[数学]2015-2016年辽宁省营口市大石桥二中高一(上)数学期末试卷带解析word

2015-2016学年辽宁省营口市大石桥二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分,共60分）．1．（5.00分）已知函数f（x）=3﹣a x+1的图象恒过定点P,则点P的坐标是（）A．（0,3）B．（﹣1,2）C．（﹣1,3）D．（3,﹣1）2．（5.00分）已知全集U=R,集合M={x||x﹣1|≤2},则∁U M=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|x＜﹣1,或x＞3}D．{x|x≤﹣1,或x≥3}3．（5.00分）两圆x2+y2﹣8x+6y﹣11=0和x2+y2=100的位置关系．A．相离B．相交C．外切D．内切4．（5.00分）已知函数,那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣5．（5.00分）已知两条不同的直线m、n,两个不同的平面α、β,则下列命题中的真命题是（）A．若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n B．若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nC．若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n D．若m∥α,n⊥β,α⊥β,则m∥n6．（5.00分）已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′（斜二测画法）是边长为a 的正三角形,则原△ABC的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a27．（5.00分）设f（x）为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f（x）=2x+2x+b（b为常数）,则f（﹣1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．38．（5.00分）一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A．48 B．32+8C．48+8D．809．（5.00分）设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0,y0）,则x0所在的区间是（）A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）10．（5.00分）若过点A（4,0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．11．（5.00分）点P（4,﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=112．（5.00分）已知函数y=f（x）的定义域为D,若对于任意的x1,x2∈D（x1≠x2）,都有f（）＜,则称y=f（x）为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为（）A．y=log2x B．y=C．y=x3 D．y=x2二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分,共20分）.13．（5.00分）计算：=．14．（5.00分）在空间直角坐标系中,在z轴上求一点C,使得点C到点A（1,0,2）与点B（1,1,1）的距离相等,则点C的坐标为．15．（5.00分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,若该三棱柱的顶点都在球O的表面上,且球O的表面积为7π,则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为．16．（5.00分）如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD．给出下列命题：①PB⊥AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程演算步骤（17题10分,18-22每题12分,共70分）．17．（10.00分）已知U=R,A={x|﹣1≤x≤3},B={x|x﹣a＞0}．（1）若A⊆B,求实数a的取值范围；（2）若A∩B≠∅,求实数a的取值范围．18．（12.00分）已知点P（2,﹣1）,求：（1）过点P且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程；（2）过点P且与原点距离为2的直线方程；（3）过点P且与原点距离最大的直线方程,并求出最大值．19．（12.00分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB ⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E点满足．（1）证明：PA⊥平面ABCD．（2）在线段BC上是否存在点F,使得PF∥平面EAC？若存在,确定点F的位置,若不存在请说明理由．20．（12.00分）已知圆M过两点A（1,﹣1）,B（﹣1,1）,且圆心M在直线x+y﹣2=0上．（1）求圆M的方程．（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PC、PD是圆M的两条切线,C、D为切点,求四边形PCMD面积的最小值．21．（12.00分）已知函数．（1）若函数的定义域为R,求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为（﹣∞,﹣1],求实数a的取值范围；（3）若函数在区间上为增函数,求实数a的取值范围．22．（12.00分）已知实数a＜0,函数．（1）设,求t的取值范围；（2）将f（x）表示为t的函数h（t）；（3）若函数f（x）的最大值为g（a）,求g（a）．2015-2016学年辽宁省营口市大石桥二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分,共60分）．1．（5.00分）已知函数f（x）=3﹣a x+1的图象恒过定点P,则点P的坐标是（）A．（0,3）B．（﹣1,2）C．（﹣1,3）D．（3,﹣1）【解答】解：∵y=a x的图象恒过定点（0,1）,∴y=﹣a x的图象过定点（0,﹣1）,则由函数的图象平移可得f（x）=3﹣a x+1的图象恒过定点P（﹣1,2）,故选：B．2．（5.00分）已知全集U=R,集合M={x||x﹣1|≤2},则∁U M=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|x＜﹣1,或x＞3}D．{x|x≤﹣1,或x≥3}【解答】解：因为集合M={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3},全集U=R,∴C U M={x|x＜﹣1,或x＜3}．故选：C．3．（5.00分）两圆x2+y2﹣8x+6y﹣11=0和x2+y2=100的位置关系．A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：x2+y2﹣8x+6y﹣11=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=36,又x2+y2=100,所以两圆心的坐标分别为：（4,﹣3）和（0,0）,两半径分别为R=6和r=10,则两圆心之间的距离d=5,因为10﹣6＜5＜10+6,即R﹣r＜d＜R+r,所以两圆的位置关系是相交．故选：B．4．（5.00分）已知函数,那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣【解答】解：∵,∴==﹣2,而﹣2＜0,∴f（﹣2）=3﹣2=．∴=．故选：B．5．（5.00分）已知两条不同的直线m、n,两个不同的平面α、β,则下列命题中的真命题是（）A．若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n B．若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nC．若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n D．若m∥α,n⊥β,α⊥β,则m∥n【解答】解：若n⊥β,α⊥β,则α∥n或n⊂α,又由m⊥α,则m⊥n,故A正确；若m⊥α,α⊥β,则m∥β或m⊂β,又由n∥β,则m与n可能平行也可能相交,也可能异面,故B不正确；若m∥α,n∥β,α∥β,则m与n可能平行也可能相交,也可能异面,故C不正确；若n⊥β,α⊥β,则n∥α或n⊂α,又由m∥α,则m与n可能平行也可能相交,也可能异面,故D不正确；故选：A．6．（5.00分）已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′（斜二测画法）是边长为a 的正三角形,则原△ABC的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a2【解答】解：把边长为a的正三角形A′B′C′还原回原三角形如图,过C′作C′D垂直于x′轴于D,因为△A′B′C′是边长为a的正三角形,所以,过C′作C′E平行于x′轴交y′轴于E,则,所以,C′对应的原图形中的点C在平面直角坐标系xoy下的坐标为,即原三角形ABC底边AB上的高为,所以,．故选：D．7．（5.00分）设f（x）为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f（x）=2x+2x+b（b为常数）,则f（﹣1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数,所以f（0）=20+2×0+b=0,解得b=﹣1,所以当x≥0时,f（x）=2x+2x﹣1,又因为f（x）为定义在R上的奇函数,所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3,故选：A．8．（5.00分）一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A．48 B．32+8C．48+8D．80【解答】解：如图所示的三视图是以左视图所示等腰梯形为底的直四棱柱,其底面上底长为2,下底长为4,高为4,故底面积S底=×（2+4）×4=12腰长为：=则底面周长为：2+4+2×=6+2则其侧面积S侧=4×（6+2）=24+8则该几何体的表面积为S=2×S底+S侧=2×12+24+8=48+8故选：C．9．（5.00分）设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0,y0）,则x0所在的区间是（）A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）【解答】解：∵y=（）x﹣2=22﹣x令g（x）=x3﹣22﹣x,可求得：g（0）＜0,g（1）＜0,g（2）＞0,g（3）＞0,g（4）＞0,易知函数g（x）的零点所在区间为（1,2）．故选：B．10．（5.00分）若过点A（4,0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为y=k（x﹣4）,即kx﹣y﹣4k=0,直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点,圆心到直线的距离小于等于半径,得4k2≤k2+1,k2≤,故选：C．11．（5.00分）点P（4,﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1【解答】解：设圆上任意一点为（x1,y1）,中点为（x,y）,则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4,化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选：A．12．（5.00分）已知函数y=f（x）的定义域为D,若对于任意的x1,x2∈D（x1≠x2）,都有f（）＜,则称y=f（x）为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为（）A．y=log2x B．y=C．y=x3 D．y=x2【解答】解：分别作出四个基本函数的图象,由图象可知函数y=x2为凹函数．故选：D．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分,共20分）.13．（5.00分）计算：=π+2．【解答】解：,=lg5•+2lg22+π,=2lg5（1+lg2）+2lg22+π,=2lg5+2lg5•lg2+2lg22+π,=2lg5+2lg2（lg5+lg2）+π,=2lg5+2lg2+π,=2+π,故答案为：2+π．14．（5.00分）在空间直角坐标系中,在z轴上求一点C,使得点C到点A（1,0,2）与点B（1,1,1）的距离相等,则点C的坐标为（0,0,1）．【解答】解：设C（0,0,z）由点C到点A（1,0,2）与点B（1,1,1）的距离相等,得12+02+（z﹣2）2=12+12+（z﹣1）2解得z=1,故C（0,0,1）故答案为：（0,0,1）．15．（5.00分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,若该三棱柱的顶点都在球O的表面上,且球O的表面积为7π,则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为．【解答】解：如图,∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等,6个顶点都在球O的球面上,∴三棱柱为正三棱柱,且其中心为球的球心,设为O,再设球的半径为r,由球O的表面积为7π,得4πr2=7π,∴．设三棱柱的底面边长为a,则上底面所在圆的半径为,且球心O到上底面中心H的距离OH=,∴,即r=,∴a=．则三棱柱的底面积为S=．∴=．故答案为：．16．（5.00分）如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD．给出下列命题：①PB⊥AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是②③．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：如图,①、若PB⊥AC,∵AC⊥BD,则AC⊥平面PBD,∴AC⊥PO,又PA⊥平面ABCD,则AC⊥PA,在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直,与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾．①错误；②、∵CD∥AB,则CD∥平面PAB,∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行．②正确；③、∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAC⊥平面ABCD,又BD⊥AC,∴BD⊥平面PAC,则平面PBD⊥平面PAC．③正确；④、∵PD2=PA2+AD2,PC2=PA2+AC2,AC2=AD2+CD2,AD=CD,∴PD2+CD2=PC2,∴④△PCD为直角三角形,④错误,故答案为：②③三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程演算步骤（17题10分,18-22每题12分,共70分）．17．（10.00分）已知U=R,A={x|﹣1≤x≤3},B={x|x﹣a＞0}．（1）若A⊆B,求实数a的取值范围；（2）若A∩B≠∅,求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵U=R,A={x|﹣1≤x≤3},B={x|x﹣a＞0}．∴B={x|x﹣a＞0}={x|x＞a}．由A⊆B,得a＜﹣1,即a的取值范围是{a|a＜﹣1}；（2）由A∩B≠∅,则a＜3,即a的取值范围是{a|a＜3}．18．（12.00分）已知点P（2,﹣1）,求：（1）过点P且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程；（2）过点P且与原点距离为2的直线方程；（3）过点P且与原点距离最大的直线方程,并求出最大值．【解答】解：（1）设与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为2x﹣y+m=0,把点P（2,﹣1）代入可得：4+1+m=0,解得m=﹣5．直线方程为2x﹣y﹣5=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）当斜率不存在时,方程x=2适合题意．当斜率存在时,设直线方程为y+1=k（x﹣2）,即kx﹣y﹣2k﹣1=0,则,解得．∴直线方程为3x﹣4y﹣10=0．∴所求直线方程为x=2或3x﹣4y﹣10=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）过点P且与原点距离最大的直线方程应为过点P且OP垂直的直线,,则所求直线的斜率为2∴直线方程为2x﹣y﹣5=0,最大距离为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12.00分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB ⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E点满足．（1）证明：PA⊥平面ABCD．（2）在线段BC上是否存在点F,使得PF∥平面EAC？若存在,确定点F的位置,若不存在请说明理由．【解答】证明：（1）平面PAB⇒BC⊥PA,同理CD⊥PA,又CD∩BC=C,所以PA⊥平面ABCD．（2）当F为BC中点时,PF∥平面EAC,理由如下：设AC,FD交于点S因为AD∥FC所以又因为所以PF∥ES因为PF⊂平面EAC,ES⊂平面EAC,所以PF∥平面EAC．20．（12.00分）已知圆M过两点A（1,﹣1）,B（﹣1,1）,且圆心M在直线x+y﹣2=0上．（1）求圆M的方程．（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PC、PD是圆M的两条切线,C、D为切点,求四边形PCMD面积的最小值．【解答】解：（1）设圆心M（a,b）,则a+b﹣2=0①,又A（1,﹣1）,B（﹣1,1）,∴k AB==﹣1,∴AB的垂直平分线l的斜率k=1,又AB的中点为O（0,0）,∴l的方程为y=x,而直线l与直线x+y﹣2=0的交点就是圆心M（a,b）,由解得：,又r=|MA|=2,∴圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）如图：S PCMD=|MC|•|PC|=2=2,又点M（1,1）到3x+4y+8=0的距离d=|MN|==3,所以|PM|min=d=3,所以（S PCMD）min=2=2．21．（12.00分）已知函数．（1）若函数的定义域为R,求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为（﹣∞,﹣1],求实数a的取值范围；（3）若函数在区间上为增函数,求实数a的取值范围．【解答】解：记g（x）=x2﹣2ax+3=（x﹣a）2+3﹣a2,（1）由题意知g（x）＞0对x∈R恒成立,∴解得∴实数a的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由函数是减函数及函数的值域为（﹣∞,﹣1]可知x2﹣2ax+3≥2．由（1）知g（x）的值域为[3﹣a2,+∞）,∴．∴a=±1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）由题意得,解得1≤a≤2,∴实数a的取值范围是[1,2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．（12.00分）已知实数a＜0,函数．（1）设,求t的取值范围；（2）将f（x）表示为t的函数h（t）；（3）若函数f（x）的最大值为g（a）,求g（a）．【解答】解：（1）由得,即﹣1≤x≤1,即函数的定义域[﹣1,1]．平方得,∴t2∈[2,4],∵t≥0,∴,∴t的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）知,∴,．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（3）的对称轴为．①当即时,；②当即时,；③当即时,g（a）=h（2）=a+2．综上可得,函数f（x）的最大值为．﹣﹣﹣（12分）。