【四清导航】沪科版九上数学二次函数的图象和性质21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质

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沪科版九年级上册21.2.1二次函数的图象和性质课件

这条抛物线关于 y轴对称,y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大.
当x= -2时，y=4 当x= -1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象．解：列表
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ···
2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
?
-3
-6
-9
二次函数y= -x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
y
y x2
3．观察y＝
1 2
x2，y＝2x2的图象，回答它们的开口方向，对称
轴和顶点坐标．
1
4．根据函数y＝ 2 x2，y＝2x2图象特点，总结y＝ax2(a＞0)的

沪科版初三九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数 21.2.2 第3课时二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质

导入新课
复习引入
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值
和增减变化情况:
y
y
(1)y=ax2 (2)y=ax2+k
Ox
y
y
O
x
y
O xO x
Ox
y
Ox
(3)y=a(x+h)2
y
y
Ox O x
yy
Ox O
x
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？
向上平移3个单位 y=-2x2+3 3.把y=-2x2的图像
3
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 (x 4)2 2 3
当堂练习
1.完成下列表格:
二次函数开口方向对称轴顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向上向下向上向下
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1, －2 ) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
九年级数学上（HK）教学课件
21.2 二次函数的图象和性质
2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
第3课时二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会用描点法画出y=a(x+h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.(重点） 3.理解二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点）

沪科版九上数学二次函数的图象和性质

3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
y 9
6
3
-4 -2O 2 4 x 双击演示
操作
当取更多个点时，函
y
数 y = x2 的图象如下： 9
对称轴与抛物线的交
6
点叫做抛物线的顶点
这条抛物线关于 y 轴
对称，y 轴就是它的
3
对称轴.
-3 o 3
x
二次函数 y = x2 的图象形如物体抛射时所经过
顶点是 (0，0) .
典例精析
例1 已知 y = (m + 1)xm2 + m 是二次函数，且其图象开口向上，求 m 的值和函数解析式.
m + 1＞0， ① 解：依题意有
m2 + m = 2， ② 解②得 m1 = -2，m2 = 1. 由①得 m＞-1， ∴ m = 1. 此时，二次函数为 y = 2x2.
1. y＝x2 是一条抛物线；
y y = x2
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
5. 图象有最低点.
o
x
说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流.
1. y＝-x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向下；
y o
x
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
a＞0 y
Ox
a＜0 y
Ox
开口向上，在 x 轴上方开口向下，在 x 轴下方
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0 在对称轴左侧递减

沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.2 二次函数y=ax2的图象和性质教案

21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2的图象和性质【学习目标】1．能够利用描点法作出y＝ax2的图象，并能根据图象认识和理解y＝ax2的图象和性质．2．经历画二次函数y＝ax2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．【学习重点】会画y＝ax2的图象，理解其性质．【学习难点】结合图象理解抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标及基本性质．画函数图象的一般步骤是：1.列表(取几组x、y的对应值)；2．描点(表中x、y的数值在坐标平面中描点(x、y))；3．连线(用光滑曲线)．情景导入生成问题旧知回顾：(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)其图象是一条经过(0，b)的直线．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)其图象是过原点的直线．(2)描点法画出一次函数的步骤，分为列表，描点，连线三个步骤．(3)我们把形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．自学互研生成能力知识模块一探究二次函数y＝ax2的图象和性质阅读教材P5～6页的内容，回答以下问题：1．在画二次函数y＝x2的图象时，自变量取了多少个值？经历了多少步？自变量取了7个值，经历了3步，分别是列表、描点、连线．2．二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点(最低点)是(0，0)，在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升，也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．3．观察y＝12x2，y＝2x2的图象，回答它们的开口方向，对称轴和顶点坐标．4．根据函数y＝12x2，y＝2x2图象特点，总结y＝ax2(a＞0)的性质：最高或最低点，图象何时上升、下降．二次函数y＝ax2(a＞0)的图象及性质为：(表格均让学生口述完成)二次函数y＝ax2(a＞0)图象的形状图象的特点图象的性质1.向x轴左右方向无限延伸自变量x的取值范围是全体实数2.是轴对称图形，对称轴是y轴对于x和－x可得到相同的函数y3.在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上当x＜0时，函数y随x的增大而减小；当x升的＞0时，函数y 随x 的增大而增大 4.顶点就是原点(0，0)，顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸当x ＝0时，函数取得最小值，y 最小值＝0，且y 没有最大值，即y≥05.观察y ＝－12x 2、y ＝－2x 2的图象，指出它们与y ＝12x 2、y ＝2x 2图象的不同之处．它们的开口向下，顶点是原点．图象向下无限延伸，当x ＝0，函数取得最大值，y最大值＝0且y 没有最小值即y≤0，在y 轴左侧是上升的，在y 轴右侧是下降的．当x ＜0，y 随x 增大而增大，当x ＞0时，函数y 随x 的增大而减小．6．(1)a ＞0与a ＜0时，函数y ＝ax 2图象有什么不同？(2)|a|大小对开口大小有什么影响？答：一般地，抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．比较各函数图象可知|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．知识模块二二次函数y ＝ax 2的图象和性质的运用范例1：在同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝13x 2，y ＝－3x 2，y ＝x 2的共同特点是( D )A ．关于y 轴对称，抛物线开口向上B ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大C ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小D．关于y轴对称，抛物线顶点在原点范例2：已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？解：(1)m＝2或m＝－3；(2)当m＝2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为(0，0)，且当x＞0时，y随x的增大而增大．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究二次函数y＝ax2的图象和性质知识模块二二次函数y＝ax2的图象和性质的运用检测反馈达成目标1．若(－5，2)在抛物线y＝ax2上，则________一定也在该抛物线上( A) A．(5，2) B．(－2，－5)C．(－5，－2) D．(0，2)2．函数y＝5x2的图象开口向上，顶点是(0，0)，对称轴是y轴，当x＞0时，y 随x的增大而增大．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。

沪科版九上数学1 二次函数的图象和性质

抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)，顶
点是抛物线的最高点；
y
O
-3
3x
增减性相同：当x<0时，y
随x增大而增大；当x>0时，
-3
y随x增大而减小.
-6
a值越小，抛物线的
开口越小．
开口都向下；
-9
对称轴都是y轴；
y=-x2
y=-2x2 y 1 x2 2
状元成才路
小结状元成才路
1.二次函数的图象都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图象性质:
D
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）如果抛物线上有点D，使S△OBD=S△OAC，求点D的坐标.
D （2，2）（4，0）
状元成才路
状元成才路
解：（1）设直线表达式为y=ax+b，
∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的图象上，
2 0
2a b， 4a b
a b
-1， 4
∴直线AB的函数表达式为：y=-x+4.
轴及顶点坐标.
4
y
解：抛物线y=4x2的开口向上，对称轴为 y轴，顶点坐标（0，0）；
抛物线 y 1 x2的开口向下，对 4
称轴为y轴，顶点坐标（0，0）.
O
x
y
O
x
状元成才路
状元成才路
4. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
y 1 x2; y 1 x2.
3
3
y
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y
y=2x2 y 1 x2
8
2
6
4
a值越大，抛物线的

【四清导航】沪科版九上数学二次函数的图象和性质21.2.2.2 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质

15 ．某抛物线和 y ＝ 2x2 的图象形状相同，对称轴平行于 y 轴，且顶点坐标为
y＝2(x＋3)2或y＝－2(x＋3)2 (－3，0)，则该抛物线的解析式为_______________________________ ．
2 2 2 2 y ＝ ( x － 4 ) 16．抛物线 y＝－3(x－4) 与抛物线___________ 关于 x 轴对称；抛物线 3 2 2 2 2 y ＝－ ( x ＋ 4 ) y＝－3(x－4) 与抛物线____________ 关于 y 轴对称． 3
21.2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第2课时二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质
1．抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴是_________ x＝－h ，顶点坐标是_________ ( －h ，0 ) ，当 a ＞ 0 时，抛物线的开口向上 ____ ，当 x__________ ＞－h 时， y 随 x 的增大而增大；当 x__________ ＜－h 时，y随x的增大而减小，当x＝____ ＝____ －h时，y最________ 0 ；当a＜0时，抛物小值＜－h 时， y随x的增大而增大，当x________ 线的开口向____ 下，当x_________ ＞－h 时，y 随x的增大而减小，当x＝____ －h 时，y最______ 大值＝____ 0 ． 2 ．抛物线 y＝ a(x ＋ h)2 与 y ＝ ax2 的_________ 相同，开口大小和__________ 开口方向形状、 ________ 位置只是图象________ 不同．抛物线y＝a(x＋h)2可由抛物线y＝ax2沿x轴方向平移左右 _____个单位得到，当h＞0时，向____平移；当 h＜0时，向____平移． |h|

【四清导航】沪科版九上数学二次函数的图象和性质21.2.2.1 二次函数y=ax2+k的图象和性质

侧．BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C.四边形OABC与四边形ODEF的面积 4 ．分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为____
1 17． (8 分)已知二次函数 y＝(n＋2)xn2－n＋3，当 x>0 时 y 随 x 的增大而增大．求 n 的值，并指出 x 为何值时，函数有最大(小)值，是多少？
小值，是____ 下，当x____ ＞0 0 时，y有最____ k ；当a＜0，开口向____ 大，当x＝____ ＜0 时，y随x的增大而增大，当x＝____ 0 时， y 时，y随x的增大而减小，抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的形状、开口大小、开口方向__________ ，抛物线y＝ax2＋k的图象相当于将抛物线y＝ax2的图象沿y轴上下平移|k|个单
解：(1)3.5 m (2)令 y＝3.05，解得 x＝±1.5(负舍)．令 y＝2.25，解得 x 5 ＝± (正舍)，∴他距篮框中心的水平距离是 2.5＋1.5＝4(m) 2
19．(12 分)如图，已知△OAB 为等腰直角三角形，点 A 的坐标是(c， 0)，将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到△A1OB1，此时抛物线 y＝ax2 ＋m 经过点 A1，B1，求 ac 的值．
9．(8 分)求符合下列条件的抛物线的关系式． (1)将抛物线 y＝x2 先向下平移 2 个单位长度，再绕其顶点旋转 180°； (2)抛物线 y＝ax2－1 过点(1，2)； 1 2 (3)抛物线 y＝ax ＋k 与 y＝2x ＋3 的开口大小相同，开口方向相反，
2
且顶点为(0，1)．
解：(1)y＝－x2－2 (2)y＝3x2－1 1 2 (3)y＝－ x ＋1 2
2 5．(4分)若抛物线y＝x2＋(m－2)x＋3的对称轴是y轴，则m＝____ ． 6．(4分)若二次函数的图象形状与y＝3x2相同，最高点的坐标是(0，－2)，则 y＝－3x2－2 ．它的解析式为________________ 7．(4分)已知二次函数y＝(a－1)x2＋a2－2的最高点为(0，2)，则a的值为( A．2 B．－2 C．±2 D．不确定 8．(4分)关于函数y＝2x2－8，下列叙述错误的是( A．函数图象的最低点为(0，－8) B．函数图象与x轴的交点为(2，0)，(－2，0) C．将函数y＝2x2－8的图象向上平移8个单位就得到函数y＝2x2的图象 D．函数y＝2x2－8的图象关于x轴对称的图象的函数解析式是y＝－2x2－8 ) D ) B

上海沪科版初中数学九年级上册21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质1

如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2； ④ y＝ dx2，则 a、 b、 c、 d 的大小关系为 ( )
A．a>b>c>d
B．a>b>d>c
C．b>a>c>d
D．b>a>d>c
答案：A 方法总结：抛物线 y＝ax2 的开口大小
由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|
2x－3，解得 x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1， y2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点 B 的坐标为(－3，－9)；
(3)如图所示，作 AC⊥ x 轴， BD⊥ x
轴，垂足分别为 C、D，根据点的坐标的意
义，可知 MD＝ 3， MC＝ 1， CD＝ 1＋ 3＝
4，BD＝9，AC＝1，∴S△AMB＝S 梯形 ABDC－
下列函数的图象：①y＝ x2；②y＝2x2；③ 2
1 y＝－ x2；④y＝－2x2.根据图象回答下列问
2 题：
(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？
解析：要画出已知四个函数的图象，
方法总结：本例综合考查了一次函数 y ＝ ax＋ b 和二次函数 y＝ ax2 的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的 a 的符号是否一致入手进行分析．
探究点二：抛物线 y＝ ax2 的开口方向、大小与系数 a 的关系
图象，并利用图象回答下列问题： (1)在 y 轴左侧图象上任取两点 A(x1，

沪科版九年级数学上册21.2 二次函数的图象和性质2

21.2 二次函数的图象和性质第1课时二次函数y ＝ax 2的图象和性质【学习目标】1．能够利用描点法作出y ＝ax 2的图象，并能根据图象认识和理解y ＝ax 2的图象和性质．2．经历画二次函数y ＝ax 2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．【学习重点】会画y ＝ax 2的图象，理解其性质．【学习难点】结合图象理解抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标及基本性质．画函数图象的一般步骤是：1.列表(取几组x 、y 的对应值)；2．描点(表中x 、y 的数值在坐标平面中描点(x 、y))；3．连线(用光滑曲线)．情景导入生成问题旧知回顾：(1)一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)其图象是一条经过(0，b)的直线．特别地，正比例函数y ＝kx(k ≠0)其图象是过原点的直线．(2)描点法画出一次函数的步骤，分为列表，描点，连线三个步骤．(3)我们把形如y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的函数叫做二次函数．自学互研生成能力知识模块一探究二次函数y ＝ax 2的图象和性质阅读教材P 5～6页的内容，回答以下问题：1．在画二次函数y ＝x 2的图象时，自变量取了多少个值？经历了多少步？自变量取了7个值，经历了3步，分别是列表、描点、连线．2．二次函数y ＝x 2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点(最低点)是(0，0)，在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升，也就是说，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．3．观察y ＝12x 2，y ＝2x 2的图象，回答它们的开口方向，对称轴和顶点坐标． 4．根据函数y ＝12x 2，y ＝2x 2图象特点，总结y ＝ax 2(a ＞0)的性质：最高或最低点，图象何时上升、下降．二次函数y ＝ax 2(a ＞0)的图象及性质为：(表格均让学生口述完成) 二次函数y ＝ax 2(a ＞0)图象的形状图象的特点图象的性质1.向x 轴左右方向无限延伸自变量x 的取值范围是全体实数 2.是轴对称图形，对称轴是y 轴对于x 和－x 可得到相同的函数y 3. 在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的当x ＜0时，函数y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，函数y 随x 的增大而增大 4. 顶点就是原点(0，0)，顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸当x ＝0时，函数取得最小值，y 最小值＝0，且y 没有最大值，即y ≥0 5.观察y ＝－12x 2、y ＝－2x 2的图象，指出它们与y ＝12x 2、y ＝2x 2图象的不同之处．它们的开口向下，顶点是原点．图象向下无限延伸，当x ＝0，函数取得最大值，y 最大值＝0且y 没有最小值即y ≤0，在y 轴左侧是上升的，在y 轴右侧是下降的．当x ＜0，y 随x 增大而增大，当x ＞0时，函数y 随x 的增大而减小．6．(1)a ＞0与a ＜0时，函数y ＝ax 2图象有什么不同？(2)|a|大小对开口大小有什么影响？答：一般地，抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．比较各函数图象可知|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．知识模块二二次函数y ＝ax 2的图象和性质的运用范例1：在同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝13x 2，y ＝－3x 2，y ＝x 2的共同特点是( D ) A ．关于y 轴对称，抛物线开口向上B ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大C ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小D ．关于y 轴对称，抛物线顶点在原点范例2：已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m 为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解：(1)m ＝2或m ＝－3；(2)当m ＝2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为(0，0)，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究二次函数y ＝ax 2的图象和性质知识模块二二次函数y ＝ax 2的图象和性质的运用检测反馈达成目标1．若(－5，2)在抛物线y＝ax2上，则________一定也在该抛物线上(A)A．(5，2) B．(－2，－5)C．(－5，－2) D．(0，2)2．函数y＝5x2的图象开口向上，顶点是(0，0)，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。

沪科版-数学-九年级上册-21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质(2) 教案

二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象，理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验，培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么？反比例函数的图象是什么？(一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么？一般步骤:(1)列表(取几组x，y的对应值);(2)描点(根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状？二次函数有哪些性质？(运用描点法作二次函数的图象，然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.解:(1)列表中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值.(2)描点:根据上表中x，y的数值在平面直角坐标系中描点(x，y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象，思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状？(2)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(3)图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象，通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图，观察、讨论并归纳，积极展示探究结果，教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线，这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出，抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点，它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中，画出函数y=x2及y=2x2的图象.解:分别填表，再画出它们的图象.x …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …y=x2 …8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …x …-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y=2x2 …8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点？师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图，观察、讨论并归纳，回答探究的思路和结果，教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上，顶点坐标都是(0，0)，函数y=2x2的图象的开口较窄，y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象，并考虑这些图象有什么共同点和不同点。

沪科版-数学-九年级上册-21.2二次函数的图象和性质2

项目内容课题21.2二次函数的图象和性质-------y=a(x+h)2+k的图象和性质修改与创新教学目标1．知识与技能会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2+k 的图像，知道抛物线y=a(x+h)2+k 的对称轴与顶点坐标；会从图像的平移变换的角度认识y=a(x+h)2+k型二次函数的图像特征。

2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2和y= a(x+h)2+k图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．3．情感态度与价值观经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。

教学重、难点重点：从图像的平移变换的角度认识y=a(x+h)2+k型二次函数的图像特征。

难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的难点。

教学准备小黑板或PPT教学过程一、提出问题1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的)3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2x2以及y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?二、探究新知1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数3)2(212++=x y 的图像。

首先引导学生观察比较2)2(21+=x y 与3)2(212++=x y 的图像关系，直观得出： 2)2(21+=x y 的图像−−−−−→−个单位向上平移33)2(212++=x y 的图像。

（结合《几何画板》多媒体演示）再引导学生比较221x y =的图像与,)2(212+=x y 的图像之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线221x y =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，就可得到函数3)2(212++=x y 的图像。

沪科202X课标版初中数学九年级上册第二十一章21.2 二次函数的图像和性质(共27张PPT)

10.如图所示的抛物线：当x=_0_或__-2_时，y=0；当x<－2或x>0时， y__<___0；当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0；当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
11、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点、连线
直线x=－1
(1)抛物线 y1(x1)21
2
的开口方向、对称轴、顶点?
抛物线 y1(x1)21 的开口向下, 2
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y1(x1)21
y=ax2
向左(右)平移 y=a(x+h)2
向上(下)平 y=a(x+h)2+k
|h|个单位
移|k|个单位
y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x+h)2+k
移|k|个单位
移|h|个单位
抛物线y=a(x+h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)， ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1， ∵其图象过点(0,0)， ∴0= a(0-1)2-1， ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1
（2）根据图象回答：
当x x<0或x>2 时，y>0; (0,0) 当x x=0或2 时，y=0;

沪科课标版初中数学九年级上册第二十一章21.2 二次函数的图像和性质

沪科课标版初中数学九年级上册第二十一章21.2 二次函数的图像和性质
有最小值为-1，求其解析式。

解：设解析式为y=a(x+h)2+k (a≠0)
∵顶点（1，-1）所以
又（0，0）在抛物线上，所以
∴ a = 1 所以
即
2.已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。

学生板演，用不同的解析式法求出表达式。

3、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，其图象如图所示。

求抛物线的解析式，写出顶点坐标。

四．小结
1、二次函数常用解析式
2、求二次函数解析式的一般方法：
（１）已知图象上三点坐标，通常选择一般式。

（２）已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。

（３）已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择交点式。

３．确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用五．布置作业
1、求经过有三点A（-2，-3），B（1，0），C（2，5）的二次函数的解析式.
2、已知抛物线的顶点为D(-1，-4)，又经过点C(2，5)，求其解析式。

3.已知抛物线与x轴的两个交点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过点C(2，5)，求其解析式。

六．教学反思。

沪科版数学九年级上册21.2第2课时二次函数y=ax？k的图象和性质课件(共19张PPT)

-2
3
2
＝2
>2
<2
4．在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋k 和二次函数 y＝ax2＋k 的图象大致为 ( )
D
提示：y＝ax2＋k 是由 y＝ax2 平移 | k | 个单位得到．
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
y=ax²+k(a≠0)
a＞0
a＜0
图象
开口方向
开口向下
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
开口向上
顶点是(0，k)
顶点是(0，k)
y轴
y轴
在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小；在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大.
在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小；在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大.
x=0时，y最小=k
x
…
–3
–2
–1
0
1
2
3
…
y= –x²+1
…
–8
–3
0
1
0
–3
–8
…
y= –x²–1
…
–10
–5
–2
–1
–2
–5
–10
…
–2
–2
–2
–2
–2
–2
–2
–2
(2)描点、连线.
由图象，很容易得到抛物线 y = – x2–1是由抛物线 y = – x2+1向下平移2个单位得到的.
归纳小结
函数y=ax2+k的图象和性质.
抛物线y=ax2+k 与抛物线y=ax2之间联系.
回顾复习
二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质：

沪科版数学九年级上册 21.2二次函数的图象和性质-教案1

义教课标教材数学（沪科版）九年级上册第21章21.2二次函数的图象和性质（第1课时）二次函数y=ax ²的图象和性质一、教材分析：（一）地位和作用本节课是二次函数的图象和性质的第一课时，在学生已经学习了函数的概念，函数的表示方法，函数图象的研究方法，以及对一次函数的图象和性质有了深入的研究基础上，进一步研究二次函数y=ax ²的图象和性质，一方面，它是对前面函数、一次函数的研究方法和过程的延续；另一方面，它不仅是对二次函数y=ax ²的图象和性质的探究，而且还为后面学习形如y=ax ²+k ,y=a(x+h)², y=a(x+h)²+k 一系列二次函数的图象和性质作了一定的知识方法和能力上储备，它在本章中起着承上启下的作用. （二）、教学内容分析本节课主要内容是y=ax ²的图象和性质，教材从最特殊的二次函数y=x ²出发，在依次研究y=2x ²，的图象和性质，从形状、开口大小、开口方向、对称性、顶点坐标、上升下降趋势来观察他们的图象特征，归纳此类函数的性质，采用类比一次函数的研究方法，让学生去探究，以富有开放性、探索性的问题为诱饵，引导学生从数和形的角度去观察、分析、对比、归纳.本节课的教学，既要培养观察、分析、归纳的能力，又要渗透类比、从特殊到一般、数形结合的数学思想方法.所以本节内容对培养学生的探索精神、创新意识和积累数学活动经验，也有着非常重要的意义.二、教学目标：1、会用描点法画出形如y=ax ²的二次函数图象，了解抛物线的有关概念；2、了解二次函数y=ax ²的图象特征和性质；3、在类比探究二次函数y=ax ²的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.三、教学重难点：重点：数形结合的研究y=ax ²的图象和性质.难点：用描点法准确的画出y=ax ²的图象和a 的绝对值越大，张口越小的归纳.212y x四、学情分析：九年级学生要注重培养识图能力、直觉猜想能力、抽象概括能力和逻辑推理能力，通过前面对函数、一次函数等相关知识的学习，他们的认知水平、分析图象的能力有了一定基础.本班学生整体素质中等，教学中仍应关注基础，善待差异，积极调动学生学习积极性，积极评价学生的学习过程，以民主、平等、温情和积极的课堂文化来促进和激励学生的数学学习.五、教学环境及准备：多媒体教学环境；学生要准备几何作图工具、网格纸；教师准备课件、三角板. 六、教学策略：综合运用启发式、谈话法、讲练结合法等；引导学生经历观察、比较、分析、归纳、猜想、验证和说理的全过程，积累数学学习和活动经验，体会问题研究的一般方法；指导学生学会从特殊到一般、学会从具体的研究对象中抽象出一般特征或规律，从而提高他们的概括能力和语言运用能力，养成会动手、善表达，肯动脑、有条理的良好的学习习惯.七、教学过程预设：（一）回顾旧知，激活已有经验问题1：1.二次函数的一般形式是什么？你能举出一些二次函数的例子吗？2. 学习完二次函数概念后，类比一次函数的研究过程，今天我们需要研究什么？3.我们是如何研究一次函数的图象和性质的？引导学生回顾研究函数的一般过程，以及一次函数的研究内容和方法：通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和性质，如位置、形状，函数随自变量的增大如何变化.经历从特殊到一般的探究过程，先研究特殊的一次函数——正比例函数y=kx 的图象和性质，再研究一般的一次函数y=kx+b的图象和性质；在这个过程中，分k>0,k<0两种情况讨论，由k取具体的数字入手，最后归纳出一般情况.在学生回顾的过程中，教师适时进行归纳总结，并进行板书.追问：你觉得我们今天先研究什么函数的图象性质？（板书：21.2.1二次函数y=ax²的图象和性质）【设计意图】通过这三个问题为今天的研究搭建框架，虽然二次函数与一次函数研究对象有差异，复杂程度有差异，但研究的思想方法都是从特殊到一般.复习回顾一次函数的研究内容和研究方法，帮助学生体会函数的研究内容和研究方法，为后续自主类比研究二次函数的图象和性质进行铺垫.（二）类比探究二次函数y=ax ²的图象和性质问题2：类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函数y=x ²的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？师生活动：（1）学生独立用描点法画出y=x ²的图象，此时教师关注学生是否选取适当的自变量的值，描点连线，（追问：不知道0-1之间的图象到底是折线还是曲线怎么办？加密点来画图）展示几何画板中加密点的函数图象.（2）概括特征.尝试从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等方面描述y=x ²的图象特征.板书：抛物线、顶点定义，图象的形状、开口方向、对称性、顶点，强调顶点是抛物线的最高点或最低点.（3）从图象上看函数y=x ²随自变量的增大如何变化.【设计意图】在师生对话中引导学生在已有的知识经验中建构新的概念，概括观察的角度和方法，尝试类比探究特殊的二次函数y=x ²的图象和性质，并以它为观察对象，了解抛物线的相关概念. 小组合作：问题3：在同一直角坐标系中画出y=2x ²，的图象，函数y=2x ²，的图象与函数y=x ²的图象相比，有什么共同点？有什么不同点？追问：这些共同点是由什么因素引起的？这些不同点是由什么因素引起的？请归纳：当a>0时，二次函数y=ax ²的图象有什么特点？得出：212y x =212y x =【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y=ax ²（a>0）的图象特征，再次感受数缺形时少直观，形少数时难入微，体会数形结合的数学思想. 合作探究问题4：类比a>0时的研究过程，二次函数y=ax 2（a<0）的图象有什么特征？有了问题3的经验，学生应该能够有意识的从特殊到一般的将a 赋值研究，若有个别学生做不到，则追问：你打算怎么研究？我们刚才是怎么研究a>0时的情况？用了什么方法？研究了哪些内容？帮助学生梳理思路. 在同一坐标系下画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．填表：课本第9页表格在开口大小的归纳中，学生通过展示几何画板在a 在-3到3之间的动态图象直观的感受到a 的取值对函数图象的影响，进而总结出a 的绝对值越大张口越小.追问：对比抛物线y=x ²和y=-x ²它们的图象有什么关系？一般地，抛物线y=ax ²和y=-ax ²呢？【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，从特殊的数值入手，归纳出二次函数2222,21,x y x y x y -=-=-=y=ax²（a<0）的图象特征.问题5：你能说出二次函数y=ax²的图象特征和性质吗？师生共同归纳：侧二次函数y=ax2的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．一般地，二次函数 y = ax2 的图象可以简称抛物线y = ax2【设计意图】概念的形成要注重引导学生感悟，学生是学习的中心和主体，教师要为学生创造用多样化的学习方式学习的机会给学生自主建构、自我完善的机会.（三）及时巩固，素养提升(1)抛物线 y=2x 2的顶点坐标是 ,对称轴是 , 在对称轴侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴侧,y 随着x 的增大而减小,当x= 时,函数y 的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x 2在x 轴的方(除顶点外).(2)抛物线在x 轴的方(除顶点外),在对称轴的左侧,y 随着x的；在对称轴的右侧,y 随着x 的 ,当x=0时,函数y 的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.【设计意图】通过问题正面强化、有效练习深化概念的理解和掌握，避免了对概念的简单、机械的记忆.（四）回顾梳理，归纳小结，学法指导：我们一起回顾今天的学习历程：（五）布置作业必做题：练习1、2、3 选做题：练习4、5232x y -=八、板书设计：九、教学设计理念：本节课从学生已有经验出发，搭建自主探究平台，培养了学生由“学会”到“会学”，提高学生学习能力，通过类比一次函数研究过程和方法引导学生经历观察、比较、分析、归纳和说理的全过程思，在数学活动中感悟数学思想、积累数学活动经验.教后反思：本节课在设计理念上一直比较注重从学生已有经验出发，搭建自主探究平台，培养了学生由“学会”到“会学”，提高学生学习能力，通过类比一次函数研究过程和方法引导学生经历观察、比较、分析、归纳和说理的全过程思，在数学活动中感悟数学思想、积累数学活动经验.这一点是比较好的，但从实际操作上看，一方面由于学生的基础不是很强，未能对一次函数的图象性质研究有深刻的认识，所以不能够灵活的运用于二次函数的图象和性质的研究上，另一方面也是因为我过于注重放手让学生自己去利用知识的迁移，设置的问题有点大，让学生感觉无法回答，所以总感觉课堂气氛有些沉闷.如果在课堂中能够把问题细化些，小步骤的去引导学生思考，操作，课堂效果可能会更好一些.在二次函数的图象为什么是光滑的曲线的处理上，我采用几何画板加密点的形式展示给学生看，这种让学生先思考再直观的感受的做法是可取的，达到了预期的效果，同时在开口大小的归纳中，学生通过几何画板在a在-3到3之间的动态图象直观的感受到a的取值对函数图象的影响，进而总结出a的绝对值越大张口越小，这一点也是可取的，以后仍要坚持这种先让学生独立思考再借助教学技术辅助的做法.。