山东省淄博市淄川般阳中学高中数学等差数列前n项和(2)学案新人教A版必修5

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高中数学 2.3 等差数列的前n项和(2)教案新人教A版必修5

专心爱心用心1高中数学 2.3 等差数列的前n 项和(2)教案新人教A 版必修5【使用说明】1、用30分钟先自学课本P 49-P 50，然后完成问题导学。

2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

一、学习目标：1. 理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式；2. 在具体的的问题情境中，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能解决相应问题。

二、问题导学：问题1：结合课本4个具体例子分别得到怎样的数列，请把它们都写下来。

问题2：回忆数列的等差关系和等差数列的定义。

观察前面得到的4个数列，说说它们有什么共同特点，由此得到等比数列的定义。

问题3：回顾等差数列的通项公式的推导过程，同学们能推导出等比数列的通项公式么？问题4：类比等差中项，归纳等比中项概念并用式子表示。

问题5：结合课本P50探究，思考等比数列与指数函数的关系。

三、合作、探究、展示例1.47(1)27,3,q a a ==-求241(2)18,8,q a a a ==求与579(3)4,6,a a a ==求51423(4)15,6,a a a a a -=-=求例2.在利用电子邮件传播的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染多少台计算机？例3.某地为了保持水土资源，实行退耕还林，如果2000年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2005年需退耕多少公顷？（结果保留到个位）例4：求下列各数的等比中项：（1）77+- （2）422422(0,0)a b aab b ab ++≠≠与四、达标检测1. 在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递___数列； ⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递___数列； ⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递___数列； ⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递___数列； ⑸ 当0q <时，数列{}n a 是____数列；⑹ 当1q =时，数列{}n a 是___数列.2. 1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（）.A. 36B. 48C. 60D. 723. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（）.A. 3B. 4C. 5D. 6五、小结。

人教A版高中数学必修五等差数列的前n项和学案新(2)

2.3《等差数列的前n 项和》学案（第一课时）
一、预习问题：
1、等差数列前n 项和公式=n S = 。

2、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为。

3、等差数列的两个求和公式应根据题目条件灵活选用：当已知首项1a 和末项n a 时，应选用=n S ；当已知首项1a 和公差d 时，应选用=n S 。

二、实战操作：
例1、一堆钢管共10层，第一层钢管数为1，第十层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？
例2、已知等差数列{}n a 中，21,231-==
d a ，15-=n S ，求n 和n a 。

【变式1】已知等差数列{}n a 中，512,11-==n a a ，1022-=n S ，求公差d 。

【变式2】已知等差数列{}n a 中，41=a ，1728=S ，求公差8a 和d 。

【变式3】已知等差数列{}n a 中，245=S ，求42a a +。

人教A版高中数学必修5学案2.3等差数列的前n项和(2)

2.3等差数列的前n 项和（二）学习目标： 1．由等差数列的特点掌握等差数列的前n 项和的性质；2．由等差数列前n 项和公式结合二次函数特征，会求前n 项和的最大（小）值. 学习重点：等差数列前n 项和的性质学习难点：等差数列前n 项和与二次函数的关系一、问题导学阅读课本P44---45页，完成下列的空1．等差数列}{n a 的前n 项和公式S n = = 。

2．能将等差数列}{n a 的前n 项和公式S n =1na +()12n n d -化成关于n 的函数吗？它是什么函数，有什么特点？3．因数列}{n a 的前n 项和S n =12a a ++…+n a ，故前n —1项的和S 1n -=_______________。

能从以上两式得到n a 与S n 的关系式吗? 。

4．等差数列前n 项和的最值（1）若10,0a d <>，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{}n S 的最值；（2）若10,0a d ><，则数列的前面若干项为项（或0），所以将这些项相加即得{}n S 的最值；（3）若10,0a d >>，则是{}n S 的最值；（4）若10,0a d <<，则是{}n S 的最值。

5．求等差数列前n 项和的最值的常用的方法通项法：（1）当10,0a d ><时，由100m m a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 的最大值；（2）当10,0a d <>时，由100m m a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 的最小值。

【合作探究】例1 数列}{n a 的前n 项和公式S n =24n +23n +3，求此数列的通项公式；它是等差数列吗？思考：若数列}{n a 的前n 项和公式S n =2pn +qn +r ，则当常数p 、q 、r 满足什么条件时，数列}{n a 是等差数列？例2 当n 取何值时，等差数列5，427，347，…的前n 项和S n 最大？变式：等差数列}{n a 中，1a =13，S 3= S 11，求前n 项和S n 的最大值。

等差数列的前n项和公式(2)教学设计- (人教A版高二选择性必修第二册)

4.2.2等差数列的前n项和公式（2）
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（2）
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。

数列是培养学生数学能力的良好题材。

等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。

发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。

课程目标学科素养
A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质
及应用.
B.会求等差数列前n项和的最值.
1.数学抽象：等差数列前n项和公式
2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数
3.数学运算：等差数列前n项的应用
4.数学建模：等差数列前n项的具体应用
重点：求等差数列前n项和的最值
难点：等差数列前n项和的性质及应用
多媒体
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。

所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。

这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。

多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。

数列2.3等差数列前n项和(第2课时)教案新人教A版必修5

2.3 等差数列的前n项和（第2课时）
一、教学目标：
1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决
一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究。

2、通过等差数列前n项和的公式应用，体会数学的逻辑性
3、通过有关内容在实际生活中的应用，引导学生要善于观察生活
二、教学重点难点：
教学重点：等差数列前n项和公式的性质.
教学难点：等差数列前n项和公式的性质及函数与方程的思路.
三. 教法、学法
本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.
学生的学法突出探究、发现与交流.
五.教学过程
教学过程设计为六个教学环节：（如下图）
六、教学过程：
列的
那么这个数列一定
么？
类比二次
取最接近对称轴的正整数的函数
特别地，若
差数。

山东省淄博市淄川般阳中学高中数学数列学案新人教A版必修

山东省淄博市淄川般阳中学高中数学数列学案新人教A 版必修5 课题：数列求通项、求和（1）学习目标：总结数列求通项、求和问题学习过程：【学情调查情境导入】一、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 ⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 练习 1．数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832-=,则数列各项中最小项是( )A ．第４项B ．第５项C ．第６项D ．第７项2．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是_______3．数列{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ,，则n a =____________【问题展示合作探究】二、求数列通项公式的常用方法1、归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式⑴7，77，777，7777，…⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…解析：⑴将数列变形为),110(97-⨯),110(972-)110(973-，, )110(97-n ⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。

可得数列的通项公式为2)1(1nn n a -++= 点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

2、应用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 求数列通项例2．已知数列{}n a 的前n 项和23-=n n S ，求其通项公式.解析：当123,1111=-===S a n 时，当)23()23(,211---=-=≥--n n n n n S S a n 时 132-⋅=n又11=a 不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(11n n a n n 练习：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a3、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式141,21211-+==+n a a a n n解析：因为14121-+=+n a a n n ，所以 )121121(2114121+--=-=-+n n n a a n n 所以)3111(2112-=-a a )5131(2123-=-a a 43111()257a a -=- …，…， 1111()22321n n a a n n --=--- 以上)1(-n 个式相加得)1211(211--=-n a a n 即：24342411--=--=n n n a n 点拨：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用逐差法（累加法），若),(1n f a a nn =+求n a用逐商法(累乘法)，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。

人教A版高中数学必修5教案2.3等差数列的前n项和(2)

课题：2.3等差数列的前n项和（二）第课时总第个教案
课型：新授课编写时间：年月日执行时间：年月日
教
学
目
标
1.知识与技能
等差数列前n项和公式．
2.过程与方法
等差数列前n项和公式及其获取思路；
3.情感、态度与价值观
培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。
教学重点
等差数列前n项和公式的理解及应用．
解：依题意，得
两式相加得
又所以
又，所以n=26．
例4．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项的和吗？.
思考：（1）等差数列中S6，S12-S6，S18-S12成等差数列吗？
（2）等差数列前k项和为 ,则是等差数列吗？
解：设首项是，公差为d
教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．
教学方法
讲练结合
教学过程：
批注
活动一：创设情景，揭示课题（5分钟）
1.等差数列的前n项和公式1：；
2.等差数列的前n项和公式2：．
活动二：步入新知，师生交流（10分钟）
教材第118页练习第1、3题讲评
活动三：合作学习，探究新知（28分钟）
例1．求集合的元素个数，并求这些元素的和．
解：由得
∴正整数共有14个即中共有14个元素
即：7，14，21，…，98是等差数列．
∴ 答：略．
例2、等差数列的前项和为，若，求 .
（学生练学生板书教师点评及规范）
练习：⑴在等差 .
例3．等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.

高中数学等差数列前n项和(2)学案新人教A版必修5

当 <0，d>0 ，前n项和有最小值可由 ≤ 0，且 ≥0，求得n的值。
【预习指导新课链接】
等比数列
山东省淄博市淄川般阳中学高中数学等差数列前n项和（2）学案新人教A版必修5
课题：2.2.3等差数列的前n项和（2）
学习目标：1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式
2．会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值；
学习过程：
【学情调查情境导入】
首先回忆一下前几节课所学主要内容：
12)前10项的和？
(3)从首项到第几项之和开始为负？
5.在等差数列{ }中，已知a1=25, S9= S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值。
【知识梳理归纳总结】
1. 表示 ,
2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
( 1)当 >0，d<0，前n项和有最大值可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值。
2．等差数列的通项公式：
3.等差数列前n项和公式：
【问题展示合作探究】
例1.已知一个等差数列的前10 项的和是310，前20项的和是1220，
求其前项和的公式.
例2：已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式
一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q 、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
例3已知等差数列的前n项和，求使得最大的序号n的值.
【达标训练巩固提升】
1、已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和。
2.已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.
3.等差数列{ }中, ＝－15,公差d＝3, 求数列{ }的前n项和的最小值.

高中数学等差数列前n项和(1)学案新人教A版必修5

1．等差数列的定义：
2．等差数列的通项公式：
3．几种计算公差d的方法：
4．等差中项：成等差数列
5．数列中，称为数列的前n项和，记 .
那1+2+…100=?怎样求呢
【问题展示合作探究】
推导等差数列的前项和公式
例2：等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
例3一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为 100°,求边数n.
4、在等差数列{ }中，a2+a5=19 S5 =4 0则a10为
(A)27 (B)28 (C)29 (D)30
5、在等差数列{ }中，d=2, =11, Sn =35则a1为
(A) 5或7（B）3或5（C）7或－1（D）3或－1
6 .已知数列1,2,3,4， ,2n,则其和为，奇数项的和为。
【知识梳理归纳总结】
.等差数列的前项和公式1：
【预习指导新课链接】
等差数列的前n项和
前n项和的最大值问题
例4在等差数列中，已知，求前20项之和
【达标训练巩固提升】
1等差数列中，
(1)已知则 =__________________
(2)已知，则 =________________ ___
2、等差数列中，已知，，则 =______及n=_____________
3、等差数列中，若，则公差
山东省淄博市淄川般阳中学高中数学等差数列前n项和（1）学案新人教A版必修5
课题： 2.2.3等差数列的前n 项和（1）
学习目标：1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

山东省淄博市淄川般阳中学高中数学等差数列的学案新人教A版本必修5

山东省淄博市淄川般阳中学高中数学等差数列教案新人教A版必修5课题：等差数列学习目标：①经过实例，理解等差数列的观点；研究并掌握等差数列的通项公式；②能在详细的问题情境中，发现数列的等差关系并能用相关知识解决相应的问题学习过程：【学情检查情境导入】（1）、等差数列的定义：一般地，假如一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，往常用字母d表示。

（2）、等差中项：若三个数a,A,b构成等差数列，那么A叫做a与b的，即2A或A。

（3）、等差数列的单一性：等差数列的公差时，数列为递加数列；时，数列为递减数列；时，数列为常数列；等差数列不行能是。

（4）、等差数列的通项公式：an。

【问题展现合作研究】例1、1、求等差数列8、5、2的第20项例2：数列an3n5是等差数列吗？变式：已知数列｛a n｝的通项公式a n pnq，此中p、q为常数，这个数列是等差数列吗？假如，首项和公差分别是多少？【达标训练稳固提高】在等差数列an中，已知a12,d3,n10,求a n=已知a13,an21,d2,求n已知a112,a627,求dd1,a78,已知3求a1a 1,b12，则a,b的等差中项为（2、已知323）11A3B2C3D23、2000是等差数列4，6，8的（）A第998项B第999项C第1001项D第1000项4、在等差数列40，37，34，中第一个负数项是（）A第13项B第14项C第15项D第16项5、在等差数列an中，已知a12,a2a313,则a4a5a6等于（）A10B42C43D456、等差数列-3，1，5的第15项的值为a11,d07、等差数列an中，25且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是8、在等差数列a n中，已知a510,a1231,，求首项a1与公差d【知识梳理概括总结】等差数列的观点，会求数列的通项以及依据通项求首项和公差【预习指导新课链接】等差数列的前n项和前n项和的推导。

《等差数列前n项和》教案3新人教A版

《等差数列前n项和》教案3（新人教A版必修5）第五课时 2.3.1 等差数列的前项和（一）教学要求：掌握等差数列前项和公式及其获取思路；会用等差数列的前项和公式解决一些简单的与前项和有关的问题.教学重点：等差数列前项和公式的理解、推导及应用.教学难点：灵活运用等差数列前项公式解决一些简单的有关问题.教学过程：一、复习准备：1. 复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质.2. 提问：小明喜欢摆积木，幼儿园的老师给他布置了这样一个任务，要求他将一堆形状规则的正方形积木摆放"整齐"，最下面一层摆13个，往上一层摆11个，再往上一层摆9个，、、、依次往上，当摆到第6层时，问需要几个这样的正方形积木？如果已知小明将老师给的积木全部摆完时，最上层的积木恰有3个，你能说出老师总共给了多少个这样的小正方形积木给小明吗？二、讲授新课：1. 教学等差数列前项和公式：① 等差数列前项和的定义：一般地，我们称为数列的前项和，用表示，即.② 等差数列前项和公式：或.（实际解题时根据题目给出的已知条件选择合适的方法来解决）2. 例题讲解：例1、等差数列的前项和为，若，求.（学生练学生板书教师点评及规范）练习：⑴在等差数列中，已知，求. ⑵在等差数列中，已知，求.例2、已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列的前项和与的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=.例3、在等差数列中，已知，求.结论：等差数列中，成等差数列.（推广：等差数列中成等差数列.）3. 小结：等差数列前项和的定义、公式，性质及其应用.三、巩固练习：1. 练习：教材P52页第1题2. 作业：教材P52－P53页A组第2、3题第六课时 2.3.2 等差数列的前项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、复习准备：练习：已知数列的前项和，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？二、讲授新课：1. 探究：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，，）.由此，等差数列的前项和公式可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前项和的最值问题：① 例题讲解：例1、数列是等差数列，. （1）从第几项开始有；（2）求此数列的前项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当0，d0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值；当0，d0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值.（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值.练习：在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值.例2、有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取. 它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额. 若某人每月初存入100元，月利率5.1%。

《等差数列前n项和》教案11新人教A版

《等差数列前n项和》教案11（新人教A版必修5）2.3等差数列的前n项和(2)教学目标1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．2.进一步理解等差数列的前n项和公式的函数关系,能解决前n项和的最值问题.教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式,最值的求解教学难点:灵活应用求和公式解决问题.教学方法:启发式教学法与讲练相结合教学过程:一.要点回顾1.等差数列的通项公式:2.等差数列的前n项和公式:3.等差数列的前n项和公式是关于项数n的函数,其解析式为:4.等差数列的通项公式和前n项和公式中一共出现个量,可以通过知求体现思想。

5.等差数列,, 则n =6. 在等差数列中,已知求和；二例题分析:1求集合的元素个数，并求这些元素的和。

【变式】求在1000以内的（小于等于1000）正整数中，能被2整除，但不能被6整除的所有正整数的个数，并求它们的和。

1．在等差数列中，，，求【归纳】【推广】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求前30项的和3．已知，都成等差数列，且，，试求数列的前100项之和．4．一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。

解一：设首项为，公差为则解二：由5．若四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四数。

三小结四．作业1．在所有三位数中，有多少个能被11整除的数？并求这些能被11整除的三位数的和。

2．已知等差数列中,, 前10项和，求＋3．项数为2n的等差数列中，各奇数项的和为75，各偶数项的和为90，末项与首项的差为27，则项数2n的值为多少？4．已知一个共有n项的等差数列前4项和为26，末4项和为110，且所有项之和为187，求n的值。

【探究】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a13=12,S120,S130.① 求公差d的取值范围；② 指出S1,S2,S3, ...S12中哪一个值最大，并说明理由。

普通高中数学(等差数列的前n项和(二))示范教案新人教A版

232 等差数列地前n项和(二)从容说课“等差数列地前n项和”第二节课地主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列地通项公式和前n项和公式，进一步去了解等差数列地一些性质，并会用它们解决一些相关问题；学会利用等差数列通项公式与前n项和地公式研究S地最值，学会其常用地数学方法和体现出地数学思想•从而提高学生分析问题、解决问题地能力•通过本节课地教学使学生对等差数列地前n项和公式地认识更为深刻.通过本节例题地教学，使学生能活用求和公式解题，并进一步感受到数列与函数、数列与不等式等方面地联系，促进学生对本节内容认知结构地形成，通过探究一些特殊数学求和问题地思路和方法，体会数学思想方法地运用在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识地形成和发展，通过观察、操作、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列地求和内容，学会学习并能积极地发展自己地能力• 教学重点熟练掌握等差数列地求和公式• 教学难点灵活应用求和公式解决问题• 教具准备多媒体课件、投影仪、投影胶片等三维目标一、知识与技能1. 进一步熟练掌握等差数列地通项公式和前n项和公式；2. 了解等差数列地一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前n项和地公式研究S地最值•二、过程与方法1. 经历公式应用地过程，形成认识问题、解决问题地一般思路和方法；2. 学会其常用地数学方法和体现出地数学思想，促进学生地思维水平地发展三、情感态度与价值观通过有关内容在实际生活中地应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活地实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题教学过程导入新课师首先回忆一下上一节课所学主要内容.生我们上一节课学习了等差数列地前n项和地两个公式：n(a i a n).⑵S na n(n 1)dS(1) S n _ ；⑵S1 na i _ .2 2师对，我们上一节课学习了等差数列地前n项和地公式，了解等差数列地一些性质.学会了求和问题地一些方法，本节课我们继续围绕等差数列地前n项和地公式地内容来进一步学习与探究.推进新课［合作探究］师本节课地第一个内容是来研究一下等差数列地前n项和地公式地函数表示，请同学们将求和公式写成关于n地函数形式.生我将等差数列｛a n｝地前n项和地公式S n na 血整理、变形得到：2Si，门 ⑻ 2)n •(*)师很好！我们能否说(*)式是关于n 地二次函数呢？生1能，(*)式就是关于n 地二次函数. 生2不能，(*)式不一定是关于n 地二次函数. 师为什么？生2若等差数列地公差为0,即c=0时，(*)式实际是关于n 地一次函数！只有当d ^0时，(*)式才是关于n 地二次函数.师说得很好！等差数列｛a n ｝地前n 项和地公式可以是关于 n 地一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征？生它一定不含常数项，即常数项为 0.生它地二次项系数是公差地一半.师对地，等差数列｛a n ｝地前n 项和为不含常数项地一次函数或二次函数 •问：若一数列地前n 项和为n 地一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗？生不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列师说地在理.同学们能画出(*)式表示地函数图象或描述一下它地图象特征吗？生当d =0时，(*)式是关于n 地一次函数，所以它地图象是位于一条直线上地离散地点 pl pl 列，当d M0时，(*)式是n 地二次函数，它地图象是在二次函数y c x 2 (a 1 d )x 地图2 2象上地一群孤立地点.这些点地坐标为(n ,S n )( n =1, 2, 3,…). 师说得很精辟. ［例题剖析］【例】(课本第51页例4)分析：等差数列｛a n ｝地前n 项和公式可以写成 &师我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列地首项和公差 5 生它地首项为5，公差为-. 7师对，它地首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列地项出现负数时，则它地前 n 项地和一定会开始减小，在这样地情况下，同学们是否会产生新地解题思路呢?540 生老师，我有一种解法：先求出它地通项，求得结果是a n =a 1+( n -1)d = ^n 竺.775 40我令a nn w 0,得到了 n 》8,这样我就可以知道甘0,而a 9< 0.从而便可以发现7 7S=S ，从第9项和S n 开始减小，由于 a 8=0对数列地和不产生影响，所以就可以说这个等差数列地前7项或8项地和最大.师说得非常好！这说明我们可以通过研究它地通项取值地正负情况来研究数列地和地变化情况.pl2)n ，所以$可以看成函数x (x € N )当x=n 时地函数值一条抛物线上地点.因此我们可以利用二次函数来求.另一方面，容易知道S n 关于n 地图象是n 地值.(解答见课本第52页)［方法引导］师受刚才这位同学地新解法地启发，我们大家一起来归纳一下这种解法地规律： ①当等差数列｛a n ｝地首项大于零，公差小于零时，它地前n 项地和有怎样地最值？可通过什么来求达到最值时地 n 地值？an 1师②当等差数列｛a n ｝地首项不大于零，公差大于零时，它地前 n 项地和有怎样地最值？可通过什么来求达到最值时地n 地值?an 1［教师精讲］好！有了这种方法再结合前面地函数性质地方法，我们求等差数列地前 n 项地和地最值问题就有法可依了 .主要有两种：(1)利用a n 取值地正负情况来研究数列地和地变化情况；pl pl⑵ 利用S ：由S n §n 2 (a 1 —)n 利用二次函数求得 3取最值时n 地值.课堂练习请同学们做下面地一道练习：已知：a n =1 024+Ig2 1-n (lg2=0.3 01 0) n € * .问多少项之和为最大？前多少项之和地绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演) a n 1024 (1 n)lg2 0a n 1 1024 nlg2<03 401 v n v 3 403.所以 n =3 402.2°S n =1 024 n + n(n 1) (-Ig2)，当S=0或S n 趋近于0时其和绝对值最小,2令 S=0,即卩 1 024+ n(n 1) (-Ig2)=0, 得 n =2048+1~6 804.99.2 lg2因为n € N ,所以有n =6 805.(教师可根据学生地解答情况和解题过程中出现地问题进行点评 )［合作探究］师我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 2527 29生S 有最大值，可通过 a n求得n 地值.生S n 有最小值，可以通过a n求得n 地值.解：11024 1024v n+1此表地构成规律是：第n行恰有n个连续奇数；从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问 2 005是第几行地第几个数？师此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们地“新宠”，值得我们探索•请同学们根据此表地构成规律，将自己地发现告诉我•生1我发现这数表n行共有1+2+3+••+ n个数，即n行共有n(n 1)个奇数.2师很好!要想知道2 005是第几行地第几个数，必须先研究第n行地构成规律.生2根据生1地发现，就可得到第n行地最后一个数是2X n(n 1)-仁n2+n-1.2生3我得到第n行地第一个数是(n2+n-1)-2( n-1)= n2- n+1.师现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看？生 4 我设n - n+K 2 005 < n +n-1 ,解这不等式组便可求出n =45, n2- n+1=1 981.再设2 005是第45行中地第m个数，则由2005=1 981+(m- 1) X 2,解得m=13.因此，2 005是此表中地第45行中地第13个数.师很好！由这解法可以看出，只要我们研究出了第n行地构成规律，则可由此展开我们地思路.从整体上把握等差数列地性质，是迅速解答本题地关键课堂小结本节课我们学习并探究了等差数列地前n项和地哪些内容？生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n项和地公式研究S n地最值地方法：①利用a n：当a n> 0, d v 0，前n项和有最大值.可由a&0,且a 0,求得n地值；当a£0, d>0,前n项和有最小值.可由a n<0,且a n+1 >0,求得n地值.②利用S n：由S n=d n 2+(a1- d)n利用二次函数求得S取最值时n地值.2 2生2我们还对等差数列中地数表问题地常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列地性质来解决问题地数学思想方法师本节课我们在熟练掌握等差数列地通项公式和前n项和公式地基础上，进一步去了解了等差数列地一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用地数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列地前n项和公式地结构特征上来更深刻地认识等差数列布置作业课本第52页习题2.3 A组第5、6题.预习提纲：①什么是等比数列？②等比数列地通项公式如何求？。

高中数学 23(等差数列的前n项和2)导学案新人教A版必修5 学案

2.3 《等差数列的前n 项和(2)》导学案1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.【重点难点】重难点：在具体的问题情境中，如何灵活运用等差数列的前n 项和公式解决相应的实际问题；【知识链接】（预习教材P 45 ~ P 46，找出疑惑之处）复习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求5S .复习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求n a 和8S .【学习过程】 ※ 学习探究问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？※ 典型例题例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值. ※ 动手试试练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.【学习反思】 ※ 学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. ※ 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下： 1°若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝； 2°若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 下列数列是等差数列的是（）. A. 2n a n = B. 21n S n =+ C. 221n S n =+ D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 1704. 在小于100的正整数中共有个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？。

山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 等差数列前n项和(2)学案 新人教A版必修5

高中数学 2.3 等差数列的前n项和(2)教案 新人教A版必修5