附录矢量与张量运算

合集下载

附录矢量与张量运算

附录矢量与张量运算1标量﹑矢量与张量1.1基本概念在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。

我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。

例如质量、压强、密度、温度等都是标量。

矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。

在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。

考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。

如果矢量a 的三个分量分别为a 1、、a 2、a 3，则可以表示为也可以用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3)矢量a 的大小以a 表示a =(a 12+a 22+a 32)1/2我们还会遇到张量的概念，可将标量看作零阶张量，矢量看作一阶张量，在此将主要讨论二阶张量的定义。

二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。

张量w 可用矩阵的形式来表示：w 其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。

若w ij =w ji ，则称为对称张量。

如果将行和列互相交换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则w T =显然，若w 是对称张量，则有w =w T 。

另外，如果w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。

任何一个二阶张量都可以写成两部分之和，一部分为对称张量，另一部分为反对称张量。

w =(w +w T )+ (w -w T )单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量是最简单的对称张量。

张量对角分量之和称为张量的迹t r w =张量的迹是标量，如果张量的迹为零，称此张量为无迹张量。

1.2基本运算1.2.1矢量加法与乘法运算在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

如图附-1所示，减法为加法的逆运算。

1e e e a 332211e e e a a a a ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211w w w w w w w w w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111w w w w w w w w w 2121δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001δδ∑iiiw图附-1 矢量加减法在解析上，矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。

张量概念及其基本运算

◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。
3.求和约定
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。例如：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
3
aijbj aijbj ai1b1 ai2b2 ai3b3 j1 3
ai2i ai2i a121 a222 a323 i 1
ii
2
3 i 1
ii
2பைடு நூலகம்
( 11
22
33 )2
33
ij ij
ij ij
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
、、、当取n时，n阶张量，M = 3n。
◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合。
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是0阶张量，
矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示
则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。
例如：
'i
xi
x1
,
x2
,
x3
ui 'i
ui xi
u1 x1
u2 x2
u3 x3
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2 a121 a222 a323

张量运算（ＰＤＦ）

∇ψ
=
∂ψ ∂r
er
+
1 r
∂ψ ∂θ
eθ
+
∂ψ ∂z
ez
∇·f
=
1 r
∂ ∂r
(rfr
)
+
1 ∂fθ r ∂θ
+
∂fz ∂z
∇
×
f
=
(
1 r
∂fz ∂θ
−
∂fθ ∂z
)
er
+
( ∂fr ∂z
−
∂fz ∂r
)
eθ
+
[
1 r
∂ ∂r
(rfθ
)
−
1 r
∂fr ∂θ
]
ez
∇2ψ
=
1 r
∂ ∂r
(r
∂ψ ∂r
★满足式(1)（距离保持不变）的线性变换称之为正交变换：
xixi = xixi = const
(1)
★空间转动属于正交变换。其系数矩阵αij 为一正交矩阵：
α˜α = I
★其中I为单位矩阵。
§ 2.2 张量的定义
【定义】如果某一物理量T ，在三维笛卡儿坐标系下，由3n个有序分量Tl···m描述，并且经过由坐标系Σ到Σ 的变换αij后，满足如下关系：
★同一般的矢量比较，∇算子具有微分、矢量两重特性。
◆∇算子的大小：
1 r
（量纲）
◆∇算子的方向：纵向
∇
=
ex
·
∂ ∂x
+
ey
·
∂ ∂y
+
ez
·
∂ ∂z
∇·
f
=
∂fx ∂x

(参考资料)矢量与张量常用公式的证明

矢量与张量常用公式的证明并矢的常用公式有（1）()()()AB A B A B ∇⋅=∇⋅+⋅∇K K K K K K（2）()()()AB A B A B ∇×=∇×−×∇K K K K K K设S 为区域Ω的边界曲面，n K为S 的法向单位矢量（由内指向外），有（3）d ()d ()S S AB V AB Ω⋅=∇⋅∫∫K K K K Kv（4）d d S S A V A Ω×=∇×∫∫K K Kv（5）d d S S u V u Ω=∇∫∫Kv（6）d ()d ()S S AB V AB Ω×=∇×∫∫K K K K Kv（7）d d SS A V A Ω=∇∫∫K K Kv设L 为曲面S 的边界，L 的方向与S 的法线方向成右手螺旋关系，有（8）d d LSl u S u =×∇∫∫K Kv说明：以下的证明都是在直角坐标系下进行的，在直角坐标系下，kk e x ∂∇=∂K ，k e K为常矢量，可放在k x ∂∂前或后。

常把k x ∂∂记为k ∇，所以k k e ∇=∇K。

在证明过程中注意d d i i S S e =K K，d d i i l l e =K K ，时刻不忘爱因斯坦求和约定。

并且在证明过程中，经常利用公式i j i j k k e e e ε×=K K K ，ijk i j k A B A B e ε×=K K K ，ijk i j k A A e ε∇×=∇K K，()A B C ×⋅K K Kijk i j k A B C ε=等。

下面是证明过程：（1）()()()()k k i i j j k i j k i j AB e Ae B e A B e e e ∇⋅=∇⋅=∇⋅K K K K K K K K()()k i j ki j k k j j A B e A B e δ=∇=∇K Kj k kk k j j j j k k k k j j B A A B e B e A A B e ⎡⎤⎡⎤=∇+∇=∇+∇⎣⎦⎣⎦K K K ()()()()()()j j k k k k j j B e A A B e B A A B =∇+∇=∇⋅+⋅∇K K K K K K()()A B A B =∇⋅+⋅∇K K K K（2）()()()()k k i i j j k i j k i j AB e Ae B e A B e e e ∇×=∇×=∇×K K K K K K K K()i k j j k i kip p j A B B A e e ε=∇+∇K K（k i kip p e e e ε×=K K K ） kip i k j p j j kip k i p j A B e e B Ae e εε=∇+∇K K K K()()()()ikp i k p j j kip k i p j j A e B e Ae B e εε=−∇+∇K K K K （ijk i j k A B A B e ε×=K K K ，ijk i j k A A e ε∇×=∇K K ）()()()()A B A B A B A B =−×∇+∇×=∇×−×∇K K K K K K K K在后面的几个公式的中，要利用Gauss 公式d d S A S A V Ω⋅=∇⋅∫∫K K Kv ，Gauss 公式也可以写成d d SS A V A Ω⋅=∇⋅∫∫K K Kv ，或者d d i i i i SS A V A Ω=∇∫∫v 。

矢量和张量

• 假设 xi 和 xi 是共原点的两个笛卡尔右
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量，分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量，分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi

矢量与张量(续)

笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。n 阶张量满足以下的坐标变换规律：
T β β L β T iii2L in
i1 j1 i2 j2
in jn j1 j2L jn
张量有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来
• 矢量的旋度
算子与一个矢量V 的叉积可写成×V 的形式，称之为V 的
旋度，它的分量形式为：
e1 e2 e3 V ce1 (v1,3 v3,1)e2 (v2,1 v1,2)e3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
x2
xi 正方向的单位基矢量
e i
V v1e1 v2e2 v3e3 viei
W U V u1 v1 e1 u2 v2 e2 u3 v3 e3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
任意两矢量a和 b的点积: a b | a || b | cos(a, b)
由叉积定义,若 e1, e2 , e3 是直角坐标系的单位基矢量，则：
ei e j ei jkek
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
三矢量a,b,c的三重标量积或框积
[a,b,c] [b,c,a] [c,a,b] a (b c) aibjckeijk
aicibses aibicses (ac)b (ab)c
即
a(bc) (ac)b(ab)c
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场

矢量、并矢和张量

(
)
)
(
并矢并矢
1）两并矢的一次点乘： AB ⋅ CD = A B ⋅ C D = A B ⋅ C AD ≠ CD ⋅ AB
( )
(
)
)
2）两并矢的二次点乘 AB : CD = B ⋅ C A ⋅ D
(
)(
)
3）单位张量与矢量、张量的点乘
反向定律： A × B

逆向交换定律： A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B) 逆向变换定律： A × ( B × C) = B ⋅ (C ⋅ A) − C ⋅ ( A ⋅ B) 4、矢量微分

ˆ dA ˆ dA dA =A +A dt dt dt d ( A ⋅ B) dB dA = A⋅ + ⋅B dt dt dt
i, j
( (
(
) )
)
(
)
C ⋅ AB = C ⋅ A B = B C ⋅ A = B A ⋅ C = BA ⋅ C
(
)
(
)
(
)
电动力学讲稿●附录
AB × C = C × AB =
(
A B ×C C×A B
电动力学讲稿●附录
矢量、并矢和张量的计算
一、矢量 1、矢量表示形式
3 ˆ x + Ay e ˆ y + Az e ˆ z = ∑ Ai e ˆi A = Ax e i =1 3 ˆx + By e ˆ y + Bz e ˆ z = ∑i , j =1

矢量和张量

并矢量
二个矢量v和w的并矢积是二阶张量的一个特殊形式，它的分量是该二矢量的分量之积；于是并矢积vw是
单位张量
是对角分量皆为1，非对角分员皆为零的一个张量：
单位张量的分量是δij，即克罗内克符号。还应注意，单位张量的每一行(或列)分别是三个单位矢量 δ1，δ2，δ3的各个分量。
现在引入一组单位并矢量，总共有九个单位并矢量：于是
一些矢量恒等式
矢量微分运算
• 矢量微分算符▽又称“nabla”或“del,”或哈密尔
顿算符（Hamiltonian operator），在直角座标系
下定义为：
1
x1
2
x2
3
x3
式中δi是单位矢量i，ixi是xi 与座标轴1，2，3相关的变量
(xi是位置座标，通常记为x,y,z)。符号▽是一矢性算符；它与矢量一样，具有三个分量，但不能单独存在，必
▽可得出一个标量积:
上式给出了以矢量v的分量的导数的一个集合，称为v 的散度(又常简写为divv)。散度运算有下面一些性质需加注意：
矢量场的旋度
由此构成的矢量称为v的旋度。[▽ x v]的另一符号记作curlv或rotv。德国文献中常采用后一种符号。与散度一样，旋度运算满足分配律，但不满足交换律和分配律。
一张量与一矢量的矢量积(或点积)
当一张量与一矢量作点积，得一矢量：
由上面这些结果，可容易地证得下列恒等式，
含有张量和并矢量的微分运算
在并矢量中有一个重要的成员▽v，它在传递过程中有着重要的用途，在直角坐标系中▽v的表达为
用同样的方法可得
用上面的方法可以很方便地证明张量恒等式
一个张量微分恒等式的证明h2h3 h1Fra biblioteks q1

附录I：张量概念及其基本运算

Tx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎫ ⎪ Ty = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎬ ⎪ Tz = τ xz l + τ yz m + σ z n ⎭
T j = σ ij li
◆重复出现的角标称为哑标，不重复出现的角标称为自由标。 ◆自由标不包含求和的意思，但它可表示该表达式的个数。
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 13
Mechanics of Elasto-Plasticity
2 2 2 a = ∑ aii = a11 + a 22 +a 2 ii j =1 3
(σ ii )
2
⎛ ⎞ = ⎜ ∑ σ ii ⎟ = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 2 ⎝ i =1 ⎠
石家庄铁道大学工程力学系 16
Mechanics of Elasto-Plasticity
σ = σ x l 2 + σ y m 2 + σ z n 2 + 2 (τ xy lm + τ yz mn + τ zx nl )
σ = σ ij li l j
( i , j = x, y , z ) ( i , j = x, y , z )
(aii ) 2 = (a11 + a 22 + a33 ) 2
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 18
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 17
Mechanics of Elasto-Plasticity
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前优先求和。例：

附录：张量解析

【erst】 4．三个矢量a，b，c的混合积(标量) ：
5．三阶行列式的展开式为：
r,s,t正排列 r,s,t逆排
列
6．利用指标符，证明恒等式：
利用δ换标作用，右端⇒左端
由e∼ δ恒等式(一对哑标），可知：
左端＝右端 ∴恒等式成立
一、求和约定、哑标
【利用哑标可把多个项缩写成一项】
爱因斯坦(A．Einstein)求和约定：如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。用哑标代替求和号∑，(A．4) 式简化成
通过哑指标可把多个项缩写成一项
二、自由标二、自由标
⑴ δij定义： ⑵ δij的性质：
❶ δij的分量集合对应于单位矩阵。例如，3D：
❷ 定义表明它对指标i和j是对称的，即
❸ δij具有换标作用（换标符号）即利用δij可以把线元长度平方的公式改写成:
利用δij定义，可以验证：＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3
❺ 一般地说，不能由等式
(A．12) “两边消去ai来自(A．13)1
≠
如果ai特定取值时(A．12)式可成立，如可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) ⇒ b1 ＝c1 同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) ⇒ b2 ＝c2 (a1，a2，a3)=(0，0，1) ⇒ b3 ＝c3 所以(A．13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai”
练习
同理有：
二、排列（置换）符号erst
⑴符号erst三种定义：

矢量和张量

在柱坐标系中，对应(r，θ，z)的拉梅系数h为(1，
r，1)故有
在球坐标系中，对应(r，θ，φ)的拉梅系数h为(1，
r，rsin θ)故有
称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样，拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些运算方法。这些运算在传递现象的理论中会遇到，特别是动量传递中。
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形法则进行运算；矢量减法运算如下：改变一个矢量的符号，然后与另一失量相加。
矢量和标量的乘法
用一标量乘一矢量，仍为一矢量，它的大小改变，但方向不变。下述定律适用；
二矢量的标量积(或点积)
二矢量v和w的标量积为一标量，定义如下：
v w vwcosvw
a31 a32 a33
矢量及其大小的定义：单位矢量
一矢量v可以完全地用其在座标抽I，2，3上的投影 v1,v2,v3来描述(见左图)。因此一矢量可以解析地表示为：
3
v 1v1 2v2 3v3 ivi i 1
一矢量的大小如下式所给：
上面介绍过的单位矢量具有了下述几个性质它们可归纳如下；式中δij和εijk分别是前边介绍过的克罗内克符号和交错单位张量。
v v 0
矢量运算的解析表示
克罗内克符号(Kronecker delta)δij和交错单位张量εijk，可把许多公式表达得更为简单。它们的定义如下：
ij 1 若i j

张量和矢量点乘

张量和矢量点乘
张量是一种多维数组，可以用于表示多元函数，其在数学、物理等领域有广泛应用。

矢量点乘，又称向量点乘，是矢量空间中两个向量的一种运算。

在数学和物理学中，矢量点乘（又称数量积或内积）是两个矢量的模（长度）乘以它们的夹角的余弦值。

矢量点乘的结果是一个标量（数量），而不是一个向量。

具体来说，设两个矢量A和B，它们的点乘运算可以表示为：
A ·
B = |A| * |B| * cos(θ)
其中，|A| 和|B| 分别表示矢量A和B的模（长度），θ表示矢量A 和B之间的夹角。

cos(θ)是它们的夹角的余弦值。

在实际应用中，矢量点乘广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。

例如，在物理学中，矢量点乘可以用于计算两个矢量的合力、速度、加速度等；在计算机图形学中，矢量点乘可以用于计算光线与物体的交点、法向量与光照方向的点乘等。

需要注意的是，在不同的学科和领域中，矢量点乘的定义和符号可能略有不同。

例如，在有些学科中，矢量点乘也称为“数量积”，而在有些学科中，矢量点乘则称为“内积”！。

第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION4

§4 张量算法一、张量概念[张量的一般定义] 若一个量有n N 个分量，而每个分量在n 维空间R n 中的坐标变换()n i i x x x x ''⋅⋅⋅=,,1 (i = 1 , ·, n )之下，按下面的规律变化：lm mm l l j l mj j i i i i i i j j j j j i i T x x x x x x x x T⋅⋅⋅⋅⋅⋅'''⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂⋅⋅⋅∂∂='111111 1 1 式中l mj j i i T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11是x i的函数，11l mj j i i T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是x i '的函数，则量lmj j ii T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11(共有n N个分量)称为l 阶逆变(或抗变)m 阶协变的N (=l ＋m )阶混合张量(或称为(l ＋m )型混合张量).张量概念是矢量和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵(方阵)是二阶张量，而三阶张量(例如T jk i)好比“立体矩阵”(图8.18右).更高阶的张量不能用图形表达.下面列出n =2时的张量示意图：[张量举例]1可乘张量设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量a , b 是已知的，则由等式i k i k k i ik k i ik k i ik b a T b a T b a T b a T ====⋅,.,,确定的都是二阶张量，称为可乘张量.2克罗内克尔符号克罗内克尔符号δj i 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是因为从ij ji i i xx x x δ=∂∂∂∂'' 可得i j j j i i j i i i i j xx x x x x x x δδ''''''∂∂∂∂=∂∂∂∂= [二阶对称张量与反对称张量] 若张量满足等式k i i k ki ik ki ik T T T T T T ===,,则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式T T T T T T ik ki ik ki k i i k =-=-=-,,则分别称为二阶反对称协变张量、二阶反对称逆变张量和二阶反对称混合张量. 张量的逆变(协变)指标的对称性质在坐标变换下是不变的.在三维空间中，二阶反对称张量与矢量等价.二、张量代数[指标的置换] 指标置换是张量代数的最简单运算，利用它可作出新的张量.例如，通过指标置换，可由张量T ki 得到新的张量T ik ，它的矩阵是张量T ki 的矩阵的转置矩阵. [加(减)法] 同类型的若干个张量的对应分量相加(或相减)就得到一个新的同类型张量的分量，这种运算称为张量的加法(或减法).任何二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分.例如()()ki ik ki ik ik T T T T T -++=2121[张量的乘法] 把两个张量的分量按各种可能情形相乘起来，就会得到一个新张量的分量.这个张量的逆变与协变的阶数分别等于原来两个张量的逆变与协变的阶数之和.这种运算称为张量的乘法.例如khl mk l hm s s tt r r p p s s r r t t p p T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11111111这是一个l ＋k 阶逆变m ＋h 阶协变的混合张量，它的阶数为l ＋m ＋k ＋h . 注意，张量乘法的次序是不可交换的.[张量的缩并] 对一个给定的混合张量，把它的一个逆变指标与一个协变指标相等的相加起来，得出阶数较低(逆变和协变各低一阶)的张量，这种运算称为张量的缩并.例如lml mss s q q s s s q q T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=212122是一个l －1阶逆变m －1阶协变的混合张量.[指标的升降] 在应用中经常用二阶逆变张量()()a a ij ij det ≠0的相乘与缩并来“升高”张量的协变指标，用二阶协变张量()()a a ij ij det ≠0相乘与缩并来“降低”张量的逆变指标.这种运算称为指标的升降.例如T ijk 就可由a ij和a ij 升降：ijkkp jm il lmp ijk jm il k lm ijk il jk l lmp ijk kp jm il lm j ijk km il lm k ijk jm il lij ijk kl l ik ijk jl ljk ijk il T a a a T T a a T T a T T T a a a T T a a T T a a T T a T T a T T a =========,,,,,,[张量的商律] 设T j j i i ml11⋅⋅⋅⋅⋅⋅和Tj j i i ml 11''''⋅⋅⋅⋅⋅⋅各为一组x i 和x i '的函数，如果对任意逆变矢量λi 与λ'i 及任一指标j k ，j k '使jk i i j j j l m k T λ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11与''⋅⋅⋅''⋅⋅⋅'⋅⋅⋅'kl m k j i i j j j T λ11 成为张量，则T j j i i m l11⋅⋅⋅⋅⋅⋅必为张量.这种判别张量的法则称为张量的商律.例如 T k l m ij 与T k l m i j '''''各为x i ，x i '的函数，而且m mk k j j i i lij klm l j i m l k x x x x x x x x T T ''''''''''∂∂∂∂∂∂∂∂=λλ则m mk k j j i i l l l ij klm l j i m l k xx x x x x x x x x T T ''''''''''''∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=λλ即0'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-''''''''''l m m l l k k j j i i ij klm j i m l k x x x x x x x x x x T T λ 对所有的λ'l 都成立，所以上式括号中的表达式等于零，因此T klm ij是张量.以任意协变矢量代替逆变矢量可得相仿的结果. [张量密度] 按下面规律变化的量⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'''⋅⋅⋅'⋅⋅⋅'⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂=l k wa a k kl l l k T xx x x x x T 称为张量密度，式中w 为一常数，称为张量密度的权.张量就是权为零的张量密度.根据张量的阶数，还可以定义标量密度和矢量密度.两个指标的数目相同，且权相同的张量密度之和是一个同类型的张量密度.两个张量相乘时，权相加.三、张量分析上述张量都假定它的分量是空间R n 中点M (x i)的函数：()T T xj j i i j j i i im l m l 1111⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 当点M (x i )在空间R n中某一区域D 中变动时，则称T j j i i m l11⋅⋅⋅⋅⋅⋅是区域D 中的一个张量场.上面所建立的张量代数的各种运算，都可以应用到张量场上来.对于张量场还有一个不变的运算——绝对微分(也称为协变微分)，这就是张量分析要讨论的内容.一个标量场的普通导数是一个协变矢量场(梯度场)的分量.但是，一般说来，一个张量场的普通导数并不构成新的张量场.[仿射联络空间] 若对空间R n中的每一坐标系(x i)，在一已知点M 给定了一组(n 3个)数k ij Γ，并在坐标变换()x x x i i i ''=下，它们按下列规律变化k ijkk j j i i kk j i k k j i x x x x x x x x x x x Γ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=Γ'''''''''2 (1) 则称在点M 给定了一个联络对象(或联络系数)，其中偏导数是在点M 取值的. 假定在空间R n中给定了联络对象场()()n k ij k ij x x M ,,1⋅⋅⋅=ΓΓ而且这些函数是连续可微的，则称R n为仿射联络空间，记作L n.一般说来，k ji k ij ΓΓ≠[挠率张量] (1)式中k ij Γ的变换规律包括两项：第一项不依赖于旧坐标系中的k ij Γ；第二项依赖于k ij Γ，并和张量的变换规律的形式完全相同.由于第一项对两个下标''i j ,是对称的，它一般不等于零，所以k ij Γ不是一个张量.但是k ji k ij k ij T ΓΓ-=构成一个张量，称为仿射联络空间L n的挠率张量.如果挠率张量k ij Γ等于零，即k ji k ij ΓΓ=则称所给定的空间是无挠率的仿射联络空间，记作L n 0.[矢量的绝对微分与平行移动] 若在空间L n中给定一个逆变矢量{}a i ，则在坐标变换下有iMi i i a x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=''(2) 这构成矢量{}a i 在点M 的变换规律.如果从点M ( x i )移到点N (x i ＋d x i)，则有()i i jM ji i M i i i i a a x x x x x x a a d d d 2+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+''''式中d a i表示矢量{}a i 从M 移到N 时的改变量的分量.在上式中只取一次项就得到ji Mji i iM i i i x a x x x a x x a d d d 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂='''(3) 若变换的二阶偏导数在M 不等于零，则一个矢量的改变量决不是一个矢量的分量. 如果R n 为仿射联络空间，可由(1)，(2)，(3)式得到()kj i jk i Mi i k j i k j i x a a x x x a ad d d d ΓΓ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+'''''''这表明k j ijk i i x a a Da d d Γ+=是一个逆变无穷小矢量.称Da i为矢量{}a i 在点M 处关于分量为d x i的位移MN 的绝对微分.如果联络对象()0=MijkΓ，则绝对微分与普通微分一致.若矢量{}Da i 等于零，即k j ijk i i x a a Da d d Γ+==0就称矢量{}a i 关于联络i jk Γ从点M 平行地移动到点N .当()0=MijkΓ，分量a i 保持不变(d a i= 0)时，矢量从点M 平行移动到点N ，就相当于欧氏空间中的平行移动. 如果给定一条曲线Cx i = x i( t )和一个逆变矢量{}a i ，沿这条曲线C 可以作伴随于{}a i 的矢量tx a t a t Da kj i jk i i d d d d d Γ+= 称它为沿曲线C 的导矢量.如果{}a i 的导矢量为零，即0d d d d =+tx a t a kj i jk i Γ (4) 则矢量a i自身沿曲线C 平行地移动，(4)式与坐标系的选择无关，就是说，矢量沿曲线的平行移动在坐标变换下是不变的.同样地可以考虑协变矢量{}a i 的绝对微分与平行移动.称k i ijk j j x a a Da d d Γ-=为协变矢量{}a i 关于位移d x i的绝对微分.平行移动的条件为0d d =-k i i jk j x a a Γ或沿曲线C 平行移动的条件为0d d d d =-tx a t a kiijk j Γ [协变导数] 从逆变矢量与协变矢量的绝对微分的定义公式可以得到量j i jk k i a xa Γ+∂∂和i ijk kja x a Γ-∂∂它们是关于指标k 协变的二阶张量，分别称为矢量{}a i 和{}a j 的协变导数，分别记作a i k ;和a j k ;或∇k i a 和∇k j a .[张量的绝对微分与平行移动及其协变微分法]由乘积的微分公式和张量的定义可以推出张量的平行移动规律. 例如，三阶张量的平行移动规律为()s rik l rs l ir r ks l rk r is l ik x T T T T d d ΓΓΓ-+=四阶张量的平行移动规律为()s lrij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is lk ij x T T T T T d d ΓΓΓΓ--+=可以看出,张量平行移动规律中所包含的项数与张量的阶数是相同的, 对于张量的逆变指标, 类似于逆变矢量平行移动的规律; 对于张量的协变指标, 类似于协变矢量平行移动的规律.记()s lr ij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is lk ij lk ij x T T T T T DT d d ΓΓΓΓ--+-=则称DT ij lk 为张量T ij lk 的绝对微分. [张量的协变导数及其运算法则]lr ij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is slkijlk ij s lk s ij T T T T x T T T ΓΓΓΓ++--∂∂=∇≡;称为张量T ij lk 的协变导数，它是一个五阶张量的分量.在普通导数中，对于已微分的张量的每个指标再加上一项就可以构成任意张量的协变导数，对于逆变指标，这项的形式是⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ri rs s i T T Γ;对于协变指标是⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r ks s k T T Γ;协变导数的运算法则如下：1若干个同样结构的张量之和的协变导数等于各个张量的协变导数之和，即()∇+=∇+∇⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅s j j i i j j i i s j j i i s j j i i T U T U m l m l m l m l111111112满足积的微分法则，即()()()()∇=∇+∇+∇s s s s ABC A BC A B C AB C[自平行曲线] 在仿射联络空间中，如果切于曲线上一点M 0的每个矢量{}a i0沿这曲线平行移动时是切于这曲线的，则称这曲线为自平行曲线.设曲线的方程为x i=x i(t ), 它的切矢量为tx i d d ，它沿曲线平行移动的条件为0d d d d d d 22=+t x t x tx kj i jk i Γ 这就是联络ijk Γ的自平行曲线的微分方程.设()ikj i jk i jk S ΓΓ+=21 上面的微分方程可写成t x t x S tx kj i jk i d d d d d d 22-= 系数S jk i 显然关于j 和k 是对称的，并构成一个仿射联络.称S jk i 构成伴随于ijk Γ的对称仿射联络，如果i jk Γ关于j , k 也是对称的，则S jk i 与ijk Γ一致.。

张量概念及其基本运算.

(4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii

(5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1,或a2 ,或a3 )

(6) ijl j li ijl j ijl j ( ij ij )l j
第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量它们所组成的集合仍然是一个张量称为第一个张量乘以第二个张量的乘积即积张量
张量概念及其基本运算
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具。
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2 a121 a222 a323
(aii )2 (a11 a22 a33 )2
★ 关于自由标号：

( 11
22
33 )2
i1
33
ijij
ij ij
i1 j1
1111 12 12 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
算子 i作用的结果，将产生一个新的升高一阶
的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号，
则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。
例如：
'i

xi

x1

第一章-矢量和张量(1)

矢量与张量为什么学习张量1. 物理量：标量矢量张量2. 客观性：客观规律与坐标系（观察者）无关第一章：矢量矢量：1.方向性2.合成结果与顺序无关不符合这两点要求的不是矢量。

转动具有大小和方向但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。

基本运算：1. 点积 abcos ⋅=θa b a 与b 在a 上的投影之积。

分配律：()⋅+=⋅+⋅a b c a b a c 证明：+b c 的投影等于b 的投影与c 的投影之和推论：① ()()α+β⋅λ+γ=αλ⋅+αγ⋅+βλ⋅+βγ⋅a b c d a c a d b c b d ② ()111223311b b b b ⋅=++⋅=b e e e e e ③ ()()()333i i j j i i i 1i 1i 1a b a b ===⋅=⋅=∑∑∑a b e e2.叉积 absin ⨯=θa b n有方向的平行四边形面积3混合积 ()⋅⨯u v w 六面体体积改变六面体底、高顺序可证：()()()⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯u v w v w u w u v推论：① 叉积分配律：()⨯+=⨯+⨯a b c a b a c 证明：()()()()()()()⋅⨯+=+⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯=⋅⨯+⨯v a b c b c v a b v a c v a v a b a c上式对任何矢量v 都成立，所以()⨯+=⨯+⨯a b c a b a c② ()()α+β⨯λ+γ=αλ⨯+αγ⨯+βλ⨯+βγ⨯a b c d a c a d b c b d ③ ()()112233112233a a a b b b ⨯=++⨯++a b e e e e e e123231312123123231312123a a a a a a a a a b b b b b b b b b ==-+e e e e e e ④ ()⨯⋅=a b c 231312123231312a a a a a a c c cb b b b b b -+123123123c c c a a a b b b = ⑤ ()()21232123123u u u v v v w w w ⋅⨯=u v w wuvT123123123123123123u u u u u u v v v v v v w w w w w w ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u v u w v uv vv ww u w v w w线性相关：一组矢量i (i=1,2,k)a 中至少有一个矢量可以用其余的矢量线性组合表示：()j i i i j≠=α∑a a线性无关：()ki i i 1=α=∑a 0等效于i 0α=(i=1,2,k)三维空间中三个线性无关的矢量,,a b c ,如果其线性组合111111112223222223323323a b c 0a b c 0a +b +c =0a b c 0a b c 0a b c 0α⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ααα⇒α= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥α⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 则i 0α=，说明系数矩阵满秩。

第1章矢量与张量

18张量的矢积181置换符号与行列式展开式置换符号ricci符号用于指标轮换不是张量的分量分量值不随坐标改变而变化对任意两个指标反对称表示行列式展开下标按123排列时上标按顺序为按逆序为ijkijk行列式列重排行列式行列均重排lmnijklmnijk182置换张量eddington张量ijijlmnlmnijkijkijkijk广义kronecker符号有6个自由指标是6阶张量前式
xi
r = r ( x1 , x 2 , x3 )
( ( x i ) 与空间所有点1－1对应，x i )
就是曲线坐标系； 3.
( x i ) 不是 r 在在固定坐标系中的
(X i) ：投影长度
≠ x1i + x 2 j + x3 k r = X 1 ( xi ) i + X 2 ( xi ) j + X 3 ( xi ) k
a ( u + v ) = au + av
uI 线性相（无）关：是（否）存在一组非全为零的数 aI ，使∑ ai ui = 0
i =1 I
8.叉积 i j k w = u × v = u x u y u z ； u × v = u v sin( u, v ); u, v组成的平行四边形面积 vx v y vz
2
指标升 / 降 ◊ 基矢量指标升 / 降：g i = G ij g j，gi = Gij g j （度量张量的元素实际上就是协、逆基矢量相互线性分解的系数） ◊ 矢量分量指标升 / 降：P = p i gi = p j g j ⇒ p i = G ij p j，p j = G ji p i ◊ 张量分量指标升 / 降：T = T•ij gi g j = T•ij Gim g m G jn gn = T•ij Gim G jn g m gn

矢量张量公式及推导

⽮量张量公式及推导⽮量及张量1. 协变基⽮量：321g g g a 321a a a ++=，i a 称为逆变基分量，i g 是协变基⽮量。

2. 逆变基⽮量：321g g g a 321a a a ++=，i a 称为协变基分量，ig 是逆变基⽮量。

3. 爱因斯坦求和约定：省略求和符号，ii g g a i i a a == 4. 逆变基于协变基的关系：ji δ=?j i g g5. 标积：i i j i j i b a b a =?=?g g b a6. 坐标转换系数i i 'β：i i i i i ii i i i i xx x x x x g g r r g '''''β=??==??=7. 转换系数的性质：i j k j i k δββ=''，因为''''m l m j i l j i i j g g g g ?=?=ββδ8. 张量：分量满⾜坐标转换关系的量，⽐如⽮量''''''i i i i i i k k i i v v v ββ=?=?=g g g v9. 置换张量：ijk k j i ijk e g ==][g g g ε，其中][321g g g =g ，同理有ijkk j i ijk e g1][==g g g ε由⾏列式的性质及线性][][]['''''''''n m l nk m j l i n n k m m j l l i k j i g g g g g g g g g ββββββ==，因此ijk ε是张量分量。

定义置换张量：k j i ijk k j i ijk g g g g g g εεε==10. 基的叉积：k l ijl ijk k j i g g g g g ?==??εε，所以l ijl j i g g g ε=?，l ijlj i g g g ε=?11. 叉积：k ijk j i j i j i b a b a g g g b a ε=?=?，或写成实体形式ε:ab ab :εb a ==?，双标量积⽤前前后后规则完成。

附录l 张量记法

3．求导数的简记方法微分算符简记为
∂Φ ∂Φ ∂Φ = Φ '1 ; = Φ '2 ; = Φ '3 ∂x ∂y ∂z
Kronecker符号 4. Kronecker符号
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + = σ1 j ' j ∂x ∂y ∂z
矢量的点积：矢量的点积：一个矢量和另一个矢量的点积可以决定一个标量，定一个标量，也可以用指标符号标记记基矢的点积为 δ11 δ12 δ13 1 0 0 e i ·e j = δij δij = δ21 δ22 δ23 = 0 1 0 其中
∂( ) = ( ) ,i ∂xi
梯度可记为
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∇ ϕ = e1 + e2 + e3 = ϕ ,i e i ∂ x1 ∂x 2 ∂ x3
则散度可记为
∂v1 ∂v2 ∂v3 ∇•v = + + = vi ,i ∂x1 ∂x2 ∂x3
张量的定义：标量与坐标轴的选取无关，但矢量分量和应力分量和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换有关，满足坐标变换公式的物理量称为张量。设新坐标系的新坐标轴的基矢 e1‘ 、 e2’ 、e3‘对原基矢e1、e2和e3的变换矩阵为[lij]= l，矢量为一阶张量，矢量分量的坐标变换公式为 [vi’] = l [vi] 用指标符号记为
∑a bc
i =1
i i i
≠ ai bi ci
(2)哑标的有效范围仅限于本项。 (2)哑标的有效范围仅限于本项。哑标的有效范围仅限于本项 (3)多重求和可采用不同的哑标表示多重求和可采用不同的哑标表示。 (3)多重求和可采用不同的哑标表示。 a ij xi x j (4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名， (4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名，即把哑标可以局部地成对替换表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，而不会影响它的含义。影响它的含义。

张量概念及其基本运算.

1,
ij

0,
当i j时；或：当i j时；
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
ij 的作用与计算示例如下：
(1) ii 11 22 33 3

(2) ij ij (11)2 ( 22 )2 ( 33 )2 3

u3 x3
ai2i ai2i a121 a222 a323 i 1
ii
2
3
ii
2

( 11
22
33 )2
i1
33
ijij
ij ij
i1 j1
1111 12 12 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：

(6) ijl j li ijl j ijl j ( ij ij )l j

4.张量的基本运算
A、张量的加减：
张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：
Байду номын сангаас
a11 a12 a13
aij a21
a22
a23

a31 a32 a33
凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)，并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。即：
张量概念及其基本运算

附录矢量与张量运算