(北师大版)数学必修四：2.2《从位移的合成到向量的加法》ppt课件
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高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.1向量的加法课件2北师大版必修
【解析】1.选A.由向量加法的平行四边形法则知
uuur AE
AuuHur＝AuuOur.又因所为以AuuOu①r＝正OuuCur确，.
因为
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
OF＝HO，所以AH OF＝AH HO＝AO.
又因为
uur uur
uuur
FB＝CF，所以CG
求证:四边形ABCD是平行四边形.
【解题探究】证明平行四边形的方法有哪些?本例可从什么角度入手?
提示:可证一组对边平行且相等,也可证对角线互相平分,本例可证
uuur AB
uuur DC
进而可得AB
DC.
【解析】因为
uuur uuur AO OB
uuur uuur uuur AB，DO OC
uur uuur FB＝CG
Cuu所Fr＝以CuuO②ur，不而正AuuOu确r .
uuur CO，
因为
uur uur
uuur
FC＝BF，所以BE
uur uuur FC＝BE
uur uuur BF＝BO.
又因为
uuur uuur
uuur
HD＝OG，所以HD
uuur uuur OH＝OG
uuur uuur OH＝OD，
2.2从位移的合成到向量的加法 2.2.1 向量的加法
【知识提炼】 1.向量的加法 (1)定义:求两个向量_和__的__运__算__.
(2)运算法则
a+b uuur AC
uuur AC
2.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=_b_+_a_. (2)结合律:(a+b)+c=a+(_b_+_c_). 特别地:对于零向量与任一向量a的和有0+a=_a_+_0_=_a_.
北师大版数学高一必修4课前引导2.2从位移的合成到向量的加法
如下图作 =a, =b, =c，连结AC、AD，
则 =a+b, =b+c.
∵ = + =a+(b+c)，
= + =(a+b)+c，
∴(a+b)+c=a+(b+c).
知识预览
一、向量加法
1.向量加法的定义
已知向量a、b如右图，在平面内任取一点A，作 =a， =b，则向量 叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b= + =
（2）向量加法的平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就表示这两个向量的和.
3.向量加法的运算律
（1）交换律：a+b=b+a.
（2）结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
二、向量减法
1.向量减法的定义
与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.
§2从位移的合成到向量的加法与实数加法的关系如何?
思路分析:（1）向量加法应用三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示.
（2）向量的加法与实数的加法类似，也有交换律与结合律.
（3）向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证.
（4）向量加法的结合律可以用三角形法则验证：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a.
2.向量加法的运算法则
（1）根据向量加法的定义求向量和的方法是向量加法的三角形法则.具体做法是：把用小写字母表示的向量用两个大写字母表示(其中第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，即用同一个字母表示)，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线段就表示这两个向量的和.
则 =a+b, =b+c.
∵ = + =a+(b+c)，
= + =(a+b)+c，
∴(a+b)+c=a+(b+c).
知识预览
一、向量加法
1.向量加法的定义
已知向量a、b如右图，在平面内任取一点A，作 =a， =b，则向量 叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b= + =
（2）向量加法的平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就表示这两个向量的和.
3.向量加法的运算律
（1）交换律：a+b=b+a.
（2）结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
二、向量减法
1.向量减法的定义
与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.
§2从位移的合成到向量的加法与实数加法的关系如何?
思路分析:（1）向量加法应用三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示.
（2）向量的加法与实数的加法类似，也有交换律与结合律.
（3）向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证.
（4）向量加法的结合律可以用三角形法则验证：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a.
2.向量加法的运算法则
（1）根据向量加法的定义求向量和的方法是向量加法的三角形法则.具体做法是：把用小写字母表示的向量用两个大写字母表示(其中第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，即用同一个字母表示)，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线段就表示这两个向量的和.
高中数学 2.2 从位移的合成到向量的加法课件 北师大版必修4
[规律总结] 明确向量加、减法的几何意义(yìyì)，用已知 向量表示未知向量，可以解决一些平面几何问题．
第二十一页，共44页。
因为F→C＝B→F，所以B→E＋F→C＝B→E＋B→F＝B→O. 又因为H→D＝O→G，所以H→D＋O→H＝O→G＋O→H＝O→D， 而B→O＝O→D，所以③正确． 因为B→E＝O→H，所以O→G＋B→E＝O→G＋O→H＝O→D，而O→D≠D→O， 所以④不正确．故选 A.
第二十二页，共44页。
第十三页，共44页。
3．下列命题中正确的个数为( )
①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，那么 a＋b 的方
向必与 a、b 之一的方向相同；
②在△ABC 中，必有A→B＋B→C＋C→A＝0
③若A→B＋B→C＋C→A＝0，则 A、B、C 为一个三角形的三个
顶点；
④若 a、b 均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
第三十一页，共44页。
向量加法(jiāfǎ)的实际应用
在四川汶川“5·12”大地震后，一架救援直升 飞机从 A 地沿北偏东 60°方向飞行了 40km 到达 B 地，再由 B 地沿正北方向飞行 40km 到达 C 地，求此时直升飞机与 A 地的 相对位置．
[思路分析] 利用向量加法的三角形法则，知A→C＝A→B＋ B→C，|A→C|是线段 AC 的长度．
第三十七页，共44页。
向量加减法的综合(zōnghé)应用
已知非零向量 a，b 同时满足：|a|＝|b|和|a＋b| ＝|a－b|，若作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝a＋b，试断定四边形 OACB 的形状，并证明．
[思路分析] 首先根据向量(xiàngliàng)加法的平行四边形法 则可知四边形OACB是平行四边形，其次根据条件|a|＝|b|可知四 边形是菱形，再由条件|a＋b|＝|a－b|进一步可知它是正方形．
第二十一页，共44页。
因为F→C＝B→F，所以B→E＋F→C＝B→E＋B→F＝B→O. 又因为H→D＝O→G，所以H→D＋O→H＝O→G＋O→H＝O→D， 而B→O＝O→D，所以③正确． 因为B→E＝O→H，所以O→G＋B→E＝O→G＋O→H＝O→D，而O→D≠D→O， 所以④不正确．故选 A.
第二十二页，共44页。
第十三页，共44页。
3．下列命题中正确的个数为( )
①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，那么 a＋b 的方
向必与 a、b 之一的方向相同；
②在△ABC 中，必有A→B＋B→C＋C→A＝0
③若A→B＋B→C＋C→A＝0，则 A、B、C 为一个三角形的三个
顶点；
④若 a、b 均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
第三十一页，共44页。
向量加法(jiāfǎ)的实际应用
在四川汶川“5·12”大地震后，一架救援直升 飞机从 A 地沿北偏东 60°方向飞行了 40km 到达 B 地，再由 B 地沿正北方向飞行 40km 到达 C 地，求此时直升飞机与 A 地的 相对位置．
[思路分析] 利用向量加法的三角形法则，知A→C＝A→B＋ B→C，|A→C|是线段 AC 的长度．
第三十七页，共44页。
向量加减法的综合(zōnghé)应用
已知非零向量 a，b 同时满足：|a|＝|b|和|a＋b| ＝|a－b|，若作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝a＋b，试断定四边形 OACB 的形状，并证明．
[思路分析] 首先根据向量(xiàngliàng)加法的平行四边形法 则可知四边形OACB是平行四边形，其次根据条件|a|＝|b|可知四 边形是菱形，再由条件|a＋b|＝|a－b|进一步可知它是正方形．
2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法课件北师大版必修4
题型二
题型三
题型四
1 4
∵∠CBF=∠EAB,又在 Rt△ABE 中,cos∠EAB= ������������ =
, ∴ cos∠CBF= 4.
1
������������
∴BF=BC· cos∠CBF=1× 4 = 4. ∴CF=
15 4
1
1
. ∴ ������������ = ������������ + ������������ = 2 + 4 = 4. ������������ 2 + ������������ 2 =
(1)������������ ; (2)������������; (3)������������ − ������������ ; (4)������������ + ������������ ; (5)������������ − ������������.
题型一
题型二
题型三
题型四
解(1)������������ = ������������ − ������������ = c-a. (2)������������ = ������������ + ������������ = −������������ + ������������ = − a+d. (3)������������ − ������������ = ������������ = ������������ − ������������ = d-b. (4)������������ + ������������ = ������������ − ������������ − ������������ + ������������ = b-a-c+f. (5)������������ − ������������ = ������������ = ������������ + ������������ = − d+f.
高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法课件北师大版必修4
由勾股定理, 得|a-b|= 52 + 122 = 13.
答案:13
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
向量减法的几何意义
【例 1】 如图, 已知向量 a, b, c, 求作 a-b-c.
分析任选起点→平移向量→共起点,连终点→方向指向被减向量
解如图, 在平面内任取一点 O, 作������������ = a, ������������ =b, ������������ = c, 则由向 量减法的三角形法则, 得������������ = a-b, ������������ =a-b-c.
1
2
【做一做1-2】 已知a,b分别表示“方向向南,大小为5 m/s的风 速”“竖直向上,大小为10 N的力”,请说明向量-a,-b的意义. 解:-a表示方向向北,大小为5 m/s的风速;-b表示竖直向下,大小为 10 N的力.
1
2
2.向量的减法
1
2
名师点拨 1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反 向量的定义,−������������ = ������������就可以把减法化为加法.在用三角形 法则作向量减法时,只要记住“连接两个向量的终点,箭头指 向被减向量”即可. 2.以向量������������ =a, ������������ =b 为邻边作平行四边形 ABCD,则 两条对角线的向量为������������ =a+b, ������������ =b-a, ������������ =a-b.这一结 论的应用非常广泛,应该加强理解并记住. 3.三角形法则和平行四边形法则对于向量的减法同样 适用. 4.与向量的和一样,向量的差仍然是一个向量.
题型一
题型二
答案:13
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
向量减法的几何意义
【例 1】 如图, 已知向量 a, b, c, 求作 a-b-c.
分析任选起点→平移向量→共起点,连终点→方向指向被减向量
解如图, 在平面内任取一点 O, 作������������ = a, ������������ =b, ������������ = c, 则由向 量减法的三角形法则, 得������������ = a-b, ������������ =a-b-c.
1
2
【做一做1-2】 已知a,b分别表示“方向向南,大小为5 m/s的风 速”“竖直向上,大小为10 N的力”,请说明向量-a,-b的意义. 解:-a表示方向向北,大小为5 m/s的风速;-b表示竖直向下,大小为 10 N的力.
1
2
2.向量的减法
1
2
名师点拨 1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反 向量的定义,−������������ = ������������就可以把减法化为加法.在用三角形 法则作向量减法时,只要记住“连接两个向量的终点,箭头指 向被减向量”即可. 2.以向量������������ =a, ������������ =b 为邻边作平行四边形 ABCD,则 两条对角线的向量为������������ =a+b, ������������ =b-a, ������������ =a-b.这一结 论的应用非常广泛,应该加强理解并记住. 3.三角形法则和平行四边形法则对于向量的减法同样 适用. 4.与向量的和一样,向量的差仍然是一个向量.
题型一
题型二
高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法课件2北师大版必修4
4.非零向量a,b的差向量的不等式
(1)当a,b不共线时,如图①,作 OA a， OB b，则a b OA OB BA.
因为在三角形中两边之和大于第三边,于是 |a-b|<|a|+|b|. (2)当a,b共线且同向时,若|a|>|b|, 则a-b与a,b同向(如图②), 于是|a-b|=|a|-|b|. 若|a|<|b|,则a-b与a,b反向(如图③), 于是|a-b|=|b|-|a|.
2.对相反向量的三点说明 (1)a与-a互为相反向量. (2)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念,相反向量是方向相反 的向量,反之不成立. (3)相反向量与相反数是两个不同的概念,相反数是两个数符号相反, 绝对值相等;相反向量是方向相反,模长相等的两个向量.
3.对向量减法的理解 (1)实质:向量减法的实质是向量加法的逆运算. (2)应用:利用相反向量的定义,把其中减向量的方向变为与原方向相 反,大小不变就可以把减法化为加法.在用三角形法则作两个共起点的 向量减法时,只要记住“连接两向量终点,箭头指向被减向量”即可.
(2)向量的加法运算律适用于向量的减法吗? 提示:适用.向量的减法可以借助于相反向量转化为向量的加法运算 , 因此适用.
2. PM ＋MN－PN A． MP B． 0
=
(
C． NP
)
D． MN
【解析】选B. PM ＋MN －P
【知识探究】 知识点 向量的减法
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:向量的相反向量是怎样定义的?有何性质?
问题2:如何进行向量的减法运算?运算法则是什么?
【总结提升】 1.相反向量的意义 (1)在相反向量的基础上,可以通过向量加法定义向量减法. (2)为向量的“移项”提供依据.利用(-a)+a=0在向量等式的两端加上 某个向量的相反向量,实现向量的“移项”.例如,由a+b=c+d可得ac=d-b.
从位移的合成到向量的加法课件
分配律
总结词
向量加法的分配律是指向量加法可以分配到 括号内的各个向量上。
详细描述
根据向量加法的定义，我们知道向量加法不 满足分配律。这意味着我们不能将一个向量 同时与其他两个向量相加，然后将结果相加
。例如，如果我们有两个向量a和b，我们 不能直接得到a+(b+c)的结果，而只能得到 (a+b)+c的结果。这是因为向量加法只关心 向量的长度和方向，而不关心它们是如何组
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量加法的结果与加 数的分组方式无关。
详细描述
根据向量加法的定义，我们知道向量加法满 足结合律。这意味着无论我们将向量如何分 组，它们的和都是相同的。例如，如果我们 有三个向量a、b和c，那么(a+b)+c的结果 与a+(b+c)的结果是相同的。这是因为向量 加法只关心向量的长度和方向，而不关心它 们是如何组合的。
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小。
详细描述
向量的模，也称为向量的长度或大小，用于描述向量的大小。在二维空间中，向 量的模可以通过勾股定理计算得出；在三维空间中，向量的模可以通过向量坐标 的平方和的平方根计算得出。
向量的表示
总结词
向量可以用坐标或箭头表示。
详细描述
在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示，例如在二维空间中可以用有序对(x, y)表示，在三维空间中可以用有 序三元组(x, y, z)表示。此外，向量也可以用带有箭头的线段表示，箭头的长度代表向量的模，箭头的指向代表向 量的方向。
合的。
05 向量加法的应用
力的合成与分解
力的合成
当一个物体受到多个力的作用时，这些力可以合成一 个力，其效果与单独作用于物体的力相同。力的合成 可以通过向量加法实现，即将各个力的向量按照平行 四边形法则或三角形法则进行加法运算。
(教师用书)高中数学 2.2 从位移的合成到向量的加法课件 北师大版必修4
→ → 【提示】 如图所示，这两次位移之和为AB＋BC，而实 → 际位移为AC. → → → 由此可以看出AB＋BC＝AC.
类别
图示
几何意义 已知向量 a，b，在平面内 → ＝a， → 任取一点 A，作AB BC → ，则向量 ＝b，再作向量AC → AC叫作 a 与 b 的 和 ， 记 → 作 a＋b ，即 a＋b＝AB＋ → ＝AC → BC
§ 2
从位移的合成到向量的加法 2．1 向量的加法 2．2 向量的减法
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个 向量的和、差向量．
(2)能结合图形进行向量计算． (3)能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地 进行向量计算． 2．过程与方法 由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思 想的指导作用．
交换 a＋b＝ b＋a 律 结合 (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 律
相反向量
【问题导思】 → 与向量BA → 是一对特殊的向量， 向量AB 它们的长度和方向 之间有什么关系？
→ → 【提示】 向量AB与向量BA长度相等，但方向相反，即 → → AB＝－BA.
定义
把与 a 长度相等、方向相反的向量，叫作 a 的相反向量，记作 －a (1)零向量的相反向量仍是 零向量 ，于 是－(－a)＝a；
3．情感、态度与价值观 通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算， 使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想． ●重点难点 重点：向量的加法、减法运算． 难点：向量加法、减法的几何意义．
●教学建议 几何中的向量加法是用几何作图来定义的，教科书给出 了两个向量求和的三角形法则和平行四边形法则，多个向量 求和的多边形法则．教科书采用三角形法则来定义向量的加 法，这种定义对两向量共线时同样适用，而当两个向量共线 时，平行四边形法则就不适用了．当两向量不共线时，向量 加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的．
高中数学课件-2 2 从位移的合成到向量的加法(第1课时) 课件 (北师大必修4)
【规范解答】 1①BC AB AB BC AC;
②DB CD BC BC CD DB BD DB 0; ③AB DF CD BC FA AB BC CD DF FA AF FA 0.
(2)①由图知，OAFE为平行四边形，OA OE OF； ②由图知，OABC为平行四边形，AO AB AC； ③由图知，AEDB为平行四边形，AE AB AD.
【审题指导】本题关键是把实际问题转化为向量问题，再结 合向量的平行四边形法则作出草图，利用三角形中的边角关 系求相应数值.
【规范解答】(1)如图所示, A表D 示船速, 表A示B 水速,以AD,AB为邻边作 ABCD,则AC 表示船实际 航行的速度. ……………………………………5分
(2)在Rt△ABC中， AB 2，BC … …5，…………………7分
当所给的向量不共线时三角形法则和平行四边形法 则的实质是一样的，且当所给的向量共线时只能用向量的 三角形法则作图.
【例1】已知向量 a、b，求作向量 a b.
【审题指导】向量的位置关系已给出，要作出 a b, 其关键是依据向量的平行四边形法则和三角形法则求解.
【规范解答】作法： 方法一：(三角形法则)如图①所示，在平面内取一点O，作
2.在四边形ABCD中，AB AD AC, 则四边形ABCD是 ( )
(A)正方形
(B)长方形
(C)平行四边形
(D)菱形
【解析】选C. 在四边形ABCD中，AB AD 结AC合，向量的 平行四边形法则可知四边形ABCD是平行四边形.
3.化简 OB AO BA =______________. 【解析】原式 AO OB BA 0. 答案: 0
OA a，A则B b, OB a b. 方法二：(平行四边形法则)如图②所示，先在平面内取一 点O，作 OA a，AB然后b,以OA,OB为邻边作平行四边形 OACB，则OC 即为所求向量 a、b的和向量 a b.
2,从位移的合成到向量的加法.ppt
2、从位移的合成到向量的加法
§2.1.1向量的加法
三角形法则
(><) O
(><) O
平行四边形法则
金台高级中学 孙珍
1、什么叫向量？如何表示？
既有大小，又有方向的量叫做向量. 有向线段
2、什么叫相等向量？
方向相同，长度相等的两个向量叫做相等向量.
3、什么叫平行向量（共线向量）？
两个向量的有向线段所在的直线平行或重合, 则称这两个向量平行或共线.
它的实际位移AB,可以看作水平运动 的分位移AC与竖直向上运动的分位移
D
B
AD的合位移.
A C
位移就是一个向量， 两个位移求和位移实际上就是两个向量求和向量。
什么叫两个向量的和向量？
1. 向量加法的定义:
我们把求两个向量 a , b 的和的运算，叫做向
a b 叫做 a , b 的和向量。 量的加法，
跟踪练习1、根据图形填空
C
D
d O
c
b
B
(1) a +
d
=
DA
a
A
(2) c + b
= CB
跟踪练习2、根据图示填空
E
e
f
D
d
(1 )a b ( 2 )c d
C
c
f f
g
g
A
c
b
B
( 3 )a b d ( 4 )c d e
a
特例：共线向量的和向量
1.方向相同 2.方向相反
a b a b
B
C
D
a bc
bc
A
A
c
C
§2.1.1向量的加法
三角形法则
(><) O
(><) O
平行四边形法则
金台高级中学 孙珍
1、什么叫向量？如何表示？
既有大小，又有方向的量叫做向量. 有向线段
2、什么叫相等向量？
方向相同，长度相等的两个向量叫做相等向量.
3、什么叫平行向量（共线向量）？
两个向量的有向线段所在的直线平行或重合, 则称这两个向量平行或共线.
它的实际位移AB,可以看作水平运动 的分位移AC与竖直向上运动的分位移
D
B
AD的合位移.
A C
位移就是一个向量， 两个位移求和位移实际上就是两个向量求和向量。
什么叫两个向量的和向量？
1. 向量加法的定义:
我们把求两个向量 a , b 的和的运算，叫做向
a b 叫做 a , b 的和向量。 量的加法，
跟踪练习1、根据图形填空
C
D
d O
c
b
B
(1) a +
d
=
DA
a
A
(2) c + b
= CB
跟踪练习2、根据图示填空
E
e
f
D
d
(1 )a b ( 2 )c d
C
c
f f
g
g
A
c
b
B
( 3 )a b d ( 4 )c d e
a
特例：共线向量的和向量
1.方向相同 2.方向相反
a b a b
B
C
D
a bc
bc
A
A
c
C
高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.1向量的加法课件3北师大版必修4
解：如图，OA表示F1, OB表示F2.以OA, OB为邻边作 平行四边形OACB, 则OC表示合力F.
在Rt△OAC中,| OA | F1 40 N，| AC || OB | F2 30 N. 由勾股定理， 得
F | OC | | OA |2 | AC |2 402 302 50N
这叫做向量加法的平行四边形法则.
共线向量求和 方向相同
a b
方向相反
a b
A
B
C
CA
B
AC a b
AC a b
例１轮船从Ａ港沿东偏北30方向行驶了40
海里到达B处,再由B处沿正北方向行驶40海
里到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
解：如图，设AB,BC分别表示轮船的两次位移, 则AC表示 轮船的合位移, AC AB BC。
解: AB DF CD BC FA
AB BC CD DF FA AC CD DF FA
AD DF FA
AF FA AA
0 AB DF CD BC FA 0
（1）掌握向量求和的三角形法则 （2）掌握向量求和的平行四边形法则 （3）掌握向量加法的运算律
C
(20 3)2 602 40 3 n mile ∵| AC | 2 | AD | CAD 60.
B
30
A
D
东
向量的加法满足
① 交换律： a + b = b + a ② 结合律：（ a + b ) + c = a + ( b + c )
D
abc
c
A
a
B
高中语文从位移的合成到向量的加法ppt 北师大版最新优选公开课件
加法的三角形法则与平行四边形法则可以相互转化 3.向量加法满足交换律及结合律
a+ b= b+ a (a + b)+ c = a + (b + c)
（二）方法的提炼 （2）向量加法的两个法则在物理中的运用。求物理中的合 速度、合位移、合力，可用向量的加法法来解决它。在解的 过程中不但要求出它的大小，而且还要求出它们的方向。 （3）对于变式（1）不用向量加法的平行四边形法则，那能 否解决呢？
以后也许三里清风，三里路，步步清风再无你。可也无悔你来过！人生的路你陪我一程，我念你一生……… 谢谢你来过！往后余生愿安好！感恩相遇，感恩来过……“当花瓣离开花朵，暗香残留，香消在风起雨后，无人来嗅”忽然听到沙宝亮的这首《暗香》，似乎这香味把整间屋子浸染。我是如此迷恋香味，吸进的是花儿的味道，吐出来的是无尽的芬芳。轻轻一流转，无限风情，飘散，是香，是香，它永远不会在我的时光中走丢。
这叫做向量加法的平行四边形法则。
讨论：作图关键点
平移为同一起点
及时反馈：P77练习第2题
探究3：数的加法满足交换律与结合律，即对任意 a ，b∈R，
有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
任意向量a , b 的加法是否也满足交换律与结合律？
abba,
( a b ) c a ( b c )
律呢？这就是我们今天要探究的内容--------
§2从位移的合成到向量的加法 向量的加法（板书）
合作探究新知
求两个向量和的运算叫向量的加法。
探究1：既然向量的加法义可以类比位移的合成想一
想，作两个向量的和是否也可以类比前面位 移的合成呢？
a+ b= b+ a (a + b)+ c = a + (b + c)
（二）方法的提炼 （2）向量加法的两个法则在物理中的运用。求物理中的合 速度、合位移、合力，可用向量的加法法来解决它。在解的 过程中不但要求出它的大小，而且还要求出它们的方向。 （3）对于变式（1）不用向量加法的平行四边形法则，那能 否解决呢？
以后也许三里清风，三里路，步步清风再无你。可也无悔你来过！人生的路你陪我一程，我念你一生……… 谢谢你来过！往后余生愿安好！感恩相遇，感恩来过……“当花瓣离开花朵，暗香残留，香消在风起雨后，无人来嗅”忽然听到沙宝亮的这首《暗香》，似乎这香味把整间屋子浸染。我是如此迷恋香味，吸进的是花儿的味道，吐出来的是无尽的芬芳。轻轻一流转，无限风情，飘散，是香，是香，它永远不会在我的时光中走丢。
这叫做向量加法的平行四边形法则。
讨论：作图关键点
平移为同一起点
及时反馈：P77练习第2题
探究3：数的加法满足交换律与结合律，即对任意 a ，b∈R，
有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
任意向量a , b 的加法是否也满足交换律与结合律？
abba,
( a b ) c a ( b c )
律呢？这就是我们今天要探究的内容--------
§2从位移的合成到向量的加法 向量的加法（板书）
合作探究新知
求两个向量和的运算叫向量的加法。
探究1：既然向量的加法义可以类比位移的合成想一
想，作两个向量的和是否也可以类比前面位 移的合成呢？
数学北师大版必修4课前导引2.2从位移的合成到向量的加法
§2 从位移的合成到向量的加法课前导引问题导入【问题】向量加法与实数加法的关系如何?思路分析:（1）向量加法应用三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示. （2）向量的加法与实数的加法类似，也有交换律与结合律.（3）向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证.（4）向量加法的结合律可以用三角形法则验证：如下图作AB=a,BC=b,CD=c，连结AC、AD，则AC=a+b,BD=b+c.∵AD=AB+BD=a+(b+c)，AD=AC+CD=(a+b)+c，∴(a+b)+c=a+(b+c).知识预览一、向量加法1.向量加法的定义已知向量a、b如右图，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC求两个向量和的运算，叫做向量的加法.对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a.2.向量加法的运算法则（1）根据向量加法的定义求向量和的方法是向量加法的三角形法则.具体做法是：把用小写字母表示的向量用两个大写字母表示(其中第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，即用同一个字母表示)，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线段就表示这两个向量的和.（2）向量加法的平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就表示这两个向量的和.3.向量加法的运算律（1）交换律：a+b=b+a.（2）结合律：(a+b)+c=a+(b+c).二、向量减法1.向量减法的定义与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.求两个向量差的运算叫做向量的减法：ab=a+(b)，即向量a减去向量b相当于加上向量b的相反向量b.2.向量减法的运算法则三角形法则：如下图，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b.则BA=ab，即ab表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量(向量a、b同一起点).。
高中数学北师大版必修4第二章《向量的加法》ppt课件1
C
所以| AC | | AD |2 | DC |2
(20 3)2 602 40 3 n mile
∵| AC | 2 | AD | CAD 60。
B
30
A
D
东
向量的加法满足
① 交换律： a + b = b + a ② 结合律：（ a + b ) + c = a + ( b + c )
作业
P79 1、2、3、4
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
作平行四边形，则 AC = a + b 。
这叫做向量加法的平行四边形法则。
共线向量求和 方向相同
a b
方向相反
a b
A
B
C
CA
B
AC a b
AC a b
例１轮船从Ａ港沿东偏北30°方向行驶了40海里 到达B处,再由B处沿正北方向行驶40海里到达C处. 求此时轮船与A港的相对位置.
A
C
由分位移求合位移,称为位移的合成 求两个向量和的运算叫向量的加法。
a
b
a
b
a
A.
作法：[1]在平面内任取一点A
B bC a+b
[2]作AB= a , BC= b [3]则向量AC叫 作向量a 与 b 的和,记作a＋b。
所以| AC | | AD |2 | DC |2
(20 3)2 602 40 3 n mile
∵| AC | 2 | AD | CAD 60。
B
30
A
D
东
向量的加法满足
① 交换律： a + b = b + a ② 结合律：（ a + b ) + c = a + ( b + c )
作业
P79 1、2、3、4
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
作平行四边形，则 AC = a + b 。
这叫做向量加法的平行四边形法则。
共线向量求和 方向相同
a b
方向相反
a b
A
B
C
CA
B
AC a b
AC a b
例１轮船从Ａ港沿东偏北30°方向行驶了40海里 到达B处,再由B处沿正北方向行驶40海里到达C处. 求此时轮船与A港的相对位置.
A
C
由分位移求合位移,称为位移的合成 求两个向量和的运算叫向量的加法。
a
b
a
b
a
A.
作法：[1]在平面内任取一点A
B bC a+b
[2]作AB= a , BC= b [3]则向量AC叫 作向量a 与 b 的和,记作a＋b。
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C
B
30 A
D
东
解：如图，设AB、 BC分别表示轮船的两次位 移， 则 AC表示 轮船的合位移 ，AC AB BC。
在Rt△ ADB中, ADB 90, ADB 30, | AB | 40 n mile， 所以 | DB | 20 n mile，| AD | 20 3 n mile
一、教学目标：
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引
出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去
探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背
景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向
量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，
培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
一、教学目标：
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学
们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了
一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的
思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，
这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实
事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重难点 ：向量加法的概念和向量加法的法则
及运算律.
三.学法与教法
学法：
Байду номын сангаас
(1)自主性学习+探究式学习法：
50
Ｂ F2 θ O F1 C
Ａ
回顾与感悟
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
（二）方法的提炼 （1）向量加法的两个法则在物理中的运用。求物理 中的合速度、合位移、合力，可用向量的加法法来 解决它。在解的过程中不但要求出它的大小，而且 还要求出它们的方向。 （2）对于变式（1）不用向量加法的平行四边形法 则，那能否解决呢？
从位移的合成到向量的加法
一、教学目标： 1.知识与技能： （1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法 则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准 确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运 用它们进行向量计算. （2）通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其 几何意义. （3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
分层作业
（1）课本P79 第 2、3题
（2）思考题：变式（1）放在三角形中如何求解？
在Rt△ ADC中, ADC 90, | DC | 60 n mile， 所以 | AC | | AD |2 | DC |2 (20 3 ) 2 602 40 3 n mile ∵| AC | 2 | AD | CAD 60。
A 30 D B 东 北 C
例3 在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度为 2 3 3 km/h,河水流动的速度v2=2.0km/h v 1= 2 求小船过河实际航行速度的大小和方向.
A1
Ａ０Ａ１＋Ａ１Ａ２＋．．．＋Ａn-1Ａn＝ Ａ１Ａn
概念的形成 多边形法则：n个向量的和等于折线起点到终点的 向量
学以致用
（1） P77练习题第4 题
（2）变式 ：求 AB DF CD BC FA =0 思维方法归纳： 多个向量的和可以任意的组合
知识拓展与应用
例１轮船从Ａ港沿东偏北 30°方向行驶了40海 里到达B处,再由B处沿正北方向行驶40海里到达 C处.求此时轮船与A港的相对位置. 北
D
A
B
例3 在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度为 v 1= km/h,河水流动的速度v2=2.0km/h 求小船过河实际航行速度的大小和方向.
23
变式（1）：若要使小船沿垂直河岸方向到达对岸 码头的实际速度的大小为了 2 3 km/h, 问：小船行驶的速度的大小和方向又该如何？
例题改编（2）：若小船在行驶过程中受到垂直河岸 方向的牵引力为40N，水流的冲击力为30N，求小 船在行驶中受到的合力。（学生练习） 思维方法提炼： 求物理中的合速度、合位移、合力，可用向量的 加法法来解决它。在解的过程中不但要求出它的 大小，而且还要求出它们的方向。
(a+b)+c=a+(b+c)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a b b a,
(a b) c a (b c)
探究4：能否将它推广至多个向量的求和？
A3 A2 A1
A1A2+A2A3=
A1A3 _______
A2
A3
A1A4 A1A2+A2A3+A3A4=_______ A4
作法： 作 AB= a, AD =b,以AB，AD为邻边 作平行四边形，则对角线向量 AC = a + b 。
A
b
D
这叫做向量加法的平行四边形法则。 讨论：作图关键点 平移为同一起点 及时反馈：P76练习第2题
探究3：数的加法满足交换律与结合律，即对任意
b∈R，有a+b=b+a， 任意向量
a，
a, b
上海
飞往台湾的位移是相同的吗？ 台 湾
香港 这时我们就把后面这样一次上海至台湾 的位移叫做前面两次位移的合位移.
情景：在大型车间里,
一重物被天车从A处搬运到B处.
D B
怎么来认识实际位移AB？
它的实际位移AB,可以看作水平运动 的分位移AC与竖直向上运动的分位
A C
移AD的合位移.
由分位移求合位移,称为位移的合成
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找 出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究讨论法. 四.教学设想
问题情景导
入 一条湍急的河流中一轮船以垂直对岸方向行驶，
某游客自言自语：轮船怎么到达对岸的下游？ 他百思不得其解！ V水
上海
台北
香港
实例分析
飞机从上海飞往香港,再从香港飞往台 湾,这两次位移的结果与飞机直接从上海
解：如图，设 AD表示船向 垂直于对岸行驶的速度 AB表示水流的速度， 以AD、AB为邻边作平行四边形 ABCD，则 AC就是船实际航行的速度。
在Rt△ ABC中 | AB | 2， | BC | 2 3 | AC | | AB |2 | BC |2 4 ∵ tanCAB 3 CAB 60。
已知向量a , b, 求作向量 a+ b
a
b
a
b
类比前面的上 海至台湾的飞 机位移的合成
B
a
b
C
A.
作法：[1]在平面内任取一点A
a+ b
[2]作AB= a , BC= b
[3]则向量AC叫 作向量a 与 b 的 和，记作a ＋ b。
→
→
这种作法叫做三角形法则 讨论：作图关键点在哪？
首尾顺次相连
问：当向量a ,b是共线向量时,a + b又如何
由上节课的学习我们知道位移是向量，因此位移合成就 是向量的加法，那什么叫向量加法呢？它又符合哪些规 律呢？这就是我们今天要探究的内容-------§2从位移的合成到向量的加法 向量的加法（板书）
合作探究新知
求两个向量和的运算叫向量的加法。
探究1：
既然向量的加法义可以类比位移的合成想一想，作 两个向量的和是否也可以类比前面位移的合成呢？
作出来?
(1)同向
(2)反向
a a
b
A B
b
C
B C A
AC = a + b AC = a + b （3）规定： a + 0 = 0 + a = a
学以致用：P76练习第1题
探究2：作两向量的加法还有没有其它的方法呢？ B C 类比天车从A处到 a B处的合位移为水 平运动的分位移 a a+b
b
AC与竖直向上运 动的分位移AD.
B
30 A
D
东
解：如图，设AB、 BC分别表示轮船的两次位 移， 则 AC表示 轮船的合位移 ，AC AB BC。
在Rt△ ADB中, ADB 90, ADB 30, | AB | 40 n mile， 所以 | DB | 20 n mile，| AD | 20 3 n mile
一、教学目标：
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引
出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去
探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背
景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向
量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，
培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
一、教学目标：
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学
们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了
一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的
思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，
这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实
事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重难点 ：向量加法的概念和向量加法的法则
及运算律.
三.学法与教法
学法：
Байду номын сангаас
(1)自主性学习+探究式学习法：
50
Ｂ F2 θ O F1 C
Ａ
回顾与感悟
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
（二）方法的提炼 （1）向量加法的两个法则在物理中的运用。求物理 中的合速度、合位移、合力，可用向量的加法法来 解决它。在解的过程中不但要求出它的大小，而且 还要求出它们的方向。 （2）对于变式（1）不用向量加法的平行四边形法 则，那能否解决呢？
从位移的合成到向量的加法
一、教学目标： 1.知识与技能： （1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法 则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准 确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运 用它们进行向量计算. （2）通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其 几何意义. （3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
分层作业
（1）课本P79 第 2、3题
（2）思考题：变式（1）放在三角形中如何求解？
在Rt△ ADC中, ADC 90, | DC | 60 n mile， 所以 | AC | | AD |2 | DC |2 (20 3 ) 2 602 40 3 n mile ∵| AC | 2 | AD | CAD 60。
A 30 D B 东 北 C
例3 在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度为 2 3 3 km/h,河水流动的速度v2=2.0km/h v 1= 2 求小船过河实际航行速度的大小和方向.
A1
Ａ０Ａ１＋Ａ１Ａ２＋．．．＋Ａn-1Ａn＝ Ａ１Ａn
概念的形成 多边形法则：n个向量的和等于折线起点到终点的 向量
学以致用
（1） P77练习题第4 题
（2）变式 ：求 AB DF CD BC FA =0 思维方法归纳： 多个向量的和可以任意的组合
知识拓展与应用
例１轮船从Ａ港沿东偏北 30°方向行驶了40海 里到达B处,再由B处沿正北方向行驶40海里到达 C处.求此时轮船与A港的相对位置. 北
D
A
B
例3 在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度为 v 1= km/h,河水流动的速度v2=2.0km/h 求小船过河实际航行速度的大小和方向.
23
变式（1）：若要使小船沿垂直河岸方向到达对岸 码头的实际速度的大小为了 2 3 km/h, 问：小船行驶的速度的大小和方向又该如何？
例题改编（2）：若小船在行驶过程中受到垂直河岸 方向的牵引力为40N，水流的冲击力为30N，求小 船在行驶中受到的合力。（学生练习） 思维方法提炼： 求物理中的合速度、合位移、合力，可用向量的 加法法来解决它。在解的过程中不但要求出它的 大小，而且还要求出它们的方向。
(a+b)+c=a+(b+c)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a b b a,
(a b) c a (b c)
探究4：能否将它推广至多个向量的求和？
A3 A2 A1
A1A2+A2A3=
A1A3 _______
A2
A3
A1A4 A1A2+A2A3+A3A4=_______ A4
作法： 作 AB= a, AD =b,以AB，AD为邻边 作平行四边形，则对角线向量 AC = a + b 。
A
b
D
这叫做向量加法的平行四边形法则。 讨论：作图关键点 平移为同一起点 及时反馈：P76练习第2题
探究3：数的加法满足交换律与结合律，即对任意
b∈R，有a+b=b+a， 任意向量
a，
a, b
上海
飞往台湾的位移是相同的吗？ 台 湾
香港 这时我们就把后面这样一次上海至台湾 的位移叫做前面两次位移的合位移.
情景：在大型车间里,
一重物被天车从A处搬运到B处.
D B
怎么来认识实际位移AB？
它的实际位移AB,可以看作水平运动 的分位移AC与竖直向上运动的分位
A C
移AD的合位移.
由分位移求合位移,称为位移的合成
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找 出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究讨论法. 四.教学设想
问题情景导
入 一条湍急的河流中一轮船以垂直对岸方向行驶，
某游客自言自语：轮船怎么到达对岸的下游？ 他百思不得其解！ V水
上海
台北
香港
实例分析
飞机从上海飞往香港,再从香港飞往台 湾,这两次位移的结果与飞机直接从上海
解：如图，设 AD表示船向 垂直于对岸行驶的速度 AB表示水流的速度， 以AD、AB为邻边作平行四边形 ABCD，则 AC就是船实际航行的速度。
在Rt△ ABC中 | AB | 2， | BC | 2 3 | AC | | AB |2 | BC |2 4 ∵ tanCAB 3 CAB 60。
已知向量a , b, 求作向量 a+ b
a
b
a
b
类比前面的上 海至台湾的飞 机位移的合成
B
a
b
C
A.
作法：[1]在平面内任取一点A
a+ b
[2]作AB= a , BC= b
[3]则向量AC叫 作向量a 与 b 的 和，记作a ＋ b。
→
→
这种作法叫做三角形法则 讨论：作图关键点在哪？
首尾顺次相连
问：当向量a ,b是共线向量时,a + b又如何
由上节课的学习我们知道位移是向量，因此位移合成就 是向量的加法，那什么叫向量加法呢？它又符合哪些规 律呢？这就是我们今天要探究的内容-------§2从位移的合成到向量的加法 向量的加法（板书）
合作探究新知
求两个向量和的运算叫向量的加法。
探究1：
既然向量的加法义可以类比位移的合成想一想，作 两个向量的和是否也可以类比前面位移的合成呢？
作出来?
(1)同向
(2)反向
a a
b
A B
b
C
B C A
AC = a + b AC = a + b （3）规定： a + 0 = 0 + a = a
学以致用：P76练习第1题
探究2：作两向量的加法还有没有其它的方法呢？ B C 类比天车从A处到 a B处的合位移为水 平运动的分位移 a a+b
b
AC与竖直向上运 动的分位移AD.