【恒心】河北省唐山市2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试数学(理科)试题及参考答案

试卷类型：A唐山市2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试理科数学说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分． 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． （1）已知a ∈R ，若1＋a i2－i为实数，则a ＝（A ）2（B ）－2（C ）－ 12（D ） 12（2）已知命题p ：函数y ＝e |x－1|的图象关于直线x ＝1对称，q ：函数y ＝cos (2x ＋π 6)的图象关于点(π6，0)对称，则下列命题中的真命题为（A ）p ∧q （B ）p ∧⌝q（C ）⌝p ∧q（D ）⌝p ∨⌝q（3）设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则2x ＋y 的最大值和最小值分别为 （A ）1，－1 （B ）2，－2 （C ）1，－2 （D ）2，－1 （4）执行右边的程序框图，若输出的S 是2047，则判断框内应填写 （A ）n ≤9？ （B ）n ≤10？ （C ）n ≥10？ （D ）n ≥11? （5）已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝（A ）22（B ） 2 （C ）－22（D ）－ 2（6）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ( π 2)＝ （A ）－32 （B ）－22（C ）32 （D ）22开始 否 结束输出S 是n ＝0，S ＝0 S ＝S ＋2nn ＝n ＋1 3π45π12yx O（7）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有 （A ）240种 （B ）120种 （C ）60种 （D ）180种（8）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在半径为2的球面上，AB ＝AC ＝3，AA 1＝2，则二面角B -AA 1-C 的余弦值为（A ）－ 1 3 （B ）－ 1 2 （C ） 1 3 （D ） 12（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）1136 （B ） 3（C ）533 （D ）433（10）若正数a ，b ，c 满足c 2＋4bc ＋2ac ＋8ab ＝8，则 a ＋2b ＋c 的最小值为 （A ） 3 （B ）2 3 （C ）2 （D ）2 2（11）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（A ）[ 1 2，1) （B ）[22，32] （C ）[22，1) （D ）[32，1)（12）若不等式lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋(1－a )n xn≥(x －1)lg n 对任意不大于1的实数x 和大于1的正整数n都成立，则a 的取值范围是 （A ）[0，＋∞) （B ）(－∞，0]（C ）[ 1 2，＋∞) （D ）(－∞， 12]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布N (10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为__________．（精确到0.0001）注：P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974．（14）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且(c －a )·(c －b )＝－ 52，则向量c 的坐标为________．（15）已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 23＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝_________．（16）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90 ，则cos B ＝________． 三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3＋a 10＝15，且a 2，a 5，a 11成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明： 12≤b n ＜1．（18）（本小题满分12分）甲向靶子A 射击两次，乙向靶子B 射击一次．甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命侧视图俯视图正视图11 23中靶子的概率为0.5，命中得10分．（Ⅰ）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；（Ⅱ）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且P A⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是P A的中点．（Ⅰ）求证：平面P AC⊥平面EBD；（Ⅱ）若P A＝AB＝2，直线PB与平面EBD所成角的正弦值为14，求四棱锥P-ABCD的体积．EPCBAD（20）（本小题满分12分）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，|AB |＝423．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若P ，Q ，O （O 为原点）三点共线，求点N 的坐标．（21）（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－ln x －ax ，a ∈R ．（Ⅰ）若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )＜0，求a 的取值范围；（Ⅱ）若f (x )＝x 有两个不同的实数解u ，v （0＜u ＜v ），证明：f(u ＋v2)＞1． 请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG ．求证：（Ⅰ）△DEF ∽△EAF ； （Ⅱ）EF ∥CB ．BCE GOADF（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，BP →＝2PA →，点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； （Ⅱ）求点P 到点D (0，－2)距离的最大值． （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |－|x ＋3|，a ∈R ． （Ⅰ）当a ＝－1时，解不等式f (x )≤1；（Ⅱ）若当x ∈[0，3]时，f (x )≤4，求a 的取值范围．唐山市2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CABAA BBDCD CDB 卷：DBBAABADCD DC 二、填空题： （13）0.0228（14）(12，32)（15） 14（16） 34三、解答题： （17）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋10d )． 注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1． 所以a n ＝n ＋1． …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2，因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0，所以数列{b n }单调递增． …8分b n ≥b 1＝ 12． …9分又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝nn ＋1＜1，因此 12≤b n ＜1． …12分（18）解：（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A ，则P (A )＝C 120.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18． …4分 （Ⅱ）X 的可能取值为0，5，10，15，20． P (X ＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P (X ＝5)＝C 120.8×0.2×0.5＝0.16，P (X ＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P (X ＝15)＝C 120.8×0.2×0.5＝0.16，P (X ＝20)＝0.82×0.5＝0.32． X 的分布列为X 0 5 10 15 20 P 0.02 0.16 0.34 0.16 0.32…10分X 的期望为E (X )＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13．…12分（19）解：（Ⅰ）因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD ． 又BD ⊥PC ，所以BD ⊥平面P AC ，因为BD ⊂平面EBD ，所以平面P AC ⊥平面EBD ．…4分yxzO E P C BAD（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD ⊥AC ，所以ABCD 是菱形，BC ＝AB ＝2． …5分 设AC ∩BD ＝O ，建立如图所示的坐标系O -xyz ，设OB ＝b ，OC ＝c ， 则P (0，－c ，2)，B (b ，0，0)，E (0，－c ，1)，C (0，c ，0)．PB →＝(b ，c ，－2)，OB →＝(b ，0，0)，OE →＝(0，－c ，1)．设n ＝(x ，y ，z )是面EBD 的一个法向量，则n ·OB →＝n ·OE →＝0， 即⎩⎨⎧bx ＝0，－cy ＋z ＝0，取n ＝(0，1，c )． …8分 依题意，BC ＝b 2＋c 2＝2． ① 记直线PB 与平面EBD 所成的角为θ，由已知条件 sin θ＝|n ·PB →|__________|n |·|PB →|＝c (1＋c 2)(b 2＋c 2＋22)＝ 14． ② 解得b ＝3，c ＝1．…10分所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝ 1 3×2OB ·OC ·PA ＝ 1 3×23×1×2＝433．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知得M (－ p2，0)，C (2，0)．设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝223．于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝ 13，所以|CM |＝|AC |sin ∠AMC ＝|AC |sin ∠CAR＝3，即2＋ p2＝3，p ＝2．故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．…5分R BAMC yxOPQ NCyxO（Ⅱ）设N (s ，t )．P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点．圆D 方程为(x －s ＋22)2＋(y － t2)2＝(s －2)2＋t 24，即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0． ①又圆C 方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0． ② ②－①得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0． ③ …9分 P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程．因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝ 32．故点N 坐标为( 3 2，6)或( 32，－6)． …12分（21）解：（Ⅰ）当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＜0等价于x －ln xx＜a ．令g (x )＝x －ln xx ，则g '(x )＝x 2－1＋ln x x 2．当x ∈(0，1)时，g '(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＞0． g (x )有最小值g (1)＝1． …4分 故a 的取值范围是(1，＋∞)． …5分（Ⅱ）因f (x )＝x ，即x 2－ln x ＝(a ＋1)x 有两个不同的实数解u ，v ． 故u 2－ln u ＝(a ＋1)u ，v 2－ln v ＝(a ＋1)v ．于是(u ＋v )(u －v )－(ln u －ln v )＝(a ＋1)(u －v )． …7分由u －v ＜0解得a ＝u ＋v －ln u －ln vu －v－1．又f '(x )＝2x － 1x－a ，所以f '(u ＋v 2)＝(u ＋v )－2u ＋v －(u ＋v )＋ln u －ln v u －v ＋1＝ln u －ln v u －v －2u ＋v＋1． …9分设h (u )＝ln u －ln v －2(u －v )u ＋v ，则当u ∈(0，v )时，h '(u )＝(u －v )2u (u ＋v )2＞0，h (u )在(0，v )单调递增，h (u )＜h (v )＝0， 从而ln u －ln v u －v －2u ＋v＞0，因此f '(u ＋v 2)＞1． 12分（22）解：（Ⅰ）由切割线定理得FG 2＝F A ·FD ．又EF ＝FG ，所以EF 2＝F A ·FD ，即EF F A ＝FDEF．因为∠EF A ＝∠DFE ，所以△FED ∽△EAF ． …6分BCE GOADF（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED ＝∠F AE ． 因为∠F AE ＝∠DAB ＝∠DCB ，所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB ． …10分（23）解：（Ⅰ）设P (x ，y )，由题设可知，则x ＝ 2 3|AB |cos(π－α)＝－2cos α，y ＝ 13|AB |sin(π－α)＝sin α，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α（α为参数，90︒＜α＜180︒）． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4＝－3sin 2α＋4sin α＋8＝－3(sin α－ 2 3)2＋283．当sin α＝ 2 3时，|PD |取最大值2213． …10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－1时，不等式为|x ＋1|－|x ＋3|≤1．当x ≤－3时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x ＜－1时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋3)≤1，解得－ 52≤x ＜－1；当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)－(x ＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[－ 52，＋∞)． …5分（Ⅱ）当x ∈[0，3]时，f (x )≤4即|x －a |≤x ＋7， 由此得a ≥－7且a ≤2x ＋7．当x ∈[0，3]时，2x ＋7的最小值为7， 所以a 的取值范围是[－7，7]． …10分。