高考数学总复习课时作业(三十一)第31讲数列求和理

合集下载

高考数学一轮复习课时作业31 数列求和理-人教版高三全册数学试题

课时作业31 数列求和[基础达标]1．[2020·某某某某二十四中模拟]已知数列{a n}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{a n}是等差数列，公差为d，且b n是a n和a n＋1的等比中项，设＝b2n＋1－b2n，n∈N*，求证：数列{}是等差数列；(2)若a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，S n为数列{a n}的前n项和，求数列{a n}的通项公式．解析：(1)由题意得b2n＝a n a n＋1，则＝b2n＋1－b2n＝a n＋1a n＋2－a n a n＋1＝2da n＋1，因此＋1－＝2d(a n＋2－a n＋1)＝2d2，∴{}是等差数列．(2)当n＝1时，a31＝a21，∵a1>0，∴a1＝1.当n≥2时，a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，①a31＋a32＋a33＋…＋a3n－1＝S2n－1，②①－②得，a3n＝S2n－S2n－1＝(S n－S n－1)(S n＋S n－1)．∵a n>0，∴a2n＝S n＋S n－1＝2S n－a n，③∵a1＝1合适上式，∴当n≥2时，a2n－1＝2S n－1－a n－1，④③－④得a2n－a2n－1＝2(S n－S n－1)－a n＋a n－1＝2a n－a n＋a n－1＝a n＋a n－1，∵a n＋a n－1>0，∴a n－a n－1＝1，∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，可得a n＝n.2．[2020·某某某某诊断]已知等差数列{a n}的公差大于0，且a4＝7，a2，a6－2a1，a14是等比数列{b n}的前三项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{b n}的前n项和为S n，若S n>39，求n的取值X围．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d>0)，由a4＝7，得a1＋3d＝7，①又a2，a6－2a1，a14是等比数列{b n}的前三项，∴(a6－2a1)2＝a2a14，即(5d－a1)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，化简得d＝2a1，②联立①②，解得a1＝1，d＝2.∴a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)∵b1＝a2＝3，b2＝a6－2a1＝9，b3＝a14＝27是等比数列{b n}的前三项，∴等比数列{b n}的首项为3，公比为3.∴S n ＝31－3n1－3＝33n－12. 由S n >39，得33n－12>39，化简得3n >27，解得n >3，n ∈N *.3．[2020·某某某某省级示X 高中联考]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝4n ＋12n n ＋2，设b n ＝n ＋1n·a n .(1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)求{a n }的前n 项积T n .解析：(1)因为b n ＋1b n ＝n ＋2n ＋1·a n ＋1n ＋1n·a n ＝n n ＋2n ＋12·a n ＋1a n ＝n n ＋2n ＋12·4n ＋12n n ＋2＝4，b 1＝2a 1＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为4的等比数列． (2)由(1)知b n ＝n ＋1n ·a n ＝2·4n －1，则a n ＝n n ＋1·22n －1. 从而T n ＝（12×23×34×…×n n ＋1）·21＋3＋5＋…＋(2n －1)＝2n 2n ＋1.4．[2020·某某河津二中月考]设数列{a n }满足a 1＝1,3a 2－a 1＝1，且2a n ＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }中，b 1＝12，4b n ＝a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)，{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <1.解析：(1)∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1(n ≥2)，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，又a 1＝1,3a 2－a 1＝1，∴1a 1＝1，1a 2＝32，∴1a 2－1a 1＝12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为12的等差数列，∴1a n ＝1＋12(n －1)＝12(n ＋1)，即a n ＝2n ＋1. (2)∵4b n ＝a n －1a n (n ≥2)，∴b n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1(n ≥2)，又b 1＝12符合上式，∴b n＝1n －1n ＋1(n ∈N *)， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝（1－12）＋（12－13）＋…＋（1n －1n ＋1）＝1－1n ＋1<1.5．[2019·某某某某中学期中]设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，1a n，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3①，当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13②，①－②，得3n －1·a n ＝13(n ≥2)，即a n ＝13n ；当n ＝1时，a 1＝13，符合上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)由(1)知b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，3n，n 为偶数，①当n 为奇数时，S n ＝1＋32＋3＋34＋…＋3n －1＋n ＝1＋n2·1＋n 2＋＝n 2＋2n ＋14＋98(3n －1－1)．②当n 为偶数时，S n ＝1＋32＋3＋34＋…＋(n －1)＋3n ＝[1＋n －1]2·n2＋91－9n21－9＝n 24＋98(3n－1)．所以数列{b n }的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n ＋14＋983n －1－1，n 为奇数，n 24＋983n－1，n 为偶数.6．[2020·某某某某模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d >0，且a 2a 3＝40，a 1＋a 4＝13，在公比为q (0<q <1)的等比数列{b n }中，b 1，b 3，b 5∈{160，132，120，18，12}.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{}满足＝a n b n ，求数列{}的前n 项和T n .解析：(1)因为{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝13，又a 2a 3＝40，所以a 2，a 3是方程x 2－13x ＋40＝0的两个实数根．又公差d >0，所以a 2<a 3，所以a 2＝5，a 3＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3，所以a n ＝3n －1，因为在公比为q (0<q <1)的等比数列{b n }中，b 1，b 3，b 5∈{160，132，120，18，12}，所以易知b 1＝12，b 3＝18，b 5＝132.此时公比q 2＝b 3b 1＝14，所以q ＝12，所以b n ＝（12）n .(2)由(1)知a n ＝3n －1，b n ＝（12）n ，所以＝(3n －1)·（12）n，所以T n ＝2×（12）1＋5×（12）2＋8×（12）3＋…＋(3n －1)×（12）n，12T n ＝2×122＋5×123＋…＋(3n －4)×12n ＋(3n －1)×12n ＋1，两式相减，得12T n ＝2×（12）1＋3[（12）2＋（12）3＋…＋（12）n ]－(3n －1)×（12）n ＋1＝1＋3×（12）[1－（12）n －1]－(3n －1)×（12）n ＋1＝52－（12）n ×3n ＋52.故{}的前n 项和T n ＝5－(3n ＋5)×（12）n .[能力挑战]7．[2020·某某某某联考]若正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，点P (S n ，S n ＋1)在曲线y ＝(x ＋1)2上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 表示数列{b n }的前n 项和，若T n ≥13m －1对任意n ∈N *恒成立，某某数m 的取值X 围．解析：(1)由已知可得S n ＋1＝(S n ＋1)2，得S n ＋1－S n ＝1，所以{S n }是以S 1为首项、1为公差的等差数列，所以S n ＝S 1＋(n －1)×1＝n ，得S n ＝n 2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1，也符合上式，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－12n ＋1)，显然T n 是关于n 的增函数，所以T n 有最小值(T n )min ＝T 1＝13，又T n ≥13m －1对任意n ∈N *恒成立，所以13≥13m －1恒成立，所以m ≤4，故实数m 的取值X 围为(－∞，4]．。

高考数学总复习课时作业31 数列求和试题文新人教A版

课时作业(三十一) 数列求和A 级1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 为( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．02．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( )A.nn ＋1B ．4n n ＋1C ．3n n ＋1D ．5n n ＋13．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( )A ．31B ．120C ．130D ．1854．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 2005．等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和S n .则“d >|a 1|”是“S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件6．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________. 7．数列32，94，258，6516，…的前n 项和S n 为________．8．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 的取值范围是________．9．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.10．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .11．若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2,3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2.(1)证明数列{a n ＋1－a n }是等差数列；(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＞52成立的最小的正整数n .B 级1．(2012·福建卷)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( )A ．1 006B ．2 012C ．503D ．02．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝________.3．在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 3a 5＋2a 4a 6＋a 3a 9＝100，又4是a 4与a 6的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和S n .详解答案课时作业(三十一)A 级1．B 据题意可知，2S 2＝S 1＋S 3，故2(a 1＋a 1q )＝a 1＋(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，即a 1q ＝a 1q 2，∵a 1≠0，q ≠0，∴q ＝1.故选B.2．B a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1. 3．C a 1＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20) ＝240－2＋20×102＝240－110＝130.4．B 由题意，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.故选B.5．A 因为等差数列{a n }中，S n ＝na 1＋n 2(n －1)d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值时，必满足d >0且－a 1－d22×d2≤1，即d ≥－2a 1，且d >0，故d >|a 1|可推导条件成立，而条件成立不能推出d >|a 1|成立，所以选A.6．解析：由等差数列的性质，a 2＋a 8＝18－a 5，即2a 5＝18－a 5，∴a 5＝6，又∵S 9＝a 1＋a 9×92＝9a 5＝54.答案： 547．解析： ∵32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18，6516＝4＋116，…∴S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋ (12)＝nn ＋12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n n ＋12＋1－12n .答案：n n ＋12＋1－12n8．解析：因为{a n }是等比数列，所以可设a n ＝a 1q n －1.因为a 2＝2，a 5＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1q 4＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝8－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.因为0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12，所以4≤S n ＜8.答案： [4,8)9．解析： ∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案： 2n ＋1－210．解析： (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知，S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1，②①－②得，(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，＝21－4n1－4－n ·22n ＋1＝－13[(3n －1)22n ＋1＋2]，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．11．解析： (1)由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得：a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23，即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23为公差的等差数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23(n ＋1)，于是累加求和得：a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝13n (n ＋1)，∴1a n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3－3n ＋1＞52，∴n ＞5. ∴最小的正整数n 为6.B 级1．A 因cosn π2呈周期性出现，则观察此数列求和规律，列项如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4，此4项的和为2.a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8，此4项的和为2.依次类推，得S 2 012＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012) ＝2 0124×2＝1 006.故选A.2．解析： a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，∴ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 22＋a 23＋…＋a 29 ＝1＋1＋2＋1＋22＋1＋23＋1＋…＋29＋1 ＝10＋(1＋2＋22＋…＋29) ＝10＋1－2101－2＝10＋210－1＝1 033.答案： 1 0333．解析： (1)∵a 3a 5＋2a 4a 6＋a 3a 9＝100， ∴a 24＋2a 4a 6＋a 26＝100，∴(a 4＋a 6)2＝100，又a n ＞0，∴a 4＋a 6＝10，∵4是a 4与a 6的等比中项，∴a 4a 6＝16，而q ∈(0,1)，∴a 4＞a 6，∴a 4＝8，a 6＝2， ∴q ＝12，a 1＝64，∴a n ＝64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝27－n.(2)b n ＝log 2a n ＝7－n ，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝n 13－n2， ∴当1≤n ≤7时，b n ≥0，∴S n ＝n 13－n2.当n ≥8时，b n ＜0，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b 7－(b 8＋b 9＋…＋b n ) ＝－(b 1＋b 2＋…＋b n )＋2(b 1＋b 2＋…＋b 7)，＝－n 13－n2＋2×7×62＝n 2－13n ＋842，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －n221≤n ≤7且n ∈N*，n 2－13n ＋842n ≥8且n ∈N *.。

高考数学第31讲数列求和

第31讲数列求和1．公式法与分组求和法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． ①等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝__na 1＋n (n －1)2d __.②等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝__a 1(1－q n )1－q __，q ≠1. (2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法分别求和后相加减．2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{}a n 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．(2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n 项和时使用公式S n ＝n (a 1＋a n )2较为合理．( √ )(2)如果数列{}a n 为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(3)当n ≥2时，1n 2－1＝1n －1－1n ＋1.( × )(4)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(5)如果数列{}a n 是周期为k 的周期数列，那么S km ＝mS k (m ，k 为大于1的正整数)．( √ )解析 (1)正确．根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知． (2)正确．根据等比数列的求和公式和通项公式可知． (3)错误．直接验证可知1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1.(4)错误．含有字母的数列求和常需要分类讨论，此题需要分a ＝0，a ＝1，以及a ≠0且a ≠1三种情况求和，只有当a ≠0且a ≠1时才能用错位相减法求和．(5)正确．根据周期性可得．2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a 5＝( D ) A ．1＋ln 2 B ．2＋ln 3 C ．3＋ln 5D ．2＋ln 5解析因为a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln (n ＋1)－ln n ，所以a 5－a 1＝(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1) ＝(ln 5－ln 4)＋(ln 4－ln 3)＋(ln 3－ln 2)＋(ln 2－ln 1) ＝ln 5－ln 1＝ln 5，所以a 5＝a 1＋ln 5＝2＋ln 5，故选D ．3．若数列{}a n 的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{}a n 的前n 项和为( C ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2解析 S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n ＋2n －1)＝(2＋22＋…＋2n )＋2(1＋2＋3＋…＋n )－n＝2(1－2n )1－2＋2×n (n ＋1)2－n ＝2(2n －1)＋n 2＋n －n＝2n ＋1＋n 2－2.4．若数列{}a n 的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( A ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析 ∵a n ＝(－1)n (3n －2)，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10 ＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15. 5．已知数列{}a n 的前n 项和为S n 且a n ＝n ·2n (n ∈N *)，则S n ＝__(n －1)2n ＋1＋2__.解析 ∵a n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .① ∴2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②，得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2.∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.一分组法求和分组求和法的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{}b n ，{}c n 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}a n 的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数的数列，其中数列{}b n ，{}c n 是等比或等差数列，可采用分组求和法．【例1】已知等差数列{}a n 满足a 5＝9，a 2＋a 6＝14. (1)求{}a n 的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋qa n (q ＞0)，求数列{}b n 的前n 项和S n . 解析 (1)设数列{}a n 的公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6 ＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以{}a n 的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.当q ＞0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋q 7＋…＋q 2n －1)＝n 2＋q (1－q 2n )1－q 2；当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)．所以数列{}b n 的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)，q ＝1，n 2＋q (1－q 2n )1－q 2，q ＞0且q ≠1.二错位相减法求和利用错位相减法求和的两点注意(1)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．同时要注意等比数列的项数是多少．【例2】若公比为q 的等比数列{}a n 的首项a 1＝1，且满足a n ＝a n －1＋a n －22(n ＝3,4,5，…)．(1)求q 的值；(2)设b n ＝n ·a n ，求数列{}b n 的前n 项和S n . 解析 (1)由题意易知2a n ＝a n －1＋a n －2，即2a 1q n －1＝a 1q n －2＋a 1q n －3.∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.(2)①当q ＝1时，a 1＝1，b n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2.②当q ＝－12时，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，b n ＝n ·⎝⎛⎭⎫－12n －1， S n ＝1·⎝⎛⎭⎫－120＋2·⎝⎛⎭⎫－121＋3·⎝⎛⎭⎫－122＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫－12n －1，－12S n ＝1·⎝⎛⎭⎫－121＋2·⎝⎛⎭⎫－122＋…＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－12n －1＋n ·⎝⎛⎭⎫－12n ，两式相减，得32S n ＝1－n ·⎝⎛⎭⎫－12n ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－123＋…＋⎝⎛⎭⎫－12n －1，整理得S n ＝49－⎝⎛⎭⎫49＋2n 3·⎝⎛⎭⎫－12n. 三裂项相消法求和常见的裂项方法【例3】已知正项数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，12成等差数列．(1)证明：数列{}a n 是等比数列；(2)若b n ＝log 2a n ＋3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解析 (1)证明：由题意知2a n ＝S n ＋12.当n ＝1时，2a 1＝a 1＋12，∴a 1＝12.当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减，得a n ＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1.∵{}a n 为正项数列，∴a na n －1＝2(n ≥2)，∴数列{}a n 是以12为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＝a 1·2n －1＝2n －2，∴b n ＝log 22n －2＋3＝n －2＋3＝n ＋1.∴1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2. ∴T n ＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2).1．已知等比数列{}a n 中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{}b n 中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{}b n 的前9项和S 9＝( B )A ．9B ．18C ．36D ．72解析 ∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4，∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2.∴S 9＝9b 5＝18，故选B ．2．已知正项数列{}a n 满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{}a n 的前n 项和为__3n－1__.解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0.∵a n ＞0，∴a n ＋1＝3a n .又a 1＝2，∴{}a n 是首项为2，公比为3的等比数列．∴S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.3．在数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋1·a n ＝a n －a n ＋1. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若b n ＝lg a n ＋2a n ，求数列{}b n 的前n 项和S n .解析 (1)由题意得1a n ＋1－1a n＝1.又因为a 1＝1，所以1a 1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n ，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1n.(2)由(1)得b n ＝lg n －lg(n ＋2)．所以S n ＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg(n －2)－lg n ＋lg(n －1)－lg(n ＋1)＋lg n －lg(n ＋2)＝lg 1＋lg 2－lg(n ＋1)－lg(n ＋2)＝lg 2(n ＋1)(n ＋2).4．设数列{}a n 满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3(n ∈N *)．(1)求数列{}a n 的通项；(2)设b n ＝na n ，求数列{}b n 的前n 项和S n .解析 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①∴a 1＝13，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2) ，② ①－②，得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，化简得a n ＝13n (n ≥2)．显然，a 1＝13也满足上式，故a n ＝13n (n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝n ·3n .于是S n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，③ 3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1 ，④③－④，得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1，即－2S n ＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1.∴S n ＝2n －14·3n ＋1＋34.易错点1 求和时数不清项数错因分析：弄清和式的构成规律是数清项数的关键．【例1】设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ≥－3，n ∈Z )，则f (n )＝( )A ．27(8n －1)B ．27(8n ＋1－1)C ．27(8n ＋3－1)D ．27(8n ＋4－1)解析 1＝3×1－2,3n ＋10＝3(n ＋4)－2，所以f (n )是首项为2，公比为8的等比数列的前n ＋4项的和．由求和公式得f (n )＝2(1－8n ＋4)1－8＝27(8n ＋4－1)．选D ．答案：D【跟踪训练1】把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……，循环分组为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为__392__.解析将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.易错点2 找不到裂项相消的规律错因分析：看清是相邻项相消还是隔项相消，同时注意系数．【例2】求和：11×5＋13×7＋…＋1(2n ＋1)(2n ＋5).解析 a n ＝1(2n －1)(2n ＋3)＝14×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋3，∴原式＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋13－17＋15－19＋…＋12n －1－12n ＋3＋12n ＋1－12n ＋5 ＝14⎝⎛⎭⎫1＋13－12n ＋3－12n ＋5 ＝13－n ＋2(2n ＋3)(2n ＋5). 【跟踪训练2】数列1，11＋2，11＋2＋3，11＋2＋3＋4，…，11＋2＋3＋…＋n的前n 项和为( B )A ．2n 2n ＋1B ．2n n ＋1 C ．n ＋2n ＋1D ．3n2n ＋1解析11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，数列1，11＋2，11＋2＋3，11＋2＋3＋4，…，11＋2＋3＋…＋n的前n 项和为2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝ 2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，故选B ．课时达标第31讲[解密考纲]考查数列的通项公式、数列求和的方法，主要考查公式法、裂项相消法和错位相减法求前n 项和，以及利用S n 与a n 的关系求通项公式，三种题型均有考查，位于各类题型的中间靠后位置．一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 6＝( D )A ．142B ．45C ．56D ．67解析因为a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S 6＝1－12＋12－13＋…＋16－17＝1－17＝67.2．已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝( C ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121解析因为1n ＋1＋n＝n ＋1－n n ＋1－n ＝n ＋1－n ，所以S m ＝2－1＋3－2＋…＋m ＋1－m ＝m ＋1－1.由已知得m ＋1－1＝10，所以m ＝120，故选C ． 3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( D )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 010解析由题意，得a n ＋1＝a n ＋sin (n ＋1)π2，所以a 2＝a 1＋sin π＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝0，a 4＝a 3＋sin 2π＝0，a 5＝a 4＋sin5π2＝1，…，因此，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2 018＝4×504＋2，所以S 2 018＝504×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝1 010，故选D ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( A )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 5．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 018＝( B ) A ．2 017 B ．－1 010 C ．504D ．0解析因为a n ＝n cos n π2，所以当n 为奇数时，a n ＝0，当n 为偶数时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝4m ，－n ，n ＝4m －2，其中m ∈N *，所以S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 016＋a 2 017＋a 2 018 ＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 2 016＋a 2 018＝－2＋4－6＋8－10＋12－14＋…＋2 016－2 018 ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋(－10＋12)＋…＋(－2 014＋2 016)－2 018＝2×504－2 018＝－1 010，故选B ．6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( B )A ．22 018－1B ．3×21 009－3C ．3×21 009－1D ．3×22 018－2解析依题意得a n ·a n ＋1＝2n ，a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，于是有a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是以a 1＝1为首项、2为公比的等比数列；数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以a 2＝2为首项、2为公比的等比数列，于是有S 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋2(1－21 009)1－2＝3×21009－3.二、填空题7．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__8nn ＋1__.解析 ∵a n ＝n (n ＋1)2n ＋1＝n 2，∴b n ＝8n (n ＋1)＝8⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝8⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8nn ＋1.8．(2018·河南郑州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝__130__.解析由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以当n <5时，a n <0；当n ≥5时，a n ≥0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝__2n 2＋6n __.解析令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)．与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2.∴a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，a 1适合a n .∴a n ＝4(n ＋1)2，∴a n n ＋1＝4n ＋4， ∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n (8＋4n ＋4)2＝2n 2＋6n . 三、解答题10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝2a n －1＋(n －2) (n ≥2，n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(3)求数列{a n }的前n 项和S n .解析 (1)令n ＝2得a 2＝2a 1＝6.令n ＝3，得a 3＝2a 2＋1＝13.(2)证明：因为a n ＋n ＝2[a n －1＋(n －1)]，a 1＋1＝4≠0，所以a n ＋n ≠0，所以a n ＋n a n －1＋(n －1)＝2，所以数列{a n ＋n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以a n ＋n ＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－n . (3)因为a n ＝2n ＋1－n ，所以S n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－(1＋2＋…＋n ) ＝4(1－2n )1－2－n (n ＋1)2＝2n ＋2－n 2＋n ＋82. 11．(2018·安徽淮南模拟)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解析 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，所以d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4，所以a n ＝－n ＋11或a n ＝4n ＋6.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，所以d ＝－1，a n ＝－n ＋11.当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－…－a n ＝S 11－(S n －S 11)＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧ －12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.12．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{}b n 的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n ，求数列{}c n 的前n 项和T n . 解析 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d .可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n)1－2－(n ＋1)×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝3n ·2n ＋2.。

2019年高考数学理课时作业三十一第31讲数列求和含

课时作业(三十一)第31讲数列求和基础热身1.数列4,8,16,32,…的前n项和为()A.2n+1-2-n-1B.2n+2-2-n-3C.2n+1+2-n-1D.2n+1-2-n-1-12.[2018·山东临沂一中月考]若数列的通项公式是a n=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=()A.15B.12C.-12D.-153.[2017·蚌埠第二中学月考]已知函数f=为奇数-为偶数且a n=f+f,则a1+a2+a3+…+a8=()A.-16B.-8C.8D.164.已知数列的通项公式为a n=-,则数列的前40项和为.5.[2017·呼和浩特调研]在等差数列中,a2=8,前6项和S6=66,设b n=,T n=b1+b2+…+b n,则T n=.能力提升6.[2017·湘潭模拟]已知T n为数列的前n项和,若n>T10+1013恒成立,则整数n的最小值为()A.1026B.1025C.1024D.10237.[2017·合肥调研]已知数列满足a1=2,4a3=a6,是等差数列,则数列{(-1)n a n}的前10项的和S10=()A.220B.110C.99D.558.[2017·临川实验学校一模]我国古代数学名著《九章算术》中有已知长方形面积求一边的算法(“少广”算法),该算法的前两步用现代汉语描述如下.第一步:构造数列1,,,,…,①.第二步:将数列①的各项乘,得到一个新数列a1,a2,a3,…,a n.则a1a2+a2a3+a3a4+…+a n-1a n等于() A.B.-C.-D.9.[2017·重庆第八中学月考]设数列的前n项和为S n,若a n+1=(-1)n-1a n+2n+1,则S32=()A.560B.360C.280D.19210.[2017·唐山一模]数列是首项为1,公差为1的等差数列,数列是首项为1,公比为2的等比数列,则数列的前n项和等于.11.[2017·陕西黄陵中学模拟]已知数列是公差为整数的等差数列,前n项和为S n,且a1+a5+2=0,2S1,3S2,8S3成等比数列,则数列的前10项和为.12.[2017·玉溪质检]已知数列满足a1=1,a2=2,a n+2=1+sin2a n+2cos2,则该数列的前20项和为.13.(15分)[2017·莆田一模]设数列的前n项和S n=2n+1-2,数列满足b n=-+22n-1.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.14.(15分)[2017·佛山质检]已知数列满足a1=1,a n+1=a n+2,数列的前n项和为S n,且S n=2-b n.(1)求数列,的通项公式;(2)设c n=a n b n,求数列的前n项和T n.难点突破15.(5分)[2017·洛阳三检]已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+1=,若a1=2,则{log2a n}的前2017项的和为()A.1B.2C.-6D.-58616.(5分)[2017·抚州临川区模拟]在数列中,a1=2,n(a n+1-a n)=a n+1,n∈N*,若对于任意的a ∈[-2,2],不等式<2t2+at-1恒成立,则t的取值范围为.课时作业(三十一)1.B[解析]由题知,所给数列的通项公式为a n=2n+1+,则前n项和S n=+=2n+2-2-n-3.故选B.2.A[解析]a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=5×3=15,故选A.3.C[解析]当n为奇数时,n+1为偶数,则a n=n2-(n+1)2=-2n-1,所以a1+a3+a5+a7=-(3+7+11+15)=-36.当n为偶数时,n+1为奇数,则a n=-n2+(n+1)2=2n+1,则a2+a4+a6+a8=5+9+13+17=44.所以a1+a2+…+a8=-36+44=8,故选C.=(--),则数列的前40项和4.[解析]a n=-S40=[(-)+(-)+…+(-)]=(-)=.5.[解析]设等差数列{a n}的公差为d,由题意得解得则a n=2n+4,因此b n==-,∴T n=-+-+…+-=-=.6.C[解析]因为=1+,所以T n=n+1-,T10+1013=11-+1013=1024-,又n>T10+1013,所以整数n的最小值为1024.故选C.7.B[解析]设数列的公差为d,则解得d=2,所以=a1+(n-1)d=2n,a n=2n2,所以S10=-a1+a2-a3+a4-…-a9+a10=-2×12+2×22-2×32+2×42-…-2×92+2×102=2[(22-12)+(42-32)+…+(102-92)]=2[(2-1)×(1+2)+(4-3)×(3+4)+…+(10-9)×(9+10)]=2×(1+2+…+10)=110,故选B.8.C[解析]新数列为1×,×,×,…,×,所以a1a2+a2a3+a3a4+…+a n-1a n=+++…+-=1-+-+-+…+--=1-=-.故选C.9.A[解析]依题意有a2-a1=3,a3+a2=5,a4-a3=7,a5+a4=9,a6-a5=11,a7+a6=13,a8-a7=15,…,由此可得a1+a3=2,a5+a7=2,…,a2+a4=12,a6+a8=28,…,所以S32=(a1+a3+…+a31)+(a2+a4+…+a32)=8×2+8×12+×16=560,故选A.10.(n-1)2n+1[解析]由题意得a n=n,b n=2n-1,则a n b n=n·2n-1,则数列的前n项和S n=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1①,所以2S n=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n②.①-②得-S n=1+21+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n,整理得S n=(n-1)·2n+1.11.-[解析]设等差数列{a n}的公差为d,因为a1+a5+2=0,所以2a1+4d+2=0,a1=-1-2d.因为2S1,3S2,8S3成等比数列,所以16S1S3=9,即16(-1-2d)(-3-3d)=9(-2-3d)2.因为d为整数,所以解得d=-2,则a1=3,所以a n=3-2(n-1)=5-2n.则=--=---,所以数列的前10项和为×---+×--+…+×-=×--=-.12.1133[解析]当n为奇数时,a n+2=2a n,故奇数项是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;当n 为偶数时,a n+2=a n+2,故偶数项是以a2=2为首项,2为公差的等差数列,所以前20项中的奇数项和S奇==210-1=1023,前20项中的偶数项和S偶=10×2+×2=110,所以S20=1023+110=1133.13.解:(1)当n=1时,a1=S1=2.由S n=2n+1-2得S n-1=2n-2(n≥2),∴a n=S n-S n-1= 2n+1-2n=2n(n≥2).当n=1时,a1=2满足上式,∴a n=2n(n∈N*).(2)b n=-+22n-1=-+22n-1=--+22n-1,则T n=1-+-+…+--+(2+23+25+…+22n-1)=1-+=+-.14.解:(1)因为a1=1,a n+1-a n=2,所以是首项为1,公差为2的等差数列,所以a n=1+(n-1)×2 =2n-1.当n=1时,b1=S1=2-b1,所以b1=1.当n≥2时,S n=2-b n①,S n-1=2-b n-1②,由①-②得b n=-b n+b n-1,即-=.所以是首项为1,公比为的等比数列,故b n=-.(2)由(1)知c n=a n b n=--,则T n=+++…+--③,T n=++…+--+-④,③-④得T n=+++…+---=1+1++…+---= 1+---=3-,所以T n=6--.15.A[解析]由a1=2,a n+1=,得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,a6=-3,…,由此可得数列{a n}是以4为周期的周期数列,且a1a2a3a4=1,所以{a n}的前2017项的积为a1a2a3a4…a2017=1×1×1×…×a1=2,所以{log2a n}的前2017项的和为log2a1+log2a2+…+log2a2017=log2(a1a2…a2017)=1,故选A.16.(-∞,-2]∪[2,+∞)[解析]由题设可得a n+1-a n=a n+,即a n+1=a n+,即=+,所以-=-.令n=1,2,3,…,n可得-=-,-=-,-=-,…,-=-,累加得-=1-,则=3-<3,所以2t2+at-1≥3,即2t2+at-4≥0.令F(a)=2t2+at-4,a∈[-2,2],则-即--解得t≥2或t≤-2.-。

备战高考数学一轮复习讲义第31讲第1课时分组求和法与错位相减法

第31讲数列的求和激活思维1. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，则其前20项和为( C )A. 379＋1220 B. 399＋1220 C. 419＋1220D. 439＋1220解析：令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝2(1＋2＋3＋…＋20)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋1220＝420－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1220＝419＋1220.2. (人A 选必二P41习题7改)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎨⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( C ) A. 1 121 B. 1 122 C. 1 123D. 1 124解析：由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×(1－210)1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.3. (人A 选必二P25习题7改)若数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n 等于( B )A. 9B. 99C. 10D. 100解析：因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝9，得n ＝99. 4. (人A 选必二P25习题10改)(多选)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝3，S 4＝16，n ∈N *，设b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和T n ，则( AD )A. a 5＝9B. a 5＝11C. T 5＝1011D. T 5＝511解析：设数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝3，S 4＝16，所以a 1＋d ＝3,4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，所以a 5＝9，所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1，所以T 5＝511. 5. (人A 选必二P40习题3改)数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 2n －1的前n 项和T n ＝ 4－n ＋22n －1 .解析：因为T n ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n 2n －1，所以12T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n 2n ，两式相减得，12T n ＝1＋12＋122＋123＋124＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ，故T n ＝4－n ＋22n －1.基础回归1. 分组求和法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列进行求和．2. 分组求和法的常见类型3. 错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法．如：{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的和．4. 裂项相消法常用的裂项技巧(1) 1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n )．5. 常用结论(1) 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2) 12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.(3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分别讨论公比等于1和不等于1两种情况．第1课时分组求和法与错位相减法举题说法分组求和法例1 (2022·菏泽二模)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和S n 满足2S n ＋a n ＋1＝2n ＋1－1.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －2n 3为等比数列；【解答】由2S n ＋a n ＋1＝2n ＋1－1(n ≥1)①，得2S n －1＋a n ＝2n －1(n ≥2)②，由①－②，得a n ＋a n ＋1＝2n(n ≥2)，则a n ＋1＝－a n ＋2n⇒a n ＋1－2n ＋13＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2n 3(n ≥2)，又当n ＝1时，由①得a 2＝1⇒a 2－223＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－23，所以对任意的n ∈N *，都有a n＋1－2n ＋13＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2n 3，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －2n 3是以13为首项，－1为公比的等比数列． (2) 求S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2n .【解答】由(1)知a n －2n 3＝(－1)n －13，得a n ＝2n ＋(－1)n －13，所以a n ＋1＝2n ＋1＋(－1)n 3，代入①，得S n ＝2n ＋13－(－1)n 6－12，所以S 1＋S 2＋…＋S 2n ＝13(22＋23＋…＋22n ＋1)－16[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)2n ]－2n 2＝13⎝⎛⎭⎪⎫22－22n ＋21－2－0－n ＝22n ＋2－3n －43.某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项的结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．变式已知在数列{a n }中，a 1＝1且2a n ＋1＝6a n ＋2n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋n 2为等比数列；【解答】因为2a n ＋1＝6a n ＋2n －1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝3a n ＋n －12，所以a n ＋1＋n ＋12a n ＋n 2＝3a n ＋n －12＋n ＋12a n ＋n 2＝3a n ＋32n a n ＋n 2＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋n 2为等比数列，首项为32，公比为3.(2) 求数列{a n }的前n 项和S n .【解答】由(1)得a n ＋n 2＝32×3n －1＝12×3n ，所以a n ＝12×3n －n2，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(31＋32＋33＋…＋3n )－12(1＋2＋3＋…＋n )＝12·3(1－3n)1－3－12·n (n ＋1)2＝3(3n －1)4－n 2＋n 4＝3n ＋1－n 2－n －34.错位相减法求和例2 (2022·邯郸二模)已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1＝2,2a 1＋a 3＝3a 2. (1) 求数列{a n }的通项公式；【解答】由2a 1＋a 3＝3a 2，得2×2＋2×q 2＝3×2q ，解得q ＝2或q ＝1(舍去)，所以a n ＝2×2n －1＝2n .(2) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n S n ＋2的前n 项和．【解答】由(1)可知a n ＝2n，所以S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2，所以n S n ＋2＝n2n ＋1＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n S n ＋2的前n 项和为T n ，T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1①，12T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2②，①－②，得12T n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2，即12T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2，所以T n ＝1－(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.用错位相减法求和时，应注意防范以下错误：1. 两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．2. 对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和．3. 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比q 为参数，应分公比q ＝1和q ≠1两种情况求解．4. 在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．变式 (2022·临沂二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋1. (1) 求{a n }的通项公式；【解答】由S n ＋1＝2S n ＋1，得S n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，所以S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1，所以a n ＋1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)．又a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋1，所以a 2＋a 1＝2a 1＋1，整理得a 2＝2a 1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2) 记b n ＝log 2a na n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解答】由(1)得a n ＝2n －1，所以b n ＝log 2a na n＝log 22n －12n －1＝n －12n －1，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，即T n ＝0＋12＋222＋…＋n －12n －1，12T n ＝0＋122＋223＋…＋n －12n ，两式相减，得12T n ＝12＋122＋…＋12n －1－n －12n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－n －12n ＝1－n ＋12n ，所以T n ＝2－n ＋12n －1.并项法求和例3 (2022·南平三模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝n ＋1n .(1) 求数列{a n }的通项公式；【解答】因为a 1＝1，a n ＋1a n ＝n ＋1n ，所以当n ≥2时，a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝21×32×…×n n －1，则a na 1＝n ，即a n ＝n ，当n ＝1时，也成立，所以a n ＝n .(2) 若{b n }满足b 2n ＝2a n －24，b 2n －1＝2a n －22.设S n 为数列{b n }的前n 项和，求S 20.【解答】由(1)知b 2n ＝2a n －24＝2n －24，b 2n －1＝2a n －22＝2n －22，则b 2n ＋b 2n －1＝4n －46，则S 20＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 19＋b 20)＝(4×1－46)＋(4×2－46)＋…＋(4×10－46)＝4×(1＋10)×102－46×10＝－240.当数列{a n }的连续两项a n －1＋a n 或多项的和(差)为等差数列或等比数列时，通常用并项法进行求和．变式在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 7＝11.设b n ＝(－1)n ·a n ，则数列{b n }的前100项和S 100等于( D )A. －200B. －100C. 200D. 100解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 1＋3d ＝5，a 1＋6d ＝11⇒⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝2⇒a n ＝2n －3，所以b n ＝(－1)n (2n －3)．又b 2n －1＋b 2n ＝－a 2n －1＋a 2n ＝－(4n －5)＋4n －3＝2，所以S 100＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a 99＋a 100)＝50×2＝100.随堂内化1. 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( A )A. 15B. 12C. －12D. －15解析： a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15.2. 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和是( D )A. 2－n 2nB. 2－12n －1C. 2－n －12n －1－n 2nD. 2－12n －1－n2n解析：由题知S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ①，则12S n ＝1×14＋2×18＋3×116＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1②.两式相减得12S n ＝12＋14＋18＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1，所以S n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －n 2n ＋1＝2－12n －1－n 2n . 3. (多选)在等差数列{a n }中，已知a 2＝4，通项为a n ，前4项和为18，设b n ＝n ·2a n －2，数列{b n }的前n 项和为T n ，则( AC )A. a n ＝n ＋2B. a n ＝n ＋3C. T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2D. T n ＝(n －1)×2n ＋1＋3解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，4a 1＋4×32d ＝18，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝1，所以a n ＝n ＋2，可得b n ＝n ·2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ①，2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n＋1②.由①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2－2n ＋11－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2，所以T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.4. 已知数列：112，214，318，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为n(n＋1)2－12n＋1.解析：设所求的前n项和为S n，则S n＝(1＋2＋3＋…＋n)＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n＝n(n＋1)2＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n1－12＝n(n＋1)2－12n＋1.5. 1＋11＋111＋…＋的和是10n＋1－9n－1081.解析：因为＝19×＝10n－19，所以1＋11＋111＋…＋＝19[(10－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n－1)]＝19(10＋102＋103＋…＋10n)－n9＝19×10(1－10n)1－10－n9＝10n＋1－9n－1081.练案❶趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》．练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》，成书可向当地发行咨询购买．。

高考数学一轮复习第31讲数列求和课件理北师大版

2－2n1－1－22nn＋1，
∴Sn＝4－n2＋n－21 .
返回目录
第31讲数列求和
双
向
—— 疑难辨析 ——
固
基
础
1．数列求和的方法技巧
(1)等差数列的前n项和是用裂项相消法推导的．( )
(2)等比数列的前n项和是用倒序相加法推导的．( )
(3)数列2n（21n－1）可以用裂项相消法求和．(
__________．
[答案] 377
[解析] S9＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8)＝ 11－－445＋4×（32＋15）＝377.
返回目录
第31讲数列求和
双
向
固
基础
4．[教材改编]
数列
2 2
，242，
6 23
，…，
22nn ，…前n项和为
__________．
[答案] 4－n2＋n－21
若__干__个__等__差__或__等__比__或__可__求__和__的数列组成，则求和时可用分组
求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成__两__项__之__差___，在求和
时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常 ②用（的 2n裂－项 1）公1（式2： n＋①1n）（＝n1＋ __121_） _2_n＝ _1－___11n__－－____2n__n＋__11＋____11_______；；
项，d为公差)．
(其中a1为首
②等比数列的前n项和公式
当q＝1时，Sn＝___n_a__1 __； a1（1－qn）
a1－anq
当q≠1时，Sn＝_____1_－__q_____＝_____1_－__q___ (其中a1

新高考数学一轮复习课时规范练31 数列求和新人教A版高三全册数学试题

课时规范练31 数列求和基础巩固组1.(2019广东广州调研)数列112,314,518,7116,…,(2n-1)+12n ,…的前n 项和S n 的值等于( )A.n 2+1-12nB.2n 2-n+1-12nC.n 2+1-12n -1D.n 2-n+1-12n2.(2019广东深圳调研)已知函数f (n )={n 2,n 为奇数,-n 2,n 为偶数,且a n =f (n )+f (n+1),则a 1+a 2+a 3+…+a 100等于( )A.0B.100C.-100D.10 2003.(2019河南开封调研)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1·a n =2n (n ∈N *),则S 2 018等于( )A.22 018-1 B.3×21 009-3C.3×21 009-1 D.3×21 008-24.(2017全国2,理15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑n =1n1S k= .5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =2a n -4(n ∈N *),则a n = ;数列{log 2a n }的前n 项和为 .6.(2019山东淄博一模,17)已知在等比数列{a n }中,a 1=2,且a 1,a 2,a 3-2成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:b n =1n n+2log 2a n -1,求数列{b n }的前n 项和S n .7.(2019山东实验等四校联考,17)已知数列{a n}的前n项和S n满足√n n=√n n-1+1(n≥2,n∈N),且a1=1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=1n n·n n+1,T n为数列{b n}的前n项和,求使T n≥2n成立的n的最小值.综合提升组8.(2019广东珠海一中等六校联考)已知数列{a n}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有a n+1=a n+a1+n,则1 n1+1n2+…+1n2017等于()A.20162017B.40322017C.20172018D.403420189.(多选)已知函数f(x)=12(x2+a)的图象在点P n(n,f(n))(n∈N*)处的切线l n的斜率为k n,直线l n交x 轴,y轴分别于点A n(x n,0),B n(0,y n),且y1=-1.以下结论中,正确的结论有()A.a=-1B.记函数g(n)=x n(n∈N*),则函数g(n)的单调性是先减后增,且最小值为1C.当n∈N*时,y n+k n+12<ln(1+k n)D.当n∈N*时,记数列{√|n n n }的前n项和为S n,则S n<√2(2n-1)n10.(2019衡水联考)已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n,T n,且a n>0,6S n=n n2+3a n,n∈N*,b n=2n n(2n n-1)(2n n+1-1),若∀n∈N*,k>T n恒成立,则k的最小值是.11.(2019山东淄博实验中学期末,17)已知等差数列{a n}的公差d>0,其前n项和为S n,且S5=20,a3,a5,a8成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=1n n·n n+1+n,求数列{b n}的前n项和T n.12.(2019贵州贵阳一模)已知数列{a n}的前n项和是S n,且S n+12a n=1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n =lo g 13(1-S n+1)(n ∈N *),令T n =1n 1n 2+1n 2n3+…+1n n n n +1,求T n .创新应用组13.(2019河南重点学校月考)已知数列{a n }中,a 1=1,a n-1-a n =2a n a n-1(n ≥2).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =nn 2n +1,数列{b n }的前n 项和为S n ,证明:对任意的n ∈N *,都有13≤S n <12.14.(2019河南郑州二模,17)已知数列{a n}中,a1=1,a n>0,前n项和为S n,若a n=√n n+√n n-1(n∈N*,且n≥2).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记c n=a n·2n n,求数列{c n}的前n项和T n.15.(2019四川百校模拟冲刺改编)定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足:当0≤x<2时,f(x)=2x-x2;当x≥2时,f(x)=3f(x-2).记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1,a2,…,a n,…,并记相应的极大值为b1,b2,…,b n,….(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设S=a1b1+a2b2+…+a20b20,求S的值(不必求出具体的数值).参考答案课时规范练31数列求和1.A该数列的通项公式为a n=(2n-1)+12n ,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+12+122+…+12n=n2+1-12n.2.B由题意,得a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-50×101+50×103=100.故选B.3.B a1=1,a2=2n1=2,又n n +2·n n +1n n +1·n n=2n +12n=2,∴n n +2n n=2. ∴a 1,a 3,a 5,…成等比数列;a 2,a 4,a 6,…成等比数列,∴S 2018=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+…+a 2017+a 2018=(a 1+a 3+a 5+…+a 2017)+(a 2+a 4+a 6+…+a 2018)=1-210091-2+2(1-21009)1-2=3·21009-3.故选B .4.2nn +1设等差数列的首项为a 1,公差为d ,由题意可知{n 1+2n =3,4n 1+4×32n =10,解得{n 1=1,n =1.所以S n =na 1+n (n -1)2d=n (1+n )2.所以1n n=2n (n +1)=2(1n -1n +1).所以∑n =1n1Sk=2(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n +1)=2(1-1n +1)=2nn +1.5.2n+1n (n +3)2∵S n =2a n -4(n ∈N *),∴n=1时,a 1=S 1=2a 1-4,解得a 1=4,n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1,整理,得a n =2a n-1,∴{a n }是首项为4,公比为2的等比数列,∴a n =4×2n-1=2n+1,log 2a n =n+1,∴数列{log 2a n }的前n 项和为2+3+4+5+…+(n+1)=n (n +3)2.6.解(1)设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 1,a 2,a 3-2成等差数列,∴2a 2=a 1+(a 3-2)=2+(a 3-2)=a 3, ∴q=n3n 2=2,∴a n =a 1q n-1=2n (n ∈N *).(2)由(1)及b n =1n n+2log 2a n -1,可知(12)n +2log 22n -1=(12)n+2n-1,∴S n =(12+1)+(12)2+3+[(12)3+5]+…+(12)n+(2n-1)=12+(12)2+(12)3+…+(12)n+[1+3+5+…+(2n-1)]=12[1-(12)n ]1-12+n ·[1+(2n -1)]2=n 2-(12)n+1(n ∈N *).7.解(1)由已知√n n =√n n -1+1,得√n n −√n n -1=1,所以数列{√n n }为等差数列,且√n 1=1.∴√n n =n ,即S n =n 2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1,又a 1=1也满足上式,∴a n =2n-1.(2)由(1)知,b n =1(2n -1)(2n +1)=1212n -1−12n +1, ∴T n =121-13+13−15+…+12n -1−12n +1=121-12n +1=n2n +1,由T n ≥2n 有n 2≥4n+2,有(n-2)2≥6,所以n ≥5,∴n 的最小值为5.8.D 由题意可得a n+1-a n =n+1,则a 1=1,a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n-1=n ,以上各式相加可得a n =n (n +1)2,则1n n=2(1n -1n +1),1n 1+1n 2+…+1n2017=2×(1-12)+(12-13)+…+12017−12018=40342018.9.ACD 由f (x )=12(x 2+a ),得f'(x )=x ,则f'(n )=n ,即k n =n ,∴曲线在点P n (n ,f (n ))处的切线l n 的切线方程为y-12(n 2+a )=n (x-n ),直线l n 与y 轴交于点B n (0,y n ),则y n =12(n 2+a )-n 2且y 1=-1,解得a=-1,故A 正确;直线l n 与x 轴交于A n (x n ,0),∴0-12(n 2+a )=n (x n -n ).整理得g (n )=x n =n 2+12n,则x'n =12−12n2,令x'n =12−12n 2=0,解得n=1(负值舍去).当n>1时,x'n >0,∴函数g (n )为增函数,当n=1时,函数取最小值,且最小值为1.∴函数g (n )的单调性是增函数,且最小值为1,故B 不正确;在l n 中,令x=0,得y n =-n 2+12(n 2-1)=-12(n 2+1),∴y n +k n +12=-12n 2+n ,当n=1时,y 1+k 1+12=12=ln √e <ln2=ln(1+1)=ln(1+k 1),当n ≥2时,y n +k n +12=-12n 2+n ≤0,而ln(1+k n )=ln(1+n )>ln1=0,故C 正确;∵√|n n n=√2√<√2n 2,∴S n <√2112+122+132+…+1n 2.当n>1时,1n 2<1n (n -1)=1n -1−1n ,∴S n <√21+(1-12)+12−13+…+(1n -1-1n )=√22-1n =√2(2n -1)n,故D 正确.故选ACD .10.149当n=1时,6a 1=n 12+3a 1,解得a 1=3或a 1=0.由a n >0,得a 1=3.由6S n =n n 2+3a n ,得6S n+1=n n +12+3a n+1.两式相减得6a n+1=n n +12−n n 2+3a n+1-3a n .所以(a n+1+a n )(a n+1-a n -3)=0.因为a n >0,所以a n+1+a n >0,a n+1-a n =3.即数列{a n }是以3为首项,3为公差的等差数列,所以a n =3+3(n-1)=3n.所以b n =2n n(2n n-1)(2n n +1-1)=8n(8n-1)(8n +1-1)=1718n-1−18n +1-1.所以T n =1718-1−182-1+182-1−183-1+…+18n -1−18n +1-1=1717−18n +1-1<149.要使∀n ∈N *,k>T n 恒成立,只需k ≥149.11.解(1)因为S 5=5(n 1+n 5)2=20,即a 1+a 5=8,a 3=4,即a 1+2d=4. ①因为a 3,a 5,a 8为等比数列,即n 52=a 3a 8.所以(a 1+4d )2=(a 1+2d )(a 1+7d ),化简得a 1=2d.②联立①和②得a 1=2,d=1,所以a n =n+1.(2)由(1)及b n =1n n ·n n +1+n ,可知b n =1nn ·n n +1+n=1(n +1)(n +2)+n=(1n +1-1n +2)+n ,所以T n =[(12-13)+1]+13−14+2+14−15+3+…+1n +1−1n +2+n =(12-13)+(13-14)+(14-15)+…+1n +1−1n +2+(1+2+3+…+n )=(12-1n +2)+n (n +1)2=n 2(n +2)+n (n +1)2.12.解(1)当n=1时,a 1=S 1,由S 1+12a 1=1,得a 1=23.当n ≥2时,S n =1-12a n ,S n-1=1-12a n-1,则S n -S n-1=12(a n-1-a n ),即a n =12(a n-1-a n ),所以a n =13a n-1(n ≥2).故数列{a n }是以23为首项,13为公比的等比数列.故a n =23·(13)n -1=2·(13)n(n ∈N *).(2)因为1-S n =12a n =(13)n.所以b n =lo g 13(1-S n+1)=lo g 13(13)n +1=n+1.因为1nn n n +1=1(n +1)(n +2)=1n +1−1n +2,所以T n =1n1n 2+1n2n3+…+1n n n n +1=12−13+13−14+…+1n +1−1n +2=12−1n +2=n2(n +2). 13.(1)解由a n-1-a n =2a n a n-1,得nn -1-n nn nnn -1=2,即1n n−1nn -1=2.又1n 1=1,所以数列{1n n }是以1为首项,2为公差的等差数列.所以1n n=1+2(n-1)=2n-1,所以a n =12n -1.(2)证明因为b n =n n 2n +1,所以b n =1(2n -1)(2n +1)=1212n -1−12n +1. 所以S n =12(1-13)+13−15+15−17+…+12n -1−12n +1=12(1-12n +1)=n2n +1.令f (x )=n2n +1=12+1n(x ≥1),易证f (x )单调递增,所以f (x )≥f (1)=13.又f (x )=n 2n +1=12+1n(x ≥1),由1n>0,2+1n>2,所以f (x )=n 2n +1=12+1n<12.所以13≤f (x )<12.即对任意的n ∈N *,都有13≤S n <12.14.解(1)在数列{a n }中,a n =S n -S n-1,又有a n =√n n +√n n -1(n ∈N *,且n ≥2),所以a n =S n -S n-1=(√n n +√n n -1)(√n n −√n n -1)=a n (√n n −√n n -1),所以√n n −√n n -1=1,所以数列{√n n }是以√n 1=√n 1=1为首项,公差为1的等差数列,所以√n n =1+(n-1)=n ,即S n =n 2.当n=1时,a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1,a 1=2×1-1=1也满足上式,所以{a n }的通项公式为a n =2n-1.(2)由(1)知c n =a n ·2n n =(2n-1)·22n-1,∴T n =21+3×23+5×25+…+(2n-3)·22n-3+(2n-1)22n-1,①∴4T n =23+3×25+5×27+…+(2n-3)·22n-1+(2n-1)22n+1. ②①-②得-3T n =21+2×23+2×25+2×27+…+2×22n-1-(2n-1)22n+1=5-6n 3×22n+1-103,即T n =6n -59×22n+1+109.15.解(1)由题意当0≤x<2时,f (x )=2x-x 2=-(x-1)2+1,极大值点为1,极大值为1,当x ≥2时,f (x )=3f (x-2).则极大值点形成首项为1公差为2的等差数列,极大值形成首项为1公比为3的等比数列,故a n =2n-1,b n =3n-1,故a n b n =(2n-1)3n-1.(2)由S=a 1b 1+a 2b 2+…+a 20b 20=1×1+3×31+5×32+…+39×319,则3S=1×31+3×32+…+39×320,两式相减得-2S=1+2(31+32+…+319)-320=1+2×3(1-319)1-3-39×320=-2-38×320,∴S=19×320+1.。

高三北师大文科数学课时作业第讲数列求和含解析

课时作业(三十一) [第31讲数列求和](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[教材改编试题] 等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝( )A ．254B ．255C ．256D ．2572．已知数列{a n }是各项均为正整数的等比数列，a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．2B ．33C ．84D ．1893．若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且S 13＝26π3，则tan a 7的值为( )A. 3 B ．－ 3C ．± 3D ．－334．[2012·北京海淀区一模] 等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100能力提升 5．[2012·潍坊一模] 设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 6．数列{a n }满足关系式a n ＋1＝a n ＋n ，设b n ＝1a n ＋1－a 1，数列{b n }的前n 项的和为S n ，则S 10＝( )A ．12B ．7 C.2011 D.11207．设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝3nB ．b n ＝23nC ．b n ＝13n D ．b n ＝3n －28．[2012·郑州考前检测] 设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( )A ．等于－2B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在 9．[2011·安徽卷] 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－1510．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋n －1，则其前8项和S 8等于________． 11．[2012·新疆兵团二中月考] 若等比数列的公比为2，且前4项和为1，则这个等比数列的前8项和为________．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．13．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n （n ＋1）的前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距是________．14．(10分)[2013·惠州一中二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，S 5＝4a 3＋6，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列1S n的前n 项和公式．15．(13分)[2012·天津卷] 已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)．难点突破16．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n＝a2n－1·a2n(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n.课时作业(三十一)【基础热身】1．B [解析] 由a 8＝1，q ＝12得a 1＝27，∴S 8＝a 1（1－q 8）1－q＝27⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1281－12＝28－1＝255. 2．C [解析] 由a 1＝3，S 3＝21得a 1(1＋q ＋q 2)＝21，∴1＋q ＋q 2＝7，∴q ＝2或q ＝－3(舍)，∴a 3＋a 4＋a 5＝84，故选C.3．B [解析] S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7＝26π3，所以a 7＝2π3，tan a 7＝－ 3.故选B.4．C [解析] ∵S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，∴S nn＝n ＋2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 前10项的和为(1＋2＋…＋10)＋20＝75.【能力提升】5．A [解析] 设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 24＋74n .6．C [解析] 由a n ＋1＝a n ＋n 得， a n ＋1－a n ＝n ，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n ) ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴b n ＝1a n ＋1－a 1＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011.故选C. 7．B [解析] 当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n ，即b nb n －1＝13.令n ＝1，则b 1＝23，所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，于是b n ＝23n . 8．B [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n )＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件，故选B.9．A [解析] a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.10．538 [解析] S 8＝2×（1－28）1－2＋8×（1＋8）2－8＝538.11．17 [解析] 由题意可知，S 8－S 4＝a 8＋a 7＋a 6＋a 5＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝24，所以前8项和等于17.12.⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2·3n －1（n ≥2） [解析] 因为数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，所以S n ＝3×3n －1＝3n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2·3n －1（n ≥2）.13．－9 [解析] S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1＝910，所以n ＝9，所以直线在y 轴上的截距为－n ＝－9. 14．解：(1)因为S 5＝4a 3＋6，所以5a 1＋5×42×d ＝4(a 1＋2d )＋6.①因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 1(a 1＋8d )＝(a 1＋2d )2.②由①，②及d ≠0可得a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2n .(2)由a n ＝2n 可得S n ＝（2＋2n ）×n 2＝n 2＋n .所以1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n －1＋1S n＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.所以数列1S n 的前n 项和为nn ＋1.15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ，由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2，所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *. (2)证明：由(1)得T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1.② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1 ＝6×（1－2n ）1－2－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1，而当n ＞2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1，所以，T n －8＝a n －1b n ＋1，n ∈N *，n ＞2. 【难点突破】16．解：(1)由已知等式，依次可得a 3＝3，a 4＝14，a 5＝5，a 6＝18，当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋2，所以a 2n －1＝2n －1.当n 为偶数时，a n ＋2＝12a n ，即a 2n ＝a 2·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n ，因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝错误!k ∈N *.(2)因为b n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ，S n ＝1·12＋3·⎝⎛⎭⎫122＋5·⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ，12S n＝1·⎝⎛⎭⎫122＋3·⎝⎛⎭⎫123＋5·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1，两式相减得12S n ＝1·12＋2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝12＋2×122⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝32－(2n ＋3)⎝⎛⎭⎫12n ＋1，所以S n ＝3－(2n ＋3)·⎝⎛⎭⎫12n .。

2019届高三数学(文)二轮复习：第31讲数列求和含解析

课时作业(三十一) 第31讲数列求和时间 / 45分钟分值 / 100分基础热身1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4,a 6是方程2-18+p=0的两根,则S 9=( )A .9B .81C .5D .452.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 2-8a 5=0,则S8S 4= ( )A .12B .1716C .2D .173.已知数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n ·(3n-1),则a 1+a 2+…+a 10= ( ) A .15 B .12 C .-12 D .-154.[2018·江西莲塘一中、临川二中联考] 已知f ()=-+1,数列{a n }满足a n =f (0)+f (1n )+f (2n )+…+f (n -1n )+f (1),则a 2017=( )A .2018B .2019C .2020D .20215.[2018·宁夏银川一中模拟] 已知{a n }是等差数列,a 1=1,公差d ≠0,S n 为其前n 项和,若a 1,a 2,a 5成等比数列,则S 8= . 能力提升6.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题;“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是;现有一根金杖,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下一尺,重4斤,在细的一端截下一尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤?设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化的,则金杖的重量为 ( ) A .6斤B .10斤C.12斤D.15斤7.[2019·湖南师大附中月考]设正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且a n+1a n<1,若a3+a5=10,a1·a7=16,则S4=()A.60或152B.60C.152D.1208.[2018·陕西延安黄陵中学模拟]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,则“a1009,a1010是方程4-3·2+2=0的两根”是“S2018=1009”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.[2018·昆明二模]若数列{a n}满足a n+1+a n=(-1)n·n,则数列{a n}的前20项的和为()A.-100B.100C.-110D.11010.[2018·贵州遵义航天中学月考]在递减的等差数列{a n}中,a1a3=a22-4,若a1=13,则数列{1a n a n+1}的前n项和S n的最大值为()A.24143 B.1143C.2413D.61311.[2018·河南六市二联]已知数列{b n}满足b1=1,b2=4,b n+2=1+sin2nπ2b n+cos2nπ2,则该数列的前11项和S11= .12.[2018·辽宁朝阳三模]已知S n为数列{a n}的前n项和,a1=0,若a n+1=[1+(-1)n]a n+(-2)n,则S100= .13.[2018·安徽八校4月联考]已知数列{a n}的前n项和为S n=2n+1,b n=log2(a n2·2a n),数列{b n}的前n项和为T n,则满足T n>1024的n的最小值为.14.(10分)设公差不为零的等差数列{a n}的前5项和为55,且a2,√a6+a7,a4-9成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=1(a n-6)(a n-4),数列{b n}的前n项和为S n,求证;S n<12.15.(10分)[2018·马鞍山三模]已知数列{a n}是递减的等比数列,a2=4,且a2,2a3,a4+3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=1a n log216a n,求数列{a n}的前n项和S n.16.(15分)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n2(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=a n·3a n(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.课时作业(三十一)1.B [解析] ∵a 4+a 6=18,∴S 9=92(a 1+a 9)=92(a 4+a 6)=81,故选B .2.B [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 2-8a 5=0,∴a 1q-8a 1q 4=0,解得q=12,则S 8S 4=a 1(1−128)1−12a 1(1−124)1−12=1+124=1716,故选B .3.A [解析] 因为a n =(-1)n ·(3n-1),所以a 1+a 2+…+a 10=-2+5-8+11-…-26+29=(-2+5)+(-8+11)+…+(-26+29)=3×5=15.4.A [解析] 由题意知f ()+f (1-)=-+1+-+1=2,因为a n =f (0)+f (1n )+f (2n)+…+f (n -1n )+f (1),a n =f (1)+f (n -1n )+…+f (1n )+f (0),两式相加得2a n =2(n+1),所以a n =1+n ,所以a 2017=2018,故选A .5.64 [解析] 因为a 1,a 2,a 5成等比数列,所以a 22=a 1·a 5,即(1+d )2=1×(1+4d ),解得d=2,所以a n =1+(n-1)×2=2n-1,所以a 8=2×8-1=15,则S 8=(a 1+a 8)×82=4×(1+15)=64.6.D [解析] 设由细到粗每一尺的重量为a i (i=1,2,3,4,5)斤,由题意可知a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等差数列,设{a n }的前n 项和为S n ,则{a 1=2,a 5=4,所以S 5=2+42×5=15,故选D .7.B [解析] 由等比数列{a n }是递减数列,且{a 3+a 5=10,a 3·a 5=16,得{a 3=8,a 5=2,所以q=12,所以a 1=32,则S 4=a 1(1-q 4)1−q=60 ,故选B .8.A [解析] ∵a 1009,a 1010是方程4-3·2+2=0的两根,∴2a 1009×2a 1010=2,∴a 1009+a 1010=1,∴S 2018=(a 1+a 2018)×20182=1009(a 1009+a 1010)=1009,充分性成立;反之,不一定成立.故“a 1009,a 1010是方程4-3·2+2=0的两根”是“S 2018=1009”的充分不必要条件,故选A .9.A [解析] 由a n+1+a n =(-1)n ·n ,得a 2+a 1=-1,a 3+a 4=-3,a 5+a 6=-5,…,a 19+a 20=-19,∴数列{a n }的前20项的和为a 1+a 2+…+a 19+a 20=-1-3-…-19=-1+192×10=-100,故选A .10.D [解析] 设数列{a n }的公差为d ,则d<0,所以由a 1a 3=a 22-4,a 1=13,得13(13+2d )=(13+d )2-4,解得d=-2(正值舍去),则a n =13-2(n-1)=15-2n.因为1a n a n+1=1(15-2n)(13-2n)=1212n -15-12n -13,所以数列{1an a n+1}的前n 项和S n =12-113-12n -13≤12-113-12×6−13=613,故选D .11.93 [解析] 根据题中所给的递推公式,可以求得b 3=2b 1=2,b 4=b 2+1=5,…,从而可以得到该数列的奇数项成等比数列,偶数项成等差数列,其前11项中有6项奇数项,5项偶数项,所以S 11=1−261−2+5×4+5×42×1=63+20+10=93.12.2−21013[解析] 由a n+1=[1+(-1)n ]a n +(-2)n (n ∈N *)得,当n 为奇数时,有a n+1=(-2)n ,当n 为偶数时,有a n+1=2a n +2n ,所以数列{a n }的所有偶数项构成以-2为首项,以4为公比的等比数列,所以S 100=(a 1+a 3+a 5+…+a 99)+(a 2+a 4+a 6+…+a 100)=2(a 2+a 4+a 6+…+a 98)+(22+24+26+…+298)+(a 2+a 4+a 6+…+a 100)=3(a 2+a 4+a 6+…+a 100)-2a 100+(22+24+26+…+298)=3×-2×(1-450)1−4-2×(-2)99+4×(1−449)1−4=2−21013.13.9 [解析] 由数列{a n }的前n 项和为S n =2n+1,可知当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+1-2n =2n ,当n=1时,a 1=22=4,不满足上式,所以b 1=log 2(a 12·2a 1)=8,b n =log 2(a n 2·2a n )=log 2a n 2+log 22a n =2n+2n (n ≥2), 所以数列{b n }的前n 项和为T n =8+(4+2n)(n -1)2+4(1−2n -1)1−2=(n+2)(n-1)+2n+1+4, 当n=9时,T 9=11×8+210+4=1116>1024, 当n=8时,T 8=10×7+29+4=586<1024, 所以满足T n >1024的n 的最小值为9. 14.解;(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),则{5a 1+5×42d =55,(√a 1+5d +a 1+6d)2=(a 1+d)(a 1+3d -9),解得{a 1=7,d =2或{a 1=11,d =0(舍去), 故数列{a n }的通项公式为a n =7+(n-1)×2=2n+5. (2)证明;由a n =2n+5, 得b n =1(a n -6)(a n-4)=1(2n -1)(2n+1)=1212n -1-12n+1,所以S n =121-13+13-15+…+12n -1-12n+1=121-12n+1<12.15.解;(1)设数列{a n }的公比为q (0<q<1),由a 2,2a 3,a 4+3成等差数列,得4a 3=a 2+a 4+3,又a 2=4,所以16q=4+4q 2+3,即4q 2-16q+7=0,解得q=12或q=72(舍去),故a n =a 2·q n-2=4·(12)n -2=(12)n -4,即数列{a n }的通项公式为a n =(12)n -4.(2)b n =1a nlog 216a n=n ·2n-4,则S n =1×18+2×14+3×12+…+n ·2n-4,2S n =1×14+2×12+3×1+…+(n-1)·2n-4+n ·2n-3,两式相减,得-S n =18+14+12+…+2n-4-n ·2n-3,所以S n =-18+14+12+…+2n-4+n ·2n-3=-18+2n -31−2+n ·2n-3=(n-1)·2n-3+18.16.解;(1)当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n ;当n=1时,a 1=S 1=1,满足上式. 综上可知,a n =n.(2)由(1)知b n =n ·3n ,则T n =1×31+2×32+3×33+…+n ·3n , 3T n =1×32+2×33+3×34+…+n ·3n+1, 两式相减,得-2T n =3+32+33+…+3n -n ·3n+1=3(1−3n )1−3-n ·3n+1,∴T n =34+n 2-14·3n+1.。

高考数学总复习第五章数列 31 数列求和课时作业文-人教版高三全册数学试题

课时作业31 数列求和1．(2017·卷)已知等差数列{a n } 和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9，解得q 2＝3，所以b 2n －1＝b 1q2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.2．(2018·某某某某市高中毕业第一次诊断)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .解析：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n－4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2；当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋...＋(2n －4)＝2＋22＋ (2)－4(n －1)＝21－2n1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足． ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.3．(2018·某某质检)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ；数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝qn －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋d ＝6q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－43q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，1S n ＝2nn ＋1＝2(1n －1n ＋1)， ∵1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1. 4．(2018·某某省某某市高三质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1a n 的前n 项和为T n ，求证：1≤T n <3. 解析：(1)当n ＝1时，a 1＝2. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －2－(2a n －1－2)，即a n a n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n(n ∈N *)． (2)证明：令b n ＝n ＋1a n ＝n ＋12n ，则T n ＝321＋322＋423＋…＋n ＋12n ，①①×12，得12T n ＝222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，②①－②，得12T n ＝32－n ＋32n ＋1，整理得T n ＝3－n ＋32n ，由于n ∈N *，显然T n <3.又令＝n ＋32n ，则＋1＝n ＋42n ＋6<1，所以>＋1，所以n ＋32n≤c 1＝2，所以T n ≥1.故1≤T n <3.5．(2018·某某市武昌区调研考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.(1)求{a n }的通项公式； (2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49.解析：(1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0，于是9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，解得－94≤d ≤－95.∵d 为整数，∴d ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)证明：由(1)，得1a n a n ＋1＝111－2n9－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ，∴T n ＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －19. 令b n ＝19－2n ，由函数f (x )＝19－2x的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<…<0，∴b n ≤b 4＝1.∴T n ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝49.6．(2018·某某某某模拟)已知数列{a n }是等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，且a 10＝19，S 10＝100；数列{b n }对任意n ∈N *，总有b 1·b 2·b 3·…·b n －1·b n ＝a n ＋2成立．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)记＝(－1)n4n ·b n2n ＋12，求数列{}的前n 项和T n .解析：(1)设{a n }的公差为d ，则a 10＝a 1＋9d ＝19，S 10＝10a 1＋10×92×d ＝100.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.所以b 1·b 2·b 3·…·b n －1·b n ＝2n ＋1，①当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2n －1.② ①②两式相除得b n ＝2n ＋12n －1(n ≥2)．因为当n ＝1时，b 1＝3适合上式，所以b n ＝2n ＋12n －1(n ∈N *)．(2)由已知＝(－1)n4n ·b n2n ＋12，得＝(－1)n4n 2n －12n ＋1＝(－1)n⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1，则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1，当n 为偶数时，T n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋(－1)n ·⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1；当n 为奇数时，T n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋(－1)n ·⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1－12n ＋1 ＝－1－12n ＋1＝－2n ＋22n ＋1.综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n2n ＋1，n 为偶数，－2n ＋22n ＋1，n 为奇数.[能力挑战]7．(2017·某某卷)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解析：(1)设数列{x n }的公比为q .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2，所以3q 2－5q －2＝0.由已知得q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1. 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n－2n －1＝2n －1.记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n . 由题意得b n ＝n ＋n ＋12×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋21－2n －11－2－(2n ＋1)×2n －1，所以T n ＝2n －1×2n＋12.。

高考数学一轮复习第五章数列课时达标31 数列求和

第31讲数列求和[解密考纲]考查数列的通项公式、数列求和的方法，主要考查公式法、裂项相消法和错位相减法求前n 项和，以及利用S n 与a n 的关系求通项公式，三种题型均有考查，位于各类题型的中间靠后位置．一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋，则S 6＝( D )A ．142 B ．45 C ．56 D ．67解析因为a n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1，所以S 6＝1－12＋12－13＋…＋16－17＝1－17＝67. 2．已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝( C ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121解析因为1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1－n＝n ＋1－n ，所以S m ＝2－1＋3－2＋…＋m ＋1－m ＝m ＋1－1.由已知得m ＋1－1＝10，所以m ＝120，故选C ．3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin n ＋π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( D )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 010解析由题意，得a n ＋1＝a n ＋sinn ＋π2，所以a 2＝a 1＋sin π＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝0，a 4＝a 3＋sin 2π＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝1，…，因此，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2 018＝4×504＋2，所以S 2 018＝504×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝1 010，故选D ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( A )A ．100101 B ．99101 C ．99100D ．101100解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋－2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1nn ＋＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 5．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 018＝( B )A ．2 017B ．－1 010C ．504D ．0解析因为a n ＝n cosn π2，所以当n 为奇数时，a n ＝0，当n 为偶数时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝4m ，－n ，n ＝4m －2，其中m ∈N *，所以S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 016＋a 2 017＋a 2 018 ＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 2 016＋a 2 018＝－2＋4－6＋8－10＋12－14＋…＋2 016－2 018 ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋(－10＋12)＋…＋(－2 014＋2 016)－2 018＝2×504－2 018＝－1 010，故选B ．6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( B )A ．22 018－1B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×22 018－2解析依题意得a n ·a n ＋1＝2n，a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，于是有a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是以a 1＝1为首项、2为公比的等比数列；数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以a 2＝2为首项、2为公比的等比数列，于是有S 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋－21 0091－2＝3×21009－3.二、填空题7．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__8nn ＋1__. 解析 ∵a n ＝n n ＋2n ＋1＝n2，∴b n ＝8nn ＋＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8n n ＋1.8．(2018·河南郑州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝__130__.解析由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以当n <5时，a n <0；当n ≥5时，a n ≥0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__2n 2＋6n __.解析令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)．与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2. ∴a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，a 1适合a n . ∴a n ＝4(n ＋1)2，∴a nn ＋1＝4n ＋4，∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n 8＋4n ＋42＝2n 2＋6n .三、解答题10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝2a n －1＋(n －2) (n ≥2，n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析 (1)令n ＝2得a 2＝2a 1＝6. 令n ＝3，得a 3＝2a 2＋1＝13.(2)证明：因为a n ＋n ＝2[a n －1＋(n －1)]，a 1＋1＝4≠0，所以a n ＋n ≠0，所以a n ＋n a n －1＋n －＝2，所以数列{a n ＋n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以a n ＋n ＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－n .(3)因为a n ＝2n ＋1－n ，所以S n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－(1＋2＋…＋n )＝－2n1－2－n n ＋2＝2n ＋2－n 2＋n ＋82.11．(2018·安徽淮南模拟)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解析 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，所以d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4，所以a n ＝－n ＋11或a n ＝4n ＋6. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n . 因为d <0，所以d ＝－1，a n ＝－n ＋11.当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－…－a n ＝S 11－(S n －S 11)＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n|＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.12．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n＋b n ＋1.(1)求数列{}b n 的通项公式；(2)令c n ＝a n ＋n ＋1b n ＋n，求数列{}c n 的前n 项和T n .解析 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝ 6n ＋5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d .可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝n ＋n ＋1n ＋n＝3(n ＋1)·2n ＋1.又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－2n1－2－n ＋n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝3n ·2n ＋2.。

高考数学一轮复习课时规范练31数列求和理北师大版

课时规范练31 数列求和基础巩固组1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-2.(2018河北衡水中学金卷十模,3)已知数列{a n}是各项为正数的等比数列,点M(2,log2a2),N(5,log2a5)都在直线y=x-1上,则数列{a n}的前n项和为()A.2n-2B.2n+1-2C.2n-1D.2n+1-13.(2018山东潍坊二模,4)设数列{a n}的前n项和为S n,若S n=-n2-n,则数列的前40项的和为()A. B.- C. D.-4.已知函数f(x)=x a的图像过点(4,2),令a n=,n∈N+.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2018=.5.(2018浙江余姚中学4月模拟,17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S5=30,S10=110.(1)求S n;(2)记T n=+…+,求T n.6.(2018山西晋城月考)已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=2a n+(-1)n(3n+1).(1)求证:数列{a n+(-1)n n}是等比数列;(2)求数列{a n}的前10项和S10.7.(2018山东潍坊一模,17)公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S4=10,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.综合提升组8.(2018广东中山期末)等比数列{a n}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+…+a n=2n-1,则+…+等于()A.2n-1B. (3n-1)C. (4n-1)D.以上都不对9.(2018湖北重点中学五模)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=4,S5=15,若数列的前m项和为,则m=()A.8B.9C.10D.1110.(2018山东潍坊三模,17)已知数列{a n}的前n项和为S n,且1,a n,S n成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足a n·b n=1+2na n,求数列{b n}的前n项和T n.11.(2018江西上饶三模,17)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且6S n=3n+1+a(n∈N+).(1)求a的值及数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(3n+1)a n,求数列{a n}的前n项和T n.创新应用组12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.11013.(2018云南玉溪月考)数列{a n}满足:a1=,a2=,且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=对任何的正整数n都成立,则+…+的值为()A.5 032B.5 044C.5 048D.5 050参考答案课时规范练31 数列求和1.A该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.2.C由题意log2a2=2-1=1,可得a2=2,log2a5=5-1=4,可得a5=16,=q3=8⇒⇒S n==2n-1,故选C.3.D∵S n=-n2-n,∴a1=S1=-2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=-n2-n+(n-1)2+(n-1)=-2n,则数列{a n}的通项公式为a n=-2n,==--,数列的前40项的和为S40=-1-+-+…+-=-.4.-1由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=.∴a n===-,S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1.5.解 (1)设{a n}的首项为a1,公差为d,由题意得解得所以S n=n2+n.(2)==-,所以T n=1-+-+…+-=1-=.6.(1)证明∵a n+1=2a n+(-1)n(3n+1),∴===2.又a1-1=3-1=2,∴数列{a n+(-1)n n}是首项为2,公比为2的等比数列.(2)解由(1)得a n+(-1)n n=2×2n-1=2n,∴a n=2n-(-1)n n,∴S10=(2+22+…+210)+(1-2)+(3-4)+…+(9-10)=-5=211-7=2 041.7.解 (1)设{a n}的公差为d,由题设可得,∴解得∴a n=n.(2)令c n=,则T n=c1+c2+…+c n=+++…++, ①T n=++…++, ②①-②得:T n=++…+-=-=--,∴T n=-.8.C当n=1时,a1=21-1=1,当n≥2时,a1+a2+a3+…+a n=2n-1,a1+a2+a3+…+a n-1=2n-1-1,两式做差可得a n=2n-2n-1=2n-1,且n=1时,21-1=20=1=a1,∴a n=2n-1,故=4n-1,∴+++…+==(4n-1).9.C S n为等差数列{a n}的前n项和,设公差为d,则解得d=1,则a n=4+(n-4)×1=n.由于==-,则S m=1-+-+…+-=1-=,解得m=10.10.解 (1)由已知1,a n,S n成等差数列,得2a n=1+S n, ①当n=1时,2a1=1+S1=1+a1,∴a1=1.当n≥2时,2a n-1=1+S n-1, ②由①-②,得2a n-2a n-1=a n,∴=2,∴数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴a n=a1q n-1=1×2n-1=2n-1.(2)由a n·b n=1+2na n得b n=+2n,∴T n=b1+b2+…+b n=+2++4+…++2n=+(2+4+…+2n)=+=n2+n+2-.11.解 (1)∵6S n=3n+1+a(n∈N+),∴当n=1时,6S1=6a1=9+a;当n≥2时,6a n=6(S n-S n-1)=2×3n,即a n=3n-1,∵{a n}为等比数列,∴a1=1,则9+a=6,a=-3,∴{a n}的通项公式为a n=3n-1.(2)由(1)得b n=(3n+1)3n-1,∴T n=b1+b2+…+b n=4×30+7×31+…+(3n+1)3n-1,3T n=4×31+7×32+…+(3n-2)3n-1+(3n+1)3n,∴-2T n=4+32+33+…+3n-(3n+1)3n,∴T n=.12.A设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为.第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N+,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则S N-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N+,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.13.B∵a1a2+a2a3+…+a n a n+1=n, ①a1a2+a2a3+…++=(n+1), ②①-②,得-=n-(n+1),∴-=4,同理得-=4,∴-=-,整理得=+,∴是等差数列.∵a1=,a2=,∴等差数列的首项为4,公差为1,=4+(n-1)×1=n+3,∴++…+==5 044.。

福建高考数学总复习第六章数列课时规范练31数列求和理新人教版

课时规范练31 数列求和一、基础巩固组1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-2.在数列{a n}中,a1=-60,a n+1=a n+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|=()A.-495B.765C.1 080D.3 1053.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m,其中m,n为正整数,且a1=1,则a10等于()A.1B.9C.10D.554.已知函数f(x)=x a的图象过点(4,2),令a n=,n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 018等于()A.-1B.+1C.-1D.+15.已知数列{a n}中,a n=2n+1,则+…+=()A.1+B.1-2nC.1-D.1+2n〚导学号21500545〛6.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,若S n+1=S n,则数列的前2 018项和为.7.已知等差数列{a n}满足:a5=11,a2+a6=18.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n+2n,求数列{b n}的前n项和S n.二、综合提升组8.如果数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和S n>1 020,那么n的最小值是()A.7B.8C.9D.109.(2017山东烟台模拟)已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1=,若b n=a n a n+1,则数列{b n}的前n项和S n为()A. B.C. D.〚导学号21500546〛10.(2017福建龙岩一模)已知S n为数列{a n}的前n项和,对n∈N*都有S n=1-a n,若b n=log2a n,则+…+= .11.(2017广西模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=a n-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2log3+1,求+…+.三、创新应用组12.(2017全国Ⅰ,理12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110 〚导学号21500547〛课时规范练31数列求和1.A该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-2.B由a1=-60,a n+1=a n+3可得a n=3n-63,则a21=0,|a1|+|a2|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30)=S30-2S20=765,故选B.3.A∵S n+S m=S n+m,a1=1,∴S1=1.可令m=1,得S n+1=S n+1,∴S n+1-S n=1,即当n≥1时,a n+1=1,∴a10=1.4.C由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=∴a n=,S2 018=a1+a2+a3+…+a2018=()+()+()+…+()=-1.5.C a n+1-a n=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,所以+…++…+=1-=1-6∵S n+1=S n,又a1=2,∴当n≥2时,S n=…S1=…2=n(n+1).当n=1时也成立,∴S n=n(n+1).∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=n(n+1)-n(n-1)=2n.当n=1时,a1=2也成立,所以a n=2n.则数列的前2 018项和=7.解 (1)设{a n}的首项为a1,公差为d.由a5=11,a2+a6=18,得解得a1=3,d=2,所以a n=2n+1.(2)由a n=2n+1得b n=2n+1+2n,则S n=[3+5+7+…+(2n+1)]+(21+22+23+…+2n)=n2+2n+=n2+2n+2n+1-2.8.D a n=1+2+22+…+2n-1=2n-1.∴S n=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2,∴S9=1 013<1 020,S10=2 036>1 020,∴使S n>1 020的n的最小值是10.9.B由a n+1=,得+2,∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,=2n-1,又b n=a n a n+1,∴b n=,∴S n=,故选B.10对n∈N*都有S n=1-a n,当n=1时,a1=1-a1,解得a1=当n≥2时,a n=S n-S n-1=1-a n-(1-a n-1),化为a n=a n-1.∴数列{a n}是等比数列,公比为,首项为a n=∴b n=log2a n=-n则+…++…+=1-11.解 (1)当n=1时,a1=a1-1,∴a1=2.当n≥2时,∵S n=a n-1,①S n-1=a n-1-1(n≥2),②∴①-②得a n=,即a n=3a n-1,∴数列{a n}是首项为2,公比为3的等比数列,∴a n=2·3n-1.(2)由(1)得b n=2log3+1=2n-1,+…++…+=+…+12.A设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则S N-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.。

高考数学一轮复习第五章数列课时达标31 数列求和理(2021年最新整理)

2018年高考数学一轮复习第五章数列课时达标31 数列求和理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高考数学一轮复习第五章数列课时达标31 数列求和理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年高考数学一轮复习第五章数列课时达标31 数列求和理的全部内容。

2018年高考数学一轮复习第五章数列课时达标31 数列求和理[解密考纲]考查数列的通项公式、数列求和的方法，主要考查公式法、裂项相消法和错位相减法求前n项和，以及利用S n与a n的关系求通项公式,三种题型均有考查，位于各类题型的中间靠后位置．一、选择题1．数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝错误!，则S6＝( D )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：因为a n＝1n n＋1＝错误!－错误!，所以S6＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝1－错误!＝错误!.2．已知S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!,若S m＝10,则m＝（ B ）A．11 B．99 C．120 D．121解析：因为错误!＝错误!＝错误!－错误!，所以S m＝错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－m＝m＋1－1.由已知得m＋1－1＝10，所以m＝120，故选C．3．在数列{a n｝中，已知a1＝1，a n＋1－a n＝sin n＋1π2，记S n为数列｛a n}的前n项和，则S2 017＝（ D ）A．1 006 B．1 007 C．1 008 D．1 009解析：由题意，得a n＋1＝a n＋sin错误!,所以a2＝a1＋sin π＝1，a3＝a2＋sin错误!＝0，a4＝a3＋sin 2π＝0，a5＝a4＋sin错误!＝1，…，因此，数列{a n｝是一个以4为周期的周期数列，而2 017＝4×504＋1,所以S2 017＝504×(a1＋a2＋a3＋a4）＋a2 017＝1 008＋a1＝1 009，故选D．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15,则数列错误!的前100项和为（ A ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d。

高考数学总复习 课时作业(三十一)第31讲 数列求和 理

高考数学一轮复习 课时作业31 数列求和 理-人教版高三全册数学试题

高考数学总复习 课时作业31 数列求和试题 文 新人教A版

高考数学第31讲 数列求和

2019年高考数学理课时作业三十一 第31讲 数列求和 含

备战高考数学一轮复习讲义第31讲 第1课时 分组求和法与错位相减法

高考数学一轮复习 第31讲 数列求和课件 理 北师大版

新高考数学一轮复习 课时规范练31 数列求和 新人教A版高三全册数学试题

高三北师大文科数学课时作业 第讲 数列求和 含解析

2019届高三数学(文)二轮复习：第31讲 数列求和 含解析

高考数学总复习 第五章 数列 31 数列求和课时作业 文-人教版高三全册数学试题

高考数学一轮复习 第五章 数列 课时达标31 数列求和