颗粒体系结构的初步研究

颗粒体系结构的初步研究金峰、孙其诚（清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室, 北京100084）摘要：颗粒物质是大量离散的固体颗粒相互作用而组成的复杂体系，在自然界中广泛存在，比如泥石流、岩土和堰塞体等，与之相关的土力学和泥石流动力学等唯象理论发展较为完善。

它们侧重于工程应用，对深层次的物理机制并没有深入研究。

颗粒物质由于其离散性和强耗散性，凝聚态物理学和力学理论不能很好地应用，近20年来其基础研究是科学的前沿，也逐渐形成一门新的学科—颗粒物质力学。

本文首先简要回顾了颗粒物质的研究历史，理清了发展的脉络，对比了不同学科之间的内在关系，指出基于凝聚态物理学、固体力学和流体力学等科学成就，建立颗粒物质宏观性质的微观理论是颗粒物质力学的主要研究内容；指出了颗粒体系具有典型的多尺度结构特点，认为合理分割结构层次、正确理解不同层次的物理过程、并确定它们之间的关联是颗粒物质机理研究取得突破的可行研究途径之一。

以二维颗粒体系的侧限压缩和刚性块体压入过程的模拟为例，简单介绍了颗粒体系的力链形态和统计统计规律，明确提出强力链网络决定颗粒体系的宏观力学行为。

关键词：颗粒物质; 有效应力; 力链; 土骨架1 颗粒力学颗粒物质是大量离散的固体颗粒相互作用而组成的复杂体系，在自然界广泛存在，比如泥石流、岩土和堰塞体等，与人类生存和生活密切相关。

对颗粒物质的研究有悠久的历史，1776年，库伦(C.A. Coulomb, 1736~1806)在法国皇家科学院(Academie Royale In Paris)汇报了颗粒物质的摩擦定律，开创了颗粒物质科学研究的先河[1]。

19世纪是经典物理学发展的顶峰时期，科学家们把主要精力投入到力学、热力学和统计物理、电磁学、光学等的研究中，期间一些科学家曾先后研究过颗粒物质，比如法拉第(M. Faraday, 1791~ 1867)和雷诺(O. Reynolds, 1842~ 1912)分别研究了颗粒振动对流和挤压膨胀现象，从19世纪末开始的以量子力学和相对论为核心的现代物理成为科学的新前沿。

可以看出，自1776年之后的两个世纪中，对颗粒体系的物理机理研究始终没有得到全面而深入的开展。

直至1990年前后，非线性动力学、非平衡相变理论和自组织临界理论等快速发展，风靡一时，沙堆体系由于易于实验而成为检验这些理论正确与否的例子之一，而实验结果与理论预言结果并不很好相符，这完全出乎人们的意料，原本认为简单的沙堆却表现出极为复杂的物理规律。

在之后的20年，人们逐渐关注颗粒物质体系的精细力学行为，开展了大量实验；同时随着计算机性能逐渐提高，可以获取单颗粒运动信息的颗粒离散元方法被普遍采用，人们发现颗粒体系具有对外界微小作用的非线性响应和自组织等独特性质，不能用一般的固体力学理论、流体力学理论和凝聚态物理予以解释。

Science于2005年把颗粒物质与湍流并列为100个科学难题之一，众多杰出科学家加入到颗粒物质的研究中，颗粒物质的基础研究成为科学前沿之一，而对颗粒物质体系平衡和运动规律及其应用的研究逐渐成为一门学科—颗粒物质力学[2,3]。

侧重机理研究的颗粒力学研究思路可以分为三类。

在第一类研究中，把固体的弹性或弹塑性理论推广到颗粒物质体系，得到一组可用来计算包括应力、变形、能量、能流、热产生等所有物理量在内的完备偏微分方程组，可以从理论上确定有着重要工程意义的本构关系，显然该本构关系也是非常复杂的非线性关系，有着繁多的关于应力、速度和密度等变量的空间导数项。

颗粒物质体系的基本特征是非连续和接触时发生能量耗散，这使得颗粒物质表现有远比普通固体强且丰富的耗散现象，在外力作用下出现大得多的塑性形变。

在这一方面的典型工作是我国理论物理学家蒋亦民教授和德国Tuebingen大学理论物理所Prof. Mario Liu合作发展的颗粒物质动力学理论（granular solid hydrodynamics, GSH），可以统一地处理土体的宏观力学特性，包括非线性弹性，以库仑屈服为标志的力学失稳，剪胀现象，现代土力学中的次塑（hypoplastic）本构模型，用动三轴装置测量的循环加载下土体的塑性蠕动数据和流动法则（flow rule）等等，一些工作处于国际前沿水平[4]。

第二类研究则试图建立起体系局部的颗粒几何排布规律与宏观力学行为的联系，比如Oda将砂土的三轴压缩试验试样经固化处理后从不同的方向切成薄片，然后观察颗粒接触点角的分布，发现颗粒接触点角向大主应力方向集中[5]；Matsuoka基于光弹材料及圆铝棒的直剪试验结果，从颗粒接触点角变化规律出发推导出滑动面上的应力剪胀关系方程[6]。

1979年Cundall和Strack等人[7]提出了离散单元法（distinct element method, DEM），DEM逐渐成为颗粒体系微观结构研究的有效工具，它能提供颗粒的位移和接触力等详细信息，进而确定体系的应力、接触力分布、接触角分布、接触时间数、组构张量、配位数等统计力学和几何参数[8]，并采用平均场理论(mean field theory)[9]和粗粒化方法(grain coarsing approch)[10]得到体系的统计性质，比如能量密度、应力张量、应变张量、热流和弹性模量等，进而构建颗粒体系的本构关系，描述其宏观力学性质。

第三类研究研究颗粒体系的力链结构及其统计规律，进而确定其与体系宏观力学性质的关系。

通过光弹实验和DEM模拟发现[1]，颗粒间持续接触，形成复杂接触网络。

接触力一般大于间隙气体或液体力而起主导作用，且沿着接触网络中的链状路径（亦即力链）这一特殊结构传递，使得颗粒间发生力链长度上的短程相关，形成颗粒→力链→体系的多尺度结构。

颗粒接触网络为外荷载的传递提供了物理基础，力链是外荷载有选择地沿着某些接触而传递形成的路径；力链对外荷载加载方式和体系几何特征极其敏感，在同一接触网络中即使外荷载的轻微变化也会使得力链发生极大变化，因而在光弹实验和离散元数值模拟中看到了形态千差万异的力链。

孙其诚、王光谦和金峰等[11,12]提出了力链网络的复杂动力学响应决定颗粒体系宏观力学性能的假设，从分析以力链为核心的密集体系多尺度结构特征及其演变规律入手，研究颗粒固体应力传播模式、破坏机制、颗粒流体流动本构关系等关键问题，可能取得突破。

显然力链不同于接触力分布、接触角分布、组构张量和配位数等局部单元的力学和几何参数统计信息，力链是应力传递路径，贯穿了若干这样的单元，它从更高的结构层面揭示颗粒体系的力学形式，是从体系局部的颗粒几何和力学规律确定体系宏观力学性质的另外一种方法。

颗粒物质的基本特征是非连续和接触耗散性，大量固体颗粒相互作用而组成复杂体系，涉及多个空间结构层次和特征时间尺度，具有复杂跨尺度作用耦合等特点。

多尺度是指体系内在结构层次性及不同层次间的关联，从哲学高度揭示了研究体系的层次性和普遍联系性。

颗粒物质体系是典型的多尺度体系，合理分割研究其结构层次、正确理解不同层次的物理过程、并确定它们之间的关联是颗粒物质多尺度方法的核心任务。

目前，对于颗粒体系，我们依据内在过程和特征时间，把体系结构层次划分为3个尺度，见图1。

其中，微观尺度是组成颗粒体系的基本单元，即单颗粒；宏观尺度是指整个颗粒体系；而细观尺度则是指由基本单元组成的较为稳定的结构体，亦即力链。

其中颗粒－力链、力链－宏观的两个关联是颗粒物质多尺度方法的难点和重点。

图1 颗粒物质的多尺度结构2 颗粒体系的力链从工程应用角度，以有效应力原理为基石，形成于1921~1923年，是Terzaghi构建现代土力学理论体系的基石[13,14]。

80多年来人们创建了许多计算应力和稳定分析的方法和模型，能够凝练和概括一定的试验数据，广泛地应用于地基、土工构筑物和结构与土的联合作用等问题的应力与变形，强度与稳定的静力或动力分析计算中，形成了体系庞大的土力学和散体力学等以工程应用为主的学科。

它们是唯象科学，一些结论不可外延，很难从机理上刻画土颗粒体系的非线性、弹塑性、剪胀性和流变性等，比如颗粒体系的应变如何确定等这些基本概念有待商榷；同时，应力水平、应力路径、应力历史和土的状态、组成、结构及温度等都对力学特性有显著影响，对于如此复杂的体系及边界条件（几何的、力的和温度的），土力学和散体力学似乎到了揭示问题的理论水平的极限。

采用新的研究手段，沿着新的研究思路，加强物理机理的研究，加强颗粒力学的研究，是科学发展的需求，具有重要的科学价值和广泛的应用价值。

有效应力原理认为，颗粒间挤压接触变形构成复杂骨架结构（如图2所示），有效应力则是骨架上固体颗粒间接触力在土体总截面积上的平均应力，其值σ′是总应力σ减去孔隙水压力u所得差值，它控制了土的变形及强度性能。

有效应力原理的物理意义上非常明确，但它只是表观的、概念性的，首先表现在有效应力无法测定，而是量测总应力和孔隙水压力后的差值。

土体颗粒体系的变形就是颗粒位置的变化，亦即土体骨架的演化。

自Terzaghi构建土力学80多年后的今天，人们对有效应力原理的认识依然不一，由此臆测和推想了一些不切实际的结论。

我们认为造成这一不应该发生的现象的更深层次原因是对颗粒骨架几何结构和力学性能的认识极为初步，比如什么是颗粒骨架？如何描述？它的变形与土体的变形如何对应？又如何与孔隙水协调决定土体中的有效应力？等若干关键问题根本没有回答。

我们意识到，在现有土力学理论体系不可能对这些问题予以解释，这就需要新的研究手段，采用“显微镜”和“透视镜”观测土体—这一典型颗粒体系中的结构和力学性能。

图2 基于离散元方法模拟得到的静态堆积颗粒体系的骨架结构力链则是颗粒力学的基本概念，目前认识也不统一，如何定义力链就有多种说法。

我们认为在外荷载作用下颗粒相互挤压形成网络，这是颗粒接触网络(contact network)，是支撑外荷载的物质基础；颗粒间的相对位置（亦即拓扑关系）决定颗粒接触网络的形态，其数学描述较为艰难，曾有人把它类比为泡沫结构(foam structure)。

我们认为，平均配位数<Z>可能是描述接触网络性质的比较合理的参数之一，<Z>综合反映了颗粒物性（颗粒表面摩擦系数μs、弹性模量和泊松比等）、级配、颗粒体积份额φ等几何参数和物性参数对颗粒体系接触网络的影响。

细致研究发现接触网络上局部颗粒受到的力大小不同，亦即传递的外荷载份额不同，使得接触颗粒间接触有强弱之分，那么传递较大份额荷载的路径构成强力链，反之形成弱力链。

因此，强、弱力链是外荷载传递的路径，而这些路径构成了整个接触网络，强、弱力链仅是接触网络的一部分。

在一些情况下，比如点力作用下的静态颗粒体系，当点力不大时，触网络可能不变化，如果改变力方向，发现体系内部传递路径—力链结构随着点力方向却发生了很大变化，因此力链结构对外荷载发生动力响应，这就说明颗粒接触网络依据传递外荷载的大小把网络结构分成强力链和弱力链两套结构，两者的性质完全不同,其中弱力链网络是背景，而强力链网络起决定作用。