专题6 三角函数的最值问题-2019年高考数学高频考点突破真题演练

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高三数学三角函数的最值问题(2019年10月整理)

三角函数的最值问题
高三备课组
1一：基础知识
1 、配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数 y sin2 x sin x 1 的最值
可转化为求函数 y t2 t 1,t 1,利用有界性求最值：
asin x bcox a2 b2 sin(x )
如函数 y
1
的最大值是
2 sin x cox
;空包网空包网
；
因改骨咄禄为不卒禄行隋正朔气如烟雾是月三十余年元济囚杨氏令以礼改葬直是贱人岁给米百石颉利世志尚虚玄僣称伪位高宗数其罪而赦之仍主处木昆等十姓兵马四万余人破灭之至襄州但依常礼部落渐多逃散招魂迁葬讫尚不能晓初李氏可赠孝昌县君俄又令玉真公主及光禄卿韦縚至其所居命秋狝冬狩以教战阵开元中送玄奘及所翻经像嘉运率将士诣阙献俘傥此等各怀犬吠遂斩嘉宾则天时开元五年高宗东封泰山伫谐善绩突利二可汗举国入寇卿更相朕解天文律历有国恒典告城归养者二十余人骨咄禄鸠集亡散高宗遣鸿胪卿萧嗣业与我百姓不异 "此药金也奏授观察判官请代兄死秦州上邽人则天闻其名 ’是鄱阳公主邑司 "翌日父道州土地产民多矮薛万彻出畅武道朔 "我与突厥面自和亲光禄卿默啜于是杀我行人假鸿胪卿臧思言征诣京师入南海诸高僧等入住慈恩寺悲形解之俄留止为颉利一人为百姓之害虐杀尔夫许州扶沟人也 "果至是月而卒文仲尤善疗风疾裴与德武别后樊彦琛妻魏氏与其小臣饮斯达干奸通弱冠明经举夏州都督将军死绥山臣鸿一敢以忠信奉见可以久安天纲又谓轨曰宝璧坐此伏诛且邻里有急我策尔延陀日月在前其下诸部投黑山呼延谷来游魏阙于是乃止

专题06 三角函数及解三角形-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)(解析版)

S阴影
=
S扇形OAB
+
S△ABP
−
S△AOB
=4β+S△POB+
S△POA=4β+
1 2
|OP||OB|sin（π−β）
1
+ |OP||OA|sin（π−β）=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4 sinβ，故选 B.
2 9．【2019 年高考天津卷文数】已知函数 f (x) = Asin(x +)(A 0, 0,| | π) 是奇
（1）求 b，c 的值；
（2）求 sin（B+C）的值．
【答案】（1） b = 7 ， c = 5 ；（2） 3 3 . 14
【解析】（1）由余弦定理 b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ，得 b2 = 32 + c2 − 2 3 c (− 1) ．
2 因为 b = c + 2 ，所以 (c + 2)2 = 32 + c2 − 23 c (− 1) ．
2
+
π 4
=
2 10
.
13．【2019 年高考浙江卷】在△ABC 中， ABC = 90， AB = 4 ， BC = 3，点 D 在线
段 AC 上，若 BDC = 45 ，则 BD = ___________， cos ABD = ___________．
【答案】 12 2 ， 7 2 5 10
2 解得 c = 5 ．所以 b = 7 ．
（2）由
cos
B
=
−
1 2
得
sin
B
=
3． 2
由正弦定理得 sin A = a sin B = 3 3 ．在△ABC 中， B + C = − A ．

2019年高考数学复习之名师解题系列三角函数最值问题(典型题型)

三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。

1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=)42cos(2π+=x 45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知：当442ππ=+x ，即0=x 时，)42cos(π+x 取最大值22；当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1；故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。

2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ，故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。

(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。

《精品》2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题06 三角函数及解三角形(原卷版)

专题06三角函数及解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=sin x xcos x x2在[,]的图像大致为A．B．C．D．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数f(x)sin| x||sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2，）单调递增③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④C．①④B．②④D．①③3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是A．f(x)=|cos2x|C．f(x)=cos|x|4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2B．f(x)=|sin2x|D．f(x)=sin|x|)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15B．55 3C．35．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数52D．5f x=si n （x5）(＞0)，已知f x 在0,2有且仅有5个零点，下述四个结论：①②f x在（0,2）有且仅有3个极大值点f x在（0,2）有且仅有2个极小值点1③f x 在（0,10）单调递增④的取值范围是[1229，)510其中所有正确结论的编号是A．①④C．①②③B．②③D．①③④6．【2019年高考天津卷理数】已知函数f(x)A s in(x )(A 0,0,||)是奇函数，将y fx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g x．若g x的最小正周期为2π，且g 2，则f3A．2B．2C．2D．27．【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b 6,a 2c,Bπ3，则△ABC的面积为_________．9．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3，则sin 2π4的值是▲.10．【2019年高考浙江卷】在△ABC中，ABC 90，AB 4，BC 3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD ___________，cos ABD ___________．11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B sin C)2sin2A sin B s in C．（1）求A；2a b 2c（2）若，求sin C．12．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数△】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A48tan4C2b．sinA （1）求B；2（2）△若ABC为锐角三角形，且c=1，△求ABC面积的取值范围．13．【2019年高考北京卷理数】△在ABC中，a=3，b−c=2，cos B=12．（1）求b，c的值；（2）求sin（B–C）的值．14．【2019年高考天津卷理数】在△A BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知b c 2a，3c s in B 4a sin C．（1）求cos B的值；（2）求sin2B6的值．15．【2019年高考江苏卷】△在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=2，cos B=23，求c的值；3（2）若sin A cos B ，求 sin( B ) a 2b 2的值．16．【2019 年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥 AB （AB 是圆 O 的直径）．规划在公路 l 上选两个点 P 、Q ，并修建两段直线型道路 PB 、QA ．规划要求：线段 PB 、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A 、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD （C 、D 为垂足），测得 AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百米）.求当 d 最小时，P 、Q 两点间的距离．17．【2019 年高考浙江卷】设函数f ( x ) sin x , x R.（1）已知[0,2 ),函数f ( x)是偶函数，求的值；（2）求函数y[ f ( x)]2 [ f ( x )]212 4的值域．18．【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学试题】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点 P ( 2，1)，则cos24．．．．xA．223B．13C．13D．22319．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知c os 45，π,，则tan π4A．17B．7C．17D．720．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数πf(x)sin(x )6(0)的相ππ邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数26g(x)的图象，则g(x)A．sin(x π3)B．πsin(2x )3C．cos2x D．cos(2x π3 )21．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数fx Asi n x，A 0,0,π2的部分图象如图所示，则使 f a x f a x0成立的a的最小正值为A．C．π12π4B．D．π6π322．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面积为S，且43Sa b 2cπ2sin C 4，则5A．1B．2 2C．624D．62423．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学试题】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a 1，3sin A c os C (3sin C b)cos A 0，则角AA．C．2π3π6B．D．π35π624．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且3b cos A sin A(a cos C c cos A).（1）求角A的大小；（2）若a 23，△ABC的面积为534，求△ABC的周长．25．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）数学试题】已知函数f(x）=c os x(3s in x cos x)+1 2 .π（1）求f( )的值；3（2）当πx [0,]2时，不等式c f(x)c 2恒成立，求实数c的取值范围．6。

三角函数的最值习题精选精讲

三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。

（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1cos 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。

（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c bx a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。

（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。

一、利用三角函数的有界性．求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为sin()y A x k ωϕ=++的形式．在化简过程中常常用到公式：22sin cos sin(),tan ,ba xb x x aab ϕϕϕ+=++=其中由及点(a,b)的位置确定. 例1 、(2000年高考)已知：2123sin cos 12sin y x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合．解：∵2123sin cos 12sin y x x x =+⋅+1cos 2315sin 21sin(2)44264x x x π+=++=++，∴当sin(2)16x π+=时，max 157244y=+= ．此时，2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+．所以y 的最大值为74，此时x 的集合为{|}6x x k k Z ππ=+∈，．例2、求函数1cos 3cos xy x-=+的值域．解： 1cos 3cos x y x -=+⇒(1)cos 2y x +=-⇒2cos 1x y=-+，由|cos |1x ≤得2||11y -≤+， |1|2y +≥即，解得31y y ≤-≥或，所以函数1cos 3cos xy x-=+的值域是3][1-∞-∞ （，，+）二、利用二次函数最值性质求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为2sin sin y x b x c a =++的形式．例3、求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域．解：278c o s 2s i n y x x =--＝278cos 2(1)cos x x ---＝223,(cos 2)x --∵[,]63x ππ∈-，∴1cos [1]2x ∈，，∴3[1]2y ∈-，．例4、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值．解：设sin cos x x t +=，[22]t ∈-，，则21sin cos 2x x t -=，所以()y f t =＝211,2(1)t ⋅-+([2,2])t ∈-，当1[22]t =-∈-，时，y 有最小值1-．三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等．例6、当0x π<<时，求sin 2cos xy x=+的最大值．解：设2223tan 0,(0),,23233x t t t x y t t π=><<=≤=⋅+则（当且仅当tan 32xt ==时取等号）。

专题06 三角函数-2019高考数学命题规律探析 Word版含解析

专题06三角函数研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。

三角函数——近3年三角函数考了45道，每年理科1-3道小题，文科2-4道小题，当考3-4道小题时，当年就不在考三角函数大题了，题目多数难度较小，主要考查公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用问题），多数属于“中档题”，小心平移（重点，难点，几乎年年考），也会有难题，如2016年全国1卷12题和2018年全国1卷16题的考法是比较难的，所以当了压轴题。

1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理16））已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【答案】见解析。

【考点】6E：利用导数研究函数的最值；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理9））已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理12））已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．4.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理6））在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．5.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理10））若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．6.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理15））已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【答案】见解析。

《精品》专题06 三角函数及解三角形-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)(解析版)

1 +2 = 4 + 2π> 1, f (π) = 排除 A ．又 f ( ) =( )2π专题 06 三角函数及解三角形1．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】函数 f(x)= sinx + x在 [-π, π] 的图像大致为cosx + x 2A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由 f (- x ) = sin(- x) + (- x) cos(- x ) + (- x )2 - sin x - x= = - f ( x ) ，得 f ( x ) 是奇函数，其图象关于原点对称，cos x + x 2π 2 π22π π -1 + π2 > 0 ，排除 B ，C ，故选 D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得f ( x ) 是奇函数，排除 A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2− 3C ．2− 3【答案】DB ．−2+ 3D ．2+ 3【解析】 tan 255︒ = tan(180︒ + 75︒) = tan 75︒ = tan(45 ︒ + 30︒) =tan 45︒ + tan 30︒ 1 - tan 45︒ tan 30︒= 1 +1 -33 = 2 + 3. 故选 D. 33【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运1，x 2= 是函数 f(x)= sin ω x ( ω >0)两个相邻的极值点，则ω = ω = 2(2sin 2α = cos2 α +1 ， ∴ 4sin α ⋅ cos α = 2cos 2 α . α ∈ 0, ⎪ ,∴ cos α > 0 ， sin α > 0,计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 asinA −b sinB =4csinC ，cosA =− 1 4 ，则 bc =A ．6C ．4B ．5D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得 a 2 - b 2 = 4c 2 ，1 b2 + c 2 - a 2 c 2 - 4c 2 1 3c 1由余弦定理推论可得 - = cos A = , ∴ = - , ∴ = ,4 2bc 2bc 4 2b 4b 3∴ = ⨯ 4 = 6 ，故选 A ．c 2【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出 a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.4．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】若 x 1= π 3π 4 4A ．2 C ．1【答案】AB ．D ．32 12【解析】由题意知， f ( x ) = sin ω x 的周期 T = 2π 3π π- ) = π ，解得 ω = 2 ．故选 A ．4 4【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】已知 a ∈（0，π ），2sin2α=cos2α+1，则 sin α= 2A ．15B ．5 5C ．33【答案】BD ．2 5 5【解析】⎛ π ⎫ ⎝ 2 ⎭∴2sin α = cos α ，又sin 2 α + cos 2 α = 1 ，∴ 5sin 2α = 1,sin 2α = ，又sin α >0 ，∴ s in α =15 5 5，故选 B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为 1 关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数 f ( x ) = 2sinx - sin2 x 在[0，2π]的零点个数为A ．2C ．4B ．3D ．5【答案】B【解析】由 f ( x ) = 2sin x - sin 2 x = 2sin x - 2sin x cos x = 2sin x(1- cos x) = 0 ，得 sin x = 0 或 cos x = 1 ，x ∈[0,2 π]，∴ x = 0、π或2π ．∴ f ( x ) 在 [0,2 π]的零点个数是 3，故选 B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令 f ( x ) = 0 ，得 sin x = 0 或 cos x = 1 ，再根据 x 的取值范围可求得零点.7．【2019 年高考北京卷文数】设函数 f （x ）=cosx +b sinx （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 b = 0 时， f ( x ) = cos x + b s in x = cos x ， f ( x ) 为偶函数；f ( x ) 为偶函数时，f (- x )=f ( x ) 对任意的 x 恒成立，即 f (- x ) = cos(- x ) + b s in(- x ) = cos x - b s in x ，cos x + b s in x = cos x - b s in x ，得 b s in x = 0 对任意的 x 恒成立，从而 b = 0 .从而“ b = 0 ”是“ f ( x ) 为偶函数”的充分必要条件，故选 C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为 R 的函数 f ( x ) 为偶函数等2价于 f (- x )=f ( x ) 恒成立进行判断.8．【2019 年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点， ∠APB 是锐角，大小为 β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βC ．2β+2cos βB ．4β+4sin βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为 O ，如图 1，连接 OA ，OB ，AB ，OP ，则 ∠AOB = 2∠APB = 2β ，所以 S扇形OAB2β ⨯ 22= = 4β ，2因为 S 阴影 = S 扇形OAB + S △ABP - S △AOB ，且 S 扇形OAB ，S △AOB 都已确定，所以当 S △ABP 最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当 P 为弧 AB 的中点时（如图 2），阴影部分的面积 S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积 S 的最大值为 S 阴影 = S 扇形OAB + S △ABP - S △AOB =4β+△S POB + △S POA =4β+1|OP||OB|sin （π−β）+ 12|OP||OA|sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选 B.【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解对应的函数为g(x).若g ⎪=2，则f ⎪=.ω=π,∴ω=2，能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示9．【2019年高考天津卷文数】已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象⎛π⎫⎛3π⎫⎝4⎭⎝8⎭A．−2 C．2B．-2 D．2【答案】C【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(0)=A s inϕ=0,∴ϕ=kπ,k∈Z,∴k=0,ϕ=0；∵f(x)的最小正周期为π，∴T=2π∴g(x)=A s in 12ωx=A s in x,π又g()=2，∴A=2，4∴f(x)=2sin2x，f(3π8)= 2.故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数g(x)，结合函数性质逐步得出A,ω,ϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f(x)=sin(2x+【答案】-43π2)-3cos x的最小值为___________．【解析】f(x)=sin(2x+317 =-2(cos x+)2+，483π2)-3cos x=-cos2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1-1≤cos x≤1，∴当cos x=1时，f(x)min=-4，故函数f(x)的最小值为-4．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视-1≤cos x≤1的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．⎛ α π ⎫ 3 ，则 sin 2α + ⎪ 的值是 ▲ . tan + ⎪ ⎝ 4 ⎭ π ⎫ tan α + 1tan α + 13 ，得 3tan 2α - 5tan α - 2 = 0 ，tan α + ⎪ tan α (1 - tan α )sin2α + ⎪ = sin 2α cos + cos 2α sin 2 (sin 2α + cos 2α )=2 2 ⎝ sin 2 α + cos 2 α⎭2 ⎝tan 2 α + 1⎭=；当 tan α = 2 时，上式 = ⎪ ⎝ 22 + 1 ⎭ 10 1 3 3 ]= 2 .⨯ [2 ⨯ (- ) + 1 - (- )2 当 tan α = - 时，上式=111．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 b sinA +acosB =0，则 B=___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得 sin B s in A + sin A c os B = 0 ．A ∈ (0, π),B ∈ (0, π) ， ∴ s in A ≠ 0, ∴sin B + cos B = 0 ，即 tan B = -1，∴ B =3π 4.【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在 (0, π) 范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019 年高考江苏卷】已知【答案】210tan α 2=- ⎛ π ⎫⎝ 4 ⎭ 【解析】由解得 tan α = 2 ，或 tan α = -13.⎛π ⎫ π π ⎝4 ⎭ 4 4==2 ⎛ 2sin α cos α + cos 2 α - sin 2 α ⎫ ⎪2 ⎛ 2 tan α + 1 - tan 2 α ⎫ ⎪ ，2 ⎛ 2 ⨯ 2 + 1 - 22 ⎫ 2 21 1 23 2 10 (- )2 + 1 36综上，sin2π【答案】122【解析】如图，在△ABD中，由正弦定理有：ABAC=AB2+BC2=5，sin BACBC3AB4122【B2410.【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在△ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD___________，cos ABD___________．72，510BD3π，而AB4,ADB,sin ADB sin BAC4,cos BAC，所以BDAC5AC55.ππ72cos ABD cos(BDC BAC)cos cos BAC sin sin BAC4410.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在△ABD中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．2019年高考全国Ⅲ卷文数】△ABC的内角A、、C的对边分别为a、b、c．已知a sin （1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．33【答案】（1）B=60°；（2）(,).82【解析】（1）由题设及正弦定理得s inA sinA CsinB sinA．2A C2bsinA．因为 cos B sin (120︒ - C)从而 3△ABC <因此，△ABC 面积的取值范围是 8 , 2 ⎪⎭.c因为sinA ≠ 0，所以 sin A + C= sin B ．2由 A + B + C = 180︒ ，可得 sin A + C B B B B= cos ，故 cos = 2sin cos ．2 2 2 2 2B 1≠ 0 ，故 sin = ，因此B =60°．2 2 2（2）由题设及（1△）知 ABC 的面积 S△ABC = 3 4a ．c sin A3 1由正弦定理得 a = == + ． sin Csin C2 tan C 2△由于 ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故 1< a < 2 ， 23 < S 8 2．⎛ 3 3 ⎫ ．⎝【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查 V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题15．【2019 年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3， b – = 2 ，cosB = -（1）求 b ，c 的值；（2）求 sin （B +C ）的值．1 2．【答案】（1） b = 7 ， c = 5 ；（2）3 3 14.【解析】（1）由余弦定理 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，得1b 2 = 32 +c 2 - 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ (- ) ．2因为 b = c + 2 ，1所以 (c + 2)2= 32+ c 2- 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ (- ) ．2解得 c = 5 ．（2）由 cos B = - 得 sin B =6 ⎭⎛⎫ 【答案】（1） - 1【解析】（1）在 △ABC 中，由正弦定理ba 2 + c 2 -b 2 a 2 + a 2 - a 29 92 2 ⋅ a ⋅ a（ 2 ）由（ 1 ）可得 sin B = 1 - cos 2 B =15sin 2B + ⎪ = sin 2B cos + cos 2B sin =- ⨯ - ⨯ =-所以 b = 7 ．1 32 2．由正弦定理得 s in A = a 3 3 sin B = b 14．在 △ABC 中， B + C = π- A ．所以 sin( B + C ) = sin A = 3 314．【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【 2019 年高考天津卷文数】在 △ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c .已知 b + c = 2 a ，3c s in B = 4a sin C .（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 B + ⎝π ⎪ 的值.3 5 + 7；（2） -4 16.c= ，得 b s in C = c sin B ， sin B sin C又由 3c s in B = 4a sin C ，得 3b s in C = 4a sin C ，即 3b = 4a ．4 2又因为 b + c = 2a ，得到 b = a ， c = a ．3 3 由余弦定理可得 cos B =4 16 1 = =- ．2ac 4315，从而 sin 2 B = 2sin B cos B = - ，487cos 2B = cos 2 B - sin 2 B = - ，故8⎛ π⎫ π π 15 3 7 1 3 5 + 7 ⎝6 ⎭ 6 6 8 2 8 2 16．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公（2）若 sin A ( ) 从而 cos 2 B = (2sin B)2 ，即 cos 2 B = 4 1 - cos 2 B ，故 cos 2 B = .= = 因此 sin B + ⎪ = cos B = ⎫ 要求：线段 PB 、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A 、B 到直线 l 的距离分式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019 年高考江苏卷】在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．（1）若 a =3c ，b = 2 ，cosB = 23，求 c 的值；cos B π= ，求 sin(B + ) 的值．a 2b 2【答案】（1） c =3 2 5 ；（2）3 5.【解析】（1）因为 a = 3c, b =2,cos B = 23，a 2 + c 2 -b 22 (3c)2 + c 2 - ( 2) 21 由余弦定理 cos B =，得 = ，即 c 2 = .2ac3 2 ⨯ 3c ⨯ c3所以 c =3 3.（2）因为 sin A cos B= ，a 2ba b cos B sin B由正弦定理，得，所以 cos B = 2sin B .sin A sin B 2b b45因为 sin B > 0 ，所以 cos B = 2sin B > 0 ，从而 cos B = 2 5 5.⎛ π 2 5⎝2 ⎭ 5.【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019 年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥 AB （AB 是圆 O 的直径）．规划在公路 l 上选两个点 P 、Q ，并修建两段直线型道路 PB 、QA ．规划．．．．别为 AC 和 BD （C 、D 为垂足），测得 AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；所以cos∠PBD=sin∠ABE=8（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）.【解析】解法一：（1）过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.'因为PB⊥AB，4=.105所以PB=BD12==15cos∠PBD4.5因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知AD=AE2+ED2=10，AD2+AB2-BD27从而cos∠BAD==>0，所以∠BAD为锐角.2A D⋅AB25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.51 1 12 2 .1综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，3 此时 PD = PB sin ∠PBD = PB cos ∠EBA = 15 ⨯= 9 ；1 111当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .11由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（ 2 ）知，要使得 QA ≥15 ，点 Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求 . 当 QA =15 时，CQ = QA - AC = 1 5 2 -6 2 = 3 2 此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当 PB ⊥ AB ，点 Q 位于点 C 右侧，且 CQ = 3 21 时， d 最小，此时 P ， Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+ 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+ 3 21 （百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.在线段AD 上取点M （3，），因为 OM = 32 +⎪ < 32 + 42 = 5 ， ⎝ 4 ⎭1 1 1 1因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为 -4 25直线PB 的方程为 y =- x -.334 3，所以P （−13，9）， PB =(-13 + 4)2 + (9 + 3)2 = 15 .因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ： y = - 3x + 6(-4剟x 4) .415⎛ 15 ⎫24所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，此时 P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .1 1由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由 AQ = (a - 4)2 + (9 - 3)2 = 15(a > 4) ，得a = 4 + 3 21 ，所以Q （ 4 + 3 21 ，9），此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （ 4 + 3 21 ，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ = 4 + 3 21 - (-13) = 17 + 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17 + 3 21 （百米）.)]2+ [ f ( x + )]2 的值域．又 θ ∈ [0, 2π) ，因此θ =π（2） y = ⎢ f x + ⎪⎥ + ⎢ f x + ⎪⎥ = sin 2 x + + sin 2 x + ⎪ ⎝12 ⎭⎦ ⎣ ⎝ ⎝ 12 ⎭ ⎝ 4 ⎭⎦ 4 ⎭ 1 - cos 2 x + ⎪ 1 - cos 2 x + ⎪= + = 1 - cos 2 x - sin 2 x ⎪⎪π ⎫ 6 ⎭ cos 2 x + ⎪ ．.【3B ．C ． - 1【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019 年高考浙江卷】设函数 f ( x ) = sinx, x ∈ R .（1）已知θ ∈ [0,2 π), 函数 f ( x + θ ) 是偶函数，求θ 的值；（2）求函数 y = [ f ( x + π π 12 4【答案】（1）θ = π 3π 3 3或；（2） [1- ,1 + ] ．2 2 2 2【解析】（1）因为 f ( x + θ ) = sin( x + θ ) 是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin( x + θ ) = sin( - x + θ) ，即 sin x cos θ + cos x s in θ = - s in x cos θ + cos x sin θ ，故 2sin x cos θ = 0 ，所以 cos θ = 0 ．3π或． 2 2⎡ ⎣ ⎛ π ⎫⎤ 2 ⎡ ⎛ π ⎫⎤ 2⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎪⎛ ⎛ π ⎫ ⎝⎝ 2 ⎭ 1 ⎛ 3 3 ⎫ 2 2 2 ⎝ 2 2⎭= 1 - 3 2⎛ π ⎫⎝ 3 ⎭因此，函数的值域是[1- 3 3,1 + ] ．2 2【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力20．重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学试题】已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经过点 P(- 2，1) ，则 cos2α =A ． 2 21 33D ． -2 2 3tan α - ⎪=cos α = - , a ∈ (- π,0 )，∴ α ∈ - π, -⎪ ，π ⎫ tan α - 1 4 1 则 tan α - ⎪ = = = - .故选 C ． 4 ⎭ 1 + tan α 73 1 + ，将函数图象向左平移个单位得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) =【答案】B【解析】因为角α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经过点 P(- 2，1) ，所以 cos α = - 2 2 + 1=- 6 3，因此 cos 2α = 2cos 2α - 1 = 13.故选 B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α 的终边过点 P(- 2，1) ，求出 cos α ，再由二倍角公式，即可得出结果.21．【四川省宜宾市 2019 届高三第三次诊断性考试数学试题】已知 c os α = - 4， α ∈ (-π,0 )，则5⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭A ．1 7B ．7C ． -17D ． -7【答案】C【解析】3 3∴ s in α = - , tan α = ，5 43- 1⎛⎝4【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题．解答本题时，根据已知 cos α 的值，结合同角三角函数关系式可求 tan α，然后根据两角差的正切公式即可求解．22．【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学文试题】已知函数 f ( x ) = sin(ω x +π 6) (ω > 0)的相邻对称轴之间的距离为π A ． sin( x + ) 3 π π2 6 πB ． sin(2 x + )3) + ] = sin 2 x + + ⎪ = cos 2 x 的图象，故选 C ． ⇒ > ,∴ω <C ． cos2 x【答案】C【解析】由函数 f ( x ) = sin(ω x + πD ． cos(2 x + )3π π T π)(ω > 0) 的相邻对称轴之间的距离为，得 = ，即 T = π ，所6 2 2 2以 π =2πω ，解得 ω = 2 ，π π将函数 f ( x ) = sin(2 x + ) 的图象向左平移个单位，6 6得到 g ( x ) = sin[2( x + π 6 π ⎛ 6 ⎝ π π ⎫ 3 6 ⎭【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．23．【河南省郑州市 2019 届高三第三次质量检测数学试题】已知函数 f (x ) = A s in (ωx + ϕ )，A > 0,ω > 0, ϕ < π的部分图象如图所示，则使 f (a + x )- f (a - x ) = 0 成立的 a 的最小正值为2A ．C ．π12 π 4B ．D ．π 6 π 3【答案】B【解析】由图象易知， A = 2 ， f (0) = 1 ，即 2sin ϕ = 1 ，且 ϕ <π π，即 ϕ = ， 2 6由图可知， f ( 11π 11π π 11π π 12k - 2) = 0, 所以 sin( ⋅ ω + ) = 0,∴ ⋅ ω + = k π, k ∈ Z ，即 ω = , k ∈ Z ，12 12 6 12 6 1111π 2π 11π 24又由图可知，周期T >，且 ω > 0 ， 12 ω 12 11所以由五点作图法可知 k = 2, ω = 2 ，所以函数 f ( x ) = 2sin(2 x + π) ，6C的对边，若△ABC的面积为S，且43S=(a+b)2-c2，则sin C+⎪= 4D．即3sin C-cos C=1，即2sin C-6⎭=1，则sin C-⎪=，则sin C+4⎭+=sin cos+cos sin=3⨯2+⨯2=6+2 =sin⎝34⎭222243434因为f(a+x)-f(a-x)=0，所以函数f(x)关于x=a对称，即有2a+ππkππ=kπ+,k∈Z，所以可得a=+,k∈Z，6226π所以a的最小正值为.6故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出A,ϕ,ω，可得函数f(x)的解析式，再由f(a+x)-f(a-x)=0易知f(x)的图象关于x=a对称，即可求得a的值.24．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，⎛π⎫⎝4⎭A．1B．C．6-2【答案】D 226+2 4【解析】由43S=(a+b )2-c2，得43⨯12ab sin C=a2+b2-c2+2ab，∵a2+b2-c2=2ab cos C，∴23ab sin C=2ab cos C+2ab，⎛⎝π⎫⎪⎛⎝π⎫16⎭2∵0<C<π，∴-ππ5ππππ<C-<，∴C-=，即C=，666663⎛⎝π⎫⎪⎛ππ⎫ππππ1⎪，故选D．【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可．25．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学试题】在△ABC中，角A，B，C的对边【分别为 a ， b ， c ，若 a = 1 ， 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，则角 A =A ．C ．2π 3 π 6B ．D ．π 3 5π 6【答案】D【解析】∵ a = 1 ， 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，∴ 3 sin A cos C + 3 sin C cos A = -b cos A ，∴ 3 sin( A + C ) = 3 sin B = -b cos A ，∴ 3a sin B = -b cos A ，由正弦定理可得： 3 sin A s in B = - sin B cos A ，∵ sin B > 0 ，∴ 3 sin A = - cos A ，即 tan A = - 3 3，∵ A ∈ (0, π) ，∴ A = 5π 6.故选 D ．【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本题时，由 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，可得 3a sin B = -b cos A ，再由正弦定理得到tan A = -3 ，结合 A ∈ (0, π) ，即可求得 A 的值．326．广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在 △ABC 中，a 、b 、c 分别是内角 A 、 B 、C 的对边，且 3b cos A = sin A(a cos C + c cos A) .（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 2 3 ， △ABC 的面积为5 3 4，求 △ABC 的周长．【答案】（1） A =π 3；（2） 5 3 .【解析】（1）∵ 3b cos A = sin A(a cos C + c cos A) ，∴由正弦定理可得：3 sin B cos A = sin A(sin A cos C + sin C cos A) = sin A s in( A + C ) = sin A s in B ，， a = 2 3 ， △ABC 的面积为，（2）当 x ∈ [0, ] 时，不等式 c < f ( x ) < c + 2 恒成立，求实数 c 的取值范围．【 = =即 3 sin B cos A = sin A s in B ，∵ sin B ≠ 0 ，∴ tan A = 3 ，∵ A ∈ (0, π) ，∴ A = π3．（2）∵ A = π 5 33 41 3 5 3∴ bc sin A = bc =2 4 4，∴ bc = 5 ，∴由余弦定理可得： a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，即12 = b 2 + c 2 - bc = (b + c)2 - 3bc = (b + c)2 - 15 ，解得： b + c = 3 3 ，∴ △ABC 的周长为 a + b + c = 2 3 + 3 3 = 5 3 .【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 3 sin B cos A = sin A s in B ，由nisB0≠ ，可求 tan A = 3 ，结合 A ∈ (0, π) ，可求 A = π 3．（2）利用三角形的面积公式可求bc = 5 ，进而根据余弦定理可得b + c = 3 3 ，即可计算△ABC 的周长的值．27．北京市昌平区 2019 届高三 5 月综合练习（二模）数学试题】已知函数 f ( x ） cos x( 3 sin x - cos x)+π（1）求 f ( ) 的值；3π21【答案】（1）1；（2） (-1,- ) .21【解析】（1） f ( x ）3 sin x cos x - cos 2 x + 21 2.sin 2 x - 所以 - ≤ sin （2 x - ）≤ 1 . ⎪⎩c + 2 > 1 （2）首先求得函数 f (x )在区间 ⎢0, ⎥ 上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于 c 的不等式组，求 2= 31 cos2 x 2 2π =sin(2 x - ) ， 6 π 所以 f ( ) = 1 . 3 （2）因为 0 ≤ x ≤ π 2， π π 5π 所以 - ≤ 2 x - ≤ ， 6 6 6 1 π 2 6 ⎧ 1 ⎪ c <- 1 由不等式 c < f ( x ) < c + 2 恒成立，得 ⎨ 2 ，解得 -1 < c < - . 21 所以实数 c 的取值范围为 (-1,- ) . 2【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；⎡ π ⎤ ⎣ ⎦解不等式组可得 c 的取值范围.20。

三角函数精题最值问题及练习题

1三角函数最值问题的几种常见解法一配方法例1 函数3sin 3cos 2+--=x x y 的最小值为及y=4cos 5sin 2-+x 的最小值和最大值例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值二引入辅助角法例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。

三利用三角函数的有界性例4求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域函数 y=3cos 4cos 2++x x例5 （2003年高考题）已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值。

四引入参数法（换元法）例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。

练习求函数的最值。

五利用基本不等式法和利用均值不等式求解的最值例7（1）函数的最值；（2）求函数的最值。

（3）求函数xxy 22cos4sin1+=的最值。

六利用函数在区间内的单调性例8 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。

七数形结合例9 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值。

八判别式法例10 求函数xx x x y tan sectan sec 22+-=的最值。

2九分类讨论法例 11 设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a).三角函数最值1设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m等于（）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2（2003北京春季）2、函数f(x)=2sin 1sin 3+-x x 的最大值是，最小值是3 求函数f(θ)=2cos 1--θθSin 的最大值与最小值是什么？（两种方法解答）4求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域5、(2000年高考)已知：212cos 12siny x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合．．6、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值．37：已知[]πθ,0∈,f （θ）=sin(cos θ)的最大值为a,最小值为b ，g(θ)=cos(sin θ)的最大值为c,最小值为d,则a,b,c,d 的大小顺序为。

2019届高考数学专题06三角函数

，
2x
π
12 2
6
π ,
5π
，
36
f x sin 2 x π 6
3 ,1 ． 2
3．三角函数的性质
例 3：函数 f x 3 sin 2 x cos2 x （
A．在 C．在
π, π 上单调递减 36 π,0 上单调递减 6
【答案】 D
）
B．在 π, π 上单调递增 63
D．在 0, π 上单调递增 6
【解析】 f x
3 sin 2x cos 2x 2 3 sin 2 x 1 cos 2 x 2sin 2x π ，
2
2
6
单调递增区间：单调递减区间：
π
ππ
2 kπ 2 x
2kπ
2
62
π
π
kπ x
kπk Z
3
6
π 2kπ 2x π 3π 2kπ π kπ x 2π kπ k Z
2
62
6
3
符合条件的只有 D．
）
6
A．
ππ ,
63
B．
π 5π ,
36
C．
ππ ,
36
D．
π 2π ,
63
【答案】 B
【解析】 ∵ f x 2sin 2 x π ，∴ f x 6
2sin 2 x π ， 6
令 π 2kπ 2 x
π 3π 2kπ, k
Z ，得 π kπ x
5π kπ, k
Z．
2
62
3
6
取 k 0 ，得函数 f x 的一个单调递增区间是
π 2 1 sin 2 1 2sin cos
2
2

高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题

高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题一、方法综述三角函数相关的最值问题一直是高考数学的热点之一。

其中，三角函数的最值问题是三角函数的重要题型之一，主要包括考查三角函数图像和性质的最值问题，以及以三角函数的有界性为主的最值问题。

熟悉三角函数的图像和性质，掌握转化思想是解决这类问题的关键。

二、解题策略1.类型一：与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题例1】若将函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$的图像向左平移$\theta$（$\theta>0$）个单位，所得的图像关于$y$轴对称，则$\theta$的最小值是（）。

A。

$\frac{\pi}{3}$。

B。

$\frac{\pi}{5}$。

C。

$\frac{\pi}{4}$。

D。

$\frac{8\pi}{3}$解析】函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$为常数函数，其图像为一条直线。

将其向左平移$\theta$个单位，得到的图像仍然是一条直线，不可能关于$y$轴对称。

因此，该题没有解。

举一反三】1.【广州市2018届高三第一学期第一次调研】将函数$y=2\sin\left(\frac{x+\pi}{3}\right)+\cos x$的图像向左平移$3$个单位，所得图像对应的函数恰为奇函数，则平移量的最小值为（）。

A。

$\pi$。

B。

$\frac{\pi}{2}$。

C。

$\frac{\pi}{3}$。

D。

$\frac{\pi}{6}$解析】将函数$y=\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$的图像向左平移$3$个单位，得到的图像对应的函数为$y=-\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$，为奇函数。

根据奇函数的对称性可知，平移量$\theta$必须是$\frac{\pi}{2}$的倍数，且$\theta>0$。

三角函数最值及其综合运用知识点总结及经典高考题解析

三角函数最值及其综合运用【考纲说明】1、了解三角函数的最值（值域），理解三角函数取最值的条件，掌握求三角函数最值的常用方法。

2、结合三角函数的性质，会求形如函数)0>,0≠)(+sin(=w A φwx A y 、)0>,0≠)(+cos(=w A φwx A y 、)0>,0≠)(+tan(=w A φwx A y 的综合问题。

【知识梳理】一、三角函数的最值 1、定义（1）当2-2=ππk x )∈(Z k 时，x y sin =取最小值1-；当2+2=ππk x )∈(Z k 时，x y sin =取最大值1；正弦函数x y sin =)∈(R x 的值域为[]1,1-。

（2）当ππk x +2=)∈(Z k 时，x y cos =取最小值1-；当πk x 2=)∈(Z k 时，x y cos =取最大值1；余弦函数x y cos =)∈(R x 的值域为[]1,1-。

（3）)2+≠,∈(tan =ππk x R x x y 的值域为R 。

2、常用方法（1）求三角函数最值的常用方法①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等。

（2）三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间。

①求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性②含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响。

（3）具体方法：①y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y （x +ϕ） ②y =a sin 2x +b sin x +c 型：常通过换元法转化为y =at 2+bt +c 型： ③y =dx c b x a ++cos sin 型：i 当x R ∈时，将分母与y 乘转化变形为sin （x +ϕ）＝()f y 型。

教育最新2019年人教版高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案Word版

高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案)三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（）A ．1-BC ．12-+D ．12+分析：三角形的最小内角是不大于3π的，而()2sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决．解析：由03x π<≤，令sin cos sin(),4t x x x π=++而74412x πππ<+≤，得1t <≤又212sin cos t x x =+，得21sin cos 2t x x -=，得2211(1)122t y t t -=+=+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ．点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决．解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，max 12y =，选D 。

例2．已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126f f π==．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++．（1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==，3()1262f b π=+= ，所以4b =，a =．（2）()24cos 248sin(2)46f x x x x π=++=++，故当2262x k πππ+=+即()6x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值为12．点评：结论()sin cos a b θθθϕ+=+是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决．解析：函数π55cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故要将函数sin 2y x =的图象向左平移5π12个长度单位，选择答案A ．例4 （2008高考江西文10）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断．解析：函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨≥⎩当时当时．结合选择支和一些特殊点，选择答案D ．点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目．题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．例5 （2008高考山东卷理5）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是A．5-B．5C ．45-D ．45分析：所求的7πsin sin()66παα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，将已知条件分拆整合后解决．解析： C．34cos sin sin sin 6265ππααααα⎛⎫⎛⎫-+=⇔=⇔+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以74sin sin 665ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的AB-CD-数学思想和运算能力．解题的关键是对πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 例6（2008高考浙江理8）若cos 2sin αα+=则tan α= A ．21B ．2C ．21-D ．2- 分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路．()αϕ+=sin ϕϕ==1tan 2ϕ=，再由()sin 1αϕ+=-知道()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--，所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭．方法二：将已知式两端平方得()2222222cos 4cos sin 4sin 55sin cos sin 4sin cos 4cos 0tan 4tan 40tan 2ααααααααααααα++==+⇒-+=⇒-+=⇒=方法三：令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．方法四：我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩方法五：α只能是第三象限角，排除C ．D ．，这时直接从选择支入手验证，由于12计算麻烦，我们假定tan 2α=，不难由同角三角函数关系求出sin αα==B ．点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．题型4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型．例7．（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ+ (其中sin θ=，090θ<<)且与点A 相距C ．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求BC 的长，在ABC ∆中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点E 到直线BC 的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决．解析：（1）如图，AB = AC =,sin BAC θθ∠==由于090θ<<，所以cos 26θ==由余弦定理得BC ==3=/小时）．（2）方法一：如上面的图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点,B C 的坐标分别是()()1122,,,B x y C x y ，BC 与x 轴的交点为D ．由题设有，11402x y AB ===，2cos )30x AC CAD θ=∠=-=，2sin )20.y AC CAD θ=∠=-=所以过点,B C 的直线l 的斜率20210k ==，直线l 的方程为240y x =-．又点()0,55E -到直线l的距离7d ==，所以船会进入警戒水域．解法二：如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ．在ABC ∆中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅222=10．从而sin 10ABC ∠===在ABQ ∆中，由正弦定理得，sin 40sin(45)AB ABC AQ ABC ∠===-∠．由于5540AE AQ =>=，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且15EQ AE AQ =-=．过点E 作EP BC ⊥于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在QPE ∆Rt 中，sin sin sin(45)157.PE QE PQE QE AQC QE ABC =∠=⋅∠=⋅-∠== 所以船会进入警戒水域．点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图．本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错．题型5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点．例8（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题）已知向量)1,(sin ),2cos ,cos 2(x b x x a ωωω==，（0>ω），令b a x f ⋅=)(，且)(x f 的周期为π． (1) 求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)写出()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间．分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数()f x 的解析式求出来，再根据)(x f 的周期为π就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可．解析：(1)x x x x f ωωω2cos sin cos 2)(+=⋅=x x ωω2cos 2sin +=)42sin(2πω+=x ，∵)(x f 的周期为π． ∴1=ω， )42sin(2)(π+=x x f ，12cos 2sin )4(=π+π=π∴f ．(2) 由于)42sin(2)(π+=x x f ，当πππππk x k 224222+≤+≤+-（Z k ∈）时，()f x 单增，即ππππk x k +≤≤+-883（Z k ∈），∵∈x ]2,2[ππ- ∴()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间为]8,83[ππ-．点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点．例9 （2009江苏泰州期末15题）已知向量()3sin ,cos a αα=，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-，3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且a b ⊥．（1）求tan α的值；（2）求cos 23απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值．分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问．解析：（1）∵a b ⊥，∴0a b ⋅=．而()3s i n ,c o s a αα=，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-，故226sin 5sin cos 4cos 0a b αααα⋅=+-=，由于c o sα≠，∴26tan 5tan 40αα+-=，解得4tan 3α=-，或1tan 2α=．∵3π 2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，tan 0α<，故1tan 2α=（舍去）．∴4tan 3α=-．（2）∵3π 2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴3ππ24α∈（，）．由4tan 3α=-，求得1tan 22α=-，tan 22α=（舍去）．∴sincos 22αα==，cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 2323αα-=12= 点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要注意角的范围对解题结果的影响．题型6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是π，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型．例10．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量(,),(,)m c a b a n a b c =--=+，若//m n ，（1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围．分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角,A C 就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题．解析：（1）//,()()()m n c c a b a a b ∴---+，222222,1a c b c ac b a ac+-∴-=-∴=．由余弦定理，得1cos ,23B B π==．（2）2,3A B C A C ππ++=∴+=，222sin sin sin sin()sin sin cos cos sin 333A C A A A A A πππ∴+=+-=+-3sin )26A A A π==+ 250,3666A A ππππ<<∴<+<1sin()1,sin sin 26A A C π∴<+≤<+≤点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响．题型7 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题．例11. 如图，已知点G 是ABO ∆的重心，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，且PQ 过ABO ∆ 的重心G ，OP mOA =，OQ nOB =，试证明11m n+为常数，并求出这个常数．分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量表达出来，本题的本质是点,,P G Q 共线，利用这个关系寻找,m n 所满足的方程．解析：令OA a =，OB b =，则OP ma =，OQ nb =，设AB 的中点为M ，显然1().2OM a b =+，因为G 是ABC ∆的重心，所以21()33OG OM a b ==⋅+．由P 、G 、Q 三点共线，有PG 、GQ 共线，所以，有且只有一个实数λ，使 PG GQ λ=，而111()()333PG OG OP a b ma m a b =-=+-=-+，111()()333GQ OQ OG nb a b a n b =-=-+=-+-，所以1111()[()]3333m a b a n b λ-+=-+-．又因为a 、不共线，由平面向量基本定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-)31(313131n m λλ，消去λ，整理得3mn m n =+，故311=+nm ．结论得证．这个常数是3．【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题是一个重要方面，其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来，再根据平面向量的有关知识加以处理．课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的注意．题型8 用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值．例12. 已知函数22()cos 2sin cos sin f x x t x x x =+-，若函数()f x 在区间(,]126ππ上是增函数，求实数t 的取值范围．分析：函数的()f x 导数在(,]126ππ大于等于零恒成立．解析：函数()f x 在区间(,]126ππ上是增函数，则等价于不等式()0f x '≥在区间(,]126ππ上恒成立，即()2s i n 22c o s 2f x xt x '=-+≥在区间(,]126ππ上恒成立，从而t a n 2t x ≥在区间(,]126ππ上恒成立，而函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上为增函数，所以函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上的最大值为max tan(2)6y π=⨯=所以t≥为所求．点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识．本题如将()f x 化为()sin 2cos 2)f x t x x x ϕ=+=+的形式，则ϕ与t 有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决．题型9 三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．例13. 设二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，已知不论α，β为何实数，恒有(sin )0f α≥和(2cos )0f β+≤．（1）求证：1b c +=- ；（2）求证：3c ≥；（3）若函数(sin )f α的最大值为8，求b ，c 的值．分析：由三角函数的有界性可以得出()10f =，再结合有界性探求．解析：（1）因为1s i n 1α-≤≤且(sin )0f α≥恒成立，所以(1)0f ≥，又因为 12c o s 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立，所以(1)0f ≤，从而知(1)0f =，10b c ++=，即1b c +=-．（2）由12cos 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立得(3)0f ≤，即 930b c ++≤，将1b c =--代如得9330c c --+≤，即3c ≥．（3）22211(sin )sin (1)sin (sin )()22c c f c c c αααα++=+--+=-+-，因为122c+≥，所以当sin 1α=-时max [(sin )]8f α=，由1810b c b c -+=⎧⎨++=⎩ ，解得 4b =-，3c =．点评：本题的关键是1b c +=-，由(sin )0(2cos )0f f αβ≥⎧⎨+≤⎩利用正余弦函数的有界性得出()()1010f f ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，从而(1)0f =，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用．【专题训练与高考预测】一、选择题1．若[0,2)απ∈，sin cos αα=-，则α的取值范围是（）A ．[0,]2πB ．[,]2ππ C ．3[,]2ππ D ．3[,2)2ππ2．设α是锐角，且lg(1cos )m α-=，1lg 1cos n α=+，则lgsin α= （）A ．m n -B ．11()2m n -C ．2m n -D ．11()2n m-3．若00||2sin15,||4cos15a b ==，a 与b 的夹角为30。

专题06 三角函数的最值问题(精讲深剖)-从课本到高考之2019年高考数学高频考点全突破(解析版)

三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，其实质是对含有三角函数的复合函数的求值，是三角函数基础知识的综合应用。

类问题的解法主要是通过三角函数恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种函数形式，然后借助于三角函数性质来解决。

涉及的数学思想主要有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想以及转化与化归思想等。

近几年三角函数的图象与性质考点解读考点内容解读要求高考示例常考题型三角函数的最值①了解三角函数的最值(值域);②理解三角函数取最值的条件理解2018课标I,16 2017课标Ⅱ,14;2017江苏,16;2016课标Ⅰ,12,2016江苏,14选择题填空题解答题【2018年全国1卷理科第16题】已知函数()=2sin +sin2f x x x ,则()f x 的最小值是______.点评：循规蹈矩，借助导数求最值。

解法二：()=2sin +sin2=2sin (1+cos )f x x x x x22222()=4sin (1+cos )4(1-cos )(1+cos )f x x x x x ∴=4(3-3cos )(1+cos )(1+cos )(1+cos )3x x x x = 443-3cos +1+cos +1+cos +1+cos )34x x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭44327324⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ ()f x 易知是奇函数1cos = 332(),23sin =2x f x x ⎧⎪⎪∴≥-⎨⎪-⎪⎩当时可以取等号，33().2f x ∴-的最小值是点评：另辟蹊径，联系均值不等式求最值（和定积最小）。

点评：公式搭桥，函数领路，导数建功。

解法四：()=2sin +sin2f x x x ，tan 2xt R =∈令则22234182sin (1cos )(1)1112t t y x x t t t t t-=+=+=++++，31t 2,t t tϕ=++令() 4222221321t 32,0t t t t t t ϕμ+-'=+-==≥()令，原式得；(1)(31),μμμ+-=显然13μ=时，取t ϕ()到极值经检验当13t =-时，t ϕ()有最大值，则y 有最小值得：min 833.12()3y ϕ==--学科*网点评：替换消元，导数建功。

2019年高考三角函数考题赏析

分析:先判断函数的奇偶性,再利用特殊
值验证可得结果。
解:由 f (-x)=cso is n( (- -x x) )+ +( (- -x x) )2 =
c -ossin xx+- xx2 =-f(x),可知 f(x)是奇函数,
其图像关于原点对称,所以 A 不适合。因为
π
( ) f
π 2
1+ 2 = π2
=4+ π22π>1,f(π)=
π -1+π2
( )2
>0,所以 B,C 不适合。应选 D。
评析:本题考查三角函数的图像与性质
的应用,解题过程中渗透了逻辑推理、直观想
象和数学的运算素养。
作者单位 :山东省平邑县第一中学西校
sinα=
5。 5
应
选
B。
评析:本题考查三角函数的二倍角公式、
同角三角函数基本关系式,其中判断正、余弦
函数的取值符号是解题的关键。
题型 3:考查三角函数的图像和性质
例 3 (2019 年高考全国卷 )函数
知函数式进行化简,然后结合二次函数的单
( ) 0,2 π ,2sin2α =cos2α +1,则 sinα =
( )。
1 A.5
5 B.5
3 C.3
25 D.5
分析:利用二倍角公式进行等价转化,再
利用同角三角函数的基本关系求值。
解 :由 2sin2α=cos2α+1,可得 4sinα·

与三角函数相关的最值问题(解析版)高考数学选填压轴题第6讲

第6讲与三角函数相关的最值问题一．方法综述三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是解决问题的关键，这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键．二．解题策略类型一与三角函数的单调性、奇偶性和对称性相关的最值问题【例1】（2020·湖北高考模拟（理））已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭π上单调递增，则ω的最大值为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,4484x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间0,8π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，正弦函数在,22ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上递增，所以可得842πππω+≤，解得2ω≤，即ω的最大值为2，故选C ．2．（2020·山东高考模拟）若函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[0,]π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的最小值为（）A ．23B ．34C ．43D ．32【答案】A【解析】0x π≤≤666x πππωωπ∴-≤-≤-而()f x 值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，发现()10sin 62f π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭5266πππωπ∴≤-≤，整理得213ω≤≤，则ω最小值为23，选A 项.3．（2020·河南南阳中学高考模拟）设>0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是A ．B ．C ．D ．3【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位后所以有，故选C【举一反三】1．已知函数1()sin (sin cos )2f x x x x ωωω=+-()0ω>在区间 (0,)π上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是（）A ．711,88⎛⎫⎪⎝⎭B ．711,88⎛⎤⎥⎝⎦C ．79,88⎛⎤⎥⎝⎦D ．79,88⎛⎫⎪⎝⎭【来源】安徽省示范高中皖北协作区2021届高三下学期第23届联考数学（文）试题【答案】B【解析】11cos 2sin 212()sin (sin cos )sin 2222224x x f x x x x x ωωπωωωω-⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭，()0,x π∈ ，()20,2x ωωπ∴∈，2,2444x πππωωπ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭()f x 在 (0,)π上恰有1个最大值点和1个最小值点，352242πππωπ∴<-≤，解得71188ω<≤.故选：B.2.（2020·河南高考模拟）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【答案】C【解析】结合图象可知，A ＝2，f （x ）＝2sin （ωx +φ），∵f （0）＝2sinφ＝1，∴sinφ12=，∵|φ|2π＜，∴φ6π=，f （x ）＝2sin （ωx 6π+），结合图象及五点作图法可知，ω11126ππ⨯+=2π，∴ω＝2，f （x ）＝2sin （2x 6π+），其对称轴x 162k ππ=+，k ∈Z ，∵f （a +x ）﹣f （a ﹣x ）＝0成立，∴f （a +x ）＝f （a ﹣x ）即f （x ）的图象关于x ＝a 对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a 6π=3．已知函数()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数m 的最小值是（）A ．B ．2C ．2D 【答案】D【解析】由()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，得()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即2cos 26x x m π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，令()2cos 26g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()4sin 216g x x π⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭，当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2662x πππ≤+≤，则24sin 246x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以54sin 2136x π⎛⎫-≤+-≤- ⎪⎝⎭，即()0g x '<，所以()g x 在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是单调递减函数，max ()(0)g x g ≤=得m ≥，m.故选：D.类型二转化为()sin()f x A x ωϕ=+型的最值问题【例2】（2020·北京人大附中高考模拟）已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为A ．2π3B ．π3C ．π6D ．4π3【答案】A【解析】由题，()sin f x a x x =-)x θ+，θ为辅助角，因为对称轴为π6x =-，所以1(362f a π-=--即132a --=解得2a =，所以()4sin(3f x x π=-又因为()f x 在()12,x x 上具有单调性，且()()120f x f x +=，所以12,x x 两点必须关于正弦函数的对称中心对称，即12122333()22x x x x k k z ππππ-+-+-==∈所以1222()3x x k k z ππ+=+∈，当0k =时，12x x +取最小为2π3，故选A 【点睛】本题考查了三角函数综合知识，包含图像与性质，辅助角公式化简等，熟悉性质图像是解题的关键.【举一反三】1、（2020·江西高考模拟）已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（）A ．2019πB ．42019πC ．22019πD ．4038π【答案】C【解析】依题意()sin2019coscos2019sin cos2019cos sin2019sin 6633f x x x x x ππππ=+++cos2019x x =+2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=，12||22019min T x x π∴-==，12A x x ∴-的最小值为22019π，故选C ．2．（2020·河北高考模拟）若将函数2()sin cos2f x x x x =-的图象向右平移(0)φφ>个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值是()A ．π12B ．π4C ．3π8D ．5π12【答案】D【解析】∵()2f x sinxcosx x 2=+-)1cos21sin2222x x +=+-1sin2cos2sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数()f x 的图象向右平移φ个单位可得()sin 2sin 2233y x x ππφφ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所得图象关于y 轴对称，根据三角函数的对称性，可得此函数在y 轴处取得函数的最值，即sin 213πφ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，解得23πφ-+=2k ππ+，k Z ∈，所以122k ππφ=--，k Z ∈，且0φ>，令1k =-时，φ的最小值为512π.故选D ．3．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且2sin b a B =，则cos sin B C+的取值范围为（）A．B．C ．33,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】依题意2sin b a B =，由正弦定理得sin 2sin sin B A B =，所以1sin 2A =，cos 2A =，由于三角形ABC 是锐角三角形，所以6A π=.由23202A B B B ππππ⎧+>⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩.所以5cos sin cos sin 6B C B B π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭1333cos cos cos sin 2222B B B B B=++=+3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于25336B πππ<+<，所以1sin ,322B π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33322B π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C4.（2020·河北高考模拟）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为A ．B ．1C．D．【答案】A 【解析】依题意，，向左平移个单位长度得到.故，下面求函数的减区间：由，由于故上式可化为，由于函数在上单调递减，故，解得，所以当时，为正数的最大值.故选A.类型三转化为二次函数型的最值问题【例3】函数()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（）A ．1+B ．332C ．D ．3【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题【答案】B【解析】因为()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()2sin sin 22sin 2sin cos 44444f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令4x πθ=+，则()2sin 2sin cos 2sin sin 2f θθθθθθ=+=+则()()222cos 2cos 222cos 12cos 4cos 2cos 2f θθθθθθθ'=+=-+=+-令()0f θ'=，得cos 1θ=-或1cos 2θ=当11cos 2θ-<<时，()0f θ'<；1cos 12θ<<时()0f θ'>所以当1cos 2θ=时，()f θ取得最大值，此时3sin 2θ=，所以()max 33133222222f x =⨯+⨯⨯=故选：B 【举一反三】1．（2020·湖南高考模拟）已知(0,)x π∈，则()cos 22sin f x x x =+的值域为（）A ．(]11,2-B ．3[1,2C ．2,2)2D ．(0,【答案】B【解析】因为()x 0,π∈，所以(]sinx 0,1∈，由()f x cos2x 2sinx =+，得()2f x 2sin x 2sinx 1=-++2132sinx 22⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以()3f x 1,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：B2．（2020·江西高考模拟（理））函数32()sin 3cos 32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【答案】633,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，3t 2⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，3t ,12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当3t 02-<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又3633g 28⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：633,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．3、函数()3f x x =，关于θ的为等式()()()cos2342cos 0f f m m f θθ-+->对所有0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则实数m 的范围为__________．【答案】()4-+∞4、求函数()()2sin 12cos 1y x x =++的值域.【解析】()()()2sin 12cos 14sin cos 2sin cos 1y x x x x x x =++=+++[令sinx+cosx=t,则21sin cos 2t x x -=,其中[]2,2-∈t所以2213221222y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,故值域为3,32⎡-+⎢⎣.类型四转化为三角函数函数型的最值问题【例4】（2020·黑龙江高考模拟）已知224x y +=，在这两个实数,x y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）ABCD．【答案】C【解析】设中间三项为,,a b c ，则2b x y =+，所以2x y b +=，324b y x yc ++==，所以后三项的和为339244x y x y x yb c y y +++++=++=，又因为224x y +=，所以可令2cos ,2sin x y θθ==，所以()()393310310cos 3sin sin 4222x y θθθϕ+=+=+≤，故选C 【举一反三】设点()11,P x y 在椭圆22182x y+=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（）A ．212+BC ．312+D ．2【来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末数学试题【答案】D【解析】设1x α=，1y α，[)0,2απ∈则有212122x x y y x y αα-+-=-+-()221222x y αα=-+-()22122x y αα≥-+-()22122x y αα≥-+-18sin )2αα=-+184sin 224πα⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭当且仅当2sin 140x παα⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎩时取最小值，即4πα=，此时()2,1P ，()2,3Q ，2121x x y y -+-的最小值是2，故选：D.三．强化训练1．（2020·四川高考模拟）若函数()()πf x 2sin 2x φ(φ)2=+<的图象向左平移π12个单位长度后关于y 轴对称，则函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()A ．B ．1-C ．1D ．【答案】A【解析】函数()()π2sin 2φ(φ)2f x x =+<的图象向左平移π12个单位长度后，图象所对应解析式为：()ππg 2sin 2φ2sin 2φ126x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()g x 关于y 轴对称，则62k ππϕπ+=+，可得3k πϕπ=+，k Z ∈，又πφ2<，所以πφ3=，即()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2minf x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选A ．2．（2020·陕西高考模拟）将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，在向上平移一个单位，得到g （x ）的图象．若g （x 1）g （x 2）＝4，且x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，则x 1﹣2x 2的最大值为（）A ．92πB ．72πC ．52πD ．32π【答案】A【解析】将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，再向上平移一个单位，得到g （x ）＝sin （2x ﹣23π+6π）+1＝﹣cos2x+1的图象，故g （x ）的最大值为2，最小值为0，若g （1x ）g （2x ）＝4，则g （1x ）＝g （2x ）＝2，或g （1x ）＝g （2x ）＝﹣2（舍去）．故有g （1x ）＝g （2x ）＝2，即cos21x ＝cos22x ＝﹣1，又1x ，x 2∈[﹣2π，2π]，∴21x ，22x ∈[﹣4π，4π]，要使1x ﹣22x 取得最大值，则应有21x ＝3π，22x ＝﹣3π，故1x ﹣22x 取得最大值为32π+3π＝92π．故选A ．3．（2020·甘肃高考模拟）将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【答案】B 【解析】【详解】由题意得，sin 2sin()3y x x x p =+=+，令,32x k k Z πππ+=+∈，可得函数的图象对称轴方程为,6x k k Z ππ=+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值为6π，故选B ．4．（2020·山东高考模拟）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移m (0)m >个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,若对任意的x ∈R 均有()12g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立,则m 的最小值为（）A ．2324πB ．1112πC ．12πD ．24π【答案】D【解析】因为函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移m (0)m >个单位长度,所以得到函数sin 223y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,所以()sin 23g x x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对任意的x ∈R 均有()12g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以()g x 在12x π=时，取得最大值，所以有22()()123224m k k Z m k k Z ππππππ++=+∈⇒=+∈而0m >，所以m 的最小值为24π.5．（2020·云南高考模拟）将函数sin(2)4y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的函数在区间(,)m m -上无极值点，则m 的最大值为（）A ．8πB ．4πC ．38πD ．2π【答案】A【解析】由题意，将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，可得函数sin 2sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈即函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，又由函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为8π，故选A.6．（2020·四川华蓥一中高考模拟）将函数())cos2sin 0222x x x f x ωωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由三角函数的性质可得：()22sincos 222x x x f x ωωω=-+1cos sin 2xx ωω+=-sin x x ωω=-2sin 3x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其图象向左平移3πω个单位所得函数的解析式为：()2sin 2sin 33g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数的单调递增区间满足：()2222k x k k Z πππωπ-≤≤+∈，即()2222k k x k Z ππππωω-+≤≤∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为：,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则：24ππω≥，据此可得：2ω≤，则ω的最大值为2.本题选择B 选项.7．（2020·天津高考模拟）已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（）A ．50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由t π=，可得2=2ππωω=⇒因为3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数，所以sin 23x πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是奇函数，即,3k k z πϕπ-=∈又因为()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()2sin sin 3k k ππππ⎛⎫+<+⎪⎝⎭所以k 是奇数，取k=1，此时43πϕ=所以函数()5sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，此时2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭所以此时432,332t πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，解得511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选D.8．已知函数()3cos f x x a x =+，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为3a ，则实数a 的取值范围是（）A ．[]0,2B ．[]22-,C ．(],1-∞D ．(],3-∞【来源】江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学（理）试题【答案】C【解析】()03f a = 且()()min 30f x a f ==，由题意可知，对任意的0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()3cos 3f x x a x a =+≥()31cos x a x ≥-，即222sin cos 112sin sin2222x x x x⎡⎤⎛⎫≥--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0,3π⎡⎤∈⎢⎣⎦ x ，则0,26x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 02x ∴>，30tan 23x ≤≤tan 12x ≤.当0a ≤时，tan012x≤≤成立；当0a >时，函数tan2x y =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则max 1y a =≤，此时01a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是(],1-∞.故选：C.9．（2020·广东高考模拟）已知函数()()231cos sin 0,R 222x f x x x ωωω=+->∈.若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（）A ．50,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．50,6⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D 【解析】1cos 3131()sin sin cos 22222x f x x x xωωωω+=+-=+sin()6x πω=+，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+ ,函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点(1)(,2)(2,2),66k k k Z ππωπωππππ++⊆+∈，则26{226x k k πωππωπππ+≥+≤+，则126{512k k ωω≥-≤+，取0k =，0,ω> 5012k ∴<≤；（2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则26{2226k k πωππππωπππ+≥++≤+，解得：526{1112k k ωω≥+≤+，取0k =，511612k ∴≤≤；综上可知：k 的取值范围是5511(0,[,]12612，选D .10．在ABC 中，30A =︒，BC 边上的高为1，则ABC 面积的最小值为（）A ．25-B ．23C ．23+D ．25+【答案】B【解析】设BC 边上的高为AD ，则AD =1，AD BC ⊥，如图所示：所以11sin ,sin AD AD B C AB AB AC AC ====,所以11,sin sin AB AC B C ==，所以111sin 244sin sin ABC S AB AC A AB AC B C=⨯⨯⨯=⨯= ，设4sin sin y B C =，因为6A π=，则56B C π+=，所以5554sin sin 4sin sin()4sin sin cos cos sin 666y B C B B B B B πππ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭=22sin cos sin 22B B B B B +=-+=2sin(2)3B π-+，因为5(0,6B π∈，所以42(,)333B πππ-∈-，所以3sin(2(,1]32B π-∈-，则2sin(2)(0,23y B π=-，所以max 2y =+，所以ABC面积的最小值为max12y =-故选：B11．已知实数[2,3]a ∈，不等式2cos (4)sin 2(22)|sin 2|0a x a b x a b x a -+-++-+-≥对任意x ∈R 恒成立，则223a a b ++的最大值是（）A ．16-B ．13-C ．6-D ．2【答案】B【解析】令2sin [1,3]t x =+∈，原不等式整理得：()2cos 4sin 4(2sin )4|sin 2|0a x x b x x a ---+--+-≥，即21(2)4(2)44||0a t t bt t a ⎡⎤---------≥⎣⎦，∴()214||0a tbt t a -----≥，即24||0atbt a t a ++-+-≤，两边除以t 得：410a aat b t t-+++-≤，所以41,1()41,3a a at b t a t tf t a a at b a t t t -⎧+++-≤≤⎪⎪=⎨-⎪+++-≤≤⎪⎩41,1421,3at b t a t a at b a t t ⎧++-≤≤⎪⎪=⎨-⎪+++≤≤⎪⎩，因为[]2,3a ∈，故420a -≤，故421,3ay at b a t t-=+++≤≤为增函数.2a ≤<≤，因此()f t在⎡⎢⎣上递减，⎤⎥⎦上递增，又(1)3f a b =++，77(3)33f a b =++，且42(3)(1)033f f a -=->，故()max77(3)033f x f a b ==++≤.则2222357353713a a b a a ++≤--≤-⨯-=-.故选：B.12．设函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（）A ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．函数()f x 的图象关于直线512x π=对称C ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为3-D ．要得到函数()f x 的图象，只需将3cos 2y x =的图象向右平移6π个单位【答案】D【解析】由题意可得()max 3A f x ==，函数()f x 的最小正周期为22T ππ=⨯=，22Tπω∴==，所以，()()3sin 2f x x ϕ=+，由于函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则()212k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，可得()6k k Z πϕπ=+∈，2πϕ< ，0k ∴=，6π=ϕ，所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A 选项，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，52266x πππ≤+≤，所以，函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，A 选项错误；对于B 选项，553sin 23sin 012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于直线512x π=对称，B 选项错误；对于C 选项，当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2662x πππ-≤+≤，()min 33sin 62f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，()3sin 23cos 23cos 23cos 266236f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，所以，要得到函数()f x 的图象，只需将3cos 2y x =的图象向右平移6π个单位，D 选项正确.故选：D.13．设函数f （x ）＝sin （ωx +φ），()()(){}0,0A x f x f x '==，22(,)1322x y B x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭∣，若存在实数φ，使得集合A ∩B 中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（）A ．35π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】∵f ′（x 0）＝0，∴f （x 0）是f （x ）的最大值或最小值，又f （x ）＝sin （ωx +φ）的最大值或最小值在直线y ＝±1上，∴y ＝±1代入221322x y +≤得，211322x +≤，解得﹣4≤x ≤4，又存在实数φ，使得集合A ∩B 中恰好有7个元素，∴238248πωπω⎧⋅≤⎪⎪⎨⎪⋅>⎪⎩，且ω＞0，解得34πωπ≤<，∴ω的取值范围是3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a OA = ，b OB =，点A 在圆224x y +=上，点B 的坐标为()1,1，若存在正实数λ满足()()2a b a b λ-⊥+，则λ的最小值为（）A B ．2C ．D ．4【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷理科数学全国卷Ⅰ（第三模拟）【答案】A【解析】解法一设(),== a OA x y ，又()1,1b OB == ，所以a b x y ⋅=+，且2a = ，b = 由()()2a b a b λ-⊥+ ，得()()20a b a b λ-⋅+= ，即()()222210a a b b λλ+-⋅-= ，得()()82120x y λλ+-+-=．即()()21=28x y λλ-+-由()()22228x y x y+≤+=，当且仅当222xy ==时等号成立，所以()()2228821λλ-≤-，又λ为正实数，解得λ≥，所以λ．解法二设点()2cos ,2sin A ϕϕ，又点B 的坐标为()1,1，由()()2a b a b λ-⊥+，得()()4cos 1,4sin 12cos ,2sin ϕϕϕλϕλ--⋅++，()()842cos sin 20λϕϕλ=+-+-=，即(πsin 44ϕλ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．因为πsin 14ϕ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以()()222214λλ-≥-，又λ为正实数，解得λ≥，所以λ．15．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin 0,0,2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭，则下列叙述正确的是（）A ．6πϕ=-B ．当[]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增C ．当[]0,60t ∈，()f t 的最大值为D ．当100t =时，6PA =【答案】D【解析】由题意，6R =，120T =，所以260T ππω==；又点(3,A -代入()f x 可得6sin ϕ-=，解得3sin 2ϕ=-；又||2ϕπ<，所以3πϕ=-．故A 不正确；所以()6sin()603f t t ππ=-，当[0t ∈，60]时，[6036t πππ-∈-，2]3π，所以函数()f x 先增后减，B 错误；[0t ∈，60]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6，C 错误；当100t =时，46033t πππ-=，P 的纵坐标为y =-横坐标为3x =-，所以||336PA =--=，D 正确．故选：D ．16．已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积23sin 4sin AS C=，则()sin 2A C -的取值范围是（）A ．()1,1-B ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】利用正弦定理可知223sin 331sin 4sin 442A a S ac ac BC c ====3sin 2B =Q ，又ABC 为锐角三角形，π3B ∴=由锐角ABC 可知π0ππ22ππ62032A A C A ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<=-<⎪⎩，2π2π22333A C A A A ⎛⎫∴-=--=- ⎪⎝⎭，π2π5π3636A ∴-<-<，利用正弦函数性质知()1sin 212A C -<-≤，即()sin 2A C -的取值范围是1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦故选：B17．函数()()3sin cos 23f x x x π=+-+在,22ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最小值为（）A ．-1B ．38C ．78D ．1【来源】天一大联考2020-2021学年高三上学期高中毕业班阶段性测试（三）理科数学【答案】C【解析】()()3sin cos 23f x x x π=+-+23sin (12sin )3x x =---+22sin 3sin 2x x =-+2372sin 48x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin [1,1]x ∈-，所以当3sin 4x =时，()f x 取得最小值78.故选：C18．在ABC 中，2,6AB C π==，则AC +的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】有正弦定理得24sin sin sin sin6a b cA B Cπ====，所以4sin,4sina Ab B==，所以AC+4sinb B A=+=+()4sin4sin6B BC B Bπ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭4sin sin cos cos sin66B B Bππ⎫=++⎪⎭14sin sin cos22B B B⎫=++⎪⎪⎭()()10sin4B B B Bϕϕ=+=+=+.其中2333tan010536πϕϕ==<⇒<<，由于566Bππ<<，所以3Bπϕπ<+<，故当2Bπϕ+=时，AC的最大值为.故选：B19．向量(cos,sin)aθθ→=，)b→=，则2a b→→-的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由向量的坐标运算得()22cos2sin1a bθθ→→-=--，所以(()22222cos2sin1a bθθ→→-=-+-84sin88sin3πθθθ⎛⎫=--=-+⎪⎝⎭，由三角函数的性质得2max216a b→→⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭，当且仅当72,6k k Zπθπ=+∈时，等号成立.所以max24a b→→⎛⎫-=⎪⎝⎭.故选：B.20．已知函数()2sin()f x x hωϕ=++的最小正周期为π，若()f x在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为M，则M的最小值为________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）数学试题【答案】22【解析】由于函数()()2sin f x x h ωϕ=++的最小正周期为π，则22πωπ==，2ω∴=±.不妨取2ω=，则()()2sin 2f x x h ϕ=++.若函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎣⎦π上单调，则(){}max 0,max 2sin ,2cos 4M f f h h πϕϕ⎧⎫⎛⎫==++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭()()()max max max2sin 2cos sin cos 24h h ϕϕπϕϕϕ⎛⎫+-+⎫⎛⎫≥=-=-=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭，若函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎣⎦π上先增后减，则(){}max 0,,2max 2sin ,2cos ,2,24M f f h h h h h πϕϕ⎧⎫⎛⎫=+=++----⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭()()()()2sin 2cos 2242sin cos 44h h h ϕϕϕϕ+++-+-+≥==222≥；若函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎣⎦π上先减后增，同理可知M 的最小值为22-.222-<，综上可知，M 的最小值为222-.21．已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1-【解析】当sin a x ≥时，211()(sin 4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭，∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增；11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1.故答案为：1-.22．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是______.【答案】2⎛ ⎝【解析】由于34A π=，所以04B π<<，由正弦定理得23sin sin sin sin4b c a B C A π====，所以2sin b B =，2sin c C =，所以2sin 2sin 2sin 2sin 4b c B C B B πλλλ⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭222sin 2cos sin (222B B B B B λλ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭.当20λ=，即2λ=时，b c B λ+=，没有最大值，所以22λ≠，则sin()b c B λϕ+=+，其中tanϕ=，要使b c λ+有最大值，则B ϕ+要能取2π，由于04B π<<，所以42ππϕ<<，所以tan 1ϕ>1,>，解得22λ<<.所以λ的取值范围是22⎛ ⎝.故答案为：2⎛ ⎝⎭23．若函数()y f x =的定义域存在()1212,x x x x ≠，使()()1212f x f x +=成立，则称该函数为“互补函数”.若函数()()312cos sin 02323f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎝⎭⎝⎭在[],2ππ上为“互补函数”，则ω的取值范围为___________.【来源】重组卷01-冲刺2021年高考数学（理）之精选真题模拟重组卷（新课标卷）【答案】9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】()31cos sin cos sin 232336f x x x x x ππππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由“互补函数”的定义得：存在[]()1212,,2x x x x ππ∈≠，()()122f x f x +=，所以令t x ω=，则函数sin y t =在区间[],2ωπωπ上存在至少两个极大值点，则2ππω≤，得2ω≥.当222T ππω=⨯≤时，即4ω≥，显然符合题意；当24ω≤<时，分以下两种情况讨论，当52πωπ≤，即52ω≤时，922πωπ≥，即94ω≥，所以9542ω≤≤；当542ππωπ>>，即52ω>时，1322πωπ≥，即134ω≥，所以1344ω≤<.综上，ω的取值范围为9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.24．（2020·陕西高考模拟）若向量(cos ,sin )a θθ= ,1)b =- ,则2a b -的最大值为.【答案】3【解析】根据题意，由于向量(cos ,sin )a θθ=,1)b =- ,则可知2a b -=(cos 1)θθ-==，那么化为单一=3，故填写3.24．（2020·浙江高考模拟）定义式子运算为将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为【答案】【解析】由题意可知f （x ）=cosx-sinx=2cos （x+）将函数f （x ）的图象向左平移n （n ＞0）个单位后得到y=2cos （x+n+）为偶函数∴2cos （-x+n+）=2cos （x+n+）∴cosxcos （n+）+sinxsin （n+）=cosxcos （n+）-sinxsin （n+）∴sinxsin （n+）=-sinxsin （n+）∴sinxsin （n+）=0∴sin （n+）=0∴n+=kπ∴n=-+kπ，n 大于0的最小值等于25．（2020·安徽高考模拟）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，||2πϕ，4π-为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是【答案】15【解析】由题意知函数()()024f x sin x x ππωϕωϕ⎛⎫=+≤= ⎪⎝⎭＞，，为y ＝f （x ）图象的对称轴，4x π=-为f （x ）的零点，∴214n +•22ππω=，n ∈Z ，∴ω＝2n +1．f （x ）在区间1224，ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有最小值无最大值，∴周期T ≥（2412ππ+）8π=，即28ππω≥，∴ω≤16．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω＝15，当ω＝15时，由题意可得4π-⨯15+φ＝k π，φ4π=-，函数为y ＝f （x ）＝sin （15x 4π-），在区间1224，ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，15x 4π-∈（32π-，38π），此时f （x ）在x 2π=-时取得最小值，∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15，26．（2020·浙江高考模拟）已知函数1()4sin cos 2f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为【答案】4π【解析】由1()4sin cos 2f x x x =-，则1()2sin 22f x x =-，所以f (x )的最小正周期T=π因为()()f x a f x a -=-+，则',()(2)x x a f x f x a =+=-+‘，令则，，这f (x )的最小正周期T=4a ,所以4a =π，所以实数a 的最小正值是4π27．（2020·横峰中学高考模拟）已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c+=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos 24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为__________．【答案】(]12,24【解析】由ABC ∆的三边分别为a ，b ，c 可得：113a b b c a b c +=++++，3a b c a b c a b b c +++++=++，1c a a b b c∴+=++可知：()()()()c b c a a b a b b c +++=++，222ac a c b =+-2221cos22a cb B ac +-∴==，3B π=，23R ππ= ，R =2sin sin sin a b cR A B C∴===a A ∴=，c C=)233 sin sin sin sin 2sin cos322a c A C A A A A π⎤⎛⎫⎫+=+=+-=+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭203A π<<，5666A πππ∴<+<，36sin 66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，可知3 6a c <+≤()()()222sin 22f x x a c a c ⎡⎤=--++++⎣⎦1sin 1x -≤≤，可知当sin 1x =时，()()4max f x a c =+，()12424a c ∴<+≤则()()241f x cos x a c sinx =+++的最大值的取值范围为(]1224，28．（2020·江苏扬州中学高考模拟）已知ABC ∆1+,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【答案】【解析】∵431tan tan A B +=，∴cos cos 431sin sin A BA B+=，∴4cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB ，∴3cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB ﹣cosAsinB ，即3sin （A+B ）＝sinB （sinA ﹣cosA ），即3sinC ＝sinB （sinA ﹣cosA ），∴3c ＝b （sinA ﹣cosA ），即c (sin cos )3b A A -=，∵△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝2(sin cos )sin 6b A A A-＝26b （sin 2A ﹣cosAsinA ）＝212b （1﹣sin2A ﹣cos2A 1，∴b 2＝12(21)12(21)1sin 2cos 2124A AA π+=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵3c ＝b （sinA ﹣cosA ）＞0，且0＜A ＜π，∴39A ,2A+4444πππππ<<∴<<，∴当32A+42ππ=即A ＝58π时，b 212，∴b 的最小值为AC 最小值为29．（2020·安徽高考模拟）设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.【答案】4【解析】()cos cos A C B -- ()()1cos cos 2A C A C =-++=，1cos cos 4A C ∴=，①又,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，②①-②得21sin cos cos sin sin 4B A C A C -=-()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==，由()1cos cos 2AC B --=，得()1cos cos 12A CB -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD ∆=⋅()()13322224a a a a =-⨯=-()2233444a a ⎡⎤+-⎣⎦≤⨯=，1a =时等号成立．即ACD ∆面积的最大值为34，故答案为34.。

与三角函数相关的最值问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(2019版)(原卷版)

个单位长度，
3．【广东省 2019 届广州市高中毕业班综合测试（一)】函数
最大值是
A．2
B．
C．
D．，将其图象向左平移（＞0）个） D．
4．【山西省 2019 届高三考前适应】已知函数单位长度后得到的函数为偶函数，则的最小值是（ A． B． C．
5．【安徽省毛坦厂中学 2019 届高三校区 4 月联考】已知函数轴交于点，距离轴最近的最大值点） B． C． D．，若，且，恒有
2 2
三．强化训练一、选择题 1、【辽宁省抚顺市 2019 届高三一模】已知函数成立，则实数的最大值是( A． B． ) C． D．，先将图，若在区间上恒
2．【安徽省蚌埠市 2019 届高三下学期第二次教学质量检查】已知函数
象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ A． B．） C． D．
4
B.
11 12
C.
5 12
D.
7 12
的图象关于点对
3、【山东省 2019 届高三第一次大联考】已知函数称，且在上有且只有三个零点，则的最大值是_________.
类型二与三角函数的单调性相关的最值问题【例 2】已知 0 , f x sin x
一．方法综述三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，而三角函数的最值问题是三角函数的重要题型，其中包括以考查三角函数图象和性质为载体的最值问题、三角函数的有界性为主的最值问题时屡见不鲜的题型，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键．二．解题策略类型一与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题【例 1】【重庆市南开中学 2019 届高三第三次教学质量检测】已知函数小正周期为，且 A．1 【举一反三】 1、将函数 y 2sin x 数，则的最小值为 A. 是函数 B．图象的一条对称轴，则 C．的最大值为（ D．2 ）的最

【高考冲刺押题】高考数学三轮基础技能闯关夺分必备三角函数的值域与最值(含解析).pdf

三角函数的值域与最值【考点导读】 1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题； 2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．【基础练习】 1.函数在区间上的最小值为 1 ． 2.函数的最大值等于． 3.函数且的值域是___________________． 4.当时，函数的最小值为 4 ． 5.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 1 ． 6.若，则的最大值与最小值之和为____2____．【范例解析】例1.（1）已知，求的最大值与最小值．（2）求函数的最大值．分析：可化为二次函数求最值问题．解：（1）由已知得：，，则．，当时，有最小值；当时，有最小值．（2）设，则，则，当时，有最大值为．点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．例2.求函数的最小值．分析：利用函数的有界性求解．解法一：原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为．解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．例3.已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范围是．点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．例4．扇形的半径为1，中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值．分析：引入变量，建立目标函数．解：连接，设，则，，．，，所以当时，在圆弧中心位置，．点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．【反馈演练】 1．函数的最小值等于____－1_______． 2．已知函数，，直线和它们分别交于M，N，则_________． 3．当时，函数的最小值是______4 _______． 4．函数的最大值为_______，最小值为________. 5．函数的值域为 . 6．已知函数，则的值域是 . 7．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_________． 8．（1）已知，函数的最大值是_______. （2），函数的最小值是____3___. 9．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，_____________． 10．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）．因此，函数的最小正周期为．（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为． 11．若函数的最大值为，试确定常数a的值. 解：因为的最大值为的最大值为1，则所以 12．已知函数．（1）若．求使为正值的的集合；（2）若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围. 解：（1）∵ 又 ∴ （2）当时，∴ 则，∴ ∵方程有实根，得 ∴ 例4 Q P S R O B A。

19-20版：微专题1 三角函数中的最值问题（步步高）

微专题1 三角函数中的最值问题三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变形及综合应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可转化为所熟知的函数最值问题．一、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型的最值问题例1 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴y ∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 故该函数的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 反思感悟化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．也可以利用y ＝sin x 的图像找最值．二、可化为y ＝f (sin x )型的最值问题例2 函数y ＝2cos 2x ＋2sin x －1的最大值为( )A.34 B ．1 C.32D ．2 答案 C解析 y ＝2cos 2x ＋2sin x －1＝2(1－sin 2x )＋2sin x －1＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，所以原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32，所以当t ＝12时，函数y 取得最大值为32.故选C. 反思感悟可化为y ＝f (sin x )型三角函数的最值或值域，也可通过换元法转为其他函数的最值或值域．三、函数图像平移距离的最小值问题例3 将函数f (x )＝sin 4x 图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图像向左平移φ(φ>0)个单位，得到了一个偶函数的图像，则φ的最小值为( ) A.π16 B.π12 C.π6 D.π4答案 D解析伸长后得y ＝sin 2x ，平移后得y ＝sin [2(x ＋φ)]＝sin(2x ＋2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π2＋π4(k ∈Z )，取k ＝0，得φ的最小值为π4.故选D. 反思感悟函数图像平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图像平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值．四、由三角函数的值域，求定义域中参数的最值例4 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤π3，π解析令t ＝x ＋π6，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ， ∴t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∴函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1，作出y ＝sin t 的图像．图中点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫7π6，－12，所以π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π. 反思感悟由值域求定义域，充分利用正余弦函数的图像，要用整体代换、换元思想，转换成最简单的正弦、余弦曲线．五、求ω的最值问题例5 (1)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的图像向左平移4π3个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( )A ．3 B.32 C.43 D.23答案 B解析依题意知，4π3＝k ·T ，k ∈N ＋，∴4π3＝k ·2πω，k ∈N ＋， ∴ω＝32k ，k ∈N ＋， ∴ω的最小值为32. (2)先将函数f (x )＝sin x 的图像上的各点向左平移π6个单位，再将各点的横坐标变为原来的1ω(其中ω∈N ＋且纵坐标不变)，得到函数g (x )的图像，若g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π4上单调递增，则ω的最大值为________．答案 9解析由题意易知g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤π6，π4上单调递增，所以有⎩⎨⎧ π6ω＋π6≥2k π－π2，π4ω＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －4≤ω≤8k ＋43，k ∈Z . 由12k －4≤8k ＋43可得k ≤43，当k ＝1时，ω∈⎣⎡⎦⎤8，283，所以正整数ω的最大值为9.反思感悟已知三角函数在某区间递增(减)求ω的范围，一般先求函数的递增(减)区间，再利用已知区间是递增(减)区间的子集，列关于ω的不等式求范围或最值．。