导数复习课件
导数知识点复习省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
x1
x2
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处旳瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim f
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处旳导数, 记作 f (x0 )
或 y |xx0 , 即
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
Δx) x
结论: 若x0满足 f/(x)=0,且在x0旳两侧
旳导数异号,则x0是f(x)旳极值点,f(x0)是极 值,而且假如 f/(x) 在x0两侧满足“左正右 负”,则x0是f(x)旳极大值点,f(x0)是极大值; 假如 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,则x0
是f(x)旳极小值点,f(x0)是极小值.极大值 与极小值统称为极值.
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
导数旳运算法则:
法则1:两个函数旳和(差)旳导数,等于这两个函数旳导数旳
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数旳积旳导数,等于第一种函数旳导数乘第二个 函数,加上第一种函数乘第二个函数旳导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
导数的应用复习PPT课件
解：
f ( x)＝6x 2 12ax
2 令f ( x) 0,即6x 12ax 0
即x( x 2a) 0
(1)当2a 0时,即a 0, 则0 x 2a
所以f ( x)的单调减区间为（0， 2a )
（2）当2a 0时,即a 0, 则2a x 0
所以f ( x)的单调减区间为（2a， 0)
练习3、（浙江卷）设/(x)是函数(x)的导函
y
数 ,y=/(x) 的图象如右图所示 , 则 y=(x) 的图 象最有可能的是 ( )
y y
y=f'(x)
O
1
2
x
O
1
2
x
O
1
2
x
y
(A)
2 1
y
(B)
O
x
1
2
x
(C)
(D)
例2:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函 数，求实数a的取值范围 .
导数主要有哪 些方面的应用?
1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值
…
应用一、判断单调性、求单调区间
函数的导数与函数的单调性之间的关系？
（1）定义法（2） 判断函数单调性的常用方法： 导数法
要点·疑点·考点
一般地，设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.
导数的概念和计算(复习课件)
1 上,∴ab=1 x
------------②
所求直线方程为 x+y-2=0
练习4 (1)曲线y=x4的斜率等于4的切线的方程为 4x-y-3=0 . π 1 ( , ) 且与过这点的切线垂直的 (2)过曲线y=cosx上的点 3 2
1 2 3 π y = (x . ) 切线方程为 2 3 3
(3)设l1为曲线y=sinx在点(0,0)处的切线,l2为曲线 π ( ,0)处的切线,则l1与l2的夹角大小为 90° . y=cosx在点
′ = 2e 2 x cos x e 2 x sin x y
(4)
2 x log 3 e 1 2 y′ = 2 log 3 e ( x 1)′ = x 1 x2 1
练习3: 1.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3 0或 2 3. (1)这两条曲线在x=x0的点处的切线互相平行,则x0= (2)这两条曲线在x=x1的点处的切线互相垂直,则x1= 4 2.已知f(x)=cos2x ,则 f ′′( ) = . 2 3.已知函数y=x3的切线的斜率等于3,则其切线有
B. 0
二,求导公式 1.常用导数公式
c′=0(c为常数) (xm) ′=mxm-1(m∈Q) (sinx) ′=cosx (cosx) ′=-sinx (ex) ′=ex (ax) ′=ax lna (lnx) ′= 1
1 (log a x)′ = log a e x
x
2.两个函数四则运算的导数
y x
lim y
t →0
x
5.二阶导数:y=f(x)的导数f′(x)的导数,记作f ″(x)或y ″ 物体运动的加速度a=s″(t)
练习1:(1) 一球沿斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2 位移单位:m,时间单位:s).求小球在t=5时的瞬时速 度(用定义法求) 解:△s=s(5+△t)-s(5)=(5+△t)2-52=△t2+10△t s = t + 10 t
高考数学-导数-专题复习课件
)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3
2025年高考数学一轮复习4.1导数的概念及其意义、导数的运算【课件】
方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
3
4
2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率.(
(2)函数f(x)=sin (-x)的导数f'(x)=cos x.(
2 4
e
e
e e
所以曲线y= 在点(1, )处的切线方程为y= x+ .
+1
2
4 4
π
3.(选择性必修二·
P81T6·
变形式)已知函数f(x)满足f(x)=f'( )cos
4
π
1- 2
则f'( )=________.
4
π
【解析】f'(x)=-f'( )sin
4
x-cos x,
π
π
2 π
2
令x= ,得f'( )=- f'( )- ,
2
e
A.y= x
4
e
B.y= x
2
e e
C.y= x+
4 4
e 3e
D.y= x+
2
4
)
e
e
e
【解析】选C.设曲线y= 在点(1, )处的切线方程为y- =k(x-1),
+1
2
2
e
因为y= ,
+1
e (+1)−e
所以y'=
导数的概念和计算(复习课件)
复习题
已知函数 y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4，求该函数的导数。
已知函数 y = sin(x)，求该函数 的导数。
已知函数 y = cos(x)，求该函数 的导数。
答案与解析
答案 y' = 2x
y' = 3x^2
答案与解析
y' = 4x^3 y' = cos(x)
y' = -sin(x)
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感谢聆听
导数的概念和计算(复习课件)
目
CONTENCT
录
• 导数的定义和几何意义 • 导数的计算 • 导数在研究函数中的应用 • 导数的实际应用 • 复习题与答案
01
导数的定义和几何意义
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要工具。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在这一点附近的小变化量与 自变量小变化量的比值，当小变化量趋近于0时的极限值。
信号处理
导数可以用来分析信号的 频谱和滤波，例如傅里叶 变换和小波变换。
优化设计
导数可以用来优化工程设 计，例如结构优化和机械 优化，提高产品的性能和 效率。
05
复习题与答案
复习题
02
01
03
计算下列函数的导数 y = x^2 y = x^3
复习题
y = x^4
y = sin(x)
y = cos(x)
04
导数的实际应用
导数在经济学中的应用
80%
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出 更优来解决经济学中的最 优化问题，例如最大利润、最小 成本等，通过求导找到最优解。
导数章末复习(带答案)教学课件
,其中1≤
x
≤
2.
取并集
令h(x)=4x 1 (1≤ x ≤ 2),易知h(x)在[1, 2]上单调递增，故h(1) ≤ h(x) ≤ h(2). x
所以 3 ≥ h(2)或 3 ≤ h(1)，即 3 ≥ 4 2 1 = 15 或 3 ≤ 4 1 1 =3，
a
a
a
22 a
1
解得a 0或0 a ≤ 2 或a ≥1. 故a的取值范围为( 5
a
（1）若a =1，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围。
解（：1）当a 1时，f (x) 3x 2x2 ln x,其定义域为(0, ),
则f (x) 1 4x 3 4x2 3x 1 (4x 1)(x 1) (x 0), -1/4 0 1 x
x
x
a, a ).
专题三 导数的综合应用
例3. 函数f (x) x2ex-1+ax3 bx2,已知x 2和x 1为f (x)的极值点. (1)求a和b的值；
(2)设g(x)= 2 x3 x2, 试比较f (x)与g(x)的大小. 3
解：(1) f (x) ex 1(2x x2 ) 3ax2 2bx xex 1(x 2) x(3ax 2b).
, 0) (0, 2] [1, 5
).
变式2.设函数f (x) x3 3ax b(a 0). (1) 若曲线y f (x)在点（2，f (2)）处与直线y 8相切，求a、b的值；
(2) 求函数f (x)的单调区间.
解:(1) f (x) 3x2 3a(a 0), 因为曲线y=f (x)在点(2, f (2))处与直线y=8相切，
导数章末复习
1.导数复习课件
导数复习第一讲
高二数学组
导数知识点回顾 1导数的物理意义
s t vt vt at
k f x0
2某点处导数的几何意义 这一点处的导数即为这一点 处切线的斜率
3：某点处导数的定义 当 Dx 0 时
4：常见函数的导数：
c 0
3 a 2
课堂练习:
3.若函数 y ax 1在 R 内 是减函数,则 a的范围(a 0 )
3
y 变式：若将函数改为
则结果为（a 0 ）
ax x
3
4.函数f x 2 x sin x在 , 上( A ) A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 分析: y 2 cos x 1,3
A. f( x )g( x ) > f( b )g( b )
B. f( x )g( a ) > f( a )g( x ) C. f( x )g( b ) > f( b )g( x )
D. f( x )g( x ) > f( a )g( a )
1 2 例3.若函数f x x x bx c 2
7.
以上几题是考查导数的运算及几何意 义。 下面来借助导数研究函数的单调性问 题……..
导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性: f x 增函数 f x 0 f x 减函数 f x 0 注：若函数f(x)在区间a, b内单调 增函数,则 f x 0 若函数f(x)在区间 a, b内单调 减函数,则 f x 0
(6)(sinx )
'
x
cos x
(7) cosx sin x
核按钮高考数学专题复习课件导数的概念与运算
最大值和最小值
函数的极值是最大值和最小值的 统称，可以通过导数和二阶导数 计算。
拐点和凸凹性
函数的拐点是凸凹性转换的点， 可以通过导数和二阶导数计算。
最优化问题
最优化问题是实际应用中常见的 问题类型，可以通过导数方法求 解。
总结
导数是数学和物理中的基础概念，具有广泛的应用和深刻的理论意义。希望通过本课程的学习，大家能够深入 理解导数的概念和计算方法，掌握导数分析的基本技能，从而在数学和科学领域更加自信和成功。
核按钮高考数学专题复习 课件导数的概念与运算
导数是高中数学和微积分的基本概念之一。导数用于描述函数在给定点处的 变化率，是许多数学和物理问题的核心概念。在本课程中，我们将深入了解 导数的概念、性质和计算方法。
导数的定义和几何意义
切线
导数是曲线在给定点处的切线的 斜率。
斜率
导数是函数在给定点处的斜率， 表示函数值的变化率。
隐函数
隐函数是复杂曲面的显式函数表示，导数需数
向量代数和微积分
向量函数是高维空间中的映 射，导数描述了向量场的局 部性质。
偏导数和全导数
高维函数的导数需要使用偏 导数和全导数等更复杂的计 算方法。
导数的应用
导数广泛应用于科学工程与 实际问题，如最值问题和最 优化问题等。
函数的导数和反函数的导数
1
一阶导数
函数的导数可以表示为函数的初等函数或数学公式的形式。
2
高阶导数
函数的导数也可以求二阶导、三阶导等高阶导数，揭示函数的更多性质。
3
反函数的导数
反函数的导数可以通过求导链式法则和反函数公式获得。
参数方程的导数和隐函数的导数
参数方程
参数方程描述曲线的参数关系，导数需要通过参数 求导法则计算。
2025年高考数学一轮复习-4.1-导数的概念、运算及几何意义【课件】
Δ
x→0
.
微点拨 关于导数概念的理解
(1)瞬时变化率是平均变化率的极限.
(2)导数就是瞬时变化率.
(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的关系式是s(t),则s'(t)就是速
度与时间的关系式.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,
f'(x)= axln a
f'(x)= ex
f'(x)=
1
ln
f'(x)=
1
4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'=
(2)[f(x)g(x)]'=
(3)
()
()
'=
f'(x)±g'(x)
.
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
'()()-()'()
[()]2
点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则a的值为
答案
1
4
解析
1
由条件可知,曲线在点(0,1)处的切线斜率为-2.因为
y'|x=0=2ae
1
=2a=-2,所以
0
1
a=-4.
.
y'=2ae2ax,所以
研考点 精准突破
考点一
导数的运算
题组(1)(多选)(2023·广东石门高三检测)下列求导结果错误的有(
.
m=(
)
)
答案 (1)ACD
(2)B
(3)-2
解析 (1)A 选项,(2 )'=2 ln 2,故 A 选项错误;B 选项,
导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区 间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在 区间[1,2]上单调 递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单 调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单 调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极 值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[-1,1]上的 单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在 区间[-1,1]上单 调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上 单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[1,2]上的单 调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导 数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求 解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求 解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数 判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果 导数大于0，则函数在该区间内 单调递增；如果导数小于0，则 函数在该区间内单调递减
第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第三章§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如 f(ax＋b))的导数.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x＝x0处的导数记作 或 .0'|x x y f ′(x 0)(2)函数y ＝f (x )的导函数2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的，相应的切线方程为 .y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)斜率3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝___f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝______f (x )＝cos xf ′(x )＝_______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝_______0αx α－1cos x －sin x a x ln ae xf(x)＝e x f′(x)＝____ f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝______ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x)[cf (x )]′＝ .cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x y′u·u′x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x ).( )××××教材改编题∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2.1.函数f (x )＝e x ＋ 在x ＝1处的切线方程为______________.y ＝(e －1)x ＋22.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝______. f′(x)＝1＋ln x＋2ax，3.若f(x)＝ln(1－x)＋e1－x，则f′(x)＝____________.T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是√√(x2e x)′＝(x2＋2x)e x，故B错误；教师备选1.函数y＝sin 2x－cos 2x的导数y′等于√y′＝2cos 2x＋2sin 2x2.(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，则f(2 021)－f(0)等于√A.e2 021cos 2 021B.e2 021sin 2 021C. D.e因为f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，所以f(x)＝e x sin x＋k(k为常数)，所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1 (1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于√A.1B.2C.3D.4当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.e2 (2)已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋ax e－x，若f′(2)＝1，则a＝___.∴f′(2)＝2＋a e－2－2a e－2＝2－a e－2＝1，则a＝e2.命题点1 求切线方程题型二导数的几何意义例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝ 在点(－1，－3)处的切线方程为_____________.5x －y ＋2＝0所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，x－y－1＝0则直线l的方程为_____________.∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，∴设切点为(x0，y0).又f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于√A.4B.3C.2D.1∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，将P(1,2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，∴f(1)＝ln 1＋b＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P(1，e)作曲线y＝a e x(a>0)的切线，恰有2条，(1，＋∞)则实数a的取值范围是__________.由y ′＝a e x ，若切点为(x0， )，则切线方程的斜率k ＝ ＝ >0，∴切线方程为y ＝ (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上，∴ (2－x 0)＝e ，0'|x x y 0e x a 0e x 0e x a 0e x a 0e x a 令φ(x )＝e x (2－x )，∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝e，又x→－∞时，φ(x)→0；x→＋∞时，φ(x)→－∞，解得a>1，即实数a的取值范围是(1，＋∞).1.已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为A.(1,3)B.(－1,3)C.(1,3)或(－1,3)D.(1，－3)√教师备选设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1,3).2.(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y＝ln x＋x2＋(1－a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数a的取值范围是A.[2，＋∞) B.[4，＋∞)√C.(－∞，2]D.(－∞，4]故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2].(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”.跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝e x－2n相切，则√设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n 切于点(x0， )，因为y ′＝e x －2n ，所以 ＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ，02e x n -02e x n -(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，[2，＋∞)则实数a的取值范围是__________.直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞).例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于A.0B.－1C.3D.－1或3√题型三两曲线的公切线由f(x)＝x ln x求导得f′(x)＝1＋ln x，则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y ＝x－1，因为直线l与g(x)的图象也相切，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，所以a＝－1或a＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝e x存在公共切线，则a的取值范围为__________.由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，与曲线C 2切于点(x 2， )，2e x 222121e e ,x x ax x x -=-则2ax 1＝可得2x 2＝x 1＋2，1121e 2x x +∴a ＝ ，12e 2x x+记f (x )＝ ，122e (2)4x x x +-则f ′(x )＝ ，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为___________.由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝ 有两个不同的解.1121e 2x x +12e 2x x +∵函数f (x )＝ 在(0,2)上单调递减，又x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，1.若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于A.1B.2C.3D.3或－1教师备选√解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.。
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m 3
x
3
3 2
x 2 2 mx , 由
2 m 5 ,得 m 6 .
所以 a 2, b 9, c 12 .
两年北京导 数题,感想如 何?
综合应用:
例4、设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1 (x∈R,t>0)．
（Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；
（Ⅱ）若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立， 求实数m的取值范围． h(t)=-t3+t-1
和f(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不 可能正确的是( C )
例2.设函数 f x g x 在 a, b 上 可导，且 f x g x 当 a x b 时，有( C ) 思考:本 A. f x g x 题是考查
B. f x g x
x=18,最大
课堂小结:
1.导数的运算 熟记公式
找点Βιβλιοθήκη 切 2.导数几何意义求曲线的切线
3.导数研究函数的单调性. 若函数f(x)在区间 a, b 内为 增函数, 则 ff x x 0 0 减函数
边界代入检验
复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:
yx y ux ; 或 f [ ( x)] f (u ) ( x). u x
注:y对x的导数等于y对u的导
数与u对x的导数的乘积.
返回
过p(x0,y0)的切线 1) p(x0,y0)为切点 2)p(x0,y0)不为切点
切线方程 y - y 0 = f ’ (x)(x - x 0 )
y 1 = f(x 1 ) y1 - y 0 x1 - x 0 = f ' (x 1 )
切点 P(x1, y1 )
返回
课堂练习: 1.直线运动的物体位移
2
与时间 t 的关系是 s 3t t 则它的初 速度为（ B ） A .0 B .3 C. 2 D. 3 2t
导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性:
f x 减函数 注：若函数f(x)在区间a, b 内单调 增函数,则 f x 0 f x 0
f x 0
f x 增函数
若函数f(x)在区间 a, b 内单调 减函数,则 f x 0
A. f( x )g( x ) > f( b )g( b )
B. f( x )g( a ) > f( a )g( x ) C. f( x )g( b ) > f( b )g( x ) D. f( x )g( x ) > f( a )g( a )
变式引申2
已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x),g(x)=g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0, 则x<0时（ B ）
3
调区间,则的范围是( a
) 0
题后反思:
1.求单调区间:
首先注意定义域,
其次区间不能用或( U) 连接. 增函数 f x 0 f x 2.f x 0
f x 0
减函数 f x
f x 0
边界代入检验
看图说话:
例1.设
f x 是函数f(x)的导函数，将 f x
m>1
例5、某商品每件成本9元，售价为30元，每星期
卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且
每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x
（单位：元,0≤x≤30）的平方成正比，已知商品
单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(I)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(II)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最 大？ f ( x) 6 x3 126 x 2 432 x 9072，x [0， 30]
x 3ax 2 2bx c ,由 f 1 0, f 2 0, f 1 5 , （Ⅱ）f
3a 2b c 0, 得 12 a 4b c 0, 解得 a 2, b 9, c 12 . a b c 5.
导数复习
导数知识点回顾 1导数的物理意义
s t v t v t a t
k f x0
2某点处导数的几何意义 这一点处的导数即为这一点 处切线的斜率
3：某点处导数的定义 当 Dx 0 时
4：常见函数的导数：
c 0
kx b
k
5:基本初等函数求导公式 a 1 α ' (1)为常数, (x ) ax
1 2
①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x 1 ②当x0=－ 时，所求的切线方程为： 2 y－2= －
1 4
(x－1),即x+4y－9=0
例1：已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求 在点A处的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？ 变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 线y=11x－1，则P点坐标为 (2,8)或(－ 2, －4) ____________, y=11x－14或y=11x+18 切线方程为_____________________．
O
y
1
2
x
解法一:（Ⅰ）由图象可知,在 ,1 上 f x 0 ,在 1, 2 上
f x 0 ,在 2, 上 f x 0 ,故 f x 在 x 1 处取得极
大值,所以 x0 1 .
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
A．f′(x)>0,g′(x)>0
B．f′(x)>0,g′(x)<0
C．f′(x)<0,g′(x)>0
D．f′(x)<0,g′(x)<0
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 3 （ 06 北 京 16 ） 已 知 函 数 f ( x ) ax 3 bx 2 cx 在 点 x 0 处 取 得极大值 5 ,其导函数 y f ( x ) 的图 象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示.求: （Ⅰ） x 0 的值; （Ⅱ） a , b, c 的值.
C . f x g a g x f a D . f x g b g x f b
什么知识 点?
创新应用:
变式引申1
可导函数f( x )、g( x )定义域为R且 f 恒大于零， x g x f x g x 0 则当a<x<b时有 ( )
解法二: （Ⅰ）同解法一. （ Ⅱ ） 设 f x m x 1 x 2 mx 3mx 2 m , 又
2
f x 3ax 2 2bx c ,所以
a
m 3
,b
3
f 1 5 ,即
2 m 3
m, c 2 m . f x 3 2
(1)列表求f(x)在区间[a,b]内极值
(极大值或极小值) (2) 将 y=f(x) 的 各 极 值 与 f(a) 、
f(b)比较，其中最大的一个为最大
值，最小的一个为最小值
课堂练习: 2 1.设函数 y 3 x 2 ln x 的减区间
为(
0,
3 3
)
２.函数 f x 2 x sin x 在 , 上( A ) A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 3.若函数 y x ax 有三个单
(2)若a 0且a 1, (a )
x '
(3)(e )
x '
e
1 x
x
a ln a
'
x
( 4)若a 0且a 1, (loga x )
(5)(lnx)
'
1 x ln a
(6)(sinx )
'
cos x
(7) cosx sin
x
6:函数的和差积商的导数
2.函数 f x sin 4 x ,则 f 1 ( A.0 2 C. 1
2
1
s
B)
B . -1 D . 2 1
2
3.曲线 y x 3 x 6 x 10 的切线中,斜率最小的切线方程 为( y 3 x 11 )
3 2
.
3－x+2和点 例1．已经曲线C：y=x
2、 求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点.) (3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并 列成表格.检查f′(x)在方程根左右的 值的符号，求出极大值和极小值.
3、求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤:
A(1,2)。求在点A处的切线方程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求 在点A处的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0， 解得x0=1或x0=－
cf x
cf x