排队论公式1
排队论公式
M/D/1/N/∞
M/ /1/∞/m
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，
M/M/1/∞/∞
标准模型
M/M/1/N/∞
系统容量有限模型
N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m
顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
系统空闲的概率
ρ
系统有n个顾客的概率（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的概率
1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v) :方差
ρ：系统忙着的概率，
（（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
ρ：系统忙着的概率，
ρ：系统忙着的概率，
排队论公式一
排队论公式二
排队论公式
(10.75)
九、顾客源有限(m)的M / M / c模型( Palm模型) (1)系统的稳态概率Ρ n为 1
。
2。
⎡ c −1 ⎛ m ⎞ ⎛ λ ⎞ n m ⎛ m ⎞ k ! ⎛ λ ⎞ k ⎤ Ρ0 = ⎢∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ∑ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ;(10.76) k −c ⎜ μ k =0 ⎝ k ⎠ ⎝ μ ⎠ k = c ⎝ k ⎠ c !c ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ n ⎧⎛ m ⎞ ⎛ λ ⎞ 0 ≤ n ≤ c, ⎪⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ Ρ 0, ⎪⎝ n ⎠ ⎝ μ ⎠ (10.77) Ρn = ⎨ n ⎪ ⎛ m ⎞ n! ⎛ λ ⎞ c ≤ n ≤ m. ⎪ ⎜ n ⎟ c !c n −c ⎜ μ ⎟ Ρ 0, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ Lq = Ls = Lq + Ws =
λe = Ls − ρ (1 − Ρ N ); μ
(10.64)
3。 顾客的平均逗留时间Ws为 Ws =
λe
Ls
= Ls • λ (1 − Ρ N );
(10.65)
顾客的平均等待时间Wq为 4。 Wq = Ws − 1
μ
= λ (1 − Ρ N ) Ls −
1
μ
;
(10.66)
服务台的利用率为 5。 r= c λ = (1 − Ρ N ) = ρ c (1 − Ρ N ). c cμ (10.67)
N −1 n
⎧ N +1 , ρ = 1, ⎪ ⎪ 2λ Ws = ⎨ (10.29) N +1 ⎪ 1 − Nρ , ρ ≠ 1; N ⎪ ⎩ μ − λ λ (1 − ρ )
4o 顾客在系统中的等待时间分布及平均等待时间Wq , 即 Fq ( w) = 1 − ∑
排队论公式
1排队论公式构成排队模型的三个主要特征指标(1) 相继顾客到达间隔时间的分布；(2) 服务时间的分布；(3) 服务台的个数。
根据这三个特征对排队模型进行分类的Kendall 记号：X/Y/ZX ：表示相继到达间隔时间的分布；Y ：表示服务时间的分布；Z ：并列的服务台的数目。
表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布符号M——负指数分布(M 是Markov 的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即Markov 性) D——确定型(deterministic)E k ——k 阶爱尔朗(erlang)分布G—— 一般(general)服务时间的分布Kendall 符号的扩充X/Y/Z/A/B/C其中前三项的意义不变，后三项的意义分别是：A ：系统容量限制N ，或称等待空间容量。
B ：顾客源数目m 。
分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。
C ：服务规则，如先到先服务(FCFS)，后到后服务(LCFS)，优先权服务(PR)等。
（例如某排队问题为M/M/1/∞/∞/FCFS ，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(即泊松流)；服务时间为负指数分布；有1个服务台，系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。
）一、M/M/1/∞/∞ 设1λρμ=<， 则： 01P ρ=-；s L λμλ=-，q L ρλμλ=-；1s W μλ=-，q W ρμλ=- 故而：s s L W λ=，q q L W λ=；1s q W W μ=+，s q L L λμ=+ 二、M/M/1/N/∞（系统容量有限） 设λρμ=，则：2 12011,111,11N P P N P ρρρρ+⎧====⎪+⎪=⎨-⎪≠-⎪⎩； 101,12(1),111N s n N n N N L nP N ρρρρρρ+=+⎧=⎪⎪==⎨+⎪-≠--⎪⎩∑； 01(1)(1)Nq n s n L n P L P ==-=--∑；有效到达率0(1)e P λμ=-；ss e L W λ=，1q s W W μ=- 三、M/M/1/∞/m （顾客源有限）001!()!i m i P m m i λμ==⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；0(1)s L m P μλ=--，有效到达率0()(1)e s m L P λλμ=-=- 0(1)q s L L P =--；1=s s e e m L W λλλ=-，1q s W W μ=-四、M/M/c/∞/∞设1c λρμ=<，则： 0101111!!1k c c k P k c λλμρμ-==⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑02()!(1)c q c L P c ρρρ=-，s q L L λμ=+； s s L W λ=，q q L W λ=3五、一般服务时间M/G/1T 表示服务时间，当T 服从负指数分布时，1()E T μ=，而在M/G/1模型中，T 的分布是一般的。
运筹学 排队论(1)
运筹学排队论1. 简介排队论是运筹学中重要的一个分支，它研究了在人员、物品或信息流动过程中产生的排队现象，并通过建立数学模型和分析这些模型来探讨和优化系统中的排队行为。
排队论在各个领域都有广泛的应用，如交通运输、电信网络、生产制造等。
2. 排队模型排队论中常用的模型包括M/M/1模型、M/M/s模型、M/G/1模型等。
其中，M表示到达过程的分布，而G表示服务时间的分布。
而数字1或s则表示系统中的服务通道数。
2.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的一个模型，它假设到达过程和服务时间都服从指数分布。
该模型中只有一个服务通道。
2.2 M/M/s模型M/M/s模型是M/M/1模型的扩展，它假设到达过程和服务时间仍然服从指数分布，但有s个服务通道。
M/M/s模型适用于有多个并行服务通道的排队系统。
2.3 M/G/1模型M/G/1模型假设到达过程服从泊松分布，而服务时间服从一般分布。
该模型在实际应用中更为常见，因为服务时间往往不服从指数分布。
3. 排队论的性能度量排队论的性能度量是对排队模型进行定量分析和评估的重要手段，常见的性能度量指标包括平均等待时间、平均逗留时间、系统繁忙率等。
3.1 平均等待时间平均等待时间是指在排队系统中，每个顾客平均等待的时间长度。
通过对排队模型的分析和计算，可以得到平均等待时间的具体数值。
3.2 平均逗留时间平均逗留时间是指每个顾客在排队系统中逗留的平均时间长度。
它等于平均等待时间加上服务时间。
3.3 系统繁忙率系统繁忙率是指服务通道在单位时间内处于工作状态的比例。
它可以用来评估系统是否能够满足顾客的需求。
4. 排队论的应用4.1 交通运输排队论在交通运输领域的应用非常广泛。
例如，交通信号灯的控制就可以通过排队论进行优化，以减少车辆的等待时间和交通拥堵。
4.2 电信网络在电信网络中，排队论被用于研究数据包的传输和路由机制。
通过对排队论模型的分析，可以提高网络的传输效率和质量。
排队论公式
M/M/1/ g /m顾客源有限模型m=^统只有m+1种状态M/M/C/ g /m多服务台模型 单队，并列C 个服务台入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户 服务时间的分钟数排队论公式一系统空闲的概率 po = 1系统有n 个顾客的概率 （顾客损失率） P 11== (i- P )P系统至少有i 个顾客的 概率 1-()顾客的有效到达率 系统（每小时）顾客平 均数 （每小时）等待服务的 平均顾客数 （每位）顾客在店内的 平均逗留时间 （每位）顾客平均修理 时间 1 - P 1 - Pe =上L 卩押〉P NPpJ(N +3 — 731 - P 1 - PL W= —p ()=1mV m!iZ J (E - i)! 口 1 = 0% =Z 1 X k 11—徨C! 1 - p[]]!P” (m n)! 口 P(c P )C PXkp =p =--------U|p:系统忙着的概率，C Pp:系统忙着的概率,M/M/1// g标准模型M/M/1/N/ g系统容量有限模型”=队伍容量+1入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数M/G/1/ /系统（每小时）顾客平均数p + k D(v) 耳=P* 2〔1 - P )排队论公式二M/D/1/N/ a M/ /1/ a /m（每小时）等待服务的平均顾客数（每位）顾客在店内的平均逗留时间(k+ 1)P2y p +ik(i^7)f, (k+l)p2q £2k(i - P)（每位）顾客平均修理时间入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数E（v）:服务时间v的期望D（v）:方差P：系统忙着的概率, 八迸门瑁讪q qq 丄q n入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数1J1.（V）-—'U:服务时间V的期望1D(v) 方差P：系统忙着的概率,。
排队论(QueuingTheory)
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)的解。 pn 稳态的物理意义见右图，系
统的稳态一般很快都能达到， 但实际中达不到稳态的现象 也存在。值得注意的是求稳 态概率Pn并不一定求t→∞ 的极限,而只需求Pn’(t)=0 即可。
Hale Waihona Puke P (t , t t ) o(t )
n2 n
P0+P1+P≥2=1
由此知，在(t，t+Δ t)区间内没有顾客到达的概率为：
P 0 (t , t t ) 1 t o(t )
令t1=0,t2=t,则P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)
过渡状态
稳定状态
t
14
图3 排队系统状态变化示意图
2019/2/7 管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
排队论主要知识点
排队系统的组成与特征 排队系统的模型分类 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布 稳态概率Pn的计算 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) 系统容量有限制的模型 [M/M/1]:[N/∞/FCFS] 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS] 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
10
(3) 逗留时间，指一个顾客在系统中的停留时 间，它的期望值记作Ws； (4) 等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的 时间，它的期望值记作Wq； 等待时间 服务时间
逗留时间
=
+
2019/2/7
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
排队论公式
P0 1
s 1 n s P0 n 0 n ! s !(1 s )
1 ， 1 K 1 P0 1 1 K 1， 1
Pn n P0，n 1, 2,..., K
s 1 n s (1 s K s 1 ) 1 n! s !(1 ) ， s 1 s P0 n 0 1 s 1 n s ( K s 1) ， s 1 n 0 n! s !
n P ， 0 n s 0 Pn n! n n s P0， s n K s !s
系统有 n 个 顾客的概 率 （顾客的 损失率）
Pn n P0 (1 ) n
( 1)
n P ，n 1,2,3...s 0 Pn n! n n s P0，n s s !s
n 1Βιβλιοθήκη K p0 s s s !(1 s )2 1 s K s 1 (1 s )( K s 1) s K s ， Lq p0 s ( K s )( K s 1)， 1 s 2s!
数 =正忙服务台的平均数）
n ，n 1, 2,..., K
系统中最多只能容下 K 个顾客 （等待位置只有 K-1 个）
， ，nn=0,1,2,...,K-1 0 K =
n ， 0n<s s ， sn K
s (1 pK ) ；
损失系统中：服务台利用率
排队论公式
M/M/1/∞等待制排队模型 M/M/s/∞等待制排队模型 M/M/1/K 混合制排队模型 M/M/s/K 混合制排队模型
排队论公式
1/ 每名客户
λ
ρ：系统忙着的概率，ρ =
cμ
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均 顾客数 （每位）顾客在店内的平均 逗留时间 （每位）顾客平均修理时间
2
2
ρ + λ D(v)
????= ρ +
2(1 - ρ )
?q? = λ ??q = ????- ρ ????
???? ??s =
λ
e
Lq Wq =
λ
e
μ：每小时可以服务的人数， 1/ 每名客户服务时间的分钟数
λ
e
=
λ（ m -
LS）
μ ????= m - (1 - P0 )
λ
??q = ????- (1 - ??0 )
???? ??s =
λ
e
Lq Wq =
λ
e
λ
ρ：系统忙着的概率， ρ = μ
排队论公式二
M/M/C/ ∞ /m 多服务台模型 单队，并列 C个服务台
P0 = ∑
1
C-1
k=0
1 k!
( λ )k μ
+
1 C!
?
1
1 -
ρ
?
λ () μ
C
M/????/1/ ∞ /m
λ ????= ??q +
μ
C
(Cρ ) ρ
??q =
2 ??0
C! (1 - ρ )
LS ??s =
λ
??q ??q =
λ
n
= (1 - ρ ) ρ
1- ??0 =
ρ
排队论公式1
M/M/1/∞/∞标准模型M/M/1/N/∞
系统容量有限模型
N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m
顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
系统空闲的概率
ρ
系统有n个顾客的概率
（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的
概率
1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均
数
（每小时）等待服务的平
均顾客数
=
（每位）顾客在店内的平
均逗留时间
（每位）顾客平均修理时
间
λ：每小时到达店内人数λ：每小时到达店内人数
排队论公式一
排队论公式二
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数 ρ：系统忙着的概率，
ρ：系统忙着的概率，
M/G/1/∞/∞
M/D/1/N/∞
M//1/∞/m
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均
逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数 E(v):服务时间v 的期望 D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，
λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v 的期望
D(v)
:方差
ρ：系统忙着的概率，。
队列问题的公式
队列问题的公式通常用于解决一些具有队列特性的数学问题。
下面列举几个常见的队列问题公式：
1.排队论中的M/M/1公式：M/M/1模型表示一个系统有无限个顾客和有限
个服务台，顾客以泊松流到达，服务时间和服务时间是相互独立的，服从
相同的指数分布。
该模型可以用以下公式表示：L = λW，其中L是队列长
度，λ是平均到达率，W是平均服务时间。
2.排队论中的M/M/c公式：M/M/c模型表示一个系统有无限个顾客和c个服
务台，顾客以泊松流到达，服务时间和服务时间是相互独立的，服从相同
的指数分布。
该模型可以用以下公式表示：L = (c / (c - λ)) * λ * W，其中L
是队列长度，λ是平均到达率，W是平均服务时间。
3.优先队列公式：优先队列是一种数据结构，其中元素具有优先级。
最常见
的优先队列公式是查找具有最大优先级的元素的时间复杂度为O(log n)，插入新元素的时间复杂度为O(log n)，删除具有最大优先级的元素的时间复杂度为O(log n)。
4.循环队列公式：循环队列是一种使用固定大小的数组实现队列的方法，其
中头尾指针可以指向队列的开头和结尾。
循环队列的公式包括：front =
(front + enqueue) % size和rear = (rear + enqueue) % size，其中front是头指针，rear是尾指针，enqueue是入队操作，size是数组大小。
以上是一些常见的队列问题公式，它们可以帮助我们解决一些具有队列特性的数学问题。
排队论讲解
排队论是一种研究排队系统的数学理论，它主要用于研究系统在不同的服务策略下的性能指标，如平均等待时间、平均服务时间、系统吞吐量等。
排队系统是指由顾客和服务台组成的系统，顾客按照先来先服务的原则依次到达服务台，并在服务台得到服务。
排队论的基本模型包括M/M/s、M/M/c、M/G/s、M/G/c等模型，其中M表示顾客到达的随机变量是泊松分布，G表示服务时间的随机变量是几何分布，c表示服务台的容量限制，s表示系统的服务速度。
M/M/s模型是指服务台的服务速度s是固定的，即服务台的服务速度不受顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的平均等待时间和平均服务时间。
M/M/c模型是指服务台的容量限制c是固定的，即服务台的服务速度受到顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的排队长度和服务率。
排队论的应用非常广泛，包括电话系统、银行系统、航空系统、医疗系统等。
在实际应用中，排队论可以帮助企业优化服务流程，提高服务质量，减少顾客等待时间，提高顾客满意度，从而提高企业的竞争力和经济效益。
排队论的应用还在不断地拓展和深化，例如近年来出现的排队论模型包括多服务台排队模型、排队网络模型、排队论与动态优化模型等。
这些模型可以更好地模拟实际系统中的复杂排队情况，提高系统的服务质量和效率。
(完整版)排队论公式1
M/M/1/∞/∞标准模型M/M/1/N/∞
系统容量有限模型
N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m
顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
系统空闲的概率
ρ
系统有n个顾客的概率（顾
客损失率）
系统至少有1个顾客的概率1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均
顾客数
=
（每位）顾客在店内的平均
逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
排队论公式一
排队论公式二
ρ：系统忙着的概率，ρ：系统忙着的概率，
M/G/1/∞/∞M/D/1/N/∞M//1/∞/m 系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均
顾客数
（每位）顾客在店内的平均
逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，。
排队论公式
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v) :方差
ρ：系统忙着的概率，
M/M/1/∞/∞
标准模型
M/M/1/N/∞
系统容量有限模型
N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m
顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
系统空闲的概率
ρ
系统有n个顾客的概率（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的概率
1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
=
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分
排队论公式一
排队论公式二
M/G/1/∞/∞
M/D/1/N/∞
M/ /1/∞/m
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，
排队论
实用排队论排队论又称随机服务系统，它应用于一切服务系统，包括生产管理系统、通信系统、交通系统、计算机存储系统。
它通过建立一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统预测。
现实生活中如排队买票、病人排队就诊、轮船进港、高速路上汽车通过收费站、机器等待修理等等。
一、排队论的基本构成（1）输入过程输入过程是描述顾客是按照怎样的规律到达排队系统的。
包括①顾客总体：顾客的来源是有限的还是无限的。
②到达的类型：顾客到达是单个到达还是成批到达。
③相继顾客到达的时间间隔：通常假定是相互独立同分布，有的是等间隔到达，有的是服从负指数分布，有的是服从k 阶Erlang 分布。
（2）排队规则排队规则指顾客按怎样的规定的次序接受服务。
常见的有等待制，损失制，混合制，闭合制。
当一个顾客到达时所有服务台都不空闲，则此顾客排队等待直到得到服务后离开，称为等待制。
在等待制中，可以采用先到先服务，如排队买票；也有后到先服务，如天气预报；也有随机服务，如电话服务；也有有优先权的服务，如危重病人可优先看病。
当一个顾客到来时，所有服务台都不空闲，则该顾客立即离开不等待，称为损失制。
顾客排队等候的人数是有限长的，称为混合制度。
当顾客对象和服务对象相同且固定时是闭合制。
如几名维修工人固定维修某个工厂的机器就属于闭合制。
(3)服务机构服务机构主要包括：服务台的数量；服务时间服从的分布。
常见的有定长分布、负指数分布、几何分布等。
二、排队系统的数量指标(1)队长与等待队长队长（通常记为s L ）是指系统中的平均顾客数（包括正在接受服务的顾客）。
等待队长（通常记为q L ）指系统中处于等待的顾客的数量。
显然，队长等于等待队长加上正在服务的顾客数。
(2)等待时间等待时间包括顾客的平均逗留时间（通常记为s W ）和平均等待时间（通常记为q W ）。
顾客的平均逗留时间是指顾客进入系统到离开系统这段时间，包括等待时间和接受服务的时间。
顾客的平均等待时间是指顾客进入系统到接受服务这段时间。
排队论公式
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v) :方差
ρ：系统忙着的概率，
（每小时）等待服务的平均顾客数
=
（每时到达店内人数
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
ρ：系统忙着的概率，
ρ：系统忙着的概率，
排队论公式一
排队论公式二
M/M/1/∞/∞
标准模型
M/M/1/N/∞
系统容量有限模型
N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m
顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
系统空闲的概率
ρ
系统有n个顾客的概率（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的概率
1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
M/G/1/∞/∞
M/D/1/N/∞
M/ /1/∞/m
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，
排队论公式1
排队论公式1 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
2
排队论公式一
M/M/1/∞/∞ 标准模型
M/M/1/N/∞
系统容量有限模型 N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m 顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m 多服务台模型
单队，并列C 个服务台
系统空闲的概率
ρ
系统有n 个顾客的概率（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的概率 1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
=
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数 μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数 ρ：系统忙着的概率，
ρ：系统忙着的概率，
M/G/1/∞/∞
M/D/1/N/∞
M/
/1/∞/m
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，
3。
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系统空闲的概率
系统有n个顾客的概率（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的概率
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
排队论公式一
M/M/1/ /
标准模型
Po = l -
M/G/I/ q
1-Po= P = 7
-p
W n = W s
M/M/1/N/
系统容量有限模型
”=队伍容量+1
1 - p
P°= l- P N + 1
(N + 1)P N* 1
■■:
1=
(1 _
p。
)
L(|
W Q
=
■
入：每小时到达店内人数
卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数P：系统忙着的概率，
M/M/1/ q /m
顾客源有限模型
m=^统只有m+1种状态
1
Po =
p m!
zL(ni - i)! p
M/D/1/N/ 严 ------
m!
占=川-vU - P(1)
t q= 3 - (1 -弘)
⑷严-
t- w
tl
排队论公式二
M/M/C/ q /m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
C 1
M/ /1/ q /m
(Cp)c p
L[l =C!(l - p
Ls
入：每小时到达店内人数
卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户
服务时间的分钟数
P：系统忙着的概率，八命。