﹣1，∴a=﹣3，b=﹣3；∴直线l的斜率k===﹣．故选：A．5．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交、异面，即A不正确；∵若m∥α，α⊥β，则m可以与β垂直、平行，相交或m⊂β，即B不正确．若m∥α，m∥β，则α∥β或m与α、β交线平行，即C不正确；直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，m∥n，∴α⊥β．故D成立；故选：D．6．（4分）如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，则此几何体的体积为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意可得：几何体是一个三棱锥，如图所示，AC⊥平面BCD，AB=AD=BD=2，AC=，因为左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，所以△BCD的高为1．所以三棱锥的体积为：=．故选：A．7．（4分）若直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足的条件是（）A．a=b B．|a|=|b| C．c=0或a=b D．c=0或|a|=|b|【解答】解：当c=0时，直线ax+by+c=0（ab≠0）过原点，在两坐标轴上的截距相等．当c≠0时，直线在两坐标轴上的截距分别为﹣和﹣，由题意可得﹣=﹣，故a=b．综上，当c=0或c≠0且a=b时，直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，故选：C．8．（4分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直【解答】解：连接AM、CM，在△ABD与△CDB中，∴△ABD≌△CDB又∵AM、CM分别为两全等三角形对应边BD上的中线，∴AM=CM∵△ACM是等腰三角形，又∵MN为△ACM底边AC上的中线，∴MN⊥AC．同理，MN⊥BD故MN与AC、BD都垂直故选：B．9．（4分）如图，三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB ＜60°．设动点D、E分别在线段PB、PC上，点D由P运动到B，点E由P运动到C，且满足DE∥BC，则下列结论正确的是（）A．当点D满足AD⊥PB时，△ADE的周长最小B．当点D为PB的中点时，△ADE的周长最小C．当点D满足=时，△ADE的周长最小D．在点D由P运动到B的过程中，△ADE的周长先减小后增大【解答】解：由题意得△ADE是一个等腰三角形，AD=AE，∵在D点由P到B的运动过程中，两腰长先减小后增大，故可得△ADE周长也会先减小后增大，故选：D．10．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分【解答】解：由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段（靠近AA′），当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段（靠近AA′），当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AB），当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AD），当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段（靠近AB），当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段（靠近AB），同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；P在A′处，Q在C处，P在AA′上运动；P、Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其它情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选：A．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于60°．【解答】解：取A1B1 中点M连接MG，MH，则MG∥EF，MG 与GH所成的角等于EF与GH所成的角．容易知道△MGH为正三角形，∠MGH=60°∴EF与GH所成的角等于60°故答案为：60°12．（4分）已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是50π．【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为：=5，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，∴球半径为R=，可得球的表面积为4πR2=50π．故答案为：50π．13．（4分）已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为2．【解答】解：设母线长为x，根据题意得2πx÷2=2π×1，解得x=2．故答案为：2．14．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为．【解答】解：如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D′，BD．∵底面△A′B′C′是正三角形，∴C′D⊥A′B′．∵AA′⊥底面ABC，∴A′A⊥C′D．又AA′∩A′B′=A′，∴C′D⊥侧面ABB′A′，∴∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角．∵等边△A′B′C′的边长为1，C′D=．在Rt△BB′C′中，BC′==．∴直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值==．故答案为：．15．（4分）如图1，已知三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图面积为．【解答】解：∵三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，∴三棱锥的高为h==，∴侧视图为等腰三角形，底面边长为AB=，BC=，C到AB的高为：，∴=故答案为：，16．（4分）已知实数a、b、c满足a﹣b﹣c=0则原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值为．【解答】解：因为直线ax+by+c=0，又a﹣b﹣c=0，所以直线过定点（﹣1，1），所以原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值即为原点到定点的距离：．故答案为：17．（4分）若当x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，1] ．【解答】解：要使x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立（1）当k+1≥0时，x+k+2≥0，故命题化为：kx+k＜x+k+2﹣1，即kx＜x+1对x∈（﹣1，+∞）时恒成立，只要0≤k≤1即可如图（1）．图（1）（2）当k+1＜0时，∵x∈（﹣1，+∞）时，∴x+1＞0，令t=x+1，则t∈（0，+∞）故命题化为：kt＜|t+k+1|﹣1，对t∈（0，+∞）恒成立，再用x表示t则命题化为：kx+1＜|x+k+1|，对x∈（0，+∞）恒成立，只要x∈（0，+∞）时，y=kx+1在y=|x+k+1|的上方即可，如图（2）．只要﹣k﹣1≥1即可，∴k≤﹣2图（2）综上，k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，1]三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD=AB=CD，AB∥CD，M为CE的中点．（1）证明：BM∥平面ADEF；（2）证明：平面BCE⊥平面BDE．【解答】证明：（1）取DE中点N，连接MN，AN在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，所以BC⊥BD．所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE．19．（12分）已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．（1）求点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．【解答】解：（1）设A′（a，b），则由点A关于直线l的对称点A′，可得，解得，故A′的坐标为（﹣，）．（2）由于点A关于x轴的对称点A2（2，﹣2），|A′A2|==，∴△ABC的周长的最小值为．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，=4，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB，又因为PM⊥CD，且AB，CD相交，所以PM⊥面ABCD，且PM⊂面PAB．所以，面PAB⊥面ABCD．…（6分）（2）解：过点M作MH⊥CD，连结HP，因为PM⊥CD，且PM∩MH=M，所以CD⊥平面PMH，又由CD⊂平面PCD，得到平面PMH⊥平面PCD，平面PMH⊥平面PCD=PH，过点M作MN⊥PH，即有MN⊥平面PCD，连结DN，则∠MDN为直线DM与平面PCD所成角．…（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，设AB=2t，则DM=t，PM=t，MH=t，∴PH=t，MN=t，从而sin∠MDN==，…（13分）即直线DM与平面PCD所成角的正弦值为．…（14分）21．（14分）在图1等边三角形ABC中，AB=2，E是线段AB上的点（除点A外），过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF 沿EF折起到△PEF（点A与点P重合，如图2），使得∠PFC=．（1）求证：EF⊥PC；（2）试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣EB﹣C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：∵EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC=F∴EF⊥平面PFC又∵PC⊂平面PFC∴EF⊥PC；（2）解：由（1）知，EF⊥平面PFC，∴平面BCFE⊥平面PFC作PH⊥FC，则PH⊥平面BCFE，作HG⊥BE，连接PG，则BE⊥PG∴∠PGH是个二面角的平面角，设AF=x，则0＜x≤1，∵∠PFC=60°，∴FH=，PH=x，∵GH=x，∴tan∠PGH==，∴二面角P﹣EB﹣C的大小是定值．。
浙江省杭州重点中学1415高二上学期期末——数学(文)数
浙江省杭州地区（含周边）重点中学 2014—2015学年度上学期期末考试高二数学文试题考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．半径为2cm 的球的体积是（ ▲ ） A ． cm 3 B ． cm 3 C ． cm 3 D ． cm 3 2．直线x ＝－的倾斜角和斜率分别是（ ▲ ） A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在 3.已知实数，则是且的（ ▲ ）条件A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分也不必要4.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ▲ ）A ．若，则 B ．若，则C ．若，则 D ．若，则5．六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如下图所示，则其左视图不可能为（ ▲ ）A. B. C. D.6．若直线与圆2240x y kx my +++-=交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线对称，则的值是（ ▲ ） A ． B ．0 C ． D ． 3 7.已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（ ▲ ） A ． B ． C ． D ．8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为2的直线交椭圆于、两点，若△为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ▲ ）A ．53B ．23C ．23D ．139.三棱柱中，与、所成角均为，，且，则与所成角的余弦值为（ ▲ ）A ．1B ．－1C ．D ．－10．已知ABCD-ABCD 是边长为1的正方体，P 为线段AB 上的动点，Q 为底面ABCD 上的动点，则最小值为（ ▲ ） A ． B ． C ．2 D ． 二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11.在空间直角坐标系中，是点关于轴的对称点，则= ___▲___． 12.两平行直线与之间的距离为___▲___．13.设抛物线的准线为，为抛物线上的动点，定点，则与点到准线的距离之和的最小值为___▲___． 14. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为___▲___．15.如图四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且,为中点，则下列结论中正确的是___▲___．①； ②//平面； ③平面平面； ④平面//平面.16.已知分别是双曲线的左右焦点，A 是双曲线在第一象限内的点，若且，延长交双曲线右支于点B ，则的面积等于___▲___．17.已知动点在椭圆上，若A 点的坐标为(6,0)，，且，则的最小值为___▲___．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）已知命题13102:22=-+-m y m x p 方程表示焦点在轴上的椭圆； 已知命题125:22=+-my m x q 方程表示双曲线； 若为真，为假，求实数的取值范围。
浙江省杭州求是高级中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题
浙江省杭州求是高级中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题参考公式：球的表面积公式24S R π= 柱体的体积公式V Sh = 球的体积公式334R V π= 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高其中R 表示球的半径 台体的体积公式)(312211S S S S h V ++=锥体的体积公式13V Sh = 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高。
一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．直线x ＝－1的倾斜角为（ ▲ ）Ａ．0︒ Ｂ．45︒ Ｃ．90︒ Ｄ．135︒ 2．下列几何体中是旋转体的是（ ▲ ）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体。
A ． ①和⑤ B ． ① C ． ③和④ D ． ①和④ 3．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α； ②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β； ③若m ⊥β，m ⊥n ，n β⊆/,则n ∥β. 其中正确命题的个数是（ ▲ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ▲ ）5．在正方体1111D C B A ABCD -中，直线1AC 与平面ABCD 所成的角为θ，则θsin 值为（ ▲ ）A ．21 B. 23 C.22 D. 336．直线()()2130a x a y ++--= 与()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a =( ▲ ) A ．－1 B ．1 C ．1± D ．－327．已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（▲）A ．2 C ．．48．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（ ▲ ）A.平行B.相交C.异面D. 以上皆有可能9．一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如下图所示。
浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文) Word版含答案
杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷(文科)一、选择题（每题3分，共30分）1.设n m ,是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//m ,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则B ．若m //,,//,n m n αβαβ⊥⊥则C ．若//m ,,,//n m n αβαβ⊥⊥则D ．若m //,,//,//n m n αβαβ⊥则2.正方体1111D C B A ABCD -中，N M 、分别是BC CC ,1的中点，则过N M A 、、三点的正方体1111D C B A ABCD -的截面形状是A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对3.如图，在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为 A ．23 B ．21 C ．33 D ．634.若点()n m P ,，)1,1(+-m n Q 关于直线l 对称，则l 的方程是A ．01=+-y xB ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x 5.直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为A ．110B ．25C D 6.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中,下面结论错误的是 A.BD ∥平面11D CB B. 异面直线AD 与1CB 所成的角为30° C.1AC ⊥平面11D CB D. 1AC BD ⊥7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 B.4π C.8π D.16π 6题 7题SBA CO3题8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.B.C.D.9.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=，再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=，则tan OPQ ∠的值为10．三棱锥ABC O -中，OC OB OA ,,两两垂直且相等，点Q P ,分别是线段BC 和OA 上移动，且满足BC BP 21≤，AO AQ 21≤，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是 A.]552,33[B.]22,33[C.]552,66[D.]22,66[ 二、填空题（每题4分，共24分）11.两条平行直线011801243=++=-+y ax y x 与之间的距离为_________.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2),(2,0),(1,0)A B C -，分别以ABC ∆的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 .13.已知1111D C B A ABCD -为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1AC ·(11A B 1A DO1D 1C 1B CBA8题APQ ODCB－1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1A A ·AD |.其中正确命题的序号是________．14题 15题14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是面对角线1A B 上的动点，则1AM MD + 的最小值为 ．15．如图，在三棱锥BCD A -中，2====AD AB DC BC ，2=BD ，平面⊥ABD 平面BCD ，O 为BD 中点，点Q P ,分别为线段BC AO ,上的动点（不含端点），且CQ AP =，则三棱锥QCO P -体积的最大值为________．16．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 ． 三、解答题（共46分）17．（10分）(1)已知C B A ,,三点坐标分别为()2,1,2-，()1,5,4-，()3,2,2-，求点P 的坐标使得()-=21； (2)已知()4,5,3-=，()8,1,2=，求：①⋅；②与夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得μλ+与z 轴垂直，且()()53=+⋅+μλ.18.（12分）一个几何体是由圆柱11A ADD 和三棱锥ABC E -组合而成,点C B A ,,在圆O 的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中⊥EA 平面ABC ,AC AB ⊥,AC AB =.2=AE .(1)求证：BD AC ⊥.(2)求三棱锥BCD E -的体积.19．（12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，F E ,分别是11A B 、1CC 的中点，过1D 、E 、F 作平面1D EGF 交1BB 于G ． (l)求证：EG ∥1D F ；(2)求二面角11C D E F --的余弦值；(3)求正方体被平面1D EGF 所截得的几何体11ABGEA DCFD -的体积．20.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）二、填空题（每题4分，共24分）11.12. 13.14. 15. 16.三、解答题（共46分）17.（10分）18.（12分）19.(12分)20.（12分）杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）二、填空题（每题4分，共24分）11.2712. 4140x y +-= 13. 1,214. 15. 16. 三、解答题（共46分）17.（1）设P （x ，y ，z ），则=（x-2，y+1，z-2），=（2，6，-3），=（-4，3，1）， ∵=21（-）.∴（x-2，y+1，z-2）=21［（2，6，-3）-（-4，3，1）］ =21（6，3，-4）=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x∴P 点坐标为(5，21，0).（2）①a ·b=（3，5，-4）·（2，1，8） =3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|=222)4(53-++=52, |b|=222812++=69, ∴cos 〈a,b 〉=b a b a ⋅ =692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387. ③取z 轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）. 依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+530b a n b a b a μλμλ即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ故⎩⎨⎧=+=+-534829084μλμλ 解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ.18.【解析】(1)因为EA ⊥平面ABC,AC ⊂平面ABC,所以EA ⊥AC,即ED ⊥AC.又因为AC ⊥AB,AB ∩ED=A,所以AC ⊥平面EBD. 因为BD ⊂平面EBD,所以AC ⊥BD.(2)因为点A,B,C 在圆O 的圆周上,且AB ⊥AC,所以BC 为圆O 的直径. 设圆O 的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,解得所以BC=4,AB=AC=2.以下给出求三棱锥E-BCD 体积的两种方法： 方法一：由(1)知,AC ⊥平面EBD, 所以V E-BCD =V C-EBD =S △EBD ×CA,因为EA ⊥平面ABC,AB ⊂平面ABC, 所以EA ⊥AB,即ED ⊥AB. 其中ED=EA+DA=2+2=4, 因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △EBD =ED ×AB=×4×2=4,所以V E-BCD =×4×2=. 方法二：因为EA ⊥平面ABC,所以V E-BCD =V E-ABC +V D-ABC =S △ABC ×EA+S △ABC ×DA=S △ABC ×ED. 其中ED=EA+DA=2+2=4, 因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △ABC =×AC ×AB=×2×2=4,所以V E-BCD =错误！未找到引用源。
2014-2015学年浙江省杭州市育新高中高二上学期期中数学试卷与解析
2014-2015学年浙江省杭州市育新高中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题2分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1．（2分）设集合M={0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M2．（2分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）3．（2分）若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24．（2分）已知等比数列{a n}的通项公式为a n=3n+2（n∈N*），则该数列的公比是（）A．B．9 C．D．35．（2分）下列直线中倾斜角为45°的是（）A．y=x B．y=﹣x C．x=1 D．y=16．（2分）下列算式正确的是（）A．lg8+lg2=lg10 B．lg8+lg2=lg6 C．lg8+lg2=lg16 D．lg8+lg2=lg47．（2分）sin（π+α）=（）A．cosαB．﹣cosαC．sinα D．﹣sinα8．（2分）若函数f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞09．（2分）若对任意的实数k，直线y﹣2=k（x+1）恒经过定点M，则M的坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）10．（2分）以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+y2=2 C．x2+（y﹣1）2=4 D．（x﹣1）2+y2=411．（2分）若函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±112．（2分）将函数图f（x）=sin（x﹣）象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=﹣sinx D．y=﹣cosx13．（2分）正方体的棱长为1，它的顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为（）A．3πB．6πC．3πD．12π14．（2分）命题p：∃x0∈R，x02+2x0﹣2=0，则命题p的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣2≠0 B．∀x∈R，x2+2x﹣2＞0C．∃x0∈R，x02+2x0﹣2≠0 D．∃x0∈R，x02+2x0﹣2＞015．（2分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件16．（3分）在空间中，设α，β表示平面，m，n表示直线．则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊥α，则m⊥αB．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βC．若m上有无数个点不在α内，则m∥αD．若m∥α，那么m与α内的任何直线平行17．（3分）设函数f（x）=sinxcosx，x∈R，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣118．（3分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a 的值为（）A．﹣1或B．1或3 C．﹣2或6 D．0或419．（3分）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为（）A． B． C．3 D．20．（3分）函数f（x）=2x﹣的零点所在的区间可能是（）A．（1，+∞）B．（，1）C．（，）D．（，）21．（3分）若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣322．（3分）如图是某三棱锥的三视图，则这个三棱锥的体积是（）A．B．C．D．23．（3分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°24．（3分）两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m2的直角梯形菜园（墙足够长），则所用篱笆总长度的最小值为（）A．16m B．18m C．22.5m D．15m25．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）26．（2分）设函数f（x）=，则f（3）的值为．27．（2分）已知平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，则实数m的值为．28．（2分）已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y﹣3=0则两平行直线l1，l2间的距离为．29．（2分）设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB=，则•的取值范围是．30．（2分）若不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数k 的取值范围是．三、解答题（共4小题，共30分）31．（7分）已知，求cosθ及的值．32．（7分）已知等差数列{a n}（n∈N+）}满足a1=2，a3=6（1）求该数列的公差d和通项公式a n；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥2n+12，求n的取值范围．33．（8分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠CAA1=∠A1AB=∠BAC=90°，AB=AA1=1，AC=2．（1）求证：A1B⊥平面AB1C；（2）求直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值．34．（8分）设函数f（x）=x2﹣ax+b，a，b∈R．（1）已知f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，求a的取值范围；（2）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．2014-2015学年浙江省杭州市育新高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题2分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1．（2分）设集合M={0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M【解答】解：由题意，集合M中含有三个元素0，1，2．∴A选项1∈M，正确；B选项2∉M，错误；C选项3∈M，错误，D选项{0}∈M，错误；故选：A．2．（2分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=，∴≠0，∴x＞0；∴f（x）的定义域为（0，+∞）．故选：D．3．（2分）若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，∴m＞0，，因此，解得m=1．故选：C．4．（2分）已知等比数列{a n}的通项公式为a n=3n+2（n∈N*），则该数列的公比是（）A．B．9 C．D．3【解答】解：∵等比数列{a n}的通项公式为a n=3n+2（n∈N*），∴该数列的公比q===3．故选：D．5．（2分）下列直线中倾斜角为45°的是（）A．y=x B．y=﹣x C．x=1 D．y=1【解答】解：由于直线的倾斜角为45°，故直线斜率为1，结合所给的选项，只有A满足条件，故选：A．6．（2分）下列算式正确的是（）A．lg8+lg2=lg10 B．lg8+lg2=lg6 C．lg8+lg2=lg16 D．lg8+lg2=lg4【解答】解：lg8+lg2=lg8×2=lg16，故选：C．7．（2分）sin（π+α）=（）A．cosαB．﹣cosαC．sinα D．﹣sinα【解答】解：sin（π+α）=﹣sinα．故选：D．8．（2分）若函数f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0【解答】解：∵f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，∴由一次函数的图象知a﹣1＞0，解得a＞1，故选：B．9．（2分）若对任意的实数k，直线y﹣2=k（x+1）恒经过定点M，则M的坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【解答】解：对任意的实数k，直线y﹣2=k（x+1）恒经过定点M，令参数k的系数等于零，求得x=﹣1，可得y=2，故点M的坐标为（﹣1，2），故选：C．10．（2分）以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+y2=2 C．x2+（y﹣1）2=4 D．（x﹣1）2+y2=4【解答】解：以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的标准方程为（x﹣0）2+（y ﹣1）2=4，故选：C．11．（2分）若函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±1【解答】解：法一：∵函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2+（a﹣1）x﹣a=x2+（1﹣a）x﹣a，∴a﹣1=1﹣a，∴a=1；法二：∵函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，又f（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，∴对称轴为x=，即，∴a=1，故选：A．12．（2分）将函数图f（x）=sin（x﹣）象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=﹣sinx D．y=﹣cosx【解答】解：将函数图f（x）=sin（x﹣）象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式为y=sin（x+﹣）=sinx，故选：A．13．（2分）正方体的棱长为1，它的顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为（）A．3πB．6πC．3πD．12π【解答】解：由棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知2r=，∴球的表面积S=4πr2=3π．故选：A．14．（2分）命题p：∃x0∈R，x02+2x0﹣2=0，则命题p的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣2≠0 B．∀x∈R，x2+2x﹣2＞0C．∃x0∈R，x02+2x0﹣2≠0 D．∃x0∈R，x02+2x0﹣2＞0【解答】解：根据命题p的否定是￢p，∴命题p：∃x0∈R，x02+2x0﹣2=0，命题p的否定是：∀x∈R，x2+2x﹣2≠0．故选：A．15．（2分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若a＞b＞0，则﹣=＜0，即＜出成立．若＜则﹣=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b所以“a＞b＞0是＜”的充分不必要条件．故选：A．16．（3分）在空间中，设α，β表示平面，m，n表示直线．则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊥α，则m⊥αB．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βC．若m上有无数个点不在α内，则m∥αD．若m∥α，那么m与α内的任何直线平行【解答】解：对于A，若m∥n，n⊥α，则m⊥α，据线面垂直的判定定理可知正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；不正确，也可能是m与β不垂直，错误；对于C，若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，故错误；对于D，若直线l平行平面α，则l与平面α内的任一条直线有两种位置关系：平行、异面，故错误，故选：A．17．（3分）设函数f（x）=sinxcosx，x∈R，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣1【解答】解：∵函数f（x）=sinxcosx=sin2x，﹣1≤sin2x≤1，∴函数f（x）的最小值是﹣，故选：B．18．（3分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a 的值为（）A．﹣1或B．1或3 C．﹣2或6 D．0或4【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4∴圆心为：（a，0），半径为：2圆心到直线的距离为：∵解得a=4，或a=0故选：D．19．（3分）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为（）A． B． C．3 D．【解答】解：∵在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=60°，∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣6=7，则BC=．故选：D．20．（3分）函数f（x）=2x﹣的零点所在的区间可能是（）A．（1，+∞）B．（，1）C．（，）D．（，）【解答】解：令f（x）=0，∴2x=，令g（x）=2x，h（x）=，∵g（）=，g（1）=2，h（）=2，h（1）=1，结合图象：∴函数h（x）和g（x）的交点在（，1）内，∴函数f（x）的零点在（，1）内，故选：B．21．（3分）若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：约束条件的可行域如下图示：由，可得，A（1，1），要求目标函数z=y﹣x的最大值，就是z=y ﹣x经过A（1，1）时目标函数的截距最大，最大值为：0．故选：B．22．（3分）如图是某三棱锥的三视图，则这个三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为2，底面三角形的一条边长为2，该边上的高为2，∴几何体的体积V=××2×2×2=．故选：C．23．（3分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取SA的中点F，连接EF，BF，则∵E为棱SC的中点，∴EF∥AC，∴∠BEF（或其补角）为异面直线AC与BE所成的角，∵AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，∴BE=EF=BF=，∴∠BEF=60°．故选：C．24．（3分）两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m2的直角梯形菜园（墙足够长），则所用篱笆总长度的最小值为（）A．16m B．18m C．22.5m D．15m【解答】解：如图设BD=x，设篱笆长度为y，则CD=y﹣x，AB=y﹣2x，梯形的面积为=54，整理得y=+≥2=18，当=x，即x=6时等号成立，所以篱笆总长度最小为18m．故选：B．25．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]【解答】解：由题意得，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=AC=，翻折后，在图2中，此时CB⊥AD．∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1，∴AE=，AD=，在△ADE中：①，②，③x＞0；由①②③可得0＜x＜．如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°，∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×综上，x的取值范围为（0，]，故选：A．二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）26．（2分）设函数f（x）=，则f（3）的值为7．【解答】解：由分段函数可知，f（3）=3×3﹣2=9﹣2=7．故答案为：7．27．（2分）已知平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，则实数m的值为．【解答】解：∵平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，∴2m=3×1，∴m=．故答案为：．28．（2分）已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y﹣3=0则两平行直线l1，l2间的距离为2．【解答】解：两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y﹣3=0之间的距离为=2，故答案为：2．29．（2分）设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB=，则•的取值范围是．【解答】解：∵∴与共线时，能取得最值．①若与同向，则取得最大值，∴取得最大值为：；②若与反向，则取得最小值，∴取得最小值为：，∴的取值范围是，故答案为：．30．（2分）若不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数k 的取值范围是1≤k≤4．【解答】解：设原不等式的解集为A，当k=0时，则x＞4，不合题意，当k＞0且k≠2时，原不等式化为[x﹣（）]（x﹣4）＜0，∵，∴，要使不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，须，解得：1≤k≤4；当k=2时，A=∅，合题意，当k＜0时，原不等式化为[x﹣（）]（x﹣4）＞0，∴A=（﹣∞，）∪（4，+∞），不合题意，故答案为：1≤k≤4．三、解答题（共4小题，共30分）31．（7分）已知，求cosθ及的值．【解答】解：∵，∴cosθ==；∴=sinθcos+cosθsin=×+×=．32．（7分）已知等差数列{a n}（n∈N+）}满足a1=2，a3=6（1）求该数列的公差d和通项公式a n；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥2n+12，求n的取值范围．【解答】解：（1）由题意得d==2，a n=a1+（n﹣1）d=2n，n∈N*．（2）S n==n（n+1）=n2+n，由S n≥2n+12，解得n≥4或n≤﹣3（舍去），所以n≥4且n∈N*．33．（8分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠CAA1=∠A1AB=∠BAC=90°，AB=AA1=1，AC=2．（1）求证：A1B⊥平面AB1C；（2）求直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵∠CAA1=∠BAC=90°，∴CA⊥AA1，CA⊥AB，∵A1A∩AB=A，∴CA⊥平面A1B1BA，∵A1B⊂平面A1B1BA，∴CA⊥A1B，∵四边形A1B1BA为正方形，∴A1B⊥AB1，∵AC∩AB1=A，∴A1B⊥平面AB1C；（2）解：连接A1C，则B1A1⊥AA1，B1A1⊥AC，∵AA1∩AC=A，∴B1A1⊥平面ACC1A1，∴∠B1CA1是直线B1C与平面ACC1A1所成角．在矩形ACC1A1中，AA1=1，AC=2，∴A1C=，∵A1B1=AB=1，∴在Rt△A1B1C中，CB1=，∴sin∠B1CA1=．34．（8分）设函数f（x）=x2﹣ax+b，a，b∈R．（1）已知f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，求a的取值范围；（2）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．【解答】解：（1）∵函数的对称轴为x=，∴要使f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，则满足对称轴x=≥1，即a≥2．（2）∵当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，∴b＞0，①若a≤0，则≤1，此时f（x）在[0，b]上单调递增，∴，即，由b2﹣ab+b≤6得a≥b﹣，∴a=0，此时，解得．②若0＜＜，即0＜a＜b，此时，即，∴，即，∴2＜b＜6，又b﹣≥2，则a≤2，∴b﹣+1≤2，令h（x）=x﹣+1，g（x）=，∴h（2）=g（2）=0，h（3）=g（3）=2，且h（x）与g（x）均在（2，6）上单调递增，当2＜x＜3时，h（x）的图象在g（x）图象的下方，即此时h（x）＜g（x），∴不等式b﹣+1≤2的解为2＜b≤3，当b=3时，，即，解得a=2．③若0＜=，即0＜a=b，此时，即，此时不等式无解．④若0＜＜＜b，即0＜b＜a＜2b，此时，即，即，∴，a2﹣4a+8＜0此时不等式无解．⑤若，即a≥2b，此时f（x）在[0，b]上单调递减，∴，即，即，∴2b，即b，而当b＞0时，b+，∴此时不等式无解．综上b的取值范围是[2，3]，b的最大值是3，此时a=2．。
杭州二中2015学年高二年级第一学期期中考试数学试卷word含答案
杭州二中2015学年高二年级第一学期期中数学试卷D .若 m , //,则 m4.在等差数列｛a *｝中，已知a 1 20，前n 项和为S n ，且S ioA . 110B . 120C . 130D . 14025.若关于x 的不等式x ax 20在区间1,5上有解，则实数a 的取值范围为7•若.X 2y a.,x y 对x, y R 恒成立，则实数a 的最小值是8•设三个底面半径都为 1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱 侧面都相切的球的半径最小值等于二、填空题：本大题共 7小题，每小题4分，共28分•9.已知圆锥的底面半径为 1，高为1,则圆锥的侧面面积 S ________________ 10•右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直 第1页•共9页一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3 0的解集是3分，共24分.1.不等式 x 2 2xA. ( 3,1) B • ( 1,3)C. (, 1) (3,)2•已知a,b0，且a 3b 1，则ab 的取值范围是r 3…1、1 1、 A.[,)B. (0,]C.( ] 61224 123•设m 为 •条直线， , 为两个不同的平面 ，则卜列说法止确的是A .若 m 〃 , // ,则m 〃B .若,mD. ( ,3) (1,)S 15，则S n 的最大值是23 52351]6•已知各棱长均为 小值为1的四面体ABCD 中, C . (1,+ ) E 是AD 的中点，P €直线D . ( , 1)CE ,贝U |BP| + |DP| 的最A.1 +B. ■ 3C. 、 5D. 2D. 1时间：100分钟角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是11.在等比数列｛a n｝中，各项均为正值，且a2a14 a2a648 , a3a9 6 ,则a4 a81 x 112.设函数f(x) log 1 ，则不等式f(log1X) f ()的解集是 _____________________________________ .2 1 x 2 213•空间四边形ABCD中，AB = CD且AB与CD所成的角为30° E、F分别为BC、AD的中点，贝U EF与AB所成角的大小为___________________ .2 a b14.对一切实数x，二次函数f(x) ax bx c的值均为非负实数，贝U 的最小值是___________ .15. 已知三棱锥A BCD , DA, DB, DC两两垂直，且DAB BAC CAD 90 ,则二面角A BC D的余弦值的最大值为___________________ .三、解答题：本大题共4小题•共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)如图：已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，该菱形的边长为1, ABC 60 , AA, 平面AC .(1)设棱形ABCD的对角线的交点为0,求证：AQ//平面B1D1C ;(2)若四棱柱的体积V 所成角的正弦值A1BD117. (本小题满分12 分)(1)求关于x 的不等式ax2 x a 1 0(a R) 的解集. ( 2)求证：(ac bd)2 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ，a,b,c,d R .18. (本小题满足12分) 如图：已知正六边形ABCDEF边长为1，把四边形CDEF沿着FC向上翻折成一个立体图形ABCD.E, F .(1)求证：FC E1A ；(2)若E1B 于时，求二面角E1FB C的正切值.19.(本小题满足12分)数列a n 4满足a12 *a n 1 a n a n 1(n N) 3(1)求证：an 1 a n;(2 )设m 1 1 1 ，求不超过m 的最大整数.a i a2 a2015杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案•选择题：本大题共 8小题，每小题3分，共24分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBDCABBA16.(本小题满分10分)如图：已知四棱锥 ABCD ABQD 1的底面是棱形，该棱形的边长为 1, ABC 60 , AA 平面AC .(1) 设棱形ABCD 的对角线的交点为 O ,求证： A 。
浙江省杭州市七校2014届高三上学期期中联考文科数学试卷(解析版)
浙江省杭州市七校2014届高三上学期期中联考文科数学试卷（解析版）一、选择题1）AD 【答案】D【解析】N ={|x考点：集合的基本运算.2等于（ ） A ．2 B．－2 D 【答案】B 【解析】考点：等比数列.3） A【答案】C 【解析】考点：函数的奇偶性.4）A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】则要条件.考点：充分必要条件5（）A【解析】.61个单位，所得图像的函数解析式是（）AC【答案】B【解析】考点：三角函数图像的平移变换7）【答案】C【解析】试题分析：左平移1C.考点：函数的图像.8） A【答案】D 【解析】考点：基本不等式.9．已知函数，若互不相等，且）A【答案】A【解析】试题分析：可以考虑作出函数的图像，如图所示，不妨于是有考点：函数的图像.10（ ）AD 【答案】C【解析】试题分析：本题可以考虑用线性规划，建立如图所示的图像，因考点：简单线性规划二、填空题11的结果为；【解析】考点：指数运算.12．已知平面向量，，且，则的值【解析】考点：平面向量数量积运算.13【解析】试题分析：所，于是考点：等差数列.14的值为 .【解析】试题分析：考点：1.诱导公式；2.二倍角余弦公式15．若函数在区有极值，则实数的取值范围是 .【解析】试题分析：因为函数在区间内有极值，所以导数考点：1.导数的公式与法则；2.函数的零点.16．已知长等其外接圆上运动，最大值是 .【解析】试题分析：可以考虑建立如图所示的平面直角坐标系，考点：平面向量综合运算.17是 .【解析】试题分析：，令，则，于是，又，，考点：1.求导的公式与法则；2.函数的极值最值.三、解答题x的定义域，集合18．已知集合为函数2).【答案】【解析】试题分析：(Ⅰ) 本小题求函数的定义域，主要涉及到对数的真数大于零、一元二次不等式.试题解析：考点：1.函数定义域；2.集合的关系．19.【答案】【解析】试题分析：试题解析：2分故sin=A 5分分分分13分14分考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.面积公式.20.【答案】【解析】试题分析：性质，得到三角函数的取值范围，进而求值域； 试题解析：2分4分分（Ⅱ）分分分 考点：1.平行向量；2.三角函数的图像与性质.21成等差，（Ⅱ），nba+，.【答案】【解析】试题分析：试题解析：1分， 3分5分6分21222=⋅+⋅122n nn+-⋅12)(n n+⋅=分12分分分考点：1.等比数列；2.错位相减求和.22.【答案】（Ⅰ）详见解析；【解析】试题分析：(Ⅰ) 本小题首先利用求导的公式与法则求得函数的导数通过分析其值的正负可得函数的单调性；(Ⅱ) 本小题主要利用导数分析函数的单调性，根据参数的取值范围得到函数.试题解析：分4分. 6分（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知：8分舍去； 10分③当时，在区间内单调递减，12分分分考点：1.求导得公式与法则；2.导数判断单调性.。
2014-2015年浙江省杭州市重点中学联考高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3 2．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．135°，﹣1C．90°，不存在D．180°，不存在3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．37．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2D．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P到准线l的距离之和的最小值为．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．15．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，G为MC中点，则下列结论中正确的是．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k 的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【分析】由球的条件公式：V=r3，代入半径计算即可得到．【解答】解：球的半径r=2，则球的体积为V=r3=π×23=π（cm3）．故选：C．2．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．135°，﹣1C．90°，不存在D．180°，不存在【分析】垂直于x轴的直线倾斜角为90°，斜率不存在，即可得出．【解答】解：∵直线x=﹣垂直于x轴，∴倾斜角为90°，斜率不存在．故选：C．3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a＞0且b＞0则a•b＞0成立，即必要性成立，若a＜0且b＜0，满足a•b＞0但a＞0且b＞0不成立，即充分性不成立，故a•b＞0是a＞0且b＞0的必要不充分条件，故选：B．4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选：C．5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．【分析】由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，分类讨论其左视图的形状，可得答案．【解答】解：由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，①当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：或，几何全的侧视图如图所示：，故排除A；②当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除B；③当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除C；故选：D．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．3【分析】若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，即可得到结论．【解答】解：圆心坐标为（，），若若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，∴=0，即m+k=0，且直线y=kx+1与x+y=0垂直，则k=1，即m=﹣1，则k+2m=1﹣2=﹣1，故选：A．7．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线与椭圆共顶点，可得双曲线的顶点坐标，结合焦距是6，可得a，b的值，进而可求双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线与椭圆共顶点，∴双曲线的顶点坐标为（0，±），即a=，∵焦距是6，∴2c=6，∴c=3，∴=2，∴双曲线的渐近线方程是y=±x．故选：B．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】通过椭圆的定义可得PF1、PF2，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论．【解答】解：由题可知：2=，即PF2=2PF1，又PF2+PF1=2a，∴PF1=，PF2=，由勾股定理可知：，即：，∴e====，故选：A．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣【分析】连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE．证出DE是△ABC的中位线，得DE A1B，因此AE、ED所成的锐角或直角就是A1B与AC1所成的角．然后利用题中数据在△AED中分别算出边AE、ED、AD的长，根据余弦定理列式，即可算出异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．【解答】解：连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE，∵四边形AA1C1C是平行四边形，∴E是A1C的中点∵D是BC的中点，∴DE是△A 1BC的中位线，可得DE A1B，因此，∠AED（或其补角）就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB=AC=AA1=2，可得∵∠A1AB=60°，∴△A1AB是等边三角形，可得A1B=2，得DE=A1B=1．同理，等边△A1AC中，中线AE=A1A=，又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D为BC中点，∴AD=BC==由此可得△ADE中，cos∠AED===．即异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．故选：C．10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2D．【分析】如图所示，把上图中的△ABB1延AB1上转90°，得到下图，当C1Q⊥AB时，PC1+PQ=CQ最小．【解答】解：如图所示，把上图中的△ABB1沿AB1上转90°，得到下图，当C1Q ⊥AB时，PC1+PQ=CQ最小，PC1=，PA=﹣1，PQ=，所以PC1+PQ=1+，故选：A．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．然后求出两点距离即可．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z），∴A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点的坐标为：A1（4，3，﹣1）．∴|AA1|==．故答案为：．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．【分析】4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，利用两条平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，∴两条平行线之间的距离d==，故答案为：13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P到准线l的距离之和的最小值为．【分析】如图所示，过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：如图所示，F．过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，|PA|==．故答案为：．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆柱体与一半圆锥体的组合体，根据图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一底面半径为1，高为4的半圆柱体，与一底面半径为1，高为2的半圆锥体的组合体；该几何体的体积为V几何体=V半圆柱体+V半圆锥体=•π12•4+•π12•2=．故答案为：．15．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，G为MC中点，则下列结论中正确的是①②④．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．【分析】由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D 各项分别加以判断，即可得出本题答案．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示对于①，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故①正确；对于②，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故②正确；对于③，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，二面角A﹣MN﹣C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故③不正确；对于④，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD﹣A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故④正确故答案为：①②④16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于24．【分析】根据双曲线的定义，得|AF1|﹣|AF2|=2a=2，△AF1F2中根据余弦定理算出|F1F2|2，从而得到c2=7．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线AB方程与双曲线方程联解，可得B的坐标，由△F1AB的面积S=2c×|y1﹣y2|，计算即可得到．【解答】解：如图所示，由双曲线的方程可知：a=1．∴|AF1|﹣|AF2|=2，∵|AF2|=4，∴|AF1|=6．∴|F1F2|2=（2c）2=62+42﹣2×6×4×cos60°，即有c2=7，∴b2=c2﹣1=6，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，化为7x12﹣2x1﹣15=0，解得x1=，或x1=﹣（舍去）．由此解出A的坐标为（，），直线AB的斜率为k==﹣3．设直线AB方程为y=﹣3（x﹣），与双曲线6x2﹣y2=6联解，得到B（，﹣），∴△ABF1的面积S=2×|y1﹣y2|=×|+|=．故答案为：24．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．【分析】通过•=0推断出PM⊥AM，进而利用勾股定理可知|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，进而问题转化为求得|AP|最小值，计算即得结论．【解答】解：∵•=0，∴PM⊥AM，∴|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，又∵||=1，∴|AP|越小，|PM|就越小，设P（10cosx，8sinx），则|AP|2=（10cosx﹣6）2+（8sinx﹣0）2=100cos2x﹣120cosx+36+64sin2x=36cos2x﹣120cosx+100=（6cosx﹣10）2，∴|AP|的最小值为=4，∴|PM|的最小值为：=，故答案为：．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．【分析】分别求出命题p，q是真命题时的m的范围，通过讨论p真q假，p假q真的情况，从而得到m的范围．【解答】解：由题意知：命题p与命题q一真一假，p为真命题：，解得2＜m＜3，q为真命题：（5﹣2m）m＜0，解得，若p真q假，则，若p假q真：m＜0或m≥3，综上：．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆M的方程；（2）根据直线和圆相交的弦长公式即可得到结论．【解答】解：（1）设圆M的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0根据圆M过A（1，﹣2），B（﹣1，0）得：1+4+D﹣2E+F=0①1﹣D+F=0 ②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令x=0，得y2+Ey+F=0，所以y1+y2=﹣E令y=0，得x2+Dx+F=0，所以x1+x2=﹣D所以﹣D﹣E=2③﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由①②③得D=﹣2，E=0，F=﹣3，所以圆M的方程x2+y2﹣2x﹣3=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）圆M的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4所以圆心M（1，0），半径r=2设直线l的方程为：y﹣3=k（x﹣4），即kx﹣y+3﹣4k=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）直线l被圆M截得的弦长为2，则圆心M到直线l距离所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得：，所以直线l的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．【分析】（Ⅰ）由已知条件，利用直线与平面、平面与平面的位置关系先推导出平面BCF∥平面ADF，由此能证明BF∥平面ADE．（Ⅱ）由已知条件推导出面ADE⊥面CDEF，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，则∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角，由此能求出直线AF与平面CDEF所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，又因为BC不包含于平面ADE，所以BC∥平面ADE，因为DE∥CF，CF不包含于平面ADE，所以CF∥平面ADE，又因为BC∩CF=C，所以平面BCF∥平面ADF，而BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE．…（5分）（Ⅱ）因为⇒CD⊥面ADE，又因为CD⊂面CDEF，所以面ADE⊥面CDEF，…（10分）因为CD⊥AD，CD⊥DE，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，…（11分）因为平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，所以∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角θ…（12分）在Rt△AOD中，∵AD=2，∠ADE=60°，∴AO=，在直角梯形CDEF，∵EF=3，CF=6，∠CFE=45°，∴2CD2=18，∴CD=3，∴OF==，所以tanθ==，所以直线AF与平面CDEF所成角的正切值为．…（15分）21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．【分析】（1）由抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），即可得出抛物线方程．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P 作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．可得|PG|=a．在RT△PQG 中，可得|QM|=a，因此k=tan∠QPG=，即可得出．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．把直线方程分别抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式可得M，N的坐标，利用两点之间的距=及基本不等式的性质即可得出．离公式可得，|TM|，|TN|．S△TMN【解答】解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），∴y2=8x．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．|PH|=2a=2|GH|，∴|PG|=a．在RT△PQG中，|PG|=a，|PQ|=3a，得|QM|=a，∴k=tan∠QPG=，同理k＜0时，，∴．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．由，∴，同理可得，∴，，∴，当且仅当|m|=1时，面积取到最小值16．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y fu=为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
浙江省杭州市重点中学联考高二数学上学期期末试卷文(含解析)
浙江省杭州市重点中学联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm32．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1 B．135°，﹣1 C．90°，不存在D．180°，不存在3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．37．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q 两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD 上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2 D．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l， P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P到准线l的距离之和的最小值为．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，15．G为MC中点，则下列结论中正确的是．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N 分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．浙江省杭州市重点中学联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：由球的条件公式：V=r3，代入半径计算即可得到．解答：解：球的半径r=2，则球的体积为V=r3=π×23=π（cm3）．故选C．点评：本题考查球的体积的计算，考查运算能力，属于基础题．2．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1 B．135°，﹣1 C．90°，不存在D．180°，不存在考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：垂直于x轴的直线倾斜角为90°，斜率不存在，即可得出．解答：解：∵直线x=﹣垂直于x轴，∴倾斜角为90°，斜率不存在．故选：C．点评：本题考查了垂直于x轴的直线倾斜角、斜率，属于基础题．3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．解答：解：若a＞0且b＞0则a•b＞0成立，即必要性成立，若a＜0且b＜0，满足a•b＞0但a＞0且b＞0不成立，即充分性不成立，故a•b＞0是a＞0且b＞0的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，分类讨论其左视图的形状，可得答案．解答：解：由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，①当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：或，几何全的侧视图如图所示：，故排除A；②当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除B；③当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除C；故选：D点评：此题主要考查了左视图以及由三视图判断几何体的形状，主要培养同学们的空间想象能力，想象不出来可以亲手实验．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，即可得到结论．解答：解：圆心坐标为（，），若若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，∴=0，即m+k=0，且直线y=kx+1与x+y=0垂直，则k=1，即m=﹣1，则k+2m=1﹣2=﹣1，故选：A点评：本题主要考查直线和圆相交的应用，根据点的对称性确定圆心位置是解决本题的关键．7．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线与椭圆共顶点，可得双曲线的顶点坐标，结合焦距是6，可得a，b的值，进而可求双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线与椭圆共顶点，∴双曲线的顶点坐标为（0，±），即a=，∵焦距是6，∴2c=6，∴c=3，∴=2，∴双曲线的渐近线方程是y=±x．故选B．点评：本题考查椭圆，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q 两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆的定义可得PF1、PF2，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论．解答：解：由题可知：2=，即PF2=2PF1，又PF2+PF1=2a，∴PF1=，PF2=，由勾股定理可知：，即：，∴e====，故选：A．点评：本题考查求椭圆的离心率，涉及到三角函数的定义、勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE．证出DE是△A1BC的中位线，得DE A 1B，因此AE、ED所成的锐角或直角就是A1B与AC1所成的角．然后利用题中数据在△AED中分别算出边AE、ED、AD的长，根据余弦定理列式，即可算出异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．解答：解：连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE，∵四边形AA1C1C是平行四边形，∴E是A1C的中点∵D是BC的中点，∴DE是△A 1BC的中位线，可得DE A1B，因此，∠AED（或其补角）就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB=AC=AA1=2，可得∵∠A1AB=60°，∴△A1AB是等边三角形，可得A1B=2，得DE=A1B=1．同理，等边△A1AC中，中线AE=A1A=，又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D为BC中点，∴AD=BC==由此可得△ADE中，cos∠AED===．即异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．故答案为：点评：本题在特殊的三棱柱中，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．着重考查了棱柱的性质、三角形中位线定理和异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题．10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD 上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2 D．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，把上图中的△ABB1延AB1上转90°，得到下图，当C1Q⊥AB时，PC1+PQ=CQ 最小．解答：解：如图所示，把上图中的△ABB1沿AB1上转90°，得到下图，当C1Q⊥AB时，PC1+PQ=CQ最小，PC1=，PA=﹣1，PQ=，所以PC1+PQ=1+，故选：A．点评：多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．考点：空间两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．然后求出两点距离即可．解答：解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z），∴A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点的坐标为：A1（4，3，﹣1）．∴|AA1|==．故答案为：．点评：本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，利用两条平行线之间的距离公式即可得出．解答：解：4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，∴两条平行线之间的距离d==，故答案为：点评：本题考查了两条平行线之间的距离公式，属于基础题．13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P 到准线l的距离之和的最小值为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：如图所示，F．过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，|PA|==．故答案为：．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆柱体与一半圆锥体的组合体，根据图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一底面半径为1，高为4的半圆柱体，与一底面半径为1，高为2的半圆锥体的组合体；该几何体的体积为V几何体=V半圆柱体+V半圆锥体=•π12•4+•π12•2=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是由三视图几何体的求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，15．G为MC中点，则下列结论中正确的是①②④．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．考点：棱柱的结构特征；平面与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．解答：解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示对于①，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故①正确；对于②，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故②正确；对于③，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，二面角A﹣MN﹣C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故③不正确；对于④，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD﹣A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故④正确故答案为：①②④点评：本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于24．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，得|AF1|﹣|AF2|=2a=2，△AF1F2中根据余弦定理算出|F1F2|2，从而得到c2=7．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线AB方程与双曲线方程联解，可得B的坐标，由△F1AB的面积S=2c×|y1﹣y2|，计算即可得到．解答：解：如图所示，由双曲线的方程可知：a=1．∴|AF1|﹣|AF2|=2，∵|AF2|=4，∴|AF1|=6．∴|F1F2|2=（2c）2=62+42﹣2×6×4×cos60°，即有c2=7，∴b2=c2﹣1=6，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，化为7x12﹣2x1﹣15=0，解得x1=，或x1=﹣（舍去）．由此解出A的坐标为（，），直线AB的斜率为k==﹣3．设直线AB方程为y=﹣3（x﹣），与双曲线6x2﹣y2=6联解，得到B（，﹣），∴△ABF1的面积S=2×|y1﹣y2|=×|+|=．故答案为：24．点评：本题给出双曲线的焦点三角形△AF1F2的两边之长和夹角，求△F1AB的面积．着重考查了双曲线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系和三角形的面积公式等知识点，属于中档题．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过•=0推断出PM⊥AM，进而利用勾股定理可知|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，进而问题转化为求得|AP|最小值，计算即得结论．解答：解：∵•=0，∴PM⊥AM，∴|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，又∵||=1，∴|AP|越小，|PM|就越小，设P（10cosx，8sinx），则|AP|2=（10cosx﹣6）2+（8sinx﹣0）2=100cos2x﹣120cosx+36+64sin2x=36cos2x﹣120cosx+100=（6cosx﹣10）2，∴|AP|的最小值为=4，∴|PM|的最小值为：=，故答案为：．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和平面向量的几何意义．考查了学生综合分析问题和推理能力以及数形结合的思想的运用，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程．专题：简易逻辑．分析：分别求出命题p，q是真命题时的m的范围，通过讨论p真q假，p假q真的情况，从而得到m的范围．解答：解：由题意知：命题p与命题q一真一假，p为真命题：，解得2＜m＜3，q为真命题：（5﹣2m）m＜0，解得，若p真q假，则，若p假q真：m＜0或m≥3，综上：．点评：本题考查了复合命题的判断，考查了分类讨论思想，是一道基础题．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆M的方程；（2）根据直线和圆相交的弦长公式即可得到结论．解答：解：（1）设圆M的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0根据圆M过A（1，﹣2），B（﹣1，0）得：1+4+D﹣2E+F=0①1﹣D+F=0 ②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令x=0，得y2+Ey+F=0，所以y1+y2=﹣E令y=0，得x2+Dx+F=0，所以x1+x2=﹣D所以﹣D﹣E③﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由①②③得D=﹣2，E=0，F=﹣3，所以圆M的方程x2+y2﹣2x﹣3=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）圆M的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4所以圆心M（1，0），半径r=2设直线l的方程为：y﹣3=k（x﹣4），即kx﹣y+3﹣4k=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）直线l被圆M截得的弦长为2，则圆心M到直线l距离所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得：，所以直线l的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查圆的方程的求解以及直线和圆相交弦长公式的应用，利用待定系数法是解决本题的关键．20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知条件，利用直线与平面、平面与平面的位置关系先推导出平面BCF∥平面ADF，由此能证明BF∥平面ADE．（Ⅱ）由已知条件推导出面ADE⊥面CDEF，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，则∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角，由此能求出直线AF与平面CDEF所成角的正切值．解答：解：（Ⅰ）因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，又因为BC不包含于平面ADE，所以BC∥平面ADE，因为DE∥CF，CF不包含于平面ADE，所以CF∥平面ADE，又因为BC∩CF=C，所以平面BCF∥平面ADF，而BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE．…（5分）（Ⅱ）因为⇒CD⊥面ADE，又因为CD⊂面CDEF，所以面ADE⊥面CDEF，…（10分）因为CD⊥AD，CD⊥DE，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，…（11分）因为平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，所以∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角θ…（12分）在Rt△AOD中，∵AD=2，∠ADE=60°，∴A O=，在直角梯形CDEF，∵EF=3，CF=6，∠CFE=45°，∴2CD2=18，∴CD=3，∴OF==，所以tanθ==，所以直线AF与平面CDEF所成角的正切值为．…（15分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成的角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N 分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），即可得出抛物线方程．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．可得|PG|=a．在RT△PQG中，可得|QM|=a，因此k=tan∠QPG=，即可得出．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．把直线方程分别抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式可得M，N的坐标，利用两点之间的距离公式可得，|TM|，|TN|．S△TMN=及基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），∴y2=8x．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．|PH|=2a=2|GH|，∴|PG|=a．在RT△PQG中，|PG|=a，|PQ|=3a，得|QM|=a，∴k=tan∠QPG=，同理k＜0时，，∴．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．由，∴，同理可得，∴，，∴，当且仅当|m|=1时，面积取到最小值16．点评：本题考查了抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直角三角形的边角关系、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江省杭州地区六校2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题
浙江省杭州地区六校2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求。
）1、在等差数列{n a }中，若12121324a a a a +++=，则7a 为( )A ．6B ．7C ．8D ． 9 2、下列四个命题中，其中正确的命题的是（ ） A 过三点确定一个平面 B 矩形是平面图形C 四边相等的四边形是平面图形D 三条直线两两相交则确定一个平面。
3、用长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为 （ ） A ．8π B ．16π C ．24π D ．32π4、已知d c b a >>,，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a d b +<+ B ．bd ac > C ．bdc a > D ．d b c a ->- 5．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是( )．222sin sin sin ,ABC C A B ABC ∆=+∆6、在中，若则为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形7．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. ,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒ B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒C ． ,//m m n n αα⊥⊥⇒D ． //,m n n m αα⊥⇒⊥8、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB 与CD 的位置关系为（ ）A. 平行B. 相交成60°角C. 异面成60°角D. 异面且垂直9．已知某几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )A ．24－32π B ．24－3π C ．24－π D ．24－2π 10．如图，正方体ABCD-1111A B C D 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．直线AH 和BB 1所成角为45°D ．AH 的延长线经过点C 1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知三个数3,,12x --成等比数列，该数列公比q= ___________.12、一个正方体的所有顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的表面积___________cm 2. 13、 已知二面角βα--AB 的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么COS θ的值等于 .C 1B 1A 1FE CBA14、设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≤，≥ 则函数24z x y =+的最小值为____________15、 设x >0,则133y x x=--的最大值为 . 16、已知正三棱锥A-BCD 的侧面积为36 cm 2,侧面ACD 底边CD 上的高为2cm. 求正三棱锥A-BCD 的体积 3cm 17、如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D ，DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D 。
浙江省杭州十四中高二上学期期中数学文试卷.pdf
杭十四中二一二学年第一学期阶段性测试 高二年级数学（科）学科试卷 考生须知: 1． 考试时间：2012年11月20日10时20分至11时50分． 2． 试卷分本卷和附加两部分，其中本卷满分100分，附加满分20分，共4页. 3． 所有答案必须写在答题卷上, 在试卷上答题无效． 4． 本试卷不得使用计算器． 5．参考公式： （1）柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 （2）锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 （3）台体的体积公式：，其中分别表示台体的上底、下底面积，表示台体的高 （4）球的表面积公式：；球的体积公式：，其中表示球的半径. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分, 共30分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）： 1.（ ）直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．（ ）双曲线的焦点坐标是 A．B． C．D． 3．（ ）过点，且在轴上截距是轴上截距的倍的直线方程为 A．或 B．或 C．或 D．或 4．（ ）抛物线的准线方程是 A． B． C． D． 5．（ ）若直线与垂直，则实数的值为 A．B．或 C．－6或 D．或 6．（ ）圆关于直线对称的圆的方程是 A．B． C．D． 7．（ ）已知两个不同的平面、，能判定的条件是 A．、分别平行于直线 B．、分别垂直于直线 C．、分别垂直于平面 D．内有两条直线分别平行于 8．（ ）如图，正四棱锥的所有棱长相等，E为PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的余弦值是 A．B． C．D． 9．（ ）球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 A．B． C．D． 10．（ ）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 A．B． C．D． 二、填空题本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上 11．与直线平行，且经过点的直线方程为 . 12．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则m＝ . 13．已知、为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦，若的周长为，则该椭圆的标准方程 . 14．若某几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，则该几何体的积为 cm2． 15．过点且与双曲线有相同渐近线方程的双曲线的标准方程为 . 16．如图，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则为 . 17．给出下列命题： ①如果是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面； ②如果平面不垂直于平面那么平面内一定不存在直线垂直于平面； ③若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线也是异面直线； ④已知平面⊥平面，且∩＝，若⊥，则⊥平面； ⑤已知直线⊥平面，直线平面，，则⊥. 其中正确命题的序号是 . 三、解答题本大题有4小题, 共42分． 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 18．(本题满分10分) 若直线过点(0,3)且与抛物线y2=2x只有一个公共点，求该直线方程. 19．(本题满分10分)上，且经过圆与圆的交点的圆方程. 20．(本题满分10分) 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且. （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值的大小. 21．(本题满分1分)，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆相交于和，且，，求椭圆的方程. 四、附加题 ．本大题有小题，每题分，共分．请将答案填写在答题卷中的横线上（Ⅰ）的最小值为 ▲ . （Ⅱ）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是 . 23．（本题．写出文字说明, 证明过程或演算步骤已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （）证明：直线与轴相交于定点的坐标. 数学（文科）评分细则高二 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分, 共30分）： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C C B A D D B D B A二、填空题（本大题有7小题，每题4分，共28分）： 11． x+2y+4=0 12．m=±4 13． 14． 15． 16． 17．②⑤ 三、解答题（本大题有4小题, 共42分）： 18．解析：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝0，满足条件………………………………2分； 当直线l的斜率存在，不妨设l：y=kx+3，代入y2=2x，得：k2x2 +(6k-2)x+9=0……………4分； 有条件知，当k=0时，即：直线y=3与抛物线有一个交点………………………………………6分； 当k≠0时，由△＝(6k-2)2 -4×9×k2=0，解得：k=，则直线方程为…………9分； 故满足条件的直线方程为：x＝0或y=3或…………………………………………10分. 19．解析：设圆与圆的交点为A、B，解方程组： ………………………………………4分； 所以A（－1，3）、B（－6，－2） 因此直线AB的垂直平分线方程为：x+y+3=0…………….……………………………………6分； 与x+y+3=0联立，解得：x=-2，y=-1，即：所求圆心C为（－2，－1）………8分； 半径r=AC＝. 故所求圆C的方程为：(x+2)2 +（y+1）2=17………………………………………………………4分； 20．解析：（I）………………………4分； （II） …………………………………………………………………………………………………………………8分；. 故为所求二面角的平面角，………………………10分. 21．解析：设所求椭圆的方程为， 依题意，点P（）、Q（）的坐标满足方程组 解之并整理得………………………………………………2分； 所以：， ①………………………………3分； 由OP⊥OQ ②………………………6分； 又由|PQ|====③………………………………9分； 由①②③可得：………………11分； 故所求椭圆方程为，或………………………………………12分. 四、附加题（本大题有2小题, 共20分）： 22.（I）；（II）10. 23．解析：（I）由题意知，，即， 又，，故椭圆的方程为 ………………………3分； （II）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得： ① 设点，得 …………………………5分； ，即， ……………………………7分； 又，直线的方程为， 令，得， 将代入整理得 ② …………… 9分； 由①得，代入②整理得，所以直线与轴相交于定点…………………… 10分. （第20题） A C D B A1 B1 C1 （第1题） E A D P B C （第8题）。
浙江省杭州市重点中学联考高二数学上学期期末试卷 文(含解析)
浙江省杭州市重点中学联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm32．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1 B．135°，﹣1 C．90°，不存在D．180°，不存在3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．37．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q 两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD 上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2 D．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l， P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P到准线l的距离之和的最小值为．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，15．G为MC中点，则下列结论中正确的是．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N 分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．浙江省杭州市重点中学联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：由球的条件公式：V=r3，代入半径计算即可得到．解答：解：球的半径r=2，则球的体积为V=r3=π×23=π（cm3）．故选C．点评：本题考查球的体积的计算，考查运算能力，属于基础题．2．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1 B．135°，﹣1 C．90°，不存在D．180°，不存在考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：垂直于x轴的直线倾斜角为90°，斜率不存在，即可得出．解答：解：∵直线x=﹣垂直于x轴，∴倾斜角为90°，斜率不存在．故选：C．点评：本题考查了垂直于x轴的直线倾斜角、斜率，属于基础题．3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．解答：解：若a＞0且b＞0则a•b＞0成立，即必要性成立，若a＜0且b＜0，满足a•b＞0但a＞0且b＞0不成立，即充分性不成立，故a•b＞0是a＞0且b＞0的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，分类讨论其左视图的形状，可得答案．解答：解：由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，①当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：或，几何全的侧视图如图所示：，故排除A；②当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除B；③当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除C；故选：D点评：此题主要考查了左视图以及由三视图判断几何体的形状，主要培养同学们的空间想象能力，想象不出来可以亲手实验．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，即可得到结论．解答：解：圆心坐标为（，），若若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，∴=0，即m+k=0，且直线y=kx+1与x+y=0垂直，则k=1，即m=﹣1，则k+2m=1﹣2=﹣1，故选：A点评：本题主要考查直线和圆相交的应用，根据点的对称性确定圆心位置是解决本题的关键．7．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线与椭圆共顶点，可得双曲线的顶点坐标，结合焦距是6，可得a，b的值，进而可求双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线与椭圆共顶点，∴双曲线的顶点坐标为（0，±），即a=，∵焦距是6，∴2c=6，∴c=3，∴=2，∴双曲线的渐近线方程是y=±x．故选B．点评：本题考查椭圆，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q 两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆的定义可得PF1、PF2，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论．解答：解：由题可知：2=，即PF2=2PF1，又PF2+PF1=2a，∴PF1=，PF2=，由勾股定理可知：，即：，∴e====，故选：A．点评：本题考查求椭圆的离心率，涉及到三角函数的定义、勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE．证出DE是△A1BC的中位线，得DE A 1B，因此AE、ED所成的锐角或直角就是A1B与AC1所成的角．然后利用题中数据在△AED中分别算出边AE、ED、AD的长，根据余弦定理列式，即可算出异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．解答：解：连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE，∵四边形AA1C1C是平行四边形，∴E是A1C的中点∵D是BC的中点，∴DE是△A 1BC的中位线，可得DE A1B，因此，∠AED（或其补角）就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB=AC=AA1=2，可得∵∠A1AB=60°，∴△A1AB是等边三角形，可得A1B=2，得DE=A1B=1．同理，等边△A1AC中，中线AE=A1A=，又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D为BC中点，∴AD=BC==由此可得△ADE中，cos∠AED===．即异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．故答案为：点评：本题在特殊的三棱柱中，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．着重考查了棱柱的性质、三角形中位线定理和异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题．10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD 上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2 D．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，把上图中的△ABB1延AB1上转90°，得到下图，当C1Q⊥AB时，PC1+PQ=CQ 最小．解答：解：如图所示，把上图中的△ABB1沿AB1上转90°，得到下图，当C1Q⊥AB时，PC1+PQ=CQ最小，PC1=，PA=﹣1，PQ=，所以PC1+PQ=1+，故选：A．点评：多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．考点：空间两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．然后求出两点距离即可．解答：解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z），∴A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点的坐标为：A1（4，3，﹣1）．∴|AA1|==．故答案为：．点评：本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，利用两条平行线之间的距离公式即可得出．解答：解：4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，∴两条平行线之间的距离d==，故答案为：点评：本题考查了两条平行线之间的距离公式，属于基础题．13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P 到准线l的距离之和的最小值为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：如图所示，F．过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，|PA|==．故答案为：．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆柱体与一半圆锥体的组合体，根据图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一底面半径为1，高为4的半圆柱体，与一底面半径为1，高为2的半圆锥体的组合体；该几何体的体积为V几何体=V半圆柱体+V半圆锥体=•π12•4+•π12•2=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是由三视图几何体的求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，15．G为MC中点，则下列结论中正确的是①②④．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．考点：棱柱的结构特征；平面与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．解答：解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示对于①，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故①正确；对于②，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故②正确；对于③，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，二面角A﹣MN﹣C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故③不正确；对于④，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD﹣A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故④正确故答案为：①②④点评：本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于24．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，得|AF1|﹣|AF2|=2a=2，△AF1F2中根据余弦定理算出|F1F2|2，从而得到c2=7．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线AB方程与双曲线方程联解，可得B的坐标，由△F1AB的面积S=2c×|y1﹣y2|，计算即可得到．解答：解：如图所示，由双曲线的方程可知：a=1．∴|AF1|﹣|AF2|=2，∵|AF2|=4，∴|AF1|=6．∴|F1F2|2=（2c）2=62+42﹣2×6×4×cos60°，即有c2=7，∴b2=c2﹣1=6，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，化为7x12﹣2x1﹣15=0，解得x1=，或x1=﹣（舍去）．由此解出A的坐标为（，），直线AB的斜率为k==﹣3．设直线AB方程为y=﹣3（x﹣），与双曲线6x2﹣y2=6联解，得到B（，﹣），∴△ABF1的面积S=2×|y1﹣y2|=×|+|=．故答案为：24．点评：本题给出双曲线的焦点三角形△AF1F2的两边之长和夹角，求△F1AB的面积．着重考查了双曲线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系和三角形的面积公式等知识点，属于中档题．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过•=0推断出PM⊥AM，进而利用勾股定理可知|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，进而问题转化为求得|AP|最小值，计算即得结论．解答：解：∵•=0，∴PM⊥AM，∴|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，又∵||=1，∴|AP|越小，|PM|就越小，设P（10cosx，8sinx），则|AP|2=（10cosx﹣6）2+（8sinx﹣0）2=100cos2x﹣120cosx+36+64sin2x=36cos2x﹣120cosx+100=（6cosx﹣10）2，∴|AP|的最小值为=4，∴|PM|的最小值为：=，故答案为：．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和平面向量的几何意义．考查了学生综合分析问题和推理能力以及数形结合的思想的运用，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程．专题：简易逻辑．分析：分别求出命题p，q是真命题时的m的范围，通过讨论p真q假，p假q真的情况，从而得到m的范围．解答：解：由题意知：命题p与命题q一真一假，p为真命题：，解得2＜m＜3，q为真命题：（5﹣2m）m＜0，解得，若p真q假，则，若p假q真：m＜0或m≥3，综上：．点评：本题考查了复合命题的判断，考查了分类讨论思想，是一道基础题．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆M的方程；（2）根据直线和圆相交的弦长公式即可得到结论．解答：解：（1）设圆M的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0根据圆M过A（1，﹣2），B（﹣1，0）得：1+4+D﹣2E+F=0①1﹣D+F=0 ②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令x=0，得y2+Ey+F=0，所以y1+y2=﹣E令y=0，得x2+Dx+F=0，所以x1+x2=﹣D所以﹣D﹣E③﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由①②③得D=﹣2，E=0，F=﹣3，所以圆M的方程x2+y2﹣2x﹣3=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）圆M的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4所以圆心M（1，0），半径r=2设直线l的方程为：y﹣3=k（x﹣4），即kx﹣y+3﹣4k=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）直线l被圆M截得的弦长为2，则圆心M到直线l距离所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得：，所以直线l的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查圆的方程的求解以及直线和圆相交弦长公式的应用，利用待定系数法是解决本题的关键．20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3， CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知条件，利用直线与平面、平面与平面的位置关系先推导出平面BCF∥平面ADF，由此能证明BF∥平面ADE．（Ⅱ）由已知条件推导出面ADE⊥面CDEF，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，则∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角，由此能求出直线AF与平面CDEF所成角的正切值．解答：解：（Ⅰ）因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，又因为BC不包含于平面ADE，所以BC∥平面ADE，因为DE∥CF，CF不包含于平面ADE，所以CF∥平面ADE，又因为BC∩CF=C，所以平面BCF∥平面ADF，而BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE．…（5分）（Ⅱ）因为⇒CD⊥面ADE，又因为CD⊂面CDEF，所以面ADE⊥面CDEF，…（10分）因为CD⊥AD，CD⊥DE，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，…（11分）因为平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，所以∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角θ…（12分）在Rt△AOD中，∵AD=2，∠ADE=60°，∴AO=，在直角梯形CDEF，∵EF=3，CF=6，∠CFE=45°，∴2CD2=18，∴CD=3，∴OF==，所以tanθ==，所以直线AF与平面CDEF所成角的正切值为．…（15分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成的角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N 分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），即可得出抛物线方程．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．可得|PG|=a．在RT△PQG中，可得|QM|=a，因此k=tan∠QPG=，即可得出．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．把直线方程分别抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式可得M，N的坐标，利用两点之间的距离公式可得，|TM|，|TN|．S△TMN=及基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），∴y2=8x．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．|PH|=2a=2|GH|，∴|PG|=a．在RT△PQG中，|PG|=a，|PQ|=3a，得|QM|=a，∴k=tan∠QPG=，同理k＜0时，，∴．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．由，∴，同理可得，∴，，∴，当且仅当|m|=1时，面积取到最小值16．点评：本题考查了抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直角三角形的边角关系、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．135°2．（4分）下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④3．（4分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A．B．C．D．6．（4分）直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．7．（4分）已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A．B．2 C．2 D．48．（4分）若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能9．（4分）一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A．右前上方B．左前上方C．右后上方D．左后上方10．（4分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是．12．（4分）已知原点O到直线3x+4y=15的距离为．13．（4分）设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．14．（4分）Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为．15．（4分）已知正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．16．（4分）设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为．三、解答题：（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣4y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．（8分）已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试分别确定m、n 的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，﹣1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1．19．（10分）如图，正方形ABCD 和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC 的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．20．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．135°【解答】解：因为直线的方程为x=﹣1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，故直线x=﹣1的倾斜角为90°，故选：C．2．（4分）下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④【解答】解：①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④球体是旋转体；⑤四面体是多面体．故选：D．3．（4分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于①，若α∥β，β∥γ，由平面平行的传递性可知，γ∥α，故①正确；对于②，若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确；对于③，因为n⊊β，令n在β内的射影为n′，因为m⊥β，所以m⊥n′，又m⊥n，所以n∥n′，n′⊂β，n⊊β，所以n∥β，故③正确．故选：D．4．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵C1C⊥ABCD，∴直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则C1C=1，AC1=，∴sinθ=sin∠C1AC===．故选：C．6．（4分）直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．【解答】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0∴（a﹣1）（a+2﹣2a﹣3）=0∴（a﹣1）（a+1）=0∴a=1，或a=﹣1故选：C．7．（4分）已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：如图所示：该四边形的水平放置的平面直观及原四边形，由斜二测画法可知：原四边形是一个一条边长为1，其边上的高（对角线）为的平行四边形，故原四边形的面积S==．故选：C．8．（4分）若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能【解答】解：如图在正方体ABCD_A1B1C1D1中A1A，B1B与底面ABCD夹角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD夹角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD夹角相等，此时两直线异面；故选：D．9．（4分）一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A．右前上方B．左前上方C．右后上方D．左后上方【解答】解：由该楼的正视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的右侧，由该楼的侧视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的后方，由该楼的俯视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的上方，∴该楼中最高一层的那个房间在大楼右后上方．故选：C．10．（4分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面【解答】解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选：A．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（1，0）．【解答】解：解方程组，得x=1，y=0，∴直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）12．（4分）已知原点O到直线3x+4y=15的距离为3．【解答】解：原点O（0，0）到直线3x+4y=15的距离为：d==3．故答案为：3．13．（4分）设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．【解答】解：由该几何体的三视图，知：该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，∴该几何体的体积V=+32×2=．故答案为：．14．（4分）Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为16π．【解答】解：旋转一周所成的几何体是底面以BC为半径，以AB为高的圆锥，所以圆锥的体积：=16π．故答案为：16π15．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．16．（4分）设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为3x+5y﹣34=0．【解答】解：当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，由=可知所求直线的斜率为，故可得直线的方程为y﹣5=（x﹣3），化为一般式可得3x+5y﹣34=0，故答案为：3x+5y﹣34=0三、解答题：（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣4y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【解答】解：（1）∵直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，∴解方程组，得P（﹣2，2），∵l垂直于直线x﹣4y﹣1=0，∴设直线l的方程为4x+y+c=0，把P（﹣2，2）代入，得﹣8+2+c=0，解得c=6，∴直线l的方程为4x+y+6=0．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣．∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S==．18．（8分）已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试分别确定m、n 的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，﹣1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1．【解答】解：（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m﹣1=0，联立解得，n=﹣．（2）∵l1∥l2且l1过点（3，﹣1），∴，解得或（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x﹣1=0．∴﹣8+n=0，解得n=8．∴m=0，n=8．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知：m=0，n=8．19．（10分）如图，正方形ABCD 和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC 的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接MO∵ABCD为正方形，∴O为AC中点∵△ACF中，M为EC中点∴MO∥AF又∵MO⊂平面MBD，AF⊄平面MBD，∴AF∥平面MBD．（2）解：根据（1）得AF∥OM，AF与BM所成角即∠OMB，设正方形边长为a，则AC=a，AF=a，MO=AF=a，MC=a∴MB==a∴cos∠BMO===．20．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．【解答】（1）证明：取PB中点N，连NM，NA，∵，∴NM∥AD，NM=AD，∴四边形NMDA为平行四边形，从而DM∥AN，又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB；（2）解：连接AC，则∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°∴AC==2∴AC⊥AB∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AC⊥平面PAB取PA中点G，连接MG，则MG∥AC，MG=，∴MG⊥平面PAB连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角在正三角形PAB中，BG=AB=∴tan∠MBG==1∴∠MBG=45°，即直线BM与平面PAB所成角为45°．。