《数学分析》第十七章多元函数微分学 .ppt

合集下载

数学分析刘玉琏17-4

当 n = 0 时，泰勒公式成为
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) hf x ( x0 h, y0 k ) kf y ( x0 h, y0 k ).
上式称为二元函数的拉格朗日中值公式(P133定理17.8). 例4(P135)
z x 2 y, z x (0,0) 0 ;
z y 2 x , z y (0,0) 0 ，
点(0,0)不是极值点，如图.
z
o
x z O x
8
y
但稳定点处有可能取得极值.
(2)偏导数不存在的点也有可能取得极值. 例如，函数 z x y 在(0, 0)
2 2
y
处没有偏导数，但在 (0, 0)处有极大值．
5
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
二极值问题(P136 三) 1.二元函数极值的定义
定义( P136) 设函数f 在点P0 ( x0 , y0 )的某邻域U ( P0 )内有定义. 若对任何点P( x, y )，成立不等式 f ( P ) f ( P0 ) (或f ( P ) f ( P0 )), 则称f 在点P0取得极大(或极小)值，点P0称为f 的极大(或极小)值点.
在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0, B f xy (0, 0) 3,

高等数学(高教版)泰勒公式与极值问题课件

§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
1 f x y ( x0 , y0 ) lim lim f ( x0 x , y0 y ) y 0 x 0 x y
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) ; (1)
在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式. 注1 若二元函数连续混合偏导数，
f ( x , y ) 在某一点存在直到 n 阶的
则在这一点的所有
m ( m n) 阶混
合偏导数都与求导顺序无关．注2 这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立. 例如三元函数
f ( x , y , z ) 的如下六个三阶混合偏导数
f x ( x0 , y0 y ) f x ( x0 , y0 ) f x y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 y ) 1 lim lim y 0 y x 0 x f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim x 0 x
又 f x ( x0 1 x, y ) 作为 y 的可导函数, 再使用微分中值定理， 2 (0, 1), 使上式化为 ( x0 x ) ( x0 ) f x y ( x0 1 x , y0 2 y ) x y .

高等数学-多元函数微分学的几何应用PPT共33页

高等数学-多元函数微分学的几何应用
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知பைடு நூலகம்者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利

数学分析刘玉琏17-2

例如，z e u sin v，而u xy, v x y，则z e xy sin( x y ).
一复合函数的求导法则
定理17.5( P118)
如果函数u ( x, y), v ( x, y)在点( x, y )处
可微，且函数z f (u, v )在对应点(u, v )可微，则复合函数
u u 1 u u r cos cos sin 2 r sin y r x y x 2 2 u u . x y
2
2
7
复合函数的微分法是难点,下面对几种其它情况给予讨论. 1. 多个中间变量，多个自变量的情形
z x
e [ y sin( x y ) cos( x y)]dx
xy
z y
15
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy.
第十七章多元函数微分学§2复合函数微分法
习题：P123§2习题 1-5题
16
三高阶偏导数(P127§4 一) 若二元函数z f ( x , y )在区域D中处处有偏导数f x ( x , y )和
dz z du z dv . dx u dx v dx dz 例设z uv , u e , v sin x , 求 . dx

《数学分析》多元函数微分学

数学分析是数学中的一个重要分支，它主要研究的是函数的变化规律。在数学分析中，多元函数微分学是一个重要的内容，它研究的是多元函数

在其中一点的微分性质。本文将介绍多元函数微分学的基本概念和定理，

以及一些相关的应用。

一、多元函数的定义

在数学中，多元函数是指定义在多维空间中的函数。通常情况下，多

元函数可以用一个或多个自变量来描述，例如二元函数可以写成f(x,y)，三元函数可以写成f(x,y,z)等。多元函数在数学分析中有着重要的应用，因此多元函数微分学也是数学分析的重要内容之一

二、偏导数的定义

在多元函数微分学中，偏导数是一个重要的概念。偏导数表示函数在

其中一个方向上的变化率，可以通过对函数的自变量进行偏微分来得到。

偏导数的定义如下：

对于一个具有多个自变量的函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其在点(a₁,

a₂, ..., an)处关于第i个自变量的偏导数定义为：

∂f/∂xi = lim(h→0) [f(a₁, ..., ai+h, ..., an) - f(a₁, ...,

ai, ..., an)] / h

其中偏导数表示在变量xi方向上的变化率，可以通过对xi进行微小

改变来计算函数f的变化量。

三、偏导数的性质

偏导数具有一些性质，其中最重要的是混合偏导数的性质。对于一个

具有多个自变量的函数f，它的混合偏导数可以通过对其各个自变量的偏

导数进行求导得到。混合偏导数的性质如下：

∂/∂x(∂f/∂y)=∂/∂y(∂f/∂x)

这个性质表明对于一个函数f，其混合偏导数与求导的顺序无关，这

数学分析多元函数微分学

数学分析是数学的一个基础学科，研究实数域上函数的性质、极限与

连续性、刻划数学对象的一致变化规律以及相关的计算方法。多元函数微

分学是数学分析的重要分支，研究多元函数的导数、偏导数和微分，并为

求解实际问题提供了强有力的工具。

多元函数是指依赖于多个自变量的函数，例如f(x,y)、g(x,y,z)等。在多元函数微分学中，我们研究的对象不再是曲线或者平面上的函数，而

是定义在空间中区域上的函数。

多元函数的导数是指函数在其中一点的变化率，而偏导数是多元函数

沿着一些坐标轴方向的导数。与一元函数的导数类似，我们可以通过极限

的概念来定义多元函数的导数和偏导数。为了简化计算，我们通常使用偏

导数来求解多元函数的极值，这样的极值点被称为临界点。

多元函数的微分是指函数在其中一点的线性逼近，通过一阶偏导数来

表示。微分的概念在实际问题的应用中非常重要，例如物体的平衡条件、

导弹的轨迹优化等。微分可以帮助我们确定一些函数在给定点附近的性质，从而更好地理解和应用多元函数。

在多元函数微分学中，我们引入了梯度的概念，它是函数在其中一点

处的方向导数最大的方向。梯度不仅可以帮助我们理解函数的变化趋势，

还可以应用于优化问题中，例如最小二乘法、无约束优化等。

除了导数、偏导数和微分，多元函数微分学还涉及到极限、连续性和

泰勒展开等概念和定理。多元函数的极限和连续性与一元函数类似，可以

通过序列的方法来定义，并可以推广到多个变量的情况。而泰勒展开则是

将多元函数近似为一个多项式，从而简化计算和分析。

多元函数微分学不仅有着严密的理论基础，还有着广泛的应用。在物理学、经济学、工程学等领域，许多实际问题都可以通过多元函数微分学的方法进行建模和求解。例如机械结构的受力分析、经济学中的边际效用和边际成本分析等。

17-3——华东师范大学数学分析课件PPT

U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
fx (P0 ) 1, f y (P0 ) 2, fz (P0 ) 3 ,
以及 l P0P1 (2, 2,1) 的方向余弦
cos pp0 i
2
2,
pp0
22 (2)2 12 3
cos pp0 j 2 ,cos pp0 k 1 ,
pp0 3
pp0 3
按公式
(1) 可求得 f l (P0 )

第十七章多元函数的微分学

第十七章多元函数的微分学 §1 可微性

教学目的掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件．教学要求

(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．

(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．

教学建议

(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．

(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．

教学程序

一、可微性与全微分:

由一元函数可微性引入二元函数可微性.

定义1（可微性）设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+,其中A ，B 是仅与点0P 有关的常数，22,()x y ρρ=∆+∆是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。

全微分:

当,x y ∆∆充分小时

0000(,)(,)()()dz z

f x y f x y A x x B y y ≈∆≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 .

二、偏导数

（一）、偏导数的定义、记法

),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：

000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 x

17-1——华东师范大学数学分析课件PPT

x0 x x0
x
存在时, 称此极限为 f 在点 ( x0 , y0 )关于x 的偏导
数, 记作
f x ( x0 , y0 ), 或 zx ( x0 , y0 ),
f x
,
( x0 , y0 )
z .
x ( x0 , y0 )
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§1 可微性与偏导数可微性与全微分
高等教育出版社
§1 可微性与偏导数可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
由 (1), (2) 可见, 当 | x |, | y | 充分小时, 全微分 dz
可作为全增量 z 的近似值, 于是有近似公式:
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) A( x x0 ) B( y y0 ). (3)
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§1 可微性与偏导数可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
例1 考察 f ( x, y) x y 在任一点 ( x0, y0 ) 的可微性.
解 f 在点( x0, y0 ) 处的全增量为
f ( x0 , y0 ) ( x0 x) ( y0 y) x0 y0
§1 可微性与偏导数可微性与全微分
偏导数

多元函数微分学

x

y
y

也可简单写作 fx, zx或
f y , zy
或
f . y
例1 求函数 f (x, y) x3 2x2y y3在点(1, 3)关于x 和关于y的偏导数. 例2求函数 z xy(x0)的偏导数.
二元函数偏导数的几何意义
设P0(x0, y0, z0)是曲面z f (x, y)上一点, 其中
d
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
z z x z t x t y t z x z s x s y y t y s
dt

x
k 1

k
dt
.
(5) (6)
一般地, 若 f (u1, , um)在点(u1, , um)可微,
uk gk(x1, , xn), (k 1, 2, , m)在点(x1, , xn)

数学分析17.2多元函数微分学之复合函数微分法

第十七章多元函数微分学

2复合函数微分法

一、复合函数的求导法则

定义1：设函数x=φ(s,t)与y=ψ(s,t)定义在st 平面的区域D 上，z=f(x,y)定义在xy 平面的区域D 1上，{(x,y)|x=φ(s,t),y=ψ(s,t), (s,t)∈D}⊂D 1，则函数z=F(s,t)=f(φ(s,t),ψ(s,t)), (s,t)∈D 是以f 为外函数，φ,ψ为内函数的复合函数. 其中x,y 称为函数F 的中间变量，s,t 为F 的自变量.

定理17.5：若函数x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)∈D 可微， z=f(x,y)在点(x,y)= (φ(s,t),ψ(s,t))可微，则复合函数

z=f(φ(s,t),ψ(s,t))在点(s,t)可微，且它关于s 与t 的偏导数分别为：

(s,s

z ∂∂=

t)(s,y )

(x,s

x x z ∂∂∂∂+

(s,y )

(x,s

y y z ∂∂∂∂，

(s,t

z ∂∂=

t)(s,y )

(x,t

x x z ∂∂∂∂+

(s,y )

(x,t

y y z ∂∂∂∂.

证：∵x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微， ∴△x=

s x ∂∂△s+t x ∂∂△t+α1△s+β1△t; △y=s y ∂∂△s+t

∂∂△t+α2△s+β2△t ，其中当△s,△t →0时，α1,α2,β1,β2→0，又由z=f(x,y)在点(x,y)可微，∴△z=

z ∂∂△x+y z

∂∂△y+α△x+β△y ，其中

当△x,△y →0时，α,β→0，补充定义：当△x=0,△y=0时, α=β=0，则

数学分析17.3多元函数微分学之方向导数与梯度

第十七章多元函数微分学

3方向导数与梯度

定义1：设三元函数f 在点P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域U(P 0)⊂R 3有定义，l 为从点P 0出发的射线，P(x,y,z)为l 上且含于U(P 0)内的任一点，以ρ表示P 与P 0两点间的距离. 若极限ρ)f(P -f(P)lim

00ρ+

→=ρ

lim 0ρl ∆+→存在，则称此极限为函数f 在点P 0沿方向l 的方向导数，记作0

P l

z ∂∂,f l (P 0)或f l (x 0,y 0,z 0).

若f 在点P 0存在关于x 的偏导数，则f 在P 0沿x 轴正向的方向导数为：

P l

z ∂∂=

P x

z ∂∂；当l 的方向为x 轴的负方向时，则有

P l

z ∂∂=-

P x

z ∂∂.

定理17.6：若函数f 在点P 0(x 0,y 0,z 0)可微，则f 在点P 0沿任一方向l 的方向导数都存在，且f l (P 0)=f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ，其中 cos α,cos β,cos γ是方向l 的方向余弦.

证：设P(x,y,z)为l 上任一点，于是有⎪⎩

⎪⎨⎧=∆==∆==∆=ρcosγ

z z -z ρcosβy y -y ρcosα

x x -x 000，

∵f 在点P 0可微，∴f(P)-f(P 0)=f x (P 0)△x +f y (P 0)△y +f z (P 0)△z+o (ρ)，两边除以

= f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ+ρ)

数学分析17.3多元函数微分学之方向导数与梯度

第十七章多元函数微分学

3方向导数与梯度

00ρ+

→=ρ

lim 0ρl ∆+→存在，则称此极限为函数f 在点P 0沿方向l 的方向导数，记作0

P l

z ∂∂,f l (P 0)或f l (x 0,y 0,z 0).

若f 在点P 0存在关于x 的偏导数，则f 在P 0沿x 轴正向的方向导数为：

P l

z ∂∂=

P x

z ∂∂；当l 的方向为x 轴的负方向时，则有

P l

z ∂∂=-

P x

z ∂∂.

证：设P(x,y,z)为l 上任一点，于是有⎪⎩

⎪⎨⎧=∆==∆==∆=ρcosγ

z z -z ρcosβy y -y ρcosα

x x -x 000，

∵f 在点P 0可微，∴f(P)-f(P 0)=f x (P 0)△x +f y (P 0)△y +f z (P 0)△z+o (ρ)，两边除以

= f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ+ρ)

多元函数微分学(共184张PPT)

的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同下列四个
二阶偏导数：
x x z x 2 z 2fx x(x ,y ), y x z x 2 z yfx y(x ,y )
上一页下一页返回
x z x 2 2 x z f x x(, xy ), y z x 2 xz yf x y(, xy )
x z x 2 2 x z f x x(, xy ), y z x 2 xz yf x y(, xy )
• 第三节全微分及其应用
习题
下一页返回
• 第三节全微分及其应用
• 二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率.
z
•
x
必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微
y
• 分为
•
dz z x z y
(3)
x y
• 证设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是对
于点P的某个邻域内的任意点
• ，(2)式总成立.特别当
时P (2()x式也x应,y成立y)
，这时
，所以(2)y式成0 为
x
上一页下一页返回来自百度文库
z f (x, y0) Ty
y0
x0
O
y
x
•
图 8-6
上一页下一页返回

多元函数微分学

xy si n x y ) （证明l i m 0. 2 2 x 0 x y y 0
si n ( ) xy 求lim x 0 y y 0
例2
例3
xy 2 lim 2 是否存在? 4 x 0 x y y0
xy l n (x 2 y 2 ) x 2 y 2 0, 研究函数 ( x, y) f 0 x2 y2 0 在( 0,0)处的连续性。
x 0
lim
z 的偏导数记为 . M 0 或 f x ( x 0 , y0 ). x 同样地， f ( x, y)在M0 ( x0, y0 )处对y的偏导数为 z :
z y
M0
f y ( x0, y0 ) lim
y 0
f ( x0 , y0 y ) f ( x0, y0 ) y
定理2 (必要条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点( x, y)可微, 则
z z ( 2) f ( x , y )在( x , y )处存在偏导数 , , 且 x y z z dz x y x y
(1) f ( x, y )在( x, y )处连续;
注 : 偏导数存在是可微的必要条件, 而非充分条件 . z z 当偏导数存在时可得到表达式 x y，但它 x y 并不一定是全微分 , 必须再验证 dz z z " z [ x y ]是比高阶无穷小 " x y 的条件, 才能保证全微分的存在，并且