第二章 力系的等效简化

cos β =
FRy FR
FRz cos γ = FR
合力。 例2-1. 巳知：F1=3kN，F2=2kN。求：合力。 - 巳知： ， 。
解： 合力投影 合力投影
3 2 + 4 2 + 5 2 = 7.07
z
F2
F1 3 3 2.47 FRx = Σ F ix = F 1 + F 2 = 2 . 62 kN 7.07 6 . 32 5 4 4 FRy = Σ F iy = F 1 + F 2 = 3. 98 kN 3.30 7.07 4 6 . 32 5 x 5 5 FRz = Σ F iz = F1 = 2 . 37 kN 2.12 7.07 6 . 32 合力大小与方向 合力大小与方向
Mx = − M3 − M4 cos 45o − M5 cos 45o =− ⋅= −193.1 N⋅ m ·
My = − M2 = −80 N⋅ m
=−
Mz = − M − M4 cos 45o − M5 cos 45o 1 ⋅ −193.1 N⋅ m =
合力偶矩矢的方向余弦 r r 可得： 可得：合力偶矩矢的大小 c s M,i = − .6 8 o 0 7 6 r r 2 2 2 o 0 8 1 M = M + M + M = 284.6N⋅ m c s M, j = − .2 1 x y z r r c s Mk = − .6 8 o , 0 7 6
M2 M4 M3 M1
力偶是自由矢量
几何法
例2-3：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个 - ：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔， 孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在 、 孔所受的切削力偶矩均为 。求工件所受合力偶的矩在x、 y、z轴上的投影 x、My、Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。 轴上的投影M 并求合力偶矩矢的大小和方向。 、 轴上的投影 解： 将作用在四个面上的力偶用 力偶矩矢表示， 力偶矩矢表示，并平移到一点。
合力投影定律
FRy FRx FRz cos α = , cos β = , cos γ = FR FR FR r r r r r 主矩： 主矩： M 0 = ΣM i = ΣM 0 ix i + ΣM 0iy j + ΣM 0iz k M M M
M M M M M 0 x = ∑M0 ix M 0y = ∑M 0iy M0z = ∑M 0iz M
d
o’ ⇔
o
d
o’
MO
其中: FR d = MO 其中
r （2） FR ）
r MO
MO
右手力螺旋 （左手力螺旋） 左手力螺旋）
FR
r r （3）FR ≠ 0;; M O ≠ 0 且 方向任意 ） 方向任意
MO
力螺旋
MO1
ϕ F R
o
MO2
MO1
ϕ F R
o
ϕ F R
F R
o d o’
r r r r r r FR FR ( M O • FR ) FR = M O1 = ( M O • ) FR FR FR2 FR 的平移方向与距离 r r r FR × M O FR r OO′ = ( × M 0 ) / FR = o 2 FR FR MO sin ϕ 或 d= Fr R r
F’ R
45º
B
′ FRy = F4 − F3 = 0
′ FRz = F1 = 50 N
r r r ′ FR = 50i + 50k N
大小： 大小： FR = ′
′ ′ ′ FRx2 + FRy2 + FRz2 = 50 2 N
cos β = 0 2 cos γ = 2
2 方向： 方向： cos α = 2
MO1大小与方向 r
F R
MO1 MO1
d
F R o’
F R
o d o’
4、 FR = 0 、
MO = 0
平衡
段与y轴重合 段与x轴平行 例2-4：曲杆 - ：曲杆OABCD的OB段与 轴重合，BC段与 轴平行， 的 段与 轴重合， 段与 轴平行， 已知F 已知 1=F2=50 N，F3=F4=100 N，L1=100 mm，L2=75 mm。 ， ， ， 。 试求：力系简化的最终结果，并确定其位置。 试求：力系简化的最终结果，并确定其位置。 解： 简化中心：B 点 简化中心： 主矢： ′ 主矢： FRx = F2 = 50 N
主矩： 主矩： MBx′ = −FL + F4L2 = 2.5 N⋅ m 1 1
r r M B = 2.5i N ⋅ m
大小与方向
合力矩投影定律 矢量投影定律
M 0 = ∑ M xi + ∑M 0yi + ∑M 0zi M2 M2 M02
M 0y M M M M 0x M 0z ' cos α = , cos β = , cos γ = M0 M0 M0
'
O
原力系的主矢 原力系的主矢
原力系对点 原力系对点O的主矩 对点O
F = F ′ = F ′′
⇔
A
M
r r r r r r r r r {F}A ⇔{F MBB F' = F, ,MF,MB = rBA ×F ', B} F =
力的平移定理： 作用于刚体上的力， 力的平移定理： 作用于刚体上的力，可以等效 地 平移到同一刚体上任一指定点， 平移到同一刚体上任一指定点，但必须同时附加一 同一刚体上任一指定点 r r 力偶，其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩。 力偶r 其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩。 ， r M F,MF,MB = rBA ×F = 逆过程 d r r 附加 附加力偶 F M 力偶 也同样成立 F
r F3
γ α
O
r x
r r r r Fo = F1 + F2 + F3 r r r = i + 3 j + 5k
β β
r F2
r y
P2
r r r r F = i +3j +5k o
Fox = ∑ Fix = 1N
合力投影： 合力投影 投影：
r z r F1
r F3
Foy = ∑ Fiy = 3N
O：简化中心 ： r r 主矢： F R = Σ F i 主矢：
r r r r r 主矢： 主矢： F R = Σ F i = Σ Fix i + Σ F iy j + Σ Fiz k
FRx = ∑Fix FRy = ∑Fiy FRz = ∑Fiz
大小与方向
2 2 2 FR = ∑ Fix + ∑ Fiy + ∑ Fiz
r r 1、主矢 F =0 而主矩 M ≠0 、 O R r r 2、 、 MO = 0 FR ≠ 0 r r 3、 、 FR ≠ 0; ;MO ≠ 0
简化结果 讨论： 讨论：
与简化中心无关
合力偶 合力
与简化中心有关
r （1） FR ）
F R
o
r MO
力的平移定理的逆过程
合力
FR
⇔
F R
o
FR
FR
B A
定理
B
A
平移的距离
d=
同一平面内一个力与一个力偶 可以等效为一个力
M F
平移的方向
§2-3 力系的简化 一、汇交力系的简化 1、汇交力系合成的几何法 、
x
r F3
r F4
r F R
合力 两个力
y `
r F 三个力 R
r F4
(力多边形开口) 力多边形开口) 开口
r F3
封闭边
几何法
r F2
O
Foz = ∑ Fiz = 5 N
P1
r P 3 FO
γ α
O P2
合力大小： F0 大小： 合力大小
=
F02x
+
F02y
+
F02z
r x
β β
r F2
r y
= 35 N
合力方向 方向： 合力方向： 与 x 轴的夹角 α 为 : α = arccos(F0 x / F0 ) = 80.27 o
与 y 轴的夹角 β 为 : β = arccos F0 y / F0 = 59.53o
·
( ( (
) ) )
三、任意力系的简化 (一)空间任意力系的简化
z
空间力偶系 F1 力的平移 F1
A1
z 空间汇交力系
z
F2 M1
附加力偶
A2
F2 O
An
M2
y x
FR O Mn Fn
x y
MO O
主矩
y
x
汇交力系合成 力偶系合成
Fn
与简化中心无关 r r r r 主矩： 主矩： M = Σ M = Σ F ), F ), ( M 0( i 0 i 与简化中心有关
r F1
r r (三角形法则) r r r 三角形法则) FR = F1 + F2 + L + Fn = ΣFi
汇交力系可以合成一个合力
几何法 仅适用于平面汇交力系
r F12 r F2 F1
力多边形 力多边形法则
2、汇交力系合成的解析法 、
r r r r r F = F + F +L F = ΣF + n R 1 2 i r r r r 其中 F = F i + F j + F k R Rx Ry Rz
r ∑ ∑ Fi =
则
几何法 所以： 所以：
FRx = ∑ Fix
FRy = ∑ Fiy FRz = ∑ Fiz