2015函数与定积分的应用

高中数学讲座 导数及定积分

【热身训练】 1．

5

(24)x dx -⎰

= （ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2 2．下列等于1的积分是

（ ）

A ．

dx x ⎰

1

B ．dx x ⎰+1

)1(

C ．dx ⎰

1

1

D ．dx ⎰1

021

3．dx x |4|1

02

⎰

-=

（ ）

A ．321

B ．322

C ．3

23 D ．325

4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ）

A ．3

2

0gt B ．2

0gt

C ．2

2

0gt

D ．6

2

0gt

5．曲线]2

3,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）

A ．4

B ．2

C ．2

5

D ．3 6．dx e e x x ⎰

-+1

)(=

（ ）

A ．e

e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1-

7.已知某物体的运动方程是2

19

s t t =+，则当3t s =时的瞬时速度是（ ）

A. 53

B. 13

C. 2

3

D. 1

8．曲线x

y e =在点（2，2e ）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

A.2

94

e B.2

2e

C. 2

e

D.22

e 9．与直线0162=+-y x 垂直，且与曲线13)(2

3

-+=x x x f 相切的直线方程是（ ）

A ．023=++y x

B ．023=+-y x

C ．023=++y x

D ．023=--y x 10．设函数x x x f ln )(=，若2)('0=x f ，则=0x （ ）

A ．2

e

B ．e

C ．

2

2

ln D ．2ln

11．若1

1(2)3ln2a

x dx x

+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为

（

）

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

12．（2015市三月考）已知关于x 的函数a x x x f --=2

3

3)(在[2

1

-

，4]上有三个不同的零点， 则实数a 的取值范围是（ ）

A ．（－4，0）

B ．（－4，+∞）

C ．[8

7-

，0） D ．[87

-，6）

【知识解读】

1．定积分几何意义的应用：

定积分的几何意义是曲边梯形的面积，其应用可以是用图形面积表示定积分，或者利用几何意义求定积分。画出被积函数的图像，准确确定积分区间，正确利用几何知识求面积。对于不规则的图形，可以进行分割。 2. 定积分的性质：（1）()()b

b

a

a

k f x dx k f x dx =⎰

⎰；

（2）

1

212[()()]()()b

b b a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰

⎰；

（3）()()()b c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰。 3．微积分基本定理：

如果函数()f x 是区间[a ，b ]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()b

a

f x dx =⎰

_________。

4．求定积分

()b

a

f x dx ⎰

时，可按以下两步进行：

（1）求()f x 的一个原函数，即使'()()F x f x =成立的()F x ；（2）计算()()F b F a -。

5．变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数()v v t =（()0v t ≥） 在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()b

a

s v t dt =

⎰

。

6．变力做功：如果物体在变力()F x 的作用下作直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动 到x b =（a b <），那么变力()F x 所做的功()b

a W F x dx =⎰。

【例题示范】

〖例1〗（1）由抛物线x y =2和直线x =1所围成的图形的面积等于（ ）

A ．1

B ．

3

4

C ．

32 D ．

31 （2）如图，阴影部分的面积是（ ）

A ．32

B ．329-

C ．

3

32 D ．

3

35 〖例2〗已知函数c bx ax x x f +++=23)(，412)(-=x x g 。

若0)1(=-f ，且)(x f 的图象在点（1，)1(f ）处的切线方程为)(x g y =。 （1）求实数a ，b ，c 的值；（2）求函数)()()(x g x f x h -=的单调区间。 〖例3〗（2015平中月考）已知函数a x x x x f -+-

=62

9)(2

3

。 （1）对于任意实数x ，m x f ≥)('恒成立，求实数m 的最大值； （2）若方程0)(=x f 有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围。

〖例4〗（2015市三月考）已知函数()ln f x x =，()()'()g x f x f x =+。

（1）求函数()g x 的单调区间和最小值； （2）求a 的取值范围，使得1

()()g a g x a

-<

对任意0x >成立。 例1（2）