七年级数学平方差公式
初中数学 什么是平方差公式
初中数学什么是平方差公式
平方差公式是初中数学中一个重要的公式，用于计算两个数的平方差。
它的一般形式可以表示为：
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
其中，a和b是任意实数。
平方差公式的推导可以通过展开左边的乘积来得到。
具体步骤如下：
1. 将(a + b)(a - b)展开：
(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)
= a^2 - ab + ab - b^2
= a^2 - b^2
在这个过程中，我们可以看到中间的两项-ab和ab相互抵消，最终得到了平方差公式的形式。
平方差公式的应用非常广泛，可以帮助我们简化复杂的计算，解决各种数学问题。
一些常见的应用包括：
1. 因式分解：
平方差公式可以用于因式分解，特别是当我们需要将一个差的平方进行因式分解时，可以直接应用平方差公式得到因式分解形式。
2. 简化计算：
平方差公式可以帮助我们简化各种数学计算。
例如，当需要计算一个数的平方与另一个数的平方之差时，可以直接应用平方差公式，避免繁琐的计算步骤。
3. 解方程：
平方差公式可以用于解一些特殊的方程。
例如，当我们需要解一个二次方程时，可以通过平方差公式将其转化为两个一次方程，从而求得方程的解。
总之，平方差公式是初中数学中一个重要的工具，可以帮助我们简化计算，解决各种数学问题。
通过掌握平方差公式，我们可以更好地理解和运用数学知识。
七年级数学平方差公式
(a+b)(a-b)
∴ a2-b2 = (a+b)(a-b)
想一想：
随堂练习：
计算：
1. (a+2)(a-2) 2. (3a+2b)(3a-2b) 3. (-x+1)(-x-1) 4. (-4k+3)(-4k-3)
=a2-4 =9a2-4b2 =x2-1
=16k2-9
小结：
作业：P10习题1.11
平方差公式(2)
平方
复习平方差公式
请回答： 1. 复述平方差公式 2. 公式的语言描述 3. 字母a，b的含义
平方差公式(1)
平方
计算下列各题：
1. (x+2)(x-2) =x2-4 2. (1+3a)(1-3a) =1-9a2 3. (x+5y)(x-5y) =x2-25y2 4. (y+3z)(y-3z) =y2-9z2
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
；
把自已的理想告诉同伴时，立刻招来同伴们的嘲笑：“瞧瞧，什么叫心比天高，这就是啊！”“真是异想天开！”┅┅这块石头不去理会同伴们的闲言碎语，仍然怀抱理想等时机。有一天，一个叫庄子的人路过这里，它知道这个人有非凡的智慧，就把自已的梦想告诉了他，庄子说：“我可以帮助你 实现，但你必须先长成一座大山，这可是要吃不少苦的。”石头说：“我不怕。”于是，石头拼命地吸取天地灵气，承接雨露惠泽，不知经过多少年，受了多少风雨的洗礼，它终于长成了一座大山。于是，庄子招来大鹏以翅膀击山，一时间天摇地动，一声巨响后，山炸开了，无数块石头飞向天空， 就在飞的一刹那，石头会心地笑了。但是不久，它从空中摔了下来，仍旧变成了当初的模样，落在原来的地方。庄子问：“你后
初中七年级数学平方差公式
●内容全解
1.平方差公式
（1）公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(2)特征：
①左边：二项式乘以二项式，两数（a与b）的和与它们差的乘积.
②右边：这两数的平方差.
（3）找a与b的简便方法
由于(a+b)(a-b)可看作(a+b)［a+(-b)］，所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b 是互为相反数，那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的项(b与-b)的平方.
因此，运用平方差公式进行运算,关键
．．是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反的项作为b.
如(3-m)(3+m)中，“3”与“3”相同，作为a,而“-m”与“m”相反，任选其一作为b,那么
(4)平方差公式中的a和b可以代表一个字母，一个数字或单项式.
注意：当a或b代表单项式时，进行平方时底数一定要打括号.
2.用拼图解释平方差公式
图1-4
左图阴影面积是a2-b2,而右图的阴影部分是长方形，长为(a+b),宽（a-b）,阴影面积为(a+b)(a-b),由于左右两图的阴影部分面积相同，所以a2-b2=(a+b)(a-b),再次验证了平方差公式.。
湘教版七年级数学下册课件2.平方差公式
（2）(3+2a)(－3+2a)； =(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4a2－9.
（4）(－2x2－y)(－2x2+y)；
=(-2x2 )2－y2
=4x4－y2.
=2499. （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
课堂小测
4.利用平方差公式计算: (a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
课堂小测
5.化简： (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
③(2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 1 ④(5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
新知探究
归纳总结 平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
新知探究
算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x ＋ 1)( x－1)； ②(m ＋ 2)( m－2)； ③(2m＋ 1)(2m－1)； ④(5y ＋ z)(5y－z).
新知探究
苏科版七年级数学下册9.乘法公式——平方差公式课件
环节一 复习回顾
完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
计算： (x 2 y)2 解:原式 x2 2 x 2 y (2 y)2
x2 4xy 4 y2
做一做
a
a
a－b
将图中纸片只剪一刀，
再拼成一个长方形．
(x)2 (3y)2 x2 9y2
完全平方公式、平方差公式通常叫做乘法公式。
环节四 释疑、运用
1.计算： (a b c)(a b c) 解法一：原式 a2 ab ac ab b2 bc ac bc c2
a2 2ac c2 b2
解法二：原式 (a c b)(a c b)
2.填空：
（1）(x __6_)(x _6__) x2 36;
x2 62
（2）(m _5_n_)(m _5_n_) m2 25n2; m2 (5n)2
（3）(a b)(__b__a__) b2 a2;
（4）(___x_2 __1_)(1 x2 ) x4 1. (x2 )2 12 (x2 )2 12例1.Fra bibliotek平方差公式计算：
（1）(5x y)(5x y);
解:原式 5(5xx2 )2 y2y2
25x2 y2
（2）(m 2n)(2n m)
解:原式 (2n m)(2n m) (2n)2 m2 4n2 m2
环节三 例题讲授
例2. 计算： (3y x)(x 3y) 把-x、3y分别看成a、b 解:原式 (x 3y)(x 3y)
布置作业:
（1）左边是两个二项式的__积__，在这两个二项式中有一项(a)完全_相__同__，
另一项(b与-b)互为_相__反__； 右边为这两个数的_平__方__差__即右边是完全相同的项的平方减去符号相
冀教版初中七年级数学下册公式法
2
(2)学生尝试解答
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11
例4
把下列各式分解因式：
(2)(x+y)2-4(x+y)+4;
(1)ax2+2a2x+a3;
解：(1)ax2+2a2x+a3 解：(2)(x+y)2-4(x+y)+4
=a(x2+2ax+a2)
=a(x+a)2.
=(x+y)2·2(x+y)·2+22 =(x+y-2)2.
公式法
运用公式法
把乘法公式反过来用，可以把符合公式 特点的多项式因式分解，这种方法叫公式法.
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) (2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
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平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²-b²
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完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
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请补上一项，使下列多项式成为 完全平方式.
1 x 2 2 12ab 2 4a 9b _______ 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
7
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完全平方公式
ab a 2ab b ab a 2ab b
2
2 2
2
2
2
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8
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
七年级数学平方差公式
a
b 图1 a
b
图2
如左图，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
1. 请表示图中阴影（紫色）部分的面积。
2. 小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个 长方形的长和宽分别是多少？ 你能表示出它的面积吗？
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3. 比较1、2的结果，你能验证平方差公式吗？
4. 图1
a2-b2
图2
(a+b)(a-b)
随堂练习：
计算：
1. (a+2)(a-2) 2. (3a+2b)(3a-2b) 3. (-x+1)(-x-1) 4. (-4k+3)(-4k-3)
=a2-4 =9a2-4b2 =x2-1
=16k2-9
小结：
作业：P10习题1.11
平方差公式(2)
平方
复习平方差公式
请回答： 1. 复述平方差公式 2. 公式的语言描述 3. 字母a，b的含义
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。 （21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此 刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。 （22）再后来，她睡了。 （23）我走在走廊的尽头，心绪难平。 （24）我看见天边有一颗星星
七下数学课件： 乘法公式(第2课时 平方差公式)(课件)
解：=y2-22-(y2+4y-5)
=y2-4-y2-4y+5
=- 4y + 1
【名师点拨】不符合平方差公式运算条件的，则需按照乘法法则进行运算。
运用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算：
1）(a+3b)(a-3b)
2）(3+a)(-3+a)
3）(-2x2-3y)(-2x2+3y)
4）20182 － 2015×2021
1)对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：
(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2)公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，
当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把
字母平方，而系数忘了平方的错误。
运用平方差公式进行计算
平方差公式运用
=5050．故答案为D.
平方差公式与几何面积-提高
4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a＋b）的正方形，图
中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是（
A．a＝1.5b
B．a＝2b
C．a＝2.5b
D．a＝3b
1
【详解】解：由题意可得：S2＝4×2b（a＋b）＝2b（a＋b）；
1）(x+1)(x-1)
相加和为0
2 − + −1 = 2 -1
=
2）(m+2)(m-2)
2+2 −2 −4 =2 -4
=
相加和为0
3）(2x+1)(2x-1) =
4）(a+b)(a-b) =
第3讲 平方差公式七年级数学下册同步精品讲义
第3讲 平方差公式1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.知识点公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式. 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【知识拓展1】平方差公式1．运用乘法公式计算（4+x ）（x ﹣4）的结果是（ ） A ．x 2﹣16B ．x 2+16C ．16﹣x 2D ．﹣x 2﹣162．已知x +y ＝12，x ﹣y ＝6，则x 2﹣y 2＝ ． 3．下列算式中不能利用平方差公式计算的是（ ） A ．（x +y ）（x ﹣y ） B ．（x ﹣y ）（﹣x ﹣y ）C ．（x ﹣y ）（﹣x +y ）D ．（x +y ）（y ﹣x ）4．计算（x +y ）（x ﹣y ）+16＝ ． 5．（8x 2+4x ）（﹣8x 2+4x ）＝ ． 6．若x 2﹣y 2＝16，x +y ＝8，则x ﹣y ＝ ． 7．若x +y ＝5，x ﹣y ＝1，则x 2﹣y 2＝ ．知识精讲目标导航8．若a＝20170，b＝2015×2017﹣20162，c＝（﹣）2016×（）2017，比较a，b，c大小（用“＜”连接）：．9．（3y+2x）（2x﹣3y）＝．10．化简：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）＝．11．下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b﹣1）（a﹣b+1）B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）C．（a+b2）（b2﹣a）D．（2x+y）（﹣2x﹣y）12．若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（）A．5B．2C．10D．无法计算13．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为．14．若a2﹣b2＝18，a+b＝6，则a﹣b＝．15．若m2﹣n2＝10，且m﹣n＝2，则m+n＝．16．计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．17．化简：（2x﹣y）（y+2x）﹣y（x﹣y）﹣（2x）2．18．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1B．0C．1或﹣1D．0或﹣2【知识拓展2】平方差公式的几何背景19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）20．探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．21．如图，在边长分别为a，b的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（a﹣b）的正方形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b222．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼的方式形成新的图形，给出四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（）个．A．1B．2C．3D．423．为庆祝中国共产党的百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π）24．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．25．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．26．数学中，常对同一个量用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”[探究一]如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的正方形，你能表示图中阴影部分的面积吗？阴影部分的面积是；如图2，也可以把阴影部分沿着虚线AB剪开，分成两个梯形，阴影部分的面积是；用两种不同的方法计算同一个阴影部分的面积，可以得到等式．[探究二]如图3，一条直线上有n个点，请你数一数共有多少条线段呢？方法1：一路往右数，不回头数．以A1为端点的线段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、…、A1A n，共有（n﹣1）条；以A2为端点的线段有A2A3、A2A4、A2A5、…、A2A n，共有（n﹣2）条；以A3为端点的线段有A3A4、A3A5、…、A3A n，共有（n﹣3）条；…以A n﹣1为端点的线段有A n﹣1A n，共有1条；图中线段的总条数是；方法2：每一个点都能和除它以外的（n﹣1）个点形成线段，共有n个点，共可形成n（n﹣1）条线段，但所有线段都数了两遍，所以线段的总条数是；用两种不同的方法数线段，可以得到等式．[应用]运用探究一、探究二中得到的等式解决问题．计算：992﹣982+972﹣962+952﹣942+…+32﹣22+12．[迁移]某篮球队共有8名实力相当的队员，现要随机派3名队员参加联队比赛，共有种不同的选择方案．能力拓展类型一、公式法——平方差公式例1、分解因式：（1）2()4x y +-； （2）2216()25()a b a b --+； （3）22(2)(21)x x +--．【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--； （2）()22234x y x --（3）33x y xy -+； （4）32436x xy -；例2、分解因式： （1）2128x -+； （2）33a b ab -； （3）516x x -； （4）2(1)(1)a b a -+-【变式】先化简，再求值：（2a+3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a=．类型二、平方差公式的应用例3、2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭例4、阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） =（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1） =（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算： （1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．102．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣a﹣b）B．（a+b）（a﹣b）C．（a+b）（a﹣d）D．（a+b）（2a﹣b）3．下列运算正确的是（）A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n24．如图，从边长为acm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣3）cm的正方形（a＞3），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（）A．6a cm2B．（6a+9）cm2C．（6a﹣9）cm2D．（a2﹣6a+9）cm2二．填空题（共4小题）5．已知x+y＝12，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝．6．已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值．7．若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝．8．已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝．三．解答题（共5小题）9．化简：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．10．计算：（1）（a+9）（a+1）；（2）20192﹣2017×2021．11．若（x﹣2）（x2+ax﹣8b）的展开式中不含x的二次项和一次项．（1）求b a的值；（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）+1的值．12．请阅读以下材料：[材料]若x＝12349×12346，y＝12348×12347，试比较x，y的大小．解：设12348＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，所以x＜y．我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：x＝997657×997655，y＝997653×997659．13．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸中减去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）拼成的长方形的周长是多少？（2）拼成的长方形的面积是多少？题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．化简（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果是（）A．232﹣1B．232+1C．（216+1）2D．（216﹣1）22．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2020B．2021C．2022D．20233．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32．即8，16均为“和谐数”），在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．2700B．2701C．2601D．26004．下列各数中，可以写成两个连续奇数的平方差的（）A．520B．502C．250D．2055．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A．（m﹣n）（﹣m+n）B．（x3﹣y3）（x3+y3）C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（c2﹣d2）（d2+c2）二．填空题（共5小题）6．小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝．7．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…根据规律可得：（x﹣1）（x2021+x2020+…+x+1）＝．8．计算：20212﹣2020×2022＝．9．若m2﹣n2＝40，且m﹣n＝5．则m+n＝．10．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是．三．解答题（共4小题）11．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据规律（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）＝．（其中n为正整数）；（1）计算：（﹣2）2019+（﹣2）2018+（﹣2）2017+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1；（2）计算：22018+22016+22014+…+24+22+2．12．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．（2）应用公式计算：．（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．13．在化简整式（x﹣2）■（x+2）+▲中，“■”表示运算符号“﹣”“×”中的某一个，“▲”表示一个整式．（1）计算（x﹣2）﹣（x+2）+（﹣2+y）；（2）若（x﹣2）（x+2）+▲＝3x2+4，求出整式▲；（3）已知（x﹣2）■（x+2）+▲的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的符号及▲的值．14．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（1）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝（其中n为正整数）；（2）（2﹣1）•（299+298+…+2+1）＝；（3）计算：350+349+348+…+32+3+1的值．题组C 培优拔尖练一．选择题（共1小题）1．（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255024B．255054C．255064D．250554二．填空题（共6小题）2．（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）3．已知a﹣b＝3，a2﹣b2＝9，则a＝，b＝．4．如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是平方米．当x＝20m，y＝30m时，面积是平方米．5．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．6．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上．7．（2021春•锦江区校级期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是．三．解答题（共6小题）8．（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算（x﹣y）3；（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．9．（2021春•婺城区校级期末）乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．10．（2021春•淮北期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．11．（2021春•罗湖区校级期中）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．12．（2019春•漳浦县期中）你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝；（a﹣1）（a2+a+1）＝；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？13．（2018秋•沙坪坝区期末）一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数“反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记D（n）＝．（1）请任意写出一个“隐等数”n，并计算D（n）的值；（2）若某个“隐等数“n的千位与十位上的数字之和为6，D（n）为正数，且D（n）能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n．。
青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》说课稿3
青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》说课稿3一. 教材分析《平方差公式》是青岛版数学七年级下册第12.1节的内容。
这一节主要介绍平方差公式的概念、推导过程以及应用。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它在解决二次方程、二次不等式以及几何问题等方面有着广泛的应用。
在本节课中，学生将通过探究、合作、交流的方式，理解和掌握平方差公式，并能够运用它解决实际问题。
二. 学情分析在进入七年级下册之前，学生已经学习了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识。
对于这部分内容，大部分学生能够理解和掌握。
但是，由于学生的学习基础和接受能力存在差异，一部分学生在理解和应用平方差公式方面可能会遇到困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，采取适当的教学方法，帮助所有学生理解和掌握平方差公式。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解平方差公式的概念，掌握平方差公式的推导过程，能够运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究、合作、交流的方式，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的概念及其推导过程。
2.教学难点：理解并掌握平方差公式的应用。
五. 说教学方法与手段在本节课中，我将采用问题驱动法、合作学习法、案例分析法等教学方法，结合多媒体教学手段，引导学生主动探究、合作交流，从而理解和掌握平方差公式。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对平方差公式的思考，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生自主探究平方差公式的推导过程，理解平方差公式的概念。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，共同解决疑问。
4.案例分析：教师展示几个典型的案例，引导学生运用平方差公式解决问题。
5.练习巩固：学生自主完成课后练习，检测对平方差公式的理解和掌握程度。
6.总结提升：教师引导学生总结平方差公式的应用范围和注意事项。
七年级数学下册 专题第3讲 乘法公式 平方差公式重点、考点知识总结及练习
=216．
2．（2018 春•东阿县期末）从边长为 a 的正方形中剪掉一个边长为 b 的正方形（如 图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）． （1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） C、a2+ab=a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 x2﹣4y2=12，x+2y=4，求 x﹣2y 的值．
3
（2）原式=（1000﹣3）2 =10002﹣2×3×1000+32 =1000000﹣6000+9 =994009； （3）原式=（300+4）2 =3002+2×4×300+42 =90000+2400+16 =92416； （4）原式=20182﹣（2018﹣1）（2018+1） =20182﹣（20182﹣1） =20182﹣20182+1 =1．
积的丌变性.
【随堂练习】 1．（2018 春•江都区期末）如图 1 所示，边长为 a 的正方形中有一个边长为 b 的 小正方形，如图 2 所示是由图 1 中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图 1 中阴影部分面积为 S1，图 2 中阴影部分面积为 S2．请直接用含 a，b 的代数式表示 S1，S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
4
①3； ②7； ③11； ④11，6． （1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n； （2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=8n．
七年级数学下册2.2乘法公式平方差公式的运用技巧素材
平方差公式的运用技巧平方差公式（a+b)（a－b）=a2－b2是恒等式,是初中数学中的重要公式,公式中的字母可以表示数字,也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式。
在灵活运用平方差公式解答有关问题时,应注意以下三种技巧：一．正用技巧1.直接运用平方差公式例1 计算:（－3a+2b）（－2b－3a）。
分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用,通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的。
解：原式=(－3a）2－（2b)2=9a2－4b2。
2．连续运用平方差公式例2 计算:（x+2）（x2+4）(x－2) 。
分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式,就可以求到结果。
解：原式=(x2－4) (x2+4）=x4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：（2a+b－c+6)（2a－b+c+6)。
分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项,然后再合并同类项,但是若能把（2a+6)、(b－c）看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算。
解:原式=［（2a+6）+（b－c）][(2a+6）－（b－c）］=（2a+6)2－(b－c)2=4a2+24a+36－b2+2bc－c2。
二．逆用技巧灵活正确掌握好平方差公式的逆用,对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算: （a+2）2－（a －2）2。
分析:此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁,若根据题目的特点，直接逆用平方差公式,便可化繁为简,迅速求解。
解:原式=［(a+2）+（a －2)]［ （a+2)－(a －2）］=2a×4=8a 。
例5 计算:（1－221)（1－231）（1－241）…（1－220081)。
七年级上册数学知识点公式
七年级上册数学知识点公式数学作为一门理科学科，公式是学习数学过程中不可或缺的重要部分。
在初中数学学习中，我们需要掌握和运用各种各样的知识点和公式。
本文将会介绍七年级上册数学知识点公式。
一、整数运算公式1. 整数加法公式：a+b=b+a2. 整数减法公式：a-b=-(b-a)3. 整数乘法公式：a×b=b×a4. 整数除法公式：a÷b=(a/b)×(b/a)（当a、b同号时），a÷b=-(a/|a|)×(b/|b|)（当a、b异号时）二、平面图形的面积和周长公式1. 矩形的周长公式：P=2(a+b)2. 矩形的面积公式：S=ab3. 正方形的周长公式：P=4a4. 正方形的面积公式：S=a²5. 三角形的面积公式：S=1/2×底边×高6. 任意三角形的周长公式：P=a+b+c7. 梯形的面积公式：S=1/2×(上底+下底)×高三、分数运算公式1. 分数加法公式：2. 分数减法公式：3. 分数乘法公式：4. 分数除法公式：四、代数式简化公式1. 同底数幂相减的公式：am-an=a(m-n)2. 同底数幂相除的公式：am÷an=a(m-n)3. 同底数幂乘方的公式：(am)n=amn4. 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)五、平移、旋转和对称公式1. 点(x,y)绕原点逆时针旋转α度的变换公式：2. (x,y)绕第一象限内以点(a,b)为圆心的圆逆时针旋转α度的变换公式：3. 矩阵乘法公式：六、整式的加减1. 同类项的加减原则：常数项间、同类字母的次数相同的项可以相加减。
2. 整式加减的步骤：（1）化简各项；（2）整理同类项；（3）合并同类项。
七、方程与方程组1. 一元一次方程：ax+b=0，解为x=-b/a2. 一元一次方程的方程变形公式：（1）移项：ax+b=c±dx，即ax=c±dx-b（2）合并同类项：ax±cx=b±d，即 (a±c)x=b±d3. 一元二次方程：ax²+bx+c=0，解为4. 一元二次方程的判别式公式：Δ=b²-4ac5. 一元二次方程的求根公式：（1）当Δ>0时：（2）当Δ=0时：（3）当Δ<0时：无实根6. 二元一次方程组：（1）消元法：（2）代入法：以上就是七年级上册数学知识点公式。
2.平方差公式课件数学湘教版七年级下册
3.用公式计算. （1）105×95；
解（1）105×95 =(100+5)×(100-5) =1002-52
=9975.
（2）1 002 × 998.
说一说
如图2-3（a），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将
剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2-3
（b）所示的长方形.你能用这两个图来解释平方差公式吗？
图（b）中的面积为：( a+b )( a-b )，图（a）
a
a
中的剩余部分的面积为a2-b2.由题可知，图
（2）1002×998 =(1000+2)×(1000-2) =10002-22 =999996.
内容
平方差 公式
注意
两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差.
1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征， 在应用时，只有两个二项式的积才有 可能应用平方差公式；不能直接应用 公式的，要经过变形才可以应用.
a-
（b）的面积为图（a）剩余部分的面积，所 以( a+b )( a-b )=a2-b2.
b
b
b
（b）
（a） 图2-3
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.
【例1】运用平方差公式计算：
（1）( 2x+1 )( 2x-1 )；
（2）( x+2y )( x-2y ).
七年级数学上册 9.11《平方差公式》课件
第七页，共十四页。
三、启发(qǐfā)诱导,初步运用
例题(lìtí)1 计算:
(1) (2x+y)(2x-y);
(2) (2 1x3 1y)(2 1x3 1y)
(3) (-x+3y)(-x-3y)
(4) ( m 2 n1)( m 2 n1)
注： （1）添加必要(bìyào)的括号; （2）分清“a” 与“ b”.
例题(lìtí)3 计算:
ababab (1) ( 2 ) ( 2 ) ( 4 2 2 )
(2) (1a2)(1a)(1a)
4
22
练习(liànxí) p35
第十页，共十四页。
六、归纳(guīnà)小结
本节课你学到了什么(shén ? me)
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。
第八页，共十四页。
三、启发诱导(yòudǎo),初步运用
例题(lìtí)2 计算:
(1) (2 3x7y)(7y2 3x) (2) (2 1x2y)(2 1x2y)
(3) ( 1 3 a2 b)(3 a2 b 1 )
注：
（1）符号(fúhào)的变化; （2）位置的变化.
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三、启发诱导(yòudǎo),初步运用
9.11 平方差公式(gōngshì)
第一页，共十四页。
一、复习(fùxí)引入、温故知新
• 温故: 多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个(yī ɡè)多项
式的每一项乘以另一个(yī ɡè)多项式的每一项， 再把所得的积相加。
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
北师大版七年级数学下册1.平方差公式的运用课件(共19张)
课堂小测
3.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2. 解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3 =2x2－1. 将x＝2代入上式， 原式=2×22-1=7.
课堂小测
4.已知x≠1，计算：(1－x) (1＋x) ＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3， (1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4． (1)视察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝__1_－__xn_+_1_(n为正整数)；
七年级数学北师版·下册
第一章 整式的乘除
1.5.2 平方差公式的运用
教学目标
1.掌握平方差公式，熟练运用平方差公式.（重点） 2.灵活运用平方差公式进行计算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解决实际问题.（难点）
新课导入
知识回顾 平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
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例2 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12－5×22＝－15.
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例3 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的 整数倍吗？
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方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式 化简算式，解决问题．
课堂小结
1、平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或者是多 项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根 据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
北师大数学七年级下册第一单元1.5平方差公式
乘法公式一平方差公式知识点1 平方差公式22+-=-a b a b a b()()平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据22+-=-进行乘法计算．a b a b a b()()【典例】例1下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b﹣1）（a﹣b+1）B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）C．（a+b2）（b2﹣a）D．（2x+y）（﹣2x﹣y）【方法总结】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解题的关键，注意：平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．例2若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（）A．5B．2C．10D．无法计算【方法总结】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．例3计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．【方法总结】本题考查平方差公式、单项式乘多项式，掌握运算法则和公式是解题的关键．例4课堂上，老师让同学们计算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a＝﹣a2﹣b2﹣a左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．【方法总结】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，以及整式的加减，掌握平方差公式的结构特征以及去括号、合并同类项是得出正确答案的前提．【随堂练习】1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣a﹣b）B．（a+b）（a﹣b）C．（a+b）（a﹣d）D．（a+b）（2a﹣b）2．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为．3．化简：（1﹣2m）（2m+1）﹣（3+4m）（6﹣m）．知识点2 利用平方差公式进行数的运算在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．【典例】例1用乘法公式计算：100×99．【方法总结】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．例2计算：20092﹣2010×2008；【方法总结】本题考查了多项式乘多项式、平方差公式，熟记多项式乘多项式的运算法则、平方差公式是解题的关键．【随堂练习】1．利用公式计算：101×99﹣9722．用乘法公式简算：（1）199×201；（2）20132﹣2014×2012．知识点3 平方差公式—几何背景平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．【典例】例1为庆祝中国共产党的百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π）【方法总结】此题考查了利用平方差公式几何背景解决实际问题的能力，关键是能根据图形准确列式并运用平方差公式进行解决．例2将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．【方法总结】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题．【随堂练习】1．如图所示，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．同学们，你们觉得马老汉有没有吃亏？请说明理由．2．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题：（1）改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？（2）改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？3．（1）如图1所示，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是；（2）由（1）可以得到一个公式：；（3）利用你得到的公式计算：20212﹣2022×2020．综合运用1．下列算式中不能利用平方差公式计算的是（）A．（x+y）（x﹣y）B．（x﹣y）（﹣x﹣y）C．（x﹣y）（﹣x+y）D．（x+y）（y﹣x）2．计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2．3．用乘法公式计算：99×101．4．利用公式计算：20152﹣2014×2016．5．利用乘法公式计算：①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．6．探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．7．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是．（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2+ab＝a（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）运用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知9x2﹣4y2＝18，3x﹣2y＝3．求3x+2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）。
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平方
计算下列各题：
1. (x+2)(x-2) =x2-4 2. (1+3a)(1-3a) =1-9a2 3. (x+5y)(x-5y) =x2-25y2 4. (y+3z)(y-3z) =y2-9z2
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
a
b 图1 a
b
图2
如左图，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
1. 请表示图中阴影（紫色）部分的面积。
2. 小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个 长方形的长和宽分别是多少？ 你能表示出它的面积吗？
FLASH动画演示
3. 比较1、2的结果，你能验证平方差公式吗？
4. 图1
a2-b2
图2
2. (x 2y)(x 2y) (x 1)(x 1) 3. x(x 1) (x 1)(x 1)
33
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(a+b)(a-b)
∴ a2-b2 = (a+b)(a-b)
想一想：
1. 计算下列各组算式，并观察它们的共同特点。
7×9=
11×13=
79×81=
8×8=
12×12=
80×80=
2. 从以上的过程中，你发现了什么规律？
3. 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确 性吗？
例3：用平方差公式进行计算。
(1) 103×97
(2) 118×122
解：(1) 103×97=(100+3)(100-3) =1002-32 =9991
(2) 118×122=(120+2)(120-2) =1202-22 =14396
例4：计算: (1) a2(a+b)(a-b)+a2b2 (2) (2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
例1：利用平方差公式计算下列各题。 1. (5+6x)(5-6x) =52-(6x)2=25-36x2 2. (x-2y)(x+2y) =x2-(2y)2=x2-4y2 3. (-m+n)(-m-n) =(-m)2-n2=m2-n2
平方差公式 (a+b)(a-b)=。
1. ( 1 x y)( 1 x y)
4
4
2. (ab 8)(ab 8)
( 1 x)2 y2 1 x2 y2
4
16
(ab)2 64 a2b2 64
3. (m n)(m n) 3n2 m2 n2 3n2 m2 2n2
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心深处の委屈和无助可想而知...正想着,突然书房里の收听铃响了.第207部分“喂,哦,是你呀,怎么滴？主编又要跟我谈话啊？”陆羽头痛地挠挠头,“我跟你讲,这已经是最大の让步...哦,她不想和我说话？那就好,哈哈哈...”门边の婷玉：“...”难以想象这种人会在午夜委屈与空虚, 她 可能低估了对方の情商,人家或许根本没把委屈の过往放在心上.“...我工资涨了也没办法请你吃饭啊！你想怎样？想要今年不同角度の冬天雪景照？急吗？不急の话等我哪天有空再说...”书房里の姑娘与友人轻松畅谈.婷玉神色微舒,其实她の朋友也不少,少来往而已...婷玉离开了, 书房 里仍在继续通话中.“...加个空间？”陆羽蹙起眉头,“别逗了,空间那种宝贝凤毛麟角.和我现在想要钱一样比登天还难,咱实际点行不？”小辣椒编辑：“小说要什么实际？你の女主死了好几个平时没看评论吗？被骂成狗了还不知道反省.虽然行情还行,最后一个女主你死也要给她 死一个空 间出来！就当还读者一个心愿.做人别那么固执,会没朋友の我跟你讲.”对方吸取教训,不等她反驳便挂了电筒.陆羽看着收听久久不语,要什么空间？在记忆中,她没有空间差点活到九十九岁.反而有一个空间系女异能者,在三大异能中队の争抢之下死得很惨.总之,三分实力七分 运气真の很重 要.不过,能有个空间确实方便很多,起码可以用来装物资.刚才の对话唤起陆羽对空间の一丝丝期盼.她脑海中那幅古画设定地点在汉朝,哪怕没有实质の汉画她照样能回到汉朝.但唐朝与其他朝不行...不是不行,是不知道行不行,她现在一点资料都没有.不敢擅自尝试,怕万一 原画被毁又要买新 の,新の还是原来那条去唐代の路吗？这个问题值得考究.还有一个关于空间の——陆羽在书桌后边呆坐片刻,取过自己の水杯左右看了看.用小刀子在杯身の标志上弄个记号,然后在纸质记事本上把它画出来.空间空间,一个能装东西只属于她一人の秘密空间.她能通过画, 进入画中那个真实の 世界.那么,她画一个水杯,能否多复制出一模一样の水杯？能否把水杯固定放在记事本里？哪怕这本没了,她重新画一本就回来了.如果可以就好了.心里盘算着,心境激动得马上就想尝试一下.把水杯画出来后,再加一个框边,顶部中间一行用小篆写着：陆の空间柜.如 果她の想法能成为现实,用 这个名称方便自己の灵能进行识别不会进错别人の保险柜.而且,以后记事本成了她の空间,里边装の物资随要随拿.被人捡了抢了也不怕,反正他们用不着,而她只要重新画一本就可以了.那她就等于有三种异能...拉上窗帘,一切准备就绪.陆羽心中略微紧张,右手 自由伸展一下五指,缓缓伸向那 幅画.但听轻轻の一啪,触感告诉她碰到纸了...试验失败.她并不气馁,又画了一张空间柜,然后在柜里画一个小茶杯.做好标记,她把现实中の小茶杯啪地砸碎了,然后扫进垃圾桶里.楼下の婷玉闻声上来,见她无恙便惊讶地问：“怎么了？”同时注意到窗帘被 拉上,心中疑惑更深.陆羽把计划告 诉她.婷玉听罢,神色犹豫地动了动嘴,最后只说了句,“你先试试.”陆羽这回聚精会神地盯着画中の小茶杯,心里不断默念：行の行の,一定行の...伸手过去摸了摸,纸还是纸,完全摸不到杯子の冰凉触感,她不禁一阵失望.“许愿图如今の功能只有穿越, 你没有我巫族の血脉与能力,想利用它凭 空取物当然不可能.”婷玉安慰她一番,“好了,得之我幸,我们已经很幸运了.”要知足.陆羽脸上掩不住の失落,“能有个空间更加幸运.”可以装东西多方便,吃の喝の用の,想要の时候只要伸手进包包里取就可以了.不似现在,整个人进去有什么 用？动作太大,被两边居民发现生命一样有危险. 唉,而且脑中の许愿画只能去一个朝代,成了思乡图...诶？对了.“婷玉,我能把这些画通通融进里边吗？”陆羽指指自己の脑袋,“危急时刻只能去你家乡不安全.”两人还上了朝廷通辑黑名单,不敢去.婷玉看着她一脸无奈,还是那句话,陆 羽只是一个外人,一个同月同日同时辰生の外人.要不 然,许愿图与她融合后不会只剩一个穿越功能.一看婷玉の脸色就知道又不行.陆羽不由得撇了撇嘴,鸡肋,还是鸡肋...好不容易把脑海中の故者记录抄在游记里,陆羽终于抽时间出来打算拍雪景,穿得一身厚实,刚走出屋门便看见婷玉拿 着一把铲子准备出去.“你去哪儿？”“铲雪,整条村路都 要清干净.”不然寸步难行.陆羽一愣,哦,去年の时候她没参与,这回必须参加.“家里还有铲子吗？我也去.”“没了,你去少君家领一把扫把再去.”家中の扫把不顶用,要用大把够坚实の.陆羽领命而去,院门开着,小吉躲屋里取暖, 四只汪趴在屋门口盯着庭院.她们要清扫の是自己这边の村路, 开着门也无妨,周家那边の有养生馆等人负责.在路口,她看见休闲居の人早去村口最前方了,其余村民在清扫村里の小路,留下柏少华看店...哦,还有一个陌生の姑娘,她模样长得很周正,清秀俏丽の.一身宽松の简便汉服看起来 十分厚实暖和,款式很简单,也很接地气.陆羽在外边看了两眼,心里 怪怪の.柏少华依旧站在铁板前の老地方,气质清贵略显冷淡,但他对面坐着の人不是她,依稀,仿佛,有一种她已被取代の微妙情愫掠过心底.哈哈,这肯定是错觉,有这种错觉很正常.所以说,和外人の一些关系不 能形成习惯,否则对方有了新朋友自己会难过.不仅是柏少华,哪怕今天是 婷玉有了新闺蜜,她心里也肯定不是滋味.这时,依旧是柏少华先察觉门口有人.见是她,他依旧向她招招手.唉,在他眼里她估计和小福一样吧？第208部分陆羽自我解嘲地笑了笑,像以往那样推门进去.不等他开口,她对 那位陌生の姑娘点点头以示招呼,然后抢先说：“少华,我来借扫把.”柏少华 一愣,指指门边,“哦,在那里自己拿,吃饭了吗？”“吃过了,谢谢.”陆羽回答说,随手从门边の新扫把中拿了一把,然后回头向两人挥挥手,直接推门离开.柏少华略讶,看着她拖着扫把小心跑向村口の小路,脑海 里不由得掠过一道熟悉の风景.当时他在朋友飞机上俯览,她在乡间小道拖着一把锄 头走进浓密の林荫里.我踏月而来,只因你在此山中.与初见时相比她瘦了很多,身上衣物厚看不出来胖瘦,但尖细の下巴道明一切.之前の她脸颊有点肉感比现在俏皮可爱多了,这段时间她在家里做什么把自 己搞成这副鬼样？莫非是减肥？“咦？她是谁呀？好像没见过.”见他目不转睛地盯着门 口沉思良久,人都没影儿了还在看,尽管心中有数,康荣荣一时没忍住问出口来.柏少华回头瞅她一眼,抿唇浅笑,“你应该听说过她,住在我们隔壁の陆陆.”这姑娘在云岭住了一阵子,村里就几个年轻人 用得着问？猜都猜出来了.知道女人心眼小,但他以为只有思想浅薄の女人才会事事与人计较, 没想到...陆陆就像一块照妖镜,只要离她近些,很少女人能控制自己内心阴暗肤浅の一面.眼前这位也是,简单一句问话暴露她の真实内心.作为余家姐妹の朋友,受人影响在所难免.但作为一个真 正秀外慧中の女人,必定智商在线不会偏听偏信.可惜...店内气氛微妙,康荣荣神色如常,心中暗悔. 只怪余家姐妹の一番话让她产生心理阴影,在面对陆陆本人时下意识地提高警惕,情绪紧张,导致应对失措.恨不得咬掉舌头,却若无其事地笑了笑,“哦,原来是她,真の很漂亮呢,难怪大家称 她为云岭之花.”果然是个麻烦,年龄虽小但影响力强,一来就把店里の气氛破坏了.哪怕她什么都没做,只 是打了一声招呼.柏少华笑笑,转了话题,“你上次做の那个竹筒饭很简单,就是那个火烧鱼...不如哪天让大家见识见识？”华夏の名菜他会做,但各族菜肴各有特色,总有一些是他不懂 の,因此很感兴趣.“好啊.”康荣荣应得十分爽快,“我还知道用昆虫做风味小吃,怎样,有没兴趣学？”昆 虫？柏少华眼神略惊,“蝉和蜘蛛那些？”土生土长の同胞果然什么都敢吃,这一点他挺佩服她.要知道,有些小动物连男人见了都害怕,她一个女人却把它们做成菜肴,胆子够肥 の.“不止,还有竹虫、蚂蚁蛋等等,生吃熟食看自己喜欢.但很多人不敢吃,尤其你们外国人特别排斥.”“个别吧,” 柏少华挑眉,浅笑,自我调侃道,“多学几样备着,或许哪天在山里迷路正好用得上.”满山都是吃の,过得比外边更滋润.“哈哈...”康荣荣乐得哈哈大笑,“有道理.”两人 年龄相当,轻松畅谈,刚才被破坏の气氛逐渐恢复过来.康荣荣看看外边忙得热火朝天の村民,又看看自己肿胀の手,不禁轻 叹.今早过来借扫把时被玩闹の余薇等人在门口撞倒扭伤手,陆易说过几天就好,但不能干重活.扫雪就更不行了.朋友们让她留在店歇着,等中午在餐厅吃过饭再回去,免 得她独自在家乱动出意外.休闲居の人她识全了,热情得很,一杯柠檬水、一碟开心果和鱿鱼丝给她解闷.还可以去中庭の电脑 区玩嬉戏啥の消磨时间,但她更喜欢与人说话,在这种安静の环境下.“大家好像忙得很开心.”她撑腮看着外边,略有几分失意.“等你手好了也可以去,今年轮不到 可以等明年.”柏少华一直在电脑里翻看其他店の最新情况,一边聊道,“他们爱玩,不在乎几个人帮忙.”认真起来几下就搞定了. 见他云淡风轻,完全忘却刚才の异样,康荣荣心里终于松了一口气.望出窗外,远远看见刚才来借扫把の女孩正与大家一起卖力干活.呼,看来这个陆陆在云岭村是 说不得の人.像是一个禁忌话题,以后见了她得躲远点,以免说错话让大家不开心....清扫村路工程一直进行中,人多热闹,陆羽和婷玉 の中午饭在自己家吃.煮饭加肉沫拌给小福小吉它们吃,再煮个面条,打个鸡蛋扔只蕃茄再削些肉沫进锅里算是两人の午餐.“你今天怎么无精打采の？”两 人端了面条在客厅吃,陆羽满身の低气压大大影响婷玉の食欲,她转念一想,“今早在店里遇到谁了？还是听见姓余の跟人编排你？”那余 家二姑娘不知抽了哪根筯,居然纡尊降贵地帮忙扫雪,出乎人们意料之外.但她一直在柏少君附近听他与别人说话,好像没出幺蛾子.婷玉问着,脑子里不 断回放今早の情形,试试能否从中找出一丝端倪.陆羽被问得莫名其妙,“没有啊！我怎么了？”没有？婷玉斜睨着她,见对方の确一头雾水,良 久方问：“你把今早见到の一切说说.”心境不好总有原因,虽然弄不到空间,她今早出门还是蛮正常の.“没有,你想太多了.”陆羽好笑地看着她 说,“我在发愁明天能不能出去拍照,还有,拍成什么样の才算美？唉,以前是随手