附录矢量与张量运算

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附录矢量与张量运算

1标量﹑矢量与张量

1.1大体概念

在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。

咱们超级熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就能够够表示其状态。例如质量、压强、密度、温度等都是标量。

矢量那么是在空间有必然取向的物理量，它既有大小、又有方向。在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。考虑直角坐标右手系，三个坐标轴别离以1、2和3表示，、2和3别离表示1、2和3方向的单位矢量。若是矢量a 的三个分量别离为a 1、、a 2、a 3，那么能够表示为

也能够用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3) 矢量a 的大小以a 表示

a =(a 12+a 22+a 32)1/2

咱们还会碰到张量的概念，可将标量看做零阶张量，矢量看做一阶张量，在此将要紧讨论二阶张量的概念。

二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。张量w 可用矩阵的形式来表示：

其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。假设w ij =w ji ，那么称为对称张量。

若是将行和列互彼此换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则

w T =

显然，假设w 是对称张量，那么有w =w T 。另外，若是w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。

任何一个二阶张量都能够写成两部份之和，一部份为对称张量，另一部份为反对称张量。

w =(w +w T )+ (w -w T )

单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量

是最简单的对称张量。

张量对角分量之和称为张量的迹

张量运算（ＰＤＦ）

∇ × (f × g) = ∇ × (f × gc) + ∇ × (fc × g) → (∇ · gc) f − (∇ · f ) gc + (∇ · g) fc − (∇ · fc) g = (gc · ∇) f − gc (∇ · f ) + fc (∇ · g) − (fc · ∇) g = (g · ∇) f − (f · ∇) g + f (∇ · g) − g (∇ · f )
a · (kb) = k (a · b) ⇒ ∇ · (kb) = k (∇ · b) + ∇k · b a · (a × c) = 0 ⇒ ∇ · (∇ × c) = 0 a × (ka) = 0 ⇒ ∇ × (∇k) = 0
例一
【求解】
∇ (f · g) , ∇ × (f × g) , ∇ · (f × g)
【推论】
a × (ex × ey) = (a · ey) · ex − (a · ex) · ey = ay · ex − ax · ey ex × (a × ey) = (ex · ey) · a − (a · ex) · ey = −ax · ey
证明矢积的公式
【求证】
c × (a × b) = (b · c) · a − (a · c) · b
+
1 r sin θ
∂ψ ∂φ

矢量和张量教育课件

g3

1 g
g1
g2
g 1 g g 2 g 3 ， g 2 g g 3 g 1 ， g 3 g g 1 g 2
由度量张量进行指标升降
将 g i 在 g 系下分解： g i g ij g ， g ij g i g j 度量张量

r xi
[g1, g2, g3] g （正实数）
逆变基矢量的定义:
gi

g
j

j i
gi 1 gi cos
[g1, g2, g3]
1
1
源自文库
[g1, g2, g3] g
协、逆变坐标系之间的相互表示:
由定义
g1
1 g
g2
g3 ，
g2

1 g
g3
g1 ，
j
j
将 g 在 g i 系下分解： g g g j， g g g 度量张量
j
i
ij
ij
i
j
（ 1）
g ij

g
ji (

i)，
j
g ij

g
ji (

i j
)
（ 2） g g kj j 矩阵 [ g ],[ g kj ]互逆

矢量和张量

brs (ars lrilsjaij ) 0 ars lrilsjaij
cik vi
• 对任意矢量 ui有 aiju j vi ，为一矢量； • 对任意张量bij 有aijbjk cik ，为一张量；
• 那么 aij 为一张量。
• 对任意矢量 ui、vi、、wi
有 aijkuiv j wk c ， • c为一标量，那么 aijk 为一张量。
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量，分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量，分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 三重标量积可写为
U (V W ) ijk uiv jwk
• 对交错张量和克罗内尔符号，有下列关系式：

矢量与张量

一．矢量与张量

1.1矢量及其代数运算公式

1.1.1矢量

在三维Euclidean 空间中，矢量是具有大小与方向且满足一定规律的实体，用黑体字母表示，例如u,v,w 等。它们所对应的矢量的大小（称模、值）分别用|u |,|v |,|w |表示。称模为零的矢量为零矢量，用0表示。称与矢量u 模相等而方向相反的矢量为u 的负矢量，用-u 表示。矢量满足以下规则：

（1）相等：两个矢量相同的模和方向，则称这两个矢量相等。即，一个矢量做平行于其自身的移动则这个矢量不变。

（2）矢量和：按照平行四边形定义矢量和，同一空间中两个矢量之和仍是该空间的矢量.

矢量和满足以下规则：

交换律： u +v =v +u

结合律：（u +v )+w =u +(v +w ) 由矢量和与负矢量还可以定义矢量差： u -v =u +(-v ) 并且有

u +(-u )=0

(3)数乘矢量：设a,b 等为实数，矢量u 乘数实数a 仍是同一空间的矢量，记作v =a u 。其含义是:v 与u 共线且模为u 的a 倍，当a 为正值时v 与u 同向，当a 为负值时v 与u 反向，a 为零时v 为零矢量。数乘矢量满足以下规则：分配律：（a+b)u =a u +b u a(u +v )=a u +a v 结合律： a(b u )=(ab)u

由矢量关于求和与数乘两种运算的封闭性可知，属于同一空间的矢量组),,2,1(I i u i =的线性组合i I

i i u a ∑=1仍为该空间的矢量，

此处i a 是实数。矢量组I u u u ,,21线性相关是指存在一组不全为零的实数I a a a ,,21，使得 i I

(完整版)常用矢量公式

，，
，为法线上单位矢。
定义为矢量场的旋度，它在法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点，则称为无旋场。
例：1.
解：它的分量为
，同理，
2.证明
证：
§5. 常用的运算公式
一、复合函数的“三度”运算公式
，，
二、积分变换公式
高斯公式：
斯托克斯公式：
分配律
矢量积：
分配律
不满足交换律
混合Fra Baidu bibliotek：
双重矢积：
（点3乘2，点2乘3）
三．矢量微分
四．并矢与张量
并矢： (一般 )，有九个分量。
若某个量有九个分量，它被称为张量
为单位并矢，张量的九个基。
矢量与张量的矩阵表示：或
单位张量：
张量运算：
与矢量点乘：
与矢量叉乘：
两并矢点乘： (并矢)
两并矢二次点乘：标量
与单位张量点乘：
课堂练习（15-20分钟）
1．计算
2．求证，与矢量垂直。（求）。
3．计算下列各式：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
（0，，－1，1）
4．证明下列各式：
⑴
⑵
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。

张量和矢量

§1 向量代数

1.1向量的定义

从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间中，建立直角坐标系

，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成

(1.1)

设在中有另一个坐标系，其标架为，它与

之间的关系为

（1.2）

由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵

(1.3)

将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。从(1.2)可反解出

（1.4）向量在新坐标系中的分解记为

(1.5)

将(1.4)代入(1.1),得到

(1.6)

公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。

这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组

，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。

1.2 Einstein约定求和

用求和号，可将(1.1)写成

(1.7)

所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成

(1.8)

在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成

(1.9)

有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。

按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成

(1.10)

(1.11)

将(1.11)代入(1.8)，得

(1.12)

由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，

矢量与张量[整理版]

§1 向量代数

1.1向量的定义

从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间中，建立直角坐标系

，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。

设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成

(1.1)

设在中有另一个坐标系，其标架为，它与之间的关系为

（1.2）

由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵

(1.3)

将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。从(1.2)可反解出

（1.4）

向量在新坐标系中的分解记为

(1.5)

将(1.4)代入(1.1),得到

(1.6)

公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、

角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。

这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，

如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。

1.2 Einstein约定求和

用求和号，可将(1.1)写成

(1.7)

所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成

(1.8)

在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成

(1.9)

有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。

按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成

(1.10)

(1.11)

将(1.11)代入(1.8)，得

(1.12)

由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，

矢量、并矢和张量

3 A⋅ B = ∑ Ai Bi = AB cosθ
i =1
e1 e2 A × B = AB sin θ en = A1 A2
3、矢量代数中的重要公式交换定律： A ⋅ B
e3 A3
B1 B2 B3
= B⋅ A = −B × A

3 = ∑ ei e j i =1
1 0 0 = 0 1 0 0 0 1
3、张量的运算
T + V = ∑ (Tij + Vij )e i e j
AB ⋅ C = A B ⋅ C = A C ⋅ B = AC ⋅ B = C ⋅ B A = C ⋅ BA = B ⋅ C A = B ⋅ CA
(
)
)
(
并矢并矢
1）两并矢的一次点乘： AB ⋅ CD = A B ⋅ C D = A B ⋅ C AD ≠ CD ⋅ AB
( )
(
)
)
2）两并矢的二次点乘 AB : CD = B ⋅ C A ⋅ D
(
)(
)
3）单位张量与矢量、张量的点乘
d ( A × B) dB dA = A× + ×B dt dt dt

矢量和张量

若任两个角标相同
在求证矢量等式关系时，有几个包含有这些量的关系式十分有用
j k ijk hjk 2ih k ijk mnk im jn in jm
一个3x3阶行列式可以用εijk写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 i j k ijka1ia2 ja3k
a31 a32 a33
补充：矢量和张量
在传递现象的理论中所遇到的物理量可以分成下面几类：标量，如温度、能量、体积和时间等；矢量，如速度，动量，加速度和力等；以及二阶张量，如剪切应力或动量通量张量等。我们将采用不同的符号以示区别：
s＝标量(斜体字母)
v ＝矢量(黑斜体字母)
τ＝张量(黑希腊字母)
矢量和张量可以有几种乘法运算，分别以三种特定的乘法符号来表示这些运算(定义见后)：“单点积”.“双点积”：以及叉积 x。我们还采用三种不同的括号表示括号内乘法运算所得结果的类型：
矢量运算的几何表示
• 矢量及其大小的定义：矢量v定义为一个具有一定大小和方向的量。矢量的大小记作| v | 。或以非黑体的斜体字 v来标记。二个矢量v和w如果大小相同，方向亦相同，则此二矢量相等；它们不一定是同线的，亦不一定具有同一原点。如果v 和w的大小相同，但方向相反，则v ＝-w。
矢量的加法和减法
球坐标
球坐标系子个单位矢量δr、 δθ 、 δφ与直角坐标系三个单位矢量δx、 δy 、 δz之间的关

附录：张量解析

【利用自由标方程组可进一步缩写成】
(A．5)
自由指标：在表达式或方程中的不同项内重复出现的同名指标自由指标只表示对取值范围轮流取值，无论其取何字母，关系式始终成立；因此(A．5)式通过换标，可写成：（只要k和i的取值范围相同）
通过自由指标又把多个方程缩写成一个方程
换自由指标时应注意——
(1)同时取值的指标必须同名，独立取值的指标应防止重名例：
+δ31dx3dx1+δ32dx3dx2+ δ33dx3dx3
＝ δ11dx1dx1+δ22dx2dx2+δ33dx3dx3
＝ dx1dx1+dx2dx2+dx3dx3＝ dxidxi
δij起换标作用：如果δ符号的两个指标之一和同项中其他因子的某指标相重，则该因子的那个相重指标可替换成δ的另一个指标，而δ自动消失。
一、求和约定、哑标
【利用哑标可把多个项缩写成一项】
爱因斯坦(A．Einstein)求和约定：如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。用哑标代替求和号∑，(A．4) 式简化成
通过哑指标可把多个项缩写成一项
二、自由标二、自由标
【erst】 4．三个矢量a，b，c的混合积(标量) ：
5．三阶行列式的展开式为：

(仅供参考)张量分析提纲及部分习题答案

第一章矢量和张量

1.1 矢量及其代数运算公式

（1）试给矢量下个定义；

（2）（1.1.13）Schwartz 不等式，即三角不等式。在某空间中，定义了距离，则两边之和

大于第三边。（3）试证明（1.1.22）；并回顾矩阵理论中，如C AB =，则()()()det det det C A B =的

证明方法；

1.2 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量

（4）矢量的数学表示方法：基矢量及分量；为使用方便，如算内积，引入对偶的逆变基

矢量及相应分量。

（5） 1

ij g g -⎡⎤⎡

⎤=⎣⎦⎣⎦（1.2.23b ）；指标升降关系（1.2.29）。

1.3 曲线坐标系

（6）自然基矢量（1.3.8），一般称协变基。（7）（1.2.11）；逆变基矢量是坐标面的梯度。（8）坐标i x 一般是不存在的。

例：()123I II x x x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则()()32I II I x x y x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，()12223I

I II II

x x

x x ∂⎧==-⎪⎪∂⎨∂⎪==⎪∂⎩

r g i j r g j ， ()()()()2211121124

21222214669I II I I I II II I II

I I II I II I II II I II II dx g dx g dx x dx x x dx Pdx Q dx dx g dx g dx x x dx x dx P dx Q dx ⎧⎡⎤=+=+-=+⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪=+=-+=+⎩

。当

i i

II I

附录I：张量概念及其基本运算

Mechanics of Elasto-Plasticity
附录I：张量概念及其基本运算
由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，弹性力学的论述及方程列式采用指标符号表示。为了这一原因，这里也简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是在笛卡尔坐标系中采用。
3 3 3
2
σ ij ε ij = ∑∑ σ ij ε ij
i =1 j =1
= σ 11ε 11 + σ 12 ε 12 + σ 13ε 13 + σ 21ε 21 + σ 22 ε 22 + σ 23ε 23 + σ 31ε 31 + σ 32 ε 32 + σ 33ε 33
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 14
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 6
Mechanics of Elasto-Plasticity
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。 ◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。 ◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。 ◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需三个分量来确定。 ◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成：

常用矢量公式

,A A

i i

i =∑直角系 A =cos ,cos cos cos cos Ay A

e e e βγαβγ===++A =加法： A +1()i

i A B A B e =+=

+∑ 3

i i A B A B =⋅=

∑()A B C A ⋅+=31

sin n e A B AB e A B B B θ⨯==A C ⨯ 分配律

A B B A ⨯=-⨯ 不满足交换律1

A B C =

dt + A dt =)A B dB dA

A B dt dt dt

⨯=⨯+⨯ 并矢： AB (一般 AB BA ≠)，有九个分量。,1

,i i i j ij i j i j i j

A B e e T e e ===∑∑ i e 矢量与张量的矩阵表示：2,

i i

A A e A A A =

= ⎝∑A B A B A B =++T AB = T 单位张量：

=00 ⎝

()B C A B CA

=⋅=⋅)()()A B B C A B A C =⋅=⋅=()

()

A B C C AB C A B ⨯⎨

⨯=⨯⎪⎩

并矢并矢

()(

)

(AB CD A B C D A B ⋅=⋅=两并矢二次点乘： (

)():AB CD B C A D =⋅⋅ 标量C C C ⋅=⋅=

AB AB AB ⋅=⋅= :AB A B =⋅

分钟）

)()

B A B ⨯- ((2B A =⨯()()

b a

c a b c =⋅-⋅与矢量C 计算下列各式：

)a b ⨯ ⑵ ()a b a ⨯⨯ ⑶)j i k ⨯⋅ ⑷ 2()a b a a b -⋅，－1，） ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯⋅⋅=⨯⋅-⨯⋅

矢量和张量

称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样，拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些运算方法。这些运算在传递现象的理论中会遇到，特别是动量传递中。
矢量运算的几何表示
• 矢量及其大小的定义：矢量v定义为一个具有一定大小和方向的量。矢量的大小记作| v | 。或以非黑体的斜体字 v来标记。二个矢量v和w如果大小相同，方向亦相同，则此二矢量相等；它们不一定是同线的，亦不一定具有同一原点。如果v 和w的大小相同，但方向相反，则v ＝-w。
矢量的加法和减法
乘法符号无：
结果的阶数
-1 - 2 - 4
其中，∑表示被乘量的阶数之和。例如sτ的阶
数为0+2＝2，vw的阶数为l+1＝2， [v×w]
的阶数为1+1-1=1， (σ:τ)的阶数为2+2-4＝ 0，而{σ·τ}的阶数为2+2-2＝2。有关标量的
基本运算勿庸赘述。标量运算满足交换率、结合率和分配率。
i

ijk uiv j wk
i jk
u1 u2 u3 v1 v2 v3

张量运算

)
=
(∇r
·
er )
d dr
(
1 r2
)
=
−
2 r3
上述推导的错误在于：
r=A(r)
【常用微分】
∇·r = 3 ∇×r = 0
∇r = er
,
∇
1 r
=
−
er r2
,
∇
·
er
=
2 r
,
∇
·
(
r r3
)
=
4πδ(r)
,
∇ × er = 0
,
∇
×
(
r r3
)
=
0
例四
试用上式证明
∇
·
(
r rn
)
=
3−n rn
,
∇
× eφ
=
r
1 tan
θ
er
−
1 r
eθ
6
例五
电流I 均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求空间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋度。
【解】在与导线垂直的平面上作一半径为r的圆，圆心在导线轴上。由对称性及安培环路定律得：
★当r > a时
B · dl = 2πrB = µ0 I
⇒
B
=
µ0I 2πr
同理：故此