2020学年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.2指数函数第2课时指数函数的图象和性质课件新人教B版必修1
高中数学第三章基本初等函数(ⅰ)3.1.1实数指数幂及其运算bb高一数学
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计算：
(1)(－1．8)0＋32－2·3
3382－
1＋ 0.01
93；
(2)14－12·0.1（－2·4（aba－31b）－33）12(a＞0，b＞0)．
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解：(1)原式＝1＋232·28732－10＋923 ＝1＋232·322－10＋27＝29－10＝19． (2)原式＝412·0．12·23·a32·a32·b－b32 －32
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条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的 式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系， 可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完 全平方公式及其变形公式．
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4 （－3）4×2． A．0 个 C．2 个
B．1 个 D．3 个
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解析：选 A．3 6a3＝3 6·a≠2a；3 －2<0，而6 （－2）2>0； －34 2<0，而4 （－3）4×2>0．
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3．把根式 a a化成分数指数幂是( )
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2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示 为根式的形式：
3
(1)(a－b)－4(a＞b)；(2)
5
（ab）2；(3)
3
（x－1）5；
(4) 1 ；(5)(a－b)37． 3 a2
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原创1：3.1.2 指数函数（二）（导学式）
典例精讲：题型三：指数函数值域问题
[解析](1)令t= − = − −
又y=
为减函数，∴y= ≥，
∴值域为[ ，+∞).
+ ,则t≤1，
典例精讲：题型三：指数函数值域问题
(2)定义域为R. 令t＝2x,则t>0，
y=4x－2x+1+1=t2－2t+1=(t－1)2.
是R上的 增函数
是R上的 减函数
典例精讲：题型一：利用指数函数图象与性质比较大小
【例1】比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2;
(2) 0.6－1.2和0.6－1.5;
(3)1.70.2和0.92.1;
(4)0.60.4和0.70.4.
[解析] (1)考察函数y=1.5x,
由于底数1.5>1,所以函数y=1.5x在R上是增函数,
因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
(2)考察函数y=0.6x, ∵0<0.6<1,∴函数y=0.6x在R上是减函数,
∵−1.2>−1.5,∴0ຫໍສະໝຸດ 6－1.2<0.6－1.5.
典例精讲：题型一：利用指数函数图象与性质比较大小
【例1】比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2;
长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)？
[思路分析]
可以从经过1年后、2年后、3年后等具体的人口数入手，归纳经过x年
后的人口数的函数关系式，再把经过20年后的人口数表示出来，进行
具体计算.
典例精讲：题型四：指数函数在实际问题中的应用
2020版数学同步新导练人教B必修一课件：第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.1 3.1.2(二)
＋1)<f(2x)的 x 的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，0)
解析：D 将函数 f(x)的图象画出来，观察图象可知会有
2x<0， 2x<x＋1，
解得 x<0，所以满足 f(x＋1)<f(2x)的 x 的取值范围是
(－∞，0)，故选 D．
二、填空题 7．若函数 f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，且 f(x)在 [m，＋∞)单调递增，则实数 m 的最小值等于________． 解析：由 f(1＋x)＝f(1－x)得函数 f(x)关于 x＝1 对称，故 a ＝1，则 f(x)＝2|x－1|，由复合函数单调性得 f(x)在[1，＋∞)上递增， 故 m≥1，所以实数 m 的最小值等于 1. 答案：1
值范围为( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，1)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
解析：C 由题意 f(x)＝－f(－x)，即22xx－＋a1＝－22－ －xx＋ )(2x
＋
1)
＝
0
，
a
＝
1
，
f(x)
＝
2x＋1 2x－1
，由
f(x)
＝
2x＋1 2x－1
>3
，得
1<2x<2,0<x<1，故选 C．
解析：∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，又 f(x)－g(x)＝12x， ∴－f(x)－g(x)＝12－x，即f－xf－xg－xg＝x2＝－x2，x，①② 解 ∴得g(0f)(＝x)＝－21－，x－2g(2－x，2)g＝(x－)＝18－ 7，2xf＋ (12)2＝－x－，34， ∴g(－2)＜g(0)＜f(1)． 答案：g(－2)＜g(0)＜f(1)
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1.1 实数指数幂及
实数指数幂及其运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列各式正确的是( )A.－32＝－3B.4a4＝aC.22＝2D.3－23＝2【解析】由于－32＝3，4a4＝|a|，3－23＝－2，故A、B、D错误，故选C.【答案】 C2．以下说法正确的是( )A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N＋)D．a的n次方根是n a【解析】由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故A错；由于负数的偶次方根无意义，故B错；C显然正确；当a<0时，只有n为大于1的奇数时n a才有意义，故D 错．【答案】 C3．下列各式运算错误的是( )A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18【解析】对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C.【答案】 C4．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于( )A.x＋1x－1B.x＋1xC.x －1x ＋1D.xx －1【解析】 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.【答案】 D5．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1D ．5－2x【解析】 ∵2－x 有意义， ∴2－x ≥0，即x ≤2.x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9＝x －22－x －32＝|x －2|－|x －3| ＝2－x －(3－x ) ＝2－x －3＋x ＝－1. 【答案】 C 二、填空题6．化简3a a ＝________. 【解析】 .【答案】7．已知3a ＝2,3b ＝15，则32a －b＝________.【导学号：97512038】【解析】 32a －b＝32a3b ＝3a 23b ＝2215＝20. 【答案】 20 8.3－63＋45－44＋35－43＝________.【解析】 3－63＝－6，45－44＝|5－4|＝4－5， 35－43＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 【答案】 －6 三、解答题【解】【解】[能力提升]1．设a 12－a -12＝m ，则a 2＋1a＝( )A ．m 2－2 B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2【解析】 将a 12－a -12＝m 平方得(a 12－a -12)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2⇒a 2＋1a＝m 2＋2.【答案】 C2．已知a ＝3，则的值为________.【导学号：97512039】【解析】【答案】 －13．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m ＝________. 【解析】 ∵a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，∴a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2. 由a ＋b ＝6，得b 2＋b －6＝0， 解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． ∴m 14＝2，m ＝24＝16. 【答案】 164．根据已知条件求下列值：(1)已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －yx ＋y 的值；(2)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 【导学号：97512040】【解析】 (1)x ＋y x －y －x －yx ＋y＝x ＋y2x －y－x －y 2x －y＝4xyx －y. 将x ＝12，y ＝23代入上式得：412×2312－23＝413－16＝－2413＝－8 3.(2)∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4.∵a >b >0，∴a >b .⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， ∴a －ba ＋b ＝15＝55.。
2020学年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.2指数函数第1课时指数函数应用案巩固提升课件新人教B版必修1
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
7．f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和 为 6，则 a＝________． 解析：由于 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)在[1，2]上是单调函数， 故其最大值与最小值之和为 a2＋a＝6，解得 a＝－3(舍去)， 或 a＝2，所以 a＝2． 答案：2
A．12，＋∞
B．(－∞，0)
C．－∞，12
D．－12，12
解析：选 B．由题意知，此函数为指数函数，且为实数集 R
上的增函数，所以底数 1－2a>1，解得 a<0．
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
6．若指数函数 y＝(m2＋m＋1)(15)x，则 m 的值是______． 解析：由题意知，m2＋m＋1＝1，则 m2＋m＝0， 所以 m＝0 或 m＝－1． 答案：0 或 －1
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
12．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝2x＋ ax，且 2f(3)＝4f(2)＋f(－1)，则 a＝________． 解析：因为 f(x)是 R 上的奇函数， 且 x>0 时，f(x)＝2x＋ax， 所以 x<0 时，f(x)＝－2－x＋ax，f(0)＝0． 再由 2f(3)＝4f(2)＋f(－1)，得 2×(23＋3a)＝4×(22＋2a)＋(－ 2－a)，解得 a＝2． 答案：2
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
9．已知指数函数的图象过点 M(3，8)，求 f(4)、f(－4)的值． 解：设指数函数是 y＝ax(a>0，a≠1)，则有 8＝a3，所以 a＝2，所以 y＝2x． 从而 f(4)＝24＝16，f(－4)＝2－4＝116．
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1.1 实数指数幂及其运算课件 新人教B版必修1.pptx
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 3－π2＝π－3.( )
(2)分数指数幂 amn可能理解为mn 个 a 相乘．(
)
(3)0 的任何指数幂都等于 0.( )
【解析】 ∵ 3－π2＝|3－π|＝π－3.
∴(1)正确．由分数指数幂的意义知(2)、(3)均错． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×
下列运算中，正确的是( ) A．a2·a3＝a6 C．( a－1)0＝0
B．(－a2)5＝(－a5)2 D．(－a2)5＝－a10
【解析】 a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；当 a＝1 时，( a－1)0 无意义；当 a≠1
时，( a－1)0＝－1. 【答案】 D
教材整理 2 根式 阅读教材 P86～P87“第 6 行”以上内容，完成下列问题． 1．a 的 n 次方根的意义 如果存在实数 x，使得 xn＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则 x 叫做___a_的__n_次__方__根___．求 a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方，称作开方运算．
1．an＝
.an 叫做 a 的__n_次__幂__，a 叫做幂的_底__数__，n 叫做幂的
_指__数__，并规定 a1＝a.
2．零指数幂与负整数指数幂 规定：a0＝1(a≠0)， a－n＝___a1_n_(a_≠__0_，__n_∈__N__＋_) ___． 3．整数指数幂的运算法则 正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然成立．
[再练一题]
1．求值： 3－2 2＋3 1－ 23＝________.
【解析】
3－2
2＋3
1－
23＝
பைடு நூலகம்
2－12＋1－
2＝
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1.2 指数函数同步
3.1.2 指数函数同步练习1．下列函数中①y ＝3x 2，②y ＝4x ，③y ＝22x ，④y ＝3×2x ，⑤y ＝3x ＋1.一定为指数函数的个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．32．设y 1＝40.9，y 2＝80.48， 1.531()2y -=，则( )． A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 23．2()(1)21x F x =+-f (x )(x ≠0)是偶函数，且f (x )不恒等于零，则f (x )( )． A ．是奇函数B ．是偶函数C ．可能是奇函数也可能是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 4．函数xx a y x⋅= (a ＞1)的图象的大致形状为( )．5．函数(2),2()2,2x f x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩ 则f (－3)的值为________． 6．直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．7．关于x 的方程332()45x a a+=-有负根，求a 的取值范围． 8．求11x x a y a -=+ (a ＞0且a ≠1)的值域．9.已知函数2()21x f x a =-+ (a ∈R )．(1)判断f(x)在定义域上的单调性；(2)要使f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案1.答案：C解析：②③是指数函数．2.答案：D解析：y1＝21.8，y2＝(23)0.48＝21.44，y3＝21.5，∵1.8＞1.5＞1.44，∴y1＞y3＞y2.3.答案：A解析：令221 ()12121xx xg x+=+=--.∵211221()()211221x x xx x xg x g x---++-===-=----，∴2()121xg x=+-是奇函数．∵f(x)不恒等于零，∴f(x)是奇函数．4.答案：C5.答案：1 8解析：f(－3)＝f (－1)＝f(1)＝f(3)＝2－3＝18.6.答案：1 02a<<解析：当a＞1时，在同一坐标系中作出y＝2a和y＝|a x－1|的图象，显然只有一个公共点，不合题意．当1≤2a＜2时，即112a≤<时，两图象也只有一个交点，不合题意．当0＜2a＜1时，即12a<<时，如图所示，两图象有两个交点，适合题意．7. 解：∵3()4x y =在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴当x ＜0时，033()()144x >=.∵332()45x a a +=-有负根，∴3215a a +>-，即4305aa ->-.该不等式与(4a －3)(5－a )＞0等价， 解得354a <<.8. 解：方法一：由12111x x x a y a a -==-++，又∵a x ＞0，∴a x ＋1＞1.∴1011x a <<+.∴2021x a <<+，即2201x a -<-<+.∴y ∈(－1,1)．方法二：由11x x a y a -=+得y ·a x ＋y ＝a x－1.∴(y －1)·a x ＝－y －1，∴11x y a y +=--.∵a x ＞0，∴101y y +->-，即101y y +<-.∴(y －1)(y ＋1)＜0.∴－1＜y ＜1，即函数的值域是(－1,1)．9. 解：(1)显然对任意x ∈R ，有2x ＋1≠0. ∴f (x )的定义域为R .设x 1、x 2∈R 且x 1＜x 2， 则f (x 2)－f (x 1)211221122221212221212(22)(21)(21)x x x x x x x x a a =--+++=-++-=++. ∵y ＝2x 为增函数，且x 2＞x 1， ∴2122x x >，且12(21)(21)0x x ++>恒成立， 于是f (x 2)－f (x 1)＞0， 即f (x 2)＞f (x 1)．故f (x )是R 上的增函数．(2)由f (x )≥0恒成立，可得221x a ≥+恒成立．∵对任意的x ∈R,2x ＞0， ∴2x ＋1＞1， ∴10121x <<+， ∴20221x <<+. 要使221x a ≥+恒成立，只需a ≥2即可，故a 的取值范围是[2，＋∞).。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算教案新人教B版必修1
3。
1。
1 实数指数幂及其运算错误!教学分析在初中,学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义,从而把整数指数推广到分数指数,进而推广到有理数指数幂,再推广到无理指数幂,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化"的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2）掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3）运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点:(1）分数指数幂及根式概念的理解．（2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题．推进新课错误!提出问题错误!讨论结果:（1）整数指数幂的运算性质:a n＝a·a·a·…·a，a0＝1（a≠0)；00无意义;a－n＝错误!(a≠0）；a m·a n＝a m＋n；（a m）n＝a mn;(a n）m＝a mn；（ab）n＝a n b n.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根．实质上①错误!＝a错误!，②错误!＝a错误!,③错误!＝a错误!，④错误!＝a错误!结果的a的指数是2，4,3,5分别写成了错误!，错误!,错误!，错误!,形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）．(3)利用（2）的规律,错误!＝5错误!，错误!＝7错误!,错误!＝a错误!,错误!＝x错误!。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算学习导航学
3.1.1 有理指数幂及其运算1.整数指数正整数指数幂的定义:在初中我们学习了a n=个n a a a ∙∙∙(n∈N *). 其中，a n 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数,并规定a 1=a. 在上述定义中，n 必须是整数，所以这样的幂叫做正整数指数幂. 正整数指数幂的运算满足如下法则：(1)a m ·a n =a m+n;(2)(a m )n=a mn,n m aa =a m-n(m>n,a≠0);(3)(ab)m =a m b m.如此规定零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂.并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立. 并且我们规定: a 0=1(a≠0),a -n=n a1(a≠0,n∈N *). 2.分数指数 （1）根式①方根的概念：我们知道，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根（quadratic root ）;如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（cubic root ）.一般地，如果一个实数x 满足x n =a(n>1且n∈N *)，那么x 叫做a 的n 次方根（nthroot ）. 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.此时，a 的n 次方根只有一个，记为x=n a ；当n 是偶数时，正数的n 次实数方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号n a -表示.正的n 次实数方根与负的n (a>0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 0=0. ②根式的概念式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）. ③根式的性质当n 是奇数时，n a n =a ；当n 是偶数时，n a n=|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a（2）分数指数幂①正数a 的正分数指数幂我们规定：a nm =n m a (a>0,m 、n∈N *,n>1).②正数a 的负分数指数幂 anm -=nm a1=nma 1(a>0,m 、n∈N *,n>1).③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s =a r+s(a>0,r 、s∈Q );②(a r )s =a rs(a>0,r 、s∈Q );③(ab)r =a r b r(a>0,b>0,r∈Q ). （4）无理数指数幂教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义.一般地，无理数指数幂a α(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. 高手笔记1.对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n 次方根的概念以及n 次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化.2.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式,如a32b 、2-ba都不是最简形式.应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒. 3.经常要用的公式:（1）a-b ＝（b a -）（b a +）(a>0,b>0)；（2）a±2ab ＋b ＝（a ±b ）2(a>0,b>0)；（3）a±b＝（3a ±3b ）（32322b ab a + ）(a>0,b>0). 4.npmp a =n m a （a≥0）,其中的a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.例如62)8(-≠38-.5.分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全一样.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 名师解惑1.为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？在以前学习的正整数指数幂中运算法则a m ÷a n =a m-n中为什么会限定m>n ？剖析：（1）根据方根定义，若x 是a(a>0)的n 次方根（n 为偶数），则x n =a ，这时（-x ）n=a ，即-x 也是a(a>0)的n 次方根.假设x 是a(a<0)的n 次方根（n 为偶数）,则x n=a.因为x n ≥0，若a<0，则x n=a 不成立，且与方根定义矛盾.（2）因为是正整数指数幂，如果没有m>n 的限定,m-n 可能等于0或者m-n<0.为了取消m>n 的限制，才定义了0次幂和负整数指数幂.这样m 、n 的大小就任意了，这样有可能产生负整数，也就把正整数指数幂扩充到了整数指数幂.2.引入分数指数幂之后，任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？在分数指数幂a nm中为什么限定a>0？剖析：（1）引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即n a =a n1，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然a n1是a nm 当m=1时的特例.（2）分数指数幂的意义来源于根式，而要使n a m对任意的n∈N *且n>1都有意义，必须限定a>0，否则,当a=0时，若m=0或nm为分母是偶数的负分数，a n m没有意义；当a<0时，若m 为奇数，n 为偶数，a nm 没有意义.（3）我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如-3=327-=(-27)31=(-27)62=62)27(-=6729=3.为什么会出现-3=3这种情况？看看错在了哪里？因为这里的-3＜0,在(-27)31=(-27)62中发生的错误，分数的分子、分母扩大相同的倍数分数值不变，有这个性质，必须限制条件“a>0”或“a>0,b>0”. 讲练互动【例题1】计算：（1）（27125）32-；（2）0.00832-；（3）（240181）43-；（4）（2a+1）0； （5）［65-（53）-1］-1.分析:在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时〔如（1）（2）（3）〕，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便.在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m 0才有意义；而对于形如（a b ）-n 的式子，我们一般是先变形为（ba ）n，然后再进行运算.解：（1）（27125)32-=（3335）32-=2235--=2253=259.（2）0.00832-=（0.23）32-=0.2-2=（51）-2=52=25. （3）（240181）43-=（4473）43-=3373--=3337=27343.（4）（2a+1）0=⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠.21,,21,1a a 无意义（5）［65-（53）-1］-1=（6535-）-1=（65-）-1=56-.绿色通道在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键. 变式训练 1.计算：（1）（-383）32-＋（0.002）21--10（5-2）-1＋（32-）0=__________.（2）（41）2121432231)(1.0)4(---b a ab =____________.解析：（1）原式＝（-1）32-（827）32-＋（5001）21-2510--＋1＝［（23）3］32-＋（102×5）21-10（5+2）＋1＝916712051051094-=+--+; （2）原式＝24232323223211044+--⨯b a =b b 25125121=. 答案：(1)9167- (2)b 251【例题2】化简322234)210()323(27622----+-的结果是( ) A.35B.-3C.3D.9 解析：先将式子中的根式逐个化简，后进行运算. 原式＝31132126)311(278323+-=---+-+6=9. 答案：D绿色通道对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算.在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ，若a ＞0，则3a ＞0，若a ＜0，则3a ＜0；但对根指数为偶数的根式，只有当a≥0时，对a 才有意义. 变式训练2.化简：(1)432981⨯=____________;（2）3131421413223)(ba b a ab b a -(a>0,b>0)=____________.解析：（1）原式＝421322)9(9⨯＝431299⨯＝4379＝67127413739)9(==；（2）原式＝3131221323123)(ba ab b a b a -=3123113116123--++-+b a=ab -1.答案：（1）367 （2）ab -1【例题3】已知a=278-，b=7117，求333131343233232793ba a ba ab ab a -÷-++的值. 分析:化简、求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值.解：∵a≠0，∴原式=)27()3(331231313123b a a b b a a -++×3131313ab a -.又∵a -27b≠0，∴原式=)27()3()(32331331b a a b a --=a32-=32)278(--=2)32(--=（23-）2=49. 黑色陷阱本题容易直接将a 、b 的值代入，后化简，因为运算烦琐，不容易做出正确的结果,所以在解决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题,这样才能养成良好的思维习惯. 变式训练3.已知a=-1，b=7163，求)21(483323323134abbab a a b a a -÷++-×3a =___________. 解析：原式=313131132313131231312)2(2)()8(a ba ab b a a b a a ⨯-⨯++-=331331313131)2()()8(b a b a a--++=a.∵a=-1,∴原式=a=-1. 答案：-14.已知x+y=12,xy=9且x<y,且21212121yx y x +-=________.解析：∵x+y=12,xy=9且x<y ， ∴x>0,y>0,x -y<0.∴x -y=2)(y x --=xy y x 4)(2-+-=94122⨯--=36-,x 21y 21=9xy ==3.∴原式＝))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=36321222121-⨯-=-+-y x y y x x =33-. 答案：33-。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.2 指数函数学案 新人教B版必修
高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数3.1.2 指数函数学案新人教B版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数3.1.2 指数函数学案新人教B版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1.2 指数函数预习导航1．指数函数的定义函数y＝a x（a〉0，a≠1，x∈R)叫做指数函数，其中x是自变量．思考1函数y＝4－x是指数函数吗？函数y＝4x＋9呢？提示：函数y＝4－x＝14x⎛⎫⎪⎝⎭是指数函数，函数y＝4x＋9不是指数函数，判断一个函数是否为指数函数关键是看是否能化为y＝a x（a>0,且a≠1)的标准形式．思考2 在指数函数的定义中，为什么规定a>0，且a≠1?提示：2．指数函数的图象和性质值域：＋∞）小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时,函数有最大值a t 。
指数函数y ＝a x （0＜a ＜1）在R 上为减函数，在闭区间[s ，t ］上存在最大值、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时,函数有最小值a t .思考3 指数幂a x （a >0,且a ≠1)与1的大小关系如何?提示：当x 〈0,0〈a 〈1或x 〉0，a 〉1时，a x >1,即指数x 和0比较，底数a 和1比较，当不等号的方向相同时,a x 大于1，简称为“同大”．当x 〈0，a 〉1或x >0，0<a <1时，a x <1，即指数x 和0比较,底数a 和1比较，当不等号的方向相反(异)时,a x 小于1，简称为“异小”．因此简称为“同大异小”．思考4 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象：①y ＝2x ；②y ＝5x ；③y ＝15x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；④y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.2 指数函数教案 新人教B版必修
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3。
1。
2 指数函数错误!教学分析有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图象以及研究指数函数的性质．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质）等．同时，编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想．2．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．3．通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质．展示函数图象,让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用．教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算教研素材
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3。
1。
1 实数指数幂及其运算教研中心教学指导一、课标要求1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全相同。
培养学生思维迁移和主动参与的能力. 越是接近真理，便越加发现真理的迷人。
——拉梅特里2。
正整数指数幂的五条运算性质可以归结为以下三条：(1）a r ·a s ＝ar ＋s ； （2）（a r ）s ＝a rs ；（3）（ab)r ＝a r b r ，其中a ＞0，b ＞0,r 、s∈Q .这三条运算性质对于r 、s∈R 也成立,我们要记准公式，不仅会直接使用，更要会准确地逆用、活用。
体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3。
通过学生自主探究来加深理解n 次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.二、教学建议重点难点突破本节的重点就在于正确理解分数指数幂的概念,能熟练运用分数指数幂的性质和运算法则，难点就在于能将分数指数幂熟练地和根式等价互化，特别是对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a 的取值限制,一个可行的方法是：化分数指数幂为根式及分式的形式，例如：∵a 53-=531a ，∴a≠0；∵a 43-=431a ，∴a＞0,等等.建议教学方法本节是指数与指数函数的入门课，概念性较强，为突破根式概念理解这一教学难点，关键在于使学生理解n次方根定义，故结合学生在初中已经熟悉的平方根、立方根的概念,由特殊化逐渐过渡到一般的n次方根定义，使学生易于接受。
高中数学第三章基本初等函数(ⅰ)3.1.2指数函数第1课时指数函数bb高一数学
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3．指出下列函数中，哪些是指数函数． (1)y＝(－4)x； (2)y＝x4； (3)y＝(a2＋2)－x； (4)y＝2·3x＋a(a≠0); (5)y＝4x2．
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解：(1)y＝(－4)x，底数－4<0，故它不是指数函数； (2)y＝x4，指数为 4 而不是 x，故它不是指数函数； (3)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12， 前面系数为 1，指数为自变量 x， 故它是指数函数； (4)y＝2·3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函数； (5)y＝4x2，底数是自变量，且前面系数为 4，故它不是指数函 数．
第三章 基本(jīběn)初等函数(Ⅰ)
1 2 指数函数 3． ．
(zhǐ shù hán shù)
第1课时 指数函数
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第三章 基本(jīběn)初等函数(Ⅰ)
1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解指数 函数的概念及单调性． 3．掌握定义域、值域的求法及比较 大小问题．
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(3)因为 1．90．4>1．90＝1，0．92．4<0．90＝1， 所以 1．90．4>0．92．4． (4)因为（（19450））2121＝(89)12<(89)0＝1， 所以(45)12<(190)21，
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因为 y＝(190)x 在 R 上为减函数，又12>13， 所以(190)12<(190)31， 所以(45)12<(190)31．
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1．利用直线 x＝1 与指数函数的图象的交点位置比较底数的 大小． 因为直线 x＝1 与指数函数 y＝ax 的交点 纵坐标为 a1 ＝a，所以在同一直角坐标系 中，画出几个指数函数的图象和直线 x＝ 1．由于它们与直线 x＝1 的交点的上下位 置与纵坐标大小相对应，从而直观地得到底数的大小，如图 就可以得到 a>b>1>c>d．
又因为 y＝(12)u 是减函数， 所以 y＝(12)－x2＋2x 的单调递减区间为(－∞，1]，单调递增区间 为[1，＋∞)．
函数 y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理方法 (1)关于指数型函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的单调性由两点决 定，一是底数 a>1 还是 0<a<1；二是 f(x)的单调性，它由两 个函数 y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把
函数分解成 y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察 f(u)和φ(x)的单调性，
求出 y＝f(φ(x))的单调性．
求函数 y＝(34)x2－5x＋6 的单调区间． 解：令 u＝x2－5x＋6，则 y＝(34)u 是关于 u 的减函数，而 u＝ x2－5x＋6 在(－∞，52]上是减函数，在[52，＋∞)上是增函数． 所以函数 y＝(34)x2－5x＋6 的单调递增区间是(－∞，52]，单调递 减区间是[52，＋∞)．
结果如何？
若本例中的函数改为 y＝(12)|x|，其他条件不变，
解：因为|x|＝x－（xx（≥x0<）0）， 所以当 x≥0 时，函数为 y＝(12)x； 当 x<0 时，函数为 y＝(12)－x＝2x， 其图象由 y＝(12)x(x≥0)和 y＝2x(x<0) 的图象合并而成(如图所示)．
而 y＝(12)x(x>0)和 y＝2x(x<0)的图象关于 y 轴对称，所以原函 数图象关于 y 轴对称． 由图象可知值域是(0，1]，单调递增区间是(－∞，0]，单调 递减区间是[0，＋∞)．
B．a＞1，b＞0 D．0＜a＜以得到函数 f(x)为减函数， 从而有 0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数 y＝ax(0＜a＜1) 的图象向左平移|－b|个单位而得到的，所以－b＞0，即 b＜0．
复合函数的单调性 求函数 y＝(12)－x2＋2x 的单调区间． 【解】 设 u＝－x2＋2x， 因为 y＝(12)u，u＝－x2＋2x 的定义域都是 R， 所以 y＝(12)－x2＋2x 的定义域为 R． 因为 u＝－(x－1)2＋1 在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞) 上单调递减，
称．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．( √ ) (2)函数 y＝2－x 的定义域为{x|x≠0}．( × )
2．y＝34x的图象可能是(
)
答案：C
3．若函数 f(x)＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象过点3，18，则 f(x) ＝________．
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
第2课时 指数函数的图象和性质
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
1．了解定点问题． 2．理解图象的变换． 3．掌 握指数函数单调性的应用．
1．指数函数的性质 若 a>1，则当 x＝0 时，y_＝__1；当 x>0 时，y_>__1；当 x<0 时，y_<__1； 若 0<a<1，则当 x＝0 时，y_＝__1；当 x>0 时，y_<__1；当 x<0 时，y_>__1．
2．复合的指数函数 一般来说，函数 y＝af(x) 的定义域就是 f(x) 的定义域，其值 域不但考虑 f(x) 的值域，还要考虑 a>1 还是 0<a<1，如 f(x)∈[－4，＋∞)时，若 a>1，则 af(x)∈[a－4，＋∞)；若 0<a<1， 则 af(x)∈(0，a－4]． 函数 y＝af(x) 的单调区间，既要考虑 f(x)的单调区间，又要分 类讨论 a 的取值范围．其复合后的函数，要看两个函数，“同” 则增，“异”则减，即“同增异减”．
求解指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为 常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0
答案：12x
函数图象过定点问题 函数 f(x)＝ax－1＋1(a>0 且 a≠1)过定点 A，则 A 点的 坐标为______．
【解析】 原函数 f(x)＝ax－1＋1 可变形为 y－1＝ax－1， 将 y－1 看作 x－1 的函数． 令 x－1＝0 则 y－1＝1， 即 x＝1，y＝2， 所以函数 f(x)＝ax－1＋1 恒过定点 A(1，2)． 【答案】 (1，2)
指数函数的图象变换 函数 y＝2|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其 值域和单调区间吗？
【解】 当 x≥0 时，y＝2|x|＝2x； 当 x<0 时，y＝2|x|＝2－x＝(12)x． 所以函数 y＝2|x|的图象如图所示，由图象可知，y＝2|x|的图象 关于 y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞， 0]，单调递增区间是[0，＋∞)．
2．指数函数的图象 若 a>b>1，当 x>0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象的_上__ 方；当 x<0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象的_下__方； 若 1>a>b>0，当 x>0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象的 _上__方；当 x<0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象的__下_方． 函数 y＝ax 和 y＝a－x(a>0 且 a≠1)的图象关于_y_轴____对
指数型函数过定点的求法 求指数型函数图象所过的定点，只要令指数为 0，求出对应 的 x 与 y 的值，即为函数图象所过的定点．
函数 y＝3x－4＋b 的图象恒过定点(4，6)，则 b ＝________． 解析：因为 y＝3x－4＋b 的图象恒过定点(4，6)， 所以 30＋b＝6，所以 b＝5． 答案：5