中考数学第33讲
如何做中考探索(规律)题第33讲
第33讲：如何做中考探索（规律）题随着课程改革的不断深入，规律探索型试题自近几年出现以来，正受到越来越多的省市所青睐.因此，这就需要我们在平时的学习及复习时注重进行观察能力、分析能力、探索研究能力、归纳能力和创新能力的训练与培养.规律探索型题包括探索数字规律型、探索运算规律型、探索等式的规律型、探索几何图形排列规律型等等试题，因为涉及的知识点较多，并且能够综合考查学生的探索、归纳、概括、类比等等能力，因此是中考的热点题型.解决这类问题的一般思路是：首先认真阅读所给出的条件，从中发现其变化规律，大胆猜想，由特殊的情况总结出一般性的结论，最后再进行验证以确保所归纳结论的正确性.题型一探索数字规律探索数字规律的题目在中考中经常出现，做这类试题，要认真分析所给出的数字之间的关系以及每个数字与所处的数位的关系，找出规律性，推测出所要求填写的项或者通项公式。
例1、（2007辽宁沈阳）有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为．解析：仔细分析数字的特征，1=02+1，2=12+1，5=22+1，10=32+1，17=42+1，26=52+1…，容易推测出第8个数为72+1=50。
例2、（2007重庆）将正整数按如图所示的规律排列下去。
若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是。
解析：到第6排最后共有1+2+3+4+5+6=21个数，则第7排第2个数为23。
题型二探索运算规律根据已经提供的数字之间的运算规律，探究出一般性的结论或者推测出某些算式，是解决探究运算规律试题的基本解法。
例3、（2007山东烟台）观察下列各式：===请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来．(n+例4、（2007浙江临安）已知：, ……，若符合前面式子的规律，则a + b = ___ ____．解析：首先可以猜测出a=102-1=99，b=10，所以a+b=109。
2015届安徽中考数学总复习课件：第33讲 锐角三角函数和解直角三角形
要点梳理 5．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的 应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中 包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才 能正确解题． (1)铅垂线：重力线方向的直线；
要点梳理
(2)水平线：与铅垂线垂直的直线 ，一般情况下 ，地平面 上的两点确定的直线我们认为是水平线；
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；
(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；
(5)坡角：坡面与水平面的夹角；
要点梳理
(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡 比)，一般情况下，我们用 h 表示坡的铅直高度，用 l 表 h 示坡的水平宽度，用 i 表示坡度，即 i＝ l ＝tanα，显然， 坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；
3． (2014· 毕节)如图是以△ABC 的边 AB 为直径的半圆 O， 点 C 恰好在半圆上， 过 C 作 CD⊥AB 交 AB 于 D.已知 cos 3 ∠ACD＝5，BC＝4，则 AC 的长为( D ) A．1 20 B. 3 C．3 16 D. 3
4．(2014· 丽水 )如图 ，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比)，
sin(90°－?)＝__cosα__； cos(90°－?)＝__sinα__．
函数的增减性：(0°＜?＜90°)
(1)sinα，tanα的值都随 ?__增大而增大__；
(2)cosα随 ?__增大而减小__．
要点梳理
4．解直角三角形的概念、方法及应用： 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素 ，求出所有未
三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因
此不可避免地用到勾股定理．若原题没有图形，可以
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解33 相似形(解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题33相似形【知识要点】考点知识一相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
考点知识二相似三角形相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。
相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”，读作“相似于”。
相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形的性质：1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形与实际应用：关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。
考点知识三位似位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。
2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。
位似中心的位置：形内、形外、形上。
第33讲 视图与投影
第33讲 视图与投影一、【课标考点解读】1．会画基本几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图）；会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
2．了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
3. 了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分：1．（2012•梅州）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是________ （写出符合题意的两个图形即可）2．（2007•佛山）如图，地面A 处有一支燃烧的蜡烛（长度不计），一个人在A 与墙BC 之间运动，则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而________（填“变大”、“变小”或“不变”）．3．（2011·清远）图1中几何体的主视图是． ．．． （2012•佛山）A ．三棱柱B ．三棱锥C ．四棱柱D ．四棱锥三、【知识要点梳理—知识链接】1. 从 观察物体时，看到的图叫做主视图 ；从 观察物体时，看到的图叫做左视图 ；从 观察物体时，看到的图叫做俯视图.2. 主视图与俯视图的 一致；主视图与左视图的 一致；俯视图与左视图的 一致.3. 叫盲区.4. 投影可分为平行投影与中心投影.其中 所形成的投影叫平行投影； 所形成的投影叫中心投影.5. 利用光线是否平行或是否交于一点来判断是 投影或 投影，以及光源的位置和物体阴影的位置.B ． A ．C ．D ．四、【中考名题---考点链接】考点 简单几何体的三视图例1. （2012•南平）如图所示，水平放置的长方体底面是长为4和宽为2的矩形，它的主视图的面积为12，则长方体的体积等于（ ）A ．16B ．24C ．32D ．48【点评】本题考查了简单几何体的三视图．关键是明确主视图是由长和高组成的．答案选B ．考点 投影例2. （2012•绵阳）把一个正五菱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（ ）【点评】本题考查正投影的定义及正投影形状的确定，解题时要有一定的空间想象能力．答案选B ．五、【中考链接一湛江真题】快乐一练！ 得分___________1．（2012•湛江）如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱组成，小明准备画出它的三视图．那么他所画的三视图中的俯视图应该是（ ）A ．两个外切的圆B ．两个内切的圆C ．两个相交的圆D ．两个外离的圆2、（2011•湛江）下面四个几何体中，主视图是四边形的几何体共有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个3．（2010•湛江）下列几何体的主视图、左视图和俯视图都是．．矩形的是（ ）A B C D4．（2009•湛江）在右图的几何体中，它的左视图是（ ）5.（2007•湛江）图2是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的主视图是 ( )B ． C． D ． A ．第1题 A ． B ． C ． D ． 第4题 A B C D 图2六、【中考演练二----2010-2012年中考题】 得分___________1．（2012•玉林）下列基本几何体中，三视图都相同图形的是（ ）2．（2012•岳阳）如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A 向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（ ）A ．主视图改变，俯视图改变B ．主视图不变，俯视图不变C ．主视图不变，俯视图改变D ．主视图改变，俯视图不变3．（2012•肇庆）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．三棱柱D ．三棱锥4．（2012•益阳）下列命题是假命题的是（ ）A ．中心投影下，物高与影长成正比B ．平移不改变图形的形状和大小C ．三角形的中位线平行于第三边D ．圆的切线垂直于过切点的半径5．（2010•淄博）图中的八边形是一个正八棱柱的俯视图，如果要想恰好看到这个正八棱柱的三个侧面，在图中标注的4个区域中，应该选择站在（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④6．（2010•达州）已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB=5m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC=3m ．（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长．A ． 圆柱B ． 三棱柱C ． 球D ． 长方体七、【中考演练三---备考核心演练】 得分___________1. 如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（ ）2.3. 在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）4. 如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面， 与“迎”相对的面上的汉字是（ ）A.文B.明C.奥D.运5. 右图是某一几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．圆柱体B ．圆锥体C ．正方体D ．球体6.下图的几何体是由三个同样大小的立方体搭成的，其左视图为（ ）7. 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小．（填 “相同”、 “不一定相同”、“不相同”之一）．8.如图，水平放置的长方体 的底面是边长为2和4的矩形，它的左视图的面积为6，则长方体的体积等于 ．9．将一个三角板放在太阳光下，它所形成的投影是________，也可能是_______．10．（2010•茂名）如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB ，CD ．（1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P 表示）；（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF 表示）讲 文 明 迎 奥 运A. Ｂ． Ｃ． Ｄ． A.B.C.D. 4 2 B ．。
全国181套中考数学试题分类汇编33网格问题
全国181套中考数学试题分类汇编33⽹格问题33⽹格问题⼀、选择题1.（浙江⾈⼭、嘉兴3分）如图，点A、B、C、D、O都在⽅格纸的格点上，若△COD是由△AOB 绕点O按逆时针⽅向旋转⽽得，则旋转的⾓度为（A）30°（B）45°（C）90°（D）135°【答案】C。
【考点】旋转的性质，勾股定理的逆定理。
【分析】△COD是由△AOB绕点O按逆时针⽅向旋转⽽得，由图可知，∠AOC为旋转⾓，可利⽤△AOC的三边关系解答：设⼩⽅格的边长为1，从图知，=AC=4。
从⽽OA，OC，AC满⾜OC2+OA2=AC2，∴△A OC是直⾓三⾓形，∴∠AOC=90°。
故选C。
2.（浙江⾦华、丽⽔3分）如图，在平⾯直⾓坐标系中，过格点A，B，C作⼀圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是A、点（0，3）B、点（2，3）C、点（5，1）D、点（6，1）【答案】 C。
【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理。
【分析】如图，根据垂径定理的性质得出圆⼼所在位置O（2，0），再根据切线的性质得出∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1）。
故选C。
3.（⼴西贺州3分）如图，在⽅格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A．把△ABC向右平移6格，B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针⽅向90o旋转，再右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针⽅向90o旋转，再右平移6格【答案】D。
【考点】平移和旋转变换。
【分析】根据平移和旋转变换的特点，直接得出结果。
故选D。
4.（⼴西南宁3分）在边长为1的⼩正⽅形组成的⽹格中，有如图所⽰的A 、B 两点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△A BC 的⾯积为1的概率为A ．3 25 B ．4 25 C ． 1 5 D ． 625【答案】D 。
2013届上海市中考复习方案课件(第8单元统计与概率)
第33讲┃ 考点聚焦
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的 顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处 于________________就是这组数据的中位 中间位置的数 数，如果数据的个数是偶数，则中间 ________________就是这组数据的中位数 两个数据的平均数 确定中位数时，一定要注意先把整组数据 按照大小顺序排列，再确定 一组数据中出现次数________的数据叫做 最多 这组数据的众数 (1)一组数据中众数不一定只有一个；(2)当 一组数据中出现异常值时，其平均数往往 不能正确反映这组数据的集中趋势，就应 考虑用中位数或众数来考查
第32讲 数据的收集与整理 第33讲 数据的分析与决策 第34讲 概率
第32讲┃ 数据的收集与整理
第32讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 统计方法
为一特定目的而对________考察对象做的调查， 所有 叫全面调查，也叫普查 为一特定目的而对________考察对象做的调查， 部分 抽样调查 叫抽样调查 不宜采用普查的条件：①受客观条件限制，无法 拓展 对所有个体进行普查；②调查具有破坏性；③调 查对象的个体数目庞大，个体之间差异不大 全面调查
第33讲┃ 考点聚焦 考点3 用样本估计总体
统计的基 利用样本特征去估计总体的特征是统计的基本思 本思想 想．注意样本的选取要有足够的代表性 利用数据进行决策时，要全面、多角度地去分析已 利用数据 有数据，比较它们的代表性和波动大小，发现它们 进行决策 的变化规律和发展趋势，从而作出正确决策
第33讲┃ 皖考探究
第33讲┃ 归类示例
例 1 [2012· 黄冈] 为了全面了解学生的学习、生活及家庭 的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿中学积极组织全体 教师开展“课外访万家活动”， 王老师对所在班级的全体学生 进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中随机 抽取 15 名学生家庭的年收入情况，数据如下表： 年收入 2 2.5 3 4 5 9 13 (单位：万元) 家庭个数 1 3 5 2 2 1 1 (1)求这 15 名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数； (2)你认为用(1)中的哪个数据来代表这 15 名学生家庭年收 入的一般水平较为合适？请简要说明理由．
【中考备战策略】2014中考数学总复习 第33讲 数据的收集、整理与描述课件 新人教版
解析：∵方差越大波动越大，越不稳定，且 17.5＞ 15，∴(2)班比(1)班成绩稳定．故选 B.
8．(2013· 河池)2013 年河池市初中毕业升学考试的 考生人数约为 3.2 万名，从中抽取 300 名考生的数学成 绩进行分析，在本次调查中，样本指的是( A A．300 名考生的数学成绩 B．300 C．3.2 万名考生的数学成绩 D．300 名考生 )
6． (2013· 潍坊)在某校“我的中国梦”演讲比赛中， 有 9 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相 同．其中的一名学生要想知道自己能否进入前 5 名，不 仅要了解自己的成绩，还要了解这 9 名学生成绩的 ( D ) B．方差 D．中位数 A．众数 C．平均数
解析：9 名选手的得分各不相同，则这组得分的中 就可判断能否进入前 5 名．故选 D.
9． (2013· 自贡 )某班七个合作学习小组人数如下： 4,5,5，x,6,7,8，已知这组数据的平均数是 6，则这组数 据的中位数是( C A．5 C．6 ) B．5.5 D．7
1 解析： 根据题意，可得 × (4＋ 5＋ 5＋ x＋ 6＋ 7＋ 8) 7 ＝6，∴x＝7.将这组数据从小到大排列为 4,5,5,6,7,7,8， 排在最中间的数是 6，即中位数是 6.故选 C.
10． (2013· 聊城)某校七年级共 320 名学生参加数学 测试，随机抽取 50 名学生的成绩进行统计，其中 15 名 学生的成绩达到优秀． 估计该校七年级学生在这次数学 测试中达到优秀的人数大约有________人．( D A．50 C．90 B．64 D．96 )
5．某灯具厂从 1 万件同批次产品中随机抽取了 100 件进行质检， 发现其中有 2 件不合格，估计该厂这 1 万件产品中不合格品约为 200 件．
2015届九年级数学中考复习课件：第七章33讲
要点梳理 各象限内和坐标轴上的点的坐标规律
第一象限：(＋，＋)；
第二象限：(－，＋)；
第三象限：(－，－)；
第四象限：(＋，－)；
x轴正方向：(＋，0)；x轴负方向：(－，0)；
y轴正方向：(0，＋)；y轴负方向：(0，－)；
x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；
原点坐标为(0，0)．
要点梳理
一个思想 本讲中比较广泛地应用数形结合的思想来研究问题．
数形结合，直观形象，为分析问题和解决问题创造了有
利条件，如用点的位置解答相关问题是典型的数形结合
思想的应用．
四种定位方法
(1)方位角定位法；(2)方向角距离定位法；(3)数轴法；
(4)直角坐标系法．
1．(2014·南通)点P(2，－5)关于x轴对称的点的坐
②g(m，n)＝(－m，－n)，如g(2，1)＝(－2，－1)
按照以上变换有：f[g(3，4)]＝f(－3，－4)＝(－3，4)， (3， 2)
那么g[f(－3，2)]＝
．
Байду номын сангаас (2)在平面直角坐标系中，设点 P 到原点 O 的距离为 ?，
OP 与 x 轴正方向的夹角为 ?，则用[?，α]表示点 P 的 极坐标，显然，点 P 的极坐标与它的坐标存在一一对应
(2)(2014· 邵阳)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(3，
4)，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90°至 OA? 的 ，则点 A?
坐标是__(－4，3)__．
【点评】
(1)本题考查了坐标与图形变化——平移，熟记
标为( B )
A．(－2，5)
C．(－2，－5)
B．(2，5)
2015浙江中考试题研究数学精品复习课件第33讲 用坐标表示图形变换
0 (0，－3) (0，－1) ┄┄ (0，2)
2 (2，－3) (2，－1) (2，0) ┄┄
所有等可能的情况有 12 种， 其中点(x， y)落在第二象限内的情况 2 1 有 2 种，则 P＝ ＝ 12 6
【例2】 (2013·青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色外都 相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提 下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中 的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放 回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10 次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有( A )个 A．45 B．48 C．50 D．55
3．(2014·温州)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD， ∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__70__度． 4．(2012·嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A 大20°，则∠A等于( A ) A．40° B．60° C．80° D．90° 5．(2013·湖州)把15°30′化成度的形式，则15°30′＝__15.5__ 度．
点，E为DB的中点，EB＝6 cm，求CD的长．
解：∵E为BD的中点，∴BD＝2BE＝2×6＝12，又 ∵C为AB的中点，∴BC＝AB＝×40＝20，∴CD＝ BC－BD＝20－12＝8(cm)
－3 －3 －1 0 2 ┄┄ (－3，－1) (－3，0) (－3，2)
－1 (－1，－3) ┄┄ (－1，0) (－1，2)
一个联系
图形经过两次轴对称(两对称轴相互平行)得到的图形，
可以看作是由原图形经过平移得到的，也就是说两次翻 折相当于一次平移．
(2)如果图形是由直线、线段或射线组成的，那么在画 出它关于一条直线的对称图形时，只要画出图形中的特 殊点 ( 如线段的端点、角的顶点等 ) 的对称点 ， 然后连接 对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．
中考数学PPT第八单元
第36讲┃ 归类示例
解：(1)这15名学生家庭年收入的平均数是： (2＋2.5×3＋3×5＋4×2＋5×2＋9＋13)÷15＝4.3(万 元)． 将这15个数据从小到大排列，最中间的数是3， 所以中位数是3万元． 在这一组数据中3出现次数最多， 故众数是3万元． (2)众数代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合 适， 因为3出现的次数最多，所以能代表家庭年收入的一般 水平．
第36讲┃ 考点聚焦
定义 中位数
将一组数据按照由小到大(或由大到小) 的顺序排列，如果数据的个数是奇数， 中间位置的数 则处于________________就是这组数 据的中位数，如果数据的个数是偶数， 两个数据的平均数 则中间____________________就是这 组数据的中位数
确定中位数时，一定要注意先把整组数 据按照大小顺序排列，再确定
第35讲┃ 考点聚焦 考点2 总体、个体、样本及样本容量 全体 所要考查对象的________称为总体 每一个 组成总体的________考察对象称为 个体 个体 总体中被抽取的________组成一个 样本 样本中包含个体的数目称为样本容 量，样本容量没有单位
总体 个体
样本
样本容量
第35讲┃ 考点聚焦 考点3 频数与频率
第36讲┃“三数”与“三差”
第36讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 数据的代表 一组数据的平均值称为这组数据的平均数 一般地，如果有n个数x1，x2，„，xn，那么 1 x＝ (x1＋x2＋„＋xn) ________________叫做这n个数的平均数 n 定义 算术平 平 均数 均 数
一般地，如果在n个数x1，x2，„，xn中，x1出现 f 次，x2出现f2次，„，xk出现fk次，(其中f1＋f2 1 加权平 1 (x f ＋x f ＋„＋xk fk) ＋„＋fk＝n)，那么，x＝____________________ n 11 22 均数 叫做x1，x2，„，xk这k个数的加权平均数，其中 f1，f2，„，fk叫做x1，x2，„，xk的权
【中考数学夺分大模块复习权威课件】-第9模块《二轮专题突破》名师大串讲
第31讲┃ 热点客观题
┃考向互动探究┃ 探究一 函数图象题
例 1 [2013· 重庆 ] 2013 年“中国好声音”全国巡演重庆 站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻 轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演 出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家．其中 x 表示童 童从家出发后所用时间， y 表示童童离家的距离．如图 31－ 1 中能反映 y 与 x 的函数关系的大致图象是 ( )
第31讲┃ 热点客观题
探究四
规律探究题
例 4 电子跳蚤游戏盘是如图 31－ 6 所示的△ABC， AB ＝ 6， AC＝ 7， BC＝8.如果跳蚤开始时在 BC 边的 P0 处， BP0＝ 2.跳蚤第一步从 P0 跳到 AC 边的 P1(第 1 次落点)处， 且 CP1＝CP0； 第二步从 P1 跳到 AB 边的 P2(第 2 次 落点)处，且 AP2＝ AP1；第三步从 P2 跳到 BC 边的 P3(第 3 次落点)处，且 BP3＝ BP2；„；跳蚤按上述规则一 直跳下去，第 n 次落点为 Pn(n 为正 整数)，则点 P2010 与 P2013 之间的距离 为 ( ) A．1 B．2 C． 3 D． 4
第31讲┃ 热点客观题
变式题 [2012· 西宁 ] 如图 31－ 4，在菱形 ABCD 中，对角 线 AC， BD 相交于点 O， AC＝ 12， BD＝ 16， E 为 AD 的中点， 点 P 在 x 轴上移动．小明同学写出了两个使△ POE 为等腰三角形 的 P 点坐标为 (－ 5， 0)和 (5， 0)．请你写出其余所有符合这个条件 25 (8，0)，( ，0) 的 P 点的坐标 _______________________ ． 8
第31讲┃ 热点客观题
九年级数学第三十三课 圆与圆的位置关系
第33课圆与圆的位置关系知识点：圆和圆的位置关系、两圆的连心线的性质、两圆的公切线大纲要求：1．了解两圆公切线的求法，掌握圆和圆的位置关系;2．了解两圆位置关系与公共点个数、外公切线条数、内公切线条数以及d、R、r之间的关系;3．掌握相交两圆的性质和相切两圆的性质;4．注意 (1)圆与圆的五种位置关系相交和相切是重点；(2)在解题中把两个圆中有关问题利用圆的性质和直线圆的位置关系的定理和性质转化为一般圆的问题；(3)涉及相交两圆的问题常可作出公共弦，利用圆周角定理及其推论或连心线垂直乎分公共弦。
公共弦可沟通两个圆的角之间关系，有了连心线，公共弦不仅可取应用相交两圆的性质定理且还能沟通两圆半径、公切线等之间的关系；(4)涉及相切两圆问题主要可从以下几个方面考虑；①过切点作两圆的公切线，利用弦切角定理或切线长定理；②作出连心线，利用连心线过切点的性质；③利用两圆的圆心距等于两圆半径之和或之差；④当两圆外切时，利用连心线、外公切线及过公切线切点的两条毕径组成的直角梯形，将有关圆的间题转化为直线形间题，把梯形问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形来解决有关两圆公切线等问题。
考查重点与常甩题型：1．判断基本概念、基本定理等的正误。
在中考题申常以选择题或填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是 ( )(A)外离 (B)外切 (C)相交 (D) 内切2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现，多见于选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。
预习练习：1．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（）(A)内含 (B)内切 (C)相交 (D) 外切2．已知半径为R和r的两个圆相外切。
则它的外公切线长为（）(A)R＋r (B)R2+r2 (C) R+r (D) 2Rr3.已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为（）(A)1cm (B)7cm (C) 10cm (D) 1cm或7cm4.两圆半径为5和r，圆心距为8，当两圆相交时，r取值范围是5．两圆直径分别为6、8，圆心距为10，则这两圆的最多公切线条数是考点训练：1．已知半径为R和r的两个圆外切，R＝2＋ 3 ，r＝2－ 3 ，两圆的一条公切线与连心线的夹角为α，则角α的度数为（）(A)30 ° (B)45 ° (C) 60 ° (D) 无法确定2．如图，两个同心圆，点A在大圆上，ABC为小圆的割线，若AB·AC＝8，则圆环的面积为（）(A)8π(B)12π(C) 4π(D) 16π。
模型33 两垂一圆构造直角三角形(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍【模型】平面内有两点A，B，再找一点C，使得ΔABC为直角三角形．【结论】分类讨论：若∠A＝90°，则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外)；若∠B＝90°，则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外)；若∠C＝90°，则点C在以AB为直径的圆上(除点A，B外)．以上简称“两垂一圆”．“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.例题精讲【例1】．在平面直角坐标系中，有两点A（3，0），B（9，0）及一条直线，若点C在已知直线上，且使△ABC为直角三角形，则点C的坐标是（3，），（9，6），（，）．解；当点C在C1处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（3，），当点C在C2处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（9，6）当点C在C3处时，△ABC为直角三角形，过C3作C3M⊥AB，设C3的横坐标是x，则C3M＝，AM＝x﹣3，BM＝9﹣x，∵△AC3B是直角三角形，∴△AMC3∽△C3MB，∴AM：C3M＝C3M：BM，∴C3M2＝AM•BM，∴（）2＝（x﹣3）（9﹣x），解得：x＝，点C的纵坐标是：﹣＝，∴点C的坐标是：（，）；故答案为：（3，），（9，6），（，）．变式训练【变式1-1】.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣8，﹣8），点B在坐标轴上，且△OAB 是等腰直角三角形，则点B的坐标不可能是（）A．（0，﹣8）B．（﹣8，0）C．（﹣16，0）D．（0，8）解：如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝8，∴B（﹣8，0）；如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝16，∴B（﹣16，0）；如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝8，∴B（0，﹣8）．故B点的坐标不可能是（0，8），故选：D．【变式1-2】．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），直线l经过（﹣1，0）并且与x轴垂直于点D，请你在直线l上找一点C，使△ABC为直角三角形，并求出点C的坐标．解：设点C的坐标为（﹣1，b），AB2＝22+42＝20，AC2＝32+b2，BC2＝（4﹣b）2+12，当∠ABC＝90°时，（4﹣b）2+12+20＝32+b2，解得，b＝；当∠BAC＝90°时，（4﹣b）2+12＝20+32+b2，解得，b＝﹣；当∠ACB＝90°时，（4﹣b）2+12+32+b2＝20，解得b1＝1，b2＝3，∴△ABC为直角三角形时，点C的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，1），（﹣1，3）．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB为一边在△AOB 外部作等腰直角△ABC．则点C的坐标为（7，4）或（3，7）或（）．解：如图，当AB＝AC，∠BAC＝90°时，作CE⊥x轴于E．∵∠BAC＝∠AOB＝∠AEC＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠OAB+∠CAE＝90°，∴∠ABO＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CEA（AAS），∴AE＝OB＝3，CE＝OA＝4，∴C（7，4），同法可得，当AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，7），当AB是等腰直角三角形的斜边时，C″是BC的中点，C″（，），综上所述，满足条件的点C的坐标为（7，4）或（3，7）或（，）．故答案为：（7，4）或（3，7）或（，）．变式训练【变式2-1】．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：点C的位置如图所示，共有3个．故选：C．【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（0，2），B（8，8），点C（m，0）为x轴正半轴上一个动点．（1）当m＝4时，写出线段AC＝2，BC＝4．（2）求△ABC的面积．（用含m的代数式表示）（3）当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．解：（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，∵点A（0，2），点B（8，8），点C（4，0）∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝4，∴CE＝4，∴AC＝＝＝2，BC＝＝4，故答案为：2，4；（2）当点C在OE上时，∵点A（0，2），点B（8，8），点C（m，0）∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝m，＝×（AO+BE）×OE﹣×AO×OC﹣×BE×CE，∴S△ABC＝×（2+8）×8﹣×2×m﹣×8×（8﹣m）＝8+3m；∴S△ABC当点C在线段OE的延长线上时，＝×（AO+BE）×OE+×BE×CE﹣×AO×OC∵S△ABC＝×（2+8）×8+×8×（m﹣8）﹣×2×m＝3m+8，∴S△ABC＝3m+8；综上所述：S△ABC（3）当∠BAC＝90°时，BC2＝AB2+AC2，则64+（8﹣m）2＝64+（8﹣2）2+4+m2，解得m＝，＝3×+8＝；∴S△ABC当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2+BC2，则64+（8﹣2）2＝4+m2+64+（8﹣m）2，解得m＝4，＝3×4+8＝20；∴S△ABC当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2+BC2，则4+m2＝64+（8﹣2）2+64+（8﹣m）2，解得m＝14，＝3×14+8＝50；∴S△ABC综上所述：存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50．1．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P在反比例函数y ＝的图象上．若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个B．4个C．5个D．6个解：设点P的坐标为（x，y），当∠APB＝90°时，以AB为直径作圆，如图所示，∵圆与双曲线无交点，∴点P不存在；当∠PAB＝90°时，x＝﹣3，y＝＝﹣3，∴点P的坐标（﹣3，﹣3）；当∠PBA＝90°时，x＝3，y＝＝3，∴点P的坐标为（3，3）．综上所述：满足条件的点P有2个．故选：A．2．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（）个．A．6B．7C．8D．9解：分三种情况考虑：①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y 轴相切，则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．综上，所有满足题意的C有7个．故选：B．3．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．解：如图，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP＝90°，BD ＝1，∵点A（﹣1，0）和点B（1，2），∴直线AB的表达式为y＝x+1，令x＝0，则y＝1，∴C（0，1），即OC＝1＝OA，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°＝∠BCP，∴△BCP是等腰直角三角形，∴CP＝2BD＝2，∴OP＝1+2＝3，∴P（0，3）；如图，当∠APB＝90°时，△ABP是直角三角形，∵点A（﹣1，0），点B（1，2），点C（0，1），∴C为AB的中点，AB＝2，∴CP＝AB＝，∴OP＝1+，∴P（0，1+），综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．故答案为：（0，3）或（0，1+）．4．如图，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；（2）在y轴上画点C，使△ABC为直角三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．解：（1）如图所示：（2）满足条件的点有2个，C（0，﹣2）或（0，0）．5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；（2）点B关于y轴的对称点为点D．①请直接写出点D的坐标为（﹣2，﹣2）；②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为或7或3+或3﹣．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）．∴OC＝3，∵点A坐标为（6，0），∴OA＝6，∴AC＝＝＝3；（2）①∵点B与点D关于y轴的对称，∴D（﹣2，﹣2）；故答案为：（﹣2，﹣2）；②当∠ACE＝90°时，如图，∵EC⊥AC，∴直线EC的解析式为y＝﹣2x﹣3，令y＝﹣2，则﹣2x﹣3＝﹣2，∴x＝﹣，∴E（，﹣2）；当∠CAE＝90°时，如图，∵EC⊥AC，∴设直线EC的解析式为y＝﹣2x+m，∴0＝﹣2×6+m＝0，∴m＝12，∴直线EC的解析式为y＝﹣2x+12，令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+12，∴x＝7，E（7，﹣2）；当∠AEC＝90°时，如图，过点E作EF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥FE，交FE的延长线于点G，∵∠AEC＝90°，∴∠FEA+∠CEG＝90°，∵CG⊥FE，∴∠GCE+∠CEG＝90°，∠GCE＝∠FEA，∵∠CGE＝∠AFE＝90°，∴△CGE∽△EFA，∴．由题意得：CG＝OF＝6+AF，EF＝OH＝2，EG＝CH＝1，∴．∴AF＝﹣3．∴OF＝3+，∴E（3+，﹣2），同理可求当点E在y轴左侧时，E（3﹣，﹣2）．综上，在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，点E的横坐标为或7或3+或3﹣．故答案为：或7或3+或3﹣．6．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形，并且面积为4；（画一个即可）（2）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为钝角三角形，并且面积为4．（画一个即可）解：（1）如图1：（2）如图2：7．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．（1）求点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵点A的坐标为（3，1），∴OC＝3，AC＝1，又∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∴∠OAC+∠AOC＝90°，又∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴OC＝BD＝3，AC＝OD＝1，∴点B的坐标为（﹣1，3）；（2）如图2，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，由对称性可知BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，∴当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，连接BB'交x轴于点E，则E（﹣1，0），∵点B与B'关于x轴对称，∴点B'的坐标为（﹣1，﹣3），设直线AB'的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣2，∴P（2，0）；（3）存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下：①当∠AOM＝90°时，AO＝OM，如图3，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，∵∠FOA+∠FAO＝90°，∠FOA+∠EOM＝90°，∴∠FAO＝∠EOM，∵AO＝OM，∴△FAO≌△EOM（AAS），∴OF＝EM，OE＝FA，∵A（3，1），∴AF＝3，OF＝1，∴M（1，﹣3）；②如图4，当∠OAM＝90°时，OA＝AM，过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，∵∠FAO+∠FOA＝90°，∠FAO+∠GAM＝90°，∴∠AFO＝∠GAM，∴△FAO≌△GMA（AAS），∴AF＝GM，OF＝AF，∵A（3，1），∴AF＝3，OF＝1，∴M（4，﹣2）；③如图5，当∠OMA＝90°时，OM＝AM，过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，∵∠OMQ+∠QOM＝90°，∠OMQ+∠AM＝90°，∴∠QOM＝∠AMP，∴△OQM≌△MPA（AAS），∴OQ＝MP，QM＝AP，∵A（3，1），∴QM+MP＝3，1+QO＝QM，∴1+QO+OQ＝3，∴QO＝1，∴M（2，﹣1）；综上所述：M点坐标为（1，﹣3）或（4，﹣2）或（2，﹣1）．8．已知：直线y＝+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO 沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）直接写出A、B两点的坐标：A：（﹣8，0），B：（0，6）；（2）求出OC的长；（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，直线y＝+6，当y＝0时，由0＝+6得，x＝﹣8；当x＝0时，y＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），故答案为：（﹣8，0），（0，6）．（2）如图1，由折叠得，DB＝OB＝6，DC＝OC，∠BDC＝∠BOC＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，AC＝8﹣OC，∵AB＝＝＝10，∴AD＝10﹣6＝4，∵CD2+AD2＝AC2，∴OC2+42＝（8﹣OC）2，解得，OC＝3．（3）如图2，作AG⊥EF于点G，GT⊥x轴于点T，∵OC＝3，∴BC＝＝＝，AC＝8﹣3＝5，得，×AG＝×5×6，解得，AG＝，由BC•AG＝AC•OB＝S△ABC∵AE＝AF，∠EAF＝90°，∴EG＝FG，∴AG＝EF＝EG＝FG＝，∵∠AGC＝90°，∴CG＝＝＝，∴CE＝+＝，∴CE＝BC，∴点E与点B关于点C对称，∵C（﹣3，0），B（0，6），∴E（﹣6，﹣6）；得，×5GT＝××，解得，GT＝2，由AC•GT＝AG•CG＝S△AGC∵∠ATG＝90°，∴AT＝＝＝4，∴OT＝8﹣4＝4，∴G（﹣4，﹣2），∵CF＝FG﹣CG＝﹣＝，∴CF＝CG，∴点F与点G（﹣4，﹣2）关于点C（﹣3，0）对称，∴F（﹣2，2），综上所述，点F的坐标为（﹣6，﹣6）或（﹣2，2）．（4）存在．如图3，四边形PQMC是平行四边形，则CP∥QM，PQ∥CM，设直线PC的解析式为y＝x+a，则×（﹣3）+a＝0，解得，a＝，∴y＝x+，∴P（0，）；∵M是AB的中点，∴M（﹣4，3），设直线CM的解析式为y＝kx+b，则，解得，，∴y＝﹣3x﹣9，∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x+，由得，，∴Q（﹣1，）；如图3，四边形P′Q′CM是平行四边形，则P′Q′∥CM∥PQ，P′Q′＝CM＝PQ，∴∠BP′Q′＝∠BPQ，∠BQ′P′＝∠BQP，∴△BP′Q′≌△BPQ（ASA），∴BQ′＝BQ，∴点Q′与点Q关于点B（0，6）对称，∴Q′（1，）；如图3，L为CM的中点，PL的延长线交AB于点Q1，连接CQ1，∵∠LQ1M＝∠LPC，∠LMQ1＝∠MCP，ML＝CL，∴△LMQ1≌△LCP（AAS），∴Q1M＝CP，∵Q1M∥CP，∴四边形PMQ1C是平行四边形，∴点Q1与点P关于点L对称，∵L（，），P（0，），∴Q1（﹣7，），综上所述，点Q的坐标为（﹣1，）或（1，）或（﹣7，）．9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）如图1，∵点A，B关于直线l对称，∴连接BC交直线l于点P，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴直线l：x＝1，C（0，﹣3），∵B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，∴P（1，﹣2），（3）设点M（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，∵△MAC为直角三角形，∴当∠ACM＝90°时，∴AC2+CM2＝AM2，∴10+m2+6m+10＝m2+4，∴m＝﹣，∴M（1，﹣）当∠CAM＝90°时，∴AC2+AM2＝CM2，∴10+m2+4＝m2+6m+10，∴m＝，∴M（1，）当∠AMC＝90°时，AM2+CM2＝AC2，∴m2+4+m2+6m+10＝10，∴m＝﹣1或m＝﹣2，∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），即：满足条件的点M的坐标为（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax﹣12a，即：﹣12a＝6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，令y＝0，解得：x＝4或﹣2，故点A（﹣2，0），函数的对称轴为：x＝2，故点D（2，8）；（2）由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+4，设点N（n，2n+4），∵MN＝OA＝2，则点M（n+2，2n+4），①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4＝﹣（n+2）2+2（n+2）+6，解得：n＝﹣2±2，故点M的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）；②点M（n+2，2n+4），点B、D的坐标分别为（6，0）、（2，8），则BD2＝（6﹣2）2+82，MB2＝（n﹣4）2+（2n+4）2，MD2＝n2+（2n﹣4）2，当∠BMD为直角时，由勾股定理得：（6﹣2）2+82＝（n﹣4）2+（2n+4）2+n2+（2n﹣4）2，解得：n＝；当∠MBD为直角时，同理可得：n＝﹣4，当∠MDB为直角时，同理可得：n＝，故点M的坐标为：（﹣2，﹣4）或（，）或（，）或（，）．11．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP 交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积；（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①求证：∠PNM＝∠ONM；②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（1）解：设二次函数的表达式为y＝a（x+4）2+4，把点（0，0）代入表达式，解得．∴二次函数的表达式为，即；（2）解：设直线OP为y＝kx（k≠0），将P（﹣6，3）代入y＝kx，解得，∴．当x＝﹣4时，y＝2．∴M（﹣4，2）．∵点M、N关于点A对称，∴N（﹣4，6）．∴MN＝4．＝S△OMN+S△PMN＝12；∴S△PON（3）①证明：设点P的坐标为，其中t＜﹣4，设直线OP为y＝k′x（k′≠0），将P代入y＝k′x，解得．∴．当x＝﹣4时，y＝t+8．∴M（﹣4，t+8）．∴AN＝AM＝4﹣（t+8）＝﹣t﹣4．设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，则B（﹣4，0），C．∴OB＝4，NB＝4+（﹣t﹣4）＝﹣t，PC＝﹣4﹣t，NC＝＝．则，．∴．又∵∠NCP＝∠NBO＝90°，∴△NCP∽△NBO．∴∠PNM＝∠ONM．②△OPN能为直角三角形，理由如下：解：分三种情况考虑：（i）若∠ONP为直角，由①得：∠PNM＝∠ONM＝45°，∴△PCN为等腰直角三角形，∴CP＝NC，即m﹣4＝m2﹣m，整理得：m2﹣8m+16＝0，即（m﹣4）2＝0，解得：m＝4，此时点A与点P重合，故不存在P点使△OPN为直角三角形；（ii）若∠PON为直角，根据勾股定理得：OP2+ON2＝PN2，∵OP2＝m2+（﹣m2﹣2m）2，ON2＝42+m2，AN2＝（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，∴m2+（﹣m2﹣2m）2+42+m2＝（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，整理得：m（m2﹣8m﹣16）＝0，解得：m＝0或m＝﹣4﹣4或﹣4+4（舍去），当m＝0时，P点与原点重合，故∠PON不能为直角，当m＝﹣4﹣4，即P（﹣4﹣4，4）时，N为第四象限点，成立，故∠PON能为直角；（iii）若∠NPO为直角，可得∠NPM＝∠OBM＝90°，且∠PMN＝∠BMO，∴△PMN∽△BMO，又∵∠MPN＝∠OBN＝90°，且∠PNM＝∠OND，∴△PMN∽△BON，∴△PMN∽△BMO∽△BON，∴＝，即＝，整理得：（m﹣4）2＝0，解得：m＝4，此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN能为直角三角形，当m＝4+4，即P（）时，N为第四象限的点成立．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为经过点（1，0）的直线，其图象与x轴交于点A、B，且过点C（0，﹣3），其顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折得到△AQD，求点Q的坐标．解：（1）由题意得二次函数图象的对称轴x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2．又二次过点C（0，﹣3），∴﹣3＝c，c＝﹣3．即二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得顶点坐标D为：（1，﹣4）；（2）（2）解法一：设P（0，m）由题意，得PA＝，PD＝，AD＝2，∵∠APD＝90°，∴PA2+PD2＝AD2，即（）2+（）2＝（2）2解得m1＝﹣1，m2＝﹣3（不合题意，舍去）．∴P（0，﹣1）；解法二：如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，则由题意，得DE＝1，OE＝4…（1分）由∠APD＝90°，得∠APO+∠DPE＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠EPD又∠AOP＝∠OED＝90°，∴△OAP∽△EPD∴＝，设OP＝m，PE＝4﹣m则＝，解得m1＝1，m2＝3（不合题意，舍去），∴P（0，﹣1）；（3）解法一：如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA＝AQ＝PD＝QD＝，∠PAQ＝90°，∴四边形APDQ为正方形．由∠QAP＝90°，得∠HAQ+∠OAP＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OPA＝∠HAQ，又∠AOP＝∠AHQ＝90°，PA＝QA∴△AOP≌△AHQ，∴AH＝OP＝1，QH＝OA＝3．∴Q（4，﹣3）；解法二：设Q（m，n），则AQ＝＝，QD＝＝，解得，（不合题意，舍去），∴Q（4，﹣3）．13．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，得：，解得，∴解析式y＝x2﹣x+1．（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB ﹣PC|＜BC，当点P在点A处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．∵直线y＝x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），∴P（﹣2，0）．（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，∴∠OBP＝∠FPC，∴Rt△BOP∽Rt△PFC，∴，即，整理得a2﹣4a+3＝0，解得a＝1或a＝3；∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述：满足条件的点P共有2个．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上，是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（2，0）、B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x+8；（2）存在，理由如下：如图1，过点P作PF⊥x轴交BC于点F，设BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝2x+8，设P（t，﹣t2﹣2t+8），则F（t，2t+8），∴PF＝﹣t2﹣4t，＝×4×（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，∴S△PBC的面积有最大值8，∴当t＝﹣2时，S△PBC此时P（﹣2，8）；（3）存在，理由如下：令x＝0，则y＝8，∴C（0，8），∴OC＝8，∵A（2，0），∴AO＝2，设Q（﹣1，m），①如图2，当∠CAQ＝90°时，过点Q作QG⊥x轴交于点G，∵∠CAO+∠GAQ＝90°，∠CAO+∠OCA＝90°，∴∠GAQ＝∠ACO，∵tan∠OCA＝，∴＝＝，∴m＝﹣，∴Q（﹣1，﹣）；②如图3，当∠ACQ＝90°时，过点Q作QH⊥y轴交于点H，∵∠QCH+∠OCA＝90°，∠QCH+∠CQH＝90°，∴∠OCA＝∠CQH，∵tan∠OCA＝，∴＝＝，∴m＝，∴Q（﹣1，）；③如图4，当∠CQA＝90°时，∵A（2，0），C（0，8），∴AC＝2，AC的中点N（1，4），∴QN＝，∴＝，∴m＝4+或m＝4﹣，∴Q（﹣1，4+）或Q（﹣1，4﹣）；综上所述：Q点坐标为（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），点B的坐标（﹣2，0），点O 为原点．（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；（3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；（4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）设y＝ax2+bx+c，根据题意得，解得，所以y＝x2+x．（2）C（1，0）或C（2，0）（3）由题意得O′（﹣3，），将O′（﹣3，）代入y＝x2+x，左边＝右边∴点O′在函数图象上．（4）点P坐标为（﹣，﹣）．∵A的坐标为（1，），点B的坐标（﹣2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+假设存在这样的点P，它的横坐标为h，则点P坐标为（h，h2+h），点E坐标为（h，h+），分两种情况：①△OBE的面积：四边形BPOE面积＝2：3，则[×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（﹣h2﹣h）]＝2：3，解得h＝﹣，此时点P坐标为（﹣，﹣）；②△AOE的面积：四边形BPOE面积＝2：3，则[﹣×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（﹣h2﹣h）]＝2：3，解得：h＝﹣，或h＝﹣2（不合题意，舍去），此时点P坐标为（﹣，﹣）．综上所述：点P坐标为（﹣，﹣）．。
2024年浙教版初中数学七年级上册33立方根课件
2024年浙教版初中数学七年级上册 33 立方根课件一、教学内容本节课我们将学习浙教版初中数学七年级上册第33课《立方根》。
具体内容包括：立方根的定义，立方根的性质，以及如何求一个数的立方根。
本节课的教材内容主要涉及第三章第三节。
二、教学目标1. 理解并掌握立方根的定义，能准确区分立方根与其他数学概念。
2. 学会求一个数的立方根，并能解决实际问题。
3. 了解立方根的性质，能运用性质进行数学推导。
三、教学难点与重点重点：立方根的定义，求立方根的方法。
难点：立方根性质的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：立方体模型，立方根演示卡片。
2. 学具：学生每人一张立方根练习题，计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示立方体模型，引导学生发现立方体的特点，引出立方根的概念。
2. 立方根定义：讲解立方根的定义，通过示例进行说明。
3. 例题讲解：讲解如何求一个数的立方根，以及立方根的性质。
4. 随堂练习：学生完成练习题，巩固所学知识。
5. 知识拓展：介绍立方根在实际生活中的应用，如体积计算等。
六、板书设计1. 立方根定义：一个数a的立方根是一个数b，使得b^3=a。
2. 求立方根的方法：（1）直接开立方。
（2）估算。
3. 立方根的性质：（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0的立方根是0。
七、作业设计1. 作业题目：（2）已知一个数的立方根是4，求这个数。
2. 答案：（1）2，3，4。
（2）64。
（3）错误，一个数的立方根有两个，分别是正数和负数。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对立方根的概念和性质掌握情况，对求立方根的方法熟练程度。
2. 拓展延伸：研究立方根在其他数学领域中的应用，如解立方方程等。
重点和难点解析1. 立方根的定义及其与其他数学概念的区别。
2. 求立方根的方法，特别是估算和直接开立方的技巧。
3. 立方根性质的掌握及其在解题中的应用。
4. 例题和作业设计中涉及立方根的实际问题解决。
33整除的特征原理
33整除的特征原理
你想啊，数字就像是一群调皮的小精灵，它们有着自己的规律和特点。
而 33 这个数字，在整除的世界里也有着它独特的“小脾气”。
要搞清楚 33 整除的特征，咱们得先从 3 整除的特征说起。
你知道 3 整除一个数的特征不？很简单，就是把这个数的各个数位上的数字加起来，如果和能被 3 整除，那这个数就能被 3 整除。
比如说 12，1+2=3，3 能被 3 整除，所以 12 就能被3 整除。
那 33 呢？其实啊，33 可以看成是 3×11。
所以一个数能被 33 整除，那它既要能被 3 整除，又要能被 11 整除。
能被 3 整除咱们刚刚说过啦，那能被 11 整除又有啥特点呢？这也有个小窍门。
把一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和作差，如果差能被 11 整除，或者差是 0，那这个数就能被 11 整除。
比如说 132，奇数位数字之和是 1+2=3，偶数位数字之和是 3，它们的差是 0，所以 132 能被 11 整除。
那综合起来，一个数能被 33 整除，就得同时满足能被 3 整除和能被 11 整除这两个条件。
你可能会想，这有啥用啊？用处可大啦！比如说你在做数学题的时候，要判断一个数能不能被 33 整除，用这个特征原理，一下子就能看出来，多省事儿！
再比如说，在一些密码学或者编码的领域，了解这些整除的特征原理，可以帮助设计更安全、更有效的编码方式。
中考数学(第33讲)《锐角三角函数和解直角三角形》集训
锐角三角函数和解直角三角形一、选择题1．(2014·天津)cos 60°的值等于( A ) A.12 B.22 C.32 D.332．(2013·宿迁)如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是( B ) A.23 B.32 C.21313 D.31313,第2题图) ,第3题图)3．(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( B )A ．43米B ．65米C ．125米D ．24米4．(2013·鄂州)如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD∶CD＝3∶2，则tan B ＝( D )A.32B.23C.62D.63,第4题图) ,第5题图)5．(2014·苏州)如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4 km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为( C )A ．4 kmB ．2 3 kmC ．2 2 kmD ．(3＋1) km6．(2014·孝感)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，则▱ABCD 的面积是( A )A.12ab sin α B ．ab sin α C ．ab cos α D.12ab cos α,第6题图),第8题图)二、填空题7．(2013·德州)2cos 30°的值是__62__． 8．(2014·怀化)如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面高度为h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝__30__°.9．(2013·鞍山)△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，cos A ＝34，则BC 的长为__27__．10．(2014·株洲)孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为__182__米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈)11．(2014·龙东)△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为__23＋5或23－5__．12．(2014·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(2≈1.4)三、解答题13．计算：|－2|＋2sin 30°－(－3)2＋(tan 45°)－1.原式＝2＋2×12－3＋1－1＝114．(2014·南京)如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m (即BD ＝1 m )到达CD 位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin 51°18′≈0.780，cos 51°18′≈0.625，tan 51°18′≈)设梯子的长为x m ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB·cos ∠ABO ＝x·cos60°＝12x.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝ODCD ，∴OD ＝CD ·cos ∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x.∵BD ＝OD －OB ，∴－12x ＝1，解得x ＝8，故梯子的长是8米15．(2014·钦州)如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B 处安置高为的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2，3≈1.73)过点A 作AH⊥CD ，垂足为H ，由题意可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH ＝30°，∴AB ＝DH ＝，BD ＝AH ＝6，在Rt △ACH 中，tan ∠CAH ＝CH AH ，∴CH ＝AH·tan ∠CAH ＝6tan30°＝6×33＝23，∵DH ＝，∴CD ＝23＋，在Rt △CDE 中，∵∠CED ＝60°，sin ∠CED ＝CD CE ，∴CE ＝CDsin60°＝4＋3≈，则拉线CE 的长约为米16．(2014·株洲)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，点F 恰好是AB 的一个三等分点(AF ＞BF)．(1)求证：△ACE≌△AFE； (2)求tan ∠CAE 的值．(1)∵AE 是∠BAC 的平分线，EC ⊥AC ，EF ⊥AF ，∴CE ＝EF ，在Rt △ACE 与Rt △AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝FE ，AE ＝AE ，∴Rt △ACE ≌Rt △AFE (HL ) (2)由(1)可知△ACE≌△AFE ，∴AC ＝AF ，CE ＝EF ，设BF ＝m ，则AC ＝AF ＝2m ，AB ＝3m ，∴BC ＝AB 2－AC 2＝9m 2－4m 2＝5m ，∴在Rt △ABC 中，tanB ＝AC BC ＝2m 5m ＝25，在Rt △EFB 中，EF ＝BF·tanB ＝2m 5，在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CE AC ＝2m 52m ＝55。
冀教版九年级数学下册_30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物
线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移
后抛物线的解析式． 导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的
值，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据左加
感悟新知
例 1 已知三点A(0，0)，B(1，0)，C(2，3)，求由这 三点所确定的二次函数的表达式.
知1－练
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
将A，B，C三点的坐标分别代入二次函数 1.设一般式
表达式中，得
2.点代入
c 1, a b c 0, 4a 2b c 3,
(a＞0)上，则k＝0.
∴y＝a(x－1)2(a＞0)．
易知B(0，－1)，D(2，－1)都不在抛物线上．
由(1)知C，E两点不可能同时在抛物线上．
∴与抛物线经过其中三个点矛盾．
∴点A不在抛物线上．
感悟新知
由(2)可知点A不在抛物线上．结合(1)的结论易知 知2－讲 B，D一定在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．
感悟新知
1 在平面直角坐标系中，设二次函数
知2－练
y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0. (1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式； (2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同
一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜ n，求x0的取值范围．
知2－练
感悟新知
(3)由题易知y1的图象的对称轴为直线x＝
1
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