2018年高考数学二轮专题复习(浙江专版)选择填空提速专练十(含答案)
2018年浙江高考数学二轮复习练习第2部分必考补充专题(4份有答案)
专题限时集训(十七) 集合与常用逻辑用语(对应学生用书第151页)[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考题、模拟题重组练]一、集合1．(2015·浙江高考)已知集合P＝{x|x2－2x≥3}，Q＝{x|2<x<4}，则P∩Q＝( ) A．[3,4) B．(2,3]C．(－1,2) D．(－1,3]A[P＝{x|x2－2x≥3}＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}，∴P∩Q＝{x|x≥3或x≤－1}∩{x|2<x<4}＝{x|3≤x<4}，即P∩Q＝[3,4)．]2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( ) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)A[∵P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，∴P∪Q＝{x|－1<x<2}．故选A.]3．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}．故选C.]4．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( ) A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B[∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2<x<2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}＝(－2,3]．]5．(2015·浙江高考)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝( ) A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]C[由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以∁R P＝{x|0<x<2}＝(0,2)．又Q＝{x|1<x≤2}＝(1,2]，所以(∁R P)∩Q＝(1,2)．]6．(2014·浙江高考)设全集U＝{x∈N|x≥2)，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A ．∅B ．{2}C ．{5}D ．{2,5}B [因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}， 所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5)，故∁U A ＝{2}．] 二、命题及其关系、充分条件与必要条件7．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b >0，ab <0，故a ＋b >0D ⇒/ab >0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab >0，但a ＋b <0，所以ab >0D ⇒/a ＋b >0.故“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件．]8．(2017·湖州市高三第一学期期末调研测试)已知{a n }是等比数列，则“a 2＜a 4”是“{a n }是单调递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件B [若a n ＝(－2)n，是等比数列，且a 2＝4＜a 4＝16，但该数列不具有单调性，所以充分性不成立；若{a n }是单调递增的等比数列，则必有a 2＜a 4，所以必要性成立，即“a 2＜a 4”是“{a n }是单调递增数列”的必要不充分条件，故选B.]9．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．故选A.]10．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]11．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( ) A．－1＜x≤1B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1D[由x∈A且x∉B知x∈A∩(∁R B)，又∁R B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝{x|－1＜x＜1}．][B组“8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，集合B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A⊆B，则c的取值范围为( ) A．(0,1] B．(0,1)C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)C[由题意将两个集合化简得：A＝(0,1)，B＝(0，c)，因为A⊆B，所以c≥1.]2．(2017·杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设α，β是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β，则A．①②都是假命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是真命题B[由面面垂直的判定可知m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故命题①为真命题；m∥α，α⊥β，m与β可能平行，在β内，或与α相交，故②为假命题．]3．(2014·浙江高考)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的充分不必要条件．]4．(2017·浙江省名校新高考研究联盟高三第三次联考)已知集合P ＝{x ∈R |0＜x ＜1}，Q ＝{x ∈R |x 2＋x －2≤0}，则( ) A ．P ∈Q B ．P ∈∁R Q C ．∁R P ⊆QD ．∁R Q ⊆∁R PD [由题意得集合P ＝{x |0＜x ＜1}，Q ＝{x |－2≤x ≤1}，所以∁R P ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∁R Q ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，所以∁R Q ⊆∁R P ，故选D.]5．函数f (x )的定义域为实数集R ，“f (x )是奇函数”是“|f (x )|是偶函数”的( ) 【导学号：68334154】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件A [f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，因此|f (x )|是偶函数，但当f (x )为奇函数时，|f (x )|为偶函数，但由|f (x )|为偶函数不能得出结论f (x )为奇函数，因此本题选A.]6．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数； 反之，当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数“的充要条件，故选C.]7．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4D [A ＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }＝{1,2,3,4}． 因为A ⊆C ⊆B ，所以C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．]8．(2015·浙江高考)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．( )命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )． A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立A [命题①成立，若A ≠B ，则card(A ∪B )>card(A ∩B )，所以d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )>0.反之可以把上述过程逆推，故“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②成立，由Venn 图，知card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )，d (A ，C )＝card(A )＋card(C )－2card(A ∩C )， d (B ，C )＝card(B )＋card(C )－2card(B ∩C )，所以d (A ，B )＋d (B ，C )－d (A ，C )＝card(A )＋card(B )－2card(A ∩B )＋card(B )＋card(C )－2card(B ∩C )－[card(A )＋card(C )－2card(A ∩C )]＝2card(B )－2card(A ∩B )－2card(B ∩C )＋2card(A ∩C ) ＝2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card(A ∩B )＋card(B ∩C )] ≥2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card((A ∪C )∩B )＋card(A ∩B ∩C )] ＝[2card(B )－2card ( A ∪CB＋[2card(A ∩C )－2card(A ∩B ∩C )]≥0，所以d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )得证．] 二、填空题9．(2017·浙江省名师原创预测卷(二))已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝lnx －1x ，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋2}，则(∁RM )∩N ＝________.{1} [由题意得M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＞0，即M ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，N ＝{y |y ≥1}，所以(∁R M )∩N ＝[0,1]∩[1，＋∞)＝{1}．]10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12＜2x＜8，B ＝{x ∈R |－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．(2，＋∞) [A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12＜2x＜8＝{x |－1＜x ＜3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A ⊆B ，所以m ＋1＞3，即m ＞2.]11．(2017·浙江省名师原创预测卷(四))已知集合A ＝{1,2,3，…，10}，若集合A 的一个非空子集中的奇数的个数不多于偶数的个数，则称该子集为“偏偶集”，那么集合A 的所有非空子集中，“偏偶集”的个数为________．637 [集合A 的所有非空子集可分为三类：偶数的个数多于奇数的个数、奇数的个数多于偶数的个数、偶数的个数与奇数的个数相等．其中前两种情况的子集数相等，现考虑第三种情况，即考虑元素个数为2,4,6,8,10的子集，则共有子集数：(C 15)2＋(C 25)2＋(C 35)2＋(C 45)2＋(C 55)2＝251，从而“偏偶集”的个数为251＋12(210－1－251)＝637.]12．设p ：(x －a )2≤9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ [p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12.因为p 是q 的充分不必要条件，所以a ＋3≤－1或a －3≥12，即a ≤－4或a ≥72.]13．(2014·浙江高考)设集合S ＝{x |x ≥2}，T ＝{x |x ≤5}，则S ∩T ＝________.[2,5] [因为S ＝{x |x ≥2}，T ＝{x |x ≤5}，所以S ∩T ＝{x |x ≥2且x ≤5}＝{x |2≤x ≤5}．] 14．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈Z ||x |≤1}，则A ∩(∁Z B )＝________.{2,3,4} [因为集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈Z ||x |≤1}＝{－1,0,1}，所以A ∩(∁Z B )＝{2,3,4}．] 15．(2016·江南十校一模)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜b ，b ∈N }，Q ＝{x |x 2－3x ＜0，x ∈Z }，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于________．2 [集合P ＝{x |－1＜x ＜b ，b ∈N }，Q ＝{x |x 2－3x ＜0，x ∈Z }＝{1,2}，P ∩Q ≠∅，可得b 的最小值为2.]专题限时集训(十八) 不等式与线性规划(对应学生用书第153页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、基本不等式1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16B [由a ＋b ＝1a ＋1b，有ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ×2b＝2 2.]2．(2017·温州九校协作体高三期末联考)已知实数x ＞0，y ＞0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy的最小值为________．2＋22 [因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y ＝2＋2y x ＋xy≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．]3．(2014·浙江高考)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．63[因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2， 所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63. 所以a max ＝63.] 4．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．－12 26－6 [f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝0； 当x >1时，f (x )＝x ＋6x－6.令f ′(x )＝1－6x2＝0，解得x ＝6(负值舍去)．当1<x <6时，f ′(x )<0；当x >6时，f ′(x )>0， ∴f (x )的最小值为f (6)＝6＋66－6＝26－6.综上，f (x )的最小值是26－6.] 二、线性规划问题5．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y的取值范围是[4，＋∞)． 故选D.]6．(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.]7．(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2 C.322D. 5B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.]8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]9．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]10．(2015·浙江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 3 [满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) 【导学号：68334155】 A ．a 2＜b 2B.a b＜1 C ．a ＜1－bD.1a ＜1bC [因为a ＜b ＜0，所以a 2＞b 2，a b ＞1，1a ＞1b，a ＋b ＜1.因此A ，B ，D 不正确，C 正确．]2．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2 D ．2 2A [由⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )，由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.]3．(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋czB [令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3. A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14； B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.]4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5D [作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D.]5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m ＞0)的最大值为1，则m 的值是( ) 【导学号：68334156】 A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m ＞0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.]6．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14D [可行域由三条直线x ＝0，x ＋y ＝0，kx －y ＋1＝0所围成，因为x ＝0与x ＋y ＝0的夹角为π4，所以x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4或x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4.当x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，可知k ＝1，此时等腰三角形的直角边长为22，面积为14；当x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，k ＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为12，所以选D.]7．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值是( ) 【导学号：68334157】 A ．0 B.98 C ．2D.94C [z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4yx≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立． 此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2，故选C.]8．设m ＞1，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1，且目标函数z ＝x ＋my 的最大值为2，则m 的取值为( )A ．2B ．1＋ 2C ．3D ．2＋ 2B [因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域如图，直线y ＝mx 与直线x ＋y ＝1交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应的直线与直线y ＝mx 垂直，且在B ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m2m ＋1＝2，又因为m ＞1，解得m ＝1＋ 2.] 二、填空题9．(2017·浙江省名校新高考联盟高三第三次联考)过P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是________．[22，5] [由题意得点P (－1,1)关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，则|PA |＋|PB |的取值范围等价于点P 1(－1，－1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0，y ≥0表示的平面区域内的点的连线的长度的范围，如图，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域(阴影区域，含边界)，由图易得点P 1(－1，－1)到直线x ＋y －2＝0的距离最小，最小值为|－1－1－2|12＋12＝22；点P 1(－1，－1)与点C (2,3)的距离最大，最大值为＋2＋＋2＝5，所以|PA |＋|PB |的取值范围为[22，5]．]10．(2017·萧山中学高三仿真模拟)已知实数x ，y 满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |且|x |≤4，则|3x －4y |的最大值为________．32 [∵实数x ，y满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |，且|x |≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≥0，x －2y ＋4≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≤0，x －2y ＋4≤0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≤0，3x ＋4y －8≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≥0，3x ＋4y －8≤0，－4≤x ≤4.∴可行域为如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (－4,5)，B (－4,0)，C (0,2)，D (4,4)，E (4，－1)．设目标函数z ＝3x －4y ，则当目标函数z ＝3x －4y 经过A (－4,5)时取得最小值z min ＝－32；当目标函数z ＝3x －4y 经过E (4，－1)时取得最大值z max ＝16，则|z |＝|3x －4y |的最大值为32.]11．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.]12．已知正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，则b c ＋ca ＋b的最小值为________．2－12[因为正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，所以b c ＋c a ＋b ≥b c ＋c 2b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＋c 2b ＋c －12＝2b ＋c 2c ＋c 2b ＋c －12≥2－12. 当且仅当2b ＋c 2c ＝c2b ＋c时取等号．]13．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞13，则f (e x )＞0的解集为________．{x |x ＜－ln 3} [f (x )＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13， 则由f (e x )＞0得－1＜e x＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x)＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}．]14．(2017·宁波十校高三适应性考试 17)已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c >1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12ab －1·c ＋2c －1的最小值为________．3 2 [由题意知，∵a 2＋12ab －1＝a 2＋a ＋b 22ab－1＝2a 2＋b22ab≥2(当且仅当a ＝2－1，b ＝2－2时，等号成立)，∴原式≥2c ＋2c －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1＋1c －1＋2≥22＋2＝32(当且仅当c ＝2时，等号成立)．]15．(2016·舟山调研)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 7＋43 [由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴a ＝4bb －3，由a ＞0，得b ＞3. ∴a ＋b ＝b ＋4bb －3＝b ＋b －＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a ＋b 的最小值为7＋4 3.]专题限时集训(十九) 复数、数学归纳法(对应学生用书第155页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、复数1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3)A [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．]3．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35iD.45－35i D [∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5，∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i.] 4．设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2 A [由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i1＋i＝－1＋－2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.] 5．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.]6．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2iB [法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则2z ＋z ＝2a ＋2b i ＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i.由复数相等的定义，得3a ＝3，b ＝－2，解得a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i.法二：由已知条件2z ＋z ＝3－2i ①，得2z ＋z ＝3＋2i ②，解①②组成的关于z ，z 的方程组，得z ＝1－2i.故选B.]7．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.【导学号：68334158】5 2 [(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.]8．若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1z＝________.i [由题意，得m (m －1)＝0且(m －1)≠0，得m ＝0，所以z ＝－i ，1z ＝1－i ＝i.二、数学归纳法9．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增添的代数式为________．2(2k ＋1) [假设n ＝k 时，(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k×1×3…×(2k －1)成立；那么n ＝k ＋1时左边应为[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋k －1][(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，即从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应添乘的式子是[k ＋k ＋k ＋＋k ＋k ＋1＝k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．]10．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 [1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，由上述式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n －1项，且第一项为n ，则最后一项为3n －2，等式右边均为2n －1的平方．]11．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1n ＋2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋3 [观察不等式中各项的分母变化知，n ＝k ＋1时，122＋132＋ (1)2＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋3.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 B [∵复数z ＝11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i ， ∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，其对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.]2．已知i 为虚数单位，若a 1－i ＝1＋ii，则a 的值为( )A ．iB ．－iC ．－2iD ．2iC [∵a 1－i ＝1＋ii，∴a ＝＋－i＝2i＝－2i ，故选C.] 3．(2016·浙江镇海中学模拟)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2 B ．若z 1＝z －2，则z －1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2 D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z －1＝z －2，命题为真；对于选项B ，若z 1＝z －2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z －1＝z 2，命题为真；对于选项C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，若|z 1|＝|z 2|，则a 21＋b 21＝a 22＋b 22，z 1·z －1＝a 21＋b 21，z 2·z －2＝a 22＋b 22，所以z 1·z－1＝z 2·z －2，命题为真；对于选项D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 21＝1，z 22＝－1，所以z 21≠z 22，命题为假．]4．复数z ＝3＋4i1－2i (其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z －＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1＋2iD ．1－2iA [依题意得z ＝＋＋－＋＝－5＋10i5＝－1＋2i ，因此z －＝－1－2i ，故选A.]5．设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2＝( ) A ．－5－12i B ．－5＋12i C ．－13＋12iD ．－13－12iB [复数z 1＝3－2i 在复平面内对应的点为(3，－2)，其关于原点对称的点的坐标为(－3,2)，所以z 2＝－3＋2i ，z 1·z 2＝(3－2i)(－3＋2i)＝－5＋12i ，故选B.]6．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限B [2i1－i＝＋－＋＝－2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.]7．若复数z 满足(2＋i)z ＝3i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A.2＋i B.2－i C ．1＋2i D ．1－2iD [依题意得z ＝3i2＋i＝2－2＋2－＝1＋2i ，则复数z 的共轭复数为1－2i ，选D.]8．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3A [假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．] 二、填空题9．设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则zz＋z 2的虚部为________．－1 [∵z ＝1－i(i 为虚数单位)， ∴zz ＋z 2＝1＋i 1－i＋(1－i)2＝＋2－＋－2i ＝2i2－2i ＝－i ，故其虚部为－1.] 10．在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足|z ＋i|＝|z －3－i|，则直线l 的斜率为________． －32 [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵|z ＋i|＝|z －3－i|，∴|x ＋(y ＋1)i|＝|(x －3)＋(y －1)i|，∴x 2＋(y ＋1)2＝(x －3)2＋(y －1)2， ∴6x ＋4y －9＝0，则直线l 的斜率为－32.]11．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是_____________项．2k [f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此，f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．]12．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．1k ＋k ＋[当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋.]13．复数＋23－4i 的值是________．－1 [＋23－4i＝1＋4i ＋4i 23－4i ＝－3＋4i 3－4i＝－1.]14．已知x1＋i＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为________．2－i [x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以x ＝2，y ＝1.]15．设复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝________. 【导学号：68334159】5 [⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋2i ＋21－i＝|3＋2i ＋(1＋i)|＝|4＋3i|＝5.]专题限时集训(二十) 排列组合、二项式定理 (对应学生用书第157页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、排列、组合1．如图201，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图201A．24 B．18C．12 D．9B[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E 到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]2．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72D[第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．]3．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A．18个B．16个C．14个D．12个C[由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.]4．(2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种D[满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．]5．某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )【导学号：68334160】A．484 B．472C．252 D．232B[分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C312－3C34＝208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C14·C212＝264种．根据分类计数原理，得208＋264＝472，故选B.]6．下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是( ) 【导学号：68334161】A．(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)…(1＋x10)B．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋10x)C．(1＋x)(1＋2x2)(1＋3x3)…(1＋10x10)D．(1＋x)(1＋x＋x2)(1＋x＋x2＋x3)...(1＋x＋x2＋ (x10)A[从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，1＋7,2＋6,3＋5，共3种方法，选三个，1＋2＋5，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是2＋3＋4＞8.四个以上的和都大于8，因此共有方法数为 5.A中，x8的系数是1＋3＋1＝5(x8，x·x7，x2·x6，x3·x5，x·x2·x5)，B中，x8的系数大于1×2×3×4×5×6×7×8，C中，x8的系数大于8(8x8的系数就是8)，D中，x8的系数大于C49＞8(有四个括号里取x2，其余取1时系数为C49)．因此只有A是正确的，故选A.]7．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)660 [法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．]8．(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．60[把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.]二、二项式定理9．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 B．20C．30 D．60C[法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.]10．(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )A．45 B．60C．120 D．210C[因为f(m，n)＝C m6C n4，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120.]11．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1D[(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x＝5x，T3＝C25x2＝10x2，∴x2的系数为10＋5a＝5，∴a＝－1，故选D.]12．已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.16 4 [由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C23×12×C22×22＋C33×13×C12×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C33×13×C22×22＝4.]13．(2016·全国乙卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)10 [(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·(x )r ＝25－r·C r5·x 5－r2.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]14.⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. －2 [T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－r x 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.]15．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 3 [设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3.]16．设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. －10 [T r ＋1＝C r 5(x )5－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－5r 6，令52－5r 6＝0，得r ＝3，所以A ＝－C 35＝－10.]17．已知对任意实数x ，有(m ＋x )(1＋x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，若a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝32，则m ＝________. 【导学号：68334162】0 [设(1＋x )6＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 6x 6，则a 1＝b 0＋mb 1，a 3＝b 2＋mb 3，a 5＝b 4＋mb 5，a 7＝b 6， 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝(b 0＋b 2＋b 4＋b 6)＋m (b 1＋b 3＋b 5)，又由二项式定理知b 0＋b 2＋b 4＋b 6＝b 1＋b 3＋b 5＝12(1＋1)6＝32，所以32＋32m ＝32，m ＝0.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是( )A ．70B ．98C ．108D ．120B [可分为两类：选A ，B ，C 中的一门，其它7科中选两门，有C 13C 27＝63；不选A ，B ，C 中的一门，其它7科中选三门，有C 37＝35；所以共有98种，故选B.]2．在⎝⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( ) A ．20 B ．15 C ．10D ．5D [T r ＋1＝C r4·(ax 6)4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b xr ＝C r 4a 4－r b r x 24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5.]3．(2018·杭州二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中两个2元，两个3元(红包金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有( ) A ．36种 B ．24种 C ．18种D ．9种C [由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包，且抢到红包的4人中有2人抢到2元红包，另2人抢到3元红包，则甲、乙两人都抢到红包的情况有C 13C 24＝18种，故选C.]4．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( ) A ．240种 B ．192种 C ．120种D ．96种B [不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A 22种站法，再取一人站左侧有C 14×A 22种站法，余下三人站右侧，有A 33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A 22×C 14×A 22×A 33＝192，故选B.]5．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( ) A ．A 26×A 45种 B ．A 26×54种 C ．C 26×A 45种D ．C 26×54种D [有两个年级选择甲博物馆共有C 26种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C 26×54种，故选D.] 6．在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01810的展开式中，含x 2项的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45D ．120C [因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01810＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋1x2 01810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2 018＋…＋C 1010⎝⎛⎭⎪⎫1x 2 01810，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C.]7．(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( )。
2018年高考数学(文)二轮复习练习：小题提速练10 Word版含答案
小题提速练(十) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,5}，B ＝{1,3,4}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{3}B ．{2,5}C ．{1,4,6}D ．{2,3,5}B [由题意得，∁U B ＝{2,5,6}，所以A ∩(∁U B )＝{2,5}．] 2．若a －ii＝b ＋2i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a ＋b 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A [由a －ii ＝b ＋2i ，得－1－a i ＝b ＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，所以a ＋b ＝－3.]3．设命题p ：∀x ＞0,2x＞1，则﹁p ：( )A ．∀x ＞0,2x≤1 B ．∃x 0＜0,2x 0＞1 C ．∀x ＜0,2x ≤1D ．∃x 0＞0,2x 0≤1D [全称命题的否定是特称命题，将“∀”变为“∃”，结论中的“>”变为“≤”，即可得命题﹁p .故选D.]4．从1,2,3,4,5中任取2个数字，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是( ) A.15 B.25 C.35D.45C [十位数分别是1,2,3,4,5的两位数各有4个，所以共有20个两位数，其中大于30的两位数有12个，所以所求概率P ＝1220＝35.]5．某程序框图如图1所示，则运行该程序后输出的值是( )【导学号：04024208】图1A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017D [运行程序得到的S 组成一个摆动数列：2 017,2 016，2 017，2 016，….程序共运行2 015次，故程序结束时输出的S ＝(－1)2 016＋2 016＝2 017.]6．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x ，y 线性相关，回归方程为y ＝0.7x ＋a ，估计该制药厂6月份生产的甲胶囊为( )【导学号：04024209】A ．8.1万盒B ．8.2万盒C ．8.9万盒D ．8.6万盒A [由已知得x ＝3，y ＝6，所以a ^＝y －0.7x ＝3.9，所以y ^＝0.7x ＋3.9，所以当x ＝6时，y ^＝0.7×6＋3.9＝8.1.故选A.]7．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．29 B ．31 C ．33D ．35B [依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2＝2a 1，a 1q 3＋2a 1q 6＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝12，所以S 5＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.]8．若|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a ，b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°A [设a ，b 的夹角为θ(θ∈[0，π]，则由a ⊥(a －b )得，a·(a －b )＝0，即a 2－a·b ＝0，所以|a |2－|a|·|b |cos θ＝0，所以cos θ＝|a |2|a|·|b |＝12＝22，故θ＝45°.]9．如图2所示，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )图2A ．8＋6πB ．4＋6πC ．4＋12πD ．8＋12πA [该几何体是由半圆柱和四棱锥组合而成的，其中半圆柱的体积为12×π×22×3＝6π，四棱锥的体积为13×3×4×2＝8，所以该几何体的体积为8＋6π.]10．在球内有相距1 cm 的两个平行截面，截面面积分别是5π cm 2和8π cm 2，球心不在截面之间，则球的表面积是( ) A ．36π cm 2B ．27π cm 2C ．20π cm 2D ．12π cm 2A [设球的半径为R ，利用几何关系容易得到球心到两截面的距离分别为R 2－5，R 2－8.由于球心不在截面之间，所以R 2－5－R 2－8＝1，解得R 2＝9，所以球的表面积为4πR 2＝36π(cm 2)．]11．在平面直角坐标系xOy 中，已知x 21－ln x 1－y 1＝0，x 2－y 2－2＝0，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5B [根据题意，原问题等价于求曲线y ＝x 2－ln x 上一点到直线x －y －2＝0的距离的最小值的平方．因为y ′＝2x －1x ，令2x －1x＝1，得x ＝1，可得与直线x －y －2＝0平行的曲线y ＝x 2－ln x 的切线与曲线相切于点(1,1)，所以切线方程为x －y ＝0.直线x －y ＝0与直线x －y －2＝0之间的距离为|2|2＝2，，即曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的距离的最小值为2，所以曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的距离的最小值的平方为2，所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为2.]12．设P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上一点，O 是坐标原点，若以OP 为直径的圆与直线y ＝bax 的一个交点始终在第一象限，则双曲线离心率e 的取值范围是( )【导学号：04024210】A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)B [设P (x 0，y 0)，交点为A (x A ，y A )，则l PA ：y －y 0＝－a b ·(x －x 0)，与y ＝b ax 联立，得A ⎝⎛⎭⎪⎫a ax 0＋by 0a 2＋b 2，b ax 0＋by 0a 2＋b 2.若要点A 始终在第一象限，则需ax 0＋by 0＞0，即a b x 0＞－y 0恒成立．若点P 在第一象限，则此不等式显然成立，故只需当点P 在第四象限或坐标轴上时此不等式也成立即可，此时y 0≤0，所以a 2b 2x 20＞y 20，而y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 2－b 2a 2x 20＞－b 2恒成立，所以a 2b 2－b 2a2≥0，即a ≥b ，所以1<e ≤ 2.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，2x，x ＞1，则f (log 23)＝________.[解析] 因为log 23＞log 22＝1，所以f (log 23)＝2log 23＝3. [答案] 314．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是________．[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示，当直线2x －3y －z ＝0过点B 时，z ＝2x －3y取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝3，可得点B 的坐标为(3,4)，所以z 的最小值为2×3－3×4＝－6.][答案] －615．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0，x ∈(－∞，λ]对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是________．[解析] 依题意知，当x ∈(－∞，λ]时，x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12恒成立，由函数f (x )＝x 2＋12x的图象(图略)知，当x ∈(－∞，－1]时，不等式恒成立，所以λ∈(－∞，－1]． [答案] (－∞，－1]16．在平面直角坐标系中，已知点P (3,0)在圆C ：(x －m )2＋(y －2)2＝40内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为20，则实数m 的取值范围是________.【导学号：04024211】[解析] 因为点P (3,0)在圆内，所以(m －3)2＋22<40，解得－3<m <9，当△ABC 的面积取最大值20时，△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°，此时圆心C (m,2)到直线AB 的距离为25，由题可得|PC |≥25，即(m －3)2＋22≥20，解得m ≤－1或m ≥7.综上，可得m ∈(－3，－1]∪[7,9)．[答案] (－3，－1]∪[7,9)。
2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习讲义：第三部分+考前调节+Word版含答案
回扣一集合与常用逻辑用语[基础知识看一看]一、牢记概念与公式四种命题的相互关系二、活用定理与结论运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.[易错易混想一想]1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y ＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合．但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B ＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．5．注重数形结合在集合问题中的应用．列举法常借助Venn 图解题；描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．6．“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．7．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[保温训练手不凉]1．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R|－1≤x ≤5}解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}． 2．“α≠β”是“sin α≠sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 命题“若α≠β，则“sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然是假命题，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．因此，“α≠β是sin α≠sin β”的必要而不充分条件．3．命题p ：m >7，命题q ：f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R)有零点，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当m >7时，方程x 2＋mx ＋9＝0的判别式Δ＝m 2－36>0，此时f (x )有两个零点；反过来，当f (x )有零点时，Δ＝m 2－36≥0，即m 2≥36，不能得知m >7.因此，p 是q 的充分不必要条件．4．已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1,0}D ．{0,1,2} 解析：选B 不妨设a <b <c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋c ＝2，b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1，c ＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |＝1，|a －c |＝2，|b －c |＝1.由此知所求集合为{1,2}．5．已知集合M ＝{x |y ＝1－x }，N ＝{y |y ＝2x}，则M ∩N ＝________. 解析：M ＝{x |x ≤1}，N ＝{y |y >0}，所以M ∩N ＝{x |0<x ≤1}．答案：(0,1] 6．下面四个命题：①函数y ＝log a (x ＋1)＋1(a >0且a ≠1)的图象必过定点(0,1)； ②“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题；③过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直的直线方程为3x ＋2y －1＝0. 其中所有真命题的序号是________．解析：①中，当x ＝0时，y ＝log a 1＋1＝1，所以恒过定点(0,1)(也可由y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以①为真命题；②中，Δ＝1＋4m ，当m >0时，Δ>0，所以②为真命题，其逆否命题也为真命题；③中，直线2x －3y ＋4＝0的斜率为23，所以和2x －3y ＋4＝0垂直的直线斜率为－32，因为直线过点(－1,2)，所以所求直线方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0，所以③为真命题．综上真命题有①②③.答案：①②③回扣二函__数[基础知识看一看]一、牢记概念与公式1．函数的单调性、奇偶性、周期性(1)单调性是函数在其定义域或定义域某子区间I 上的性质．对任意的x 1，x 2∈I ，若x 1<x 2时都有f (x 1)<f (x 2)，则称f (x )为I 上的增函数；若x 1<x 2时都有f (x 1)>f (x 2)，则称f (x )为I 上的减函数．(2)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(3)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 2．指数与对数式的运算公式a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a m n ；log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a M N ＝log a M －log a N ；log a M n＝n log a M ；a log a N ＝N ；log a N ＝log b Nlog b a(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)．3．指数函数与对数函数的性质解析式 y ＝a x (a ＞0且a ≠1)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)定义域 R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R图象关于直线y ＝x 对称奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性 0＜a ＜1时，在R 上是减函数；a ＞1时，在R 上是增函数0＜a ＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a ＞1时，在(0，＋∞)上是增函数1．抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期． ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期．③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．2．函数图象平移变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象沿x 轴左右平移|c |个单位(c ＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数y ＝f (x ＋c )的图象(c 为常数)．(2)把y ＝f (x )的图象沿y 轴上下平移|b |个单位(b ＞0时向上移，b ＜0时向下移)得到函数y ＝f (x )＋b 的图象(b 为常数)．3．函数图象伸缩变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标伸长(a ＞1)或缩短(0＜a ＜1)到原来的a 倍，而横坐标不变，得到函数y ＝af (x )(a ＞0)的图象．(2)把y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长(0＜b ＜1)或缩短(b ＞1)到原来的1b倍，而纵坐标不变，得到函数y ＝f (bx )(b ＞0)的图象．4．确定函数零点的三种常用方法 (1)解方程判定法．若方程易解时用此法．(2)零点定理法．根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )·f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点．(3)数形结合法．尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．[易错易混想一想]1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．3．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．5．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x>0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．[保温训练手不凉]1．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 由题意知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只有选项A 符合． 2．函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是( )A.45B.54C.34D.43解析：选D 首先讨论分母1－x (1－x )的取值范围：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34.因此，有0<11－x 1－x≤43.所以f (x )的最大值为43. 3．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x <0，x －1，x ≥0的所有零点的和等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0，解得x ＝－1；令x －1＝0，解得x ＝1.所以函数f (x )存在两个零点1和－1，其和为0.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a 1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2，解得4≤a ＜8，故选B.6．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝2-43，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c解析：选B a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，b ＝2-43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11613，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213.考查幂函数y ＝x 13，显然该函数在(0，＋∞)上是增函数，则易知c >a >b .7．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，即函数f (x )的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，在各选项中画出直线y ＝2，满足在(－∞，0)内有交点的只有选项D.8．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f xx在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0， 3 ] C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f x x ＝12x －1＋32x ，函数f x x ＝12x －1＋32x在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]． 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：选A g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1].和函数y＝m (x ＋1)的图象，如图，当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1,0]和y ＝x ，x ∈(0,1]都相交时0<m ≤12；当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1，0]有两个交点时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m x ＋1，y ＝1x ＋1－3消元得1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0，化简得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，当Δ＝9＋4m ＝0，即m ＝－94时，直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3相切，当直线y ＝m (x ＋1)过点(0，－2)时，m ＝－2，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2.综上，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，选A.10．设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a的最小值为________．解析：∵二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，∴a >0，4ac －164a ＝0，∴ac ＝4，c >0，∴1c ＋9a≥29ac ＝3，当且仅当1c ＝9a ，即a ＝6，c ＝23时等号成立，∴1c ＋9a的最小值为3.答案：311．已知奇函数f (x )＝m －g x1＋g x的定义域为R ，其中y ＝g (x )为指数函数，且其图象过点(2,9)，则函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：设g (x )＝a x(a >0，a ≠1)，则a 2＝9，∴a ＝3或a ＝－3(舍去)，∴g (x )＝3x，∴f (x )＝m －3x1＋3x，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即m －3－x1＋3－x＝－m －3x1＋3x ，整理得m (3x＋1)＋m (1＋3－x)＝3x＋1＋1＋3－x，∴m ＝1(或由f (0)＝0得m ＝1)，∴f (x )＝1－3x1＋3x .答案：f (x )＝1－3x1＋3x12．设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sinx ＋2的某一个对称中心，并利用对称中心的定义，可得到f (－1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＋f (1)＝________.解析：由题意可得，对于函数f (x )＝x 3＋sin x ＋2，当x 1＋x 2＝0时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝4，所以f (－1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＋f (1)＝4×20＋f (0)＝82. 答案：82回扣三导数及其应用[基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．基本导数公式： (1)c ′＝0(c 为常数)； (2)(x m)′＝mxm －1(m ∈Q)；(3)(sin x )′＝cos x ； (4)(cos x )′＝－sin x ； (5)(a x)′＝a xln a (a >0且a ≠1)； (6)(e x)′＝e x； (7)(log a x )′ ＝1x ln a(a >0且a ≠1)； (8)(ln x )′＝1x.2．导数的四则运算： (1)(u ±v )′＝u ′±v ′； (2)(uv )′＝u ′v ＋uv ′； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫u v ′＝u ′v －uv ′v 2(v ≠0)． 二、活用定理与结论 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．2．函数的单调性与导数的关系在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减．3．导数研究函数单调性的一般步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可；若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．4．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤第一步：求导数f′(x)；第二步：求方程f′(x)＝0的根x0；第三步：检查f′(x)在x＝x0左右的符号：①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．5．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；第二步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[易错易混想一想]1．如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．2．导数为零的点并不一定是极值点，例如函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．3．求曲线的切线方程时，要注意题目条件中的已知点是否为切点．[保温训练手不凉]1．已知函数f(x)＝1xcos x，则f′(x)＝( )A.cos xx2B.－sin xx2C.cos x－x sin xx2D.－cos x＋x sin xx2解析：选D f′(x)＝－1x2cos x－sin xx＝－cos x＋x sin xx2.2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C 设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.3．一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R)的图象不可能的是( )解析：选B 分两种情况讨论：当a ＝0时，函数为y ＝－x 与y ＝x ，图象为D ，故D 有可能；当a ≠0时，函数y ＝ax2－x ＋a 2的对称轴为x ＝12a，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax－1)(ax －1)，令y ′＝0，则x 1＝13a ，x 2＝1a ，所以对称轴x ＝12a 介于两个极值点x 1＝13a ，x 2＝1a之间，A ，C 满足，B 不满足，所以B 不可能．故选B.4．x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]解析：选C 当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6；同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令m ＝1x ，则m ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，a ≤－3m 3－4m 2＋m ，令g (m )＝－3m 3－4m 2＋m ，m ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，则g ′(m )＝－9m 2－8m ＋1＝－(m ＋1)(9m －1)．显然在(－∞，－1]上g ′(m )≤0，在⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12上，g ′(m )>0，所以g (m )min ＝g (－1)＝－2.所以a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立．故实数a 的取值范围为[－6，－2]．5．若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 解析：由题意有y ′＝－e －x，设P (m ，n )，直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e －m＝－2，解得m ＝－ln 2，所以n ＝e－(－ln 2)＝2.答案：(－ln 2,2) 6．函数f 0(x )＝sin xx(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.则2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：由已知，得f 1(x )＝f 0′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x－sin x x2，于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1.答案：－1回扣四不_等_式[基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．不等式的性质 (1)a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(2)a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ； (3)a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ； (4)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (5)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(6)a ＞b ＞0，n ∈N ，n ＞1⇒a n＞b n，n a ＞nb . 2．简单分式不等式的解法 (1)f xg x ＞0⇔f (x )g (x )＞0，f x g x＜0⇔f (x )g (x )＜0.(2)f x g x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ≥0，g x ≠0，f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ≤0，g x ≠0.(3)对于形如f xg x＞a (≥a )的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解．3．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：不等式 a >0a ＝0a <0|x |<a {x |－a <x <a } ∅ ∅ |x |>a{x |x >a 或x <－a }{x ∈R|x ≠0}R(2)|ax ＋b ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． 二、活用定理与结论 1．常用的六个重要不等式 (1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R)． (2)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)． (3)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．(5)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(6)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. 2．可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域．3．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.4．基本不等式求最值问题 若a ，b ∈R ＋，则a ＋b2≥ab ，当且仅当“a ＝b ”时取等号．应用基本不等式求最值应注意“一正、二定、三相等”．[易错易混想一想]1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错． 2．解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f xg x≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x(x <0)时应先转化为正数再求解．5．解绝对值不等式易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．6．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．7．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2,2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．[保温训练手不凉]1．已知－1<a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2>－a 3>－a B ．－a >a 2>－a 3C ．－a 3>a 2>－aD ．a 2>－a >－a 3解析：选B ∵－1<a <0，∴0<－a <1，∴－a >(－a )2>－a 3，即－a >a 2>－a 3.2．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．3．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是( ) A ．20 B ．150 C ．75D ．1510解析：选 A 依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.4．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM ―→·OA ―→的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选B 画出区域D ，如图所示，而z ＝OM ―→·OA ―→＝2x ＋y ，故y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，相应直线过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.5．若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12，故a 的最小值为12.6．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选 D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.7．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1恒成立． 所以不等式的解集为{x |x ≥1}． 答案：{x |x ≥1}8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意；(2)当a2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16a －12－12a 2＋4a －5<0，解得1<a <19.综上可知，a 的取值范围是1≤a <19. 答案：[1,19)回扣五三角函数、解三角形与平面向量 [基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ；(2)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． 2．三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k ·π2±α(k∈Z)”中k 的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．3．三种函数的性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)上单调递增；在[2k π，π＋在⎝ ⎛－π2＋k π，⎦⎥⎤π2＋2k π(k ∈Z)上单调递增；在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π (k ∈Z)上单调递减2k π](k ∈Z)上单调递减⎭⎪⎫π2＋k π(k ∈Z)上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z)； 对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z)对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈Z)；对称轴：x ＝k π(k ∈Z)对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)4．三角恒等变换的主要公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2tan α1－tan 2α. 5．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.6．平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2 )， 则|AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 二、活用定理与结论1．三角函数的两种常见变换2．正、余弦定理 (1)正弦定理①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； ③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 注：R 是三角形的外接圆半径． (2)余弦定理①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．三点共线的判定三个点A ，B ，C 共线⇔AB ―→，AC ―→共线；向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[易错易混想一想]1．注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .2．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定．3．在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性． 4．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．5．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．6．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .7．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b·c )与a 共线．9．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．[保温训练手不凉]1．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝( )A.12 B.34C.58D.38解析：选D 由倍角公式，得sin 2α＝12(1－cos 2α)．又cos 2α＝14，所以sin 2α＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝38.2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45°D ．30°解析：选B 依题意，33＝12×4×3sin C ，解得sin C ＝32.故角C 为60°.3．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3 C.5π3D.11π6解析：选C 因为角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin5π6，cos 5π6，所以角α在第四象限，tan α＝cos5π6sin5π6＝－3，故α的最小正值为5π3.4．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB ―→|＝2|AP ―→|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，由点P 在直线AB 上，且|AB ―→|＝2|AP ―→|得AB ―→＝2AP ―→，或AB ―→＝－2AP ―→.而AB ―→＝(2,2)，AP ―→＝(x －2，y )，由(2,2)＝2(x －2，y )，解得x ＝3，y ＝1，此时点P 的坐标为(3,1)；由(2,2)＝－2(x －2，y )，解得x ＝1，y ＝－1，此时点P 的坐标为(1，－1)．综上所述，点P 的坐标为(3,1)或(1，－1)．5．若函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则f (x )图象的一个对称中心为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 解析：选C f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，由题设知2x ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0.6．已知在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE ＝3EC ，若P 是BC 边上的动点，则AP ―→·AE ―→的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，103 解析：选C 以BC 的中点D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫0，23，E (1,0)．设P (x,0)，x ∈[－2,2]，所以AP ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－23＝x ＋43∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.7．若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.12解析：选 D 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位后，得y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4的图象，由题知tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，即π4－π6ω＋k π＝π6(k ∈Z)，解得ω＝6k ＋12(k ∈Z)．又因ω>0，故ω的最小值为12. 8．为得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，可将函数y ＝sinx 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是________．解析：由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n |＝2π3＋2(k 1－k 2)π，∴当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝2π3. 答案：2π39．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴x ＝π2，x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π2＋π62＝π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0应是与对称轴x ＝7π12相邻的对称中心，∴T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π.答案：π10.已知圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为3，P 是圆O 上任意一点，点Q 满足BP ―→＝12PQ ―→，则AB ―→·AQ ―→的取值范围是________．解析：AB ―→·AQ ―→＝AB ―→·(AB ―→＋BQ ―→)＝AB ―→·(AB ―→＋3BP ―→)＝AB ―→·(AB ―→＋3BO ―→＋3OP ―→)＝AB ―→2＋3AB ―→·BO ―→＋3AB ―→·OP ―→， 由已知得AB ＝3，OB ＝OA ＝OP ＝2. 〈AB ―→，BO ―→〉＝π－∠ABO ，由余弦定理得cos ∠ABO ＝32＋22－222×3×2＝34.∴cos 〈AB ―→，BO ―→〉＝－34，AB ―→·OP ―→∈[－6,6]．∴AB ―→·AQ ―→＝9－272＋3AB ―→·OP ―→∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－452，272答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－452，272回扣六数列与数学归纳法[基础知识看一看]一、牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列 等比数列概念 a n －a n －1＝d ，n ≥2 a na n －1＝q ，n ≥2 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1(q ≠0) 前n 项和 S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n1－q＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 11．等差、等比数列的常用性质等差数列等比数列性质 (1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n(1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，2．判断等差数列的常用方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．3．判断等比数列的三种常用方法 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．4．证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．[易错易混想一想]1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n )与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式，要注意分n 的奇偶性讨论． 7．数列相关问题中，切忌忽视公式中n 的取值范围，混淆数列的单调性与函数的单调性．如数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋2n ，求最小值，既要考虑函数f (x )＝x ＋2x(x >0)的单调性，又要注意n 的取值限制条件．8．求等差数列{a n }前n 项和S n 的最值，易混淆取得最大或最小值的条件． 9．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：必须利用归纳假设作基础；解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1的过程中增加了哪些项或减少了哪些项．[保温训练手不凉]1．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＝6，则S 4的值为( ) A ．12B ．11C ．10D ．9解析：选A 由题意得S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝12.2．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由题可知，若a 1<a 2<a 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1<a 1q ，a 1q <a 1q 2，当a 1>0时，解得q >1，此时数列{a n }是递增数列，当a 1<0时，解得0<q <1，此时数列{a n }是递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，则a 1<a 2<a 3成立，所以“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充分必要条件．3．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29解析：选C 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31. 4．数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a n2，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.5．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝________. 解析：∵a 4＋a 6＝2a 5＝6，∴a 5＝a 1＋4d ＝3， 又S 5＝5a 1＋5×42d ＝5a 1＋10d ＝10，解得公差d ＝12. 答案：126．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，则d 的取值范围是________．解析：由S 5S 6＋15＝0得(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即30a 21＋135a 1d ＋150d 2＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，由于a 1，d 为实数，故(9d )2－4×2×(10d 2＋1)≥0，即d 2≥8，故d ≥22或d ≤－2 2.答案：(－∞，－2 2 ]∪[22，＋∞)7．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大．答案：8回扣七立_体_几_何[基础知识看一看]一、牢记概念与公式1．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线长)， S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′，r 分别为上、下底面的半径，l 为母线长)．(5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)．(6)球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.2．“向量法”求解“空间角” (1)向量法求异面直线所成的角若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |.(2)向量法求线面所成的角求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n ||a |.(3)向量法求二面角求出二面角αl β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角αl β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；若二面角αl β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.二、活用定理与结论 1．把握两个规则。
2018浙江高考数学(理)二轮专题复习检测：选择填空题组合特训 题型专项训练2 Word版含答案
题型专项训练2选择填空题组合特训(二)(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1.已知全集U=R,A={x|x2-2x<0},B={x|x≥1},则A∪(∁U B)=()A.(0,+∞)B.(-∞,1)C.(-∞,2)D.(0,1)2.椭圆=1的焦距为2,则m的值等于()A.5或-3B.2或6C.5或3 D3.已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A B+1C D4.已知x,y满足约束条件则z=3x+y的取值范围为()A.[6,10]B.(-2,10]C.(6,10]D.[-2,10)5.(2017浙江宁波十校联考)已知a,b∈R,则“|a|+|b|>1”是“b<-1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=x2+cos x,f'(x)是函数f(x)的导函数,则f'(x)的图象大致是()7.已知随机变量ξ+η=8,若ξ~B(10,0.4),则E(η),D(η)分别是()A.4和2.4B.2和2.4C.6和2.4D.4和5.68.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,当二面角C1-AA1-B为45°时,直线EF和BC1所成的角为()A.45°B.60°C.90°D.120°二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)9.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为:1,1,2,3,5,8,…,即从该数列的第三项开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{a n}为“斐波那契”数列,S n为数列{a n}的前n项和,则S7=.10.复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是,|z|=.11.若x10-x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a0=,a5=.12.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin A=a cos B,b=3,sin C=2sin A,则a+c=,△ABC面积为.13.(2017浙江杭州高级中学模拟)若向量a,b满足|a|=|2a+b|=2,则a在b方向上投影的最大值是,此时a与b夹角为.14.某科室派出4名调研员到3个学校调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为.参考答案题型专项训练2选择填空题组合特训(二)1.C解析由题意得,集合A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},B={x|x≥1},所以∁U B={x|x<1},所以A∪(∁U B)={x|x<2},故选C.2.B解析假设椭圆的焦点在x轴上,则m>4,由焦距2c=2,c=,则c2=m-4,解得m=6,当椭圆的焦点在y轴上时,即0<m<4,由焦距2c=2,c=,则c2=4-m,解得m=2,故m的值为2或6,故选B.3.C解析观察三视图可知,几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体,其中圆锥的底面半径为1,高为1.三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形,高为1.则几何体的体积V=×π×12×1+×1×2×1=.故选C.4.B解析由约束条件作出可行域如图,化目标函数为y=-3x+z,由图可知,当直线y=-3x+z过点A时,z取最大值,由得A(4,-2),此时z max=3×4-2=10;当直线y=-3x+z过点B时,z取最小值,由解得B(0,-2),故z=-2.综上,z=3x+y的取值范围为(-2,10].5.B解析当a=2,b=0时,满足|a|+|b|>1,但b<-1不成立,即充分性不成立;若b<-1,则|b|>1,则|a|+|b|>1恒成立,即必要性成立.则“|a|+|b|>1”是“b<-1”的必要不充分条件,故选B.6.A解析由于f(x)=x2+cos x,∴f'(x)=x-sin x,∴f'(-x)=-f'(x),故f'(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除B,D;又当x=时,f'-sin-1<0,排除C,只有A适合,故选A.7.A解析∵ξ~B(10,0.4),∴E(ξ)=10×0.4=4,D(ξ)=10×0.4×0.6=2.4,∵η=8-ξ,∴E(η)=E(8-ξ)=4,D(η)=D(8-ξ)=2.4,故选A.8.B解析如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面A1B1C1,则A1C1⊥AA1,A1B1⊥AA1,∴∠B1A1C1为二面角C1-AA1-B的平面角,等于45°,∵A1B1=AB=2,∴B1C1=BC=2,以B为原点,分别以BC,BA,BB1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),E(0,1,0),C1(2,0,2),F(0,0,1),∴=(2,0,2),=(0,-1,1),∴cos<>=, ∴的夹角为60°,即直线EF和BC1所成的角为60°,故选B.9.33解析由题意S7=1+1+2+3+5+8+13=33.10.55解析z=(1+2i)(3-i)=5+5i.故实部为5,模为5.11.0251解析当x=1时,可得a0=0,x10-x5=[(x-1)+1]10-[(x-1)+1]5,所以a5==251.12.3解析由b sin A=a cos B及正弦定理,得sin B sin A=sin A cos B,∵A为三角形的内角,∴sin A≠0,∴sin B=cos B,即tan B=,又B为三角形的内角,∴B=;由sin C=2sin A及正弦定理,得c=2a,①∵b=3,cos B=,∴由b2=a2+c2-2ac cos B,得9=a2+c2-ac,②联立①②解得a=,c=2,∴a+c=3.面积S=ac sin B=×2.13.- 解析∵|2a+b|=2,|a|=2,∴|b|2+4a·b+16=4,设a,b的夹角为θ,则|b|2+8|b|cos θ+12=0.∴cos θ=-.∴a在b方向上投影为|a|cos θ=-=-.∵≥2,当且仅当|b|=时等号成立,∴|a|cos θ≤-.所以a在b方向上投影最大值是-,cos θ=-,θ=.14.36解析分两步完成:第一步将4名调研员按2,1,1分成三组,其分法有种;第二步将分好的三组分配到三个学校,其分法有种,所以不同的分配方案种数为=36种,故填36.。
2018年浙江高考数学二轮复习练习：第2部分必考补充专题专题限时集训18不等式与线性规划Word版含答案
6 令 f ′（x) ＝ 1－ x2＝ 0，解得 x＝ 6( 负值舍去 ) ．
当 1<x< 6时， f ′（x)<0 ；当 x> 6时， f ′（x)>0 ， 6
∴ f ( x) 的最小值为 f ( 6) ＝ 6＋ － 6＝ 2 6－ 6. 6
综上， f ( x) 的最小值是 2 6－ 6.] 二、线性规划问题
因为 a2＋ b2＋ c2＝ 1， 所以－ a2＋ 1＝ b2＋ c2＝ ( b＋ c) 2－ 2bc＝ a2－ 2bc， 所以 2a2－ 1＝ 2bc≤ b2＋ c2＝1－ a2，
所以 3a2≤2，所以
a2≤
2 3
，
6
Hale Waihona Puke 6所以－3 ≤ a≤
. 3
6 所以 amax＝ 3 .]
x
2
，
x
≤
1，
4．(2015 ·浙江高考 ) 已知函数 f ( x) ＝ 6 x＋ x－6， x>1，
个工
时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg ，乙材料 0.3 kg ，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利
润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150 kg ，乙材料 90 kg ，
则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 ________元．
216 000 [ 设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，则
1.5 x＋ 0.5 y≤150， x＋ 0.3 y≤90， 5x＋ 3y≤600， x≥0， x∈N* ， y≥0， y∈ N* .
目标函数 z＝2 100 x＋900y. 作出可行域为图中的阴影部分 ( 包括边界 ) 内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为 (60,100) ， (0,200) ， (0,0) ， (90,0) ． 当直线 z＝ 2 100x＋ 900y 经过点 (60,100) 时， z 取得最大值， zmax＝2 100×60＋900×100＝ 216 000( 元 ) ． ]
浙江专版2018年高考数学二轮专题复习选择填空提速专练二20180207458
选择填空提速专练（二）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i为虚数单位，则|3＋2i|＝()A. 5B. 7C. 13 D．3解析：选C由题意得|3＋2i|＝32＋22＝13，故选C.2．已知A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|2x>1}，则A∩(∁R B)为()A．(－2,1) B．(－∞，1)C．(0,1) D．(－2,0]解析：选D由题意得集合B＝{x|x>0}，所以∁R B＝{x|x≤0}，则A∩(∁R B)＝{x|－2<x≤0}，故选D.3．若(x－1)8＝1＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a5＝()A．56 B．－56C．35 D．－35解析：选B二项式(x－1)8的展开式中x5的系数为a5＝C38(－1)3＝－56，故选B.4．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性()A．与ω有关，且与φ有关B．与ω有关，但与φ无关C．与ω无关，且与φ无关D．与ω无关，但与φ有关解析：选D因为ω决定函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期，φ决定函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象沿x轴平移的距离，所以函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的奇偶性与ω无关，与φ有关，故选D.5．已知x∈R，则“|x－3|－|x－1|<2”是“x≠1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为|x－3|－|x－1|≤|(x－3)－(x－1)|＝2，当且仅当x≤1时，等号成立，所以|x－3|－|x－1|<2等价于x>1，所以“|x－3|－|x－1|<2”是“x≠1”的充分不必要条件，故选A.- 1 -3 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B＝30°，△ABC的面积为.2且sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为()A．4＋2 3 B．4－2 3C. 3－1D. 3＋1解析：选D在△ABC中，由sin A＋sin C＝2sin B结合正弦定理得a＋c＝2b，△ABC的1 1 1 3面积为ac sin B＝ac×＝，解得ac＝6，在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝2 2 2 2(a＋c)2－2ac－3ac＝(2b)2－(2＋3)×6.解得b＝3＋1，故选D.7．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为()A．50 B．80 C．120 D．140解析：选B当甲组有两人时，有C25A23种不同的分配方案；当甲组有三人时，有C35A 种不2同的分配方案．综上所述，不同的分配方案共有C25A23＋C35A ＝80种不同的分配方案，故选B.28．已知a，b为实常数，{c i}(i∈N*)是公比不为1的等比数列，直线ax＋by＋c i＝0与抛物线y2＝2px(p>0)均相交，所成弦的中点为M i(x i，y i)，则下列说法错误的是() A．数列{x i}可能是等比数列B．数列{y i}是常数列C．数列{x i}可能是等差数列D．数列{x i＋y i}可能是等比数列解析：选C设等比数列{c i}的公比为q.当a＝0，b≠0时，直线by＋c i＝0与抛物线y2＝2px最多有一个交点，不符合题意；当a≠0，b＝0时，直线ax＋c i＝0与抛物线y2＝2px的交c i c i点为(－，±)，则x i＝－，y i＝0，x i＋y i＝－，此时数列{x i}是公比为q的等比数列，a a数列{y i}为常数列，数列{x i＋y i}是以q为公比的等比数列；当a≠0，b≠0时，直线ax＋by＋pb2 c i pbc i＝0与抛物线y2＝2px的方程联立，结合根与系数的关系易得x i＝－，y i＝－，此时a2 a a数列{y i}为常数列．综上所述，A，B，D正确，故选C.2x(1＋x2)＝2f(x)，9．若定义在(0,1)上的函数f(x)满足：f(x)>0且对任意的x∈(0,1)，有f则()A．对任意的正数M，存在x∈(0,1)，使f(x)≥MB．存在正数M，对任意的x∈(0,1)，使f(x)≤MC．对任意的x1，x2∈(0,1)且x1<x2，有f(x1)<f(x2)D.对任意的x1，x2∈(0,1)且x1<x2，有f(x1)>f(x2)- 2 -2x1解析：选A令x1∈(0,1)，x2＝，则易得x2∈(0,1)，f(x2)＝2f(x1)，令x3＝1＋x212x2，则易得x3∈(0,1)，f(x3)＝2f(x2)＝22f(x1)，…，依次类推得f(x n)＝2n－1f(x1)，所以1＋x2数列{f(x n)}构成以f(x1)为首项，2为公比的等比数列，又因为f(x1)>0，所以对任意的正数M，存在n∈N*，使得2n f(x1)≥M，即存在x＝x n∈(0,1)，使得f(x)≥M，故选A.10.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是线段CD，AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θπ的最小值为，则点P的轨迹是()3A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．抛物线的一部分D．双曲线的一部分解析：选B延长D1P交平面ABCD于点Q，则直线D1Q与直线MN所成的角即为直线D1P与直线MN所成的角，则由最小角定理易得当点M与点D重合，且直线MN过点Q时，直线D1Q与直线MN所成的角取得最π 小值，此时∠D1QD即为直线D1Q与直线MN所成的角，所以∠D1QD＝，3ππ则∠DD1Q＝，所以点P在以DD1为轴，顶角为的圆锥面上运动，又因为点P在平面A1C1D6 3上，所以点P的轨迹是椭圆的一部分，故选B.二、填空题11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．解析：由三视图得该几何体是一个底面为以4为底边，3为高的三角形，高为8的三棱柱1 1截去两个以三棱柱的底为底，高为2的三棱锥后所得的组合体，则其体积为×3×4×8－2×2 31 4＋8 1××3×4×2＝40，表面积为4×8＋2×× 13＋2××13×4＝32＋16 13.2 2 2答案：4032＋16 1312．比较lg 2，(lg 2)2，lg(lg 2)的大小，其中最大的是________，最小的是________．解析：因为1<2<10，所以0<lg 2<1，所以0<(lg 2)2<lg 2，lg(lg 2)<0，所以三个数中最大的是lg 2，最小的是lg(lg 2)．答案：lg 2lg(lg 2)- 3 -13．设随机变量X的分布列为X 1 2 3P 1215a则a＝________；E(X)＝________.1 1 3 1 1 3 9解析：由分布列的概念易得＋＋a＝1，解得a＝，则E(X)＝1×＋2×＋3×＝.2 5 10 2 5 10 53 9答案：10 514．已知函数f(x)＝x3＋ax＋b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y－5＝0，则a ＝________；b＝________.解析：由题意得f′(x)＝3x2＋a，则有Error!解得a＝－1，b＝－3.答案：－1－315．若不等式组Error!表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数a的值为________．解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图所示，由图易得当a>0时，不等式组表示的平面区域为三角形区域，此时画出不等式组表示的平面区域为图中三角形区域△ABC(包含边界)，由图易得此时△ABC是以AB为底的等腰三角形，12 ×1 2 4且tan∠BAC＝，则tan∠BCO＝tan(2∠BAC)＝＝，所以直线ax＋3y－4＝0的斜2 1 31－(2 )24率为－，所以a＝4.3答案：416．若非零向量a，b满足：a2＝(5a－4b)·b，则cos〈a，b〉的最小值为________．|a|2＋4|b|2 2|a| × 2|b| 4 解析：由a2＝(5a－4b)·b＝5a·b－4b2得cos〈a，b〉＝≥＝，5|a||b| 5|a||b| 54当且仅当|a|＝2|b|时，等号成立，所以cos〈a，b〉的最小值为.54答案：517．已知实数x，y，z满足Error!则xyz的最小值为________．解析：由xy＋2z＝1得xy＝1－2z，则5＝x2＋y2＋z2≥2xy＋z2＝2－4z＋z2，解得2－7 ≤z≤2＋7，则xyz＝(1－2z)z＝－2z2＋z的最小值为－2(2＋7)2＋2＋7＝－7 7－20.- 4 -答案：－77－20- 5 -。
浙江专版2018年高考数学二轮专题复习选择填空提速专练八
选择填空提速专练（八）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P ＝{x ∈R||x |<2}，Q ＝{x ∈R|－1≤x ≤3}，则P ∩Q ＝( ) A ．[－1,2) B ．(－2,2) C ．(－2,3]D ．[－1,3]解析：选A 由题意得集合P ＝(－2,2)，Q ＝[－1,3]，所以P ∩Q ＝[－1,2)，故选A. 2．已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，则“l 1∥l 2”是“a ＝－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由l 1∥l 2，可得a ·a ＝(a ＋2)·1，解得a ＝2或a ＝－1，所以“l 1∥l 2”是“a ＝－1”的必要不充分条件，故选B.3．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，则sin(A －B )＝( )A ．－725B.725C ．－925D.925解析：选B 因为A ，B 为三角形的内角，所以A ，B ∈(0，π)，则sin A ＝1－cos 2A ＝45，sin B ＝1－cos 2B ＝35，则sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝45×45－35×35＝725，故选B.4．向量a ，b 的夹角是60°，|a |＝2，|b |＝1，则|2a －b |＝( ) A ．13 B.13 C.7D ．7解析：选 B 依题意，|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝16－4＋1＝13，故|2a －b |＝13，故选B.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB ＝120°，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．3D ．2解析：选D 由题可知OA ⊥FA ，∠AMO ＝60°，OM ＝OA ＝a ，所以△AMO 为等边三角形，∠AFO＝30°，在Rt △OAF 中，OF ＝c ，所以该双曲线的离心率e ＝c a ＝OF OA ＝1sin 30°＝2，故选D.7．已知函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 B.()－∞，3 C.()－∞，2D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，94解析：选D 由题意得f ′(x )＝1x ＋2(x －b )＝1x ＋2x －2b ，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，所以f ′(x )＝1x ＋2x －2b >0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，所以b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋x max ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，由函数的性质易得当x ＝2时，12x ＋x 取得最大值，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋x max ＝12×2＋2＝94，所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，94，故选D.8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是( )A.310B.35C.25D.15解析：选B 依题意，基本事件总数为A 55，要使3位女生中有且只有两位女生相邻，需先将两位女生捆绑，然后排两位男生，最后将捆绑的两位女生与剩下的一位女生去插空，共有(C 23A 22)·A 22·A 23种排法，所以所求概率P ＝23A2222·A 23A55＝35，故选B. 9．记min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y .设f (x )＝min{x 2，x 3}，则( )A ．存在t >0，|f (t )＋f (－t )|>f (t )－f (－t )B ．存在t >0，|f (t )－f (－t )|>f (t )－f (－t )C ．存在t >0，|f (1＋t )＋f (1－t )|>f (1＋t )＋f (1－t )D ．存在t >0，|f (1＋t )－f (1－t )|>f (1＋t )－f (1－t )解析：选C 由x 2－x 3＝x 2(1－x )≤0得x ≥1，所以f (x )＝min{x 2，x 3}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥1，x 3，x <1.当t >1时，|f (t )＋f (－t )|＝|t 2＋(－t )3|＝t 3－t 2，|f (t )－f (－t )|＝|t 2－(－t )3|＝t 3＋t 2，f (t )－f (－t )＝t 2－(－t )3＝t 3＋t 2，所以|f (t )＋f (－t )|<f (t )－f (－t )，|f (t )－f (－t )|＝f (t )－f (－t )；当0<t <1时，|f (t )＋f (－t )|＝|t 3＋(－t )3|＝0，|f (t )－f (－t )|＝|t 3－(－t )3|＝2t 3，f (t )－f (－t )＝t 3－(－t )3＝2t 3，所以|f (t )＋f (－t )|<f (t )－f (－t )，|f (t )－f (－t )|＝f (t )－f (－t ); 当t ＝1时，|f (1)＋f (－1)|＝0，|f (1)－f (－1)|＝2，f (1)－f (－1)＝2，所以|f (t )＋f (－t )|<f (t )－f (－t )，|f (t )－f (－t )|＝f (t )－f (－t )．综上所述，A ，B 错误．当t >0时，设g (t )＝f (1＋t )＋f (1－t )＝(1＋t )2＋(1－t )3＝－t 3＋4t 2－t ＋2，则g ′(t )＝－3t 2＋8t －1，令－3t 2＋8t －1＝0得t ＝4±133，所以函数g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋133，＋∞上单调递减，所以存在t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋133，＋∞使得g (t 0)<0成立，所以存在t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋133，＋∞，使得|f (1＋t 0)＋f (1－t 0)|≥0>f (1＋t 0)＋f (1－t 0)，C 正确；当t >0时，设h (t )＝f (1＋t )－f (1－t )＝(1＋t )2－(1－t )3＝t 3－2t 2＋5t ，则h ′(t )＝3t 2－4t ＋5＝3⎝⎛⎭⎪⎫t －232＋113>0，所以函数h (t )在(0，＋∞)上单调递增，所以h (t )>h (0)＝0，所以|f (1＋t )－f (1－t )|＝f (1＋t )－f (1－t )，D 错误．综上所述，故选C.10．已知f (x )是定义在R 上的函数，若方程f (f (x ))＝x 有且仅有一个实数根，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝|2x －1|B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝x 2＋x ＋1D ．f (x )＝sin x解析：选D 对于A ，由f (f (x ))＝x ，即|2|2x －1|－1|＝x ，可得x ＝1或13或15或35，故A 错误；对于B ，由(e x －x )′＝e x －1，得y ＝e x－x 在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以(e x －x )min ＝1>0，即e x >x 恒成立，所以f (f (x ))＝ee x >e x>x ，即f (f (x ))＝x 无解，故B 错误；对于C ，f (x )＝x 2＋x ＋1，f (f (x ))＝(x 2＋x ＋1)2＋x 2＋x ＋1＋1＝x ，即(x 2＋x ＋1)2＋x 2＋2＝0，无实数根，故C 错误；对于D ，令y ＝sin x －x ，则y ′＝cos x －1≤0，则y ＝sin x －x 在R 上单调递减，当x ＝0时，y ＝0，所以当x ∈(0，＋∞)时，sin x <x ，sin(sin x )<sin x <x ，当x ∈(－∞，0)时，sin x >x ，sin(sin x )>sin x >x ，则sin(sin x )－x 在R 上单调递减，且sin(sin0)＝0，故f (f (x ))＝x 有且仅有一个实数根，故选D.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知复数z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，满足z －2＋az ＝0，则|z ＋a |＝________. 解析：由题意得z －＝1＋3i ，所以z －2＋az ＝－2＋23i ＋a －a 3i ＝(a －2)－(a －2)3i ＝0，所以a ＝2，则|z ＋a |＝|1－3i ＋2|＝32＋32＝2 3.答案：2 312．如果函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)且f (t )＝2，那么a ＝________；f (－t )＝________.解析：因为函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)，所以f (π)＝π2sin π＋a ＝1，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2sin x ＋1.设g (x )＝x 2sin x ，则易得函数g (x )为奇函数，又因为f (t )＝g (t )＋1＝2，所以g (t )＝1，g (－t )＝－g (t )＝－1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.答案：1 013．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则a n ＝________，T n ＝________.解析：由题意得a 1＝S 1＝32×12＋12×1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2－12(n－1)＝3n －1，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，所以等比数列{b n }的公比为4，则T n ＝－4n1－4＝23(4n －1)(n ∈N *)． 答案：3n －1 23(4n－1)14．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积为________；体积为________．解析：由三视图知，该几何体为长、宽、高分别为2,2,3的长方体挖去同底等高的正四棱锥后所得．因为四棱锥的侧棱长为32＋22＝11，所以四棱锥的侧面高为112－12＝10，所以该几何体的表面积S ＝22＋4×2×3＋4×12×2×10＝28＋410，体积V ＝22×3－13×22×3＝8.答案：28＋410 8 15．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017x2 017，则各项系数之和为________，a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________．解析：令x ＝1，则各项系数之和为(1－2×1)2 017＝－1.令x ＝0得a 0＝(1－2×0)2 017＝1，令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 017＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 017a 2 017＝－a 0＝－1.答案：－1 －116．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________． 解析：因为x ，y 为正实数，所以由xy ＋2x ＋3y ＝42得y ＝42－2xx ＋3>0，所以0<x <21，则xy＋5x ＋4y ＝x－2x x ＋3＋5x ＋－2x x ＋3＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3＋16x ＋3＋31≥3×2 x ＋16x ＋3＋31＝55，当且仅当x ＋3＝16x ＋3，即x ＝1时等号成立，所以xy ＋5x ＋4y 的最小值为55. 答案：5517．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在⎣⎢⎡⎦⎥⎤102，132内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为________．解析：如图①，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为点O ，过点C 作直线AO 的垂线，垂足为点E ，则易得AO ＝OE ＝32，CE ＝1.在图②中，由旋转的性质易得点A 在以点O 为圆心，AO 为半径的圆上运动，且BD 垂直于圆O 所在的平面，又因为CE ∥BD ，所以CE 垂直于圆O 所在的平面，设当A 运动到点A 1处时，CA 1＝132，当A 运动到点A 2处时，CA 2＝102，则有CE ⊥EA 1，CE ⊥EA 2，则易得EA 1＝32，EA 2＝62，则易得△OEA 2是以O 为顶点的等腰直角三角形，在△OEA 1中，由余弦定理易得cos ∠EOA 1＝－12，所以∠EOA 1＝120°，所以∠A 1OA 2＝30°，所以点A 所形成的轨迹为半径为OA ＝32，圆心角为∠A 1OA 2＝30°的圆弧，所以轨迹的长度为30°180°×π×32＝312π.答案：3 12π。
浙江专版2018届高考数学二轮专题复习选择填空提速专练五
选择填空提速专练（五）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Zx ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B 中含有元素1的子集个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 由于A ＝{x ∈Z|－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，则B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，则集合B 中含有元素1的子集为{1}，{1,2}，{1,5}，{1,2,5}，共4个，故选B.2．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，若(1＋i)2＋|2i|＝z －，则直线bx －ay ＋a ＝0的斜率为( )A ．－1B ．1 C. 3D.33解析：选A 由于z －＝(1＋i)2＋|2i|＝2i ＋2，则z ＝2－2i ，可得a ＝2，b ＝－2，即直线的方程为－2x －2y ＋2＝0，亦即y ＝－x ＋1，故斜率k ＝－1，故选A.3．若直线y ＝x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．2解析：选 D 由于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，所表示的平面区域是由点A ⎝⎛⎭⎪⎫m ，m －32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，13，C (m,4－m )围成的三角形区域(含边界，如图所示)，若直线y ＝x 上存在点(x ，y )满足约束条件，则有m ≤4－m ，解得m ≤2，即实数m 的最大值为2，故选D.4．已知a ∈R ，“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ≥0的解集为R”是“0≤a ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ≥0的解集为R ，则有Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤1，故“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ≥0的解集为R”是“0≤a ≤1”的充要条件，故选C.5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为()A.833π B.163πC.16327π D.32327π解析：选D 由三视图知该几何体是以俯视图中的等腰直角三角形为底面，高为3的三棱锥，且过底面斜边的侧面垂直于底面，则该几何体的外接球球心在侧视图的高上，设其外接球的半径为R ，则有R 2＝12＋(3－R )2，解得R ＝233，故其体积V ＝43πR 3＝32327π，故选D.6．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A ．－142B ．－144C.142D.144解析：选A 由sin α＝12＋cos α可得sin α－cos α＝12，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝144，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－142，故选A. 7．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，可将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选D 由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，而y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π2＝sin2x ＋π6＝sin2x ＋π12，则将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向右平移π12＋π6＝π4个单位长度即可得到函数y ＝sin2x －π3的图象，故选D.8．已知方程|ln x |＝kx ＋1在(0，e 3)上有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3e 3，2e 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，3e 2 解析：选C 令f (x )＝kx ＋1，g (x )＝ln x ，而f (x )＝kx ＋1与g (x )＝|ln x |的图象在(0,1)上一定有1个交点，那么根据题目条件只需f (x )＝kx ＋1，g (x )＝ln x 在(1，e 3)上有2个交点即可，函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝ln x 的图象如图所示，设两者相切于点(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1a，b ＝ln a ，b ＝ka ＋1，解得k ＝1e2，且对数函数g (x )＝ln x 的增长速度越来越慢，直线f (x )＝kx ＋1过定点(0,1)，方程|ln x |＝kx ＋1中取x ＝e 3得k ＝2e 3，则2e 3<k <1e 2，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2，故选C.9．如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设AE ＝λ，B 1F ＝μ.若平面BEF 与正方体的截面是五边形，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析：选A 通过特殊位置来分析，当AE ＝λ→1时(此时，E 与D 接近重合)，若B 1F ＝μ→0(此时，B 1与F 接近重合)，此时截面是四边形，即随着B 1F ＝μ的变大，平面BEF 与正方体的截面是五边形，由此知λ＋μ>1；随着B 1F ＝μ→1，平面BEF 与正方体的截面仍是五边形，当两者均为1时，截面是三角形，由此知λ＋μ<2，故1<λ＋μ<2，故选A.10．已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ，b ∈R ，若y ＝|f (x )|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的最大值为4，则a ，b 的值可以是( )A ．3,5 B.3， 5 C ．4,3D ．2， 3解析：选 B 由选项知，a ，b 均不为0.由于f (x )＝a sin x ＋b cos x ，那么y ＝|f (x )|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝|a sin x ＋b cos x |＋|a cos x －b sin x |＝a 2＋b 2|sin(x ＋φ)|＋a 2＋b 2|cos(x ＋φ)|＝2×a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ±π4⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a ，结合题中条件可得2×a 2＋b 2＝4，即a2＋b 2＝8，只有选项B 中的值可以满足条件，故选B.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．双曲线x 2－y 2＝2的焦距为________，离心率为________．解析：双曲线的方程化为标准形式为x 22－y 22＝1，则a ＝b ＝2，所以c ＝2＋2＝2，则焦距为2c ＝4，离心率为e ＝c a＝ 2.答案：4212．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f (f (x ))＝1的解集为________．解析：由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝e 1ln 2＝12.由f (f (x ))＝1可得f (x )＝0或f (x )＝e ，由f (x )＝0可得ln x ＝0，解得x ＝1；由f (x )＝e 可得ln x ＝e ，解得x ＝e e，故对应方程的解集为{1，e e}．答案：12{1，e e}13．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，b n ＝(－1)n ·(a n －2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________，数列{b n }的前50项和为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3; 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n ＋1－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n ，当n ＝1时不满足上式，则其通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.当n ＝1时，b 1＝－1；当n ≥2时，b n ＝(－1)n·(a n －2)＝(－1)n·2(n －1)，则数列{b n }的前50项和为－1＋2×1－2×2＋2×3－…＋2×49＝－1＋2×(1－2＋3－…＋49)＝－1＋2×25＝49.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥24914．高一(1)班的假期义工活动小组由10人组成，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现要从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会，则选出的2人参加义工活动次数之和为4的概率为________；若设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，则随机变量X 的数学期望为________．解析：根据等可能事件的概率，选出的2人参加义工活动次数之和为4的概率为P ＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.由题可得X 的所有可能取值是0,1,2，则P (X ＝0)＝2C 23＋C 24C 210＝415，P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415，则数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.答案：13115．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．解析：由抛物线y 2＝2px 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则|CF |＝7p 2－p 2＝3p ，又|CF |＝2|AF |，则|AF |＝3p 2，由抛物线的定义得|AB |＝|AF |＝3p2，所以x A ＝p ，则|y A |＝2p .由CF ∥AB 得△ABE ∽△FCE ，从而得|EF ||EA |＝|CF ||BA |＝2，所以S △CEF ＝2S △CEA ＝62，S △ACF ＝S △AEC ＋S △CFE ＝92，所以12×3p ×2p ＝92，解得p ＝ 6.答案： 616．已知平面向量a ，b ，满足 |a |＝|b |＝a·b ＝2，且(a －c )·(b －c )＝0，则|b ＋2c |的最大值是________．解析：设平面向量a ，b 的夹角为θ(θ∈[0，π])，则a·b ＝2×2×cos θ＝2，可得cos θ＝12，即θ＝π3.在平面直角坐标系中，设a ＝OA ―→＝(2,0)，b ＝OB ―→＝(1，3)，c ＝OC ―→，由于(a －c )·(b －c )＝0，则CA ―→⊥CB ―→，即点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，则其轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，可设c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋cos α，32＋sin α，则有b ＋2c ＝(4＋2cosα，23＋2sin α)，故|b ＋2c |＝＋2cos α2＋3＋2sin α2＝32＋83sin α＋16cos α＝32＋87α＋φ⎝⎛⎭⎪⎫其中φ是锐角，tan φ＝233，则其最大值为32＋87＝27＋2.答案：27＋217．已知x >0，y >0，且x 3＋y 3＝x －y ，则1－x2y2的最小值是________．解析：由x >0，y >0，且x 3＋y 3＝x －y 可得x 3＋y 3x －y ＝1，则x >y ，令f (x ，y )＝1－x 2y 2＝x 3＋y 3x －y －x 2y 2＝y 2＋x 2xy －y 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2x y－1，令t ＝x y >1，则f (t )＝1＋t 2t －1，由于f ′(t )＝t 2－2t －1t －2，令f ′(t )＝0可得t ＝1＋2(舍负)，易知当t ＝1＋2时，f (t )取得最小值f (1＋2)＝1＋＋221＋2－1＝2＋22，所以1－x2y2的最小值是2＋2 2.答案：2＋2 2。
2018年浙江高考数学二轮复习练习：仿真卷2(含答案)
2018年浙江高考仿真卷(二)(对应学生用书第167页)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i是虚数单位，则2i1－i＝( )A．1＋i B．－1＋i C．1－i D．－1－iB[2i1－i ＝＋2＝－1＋i，故选B.]2．已知集合M＝{x|x2＋x－12≤0}，N＝{y|y＝3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为( ) A．(0,3] B．[－4,3]C．[－4,0) D．[－4,0]D[易得M＝[－4,3]，N＝(0,3]，则{x|x∈M且x∉N}＝[－4,0]，故选D.]3．已知x∈R，则“|x－3|－|x－1|<2”是“x≠1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[因为|x－3|－|x－1|≤|(x－3)－(x－1)|＝2，当且仅当x≤1时，等号成立，所以|x－3|－|x－1|＜2等价于x>1，所以“|x－3|－|x－1|<2”是“x≠1”的充分不必要条件．故选A.]4．如图1，某多面体的正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ( )图1A．2 2 B.10C ．2 3 D.13C [三视图对应的直观图为四棱锥，补形成正方体如图所示，由图可知最长棱的长度为2 3.]5．若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝( ) A ．122 B ．123 C ．243D ．244B [记f (x )＝(1＋2x )5，则a 0＝f (0)＝1, 又f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 5＝(－1)5＝－1，两式相减得a 1＋a 3＋a 5＝122， 所以a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝123，故选B.]6．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是 ( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 C [由于S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数，定义域为N *，所以当d <0时，S n 有最大值，反之也成立，故A ，B 正确；由于S n ＋1>S n ⇔a n ＋1>0，即若数列{S n }是递增数列，则a n >0(n ≥2)，并不能说明a 1>0也成立，如数列－1，1,3,4，…，所以C 不正确；对于D ，显然a 1＝S 1>0，若公差d <0，由S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 可知，存在n ∈N *，有S n <0，与对任意n ∈N *，均有S n >0矛盾，所以d ≥0，从而a n >0(n ∈N *)，所以数列{S n }是递增数列，故D 正确．] 7．已知O 为三角形ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(λ－1)OC →＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积的比值为13，则λ的值为( )A.32B ．2 C.13D.12A [如图，设BC 的中点为E ，连接OE ，直线AO 与BC 相交于点F ，由OA →＋λOB →＋(λ－1)OC →＝0，可知(OA →－OC →)＋λ(OB →＋OC →)＝0，CA →＝－2λOE →，则CA →∥OE →，因为△OAB 的面积与△OAC 的面积的比值为13，所以BC ＝4BF ，又BC ＝2BE ，所以BE ＝2BF ，从而CF ＝3EF ，AC →＝3OE →，所以2λ＝3，λ＝32.]8．给定R 上函数f (x )，( )A ．存在R 上函数g (x )，使得f (g (x ))＝xB ．存在R 上函数g (x )，使得g (f (x ))＝xC ．存在R 上函数g (x )，使得f (g (x ))＝g (x )D ．存在R 上函数g (x )，使得f (g (x ))＝g (f (x ))D [对于A ，B ：若f (x )＝1，则f (g (x ))＝x ，g (f (x ))＝x 均不成立，排除A ，B ；对于C ：f (x )＝x ＋1，则f (g (x ))＝g (x )＋1≠g (x )，排除C ；当g (x )＝x 时，f (g (x ))＝f (x )，同时g (f (x ))＝f (x )，即f (g (x ))＝g (f (x ))，所以给定R 上的函数f (x )，一定存在R 上的函数g (x )＝x ，使得f (g (x ))＝g (f (x ))，故选D.]9．如图，有一个底面是正方形的直棱柱型容器(无盖)，底面棱长为1 dm(dm 为分米)，高为5 dm ，两个小孔在其相对的两条侧棱上，且到下底面距离分别为3 dm 和4 dm ，则(水不外漏情况下)此容器可装的水最多为( )图2A.92 dm 3B ．4 dm 3C.72dm 3D ．3 dm 3C [由题意得当容器内的水的上表面过两孔连线所在的平面时，容器内装的水最多，又因为容器的底面为正方形，则由长方体的对称性易得当容器内的水的上表面平分以两孔连线所得的线段为体对角线的长方体时，容器内装的水最多，此时容器内装的水的体积为3×1×1＋12×1×1×1＝72，故选C.]10．已知0<x <y,2<x 2＋y <52，则下列不正确的是( )A ．sin x 2<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－yB ．sin x 2>sin(2－y ) C ．sin(2－x 2)<sin yD ．sin x 2<cos(y －1)C [易得x 2＋x <x 2＋y <52，所以0<x <11－12<1.2，又可得2<x 2＋y <y 2＋y ，所以y >1，又y <52，所以1<y <52.由x 2＋y <52得0<x 2<52－y <32<π2，所以sin x 2<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－y ，故A 正确；由2<x 2＋y 得π2>1.44>x 2>2－y >－12>－π2，所以sin x 2>sin(2－y )，故B 正确；对于C ，取2－x 2＝π2，则π2<y <1＋π2，sin(2－x 2)<sin y ，显然不成立，所以C 不正确；由x 2＋y <52得0<x 2<52－y <π2＋1－y <π2，所以sin x 2<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1－y ＝cos(y －1)，故D 正确．]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，则圆心C 的坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________． (－1，－3) y ＝－33x [x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0⇒(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9，所以圆心为C (－1，－3)，半径r ＝3，圆中过原点最短的弦所在的直线即为过原点且与CO (O 为原点)垂直的直线，易求得该直线方程为y ＝－33x .] 12．已知单调递减的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，则公比q ＝________，通项公式为a n ＝________.12 26－n[由题设可知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，又a 2＋a 3＋a 4＝28，所以a 3＝8，a 3q ＋a 3＋a 3q ＝28，所以8q ＋8＋8q ＝28，解得q ＝2或q ＝12.因为{a n }单调递减，且a 3>0，所以q ＝12，从而a n ＝a 3qn －3＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝26－n.]13．已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12，x ∈R ，则函数f (x )的最小值为________，函数f (x )的递增区间为________．－2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z [f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，易知f (x )min ＝－2，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .] 14．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少有1个小球，共有________种不同的方法．若要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有________种不同的方法．28 18 [(1)每个盒子非空，则共有C 28＝28种方法； (2)三个盒子中球的个数有以下三类：1,3,5；1,2,6；2,3,4.每一类都有A 33种不同的方法，所以根据分类计数原理，共有3A 33＝18种不同的方法．]15．设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b ，b a <b ，已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝6，则F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x＋n |}的最小值为________．12[F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |} ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋n 2＋ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－y 2＋2x －4y ＋m －n 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2＋y －2＋12 ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2－y ＋2＋m －n ＋32 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋x －2＋y －22＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2－y ＋2＋m －n ＋32≥12， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝0，x ＋2－y ＋2＋m －n ＋3＝0，m ＋n ＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝152，n ＝－32时，取“＝”，所以F 的最小值为12.]16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若|PF 1|＝|F 1F 2|，且3|PF 2|＝2|QF 2|，则该双曲线的离心率为________．75[如图，由双曲线的定义可知，|PF 2|＝2(c －a )， 则|QF 2|＝32|PF 2|＝3(c －a )，设F 2P 的中点为M ，连接F 1M ，则F 1M ⊥MQ ，|PM |＝|MF 2|＝12|PF 2|＝c －a .在直角三角形F 1MQ 中，|F 1Q |＝|QF 2|＋2a ＝3c －a ，|F 1M |2＝4c 2－(c －a )2，|QM |＝4(c －a )，由勾股定理可得[4(c －a )]2＋4c 2－(c －a )2＝(3c －a )2，即5c 2－12ac ＋7a 2＝0,5e 2－12e ＋7＝0，解得e ＝75(e ＝1舍去)．]17．已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________．－77－20 [由xy ＋2z ＝1得xy ＝1－2z ，则5＝x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋z 2＝2－4z ＋z 2，解得2－7≤z ≤2＋7，则xyz ＝(1－2z )z ＝－2z 2＋z 的最小值为－2(2＋7)2＋2＋7＝－77－20.] 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，已知a tan A －a cos B ＝b cos C . (1)求角A 的大小；(2)设AD 是BC 边上的高，若AD ＝12a ，求bc的值．[解] (1)由正弦定理知sin A tan A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin A ， 3分 又sin A ≠0，故tan A ＝1，A ＝π4.7分(2)△ABC 的面积S ＝12a ·12a ＝12bc sin A ，故a 2＝2bc ，10分又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故b 2＋c 2－22bc ＝0，13分求得b c＝2±1.14分19．(本小题满分15分)如图2，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，PD ＝4，∠PDA ＝60°，且平面PAD ⊥平面ABCD .图2(1)求证：AD ⊥PB ；(2)在线段PA 上是否存在一点M ，使二面角M BC D 的大小为π6？若存在，求PMPA 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：过点B 作BO ∥CD ，交AD 于点O ，连接PO ，则AD ⊥BO ，2分在△PDO 中，PD ＝4，DO ＝2，∠PDA ＝60°， 则PO ⊥AD ，4分因为PO ∩BO ＝O ，则AD ⊥平面POB ， 因为PB ⊂平面POB ，所以AD ⊥PB .6分(2)法一：由(1)可建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，B (0，3，0)，C (－2，3，0)． 若存在满足条件的点M (m,0，n )，7分MB →＝(－m ，3，－n )，BC →＝(－2,0,0)，平面MBC 的一个法向量为μ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，3n ，10分 又平面ABCD 的一个法向量为ν＝(0,0,1)，12分cos 〈μ，ν〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3n 1＋3n 2＝32，∴n ＝1， 14分∴PM PA ＝PO －1PO ＝23－123＝6－36.15分法二：假设存在点M ，过点M 作AD 的平行线交PO 于点N ，连接BN ，则∠NBO 即为二面角M BC D 的平面角， 9分cos ∠NBO ＝32⇒tan ∠NBO ＝33＝NOOB⇒ON ＝1， 12分PN ＝PO －NO ＝23－1，∴PM PA ＝PN PO ＝23－123＝1－36. 15分20．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝x 3＋|ax －3|－2，a >0. (Ⅰ)求函数y ＝f (x )的单调区间；(Ⅱ)当a ∈(0,5)时，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，求实数a 的值．[解] (Ⅰ)f (x )＝x 3＋|ax －3|－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋ax －5，x ≥3a ，x 3－ax ＋1，x <3a.当a 3≥3a时，即a ≥3， 函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，3a ，单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，＋∞；4分当a 3<3a时，即0<a <3， 函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a3，a 3，单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 3，⎝⎛⎭⎪⎫a3，＋∞.7分(2)由题意知，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，等价于f (x )min＋f (x )max ＝0，由(Ⅰ)得，当3≤a <5时，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤3a ，1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＝27a3－2，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1，a －4}＝1，所以27a3－2＋1＝0，所以a ＝3；11分当0<a <3时，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝⎛⎦⎥⎤a3，1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 3＝1－2a3a3， f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1,2－a }，当1<a <3时，f (x )max ＝1，则1－2a3a3＋1＝0，得a ＝3(舍去)； 当0<a ≤1时，f (x )max ＝2－a ，则1－2a3a3＋2－a ＝0，即3－a ＝2a3a3，其中3－a ≥2，而2a3a3<2，所以无解，舍去.14分 综上所述，a ＝3.15分21．(本小题满分15分)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，以A (x 1，y 1)(x 1≥0)为直角顶点的等腰直角△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线C 上．图3(1)过Q (0，－3)作抛物线C 的切线l ，切点为R ，点F 到切线l 的距离为2，求抛物线C 的方程；(2)求△ABC 面积的最小值．[解] (1)过点Q (0，－3)的抛物线C 的切线l ：y ＝kx －3， 联立抛物线C ：x 2＝2py (p >0)得x 2－2pkx ＋6p ＝0，Δ＝4p 2k 2－4×6p ＝0，即pk 2＝6.2分∵点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，点F 到切线l 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2＋3k 2＋1＝2，化简得(p ＋6)2＝16(k 2＋1)，4分∴(p ＋6)2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫6p＋1＝p ＋p，∵p >0，∴p ＋6>0，得p 2＋6p －16＝(p ＋8)(p －2)＝0， ∴p ＝2，因此抛物线方程为C ：x 2＝4y .6分(2)已知直线AB 不会与坐标轴平行， 设直线AB ：y －y 1＝k (x －x 1)(k >0)，联立抛物线方程得x 2－2pkx ＋2p (kx 1－y 1)＝0，则x 1＋x B ＝2pk ， 则x B ＝2pk －x 1，同理可得x C ＝－2pk－x 1. 8分∵|AB |＝|AC |⇔1＋k 2|x B －x 1|＝1＋1k 2|x C －x 1|⇒k (x B －x 1)＝x 1－x C ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎪⎫k 2－1k k ＋1. ∴|AB |＝1＋k 2|x B －x 1|＝1＋k 2(2pk －2x 1) ＝2p1＋k2k 2＋k k ＋. 12分∵k 2＋1k ≥2，k 2＋1k ＋1＝k 2＋1k 2＋2k ＋1≥k 2＋1k 2＋1＋k 2＋＝22(当且仅当k ＝1时等号成立)， 故|AB |≥22p ，△ABC 面积的最小值为4p 2.15分22．(本小题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝1n(n ∈N *)．(1)证明：a n ＋2n ＝a nn ＋1； (2)证明：2(n ＋1－1)≤12a 3＋13a 4＋…＋1n ＋a n ＋2≤n .[证明] (Ⅰ)∵a n ＋1·a n ＝1n， ①∴a n ＋2·a n ＋1＝1n ＋1， ② 2分 而a 1＝1，易得a n >0，由②÷①得a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝a n ＋2a n ＝n n ＋1， ∴a n ＋2n ＝a n n ＋1. 5分 (2)由(1)得(n ＋1)a n ＋2＝na n ，∴12a 3＋13a 4＋…＋1n ＋a n ＋2＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n . (7分) 令b n ＝na n ，则b n ·b n ＋1＝na n ·(n ＋1)a n ＋1＝n n ＋n ＝n ＋1， ③∴当n ≥2时，b n －1·b n ＝n ， ④由b 1＝a 1＝1，b 2＝2，易得b n >0，由③－④得1b n＝b n ＋1－b n －1(n ≥2)． ∴b 1<b 3<…<b 2n －1，b 2<b 4<…<b 2n ，得b n ≥1. 10分 根据b n ·b n ＋1＝n ＋1得b n ＋1≤n ＋1，∴1≤b n ≤n ，∴1a 1＋12a 2＋…＋1na n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝1b 1＋(b 3－b 1)＋(b 4－b 2)＋…＋(b n －b n －2)＋(b n ＋1－b n －1) ＝1b 1＋b n ＋b n ＋1－b 1－b 2＝b n ＋b n ＋1－2. 12分一方面，b n ＋b n ＋1－2≥2b n b n ＋1－2＝2(n ＋1－1)， 另一方面，由1≤b n ≤n 可知b n ＋b n ＋1－2＝b n ＋n ＋1b n －2≤max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋n ＋1－2，n ＋n ＋1n －2＝n .。
浙江专版2018年高考数学二轮专题复习选择填空提速专练六20180207460
选择填空提速专练（六）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P ＝{x |1≤x ≤3}，Q ＝{x |x 2≥4}，则P ∩(∁R Q )＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选C 由题易得∁R Q ＝{x |－2<x <2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |1≤x <2}，故选C. 2．已知复数z 满足z ·(1－i)＝2i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i ，则z (1－i)＝(a ＋b i)(1－i)＝a ＋b ＋(b －a )i ＝2i.所以根据对应相等可得，a ＝－1，b ＝1.所以z ＝－1＋i ，|z |＝2，故选B.3．已知a ，b ∈R ，则“|a |＋|b |>1”是“b <－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为不等式|a |＋|b |>1，由特殊值法，取a ＝0，b ＝2符合条件但推不出b <－1，充分性不成立；反过来b <－1，则|b |>1，又|a |≥0，所以|a |＋|b |>1，必要性成立．所以“|a |＋|b |>1”是“b <－1”的必要不充分条件，故选B.4．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝2π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选A 由题意可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度得到的函数图象对应的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，结合选项，当k ＝1时，x ＝2π3，故选A. 5．(x 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－25的展开式的常数项为( )A ．112B ．48C ．－112D ．－48解析：选D 原式的展开式的常数项包括x 2×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2×(－2)3＋(－1)×C 55×(－2)5＝－48，故选D.6．等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 217，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是( )A ．8或9B ．9或10C ．10或11D ．11或12解析：选A 由题意知，a 1＝±a 17，又因为d <0，所以a 1＝－a 17，故a 9＝0，a 1＝－8d ，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －9)d ，当a n ≥0时，n ≤9，又S n ＝a 1＋a n n2，所以当n ＝8或9时，S n 取最大值，故选A.7．甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种解析：选D 由题意可知，不同的选法有从甲组5名男生中选1名，3名女生中选1名，然后乙组从6名男生中选2名，或者从甲组5名男生中选2名，从乙组6名男生中选1名，2名女生中选1名，即C 15C 13C 26＋C 25C 16C 12＝345种，故选D.8．已知直线(m ＋2)x ＋(m ＋1)y ＋1＝0上存在点(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53解析：选D 该题目标函数对应的直线表示过定点A (－1,1)的直线束．约束条件对应的平面区域是以点B (1,2)，C (1，－1)，D (3,0)为顶点的三角形区域，如图(阴影部分，含边界)所示，当直线经过该区域时，k AB ＝12，k AC ＝－1，易知在题设条件下m ＋1≠0，即直线(m ＋2)x ＋(m ＋1)y ＋1＝0的斜率－m ＋2m ＋1∈[k AC ，k AB ]，故m ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53，故选D. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2－x ，x <1，－x 2＋4x －2，x ≥1，则方程f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x－2＝1的实根个数为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由f (x )的解析式可以在平面直角坐标系中画出简图，如图所示，通过图象易知f (x )＝1有四个根，分别为x ＝－1，12，1或3，即x ＋1x－2可能取该四个值，分别对应x＋1x ＝1或52或3或5，整理得，x 2－x ＋1＝0 ①，x 2－52x ＋1＝0 ②，x 2－3x ＋1＝0 ③，x 2－5x ＋1＝0 ④，Δ1<0，Δ2>0，Δ3>0，Δ4>0，所以实根有6个，故选C.10．如图，平面PAB ⊥平面α，AB ⊂α，且△PAB 为正三角形，点D 是平面α内的动点，四边形ABCD 是菱形，点O 为AB 的中点，AC 与OD 交于点Q ，l ⊂α，且l ⊥AB ，则PQ 与l 所成角的正切值的最小值为( )A. －3＋372B. 3＋372C.7D ．3解析：选B 如图，过点D ，Q 分别作DE ⊥AB 于点E ，QH ⊥AB 于点H ，设∠ABC 为θ，则|QH |＝13|DE |＝13|AD |sin θ，|OH |＝13|OE |＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫|AD |cos θ＋12|AB |，设|AD |＝|AB |＝3，则|QH |＝sin θ，|OH |＝cos θ＋12，|PO |＝332，∴|PH |＝PO 2＋OH 2＝7＋cos θ＋cos 2θ，要求的角即为∠PQH ，∴tan ∠PQH ＝|PH ||QH |，令cos θ＝t ，则tan ∠PQH ＝7＋t ＋t21－t2＝－1＋8＋t 1－t2＝－1＋116－⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋t ＋638＋t ≥3＋372(当且仅当8＋t ＝638＋t时，等号成立)，故选B. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．若sin θ＝－13，tan θ>0，则cos θ＝________，tan 2θ＝________.解析：由题意知，因为sin θ<0，tan θ>0，所以cos θ<0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，故cos θ＝－223，又由tan θ＝sin θcos θ，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ，可知tan 2θ＝427. 答案：－223 42712．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点A (m,4)到其焦点的距离为174，则p ＝________，m ＝________.解析：由题意可知，该抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线为y ＝－p 2，所以4＋p 2＝174，故p ＝12，抛物线的方程为x 2＝y ，将点(m,4)代入，可得m ＝±2.答案：12±213．定义：函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值与最小值之差为函数f (x )的极差．若定义在区间[－2b,3b －1]上的函数f (x )＝x 3－ax 2－(b ＋2)x 是奇函数，则a ＋b ＝________，函数f (x )的极差为________．解析：由f (x )在[－2b,3b －1]上为奇函数，所以区间关于原点对称，故－2b ＋3b －1＝0，b ＝1，又由f (－x )＋f (x )＝0可求得a ＝0，所以a ＋b ＝1.又f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，易知f (x )在(－2，－1)，(1,2)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，所以f (x )在[－2,2]上的最大值，最小值分别为f (－1)＝f (2)＝2，f (1)＝f (－2)＝－2，所以极差为4.答案：1 414．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积为________cm 3，表面积为________cm 2.解析：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱上边截去一个底面直角边分别为3,4的直角三角形、高为3的三棱锥后剩余的部分(如图所示)．结合题中的数据，易得该几何体的体积为12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24(cm 3)，表面积为12×3×4＋5×5＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×3＋12×32×822＝111＋3412(cm 2)． 答案：24111＋341215．将3个小球随机地投入编号为1,2,3,4的4个小盒中(每个盒子容纳的小球的个数没有限制)，则1号盒子中小球的个数ξ的期望为________．解析：因为三个小球依次投入4个小盒中，彼此之间没有影响，因此符合独立性重复试验与二项分布．每个小球落在1号小盒的概率都是14，故期望为3×14＝34.答案：3416．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝－1，且a －c 与b －c 的夹角为π4，则|c |的最大值为________．解析：设DA ―→＝a ，DB ―→＝b ，DC ―→＝c .∵平面向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |×|b |＝－12×1＝－22，∴〈a ，b 〉＝3π4.∵a －c 与b －c 的夹角为π4，∴点C 在△DAB 的外接圆的弦AB 所对的优弧上，如图所示．因此|c |的最大值为△DAB 的外接圆的直径． ∵|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－－＋12＝ 5.由正弦定理得：△DAB 的外接圆的直径2R ＝|a －b |sin3π4＝522＝10，则|c |的最大值为10.答案：1017．已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c >1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12ab －1·c ＋2c －1的最小值为________．解析：由题意知，∵a 2＋12ab －1＝a 2＋a ＋b 22ab－1＝2a 2＋b22ab≥2(当且仅当a ＝2－1，b ＝2－2时，等号成立)，∴原式≥2c ＋2c －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1＋1c －1＋2≥22＋2＝32(当且仅当c ＝2时，等号成立)．答案：3 2。
2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习讲义：第二部分+专题二 巧做高考题型+Word版含答案
专题二 巧做高考题型第一讲六招秒杀选择题——快得分选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活等特点．注重多个知识点的小型综合，侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力．常用方法分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，时间可能不允许，因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．总的来说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”．在考场上，提高了解题速度，也是一种制胜的法宝．直接法推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[例1] (2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.[答案] C直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．1．两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b a x的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，0 解析：选B 由两个正数a ，b 的等差中项是92，得a ＋b ＝9；a ，b 的一个等比中项是25，得ab ＝20，且a >b ，故a ＝5，b ＝4.又由b a ＝45＝2p ，得p 2＝15，故抛物线y 2＝－b a x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0.特例法从题干(或选项)特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．[例2] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D. (0,2][解析] 根据三角函数的性质利用特殊值法代入逐项判断： ∵ω＝2时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，9π4，不合题意，∴排除D.∵ω＝1时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，合题意，∴排除B 、C ，故选A.[答案] A特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．2．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)恒过(－1,0)，选项只有D 符合，故选D.排除法通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．[例3] 设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ][解析] 选项A ，取x ＝1.5，则[－x ]＝[－1.5]＝－2，－[x ]＝－[1.5]＝－1，显然[－x ]≠－[x ]；选项B ，取x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，显然[2x ]≠2[x ]；选项C ，取x ＝y ＝1.6，则[x ＋y ]＝[3.2]＝3，[x ]＋[y ]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x ＋y ]>[x ]＋[y ]．排除A ，B ，C ，故选D.[答案] D排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．3．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析：选D 由题意知，函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当0<x <π2时，显然y >0，而当x ＝π时，y ＝－π<0，据此排除选项A ，B ，C.数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．图形化策略就是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．[例4] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f x ＋1，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [解析] 直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1,0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.[答案] B涉及函数零点问题，一般有两种题型，且都可以利用数形结合法求解．(1)求解方程根的个数．画出相关的两个函数的图象，则两函数图象的交点个数即是函数零点的个数；(2)讨论图象交点问题的参数范围，如本例就是利用图象中直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )图象恰有三个不同的交点，得到实数k 的取值范围．4．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.概念辨析法概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心．[例5] 对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β＝{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3][解析] 函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3＝x 2＋3－a (x ＋1)必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则⎩⎪⎨⎪⎧g 0≥0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3.[答案] D函数的创新命题是高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．5．若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ伴随函数”．下列是关于“λ伴随函数”的结论：①f (x )＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ伴随函数”；④“12伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题意得，①正确，如f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f (x )＝x 是一个“λ伴随函数”，则x ＋λ＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；③不正确，若f (x )＝x 2是一个“λ伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；④正确，若f (x )是“12伴随函数”，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12任意一个为0，则函数f (x )有零点；若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12均不为0，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12异号，由零点存在性定理知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12区间内存在零点，所以有两个结论正确.估算法的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，快速找到答案．[例6] 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6D.152[解析] 连接BE ，CE ，四棱锥E ABCD 的体积为V E ABCD ＝13×3×3×2＝6，又多面体ABCDEF的体积大于四棱锥E ABCD 的体积，即所求几何体的体积V >V E ABCD ＝6，而四个选项里面大于6的只有152，故选D.[答案] D本题既用了估算法又用了排除法，解题的关键是利用θ的范围求sin θ的范围一定要准确，否则将达不到解题的目的或解答错误．6.(2017·宁波效实中学模拟)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )解析：选B 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.第二讲分类智取填空题——稳得分填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．(1)根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：①定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系；②定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质．(2)根据填空题出题设问的多少，又可以将填空题分成两类形式：①单空题：与全国卷出题方式相同，一题一空，根据一般填空题的特点，四招速解；②多空题：是浙江高考填空题的一大特色，一题多空，出题的目的是提高知识覆盖面的考查，降低难度，让学生能分步得分；本质上来说和单空题区别无非就是多填一空，其解题方法和单空题相同，但多空题有它自身的特色，搞清多空之间设问的关系能使我们的解题事半功倍．解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．在解填空题时要做到：一、单空题——四招速解直接法直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．[例1] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________. [解析] 因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113. [答案]2113直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．1．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1.答案：1特殊值法定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．[例2] 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ―→·AC ―→＝________.[解析] 法一：AP ―→·AC ―→＝AP ―→·(AB ―→＋BC ―→)＝AP ―→·AB ―→＋AP ―→·BC ―→＝AP ―→·AB ―→＋AP ―→·(BD ―→＋DC ―→) ＝AP ―→·BD ―→＋2AP ―→·AB ―→， ∵AP ⊥BD ，∴AP ―→·BD ―→＝0.又∵AP ―→·AB ―→＝|AP ―→||AB ―→|cos ∠BAP ＝|AP ―→|2， ∴AP ―→·AC ―→＝2|AP ―→|2＝2×9＝18. 法二：把平行四边形ABCD 看成正方形， 则P 点为对角线的交点，AC ＝6， 则AP ―→·AC ―→＝18. [答案] 18求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的法二把平行四边形看作正方形，从而减少了计算量．2．若函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，则f (2 018)＝________.解析：取x ＝1，y ＝0时，有f (0)＝f (1)＋f (1)＝12，取x ＝1，y ＝1时，有14＝f (2)＋f (0)，f (2)＝－14.取x ＝n ，y ＝1，有f (n )＝f (n ＋1)＋f (n －1)，同理f (n ＋1)＝f (n ＋2)＋f (n )，联立得f (n ＋2)＝－f (n －1)，可得f (n ＋6)＝f (n )，所以f (x )是以6为周期的函数，故f (2 018)＝f (2)＝－14.答案：－14图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．[例3] 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________．[解析] 如图，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，∵(a －c )·(b －c )＝0，∴点C 在以AB 为直径，AB 的中点为圆心的圆上，故|OC |的最大值为圆的直径，即|AB |的长为 2.[答案]2图象分析法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．3．不等式⎝⎛⎭⎪⎫|x |－π2·sin x <0，x ∈[－π，2π]的解集为________． 解析：在同一坐标系中分别作出y ＝|x |－π2与y ＝sin x 的图象：根据图象可得不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪(π，2π)． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪(π，2π)构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．[例4] 如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB ＝BC＝2，则球O的体积等于________．[解析] 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝22＋22＋22＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.[答案] 6π构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.4．在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝2a n＋3(n≥1)，则该数列的通项a n＝________.解析：由a n＋1＝2a n＋3，则有a n＋1＋3＝2(a n＋3)，即a n＋1＋3a n＋3＝2.所以数列{a n＋3}是以a1＋3＝4为首项，公比为2的等比数列，即a n＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以a n＝2n＋1－3.答案：2n＋1－3二、多空题——辨式解答并列式——两空并答此种类型多空题的特点是：根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单，会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解，一般是多空题的第一个题目．[例1] (2016·浙江高考)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.[解析] ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝A sin(ωx ＋φ)＋b ， ∴A ＝2，b ＝1. [答案]2 1[点评] 例1中根据题设条件把2cos 2x ＋sin 2x 化成1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4后，对比原条件恒等式两边可直接得出两空的结果，A ＝2，b ＝1.1．(2015·浙江高考)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．解析：由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3，即c ＝3，∴焦距2c ＝23，渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x . 答案：2 3 y ＝±22x 分列式——一空一答之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．[例2] (1)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.(2)(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg x 2＋1，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．[解析] (1)由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,4 cm,2 cm ，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,2 cm ，4 cm.几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm 2)， 体积为2×2×4×2＝32(cm 3)．(2)∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0， 此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3. [答案] (1)72 32 (2)0 22－3[点评] 例2(1)中根据题设条件三视图得出其几何体的直观图后，由面积的相关公式求出几何体的面积，由体积的相关公式求出其体积；例2(2)中，两空都是在已知一分段函数的解析式，考查两方面的知识，分别求出函数的值和函数的最值．2．(2015·浙江高考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是____________．解析：∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.令π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，解之可得函数f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)．答案：π⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)递进式——逐空解答结果再进行作答，第一空是解题的关键也是难点，只要第一空会做做对，第二空便可顺势解答．[例3] (2016·浙江高考)设数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.[解析] ∵a n＋1＝2S n＋1，∴S n＋1－S n＝2S n＋1，∴S n＋1＝3S n＋1，∴S n＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n＋12是公比为3的等比数列，∴S2＋12S1＋12＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋12＝⎝⎛⎭⎪⎫S1＋12×34＝32×34＝2432，∴S5＝121.[答案] 1 121[点评] 例3中根据题设条件求出a1＝1后，再根据等比数列的求和公式求出S5.第二空的解答是建立在第一空解答的基础上的，只有求出第一空才能求得第二空.3．(2017·台州模拟)以坐标原点O为圆心，且与直线x＋y＋2＝0相切的圆方程是________，圆O与圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________．解析：由题意所求圆的半径等于原点O到直线x＋y＋2＝0的距离，即r＝21＋1＝2，则所求圆的方程为x 2＋y 2＝2；因为圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心和半径分别为O (0,0)，r 1＝2，C 2＝(0,1)，r 2＝2，且r 2－r 1<|OC 2|＝1<r 1＋r 2＝2＋2，所以两圆相交．答案：x 2＋y 2＝2 相交选择填空提速专练(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A ＝{x |y 2＝x }，B ＝{y |y 2＝x }，则( ) A ．A ∪B ＝A B ．A ∩B ＝A C ．A ＝BD ．(∁R A )∩B ＝∅解析：选B 因为A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ∈R}，所以A ∩B ＝A ，故选B.2．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题错误的是( ) A ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α B ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β C ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α D ．若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β解析：选D 易知A ，B ，C 均正确；D 中a 和β的位置关系有三种可能，a ∥β，a ⊂β或a 与β相交，故D 错误，故选D.3．已知函数f (2x)＝x ·log 32，则f (39)的值为( ) A.16B.19C ．6D ．9解析：选D 令t ＝2x(t >0)，则x ＝log 2t ，于是f (t )＝log 2t ·log 32＝log 3t (t >0)，故函数f (x )＝log 3x (x >0)，所以f (39)＝log 339＝9，故选D.4．在复平面内，已知复数z ＝|1－i|＋2i1－i，则z 在复平面上对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为z ＝|1－i|＋2i 1－i ＝2＋2i1－i ＝2＋2i 1＋i 1－i1＋i＝2－22＋2＋22i ，所以复数z 在复平面上对应的点为2－22，2＋22，显然此点在第二象限，故选B. 5．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：选B 设y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π3个单位长度得到的函数为g (x )，则g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ，因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ为奇函数，且在原点有定义，所以－2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝k π＋7π6(k ∈Z)，故当k ＝－1时，|φ|min ＝π6，故选B.6．已知实数a ，b ，则“|a ＋b |＋|a －b |≤1”是“a 2＋b 2≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A由绝对值三角不等式|a ±b |≤|a |＋|b |可得⎩⎪⎨⎪⎧|2a |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，|2b |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，此不等式组表示边长为1的正方形区域(含边界)，而a 2＋b 2≤1表示单位圆域(含边界)，故由⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，可以推出a 2＋b 2≤1，但是反之不成立，故选A.7．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1和双曲线N ：y 2a 2－x 2b2＝1，其中b >a >0，双曲线M 和双曲线N交于A ，B ，C ，D 四个点，且四边形ABCD 的面积为4c 2，则双曲线M 的离心率为( )A.5＋32 B.5＋3C.5＋12D.5＋1解析：选C 设A 为双曲线M ，N 在第一象限的交点，由对称性易知四边形ABCD 是正方形，因为正方形ABCD 的面积为4c 2，所以边长为2c ，即A (c ，c )，代入双曲线M 中，得c 2a2－c 2b 2＝1，即c 2a 2－c 2c 2－a 2＝1，变形为e 2－e 2e 2－1＝1，整理得e 4－3e 2＋1＝0，所以e 2＝3＋52e 2＝3－52<1，舍去，故e ＝3＋52＝6＋254＝52＋25＋14＝5＋12，故选C.8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1,3x ＋4y≤0，则x －3x －y －2的取值范围是( )A ．[1,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，113D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，113 解析：选B 因为x －3x －y －2＝1x －y －2x －3＝11－y －1x －3，故需要先求出y －1x －3的取值范围，而y －1x －3表示动点(x ，y )与定点A (3,1)连线所成直线的斜率，约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，3x ＋4y ≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，是直线3x ＋4y ＝0与圆x 2＋y 2＝1围成的下半圆区域(含边界)．易得B －45，35，由图可知直线AB 的斜率最小，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3min＝1－353＋45＝219.又过A (3,1)且在x 轴下方与圆x 2＋y 2＝1相切的直线斜率最大，可设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋1＝0，由圆心到切线的距离等于半径可得d ＝|1－3k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3max＝34，故y －1x －3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤219，34.于是x －3x －y －2＝11－y －1x －3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，4，故选B.9．设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项， 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ， 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]， 所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9或k ＝0(舍去)，故选C.10.在直角梯形 ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)．若AP―→＝λED ―→＋μAF ―→，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值是( )A.22 B.324C. 2D.34解析：选B 以A 为原点，建立如图所示直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)，E (1,0)，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，所以ED ―→＝(－1,1)，AF―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 则AP ―→＝λED ―→＋μAF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ＋32μ，λ＋12μ.又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ， 所以点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋32μ＝22，λ＋12μ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝24，μ＝22，从而λ＋μ＝324.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝2exe x ＋1，在F (x )＝f (x )＋1和G (x )＝f (x )－1中，________为奇函数；若f (b )＝32，则f (－b )＝________.解析：由G (x )＝f (x )－1＝e x －1e x ＋1，G (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1e x －11ex ＋1＝1－ex1＋ex ＝－G (x )，故G (x )＝f (x )－1为奇函数．由f (b )＝32得，G (b )＝f (b )－1＝12，所以G (－b )＝f (－b )－1＝－12，f (－b )＝12.答案：G (x )1212．已知等比数列{a n }的前n 项和满足S n ＝1－A ·3n，数列{b n }是递增数列，且b n ＝An 2＋Bn ，则A ＝________，B 的取值范围为________．解析：因为任意一个公比不为1的等比数列前n 项和为S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q －a 11－qq n，而等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－A ·3n ，所以A ＝1，b n ＝n 2＋Bn .又因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)2＋B (n ＋1)－n 2－Bn ＝2n ＋1＋B >0恒成立，所以B >－(2n ＋1)恒成立，所以B >－3.答案：1 (－3，＋∞)13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．解析：由三视图可知该几何体是由半个圆柱和一个倒立的直四棱锥组合而成的，如图，故该几何体的体积V ＝13×4×4×4＋4π×42＝643＋8π，表面积为S ＝π×22＋2π×2×42＋4×4×22＋4×42×22＝16＋162＋12π.答案：643＋8π 16＋162＋12π 14．已知在一次考试中甲、乙、丙三人及格的概率均为23，那么三人中至少有2人及格的概率为________，记考试及格的人数为X ，则随机变量X 的期望为________．解析：因为甲、乙、丙三人及格的概率均为23，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫133－C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1－127－627＝2027，E (X )＝3×23＝2.答案：2027215．已知实数x >0，y >0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy 的最小值为________．解析：因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y＝2＋2y x ＋xy≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y ，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．答案：2＋2 216．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，对任意的x 1，x 2，x 3，且0≤x 1<x 2<x 3≤π，都有|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|≤m 成立，则实数m 的最小值为________．解析：原不等式恒成立，只需要m 大于或等于|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|的最大值即可，则只需|f (x 1)－f (x 2)|，|f (x 2)－f (x 3)|都取得最大值，结合f (x )＝sin2x ＋π3，x∈[0，π]的图象易知，当x 1＝π12，x 2＝7π12，x 3＝π时，|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|1－(－1)|＝2，|f (x 2)－f (x 3)|max ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－32＝1＋32，所以|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|的最大值为3＋32，即m 的最小值为3＋32. 答案：3＋3217.已知扇环如图所示，∠AOB ＝120°，OA ＝2，OA ′＝12，P 是扇环边界上一动点，且满足OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：以O 为坐标原点，以OA 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，易知A (2,0)，B (－1，3)，设P (2cos α，2sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3， (1)当点P 在AA ′上运动时，向量OP ―→与OA ―→共线，显然y ＝0，此时OP ―→＝x OA ―→＝(2x,0)，12≤2x ≤2，所以12≤2x ＋y ≤2； (2)当点P 在BB ′上运动时，向量OP ―→与OB ―→共线，显然x ＝0，此时OP ―→＝y OB ―→＝(－y ，3y )，－2cos 60°≤－y ≤－12cos 60°，即14≤y ≤1，所以14≤2x ＋y ≤1；(3)当点P 在»AB 上运动时，由OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，得(2cos α，2sin α)＝x (2,0)＋y (－1，3)，即2cos α＝2x －y ，2sin α＝3y ，所以2x ＋y ＝43sin α＋2cos α，变形可得2x ＋y ＝2213sin(α＋φ)，其中tan φ＝32，因为P 是扇环边界上一动点，且满足OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，所以x ，y 均为非负实数，又33<32<1，所以可取π6<φ<π4，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＋φ＝π2时，2x ＋y 取得最大值，最大值为2213，当α＝2π3时，2x ＋y 取得最小值，最小值为1；(4)当点P 在¼A B ′′上运动时， 因为|OA ′||OA |＝|OB ′||OB |＝14，故2x ＋y 的最大值为14×2213＝216，最小值为14×1＝14.综上所述，2x ＋y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2213.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2213选择填空提速专练(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，则|3＋2i|＝( ) A. 5 B.7 C.13D ．3解析：选C 由题意得|3＋2i|＝32＋22＝13，故选C. 2．已知A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |2x>1}，则A ∩(∁R B )为( ) A ．(－2,1) B ．(－∞，1) C ．(0,1)D ．(－2,0]解析：选 D 由题意得集合B ＝{x |x >0}，所以∁R B ＝{x |x ≤0}，则A ∩(∁R B )＝{x |－2<x ≤0}，故选D.3．若(x －1)8＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 5＝( ) A ．56 B ．－56 C ．35D ．－35解析：选B 二项式(x －1)8的展开式中x 5的系数为a 5＝C 38(－1)3＝－56，故选B. 4．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)，则f (x )的奇偶性( ) A ．与ω有关，且与φ有关 B ．与ω有关，但与φ无关 C ．与ω无关，且与φ无关D ．与ω无关，但与φ有关解析：选D 因为ω决定函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期，φ决定函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象沿x 轴平移的距离，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的奇偶性与ω无关，与φ有关，故选D.5．已知x ∈R ，则“|x －3|－|x －1|<2”是“x ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为|x －3|－|x －1|≤|(x －3)－(x －1)|＝2，当且仅当x ≤1时，等号成立，所以|x －3|－|x －1|<2等价于x >1，所以“|x －3|－|x －1|<2”是“x ≠1”的充分不必要条件，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＝30°，△ABC 的面积为32.且sin A ＋sin C ＝2sin B ，则b 的值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3 C.3－1D.3＋1解析：选D 在△ABC 中，由sin A ＋sin C ＝2sin B 结合正弦定理得a ＋c ＝2b ，△ABC 的面积为12ac sin B ＝12ac ×12＝32，解得ac ＝6，在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝(a ＋c )2－2ac －3ac ＝(2b )2－(2＋3)×6.解得b ＝3＋1，故选D.7．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( )A ．50B ．80C ．120D ．140解析：选B 当甲组有两人时，有C 25A 23种不同的分配方案；当甲组有三人时，有C 35A 22种不同的分配方案．综上所述，不同的分配方案共有C 25A 23＋C 35A 22＝80种不同的分配方案，故选B.8．已知a ，b 为实常数，{c i }(i ∈N *)是公比不为1的等比数列，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)均相交，所成弦的中点为M i (x i ，y i )，则下列说法错误的是( )A ．数列{x i }可能是等比数列B ．数列{y i }是常数列C ．数列{x i }可能是等差数列D ．数列{x i ＋y i }可能是等比数列解析：选C 设等比数列{c i }的公比为q .当a ＝0，b ≠0时，直线by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 最多有一个交点，不符合题意；当a ≠0，b ＝0时，直线ax ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px的交点为－c ia，±－2pc ia，则x i ＝－c i a ，y i ＝0，x i ＋y i ＝－c i a，此时数列{x i }是公比为q的等比数列，数列{y i }为常数列，数列{x i ＋y i }是以q 为公比的等比数列；当a ≠0，b ≠0时，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的方程联立，结合根与系数的关系易得x i ＝pb 2a2－c i a ，y i ＝－pba，此时数列{y i }为常数列．综上所述，A ，B ，D 正确，故选C. 9．若定义在(0,1)上的函数f (x )满足：f (x )>0且对任意的x ∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )，则( )A ．对任意的正数M ，存在x ∈(0,1)，使f (x )≥MB ．存在正数M ，对任意的x ∈(0,1)，使f (x )≤MC ．对任意的x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)D.对任意的x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f (x 1)>f (x 2)解析：选A 令x 1∈(0,1)，x 2＝2x 11＋x 21，则易得x 2∈(0,1)，f (x 2)＝2f (x 1)，令x 3＝2x 21＋x 22，则易得x 3∈(0,1)，f (x 3)＝2f (x 2)＝22f (x 1)，…，依次类推得f (x n )＝2n －1f (x 1)，所以数列{f (x n )}构成以f (x 1)为首项，2为公比的等比数列，又因为f (x 1)>0，所以对任意的正数M ，存在n ∈N *，使得2nf (x 1)≥M ，即存在x ＝x n ∈(0,1)，使得f (x )≥M ，故选A.10.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段CD ，AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分解析：选B 延长D 1P 交平面ABCD 于点Q ，则直线D 1Q 与直线MN 所成的角即为直线D 1P 与直线MN 所成的角，则由最小角定理易得当点M 与点D 重合，且直线MN 过点Q 时，直线D 1Q 与直线MN 所成的角取得最小值，此时∠D 1QD 即为直线D 1Q 与直线MN 所成的角，所以∠D 1QD ＝π3，则∠DD 1Q ＝π6，所以点P 在以DD 1为轴，顶角为π3的圆锥面上运动，又因为点P 在平面A 1C 1D 上，所以点P 的轨迹是椭圆的一部分，故选B.二、填空题11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．。
2018浙江高考数学(理)二轮专题复习检测：选择填空题组合特训 题型专项训练4 Word版含答案
题型专项训练4选择填空题组合特训(四)(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1.(2017浙江杭州高级中学模拟)设集合A={y|y=sin x,x∈R},集合B={x|y=lg x},则(∁R A)∩B=()A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.[-1,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)2.已知抛物线y2=x的焦点是椭圆=1的一个焦点,则椭圆的离心率为()A BC D3.若x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值与最小值的和等于()A.-4B.-2C.2D.64.若函数f(x)=(x2+x-2)(x2+ax+b)是偶函数,则f(x)的最小值为()A BC.-D.-5.已知a,b,c都是实数,则“a,b,c成等比数列”是“b2=a·c”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=p k q1-k(k=0,1,p+q=1),则E(X)与D(X)依次为()A.0和1B.p和p2C.p和1-pD.p和p(1-p)7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()A.28+6B.30+6C.56+12D.60+128.已知△ABC和点M满足=0,若存在实数m使得=m成立,则m=()A.2B.3C.4 D二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)9.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆窖,周五丈四尺,深一丈八尺,问受粟几何?”其意思为:“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米斛.(古制1丈=10尺,1斛=1.62立方尺,圆周率π≈3)10.(2017浙江宁波诺丁汉大学附中下学期期中)在复平面内,复数z的对应点为(1,1),则z 的虚部为,z2=.11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=4, A=60°,且△ABC外接圆的面积为4π,则角B为,△ABC的面积为.12.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.13.从5名男公务员和4名女公务员中选出3人,分别派到西部的三个不同地区,要求3人中既有男公务员又有女公务员,则不同的选派方法种数是.14.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为抛物线C的准线与x轴的交点,若|AB|=8,则tan∠AMB=.参考答案题型专项训练4选择填空题组合特训(四)1.C解析由集合A中的函数y=sin x,x∈R,得到y∈[-1,1],∴A=[-1,1],∴∁R A=(-∞,-1)∪(1,+∞),由集合B中的函数y=lg x,得到x>0,∴B=(0,+∞),则(∁R A)∩B=(1,+∞).故选C.2.D解析抛物线y2=x的焦点为.所以椭圆=1的一个焦点为.即c=,a2=3+,a=.椭圆的离心率e=,故选D.3.A解析由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知A(0,2),由解得B(-2,-2),且A,B分别为目标函数z=2x+y取得最大值和最小值的最优解,则z min=-2×2-2=-6,z max=2×0+2=2,∴z=2x+y的最大值和最小值之和等于-4.故选A.4.C解析由已知f(x)=x4+(a+1)x3+(a+b-2)x2+(b-2a)x-2b,f(x)为偶函数,则解得即f(x)=x4-5x2+4=,所以当x2=时,f(x)min=-,故选C.5.A解析由a,b,c成等比数列可得b2=ac;但是当a=b=0时可得b2=ac,而a,b,c不成等比数列,故正确答案为A.6.D解析由题意,离散型随机变量X~B(1,p),根据二项分布的期望与方差公式可得E(X)=1·p=p,D(X)=1·p·(1-p)=p(1-p),故选D.7.B解析由三视图可得该四棱锥的底面是直角边长为4,5的直角三角形,面积为10;侧面ACD是底边长为5,高为4的三角形,面积为10;侧面BCD是直角边长为4,5的三角形,面积为10;侧面ABD是边长为,2的等腰三角形,底边上的高为=6,面积为2×6×=6.故该四棱锥的表面积为30+6.8.B解析因为=0,所以点M为△ABC的重心.设点D为底边BC的中点,则)=),∴=3.∴m=3.故选B.9.2 700解析 2πr=54,r=9,圆柱形容器体积为πr2h≈3×92×18,所以此容器能装=2 700斛米.10.12i解析在复平面内,复数z的对应点为(1,1),∴z=1+i.z2=(1+i)2=2i.11. 2解析πR2=4π⇒R=2,∴=2R=4⇒sin B=1,B=,∴a=2,c=2,S=ac=2.12.42解析设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理得|a-b|=,|a+b|=,则|a+b|+|a-b|=.令y=,则y2=10+2∈[16,20],据此可得(|a+b|+|a-b|)max==2,(|a+b|+|a-b|)min==4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是2.13.420解析由题意,从5名男公务员和4名女公务员中选出3人,有种选法,再排除其中只选派3名男公务员的方案数为,只有女公务员的方案数为种,利用间接法可得既有男公务员又有女公务员的选法有种,分别派到西部的三个不同地区共有)=420.故答案为420.14.2解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则由条件得|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=8,所以x1+x2=6,=24,y1y2=-4,x1x2==1,(y1-y2)2=-2y1y2=32.所以tan∠AMB====2.。
2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习训练：审题专
[审题专项训练]一、选择题 1．函数y ＝－xx ＋1＋1x的定义域是( )A ．[－1,0]∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.2．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2解析：选 A 依题意得，数列{a n }是等比数列，a 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝6，a 3＝S 3－S 2＝18，则62＝18(3＋k )，由此解得k ＝－1，故选A.3．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选 C 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a >b ⇔f (a )>f (b )⇔a |a |>b |b |.故选C.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240解析：选D 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.5．(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y 2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.6．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞解析：选A 设双曲线的焦点在x 轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k (k >0)必须满足33<k ≤3，易知k ＝b a ，所以13<⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤3，43<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤4，即有233< 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2≤2.又双曲线的离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以233<e ≤2.二、填空题7.(2017·湖州模拟)如图，在三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角． ∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴MK ＝ 2.在Rt△CKN 中，CK ＝22＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝22＋22－322×2×22＝78.答案：788．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：129．(2017·衢州模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．解析：满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y ＜－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y在点B ⎝⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是 3.答案：3 三、解答题10．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b . (1)求角A ；(2)若a ＝1，且3c －2b ＝1，求角B . 解：(1)由a cos C ＋32c ＝b ，得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B ， 而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 则可得32sin C ＝cos A sin C ．又sin C >0， 则cos A ＝32，即A ＝π6. (2)由3c －2b ＝1，得3c －2b ＝a ， 即3sin C －2sin B ＝sin A . 又∵A ＝π6，∴C ＝5π6－B ，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B －2sin B ＝12，整理得cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝12.∵0<B <5π6，∴π6<B ＋π6<π. ∴B ＋π6＝π3，即B ＝π6. 11．已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3， 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.12．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝y 1y 224＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4.故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝m 2＋2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP ―→·BP ―→＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10；当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.。
浙江2018年高考数学选择题+填空题解析
1、已知全集U=|1,2,3,4,5|，A=|1,3|，则C u A = A. 空集 B.|1，3| C.|2,4,5| D.|1,2,3,4,5|解析:考的补集知识，C u A =|2,4,5|2、双曲线1322=-y x 的交点坐标是A. (-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0) B. (0,-2),(0,2) D.(0,-2),(0,2)解析：413222=+=+=b a c ,所以交焦点坐标为(-2,0),(2,0) 3、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则几何体的体积（单位：2cm ）是A.2B.4C.6D.8解析：62*2*)21(21h =+==底S V4、复数i-12（i 为虚数单位）的共轭复数是A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i解析：两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
i ii i +=-+=+-+=11i 12)1(1i 12i -122）（）（）（,所以为1-i 。
5、函数x y x 2sin 2=的图像可能是解析：x 在【0，π】时，有两个零点，又x x x x 2-sin 2-2sin 2-=为奇函数，所以选D 。
6、已知平面a ，直线m ，n 满足a m ⊄，a n ⊂，则“m//n ”是“m//a ”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D 既不充分也不必要条件解析：“m//n ”->“m//a ”，“m//a ”-/>“m//n ”,所以为“m//n ”是“m//a ”的充分不必要条件。
7、设0<p<1，随机变量的分布列是则当p 在（0,1）内增大时，A. )(εD 减小B.)(εD 增大C.)(εD 先减小后增大D.)(εD 先增大后减少解析：41)22121021(22121021))(()()(2222312+-=*+*+*--*+*+*-=-=∑=p p pp p p E p D i i i εεε 开口向下，对称轴为1/2，所以是先增大后减少 8、已知四棱准S-ABCD 的地面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S-AB-C 的平面角为3θ，则1θ2θ3θA. 1θ≤2θ≤3θB.3θ≤2θ≤1θC.1θ≤3θ≤2θD.2θ≤3θ≤1θ解析：如图SE SF =1sin θ,SE SS 'sin 2=θ,''sin 3SE SS =θ又SF ≥SS ’，所以1sin θ≥2sin θ，1θ≥2θ； SE ≥SE ’，所以2sin θ≤3sin θ，2θ≤3θ； 又SEEF =1cos θ,'''cos 3SE S E =θ,EF =''S E ,所以1cos θ≤3cos θ，1θ≥3θ 所以2θ≤3θ≤1θ。
数学浙江专三维二轮专题复习 选择填空提速专练(三)
选择填空提速专练（三）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知集合I＝｛0，－1,2，－3，－4}，集合M＝{0,－1,2｝,N ＝｛0，－3，－4}，则N∩(∁I M)＝( )A．{0} B．｛－3，－4}C．{－1,－2｝D．∅解析：选B 由条件得∁I M＝{－3，－4}，∴N∩(∁I M)＝｛－3，－4}，故选B。
2．双曲线x2－4y2＝4的渐近线方程是（)A．y＝±4x B．y＝±错误!xC．y＝±2x D．y＝±错误!x解析：选D 双曲线方程化为x24－y2＝1，则a＝2，b＝1，∴渐近线方程为y＝±错误!x，故选D。
3．在(1＋x3)（1－x）8的展开式中,x5的系数是( )A．－28 B．－84C．28 D．84解析:选A x5的系数为1×C错误!(－1)5＋1×C错误!(－1)2＝－28，故选A。
4．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是边长为1的正三角形，侧视图是菱形，则这个几何体的体积为( )A.错误!B。
错误! C.错误!解析：选B 由三视图知几何体为一个正三棱柱截去两个棱锥得到的组合体,如图正三棱柱中的三棱锥A1.ADE所示，由三视图知正三棱柱的底面边长为1，高为2，则V三棱锥A1。
ADE＝错误!×12×2－2×错误!×12×错误!＝错误!，故选B.5．函数f（x)＝a sin错误!＋b cos 2x（a，b不全为零）的最小正周期为（）A。
错误!B．π C．2πD．4π解析:选B 将函数f(x)展开，得f（x）＝错误!a sin 2x＋错误!cos 2x，此时令m＝错误!a，n＝错误!a＋b，则f(x）＝m sin 2x＋n cos 2x＝错误!sin(2x ＋φ),其中cos φ＝错误!，sin φ＝错误!，所以函数f（x）的最小正周期为T＝2π2＝π，故选B.6．设z是复数，|z－i｜≤2(i是虚数单位）,则|z|的最大值是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选C |z－i|≤2表示复数z在复平面上的对应的点在以（0,1）为圆心,半径为2的圆内(含边界),而|z｜表示此圆内(含边界)到原点的距离，其最大值为1＋2＝3，故选C.7．已知公差为d的等差数列｛a n}的前n项和为S n，若有确定正整数n0，对任意正整数m，Sn0·Sn0＋m〈0恒成立，则下列说法错误的是( )A．a1·d〈0 B．|S n|有最小值C．an0·an0＋1>0 D．an0＋1·an0＋2〉0解析：选C 由Sn0·Sn0＋m<0，知数列{a n}一定存在正项与负项，则要么a1〉0,d<0，要么a1<0,d>0，即a1·d<0，所以A正确；由等差数列各项特征知,｜S n｜一定能取得最小值，所以B正确；若数列{a n}为－1,2,5，8,…，当n≥2时,a n>0,取n0＝1，对任意正整数m，Sn0·Sn0＋m〈0均成立，但an0·an0＋1〈0，所以C错误，故选C.8．如图，圆M和圆N与直线l：y＝kx分别相切于A，B两点，且两圆均与x轴相切，两圆心的连线与l交于点C，若|OM|＝|ON｜且错误!＝2错误!，则实数k的值为（）A．1 B。
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选择填空提速专练（十）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足z1－i ＝i2 016＋i2 017(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．2iD ．－2i解析：选B 因为z1－i＝i2 016＋i2 017＝1＋i ，所以z ＝(1＋i)(1－i)，即z ＝2，故选B.2.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x－23展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20D ．20解析：选C 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，则第r ＋1项T r ＋1＝C r 6(x )6－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6·(－1)r ·x 3－r，令3－r ＝0，得r ＝3，即常数项为T 4＝C 36·(－1)3＝－20，故选C.3．设P ：2<x <4，Q ：ln x <e ，则P 是Q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ln x <e ⇒0<x <e e，∵e e >4，∴P 是Q 的充分不必要条件，故选A.4．已知定义在R 上的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x ≥0时，恒有x2f ′(x )＋f (－x )≤0，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1－2x )的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析：选A 由f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x )．当x ≥0时，x2f ′(x )＋f (x )≤0⇒x 2f ′(x )＋2xf (x )≤0⇒[x 2f (x )]′≤0，即g (x )在[0，＋∞)上单调递减，因为f (x )为偶函数，所以g (x )也是偶函数．因此g (x )在(－∞，0)上单调递增，所以由g (x )<g (1－2x )得，|x |>|1－2x |，即x 2>(1－2x )2，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：选B 作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x >0的图象关于原点对称的图象，确定它与函数y ＝－x 2－4x ，x ≤0的图象的交点个数即可，由图易知有1个交点，故选B.6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若⎝ ⎛⎭⎪⎫b －65c sin B ＋c sin C ＝a sin A ，则sin A ＝( )A ．－45B.45C ．－35D.35解析：选B 由正弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫b －65c b ＋c 2＝a 2，即b 2＋c 2－a 2＝65bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝65bc2bc ＝35，则在三角形中，sin A ＝45，故选B. 7.如图， 已知矩形OABC 中，OA ＝2，OC ＝1，OD ＝3若P 在△BCD 中(包括边界)，且OP ―→＝αOC ―→＋12βOA ―→，则α＋32β的最大值为( )A.32B.52C.92D ．3解析：选C 以O 为原点，OD ，OC 所在直线为x 轴、y 轴，单位长度为1，建立平面直角坐标系(图略)，则O (0,0)，D (3,0)，C (0,1)，B (2,1)，设点P (x ，y )，则直线CD 的方程为x ＋3y －3＝0，直线CB 的方程为y ＝1，直线BD 的方程为x ＋y －3＝0，因为P 在△BCD 中(包括边界)，即P 在⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋3y －3≥0，x ＋y －3≤0所描述的区域内，由已知得OP ―→＝αOC ―→＋12βOA ―→＝αOC ―→＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA ―→＝(β，α)＝(x ，y )，所以α＋32β＝y ＋32x ，令z ＝y ＋32x ，由线性规划得目标函数过点D (3,0)时取得最大值，且z max ＝92，即α＋32β的最大值为92，故选C.8．已知两个单位向量a ，b ，且满足a·b ＝－12，存在向量c 使cos 〈a －c ，b －c 〉＝12，则|c |的最大值为( )A ．2 B. 3 C. 2D ．1解析：选A 由题意知cos 〈a ，b 〉＝－12，则〈a ，b 〉＝120°.如图，构造AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AC ―→＝c ，∠BAD ＝120°，∠BCD ＝60°，所以C 点可能在以A 为圆心，AB 为半径的圆A 的优弧 BD上，此时|c |＝1，C 点也可能在以A ，B ，C ，D 四点所共圆的优弧 BD上，此时易知当线段AC 为直径时，|c |最大，最大值为2，故选A.9．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选A 因为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，所以b <c ，则a 2＝b 2＋c 2<2c 2，所以椭圆的离心率e ＝c a >22，又因为e <1，所以e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，故选A. 10．已知f (x )＝ax 2＋(b －a )x ＋c －b (其中a >b >c )，若a ＋b ＋c ＝0，x 1，x 2为f (x )的两个零点，则|x 1－x 2|的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，23B ．(2,23)C ．(1,2)D ．(1,23)解析：选A 由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，知a >0>c .由题意得x 1，x 2是方程ax 2＋(b －a )x ＋(c －b )＝0的两个根，故x 1＋x 2＝－b －a a ，x 1x 2＝c －b a ，则|x 1－x 2|＝ x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a a 2－4·c －b a ＝b －a 2－4a c －ba＝b ＋a 2－4aca＝－c 2－4aca＝c 2－4aca＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－4·c a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －22－4.因为a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，所以a >－(a ＋c )>c ，所以－2<c a <－12，所以254<⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －22<16，所以|x 1－x 2|的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，23，故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xy ＝lnx －1x ，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋2}，则(∁R M )∩N ＝________. 解析：由题意得M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x －1x >0，即M ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，N ＝{y |y ≥1}，所以(∁R M )∩N ＝[0,1]∩[1，＋∞)＝{1}．答案：{1}12．已知一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________，表面积是________．解析：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个四分之一球构成，其体积V ＝12(π×12×1)＋14×43π×13＝56π；表面积S ＝12π×12＋1×2＋12×2π×1×1＋12π×12＋14×4π×12＝3π＋2. 答案：56π 3π＋213．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，若a 1＝1，则a 3＝________，前60项的和为________．解析：由题意得a 2－a 1＝1 ①，a 3＋a 2＝3 ②，a 4－a 3＝5 ③，a 5＋a 4＝7，a 6－a 5＝9，a 7＋a 6＝11，a 8－a 7＝13，a 9＋a 8＝15，a 10－a 9＝17，a 11＋a 10＝19，a 12－a 11＝21，…，∴由①②得a 3＝1.②－①得a 1＋a 3＝2，③＋②得a 4＋a 2＝8，同理可得a 5＋a 7＝2，a 6＋a 8＝24，a 9＋a 11＝2，a 10＋a 12＝40，…，∴a 1＋a 3，a 5＋a 7，a 9＋a 11，…是各项均为2的常数列，a 2＋a 4，a 6＋a 8，a 10＋a 12，…是首项为8，公差为16的等差数列，∴{a n }的前60项和为15×2＋15×8＋12×15×14×16＝1 830.答案：1 1 83014．某中学的十佳校园歌手中有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班．现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为________，设X 为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X 的数学期望为________．解析：P ＝C 37＋C 27·C 13C 310＝4960；X 的可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26·C 14C 310＝。