第八章第2课时 空间几何体的表面积和体积 课件(教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考,共49页)
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高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积和体积课件 理
第十八页，共三十三页。
考点(kǎo di立ǎn)体3几何中的折叠(zhédié)与展开
例 3：(2017 年新课标Ⅰ)如图 8-2-4，圆形纸片的圆心为 O，
半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E， F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，
面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ()
A.π
B.34π
C.π2
D.π4
解析：设圆柱底面的圆周的半径为 r，r＝
则圆柱的体积为
π
232×1＝34π.故选
B.
12－122＝ 23，
答案：B
第十三页，共三十三页。
(2)(2018 年天津(tiān jīn))如图 8-2-2，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱柱 A1-BB1D1D的体积为________.
第二十一页，共三十三页。
令 n′(x)＝0,4x3－ x43＝0，解得 x＝4 3. 当 n′(x)≥0 时，x≤4 3；当 n′(x)≤0 时，x≥4 3，则当 x＝4 3时，n(x)最大.故 Vmax＝ 1125×48× 5－4 cm 3＝4 15 cm 3. 答案：4 15 cm 3
第二十二页，共三十三页。
答案(dá àn)：8π
第十六页，共三十三页。
(4)(2018 年江苏)如图 8-2-3，正方体的棱长为 2，以其所有
面的中心(zhōngxīn)为顶点的多面体的体积为________.
图 8-2-3
解析：由图可知，该多面体为两个全等的正四棱锥的组合 体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于 2，所以该多 面体的体积为 2×13×( 2)2×1＝43.
考点(kǎo di立ǎn)体3几何中的折叠(zhédié)与展开
例 3：(2017 年新课标Ⅰ)如图 8-2-4，圆形纸片的圆心为 O，
半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E， F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，
面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ()
A.π
B.34π
C.π2
D.π4
解析：设圆柱底面的圆周的半径为 r，r＝
则圆柱的体积为
π
232×1＝34π.故选
B.
12－122＝ 23，
答案：B
第十三页，共三十三页。
(2)(2018 年天津(tiān jīn))如图 8-2-2，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱柱 A1-BB1D1D的体积为________.
第二十一页，共三十三页。
令 n′(x)＝0,4x3－ x43＝0，解得 x＝4 3. 当 n′(x)≥0 时，x≤4 3；当 n′(x)≤0 时，x≥4 3，则当 x＝4 3时，n(x)最大.故 Vmax＝ 1125×48× 5－4 cm 3＝4 15 cm 3. 答案：4 15 cm 3
第二十二页，共三十三页。
答案(dá àn)：8π
第十六页，共三十三页。
(4)(2018 年江苏)如图 8-2-3，正方体的棱长为 2，以其所有
面的中心(zhōngxīn)为顶点的多面体的体积为________.
图 8-2-3
解析：由图可知，该多面体为两个全等的正四棱锥的组合 体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于 2，所以该多 面体的体积为 2×13×( 2)2×1＝43.
空间几何体的表面积与体积PPT教学课件
单的几何体，研究空间几何体的表面积
和体积，应以柱、锥、台、球的表面积
和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、
球2的020/12表/12 面积和体积呢？
2
2020/12/12
3
知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的， 体积是相对于空间几何体而言的.你知道 面积和体积的含义吗？
2020/12/12
21
2020/12/12
22
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？
思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
V柱 R3
V锥
1
3
R3
2020/12/12
23
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长 为l，那么圆柱的表面积公式是什么？
S2r(rl)
2020/12/12
6
思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长 为l，那么圆锥的表面积公式是什么？
Sr(rl)
2020/12/12
7
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r，母线长为l，那么圆台的表面 积公式是什么？
17
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？
V≈2956（mm3） =2.956（cm3）
2021高考数学一轮复习统考第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积课件北师大版
[即时训练] 1.(2019·山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π C．28π
B．24π D．32π
答案
解析 由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为 圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆 锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S＝π×32 ＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故选C.
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体 (棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋ S上＋S下
球
S＝ 07 ___4_π_r_2______
体积
V＝ 05 __S_h___ 1
V＝ 06 3Sh V＝13(S上＋S下＋
S上S下)h V＝ 08 43πr3
1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝ 2a.
解析
2．(2019·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正 方形的边长为1，则该几何体的表面积为( )
A．8＋4 2＋2 5 C．6＋2 2＋2 5
B．6＋4 2＋4 5 D．8＋2 2＋2 5
答案
解析 由三视图可知，该几何体为放在正方体内的 四棱锥E－ABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥 底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角 形，面积分别为2 2 ，2，左右两个侧面为直角三角形， 面积都为 5，可得这个几何体的表面积为6＋2 2＋2 5，故选C.
2020版高考数学第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积课件
1 法二(估值法)： 由题意， 知2V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又 V 圆柱＝π×32× 10 ＝90π，所以 45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有 63π 符合．
【答案】
(1)C
(2)B
角度二
求组合体的体积
(2019· 福州市质量检测)如图，网格纸上小正方形的边 长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积 为( )
【解析】
)
B．18 3 D．54 3
(1)设圆柱的底面半径为 r，则 r ＝1
2 2
12 3 －2 ＝4，所
3 3π 以，圆柱的体积 V＝4π×1＝ 4 ，故选 B.
1 2 (2)设等边三角形 ABC 的边长为 x，则2x sin 60°＝9 3，得 x 6 ＝6.设△ABC 的外接圆半径为 r， 则 2r＝ ， 解得 r＝2 3， sin 60° 所以球心到△ABC 所在平面的距离 d＝ 42－（2 3）2＝2，则 点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1＝d＋4＝6， 所以三棱锥 DABC 1 1 体积的最大值 Vmax＝3S△ABC×6＝3×9 3×6＝18 3.
(2017· 高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为 3，2，1， 其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为________．
解析：依题意得，长方体的体对角线长为 32＋22＋12＝ 14， 14 记长方体的外接球的半径为 R，则有 2R＝ 14，R＝ 2 ，因此 球 O 的表面积等于 4πR2＝14π. 答案：14π
【答案】
A
求空间几何体的体积的常用方法
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
A．16 C．12
简单几何体的表面积与体积_课件
总结
旋转体的面积和体积公 式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
V
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，x、x分别表示圆台上、 下底面半径，R表示半径
棱柱体积
长方体体积： 正方体体积：
底面积 高
棱柱体积
（其中S为底面面积，h为柱体的高 ）
棱锥体积 （底面积S，高h）
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的 每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离。
棱锥体积 （底面积S，高h）
棱锥的体积公式 ：
（其中S为底面面积，h为高 ）
类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如 图把球O的表而分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体 就被分割成n个“小锥体”。 当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面 就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球 半径R.设 O-ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是
圆台的侧面展开图是扇 环
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系 ？
r’ ＝r
上底扩大
r’ ＝0
上底缩小
圆柱、圆锥和圆台的表面 积
理解并掌握圆柱、圆锥和圆台的表面积公 式 能够根据公式进行求 值
圆柱体积
h
圆锥体积
h
（其中S为底面面积，h为高 ）
圆台体积
上下底面积分别是s',s,高是h， 则
某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样 的四面体得到的，如果被酸正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多 少？
求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面
积. 提示：侧面均为矩
高三数学复习课件空间几何体的表面积与体积.ppt
优秀课件
30
在△ABC 中，令 AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴△ABC 为直角三角形．
根据直角三角形内切圆的性质可得 7－2R＝5，
∴R＝1.
∴V 圆柱＝πR2·h＝6π(cm3)．
而三棱柱的体积为
V
三
棱
柱
＝
1 2
×3×4×6
＝
36(cm3)．
∴削去部分的体积为 36－6π＝6(6－π)(cm3)．
所以四棱锥的体积 V＝31×(2＋
3)×
3＝3＋32
优秀课件
35
【规律小结】 几何体的展开图
优秀课件
36
优秀课件
37
方法感悟
方法技巧 1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、 棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特 点与平面几何知识来解决．(如例1) 2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的 已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的 技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)， 或化离散为集中，给解题提供便利．(如例2)
即削去部分体积的最小值为 6(6－π)cm3.
优秀课件
31
几何体的折叠与展开
几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得 的，利用了空间问题平面化的思想．把一个平面图 形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间 想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是 高考的一个热点．
优秀课件
32
例3 (1)有一根长为3π cm、底面半径为1 cm的圆 柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁 丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝 的最短长度为多少？ (2)把长、宽分别为4π cm和3π cm的矩形卷成圆柱， 如何卷能使体积最大？
超实用新高考文科数学专题复习：专题八 立体几何 第二讲 空间几何体的表面积与体积 (核心课件)
A. 1 2π 2π
C. 1 2π π
B. 1 4π 4π
D. 1 4π 2π
[解析]
设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 h 2πr ,
所以表面积与侧面积的比值为 2πr 2 2πr2 2πr 2
1 2π .故选 2π
A.
[典型例题]
3.已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是 4π，
考前保持必胜的信心是非常必要的，走进考场要信心百倍，即使遇到困难也
不要慌张，因为大家是平等的。另外，进入考场适度紧张是正常的也是必要的 ，因为它有利于肾上腺素的产生，千万不能因此而引起不必要的慌张。只要大 家精心准备，充满自信，沉着应战，就一定能笑到最后。
Thank you！
所以球 O 的表面积 S 4πR2 64π .故选 A.
做题时要善于总结。不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有 所收获，才能举一反三。
一、第一轮复习，即基础复习阶段
这个阶段的复习是整个高考复习中最关键的环节，一般从8月份到第二年的 三月份，历时8个月，这一阶段的复习效果直接影响整个高考的成败，因此同学 们应该高度重视，在第一轮复习中我们必须严格按照《复习大纲》的要求，把 《大纲》中所有的考点逐个进行突破，全面落实，形成完整的知识体系。这就 需要考生要对课本中的基本概念，基本公式，基本方法重点掌握，在复习中应 淡化特殊技巧的训练，重视数学思想和方法的作用。
难点：
棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积. 球体的表面积与体积.
核心知识整合
考点1：空间几何体的表面积与体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. 一般地，表面积=侧面积+底面积.
多面体
2 第2讲 空间几何体的表面积与体积
栏目 导引
第八章 立体几何
解析：由题易得长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 6×6×4＝ 144(cm3)，四边形 EFGH 为平行四边形， 如图所示，连接 GE，HF，易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1 面积的一半，即12×6×4 ＝12(cm2)，所以 V 四棱锥 O-EFGH＝13×3×12＝12(cm3)，所以该模 型的体积为 144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质 量为 132×0.9＝118.8(g)． 答案：118.8
3 A. 12
3 B. 4
C.
6 12
D.
6 4
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第八章 立体几何
【解析】 三棱锥 B1ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1 的体积， 三棱锥 A-B1BC1 的高为 23，底面积为12，故其体积为13×12× 23＝
3 12 . 【答案】 A
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第八章 立体几何
(1)处理体积问题的思路 ①“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转 换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并 易求解长度的高； ②“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何 体，便于计算； ③“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个 三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱， 这些都是拼补的方法．
A.17π C.20π
B.18π D.28π
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第八章 立体几何
(2)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相垂直的三 个平面)切掉18球所剩的组合体，
其表面积是球面面积的78和三个14圆面积. 设球的半径为 R，则78×43πR3＝283π，R＝2. 故几何体的表面积 S＝78×4πR2＋34πR2＝17π.
第八章 立体几何
解析：由题易得长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 6×6×4＝ 144(cm3)，四边形 EFGH 为平行四边形， 如图所示，连接 GE，HF，易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1 面积的一半，即12×6×4 ＝12(cm2)，所以 V 四棱锥 O-EFGH＝13×3×12＝12(cm3)，所以该模 型的体积为 144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质 量为 132×0.9＝118.8(g)． 答案：118.8
3 A. 12
3 B. 4
C.
6 12
D.
6 4
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第八章 立体几何
【解析】 三棱锥 B1ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1 的体积， 三棱锥 A-B1BC1 的高为 23，底面积为12，故其体积为13×12× 23＝
3 12 . 【答案】 A
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第八章 立体几何
(1)处理体积问题的思路 ①“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转 换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并 易求解长度的高； ②“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何 体，便于计算； ③“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个 三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱， 这些都是拼补的方法．
A.17π C.20π
B.18π D.28π
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第八章 立体几何
(2)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相垂直的三 个平面)切掉18球所剩的组合体，
其表面积是球面面积的78和三个14圆面积. 设球的半径为 R，则78×43πR3＝283π，R＝2. 故几何体的表面积 S＝78×4πR2＋34πR2＝17π.
第2节空间几何体的表面积和体积.ppt
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40
优秀课件
41
1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来
的
()
A.2倍
B.2 倍
C. 倍
D. 倍
优秀课件
42
解析：设球原来半径为r，则S＝4πr2，V＝ πr3，又 设扩大后半径为R，则4πR2＝8πr2，∴R＝ r， ∴V扩＝ πR3＝ π( r)3，∴ ＝2 . 答案：B
C.2∶1
D.3∶2
优秀课件
26
[思路点拨]
优秀课件
27
[课堂笔记] ∵G为PB中点， ∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC ＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC. 又多边形ABCDEF是正六边形，
∴S△ABC＝ S△ACD， ∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC， ∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1. [答案] C
答案：27π
优秀课件
12
5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积
是
.
优秀课件
13
解析：此几何体为一圆锥与圆柱的组合体. 圆柱底面半径为r＝a，高为h1＝2a， 圆锥底面半径为r＝a，高为h2＝a. 故组合体体积为V＝πr2h1＋ πr2h2＝2πa3＋ πa3 ＝. 答案：
优秀课件
14
6
[思考探究] 如何求不规则几何体的体积？
提示：对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法， 转化成已知体积公式的几何体进行解决.
优秀课件
7
1.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半
径是
()
A.
B.3
C.4
D.5
解析：设球半径为R，则 πR3＝4πR2，∴R＝3.
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第八章
立体几何
变式训练
1．若设长方体的长、宽、高分别为2a、
a、a，其顶点都在一个球面上，则该球
的表面积为( )
A．3πa2
C．12πa2
B．6πa2
D．24πa2
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第八章
立体几何
解析：选 B.由于长方体的长、宽、高分 别为 2a、a、a， 则长方体的体对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a. 又长方体外接球的直径 2R 等于长方体 的体对角线长， ∴2R＝ 6a. ∴S 球＝4πR2＝6πa2.
∴R＝3.
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第八章
立体几何
2． (教材习题改编)表面积为 3π 的圆锥， 它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥 的底面直径为( A．1 15 C. 5
答案：B
) B．2 2 15 D. 5
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第八章
立体几何
3．(2010· 高考福建卷)若一个底面是正三 角形的三棱柱的正视图如图所示，则其 侧面积等于( A. 3 B．2 C．2 3 D．6
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第八章
立体几何
思考探究 对于不规则的几何体应如何求其体积？ 提示：对于求一些不规则几何体的体 积，常用割补的方法，转化为已知体 积公式的几何体进行解决．
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第八章
立体几何
课前热身
1． 已知某球的体积大小等于其表面积大 小，则此球的半径是( A. 3 C．4 ) B．3
D．5 4 3 解析:选 B.设球半径为 R,则 πR ＝4πR2, 3
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第八章
立体几何
【名师点评】
求立体图形表面上两
点的最短距离问题,是立体几何中的一 个重要题型.这类题目的特点是:立体 图形的性质和数量关系分散在立体图 形的几个平面上或旋转体的侧面上.
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第八章
立体几何
为了便于发现它们图形间性质与数量上 的相互关系，必须将图中的某些平面旋 转到同一平面上，或者将曲面展开为平 面，使问题得到解决．其基本步骤是： 展开(有时全部展开，有时部分展开)为 平面图形，找出表示最短距离的线段，
【解析】
由题意知，该三棱柱为正
三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均
为a.如图，
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第八章
立体几何
设 O、O1 分别为下、上底面中心，且球 3 心 O2 为 O1O 的中点，又 AD＝ a，AO 2 3 a ＝ a，OO2＝ ，设球的半径为 R， 3 2 1 2 1 2 7 2 2 2 则 R ＝AO2＝ a ＋ a ＝ a . 3 4 12 7 2 7 2 ∴S 球＝4πR ＝4π× a ＝ πa . 12 3
的计算，应以公式为基础，充分利用
几何体中的直角三角形、直角梯形求
有关的几何元素．
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第八章
立体几何
失误防范 1．将几何体展开为平面图形时，要注 意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪 开，旋转体要沿一条母线剪开．
栏目 导引
第八章
立体几何
2．与球有关的组合体问题，一种是 内切，一种是外接．解题时要认真分 析图形，明确切点和接点的位置，确
点”作出截面图．
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第八章
立体几何
考向瞭望把脉高考
命题预测
从近几年的高考试题来看，空间几何
体的表面积、体积等问题是高考的热
点，题型既有选择题、填空题，又有
解答题，难度为中、低档．
栏目 导引
第八章
立体几何
客观题主要考查由三视图得出几何体 的直观图，求其表面积、体积或由几 何体的表面积、体积得出某些量；主 观题考查较全面，考查线、面位置关 系，及表面积、体积公式，无论是何 种题型都考查学生的空间想象能力．
定有关元素间的数量关系，并作出合
适的截面图，如球内切于正方体，切
点为正方体各个面的中心，正方体的
棱长等于球的直径；
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第八章
立体几何
球外接于正方体，正方体的顶点均 在球面上，正方体的体对角线长等 于球的直径．球与旋转体的组合，
通常作它们的轴截面进行解题，球
与多面体的组合，通过多面体的一
条侧棱和球心，或“切点”、“接
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第八章
立体几何
例2 (2010· 高考课标全国卷)设三棱柱
的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积 为( A．πa
2
) 7 2 B. πa 3 D．5πa2
11 2 C. πa 3
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第八章
立体几何
【思路分析】
球心为几何体的中心,
构造直角三角形来解决．
三视图如图所示，则这个几何体的体积 为________．
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第八章
立体几何
【思路分析】
由三视图知,该几何
体的上面是一正四棱锥,下面是一正 四棱柱.
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第八章
立体几何
【解析】 该几何体是上面是底面边长 为 2 的正四棱锥， 下面是底面边长为 1、 高为 2 的正四棱柱的组合体，其体积为 1 10 2 V＝1×1×2＋ ×2 ×1＝ . 3 3 10 【答案】 3
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第八章
立体几何
【答案】
C 本题考查锥体的体积
【名师点评】
公式，在求解中，利用导数求其最值,
考生在求解中易忽略高h的范围，这与
学生平时考虑不严谨有关，试想该四 棱锥体积有最小值吗？
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第八章
立体几何
知能演练轻松闯关
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第八章
立体几何
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第八章
立体几何
【解】
把圆柱侧面及缠绕其上的铁
丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),
由题意知BC＝3π cm,
AB＝2(2π×1)＝4π cm,
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第八章
立体几何
点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置, 故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度. AC＝ AB2＋BC2＝5π cm， 故铁丝的最短长度为 5π cm.
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第八章
立体几何
方法感悟
方法技巧 当给出的几何体比较复杂,有关的计算公 式无法运用,或者虽然几何体并不复杂, 但条件中的已知元素彼此离散时,我们可 采用“割”、“补”的技巧,化复杂几何 体为简单几何体(柱、锥、台),或化离散
为集中，给解题提供便利.
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第八章
立体几何
(1)几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按 照结论的要求，分割成若干个易求
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第八章
立体几何
【名师点评】
对常见简单几何体及
其组合体的三视图，特别是正方体、
长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、
球等几何体的三视图分别是什么图形，
数量关系有什么特点等都应该熟练掌
握．
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第八章
立体几何
球的表面积和体积
(1)求球的表面积或体积，关键在于求 半径． (2)画出轮廓图，画出相关的截面圆， 把数量关系集中到直角三角形中． (3)若球的半径为R，截面圆半径为r， 球心到截面距离为d，则R2＝r2＋d2.
再计算此线段的长．
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第八章
立体几何
变式训练 2．把长、宽分别为4π cm、3π cm的 矩形卷成圆柱，如何卷能使圆柱的体
积最大？
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第八章
立体几何
解：以 3π cm 为高时， 4π 2 圆柱的体积为 π( ) ·3π＝12π2(cm3)． 2π 以 4π cm 为高时， 圆柱的体积为 3π 2 π( ) ·4π＝9π2(cm3)， 2π 所以，以 4π cm 为底面周长，以 3π cm 为高时，卷成的圆柱体积最大．
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第八章
立体几何
【解析】
如图所示，设正四棱锥 S－
ABCD 的高 SO＝h. 在 Rt△SOA 中，SA＝2 3， ∴OA＝ 12－h2. ∴AB＝ 2· 12－h2. ∴VS－ABCD＝V(h) 1 ＝ · 2(12－h2)· h 3
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第八章
立体几何
1 ＝ (－2h3＋24h)(0<h<2 3)． 3 1 令 V′(h)＝ (24－6h2)>0，得 0<h<2. 3 故当 0<h<2 时，V(h)单调递增； 当 2<h<2 3时，V(h)单调递减． ∴h＝2 时 V(h)取最大值．
答案：(5＋ 2)πa2
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第八章
立体几何
考点探究讲练互动
考点突破
三视图与几何体 的体积与表面积
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第八章
立体几何
以三视图为载体考查几何体的表面积，
关键是能够对给出的三视图进行恰当
的分析，从三视图中发现几何体中各
元素间的位置关系及数量关系．
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第八章
立体几何
例1 (2010· 高考天津卷)一个几何体的
底面直径，D是圆锥底面的圆心．
用同样的方法可得以下结论：
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第八章
立体几何
(1)长方体的8个顶点在同一个球面上,
则长方体的体对角线是球的直径; 球与正方体的六个面均相切,则球的直 径等于正方体的棱长; 球与正方体的12条棱均相切,则球的直
径是正方体的面对角线.
(2)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球 的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面 圆的直径.
2
【答案】
B
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立体几何
【名师点评】
解决与球有关的组合体
问题,可通过画过球心的截面来分析.例 如,底面半径为r,高为h的圆锥内部有一 球O,且球与圆锥的底面和侧面均相切.
第八章
立体几何
变式训练
1．若设长方体的长、宽、高分别为2a、
a、a，其顶点都在一个球面上，则该球
的表面积为( )
A．3πa2
C．12πa2
B．6πa2
D．24πa2
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第八章
立体几何
解析：选 B.由于长方体的长、宽、高分 别为 2a、a、a， 则长方体的体对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a. 又长方体外接球的直径 2R 等于长方体 的体对角线长， ∴2R＝ 6a. ∴S 球＝4πR2＝6πa2.
∴R＝3.
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第八章
立体几何
2． (教材习题改编)表面积为 3π 的圆锥， 它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥 的底面直径为( A．1 15 C. 5
答案：B
) B．2 2 15 D. 5
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第八章
立体几何
3．(2010· 高考福建卷)若一个底面是正三 角形的三棱柱的正视图如图所示，则其 侧面积等于( A. 3 B．2 C．2 3 D．6
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第八章
立体几何
思考探究 对于不规则的几何体应如何求其体积？ 提示：对于求一些不规则几何体的体 积，常用割补的方法，转化为已知体 积公式的几何体进行解决．
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第八章
立体几何
课前热身
1． 已知某球的体积大小等于其表面积大 小，则此球的半径是( A. 3 C．4 ) B．3
D．5 4 3 解析:选 B.设球半径为 R,则 πR ＝4πR2, 3
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第八章
立体几何
【名师点评】
求立体图形表面上两
点的最短距离问题,是立体几何中的一 个重要题型.这类题目的特点是:立体 图形的性质和数量关系分散在立体图 形的几个平面上或旋转体的侧面上.
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第八章
立体几何
为了便于发现它们图形间性质与数量上 的相互关系，必须将图中的某些平面旋 转到同一平面上，或者将曲面展开为平 面，使问题得到解决．其基本步骤是： 展开(有时全部展开，有时部分展开)为 平面图形，找出表示最短距离的线段，
【解析】
由题意知，该三棱柱为正
三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均
为a.如图，
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第八章
立体几何
设 O、O1 分别为下、上底面中心，且球 3 心 O2 为 O1O 的中点，又 AD＝ a，AO 2 3 a ＝ a，OO2＝ ，设球的半径为 R， 3 2 1 2 1 2 7 2 2 2 则 R ＝AO2＝ a ＋ a ＝ a . 3 4 12 7 2 7 2 ∴S 球＝4πR ＝4π× a ＝ πa . 12 3
的计算，应以公式为基础，充分利用
几何体中的直角三角形、直角梯形求
有关的几何元素．
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第八章
立体几何
失误防范 1．将几何体展开为平面图形时，要注 意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪 开，旋转体要沿一条母线剪开．
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第八章
立体几何
2．与球有关的组合体问题，一种是 内切，一种是外接．解题时要认真分 析图形，明确切点和接点的位置，确
点”作出截面图．
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第八章
立体几何
考向瞭望把脉高考
命题预测
从近几年的高考试题来看，空间几何
体的表面积、体积等问题是高考的热
点，题型既有选择题、填空题，又有
解答题，难度为中、低档．
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第八章
立体几何
客观题主要考查由三视图得出几何体 的直观图，求其表面积、体积或由几 何体的表面积、体积得出某些量；主 观题考查较全面，考查线、面位置关 系，及表面积、体积公式，无论是何 种题型都考查学生的空间想象能力．
定有关元素间的数量关系，并作出合
适的截面图，如球内切于正方体，切
点为正方体各个面的中心，正方体的
棱长等于球的直径；
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球外接于正方体，正方体的顶点均 在球面上，正方体的体对角线长等 于球的直径．球与旋转体的组合，
通常作它们的轴截面进行解题，球
与多面体的组合，通过多面体的一
条侧棱和球心，或“切点”、“接
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例2 (2010· 高考课标全国卷)设三棱柱
的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积 为( A．πa
2
) 7 2 B. πa 3 D．5πa2
11 2 C. πa 3
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【思路分析】
球心为几何体的中心,
构造直角三角形来解决．
三视图如图所示，则这个几何体的体积 为________．
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【思路分析】
由三视图知,该几何
体的上面是一正四棱锥,下面是一正 四棱柱.
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【解析】 该几何体是上面是底面边长 为 2 的正四棱锥， 下面是底面边长为 1、 高为 2 的正四棱柱的组合体，其体积为 1 10 2 V＝1×1×2＋ ×2 ×1＝ . 3 3 10 【答案】 3
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【答案】
C 本题考查锥体的体积
【名师点评】
公式，在求解中，利用导数求其最值,
考生在求解中易忽略高h的范围，这与
学生平时考虑不严谨有关，试想该四 棱锥体积有最小值吗？
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知能演练轻松闯关
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本部分内容讲解结束
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【解】
把圆柱侧面及缠绕其上的铁
丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),
由题意知BC＝3π cm,
AB＝2(2π×1)＝4π cm,
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点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置, 故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度. AC＝ AB2＋BC2＝5π cm， 故铁丝的最短长度为 5π cm.
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方法感悟
方法技巧 当给出的几何体比较复杂,有关的计算公 式无法运用,或者虽然几何体并不复杂, 但条件中的已知元素彼此离散时,我们可 采用“割”、“补”的技巧,化复杂几何 体为简单几何体(柱、锥、台),或化离散
为集中，给解题提供便利.
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(1)几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按 照结论的要求，分割成若干个易求
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【名师点评】
对常见简单几何体及
其组合体的三视图，特别是正方体、
长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、
球等几何体的三视图分别是什么图形，
数量关系有什么特点等都应该熟练掌
握．
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球的表面积和体积
(1)求球的表面积或体积，关键在于求 半径． (2)画出轮廓图，画出相关的截面圆， 把数量关系集中到直角三角形中． (3)若球的半径为R，截面圆半径为r， 球心到截面距离为d，则R2＝r2＋d2.
再计算此线段的长．
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变式训练 2．把长、宽分别为4π cm、3π cm的 矩形卷成圆柱，如何卷能使圆柱的体
积最大？
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解：以 3π cm 为高时， 4π 2 圆柱的体积为 π( ) ·3π＝12π2(cm3)． 2π 以 4π cm 为高时， 圆柱的体积为 3π 2 π( ) ·4π＝9π2(cm3)， 2π 所以，以 4π cm 为底面周长，以 3π cm 为高时，卷成的圆柱体积最大．
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【解析】
如图所示，设正四棱锥 S－
ABCD 的高 SO＝h. 在 Rt△SOA 中，SA＝2 3， ∴OA＝ 12－h2. ∴AB＝ 2· 12－h2. ∴VS－ABCD＝V(h) 1 ＝ · 2(12－h2)· h 3
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1 ＝ (－2h3＋24h)(0<h<2 3)． 3 1 令 V′(h)＝ (24－6h2)>0，得 0<h<2. 3 故当 0<h<2 时，V(h)单调递增； 当 2<h<2 3时，V(h)单调递减． ∴h＝2 时 V(h)取最大值．
答案：(5＋ 2)πa2
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考点突破
三视图与几何体 的体积与表面积
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以三视图为载体考查几何体的表面积，
关键是能够对给出的三视图进行恰当
的分析，从三视图中发现几何体中各
元素间的位置关系及数量关系．
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立体几何
例1 (2010· 高考天津卷)一个几何体的
底面直径，D是圆锥底面的圆心．
用同样的方法可得以下结论：
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立体几何
(1)长方体的8个顶点在同一个球面上,
则长方体的体对角线是球的直径; 球与正方体的六个面均相切,则球的直 径等于正方体的棱长; 球与正方体的12条棱均相切,则球的直
径是正方体的面对角线.
(2)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球 的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面 圆的直径.
2
【答案】
B
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立体几何
【名师点评】
解决与球有关的组合体
问题,可通过画过球心的截面来分析.例 如,底面半径为r,高为h的圆锥内部有一 球O,且球与圆锥的底面和侧面均相切.