广东省深圳市高三第二次模拟考试数学(文科)试题

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2020-2021学年广东省高三第二次高考模拟数学(文)试题及答案解析

绝密★启用前广东省高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数2(1)z i i =-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）4i（B ）4i - （C ）4（D ）4-（2）已知集合2{|{|ln(2)}A x y B x y x x ====-，则A B =I（A ）(2,)+∞ （B ）[1,2) （C ）(0,2)（D ）[1,2]（3）已知向量(0,1),(a b c k ==-=r r r，若（2a b -r r ）与c r 互相垂直，则k的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3（4）已知命题:,cos sin p x R x x ∃∈>，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题（B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题（D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60o，则该双曲线的离心率为（A（B ）43（C或2 （D ）4 （6）已知函数2,(1)()(1),(1)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则2(log 9)f 的值为（A ）9 （B ）92 （C ）94（D ）98（7）已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且124111,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（A ）2(1)4n + （B ）(3)4n n +（C ）(1)2n n + （D ）212n + （8）函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是（9）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足条件30,230,.x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（A ）2-（B ）1- （C ）1（D ）3（10）圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为（A ）1 cm（B ）2cm （C ）3cm（D ）4cm（11）某组合体的三视图如图2示，则该组合体的表面积为(A)(622)12π++ (B) 8(1)π+ (C)4(21)π+(D)(122)π+（12）已知P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为图2 （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________．(14)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (15)已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 .(16) 已知梯形ABCD 中，AD//BC ，90ABC ∠=o,AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则||PC PD +u u u r u u u r的最小值为 .图3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.bkg0.0.ABCD （17）（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=o，且152AB AC ⋅=-u u u r u u u r.(Ⅰ)求△ABC 的面积；(Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4（18）（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为图5年产量低于450 kg 时，单位售价为12元/ kg ，当年产量不低于 450 kg 时，单位售价为10元/ kg. （Ⅰ）求图中a 、b 的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率.（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o，AB=PC=2，2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求点D 到平面APC 的距离.图6（20）（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:1C x y =+有公共弦AB （A 在B左边），AB=2，2C 的顶点是1C 的一个焦点，过点B 且斜率为k (0)k ≠的直线l 与1C 、2C 分别交于点M 、N （均异于点A 、B ）．（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知函数ln(1)()2x f x x -=-（2x >）．(Ⅰ) 判断函数()f x 的单调性；(Ⅱ)若存在实数a ，使得()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲OP‘AB D CE图75如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC=2，BD=4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC=3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）(24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ)求|()|2f x ≤的解集．数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：解析：（7）由142a a a =，得公差d=1，n a n =；故选C.（10）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. （11）该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：211112222242422222πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯2484(612πππ=++++=++.(12)PACB S PA AC PA =⋅=四边形=，可知当||CP 最小时，即CP l ⊥ 2=得min ||CP =由点到直线的距离公式得：min ||CP ==0k >，所以2k =.二、填空题：解析：（15）依题意知函数()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++，AB CDE201611111122320162017S =-+-++-L 12016120172017=-=．（16）如图以PC 、PD 为邻边作平行四边形PCQD ，则PC PD PQ +=u u u r u u u r u u u r 2PE =u u u r，要||PQ uuu r 取最小值，只需||PE u u u r取最小值，因E 为CD 的中点，故当PE AB ⊥时，||PE u u u r取最小值，这时PE 为梯形的中位线，即min 13||(||||)22PE BC AD =+=u u u r ,故min ||3PQ =u u u r.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,----2分即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 1522ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯=.-------5分(Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分 ∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=o,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得5sin 2sin 7AB BACACD BC⨯∠∠===----------------------------------------9分∵090ACD <∠<oo∴11cos 14ACD ∠==，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.------------------------------------------------------12分】【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.-------------------------------------------------------12分】（18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，-------------------------------------------------2分由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------4分解得0.0010a =，0.0035b =；----------------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，当年产量为300kg 时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg 时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg 时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg 时，其年销售额为6000元，-------------------------8分因为年产量为400kg 的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分而年产量为500kg 的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分(19)解：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结PO 、CO ，----1分由2，AB=2知△PAB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO=1，------------------------------------------------------------------2分又AB=BC=2，60ABC ∠=o 知△ABC 为等边三角形，∴3CO =分又由2PC =得222PO CO PC +=, ∴PO ⊥CO ，-----------4分 ∴PO ⊥平面ABC ，-------------------------------------------5分又∵PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD -----------------------6分（Ⅱ）设点D 到平面APC 的距离为h ，由(Ⅰ)知△ADC 是边长为2的等边三角形，△PAC 为等腰三角形，由D PAC P ADC V V --=得1133PAC ADC S h S PO ∆∆⋅=⋅---------------------------------------------8分 ∵23234ADC S ∆==，22117()22PAC S PA PC PA ∆=-=,---------------------10分 ∴ADC PAC S PO h S ∆∆⋅=3221772==，即点D 到平面APC 的距离为221.-------12分（20）解：（Ⅰ）∵抛物线21y x =-的顶点为(0,1)-，即椭圆的下焦点为(0,1)-，∴1c =，----------------------------------------------------------------------------------------1分由AB=2知1B x =，代入抛物线得(1,0)B ，得1b =，----------------------2分∴222a b c =+=2，1C 的方程为2212y x +=；---------------------------4分（Ⅱ）依题意知直线l 的方程为(1)y k x =-，-------------------------------5分联立2212y x +=消去y 得：2222(2)220k x k x k +-+-=，则2222M B k x x k -⋅=+，得2222M k x k -=+，242M k y k -=+，-------------------------7分由{2(1)1y k x x y =-=+，得210x kx k -+-=，由224(1)(2)0k k k ∆=--=->，得2k ≠，则1N B x x k ⋅=-，得1N x k =-，(2)N y k k =-，----------------------------9分∵点A 在以MN 为直径的圆外，即,AM AN <>u u u u r u u u r [0,)2π∈，----------------------10分∴0AM AN ⋅>u u u u r u u u r ，又(1,0)A -，∴(1,)(1,)M M N N AM AN x y x y ⋅=+⋅+u u u u r u u u r 22224(2)222k k k k k k --=⋅+++222(4)02k k k -=>+，解得4k <，综上知(,0)(0,2)(2,4)k ∈-∞U U .-----------------------------12分（21）解：(Ⅰ) 解法1：22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-2(2)(1)ln(1)(1)(2)x x x x x ----=--， -----------2分记()(2)(1)ln(1)g x x x x =----（2x >），'()ln(1)0g x x =--<，----------3分即()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=从而'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.----------------------------5分【解法2：依题意得22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-， --------------------------------------------2分记2()ln(1)1x g x x x -=---（2x ≥）则211'()(1)1g x x x =---22(1)xx -=-，---------------------------------------------------------3分∵2x > ∴'()0g x <，即函数()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=，从而得'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.--------------------------------------------------5分】(Ⅱ) 解法1：()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立，-------------------------------------6分由ln(1)y x =-得1'1y x =-，由此可得函数ln(1)y x =-的图象在点（2,0）处的切线为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------7分（1）当1a <时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-与函数ln(1)y x =-的图象相交，不合题意；---9分（2）当1a ≥时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-在函数ln(1)y x =-的图象的上方，符合题意---------------11分综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞.------------------------------12分【解法2： ()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立---------------------------------------5分记()ln(1)(2)h x x a x =---，则1'()1h x a x =--11a ax x +-=-1()1a a x x a-+=---------6分 (2)0h =，令'()0h x =得1a x a +=， 1201a a a +>⇔<<，（1）当0a ≤时，对(2,)x ∀∈+∞，'()0h x >，即函数()h x 在(2,)+∞单调递增，故()(2)0h x h >=，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；---------------------------8分（2）当01a <<时，对1(2,)a x a +∀∈，'()0h x >，此时函数()h x 在1(2,)a a+上为增函数，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；-----10分（3）当1a ≥时，对(2,)x ∀∈+∞，有'()0h x <，函数()h x 在(2,)+∞单调递减，因此ln(1)(2)(2)0x a x h ---<=，符合题意；综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞．------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分得AB BC BD AB =，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，AB =---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分于是得x =±，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C的参数方程为2.x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩（t为参数）和2.x y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos )4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<----------------9分当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP 面积取得最大值，其值为分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+，---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a=1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-，∴a=1；----------------------------------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集----6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|0<x ≤1}，B ={x|x 2<1}，则(∁R A)∩B =( )A. (0,1)B. [0,1]C. (−1,1]D. (−1,0]2. 若复数(x 2−1)+(x −1)i 对应的点在虚轴上，则实数x 的值为( )A. −1或1B. 0C. 1D. −13. 已知点(−3,−1)和点(4,−6)在直线3x −2y −a =0的两侧，则a 的取值范围为( )A. (−24,7)B. (−7,24)C. (−∞,−7)∪(24,+∞)D. (−∞,−24)∪(7,+∞)4. 已知函数f(x)={(1−2a)x ,x ≤1log a x +13,x >1，当x 1≠x 2时，f(x1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则a 的取值范围是()A. (0,13]B. [13,12] C. (0,12] D. [14,13]5. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示：分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)频数 2 3 4 5 4 2则样本数据落在[20,50)的频率为( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.756. 如图，在ΔABC 中，，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. √3B. √32C. √33 D. 2√37. cos50°cos20°+sin130°sin20°的值为( )A. 12B. 13C. √32D. √338.已知抛物线y2=4x，直线x+2y−1=0与该抛物线交于A，B两点，则弦AB的长为()A. 24B. 20C. 16D. 129.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在棱CC1上，且CE=2EC1，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. √72B. √52C. √132D. √13310.已知ω>0，|φ|<π2，若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. y=g(x)是奇函数B. y=g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π11.已知函数y=f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2−3x+1，则f(3)=()A. 17B. −17C. 19D. −1912.设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=60°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=ax3+2x−1在点(1,f(1))处的切线过点(3,4)，则a=______．14.已知数列{a n}的前n项积为T n=5n2，n∈N∗，则a2009=____。

2020届广东省深圳市高三二模数学(文)试题(含解析)

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}2.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（） A.12B.2C. 1D.3.已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c4.设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 最大值为（）A. ﹣3B. 1C. 2D. 35.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（） A. 3B. 2C. 1D. 06.已知双曲线()2222:10, 0a yx C a b b =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=7.执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（）A. 5B. 4C. 3D. 28.函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象所有交点的横坐标之和等于（） A. 2B. 4C. 6D. 89.已知正方体六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（） A.12B.13C.16D.11210.函数f （x ）()142xxsinx -=的部分图象大致为（）A. B.C. D.11.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A ,B ,C ,D 是其中四个圆的圆心,则AB u u u r •CD =u u ur （）A. 32B. 28C. 26D. 2412.在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（） A .23B.39C.16327D.323二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，则角C ＝_____.15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.16.已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN V 的周长为6，则FAN V 的面积为_____.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++L ，求n T .18.为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n⎤=⋅-+-++-⎦L ，参考数据：2340≈48.19.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ；（2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=u u u r u u u r，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程；（2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值.21.已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）.（1）讨论g （x ）单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程.选修4－5：不等式选讲23.已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥；（2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c++）≥3.2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}【答案】A 【解析】【分析】直接进行交集的运算即可.【详解】∵A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，∴A ∩B ＝{1，3}. 故选：A.【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题. 2.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（）A.12B.2C. 1D.【答案】B 【解析】【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可. 【详解】解：∵z 211(1)2i ii i++==--,∴|z |＝|12ii+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题. 3.已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】【分析】容易得出22ln 2201log 0212e e<><<，，，从而可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】∵ln 20ln 12e <=<=，222log log 10e<=，20221e =＞，∴b ＜a ＜c .故选：D.【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.4.设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 的最大值为（）A. ﹣3B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ﹣y 表示直线在y 轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z ＝2x ﹣y 过点A 时，目标函数z ＝2x ﹣y 的纵截距最小，此时z 取得最大值，由13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （2，1）时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值3.故选：D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，画出图像是解题的关键. 5.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可.【详解】若//m α，//n α，则m 与n 可以平行、相交、异面，故①错误；若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ，故②正确；若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m 与n 可以平行、相交、异面，故③错误；若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n 与β可以平行、相交或n β⊂，故④错误所以正确的命题个数是1 故选：C【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，属于基础题.6.已知双曲线()2222:10, 0a y x C a b b =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=【答案】A 【解析】【分析】由12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F =可得18PF =，26PF =，然后根据双曲线的定义求出a ，然后再根据222b c a =-求出b 即可．【详解】如图，因为12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F = 所以可得18PF =，26PF =根据双曲线的定义可得1222a PF PF -==，即1a = 所以22225124b c a =-=-=所以C 的方程为22124y x -=故选：A【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，较简单．7.执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1S11 133 ==⨯，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S11113352=+=⨯⨯（1111335-+-）25=，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S11111335572=++=⨯⨯⨯（11111133557-+-+-）37=，此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.8.函数f（x）＝x2﹣2x+1的图象与函数g（x）＝3cosπx的图象所有交点的横坐标之和等于（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数的图象和性质的应用和二次函数性质的应用在同一坐标系内画出函数的图象，进一步利用对称性的应用求出结果.【详解】函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象在同一坐标系内的位置和交点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），由于f （x ）＝（x ﹣1）2，的对称轴为x ＝1，函数的图象与x 轴相切，函数g （x ）的图象的最小正周期为T 22ππ==，函数的图象关于y 轴对称，如图所示：所以1412x x +=，2312x x +=，则：x 1+x 2+x 3+x 4＝4，故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9.已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（） A.12B.13C.16D.112【答案】C 【解析】【分析】设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成,一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22,求出正四棱锥的体积,得到正八面体的体积,得到比值.【详解】解：设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成, 以上面一个正四棱锥为例,它的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22,∴这个正四棱锥的体积是12211 3212⨯⨯⨯=；∴构成的八面体的体积是211 126⨯=；∴八面体的体积是V1,正方体体积是V2,V1：V2＝1：6故从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为：16；故选：C【点睛】本题考查组合几何体的体积,面积,考查棱锥,正方体的体积以及立体类的几何概型问题.属于基础题.10.函数f（x）()142xxsinx-=的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断.【详解】因为f（﹣x）()()()() 144114222------==-==x x xx x xsin x sinx sinxf（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项A，C，又f（2）()2214215sin224-==-sin，因为22ππ<<，所以sin20>，所以f（2）＜0，排除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.11.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则ABu u u r•CD=u u u r（）A. 32B. 28C. 26D. 24【答案】C【解析】【分析】建立以,a br r为一组基底的基向量,其中1a b==rr且,a br r的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量ABu u u r和CDuuu r均可以用a brr，表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.【详解】解：如图所示,建立以,a br r为一组基底的基向量,其中1a b==rr且,a br r的夹角为60°,∴24AB a b=+u u u r rr,42CD a b=+u u u r rr,∴()()22124428820882011262AB CD a b a b a b a b =+⋅+=++⋅=++⨯⨯⨯⋅=u u u r u u u r r r r rr r r r .故选：C.【点睛】本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题.12.在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（）A.3B.9C.27D.【答案】D 【解析】【分析】取PB 中点M ，连结CM ，得到AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，则CM ⊥PB ，求出V A ﹣PBC 23x =，设t =，（0＜t ＜2），从而V A ﹣PBC 3823t t -=，（0＜t ＜2），利用导数求出三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值.【详解】解：如图，取PB 中点M ，连结CM ，∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，∵PC ＝BC ＝2，PB ＝2x ，（0＜x ＜2），M 为PB 的中点，∴CM ⊥PB ，CM解得122PBC S x =⨯=V所以V A ﹣PBC (123x =⨯⨯=，设t =，（0＜t ＜2），则x 2＝4﹣t 2， ∴V A ﹣PBC ()23248233t t t t--==，（0＜t ＜2），关于t 求导，得()2863t V t -'=，所以函数在2(0,3)3单调递增，在2(3,)3+∞单调递减.所以当t23=时，（V A﹣PBC）max323=.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.【答案】1 2【解析】【分析】根据基本事件总数,与甲被选中包含的基本事件求解概率即可.【详解】解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援, 基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个.甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个,∴甲被选中的概率为p31 62 ==.故答案为：1 2 .【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为2224b c a+-，sin sin2A Cb C c+=，则角C＝_____.【答案】512π 【解析】【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求A ，然后结合二倍角公式化简可求B ，再结合三角形的内角和定理即可求解.【详解】解：由题意2224b c a S +-=，又222cos 2b c a A bc +-=，所以11sin 2cos 24bc A bc A =⨯即tan 1A =，因为A 为三角形内角，故A 4π=，又sin sinsin cos 2222A B C B b C c c c π+⎛⎫==-= ⎪⎝⎭由正弦定理可得，sin sin sin cos 2BB C C =，因为sin 0C ≠，所以sin cos2sin cos 222B B B B ==，因为cos02B≠，所以1sin22B =，又022B π<<612B π∴=，即3B π=，53412C ππππ∴=--=. 故答案为：512π. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题.15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____. 【答案】27n ⨯ 【解析】【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯.【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.16.已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN V 的周长为6，则FAN V 的面积为_____.【解析】【分析】画出图形，由条件可得出b a =b =，然后可得出M 为椭圆的右焦点，然后由椭圆的定义可得226ac +=，从而可算出,,a b c 的值，然后利用()1325FAN S FM b b ⎡⎤=⋅⋅--⎢⎥⎣⎦V 算出答案即可.【详解】如图所示，由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为3y x b =-，把35y b =代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵N 在直线MN 上，∴34355b a b =-，解得32b a =. 又222a b c =+，∴222)3b c =+，解得3b c =，令3y x b =-=0，则3M ⎫⎪⎭，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =，由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∵FMN V 的周长为6，∴226a c +=， ∵3b a =2a c =，∴1,2,3c a b == ∴()13883255FAN S FM b b c b ⎡⎤=⋅⋅--=⋅=⎢⎥⎣⎦V 83【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++L ，求n T . 【答案】(1)922nn a -=；(2)22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，【解析】【分析】(1)本题可设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设条件列出q 与首项1a 的方程组，解出q 和1a ，即可求得通项公式；(2)先由(1)中求得的n a 求出n b ，再求n b ，最后通过等差数列前n 项和公式即可求得n T . 【详解】(1)设各项都为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为232a =，3458a a a =，所以213333454132()8a a q a a a a a q ==⎧⎨===⎩，解得712a =，14q =，所以()922nn n a N -*=∈，(2)由(1)知，2922log log 292n n nb a n -===-，故9214294n n n b n n -≤≤⎧=⎨-⎩，，＞，当14n ≤≤时，279282n nT n n n +-=?-；当4n >时，()()2129753148322n n T n n n ++=++++?=-+，故22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前n 项和公式、对数运算等知识点，等差数列的前n 项和公式为12n na n S a +=⨯，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题. 18.为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n ⎤=⋅-+-++-⎦L 2340≈48.【答案】（1）甲药的治愈率更高；（2）甲药的疗效更好，理由见解析；（3）应该对该患者进行进一步检查【解析】【分析】（1）结合条形等高图即可直接判断；（2）从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断；（3）分别求出x ，s ，然后代入公式即可求解，作出判断即可.【详解】（1）甲药的治愈率更高;（2）甲药的疗效更好，理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为456810101112122210x +++++++++==10， s 36251640014414423.410+++++++++==≈4.8，则x -3s ≈﹣4.4，3x s +≈24.3，而26＞24.4，应该对该患者进行进一步检查.【点评】本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据分析，数学核心素养.19.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ；（2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离.【答案】（1）见解析；（22【解析】【分析】（1）推导出AA 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥CM ，CM ⊥AB ，从而CM ⊥平面ABB 1A 1，进而CM ⊥B 1N ，推导出△A 1B 1N ∽△ANM ，从而∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，进而B 1N ⊥MN ，B 1N ⊥平面CMN ，由此能证明平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）求出点B 1到平面CMN 的距离为h 16=N 到平面B 1CM 的距离为h 2，由111213B CMN N B CM B CM V V S h --==⨯⨯V ，能求出点N 到平面B 1MC 的距离. 【详解】（1）证明：∵直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥平面ABCD ，∵CM ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CM ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，M 是AB 的中点，∴CM ⊥AB ，∵AA 1∩AB ＝A ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥平面ABB 1A 1，∵B 1N ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥B 1N ，∵M 是AB 中点，N 为AA 1中点，AA1=，∴11112A B AB AN AA ==111212AA A N AM AB ==， ∵∠B 1A 1N ＝∠NAM ＝90°，∴△A 1B 1N ∽△ANM ，∴∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，∴∠A 1NB 1+∠ANM ＝90°，∴B 1N ⊥MN ，∵MN ∩CM ＝M ，∴B 1N ⊥平面CMN ，∵B 1N ⊂平面B 1NC ，∴平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）∵在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA1=，AB ＝2，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点. ∴MN ==B 1M ==3，B 1C == B 1N == ∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴CM =CN = 由（1）知B 1N ⊥平面CMN ，设点B 1到平面CMN 的距离为h 1，h1=∵CN 2＝MN 2+CM 2，∴1322CMN S ==V ，∴1113B CMN CMN V S h -=⨯⨯=V ∵B 1M ＝3，1BC CN ==，∴1132B CM S ==V ，设N 到平面B 1CM 的距离为h 2，∵111213B CMN N B CM B CM V V S h --==⨯⨯V ， ∴213363h ⨯⨯=，解得h 22=.∴点N 到平面B 1MC 的距离为2.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程；（2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）442+.【解析】【分析】（1）根据点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，再由 ()1,0F ，0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，得到a ，b 的关系式，然后由A 关于点B 的对称点为M ，得到0,22x a y b +==，利用代入法化简求解.（2）由抛物线与直线()3x t t =>相交，设((,,,P t t Q t t -，根据,P Q 关于x 轴对称，得到过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，由EG EP =，运用两点间的距离公式求得圆的方程，令2y =-，得到圆E 在直线2y =-上截得的弦长，再结合基本不等式求最小值.【详解】（1）因为点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，所以设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，因为 ()1,0F ，0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，所以()()2,1,0-⋅-=--=*a b b a b ，因为A 关于点B 的对称点为M ，所以0,22x a y b +==，即 ,2y a x b =-=，代入*式得24y x =，所以曲线C 的方程是24y x =.（2）由（1）知抛物线的方程为24y x =，直线()3x t t =>与抛物线方程联立解得，y =±设((,,,P t Q t -，因为,P Q 关于x 轴对称，所以过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，所以EG EP == 解得241326t t m t +-=-，所以圆E 的方程为()()22234x m y m -+=-+，令2y =-，的1223,3x m x =-=，所以圆E 在直线2y =-上截得的弦长为221241325233633t t t t x x m t t +--+-=--=-=--，因为()2230,25140t t t t ->-+=-+>，所以2122583433t t x x t t t -+-==-++--，44≥=+当且仅当833t t -=-，即3t =+时，取等号，所以当3t =+时，圆E 在直线2y =-上截得的弦长的最小值为4+. 【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长问题以及基本不等式的应用，还考查了逻辑推理、运算求解的能力，属于难题.21.已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）. （1）讨论g （x ）的单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在,4a =【解析】【分析】（1）先对函数求导,然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；（2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,构造函数u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,结合函数的性质及导数即可求解.【详解】解：（1）()'2a x g x x-=,x ＞0, （i ）当a ≤0时,g ′（x ）＜0,函数在（0,+∞）上单调递减,（ii ）当a ＞0时,令()'0g x >得102x a <<，令()'0g x <，得12x a >，所以函数g （x ）在（0,12a ）上单调递增,在（12a +∞，）上单调递减, （2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即32xxe alnx x e-≥-恒成立, 即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,令u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,则u （1）＝0,要使得原不等式成立,则u （x ）在x ＝1处取得极小值,因为()()'12x x xe ex ae u x x++-=, 所以u ′（1）＝0可得a ＝4,检验a ＝4时,u ′（x ）()124x x x e ex ex ++-=,设v （x ）＝x （x +1）e x +2ex ﹣4e ,且v （1）＝0,显然v （x ）在（0,+∞）上单调递增,当x ∈（0,1）时,v （x ）＜0,即u ′（x ）＜0,u （x ）单调递减,当x ∈（1,+∞）时,v （x ）＞0,即u ′（x ）＞0,u （x ）单调递增,故u （x ）的最小值u （1）＝0,满足题意,综上，a ＝4.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用,用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立为载体,综合考查分类讨论及转化思想的应用.属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程. 【答案】（1）()2,M cos sin ϕϕ，2214x y +=；（2）230x ++= 【解析】。

2020年广东深圳高三二模数学试卷(文科)

，
∴
，
∴
．
15. 解析: 在
中，
11
若
，
则
，
．
16. 解析: 设圆锥底面半径为，圆锥高为，
显然有：又 ∴
∴
，，
，
，
，
，
令
，
∴
，
∴
或
，
又
，
12
∴
，
，
故
时，
体积取最小值为
．
故答案为：
．
17.（ 1 ）证明见解析．（2）
解析: （ 1 ）∵
∴
．
，，
∴
，
又
，
∴
，
∴数列
是以为首项，为公比的等比数列．
的频率为
，
所以下一个销售季度内的利润不少于万元的概率的估计值为．
（ 3 ）估计一个销售季度内市场需求量的平均数为
（吨）；
由频率分布直方图易知，由于
时，对应的频率为
，
而
时，对应的频率为
，
因此一个销售季度内市场需求量的中位数应属于区间
，于是估计中位数应为
（吨）．
19.（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）点到平面的距离为．
解析: （ 1 ）取的中点，连接和：
14
∵ 为的中点，
∴
且
，
∵
，
，
，
∴
且
，
∴
且
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
∵
平面，
平面，
∴
平面．
（ 2 ）∵
，为的中点，

22020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a =C ．247a -<<D ．724a -<<4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.646．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u ur u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g )A ．B CD7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( ) A ．12-B ．12C ．D 8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83CD ．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.512．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )A 22B 7C 3D 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为． 14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= ．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B CA ++的值为．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈．（1）证明：数列1{1}na -是等比数列；（2）数列{}nna 的前n 项和n S ．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ；（2）求点B 到平面SCD 的距离．20．（12分）已知椭圆22:14xC y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞【思路分析】求函数的定义域得集合B ，再根据补集与交集的定义运算即可．【解析】：集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}{|10}{|1}B x y lg x x x x x ==-=->=>， {|1}R B x x ∴=„ð，(){|12}(1R A B x x ∴=-<=-I „ð，2]．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【思路分析】由题意可得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，再由三角函数的符号得答案．【解析】：由(cos sin )cos sin n x i x nx i nx +=+，得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，∴复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点的坐标为(cos 5π-，sin )5π-，位于第三象限．故选：C ．【归纳与总结】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a = C ．247a -<< D ．724a -<<【思路分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．【解析】：Q 点(3,1)与(4,6)B -，在直线320x y a -+=的两侧，∴两点对应式子32x y a -+的符号相反，即(92)(1212)0a a -+--+<，即(7)(24)0a a +-<，解得724a -<<，故选：D ．【归纳与总结】题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)【思路分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．【解析】：1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩Q …是(,)-∞+∞上的减函数， ∴满足01102132a a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪-+⎪⎩…，即011216a a a ⎧⎪<<⎪⎪<⎨⎪⎪⎪⎩…，解得1162a <„，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键．A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.64【思路分析】由频率分布表计算样本数据落在(10，40]上的频率值．【解析】：由频率分布表知，样本数据落在(10，40]上的频率为： 1324150.52100++=．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题．6．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u u r u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g)A ．23B ．3C ．3D ．3【思路分析】将AC AD u u u r u u u r g 转化成()AB BC AD +u u u r u u u r u u u r ，化简后得BC AD u u u r u u u rg ，然后转化成33()BD AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，再进行化简可得结论．【解析】：Q 在ABC ∆中，AD AB ⊥， ∴0AB AD =u u u r u u u rg ()AC AD AB BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g AB AD BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r g g BC AD =u u u r u u u r g3BD AD =u u u r u u u r g3()AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r g33AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r g g 3=故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( )A ．12-B ．12C ．3D 3 【思路分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．【解析】：原式sin163sin223cos163cos223=︒︒+︒︒g cos(163223)=︒-︒ cos(60)=-︒ 12=．故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83C 163D ．3【思路分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程2320120x x -+=，利用韦达定理，可求弦BC 的中点坐标，求出弦BC 的中垂线的方程，可得P 的坐标，即可得出结论．【解析】：由题意，直线l 方程为：3(2)y x =-，代入抛物线28y x =整理得：2312128x x x -+=，2320120x x ∴-+=，设1(B x ，1)y 、2(C x ，2)y ，12203x x ∴+=， ∴弦BC 的中点坐标为10(3，43)，∴弦BC 的中垂线的方程为43310()3y x -=--，令0y =，可得223x =，22(3P ∴，0)，(2,0)A Q ，16||3AP ∴=．故选：A ．【归纳与总结】本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论： ①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④【思路分析】在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，可得AC BD ⊥．进而判断出结论．【解析】：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，AC BD ∴⊥．PQ BP AC AB =，AP PNAB BD =，1BP AP +=，PN PQ =，可得：111AC BD PQ +=，AC 与BD 不一定相等．//BD QM Q ，PM 与QM 所成的角为45︒，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45︒．其中所有正确结论的编号是①②④．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点【思路分析】函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，2ππω=，解得2ω=．()sin(2)f x x ϕ=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，2()sin(2)3g x x πϕ=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，可得ϕ，()f x ．利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．【解析】：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，∴2ππω=，解得2ω=． ()sin(2)f x x ϕ∴=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数， 2()sin(2)3g x x πϕ∴=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，23k πϕπ∴-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3πϕ=-．()sin(2)3f x x π∴=-，验证：2()03f π=，11()112f π=-，因此AB 不正确．若[,]212x ππ∈--，则4(2)[33x ππ-∈-，]2π-，因此函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减，正确．若3[,]42x ππ∈，则(2)[36x ππ-∈，8]3π，因此函数()f x 在区间3[,]42x ππ∈上只有两个零点，不正确．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.5【思路分析】根据函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+，得到(2)(2)g x g x -+=-+．结合()g x 是R 上的偶函数，得到(2)(2)g x g x +=--，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．【解析】：由题意可得：因为函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+，所以()()f x f x -=-，即(2)(2)g x g x -+=-+．又因为函数()y g x =是R 上的偶函数，所以(2)(2)g x g x +=--，所以()(4)g x g x =--，所以(4)(8)g x g x -=--，所以()(8)g x g x =-，所以函数()g x 是周期函数，并且周期为8．所以(10.5)(2.5)(1.5)(1.5)0.5g g g g ==--=-=．故选：D ．【归纳与总结】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )AB C D 【思路分析】由题意，12||2||PF PF =，12||||2PF PF a -=，可得1||4PF a =，2||2PF a =，由2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即可求出双曲线C 的离心率．【解析】：由题意，12||2||PF PF =，由双曲线的定义可得，12||||2PF PF a -=，可得1||4PF a =，2||2PF a = 由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得 2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即有2224208c a a =+，即227c a =，可得c =，即ce a==．故选：B ．【归纳与总结】本题考查双曲线C 的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为14．【思路分析】先对()f x 求导，然后设切点为0(x ，0)，由切线斜率和切点在曲线上得到关于0x 和a 的方程，再求出a 的值．【解析】：由3()44(1)1f x x a x =+-+，得2()124(1)f x x a '=+-，x Q 轴为曲线()f x 的切线，()f x ∴的切线方程为0y =，设切点为0(x ，0)，则200()124(1)0f x x a '=+-=①，又3000()44(1)10f x x a x =+-+=②，由①②，得012x =，14a =，a ∴的值为14．故答案为：14．【归纳与总结】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= 32 ．【思路分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论．【解析】：因为n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，① 则111222a a a =-⇒=；则1122n n S a --=-，②①-②得：11222n n n n n a a a a a --=-⇒=⇒数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列；故2n n a =；554232S S ∴-==．故答案为：32．【归纳与总结】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B C A ++的值为 19- ．【思路分析】在ABC ∆中，若1cos 3A =，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为21cos 2cos 12AA ++-，运算求得结果．【解析】：在ABC ∆中，若1cos 3A =，则22221cos 221sin cos2cos2cos cos22cos 112222399B C A A A A sin A A A π+-++=+=+=+-=+-=-，故答案为19-．【归纳与总结】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为383r π 【思路分析】由题意画出截面图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，利用三角形相似可得R ，h ，r 的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值．【解析】：作出截面图如图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，OC OD r ==， 90SCB SDO ∠=∠=︒，又OSD BSC ∠=∠， SOD SBC ∴∆∆∽，∴BC SCOD SD =，即22()R r h r r =--， 222()2R h r rh hr∴==---．∴圆锥体积222133(2)r h V R h h r ππ==-，22(4)3(2)r h h r V h r π-'=-g ．令()0h r '=，得4h r =． ∴38(4)3min V v r r π==．故答案为：383r π．【归纳与总结】本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈．（1）证明：数列1{1}na -是等比数列；（2）数列{}nna 的前n 项和n S ．【思路分析】（1）由112n n n n a a a a +++=，变形为1121n n a a ++=，可得11111(1)2n na a +-=-，即可证明；（2）由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，2n n n n n a =+．设231232222n n nT =+++⋯+，利用“错位相减法”可得n T ，即可得出数列{}n n a 的前n 项和(1)2n n n n S T +=+．【解答】（1）证明：112n n n n a a a a +++=Q ，∴1121n n a a ++=， ∴11111(1)2n na a +-=-，又123a =，∴11112a -=．∴数列1{1}na -为等比数列；（2）解：由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，化为111()2n n a =+， ∴2n n n nn a =+．设231232222n n nT =+++⋯+， 234111*********n n n n nT +-=+++⋯++， ∴2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++⋯+-=-=--， 222n n nT +∴=-，∴数列{}n na 的前n 项和2(1)22222n n n n n n n n S T +++=+=+-．【归纳与总结】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．【思路分析】（1）计算[100x ∈，130)和[130x ∈，150]时T 的值，用分段函数表示T 的解析式；（2）计算利润T 不少于57万元时x 的取值范围，求出对应的频率值即可；（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．【解析】：（1）当[100x ∈，130)时，0.839T x =-；⋯（1分）当[130x ∈，150]时，0.513065T =⨯=，⋯（2分）所以，0.839,10013065,130150x x T x -<⎧=⎨⎩„剟 ⋯（3分）（2）根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，当[100x ∈，130)时，由0.83957T x =-…，得120130x <„，⋯（4分）当[130x ∈，150]时，由6557T =…，⋯所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x 剟，于是由频率分布直方图可知市场需求量[120x ∈，150]的频率为 (0.0300.0250.015)100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7； ⋯（7分）（3）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.21250.31350.251450.15126.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨)；⋯（9分）由频率分布直方图易知，由于[100x ∈，120)时，对应的频率为(0.010.02)100.30.5+⨯=<，而[100x ∈，130)时，对应的频率为(0.010.020.03)100.60.5++⨯=>，⋯（10分）因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[120，130)，于是估计中位数应为120(0.50.10.2)0.03126.7+--÷≈（吨)．⋯（12分）【归纳与总结】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目． 19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ；（2）求点B 到平面SCD 的距离．【思路分析】（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，可证明得到四边形AMND 是平行四边形，进而//AM 平面SCD ；（2）先证明得到AM ⊥平面SBC ，进而得到平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离【解析】：（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，M Q 为SB 的中点，//MN BC ∴，且12MN BC =， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ，1AD =，2BC =，//AD BC ∴，且12AD BC =，AD ∴平行且等于MN ， ∴四边形AMND 是平行四边形，//AM DN ∴，AM ⊂/Q 平面SCD ，DN ⊂平面SCD ，//AM ∴平面SCD ．（2）1AB AS ==Q ，M 为SB 中点， AM SB ∴⊥，SA ⊥Q 平面ABCD ，SA BC ∴⊥， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ， BC AB ∴⊥， BC ∴⊥平面SAB ， BC AM ∴⊥，AM ∴⊥平面SBC ，由（1）可知//AM DN ，DN ∴⊥平面SBC ， DN ⊂Q 平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形SBC 中，1122SB BC SC BE =g g ，22236SB BC BE SC ∴===g ，即点B 到平面SCD 的距离为23．【归纳与总结】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20．（12分）已知椭圆22:14x C y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．【思路分析】（1）由题意可知12||||4MF MF +=，在△12F MF 中，利用余弦定理可得：12122cos 1||||F MF MF MF ∠=-g ，再利用基本不等式得到121cos 2F MF ∠-…，当且仅当12||||MF MF =时等号成立，再结合120F MF π<∠< 以及余弦函数的图象，即可得到12F MF ∠的最大值；（2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则14k k '=-g ，再根据k 的范围即可得到k '的范围．【解析】：（1）由椭圆的定义可知：12||||4MF MF +=，在△12F MF 中，由余弦定理可得：22212121212||||||cos 2||||MF MF F F F MF MF MF +-∠=2212121212(||||)||2||||2||||MF MF F F MF MF MF MF +--=g g12122||||||||MF MF MF MF -=g g2121222111||||||||2()2MF MF MF MF =--=-+g …，120F MF π<∠<Q ，12F MF ∴∠的最大值为23π，此时12||||MF MF =，即点M 为椭圆C 的上、下顶点时12F MF ∠取最大值，其最大值为23π；（2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则002y k x =+，002y k x '=-，∴20204y k k x '=-g ，又220014x y +=，∴220044x y =-，∴14k k '=-g ，Q 11(,)23k ∈--，∴1324k '<<，故直线BM 的斜率的取值范围为1(2，3)4．【归纳与总结】本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+．【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；（2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．【解析】：（1）由条件可知，函数在(,0)-∞上有意义，22()xx ax a f x e x +-'=，0a >，令()0f x '=可得，10x =<，20x =>， 1x x <时，()0f x '>，函数单调递增，当10x x <<时，()0f x '<，函数单调递减，由()(1)x af x e x=+，可得()0f a -=，当x a <-时，()0f x >，当0a x -<<时，()0f x <，因为10a x a --=-+=>，所以10x a <-<，又函数在1(x ，0)上单调递减且1102x a a <-<-<，所以()f x 在1(,]2a -∞-上有最小值121()2a f a e --=-，（2）由（1）可知0a >时，()f x 存在两个极值点为1x ，212()x x x <，故1x ，2x 是20x ax a +-=的根，所以1212x x x x a +==-，且121x x <<，因为11121()(1)(1)x x af x e x e x =+=-，同理221()(1)x f x x e =-，212()(1)lnf x ln x x ∴=-+，121()(1)lnf x ln x x =-+， ∴2112212121()()(1)(1)lnf x lnf x ln x x ln x x x x x x --++--=-- 1212(1)(1)1(1)(1)ln x ln x x x ---=+---，又121222211122()(1)(1)a x x x x +=+=++-+-+-，由（1）知，12110x x ->->，设11m x =-，21n x =-，令2(1)()1t h t lnt t -=-+，1t …，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增，()h t h >（1）0=，即2(1)1t lnt t ->+，令m t n =则2lnm lnn m n m n ->-+ 从而2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+．【归纳与总结】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值．【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用三角形的面积公式的应用求出结果．【解析】：（1）曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得到28sin 120ρρθ-+=．直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，转换为极坐标方程为()R θαρ=∈．将θα=代入28sin 120ρρθ-+=得到28sin 120ρρα-+=，由于△2(8sin )4120α=-⨯=，解得3πα=，故此时ρ=所以点A的极坐标为)3π．（2）由于圆22:cos 20C ρθ-+=，转换为直角坐标方程为22(5x y -+=．所以圆心坐标为．设1(,)3B πρ，2(,)3C πρ，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得到2620ρρ-+=，所以126ρρ+=，122ρρ=．由于1111sin()236A S ππρρ=-g g g，22221||sin()236S OC ππρ=-=g g g ．所以2212121212212112()2622162S S S S ρρρρρρρρρρ+--⨯+=+===．【归纳与总结】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．【思路分析】（1）由绝对值的定义，讨论2x <，2x …，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得2()||1f x x a ++-的最小值，由题意可得m 大于这个最小值，解不等式可得所求范围．【解析】：（1）当1a =时，即解不等式|2|21x x ->+，当2x …时，原不等式等价为221x x ->+，所以3x <-，则原不等式的解集为∅；当2x <时，原不等式等价为221x x ->+，解得13x <，综上可得原不等式的解集为1(,)3-∞；（2）222()|||2||||2|111f x x x a x a a a a ++=-+++---…，显然等号可取，由1a >，故原问题等价为关于a 的不等式22a m +<在(1,)+∞有解，又因为2222(1)22611a a a a +=-++=--…，当且仅当2a =取得等号，即6m >，即m 的范围是(6,)+∞．【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题．。

【精选高中试题】广东深圳市高三第二次(4月)调研考试数学(文)试卷Word版含解析

深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}2|20,|2A x x x B x x =-<=<，则（） A ．A B =∅ B ．A B A = C ．A B A = D ．A B R =2. 已知复数z 满足()13i z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =等于（）A ．10 B．5 D3. 下列函数中既是偶函数，又在()0,1上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．12y x = C ．2xy = D ． lg y x = 4.若实数,x y 满足约束条件103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ． -8B ． -6 C. -2 D ．45.已知平面向量,a b ，若3,2a b ==，a 与b 的夹角6πθ=，且()a mb a -⊥，则m =（） A ．12B ． 1 C. 3 D ．2 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35154,60a a S +==，则20a = （）A ．4B ．6 C. 10 D ．127.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x y z 、、，当且仅当,y x y z >>时，称这样的数为“凸数”（如243），现从集合{}1,2,3,4中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（） A ． 23 B ．13 C. 16 D ．1128.已知三棱锥S ABC -，ABC ∆是直角三角形，其斜边8,AB SC =⊥平面,6ABC SC =，则三棱锥的外接球的表面积为（）A ． 64πB ．68π C. 72π D ．100π9. 已知函数()()()22sin 0,,123f x x x ππωϕω⎡⎤=+>∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则()12f x x +=（）A ． 1B ．210.一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ． 24B ．48 C. 72 D ．9611.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为12A A 、，M 是双曲线上异于12A A 、的任意一点，直线1MA 和2MA 分别与y 轴交于,P Q 两点，O 为坐标原点，若,,OP OM OQ 依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞ C. ( D ．(1 12.若对任意的实数a ，函数()()1ln f x x x ax a b =--++有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(),0-∞ C. ()0,1 D ．()0,+∞第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13.以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点()1,2P ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ． 14.已知直线:30l x my +-=与圆22:4C x y +=相切，则m = ．15.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷.卷中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解.如图，是解决这类问题的程序框图，若输入40n =，则输出的结果为．16.若数列{}{},n n a b 满足*11111,,32,n n n n n a b b a a a b n N ++===-=+∈，则20172016a a -= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2sin cos b B b A =+，4c =.（1）求A ；（2）若D 是BC 的中点，AD =ABC ∆的面积.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090,ACB E ∠=为11AC的中点，11CC C E=（1）证明：CE ⊥平面11AB C ；（2）若0130AA BAC =∠=，求点E 到平面1ABC 的距离. 19. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司咪推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店听其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这个x 个分店的年收入之和．（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+；（2）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与,x y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？（参考公式：ˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆˆ,n n i i i ii i n n i i i i x y nxy x x y y b a y bxx nxx x ====---===---∑∑∑∑） 20.已知圆()221:14C x y -+=，一动圆与直线12x =-相切且与圆C 外切. （1）求动圆圆心P 的轨迹T 的方程；（2）若经过定点()6,0Q 的直线l 与曲线T 交于A B 、两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的平行线与曲线T 相交于点N ，试问是否存在直线l ，使得NA NB ⊥，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.21.设函数()xf x xe ax =-（,a R a ∈为常数），e 为自然对数的底数. （1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；（2）当2a =时，求使得()0f x k +>成立的最小正整数k .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点62A B ππ⎫⎫⎪⎪⎭⎭、，曲线 ():2cos 03C πρθρ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）在直角坐标系中，求点,A B 的直角坐标及曲线C 的参数方程；（2）设点M 为曲线C 上的动点，求22MA MB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()212,f x x a x a a R =+-+-∈. （1）若()21f a a ≤-，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()1f x ≤存在实数解，求实数a 的取值范围.参考答案1.B【解析】本题考查集合的基本运算,一元二次不等式.因为集合错误！未找到引用源。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|15}A x x =-<<，{1B =，3，5}，则(A B =I ) A ．{1，3} B ．{1，3，5} C ．{1，2，3，4} D ．{0，1，2，3，4，5}2．（5分）设21(1)iz i +=-，则||(z = ) A ．12BC ．1 D3．（5分）已知22ln a =，22log b e=，22e c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<4．（5分）设x ，y 满足约束条件130x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩„„…，则2z x y =-的最大值为( )A ．3-B ．1C ．2D ．35．（5分）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ； ②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ； ③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ； ④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥．其中，正确的命题个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．06．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为( )A ．22124y x -=B ．22124x y -=C ．221916x y -= D ．221169x y -= 7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的0.4k =，则输出的(n = )A ．5B ．4C ．3D ．28．（5分）函数2()21f x x x =-+的图象与函数()3cos g x x π=的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．89．（5分）已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为( ) A ．12B ．13C ．16D ．11210．（5分）函数(14)sin ()2x xxf x -=的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．（5分）下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则(AB CD =u u u r u u u rg)A ．32B ．28C ．26D ．2412．（5分）在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，2BC PC ==，若AC PB =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )A 42B 163C 163D 323二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为．14．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224b c a +-，sin sin 2A Cb Cc +=，则角C = ． 15．（5分）《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a = ．16．（5分）已知A ，F 分别是椭圆2222:(0)x y C l a b a b+=>>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN∆的周长为6，则FAN ∆的面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，123||||||||n n T b b b b =+++⋯+，求n T ．18．（12分）为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(3x s -，3)x s +之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋯+-g 234048≈．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，12AA =，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点．（1）求证：平面1B NC ⊥平面CMN ；（2）若2AB =，求点N 到平面1B MC 的距离．。

广东省深圳市高三第二次调研考试(二模)文科数学试题(2)

广东省深圳市20XX届高三第二次调研考试（二模）文科数学试题20XX年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科) 2009.5本试卷共6页,21小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损。

2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的,答案无效。

3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。

漏涂、错涂、多涂的答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。

参考公式:若锥体的底面积为,高为,则锥体的体积为;若圆锥底面半径为,母线长为,则圆锥的侧面积为.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,,则集合A.B. C. D.2.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在空间直角坐标系中,过点作直线的垂线,则直线与平面的交点的坐标满足条件A.B.C.D.4.如右图,一个空间几何体的主正视图、侧左视图都是周长为8、一个内角为60°的菱形及其一条对角线,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的表面积为A. B.C. D.5.已知离心率为的曲线,其右焦点与抛物线的焦点重合,则的值为A.B. C.D.6.若奇函数在区间上是增函数,又0,则不等式的解集为A.B.C.D.7.设数列是等差数列,且是数列的前项和,则A.B.C.D.8.已知直线、与函数图像的交点分别为、,与函数图像的交点分别为、,则直线与A.相交,且交点在第一象限B.相交,且交点在第二象限C.相交,且交点在第四象限D.相交,且交点在坐标原点9.在右程序框图中,当N(n1)时,函数表示函数的导函数.若输入函数,则输出的函数可化为A. B.C. D.10.某宾馆有N间标准相同的客房,客房的定价将影响入住率.经调查分析,得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表:每间客房的定价 220元 200元 180元 160元每天的住房率 50? 60? 70? 75?对每间客房,若有客住,则成本为80元;若空闲,则成本为40元.要使此宾馆每天的住房利润最高,则每间客房的定价大致应为A.220元B.200元C.180元D.160元二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.本大题分为必做题和选做题两部分.(一)必做题:第11、12、13题为必做题(第13题前一空2分,后一空3分),每道试题考生都必须做答11.已知向量,向量与方向相反,且,则实数 .12.200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速不低于60km/h的汽车数量为辆.13.数列的前项和是,若数列的各项按如下规则排列:则 ,若存在正整数,使,,则 .(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的得分.14.(坐标系与参数方程选做题)已知点P是曲线为参数,上一点,O为原点.若直线OP的倾斜角为,则点的直角坐标为.15.(几何证明选讲选做题)如右图,、是两圆的交点,是小圆的直径,和分别是和的延长线与大圆的交点,已知,且,则 .三、解答题:本大题6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知复数在复平面上对应的点为.(Ⅰ)设集合,从集合中随机取一个数作为,从集合中随机取一个数作为,求复数为纯虚数的概率;(Ⅱ)设,求点落在不等式组:所表示的平面区域内的概率.17.(本小题满分12分)如图,已知点点为坐标原点,点在第二象限,且,记.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若科,求的面积.18.(本小题满分14分)在直三棱柱中,平面,其垂足落在直线上.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若,,为的中点,求三棱锥的体积.19.(本题满分14分)已知函数,且其导函数的图像过原点.(Ⅰ)当时,求函数的图像在处的切线方程;(Ⅱ)若存在,使得,求的最大值;(Ⅲ)当时,求函数的零点个数.20.(本题满分14分)已知等比数列的公比,且与的一等比中项为,与的等差中项为6.(I)求数列的通项公式;(Ⅱ)设为数列的前项和,,请比较与的大小;(Ⅲ)数列中是否存在三项,按原顺序成等差数列?若存在,则求出这三项;若不存在,则加以证明.如图,已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若不过点的动直线与椭圆相交于、两点,且求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.20XX年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明:一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.一、选择题:本大题每小题5分,满分50分.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B AC B C BD D C C二、填空题:本大题每小题5分;第13题第一空2分,第二空3分;第14、15两小题中选做一题,如果两题都做,以第14题的得分为最后得分,满分20分.11.12.7613. , . 14.. 15..三、解答题:本大题6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.已知复数在复平面上对应的点为.(Ⅰ)设集合,从集合中随机取一个数作为,从集合中随机取一个数作为,求复数为纯虚数的概率;(Ⅱ)设,求点落在不等式组:所表示的平面区内的概率.解:1记“复数为纯虚数”为事件∵组成复数的所有情况共有12个:,,,,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型. ……2分其中事件包含的基本事件共2个: ………4分∴所求事件的概率为………………6分(2)依条件可知,点均匀地分布在平面区域内,属于几何概型. 该平面区域的图形为右图中矩形围成的区域, 面积为……8分所求事件构成的平面区域为,其图形如下图中的三角第16题图形阴影部分又直线与轴、轴的交点分别为,所以三角形的面积为……10分∴所求事件的概率为………………12分17.(本小题满分12分)如图, 已知点点在第二象限,且,为坐标原点,记.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的面积.解:1 点的坐标为,………………3分……………6分2(解法一)在中, , , 第17题图 ,………10分的面积………………12分(解法二)设,由,得, ………8分解得:,或又点在第二象限,故………10分的面积………12分18.(本小题满分14分)在直三棱柱中, 平面,其垂足落在直线上. Ⅰ求证:;Ⅱ若,,为的中点,求三棱锥的体积.(Ⅰ)证明:三棱柱为直三棱柱,平面,又平面,平面,且平面,又平面,平面,,平面,又平面,(2)在直三棱柱中,平面,其垂足落在直线上,在中,,,,在中,由(1)知平面,平面,从而为的中点,19.(本题满分14分)已知函数,且其导函数的图像过原点.Ⅰ当时,求函数的图像在处的切线方程;Ⅱ若存在,使得,求的最大值;Ⅲ当时,求函数的零点个数.解: ,由得 ,.Ⅰ当时, ,,,所以函数的图像在处的切线方程为,即Ⅱ存在,使得,,,当且仅当时,所以的最大值为 9分极大值极小值Ⅲ当时,的变化情况如下表: ----------11分的极大值,的极小值又,.所以函数在区间内各有一个零点,故函数共有三个零点。

广东省深圳市高三第二次调研考试数学(文)试卷

绝密★启用前试卷类型：A2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科） 2015.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$，，其中，是数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.平面向量，，若，则等于A ．B ．C ．D ．3.已知集合，，则A ．B ．C ．D ． 4.命题，，则为 A ．，B ．，C ．，D ．，5.已知直线，平面，则下列能推出的条件是 A.， B.， C.， D.，6.已知某路口最高限速，电子监控测得连续辆汽车的速度如图1的茎叶图（单位：）．若从中任取辆，则恰好有辆汽车超速的概率为A. B. C. D. 7.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于原点对称，则的最小正值为A ．B ．C ．D ．8.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若其渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率等于A ． B. C. D ． 9.如图2所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的①、②两处应分别填写A ．，B ．，C ．，D ．，10.定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.已知，下列四个函数：①；②；③；④.其中是在上的“追逐函数”的有A ．个 B.个 C ．个 D ．个二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答． 11.等差数列中，，则．12.若实数满足2221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则的最小值为．13.某几何体的三视图如图3所示，其中俯视图为半径为的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为．（图1）3 84 4 1 36 5 5 8俯视图（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线：（为参数）与曲线：（为参数）相交于、两点，则_________．15．（几何证明选讲选做题）如图4，、是⊙的两条切线，切点分别为、．若，，则⊙的半径为．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在中，已知,.（1）求与的值；（2）若角，，的对边分别为，，，且，求，的值.17．（本小题满分12分）是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如下表：根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度为多少（保留整数）？18．（本小题满分14分）如图5，是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，且平面，.（1）证明：平面；（2）证明：.19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足，（）.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知平面上的动点与点连线的斜率为，线段的中点与原点连线的斜率为， ()，动点的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线的弦为直径； ②过点；③直径．求的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,)R bf x x ax a b x=-+∈，且对任意，都有. （1）求，的关系式；（2）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围并证明；（3）在（2）的条件下，判断零点的个数，并说明理由．2015年深圳市高三年级第二次调研考试文科数学参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．11．. 12．. 13． 14．． 15． .三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在中，已知,. （1）求与的值；（2）若角，，的对边分别为，，，且，求，的值. 解：（1），，…………………………………………………………………………………2分又，………………………………………………………………………………3分 .………………………………………………………………………………4分1cos(π)cos 2B B -=-=-Q ，且，.………………………………………………………………………………………6分（2）法一：由正弦定理得，，…………………………………………………………………………8分另由2222cos b a c ac B =+-得，解得或（舍去），………………………………………………………………11分，.………………………………………………………………………………12分法二：由正弦定理得，，…………………………………………………………………………8分又()cos cos cos()C A B A B π=--=-+Q ，1111sin sin cos cos 1427A B A B =-=⨯=，……………………10分 2222cos c a b ab A ∴=+-得212549257647c =+-⨯⨯⨯=，即，………………………………………………………………………………………11分，.………………………………………………………………………………12分【说明】本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力.17．（本小题满分12分）是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如下表：（1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）若周六同一时间段的车流量是万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度为多少（保留整数）？解：（1）散点图如下图所示. ………………………………………………………………2分（2）5051545758545x ++++==Q ，6970747879745y ++++==，………6分51()()4534344564iii x x y y =--=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5222221()(4)(3)3450ii x x =-=-+-++=∑，51521()()641.2850()iii ii x x y y b x x ==--===-∑∑$， 74 1.2854 4.88a y bx =-=-⨯=$， …………………………………………………9分故关于的线性回归方程是：.…………………………………10分（3）当时， 1.2825 4.8836.8837y =⨯+=≈所以可以预测此时的浓度约为.…………………………………………12分【说明】本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力.18．（本小题满分14分）如图，是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，且平面，. （1）证明：平面；（2）证明：.证明：（1）取的中点，连结、，…………1分是等腰直角三角形，，，，………………2分DCABEO又平面平面，平面平面，平面，………………………………3分由已知得平面，，…………………………………………………………………………………4分又，四边形为平行四边形，……………………………………………………………5分，…………………………………………………………………………………6分而平面，平面，平面.……………………………………………………………………………7分（2）为的中点，为等边三角形，，…………………………………………………………………………………8分由（1）知平面，而平面，可得，………………………………………………………………………………9分，平面，…………………………………………………………………………10分而平面，，………………………………………………………………………………11分又，，………………………………………………………………………………12分而，，平面，…………………………………………………………………………13分又平面，.…………………………………………………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足，（）.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.解：（1）当得，解得，………………………………………1分当得，，解得，…………………………………………………………………………………3分（2）当时，11()3()0n n n n a a S S +--+-=，即，（），…………………………………………4分另由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，……………………………………5分 .…………………………………………………………………………………6分（2）把代入中得2(2)(2)48nn m m --⋅-=+，即，……………………………………………………………………………7分2(2)1688(2)4(2)4(2)4n nn n m --+∴==--+-+-+，…………………………………………8分要使是整数，则须有是整数，能被整除，……………………………………………………………………9分当时，，，此时，……………………………10分当时，，，此时，………………………………11分当时，，，此时，………………………12分当，，不可能是整数，…………………………………13分综上所求，所求满足条件的整数对有，，.………………………14分【说明】本题主要考查等比数列的定义，会根据数列的递推关系求数列的前几项以及通项公式，考查考生运算求解、推理论证、处理变形的能力.20．（本小题满分14分）已知平面上的动点与点连线的斜率为，线段的中点与原点连线的斜率为， ()，动点的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线的弦为直径； ②过点；③直径．求的取值范围．解：（1）设，记的中点为，所以．由题意（），2122y k x += （），由可得：()211122y y x m x +⎛⎫-⋅⎪⎝⎭=-⋅（），化简整理可得：（），曲线的方程为（）．……………………………………………6分（2）由题意，若存在以曲线的弦为直径的圆过点，则有，所以直线、的斜率都存在且不为，设直线的斜率为（不妨设），所以直线的方程为，直线的方程为，将直线和曲线的方程联立，得22211y kx x y m=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消整理可得()2222120m k x m kx ++=，解得，所以22221m kNA m k =+，以替换，可得222222221m k m NB m k m k==++，又因为，即有NA NB ==，222222221m k m m k k m=++，所以，即()()221110k k m k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，（1）当时，()()()32211110k k m k k ⎡⎤-+-+=-=⎣⎦，解得；（2）当时，方程有，所以方程()()()32211110k k m k k ⎡⎤-+-+=-=⎣⎦有唯一解；（3）当时，方程有，且()2211110m +-⨯+≠，所以方程()()()32211110k k m k k ⎡⎤-+-+=-=⎣⎦有三个不等的根．综上，当时，恰有一个圆符合题意．21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,)R b f x x ax a b x=-+∈，且对任意，都有. （1）用含的表达式表示；（2）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围，并证明；（3）在（2）的条件下，判断零点的个数，并说明理由．解：（1）法一：根据题意：令，可得，∴，…………………………………………………………………………1分经验证，可得当时，对任意，都有，∴．………………………………………………………………………………………2分法二：1()()ln ln b a f x f x ax x bx x x x+=-+--+Q ，，………………………………………………1分∴要使上式对任意恒成立，则须有，即.……………………………2分（2）由（1）可知，且， 2221'()a ax x a f x a x x x-+-∴=--=，………………………………………………………3分令，要使存在两个极值点，，则须有有两个不相等的正数根，20102140(0)0a aa g a >⎧⎪⎪>⎪∴⎨⎪∆=->⎪=-<⎪⎩或20102140(0)0a a a g a <⎧⎪⎪>⎪⎨⎪∆=->⎪=->⎪⎩，解得或无解，………………………5分的取值范围,可得，由题意知2ln 22ln 2222ln )2(3322--+=+-=a a a a a a a f ，令32()2ln ln 22x h x x x =+--，则2422223344'()22x x x h x x x x-+-=--=，而当时，4434434(1)0x x x x -+-=---<，即，在上单调递减， ∴1163()()2ln 24ln 23ln e 021616h x h >=-+-->->，即时，．……………………………………………………………7分（3）∵2221'()a ax x a f x a x x x-+-=--=，，令得：，，由（2）知时，的对称轴，，，∴，又，可得，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以最多只有三个不同的零点,…………………………………………………10分又∵，∴在上递增，即时，恒成立，根据（2）可知且所以，即∴，使得，……………………………………………………12分由，得，又0)1(,0)()1(00==-=f x f x f ， ∴恰有三个不同的零点：.综上所述，恰有三个不同的零点．………………………………………………14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.命题人：殷木森、蔡俊杰、李勇审题人：魏显峰。

广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)

高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A. （0，1）B. （0，3）C. （1，2）D. （2，3）2.复数的共轭复数是（）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i3.已知双曲线C：的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（）A. B. 2 C. 2 D. 44.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15，20)，[20，25)，[25，30)三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25)内的学生中选取的人数为A. 1B. 2C. 3D. 45.已知角α为第三象限角，若=3，则sinα=（）A. -B. -C.D.6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D. 10π7.若函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数f（x）的一个单调递增区间为（）A. []B. []C. [-]D. []8.函数的图象大致为（）A. B.C. D.9.十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A. B. C. D.10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是（）A. m∥D1QB. m∥平面B1D1QC. m⊥B1QD. m⊥平面A BB1A111.己知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2⊥x轴，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.12.若函数f（x）=x-在区间（1，+∞）上存在零点，则实数a的取值范围为（）A. （0，）B. （，e）C. （0，+∞）D. （，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数，则f（-3）=______．14.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，c osc=-，sin A=2sin B，则b=______15.已知等边△ABC的边长为2，若点D满足，则=______16.如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB=4，D为AB的巾点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C-A'BD，若三棱锥C-A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=2，（1）判断数列{}是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．18.某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：（1）统计学中用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r|∈[0.75，1]，则认为相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75），则认为相关性一般；若|r|∈[0，0.25]，则认为相关性较弱．请根据上表数据计算y与x之间相关系数r，并说明y与x之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x定为多少，可获取最大的月销售金额？（月销售金额=月销售量×当月售价）附注：参考数据：≈12.85，参考公式：相关系数r=，线性回归过程=x，=，=．19.在边长为的正方形中，点分别为边的中点，以和为折痕把和折起，使点重合于点位置，连结，得到如图所示的四棱锥.（1）在线段上是否存在一点，使与平面平行，若存在，求的值；若不存在，请说明理由（2）求点到平面的距离20.设点P是直线y=-2上一点，过点P分别作抛物线C：x2=4y的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．（1）若点A的坐标为（1，），求点P的横坐标；（2）当△ABP的面积为时，求|AB|．21.已知函数f(x) =.（其中常数e=2.71828...，是自然对数的底数）．（1）讨论函数f ( x) 的单调性；（2）证明：对任意的a≥1，当x >0 时，f ( x) ≥．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数）．圆C2的方程为（x-2）2+y2=4，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=θ0（ρ≥0）．（l）求曲线C1和圆C2的极坐标方程：（2）当时，射线l与曲线C1和圆C2分别交于异于点O的M、N两点，若|ON|=2|OM|，求△MC2N的面积．23.已知函数（m＞1）．（1）当m＝2时，求不等式的解集；（2）证明：．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：复数z===1-i的共轭复数=1+i．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：双曲线C：的渐近线方程为，可得a=，b=1，则c==2．所以C的焦距为：4．故选：D．利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图可知：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，即在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为=3，故选：C．由频率分布直方图得：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，由分层抽样方法得：在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为=3，得解本题考查了频率分布直方图及分层抽样，属简单题5.【答案】B【解析】解：∵角α为第三象限角，若=3=，∴tanα==，且sin2α+cos2α=1，sinα＜0，cosα＜0，则sinα=-，故选：B．由题意利用两角和的正切公式，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．所以：V=V1+V2=，=．故选：C．首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用．7.【答案】A【解析】解：函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则：T=π，解得：ω=2，故：．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k=0时，，即：x．故选：A．首先利用函数的周期求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦型性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：由得-1＜x＜0或0＜x＜1，函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当0＜x＜1时，lg|x|＜0，排除C，当x＞0且x→0，f（x）→0，排除D，故选：B．求出函数的定义，判断函数的奇偶性，利用函数值符号以及极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，可以函数奇偶性，函数值的对应性以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）=，故选：C．由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．10.【答案】B【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，∴m∥BD∥B1D1，∵m⊄平面B1D1Q，B1D1⊂平面B1D1Q，∴m∥平面B1D1Q．故选：B．由直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，得到m∥BD∥B1D1，由此能得到m∥平面B1D1Q．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2⊥x轴，可得AF2的方程为x=c，AF1的方程y=，可得A（c，），AF1的中点为（0，），代入直线bx+ay=ab，可得：ac=b2=c2-a2，e=＞1，可得e2-e-1=0，解得e=．故选：C．画出图形，利用已知条件求出A的坐标，然后求解AF1的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.【答案】D【解析】解：当a=10时，函数f（x）=x-，x=e时，f（e）＜0，x=100时，f （100）＞0，所以函数存在零点，所以A、B不正确；当a=时，f（x）=x-，f′（x）=1-，x＞1时，f′（x）＞0恒成立，函数是增函数，f（1）=0，所以a=时，函数没有零点，所以C不正确，故选：D．利用特殊值回代验证，利用函数的导数判断函数的单调性，求解判断即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点的判断，考查转化思想以及计算能力．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题．根据题意，由函数的解析式可得f（-3）=f（-1）=f（1），又由解析式求出f（1）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，当x＜0时，有f（-3）=f（-1）=f（1），当x＞0时，f（1）=1+3=4，则f（-3）=4.故答案为4．14.【答案】1【解析】解：∵sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：a=2b，又∵c=，c osc=-，∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，可得：6=a2+b2-2×=4b2+b2+×2b2，解得：b=1．故答案为：1．由已知利用正弦定理可求a=2b，进而根据余弦定理即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】【解析】解：等边△ABC的边长为2，若点D满足，则=（+）=+=+=．故答案为：．利用已知条件，转化斜率的数量积求解即可．本题考查斜率的数量积的应用，平面向量的加减运算，是基本知识的考查．16.【答案】【解析】解：球是三棱锥C-A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D=BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF=DE=1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'=R=，∴A'F===2，所以，BF=2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD=R，三角形ODE为直角三角形，∴OE===2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF=，故∠A'DB=，故填：．根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决．本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于难题．17.【答案】解：（1）数列{a n}满足a1=2，，∴（a n+1-2n+1）-（a n-2n）=2．a1-2=0，∴数列{}为等差数列，首项为0，公差为2．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），∴S n=+2×=2n+1-2+n2-n．【解析】（1）数列{a n}满足a1=2，，证明（a n+1-2n+1）-（a n-2n）为常数即可得出．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），利用求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由表中数据和附注中的参考数据得：=7，=5．（x i-）2=10，（y i-）2=16.5，（x i-）（y i-）=-l2.5，r≈≈-0.97，∵|r|≈|-0.97|∈[0.75，1]，说明y与x的线性相关性很强．（2）由（1）可知===-1.25，=-=5-（-1.25）×7=13.75，∴=-1.25x+13.75．（3）由题意可知，月销售额的预报值=1000x=-1250x2+13750x，（元），或者=x=-1.25x2+13.75x（千元），则当x=5.5时，取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大．【解析】（1）根据表格数据以及参考公式计算，的值，结合相关系数r的大小进行判断即可（2）根据线性回归方程计算出相应的系数即可．（3）结合回归方程，进行预报计算即可．本题主要考查线性回归方程的求解，结合参考数据进行计算求出相应系数是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.【答案】解：（1）假设PC上存在点G使得PA∥平面EFG，连接EF交AC于O，∵四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD的中点，∴OA=AC，∵PA∥平面EFG，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EFG=OG，∴PA∥OG，∴==．∴线段PC上存在一点G，使PA与平面EFG平行，且=．（2）∵PC⊥PE，PC⊥PF，PE∩PF=P，∴PC⊥平面PEF，∴PC⊥PO，PC⊥EF，∵E，F是正方形AB，AD的中点，∴EF⊥AC，又PC∩AC=C，∴EF⊥平面PAC，∵OC=AC=3，PC=4，∴PO==，∴sin∠PCA==，∴S△PAC==．又OE=EF=，∴V E-PAC==，又S△PCE===4，设A到平面PCE的距离为h，则V A-PCE==，解得h=．∴点A到平面PEC的距离为．【解析】（1）假设存在点G符合条件，利用线面平行的性质可得PA∥OG，故而可得的值；（2）根据V E-PAC=V A-PCE列方程求出点A到平面PEC的距离．本题考查了线面平行的性质，棱锥的体积计算，考查空间距离的计算，属于中档题.20.【答案】解：（1）∵y=x2，∴y′=x，∴k PA=，∴直线PA的方程为y-=（x-1），即2x-y-1=0，∴P（-，-2），点P的横坐标为-．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，-2），则直线PA的方程为x1x=4×，即x1x-2y-2y1=0，因为（x0，-2）在PA上，所以x1x0+4-2y1=0，即x0x1-2y1+4=0，同理可得x0x2-2y2+4=0，∴直线AB的方程为x0x-2y+4=0，联立消去y得x2-2x0x-8=0，∴x1+x2=2x0，x1x2=-8，∴|AB|==，又点P到直线AB的距离d==，∴S△ABP=d|AB=××|=（x02+4）=，解得，x02=5，|AB|==3．【解析】（1）求出切线PA的方程后，将P的纵坐标代入可求得横坐标；（2）利用抛物线x2=2py的切线方程xx0=2p×可得PA，PB的切线方程，可得切点弦AB方程：x0x-2y+4=0，再利用弦长公式和点到直线距离可得面积，从而可得P的横坐标和|AB|．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21.【答案】（1）解：由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＜ln（-），由f′（x）＜0，解得x＞ln（-），故f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．（2）证明：f（x）≥（x+ae）x⇔．令g（x）=，则g′（x）=．当a≥1时，ae x-x-1≥e x-x-1．令h（x）=e x-x-1，则当x＞0时，h′（x）=e x-1＞0．∴当x＞0时，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0．∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x=1时，g′（x）=0；当x＞1时，g′（x）＞0．∴g（x）≥g（1）=0．即，故f（x）≥（x+ae）x．【解析】（1）由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．可得当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的单调区间；（2）f（x）≥（x+ae）x⇔．令g（x）=，利用导数求其最小值得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．22.【答案】解：（1）由，得C1的普通方程为+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，即ρ2==，所以C1的极坐标方程为ρ2=，由（x-2）2+y2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得ρ=4cosθ，所以C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（2）把θ=θ0代入ρ2=，得ρM2=，把θ=θ0代入ρcosθ，得=4cosθ0，则|ON|=2|OM|，得ρN=2ρM，则=4，即（4cosθ0）2=，解得sin2θ0=，cos2θ0=，又0＜θ0＜，所以ρM==，ρN=4cosθ0=，所以△MC2N的面积S=S-S=|OC2|（ρN-ρM）sinθ0=××=．【解析】（1）由，得C1的普通方程为+y2=1；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，再化简可得；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=|x-2|+|x+|；①当x≤-时，原不等式等价于（2-x）-（x+）＞3，解得x；②当-时，原不等式等价于＞3，不等式无解；③当x≥2时，原不等式等价于（x-2）+（x+）＞3，解得x＞，综上，不等式f（x）＞3的解集为（-∞，-）∪（，+∞）．（Ⅱ）证明：由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[-，m]时等号成立，∴f（x）+≥m++=m+=（m-1）++1，∵m＞1，m-1＞0，∴（m-1）++1≥2+1=3，∴f（x）+≥3．当m=2，且x∈[-，2]时等号成立．【解析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，再相并；（Ⅱ）由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[-，m]时等号成立，再利用基本不等式可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

广东省深圳市高考二模文科数学试卷

XX 省XX 市2021 年高考二模文科数学试卷一、选择题 : 1．集合A{ x | x 2 2x ＜0} ， B { x | x 2＜0} 那么〔〕A ．A BB ．ABAC ．ABAD ．AB R 2．复数z 满足(1 i) z 3 i ，其中i 是虚数单位，那么| z | 〔〕A ．10B ．10C ． 5D ．5 3．以下函数中既是偶函数，又在区间 (0,1) 上单调递增的是〔〕A ．ycosxB ．1C ．y2|x| D ．y|lg x |y x 2x y≤1 04．假设实数 x ，y 满足约束条件x 3≥0，那么 z 2xy 的最大值为〔〕y ≤2A ．8B ．6C ．2D ．45．平面向量a,b ，假设 | a | 3, | b | 2 ， a 与 b 的夹角π，且 ( a mb)a ，那么m〔〕61B ．1C ．3D ．2A ．26．设等差数列{ a n }的前 n 项和为S n ，假设a 3 a 5 4,S 1560 ，那么 a 20〔〕A ． 4B ．6C ． 10D ．127．一个三位数，个位．十位．百位上的数字依次为 x, y,z ，当且仅当y ＞x, y ＞z 时，称这样的数为“凸数〞〔如 243〕，现从集合{1,2,3,4} 中取出三个不一样的数组成一个三位数，那么这个三位数是 “凸数〞的概率为〔〕A ．2B ．1C ．1D ．1336128SABC ， △ABC是直角三角形，其斜边AB 8, SC 平面 ABC, SC6 ，那么三棱锥的外接．三棱锥球的外表积为〔〕A ．64πB ．68πC ．72πD ．100π．函数 f ( x) 2sin(x ) (π2π如下图，假设 f ( x )f ( x ) ，且 x x ，那么 f(x x )9＞0), x [, ]12121212 3〔〕A ．1B ．2C ．3D ．2-1-/410．一个长方体被一个平面截去一局部后，所剩几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A．24B．48C．72D．96x2y21( a＞0, b＞0)的左右顶点分别为A1 , A2，M是双曲线上异于A1 , A2的任意一点，直11．双曲线b2a2线 MA1和 MA2分别与y轴交于P，Q 两点， O 为坐标原点，假设| OP |,| OM |,| OQ |依次成等比数列，那么双曲线的离心率的取值X围是〔〕A ．(2,)B ．[2,)C．(1,2)D．(1, 2]12．假设对任意的实数 a ，函数f ( x)(x1)ln x ax a b 有两个不同的零点，那么实数b的取值X围是〔〕A ．(,1] B ．(,0)C． (0,1)D． (0,)二、填空题 :13．以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点 P(1,2)，那么tan(π)__________．414．直线 l: x my 30 与圆C: x2y24 相切，那么m__________ ．15．?孙子算经?是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的?孙子算经?共三卷．卷中有一问题:“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何 ?〞该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得．〞通过对该题的研究发现，假设一束方物外周一匝的枚数n 是 8的整数倍时，均可采用此方法求解.如图，是解决这类问题的程序框图，假设输入n=40，那么输出的结果为 __________ ．16．假设数列{ a n},{ b n}满足a1b11, b n1a n , a n 1 3 a n 2 b n , n N，那么a2021 a 2021__________．三、解答题 :解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．a,b,c,分别为△ABC三个内角A, B,C的对边，2b3a sin B bcos A,c 4〔Ⅰ〕求 A．〔Ⅱ〕假设 D 是 BC的中点，AD7 ，求△ ABC 的面积．-2-/418．如图，在直三棱柱1 1 1ACB 90 ， E1 1ABC ABC 中，为 AC 的中点，CC12C 1 E〔Ⅰ〕证明 : CE 平面 AB 1C 1;〔Ⅱ〕假设AA 16, BAC30 ，求点E 到平面 AB 1C 的距离．19“〞S 市的 A 区开设分店 .为了确定在．在新零售模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，方案在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到以下表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．x 〔个〕 2 3 4 5 6y 〔百万元〕2.5344.56〔Ⅰ〕该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求 y 关于x 的线性回归方程y bx a ;〔Ⅱ〕假设该公司在A 区获得的总年利润z 〔单位 :百万元〕与x ，y之间的关系为 z y 0.05 x 21.4 ，请结合〔Ⅰ〕中的线性回归方程，估算该公司应在 A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大 ?nn??x i y inxy(x ix )( y i y )?参考公式 : ? i1i 1, a．ybxa,bnny bxx i 2nx 2( x i x )2i 1i 120．圆 C: (x1)2 y 21 ，一动圆与直线 x1 相切且与圆 C 外切．42〔Ⅰ〕求动圆心P 的轨迹 T 的方程;〔Ⅱ〕假设经过定点 Q(6,0) 的直线l与曲线 T 相交于A,B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作x 轴的平行线与曲线 T 相交于点 N ，试问是否存在直线 l ，使得NA NB ，假设存在，求出直线l 的方程，假设不存在，说明理由．21．设函数 f ( x) xe x ax (aR ,a 为常数)，e 为自然对数的底数．〔Ⅰ〕当 f (x)＞0 时，XX 数x的取值X 围;〔Ⅱ〕当 a2 时，求使得 f ( x) k ＞0 成立的最小正整数 k ．22．在极坐标系中，点A(π 3, π，曲线C:2cos(π ≥0) .以极点为坐标原点，极轴为x轴3, ),B()) (623正半轴建立平面直角坐标系．〔Ⅰ〕在直角坐标系中，求点A, B 的直角坐标及曲线C 的参数方程;〔Ⅱ〕设点 M 为曲线 C 上的动点，求| MA |2| MB |2取值X 围．-3-/4四、 [选修 4-5:不等式选讲 ]23．函数 f ( x) | x 1 2a || x a2 |, a R |〔Ⅰ〕假设 f (a)≤2|1- a | ，XX数a的取值X围;〔Ⅱ〕假设关于x 的不等式f ( x)≤1存在实数解，XX数 a 的取值X围．-4-/4。

2020年广东深圳高三二模文科数学试卷-学生用卷

2020年广东深圳高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第1题5分已知集合A ={x|−1<x <5}，B ={1,3,5}，则A ∩B =（）．A. {1,3}B. {1,3,5}C. {1,2,3,4}D. {0,1,2,3,4,5}2、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第2题5分2020年广东深圳高三二模理科第1题5分设z =1+i(1−i)2，则|z|=（）．A. 12B. √22C. 1D. √23、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第3题5分已知a =ln 22，b =log 2⁡2e ，c =22e ，则（）．A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. b <a <c4、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第4题5分设x ，y 满足约束条件{x −y ⩽1，x +y ⩽3，x ⩾0，则z =2x −y 的最大值为（）．A. −3B. 1C. 2D. 35、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第5题5分已知m，n是两条不同直线，a，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若m//α，n//α，则m//n；②若n⊥α，m⊥β，m//n，则α//β；③若α⊥β，m//α，n⊥β，则m//n；④若α//β，m⊂α，m⊥n，则n⊥β．其中，正确的命题个数是（）．A. 3B. 2C. 1D. 06、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第6题5分已知双曲线C: x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点分别为F1(−5,0)，F2(5,0)，P为C上一点，PF1⊥PF2，tan⁡∠PF1F2=34，则C的方程为（）．A. x2−y224=1B. x 224−y2=1C. x 29−y216=1D. x 216−y29=17、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第7题5分执行右边的程序框图，如果输入的k=0.4，则输出的n=（）．A. 5B. 4C. 3D. 28、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第8题5分函数f(x)=x2−2x+1的图象与函数g(x)=3cos⁡πx的图象所有交点的横坐标之和等于（）．A. 2 B. 4 C. 6 D. 89、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第9题5分已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为（）．A. 12B. 13C. 16D. 11210、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第10题5分2020~2021学年6月四川成都锦江区四川省成都市第十七中学高二下学期月考文科第7题函数f(x)=(1−4x)sin⁡x2x的部分图象大致为（）．A.B.C.D.11、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第11题5分2020~2021学年11月内蒙古呼和浩特高三上学期月考理科第11题5分下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则AB→⋅CD→=（）．A. 32B. 28C. 26D. 2412、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第12题5分2020~2021学年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高二上学期期末第8题3分在三棱锥P−ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB=90°，BC=PC=2，若AC=PB，则三棱锥P−ABC体积的最大值为（）．A. 4√23B. 16√39C. 16√327D. 32√327二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第13题5分2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为．14、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第14题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区高新第一中学国际部高一下学期开学考试第13题5分在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b 2+c2−a24，bsin⁡C=csin⁡A+C2，则角C=．15、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第15题5分《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半，1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只：2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只，以此类推，假设n个月后共有老鼠a n只，则a n=．16、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第16题5分已知A，F分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为35b，若△FMN的周长为6，则△FMN的面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第17题12分已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b n|，求T n．18、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第18题12分为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如下等高条形图．(1) 根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2) 为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如下茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3) 标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度．如果出现了治疗时间在(x−3s,x+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？⋅[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]．参考公式：s=√1n参考数据：√2340≈48．19、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第19题12分如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AA1=√2AB，M，N分别为AB，AA1的中点．(1) 求证：平面B1NC⊥平面CMN．(2) 若AB=2，求点N到平面B1MC的距离．20、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第20题12分2020~2021学年9月广东广州越秀区广州大学附属中学高三上学期月考第22题12分2020~2021学年9月广东广州南沙区广州外国语学校高三上学期月考第22题12分2020~2021学年9月广东广州越秀区广州市铁一中学高三上学期月考第22题12分在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1,0)，点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，满足AB→⋅BF→=0，点A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C．(1) 求曲线C的方程．(2) 已知点G(3,−2)，动直线x=t(t>3)与C相交于P，Q两点，求过G，P，Q三点的圆在直线y=−2上截得的弦长的最小值．21、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=xe xe−3，g(x)=aln⁡x−2x(a∈R)．(1) 讨论g(x)的单调性．(2) 是否存在实数a，使不等式f(x)⩾g(x)恒成立？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第22题10分2020年广东深圳高三二模理科第22题10分椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1) 将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ（0⩽φ<2π），用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2) 已知过C的左焦点F，且倾斜角为α（0⩽α<π2）的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点，当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第23题10分已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1．证明：(1) |a−12|+|b+c−1|⩾12．(2) (a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)⩾3．1 、【答案】 A;2 、【答案】 B;3 、【答案】 D;4 、【答案】 D;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】12;14 、【答案】512π;15 、【答案】2⋅7n;16 、【答案】8√35;17 、【答案】 (1) a n=29−2n，n∈N∗．;(2) T n={8n−n2,1⩽n⩽4n2−8n+32,n>4．;18 、【答案】 (1) 甲药．;(2) 甲药．;(3) 是．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √2．;20 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) 4√2+4．;21 、【答案】 (1) 当a⩽0时，g(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，函数g(x)在(0,a2)上为增函数，在(a2,+∞)上为减函数．;(2) 存在；a=4．;22 、【答案】 (1) M(2cos⁡φ,sin⁡φ)，x24+y2=1．;(2) x+√2y+√3=0．;23 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;第11页，共11页。

2020届广东省深圳市普通高中高三毕业班第二次教学质量检测(二模)数学(文)试题及答案解析

绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班第二次教学质量检测(二模)数学(文)试题注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。

考试时间120分钟。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N|－3<x<3},B＝{－4,－2,0,2,4},则A∩B＝A.{－2,0,2}B.{0,2}C.{0}D.{2}2.若在复平面内,复数z＝2＋mi(m∈R)对应的点位于第四象限,且|z|＝4,则m＝A.－ C.23.已知函数f(x)的图象关于原点对称,当x>0时,f(x)＝2e x－3,则f(ln 13)＝A.－73B.73C.3D.－34.曲线y＝(x3－3x)·lnx在点(1,0)处的切线方程为A.2x＋y－2＝0B.x＋2y－1＝0C.x＋y－1＝0D.4x＋y－4＝05.2019年10月18日－27日,第七届世界军人运动会在湖北武汉举办,中国代表团共获得133金64银42铜,共239枚奖牌。

为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度,研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查,所得数据如下所示：现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人,抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12； ②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”。