圆与圆的位置关系--圆与圆相切--圆系方程

几何方法直观，但不能 求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判 圆的位置关系。
变式例题:已知 圆C1 :x2+y2+2x+8y-8=0 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，
试判断圆C1与圆C2的位置关系.
若相交,求两圆公共弦所在的直线方 程及弦长.
练习：求 x2＋y2－10x－15＝0 ① 与x2＋y2－15x＋5y－30＝0 ② 的公共弦所在的直线方程。
解法二：圆C1与圆C2的方程联立，得
x2 y 2 2x 8 y 8 0 2 2 x y 4x 4 y 2 0
由(3)得 1 x y 2
(1) (2)
＋ 2y －1 0 (1)-(2)，得 x
(3)
代入 (1), 整理得
x2 2x 3 0 (4) 2 则 (2) 4 1 (3) 16 0
－
∵圆心C应在公共弦AB所在直线上
，
∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．
小结：
1.两圆位置关系的判断： 代数法： 几何法： 各自有什么优缺点？ 2.两圆相切时如何求圆的方程 3.圆系方程的应用 （1）两圆相交，过交点的圆系方程 （2）直线与圆相交，过交点的圆系方程
作业：
3.圆系方程：
所以，方程(4)有两个不相等的实数根x1,x2 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点 所以圆C1与圆C2相交，它们有两个公共点A，B.
练习：判断下列两圆的位置关系：
2 ( x 2)2 ( y 2)2 1与（x 2） ( y 5)2 16 2 2 2 2 （2） x y 6 x 7 0与x y 6 y 27 0 解（1）：两圆的圆心坐标为(-2 , 2), (2 , 5),两圆的圆心距
2 2 x y 10x 10 y 0 例3.求半径为 3 2 ，且与圆
切于原点的圆的方程。
C (5, 5) A(a, b)
y
C、A、O三点共线
kCO k AO
5 0 b 0 5 0 a 0
ab
A O C B x
| AO | 3 2
a 2 b2 3 2
kMN ( yM yN ) /( xM xN )
例5பைடு நூலகம்求半径为2，圆心在X轴上方且与X轴相切，与圆
Y
( x 2) O 1：
2
( y 1) 9 相切的圆的方程。
2
2 2
( x a) ( y 2) 4 解：设所求圆O2的方程为：
O1（2,1），O2（a, 2），
复习回顾：
1.直线与圆的位置关系: 相离、相交、相切
判断直线与圆的位置关系有哪些方法？
(1)几何法：根据圆心到直线的距离；
(2)代数法：根据直线的方程和圆的方 程组成方程组的实数解的个数；
2. 圆与圆的位置关系:
相离、外切、相交、内切、内含
如何判断两圆的位置关系呢？
设想：如果把两个圆的圆心放在数轴上，那么两个圆 在不同的位置关系下,我们能得到哪些结论呢?
①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0． 若两圆相交，则过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为 参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦 所在直线方程)． ②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l： Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆 系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 (λ为参 数 )．
x y 10x 10y 0 相
2 2
Y
( x a) ( x b) r
2 2
2
A(0,6)
将圆C化为标准方程，得 则圆心为C(-5,-5),半径为
( x 5) 2 ( y 5) 2 50
M
o
C
x
5 ，2
所以经过已知圆的圆心和切点的直线方程为 x y 0。 由题意知，O(0,0),A(0,6)在所求圆上，且圆心在直线上 x y 0 ，
P132 习题4.2 （4）
求圆心在直线x-y-4=0上，并且经过圆 x y 6x 4 0
2 2
2 2 与圆 x y 6 y 28 0 的交点的圆的方程.
7,圆的方程为： x 2 y 2 x 7 y 32 0
把圆C1和圆C2的方程化为标准方程： 解法一：
C1 : ( x 1) 2 ( y 4) 2 52
C1的圆心(1,4),半径为r1 5 C2的圆心(2,2),半径为r2 10
C1C2 (1 2)2 (4 2)2 3 5 |r 10 1 r 2 | 5 |r 10 1 r 2 | 5
2 圆心距O1O2＝ ( a 2) 1
. (a,2)
O1
x
（1）当两圆外切时， O1O2＝3＋2＝5，即 ∴所求圆的方程式为
(a 2) 2 1 5
∴a＝ 2 2 6
( x 2 2 6)2 ( y 2)2 4 或 ( x 2 2 6)2 ( y 2)2 4
因为
两圆的半径分别为 r1 4和 r2 6
2 r 4 1 r2 d r 1 r2 10
d (0 3) 2 (3 0) 2 3 2
所以两圆相交 .
小结：判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
代数方法
( x a1 )2 ( y b1 )2 r12 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 2 2 2
消去y（或x）
圆心距d （两点间距离公式）
px 2 qx r 0
比较d和r1，r2的 大小，下结论
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
总 结
几何方法 判断两圆位置关系 代数方法
各有何优劣，如何选用？
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？ 内切或外切 （2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何？ 内含或相离
（1）
d
2 (2)2 (5 2) 2
5
两圆的半径分别为 r1 1和r2 4 d r 1 r 2 所以两圆外切。 解（2）：将两圆的方程化成标准方程，得 x 32 y 2 16 x 2 ( y 3) 2 36 两圆的圆心坐标为(-3 , 0),(0 , -3),两圆的圆心距
练习：
1、已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆 x 相切，求圆C的方程。 2 2 ( x 4 ) ( y 3 ) 16. 解得: 外切
2 2 内切 ( x 4) ( y 3) 36.
2
y 1
2
2、求与圆O： x2 y 2
4 相外切，切点为
P（-1 , 3 ）且半径为4的圆的方程。 解得: ( x 3)2 ( y 3 3)2 16.
(0 a) 2 (0 b) 2 r 2 则有 (0 a) 2 (6 b) 2 r 2 a b 0
a 3. 解得 b 3. r 3 2 . ( x 3) 2 ( y 3) 2 18 。 所以所求圆的方程为：
C2 : ( x 2) 2 ( y 2) 2 ( 10) 2
而5 10 3 5 5 10 即 | r1 r2 | 3 5 | r1 r2 |
所以圆C1与圆C2相交，它们有两个公共点A，B.
例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ： x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
例6.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和 圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程． 解法 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
∵所求圆以AB为直径，
于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .
例6.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和 圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程． 解法二： 设所求圆的方程为： x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)
（2）当两圆内切时， O1O2＝3-2＝1，即
(a 2) 2 1 1 ∴a＝2
∴所求圆的方程式为 ( x 2)2 综上可知，所求圆的方程式为
( y 2)2 4
( x 2)2 ( y 2)2 4 或
( x 2 2 6)2 ( y 2)2 4 或 ( x 2 2 6)2 ( y 2)2 4
rR r O1 O2 O2 r
r O2 O2
r O2
r O2
r O2
x
圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r12(r1>0) 圆C2：(x-c)2+(y-d)2=r22(r2>0) (1)利用连心线长与|r1+r2|和| r1-r2 |的大小关
系判断： ①|C1C2|> |r1+r2|
圆C1与圆C2相离
②|C1C2|= |r1+r2|
圆C1与圆C2外切
③|r1-r2|< |C1C2|< |r1+r2|
圆C1与圆C2相交
④|C1C2|= = |r1-r2|
圆C1与圆C2内切
⑤ |C1C2|= < |r1-r2|
圆C1与圆C2内含
(2) 利用两个圆的方程组成方程组的实数解 的个数：
( x a) ( y b) r1 设方程组 2 2 2 ( x c) ( y d ) r2 的解的个数为 n
分析：只须把两个方程相减，消去2次项 ① － ② 得：5x-5y+15=0
x y 3 0为所求的方程.
2. 圆与圆的相切问题
例2.求过点A(0,6)且与圆: X2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方 程
例2：求过点A(0,6)且与圆C: 切于原点的圆方程。
解：设所求圆的方程为
例4.求经过点M(3,-1) ,且与圆 x y 2x 6 y 5 0 切于点N(1,2)的圆的方程。
2 2
y
求圆G的圆心和半径r=|GM| 圆心是CN与MN中垂线的交点 两点式求CN方程 点(D)斜(kDG) 式求中垂线DG方程 O M C N
D
G
x
中点公式求D, kDG kMN 1
2 2 2
△<0 △=0
n=0 n=1
两个圆相离
两个圆相切
△>0
n=2
两个圆相交
1.圆与圆的位置关系的判断
例1、已知 圆C1
2 2 :x +y +2x+8y-8=0
圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，
试判断圆C1与圆C2的位置关系.
例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ： x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.